Sistemas+Digitales

APUNTE:
SISTEMAS DIGITALES
ÁREA DE EET
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Confeccionado por:
Ricardo Muñoz Toledo
Docente Inacap
Derechos Reservados
Titular del Derecho: INACAP
N° de inscripción en el Registro de Propiedad Intelectual # ___ . ____ de fecha ___-___-___.
© INACAP 2002.
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ÍNDICE
Sistemas Numéricos .......................................................................................................................................................... 7
Sistema decimal............................................................................................................................................................. 7
Notación posicional ....................................................................................................................................................... 7
Sistema binario .............................................................................................................................................................. 7
Conjuntos de bits ....................................................................................................................................................... 8
Dígitos más y menos significativos ........................................................................................................................... 8
Sistema hexadecimal ..................................................................................................................................................... 8
Conversión de bases ...................................................................................................................................................... 8
Conversión de un entero decimal a binario ............................................................................................................... 8
Conversión de decimal a hexadecimal ...................................................................................................................... 9
Conversión de binario a decimal ............................................................................................................................... 9
Conversión de hexadecimal a decimal ...................................................................................................................... 9
Conversión de hexadecimal a binario...................................................................................................................... 10
Conversión de binario a hexadecimal...................................................................................................................... 10
Álgebra de Boole............................................................................................................................................................. 11
Operación AND........................................................................................................................................................... 11
Operación OR.............................................................................................................................................................. 11
Complemento .............................................................................................................................................................. 11
Propiedades del álgebra de Boole................................................................................................................................ 12
Leyes y teoremas del álgebra de Boole ....................................................................................................................... 12
Compuertas lógicas ......................................................................................................................................................... 14
Compuerta YES........................................................................................................................................................... 14
Compuerta NOT .......................................................................................................................................................... 14
Compuerta AND.......................................................................................................................................................... 15
Compuerta OR............................................................................................................................................................. 16
Compuertas lógicas derivadas ......................................................................................................................................... 17
Compuerta NAND....................................................................................................................................................... 17
Compuerta NOR.......................................................................................................................................................... 17
Compuerta XOR.......................................................................................................................................................... 18
Compuerta XNOR ....................................................................................................................................................... 18
Lógica combinacional ..................................................................................................................................................... 19
OR dentro de AND...................................................................................................................................................... 19
AND dentro de OR...................................................................................................................................................... 19
NOT dentro de AND ................................................................................................................................................... 19
NOT dentro de OR ...................................................................................................................................................... 20
Compuertas lógicas comerciales ..................................................................................................................................... 20
7408 Quad 2-input AND gate................................................................................................................................. 20
4081 Quad 2-input AND gate.................................................................................................................................. 20
7432 Quad 2-input OR gate..................................................................................................................................... 20
4071 Quad 2-input OR gate..................................................................................................................................... 20
7404 Hex inverter .................................................................................................................................................... 21
4049 Hex inverter .................................................................................................................................................... 21
7400 Quad 2-input NAND gate............................................................................................................................... 21
4011 Quad 2-input NAND gate............................................................................................................................... 21
7402 Quad 2-input NOR gate.................................................................................................................................. 21
4001 Quad 2-input NOR gate.................................................................................................................................. 21
7486 Quad 2-input XOR gate.................................................................................................................................. 21
4030 Quad 2-input XOR gate.................................................................................................................................. 21
4077 Quad 2-input XOR gate.................................................................................................................................. 22
7411 Triple 3-input AND gate ................................................................................................................................ 22
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7410 Triple 3-input NAND gate.............................................................................................................................. 22
7421 Dual 4-input NAND gate................................................................................................................................ 22
4073 Quad 3-input AND gate.................................................................................................................................. 22
4078 8-input NOR gate ........................................................................................................................................... 22
4068 8-input NAND gate ........................................................................................................................................ 22
Equivalencias................................................................................................................................................................... 22
Mapas de Karnaugh......................................................................................................................................................... 24
Mapa de Karnaugh minterm de 3 variables............................................................................................................. 24
Mapa de Karnaugh minterm de 4 variables............................................................................................................. 24
Mapa de Karnaugh maxterm de 3 variables ............................................................................................................ 24
Mapa de Karnaugh maxterm de 4 variables ............................................................................................................ 24
Ejemplos de agrupaciones ....................................................................................................................................... 24
Códigos binarios.............................................................................................................................................................. 25
Código BCD ................................................................................................................................................................ 25
Conversión decimal a BCD ..................................................................................................................................... 25
Ejemplo ................................................................................................................................................................... 25
Conversión de BCD a decimal ................................................................................................................................ 25
Ejemplo ................................................................................................................................................................... 25
Código de Gray ........................................................................................................................................................... 25
Codificadores................................................................................................................................................................... 26
74147 Decimal to BCD priority encoder..................................................................................................................... 26
Decodificadores............................................................................................................................................................... 26
Decodificador básico de 2 a 4 líneas ........................................................................................................................... 26
Tabla de verdad ....................................................................................................................................................... 26
7442 BCD to decimal decoder .................................................................................................................................... 26
Tabla de verdad ....................................................................................................................................................... 26
Decodificadores BCD a 7 segmentos .............................................................................................................................. 27
Display de 7 segmentos ............................................................................................................................................... 27
4511 BCD to 7 seg decoder/driver .............................................................................................................................. 27
Tabla de verdad ....................................................................................................................................................... 27
Pines de Control ...................................................................................................................................................... 27
Decodificador para display cátodo común .................................................................................................................. 28
Cálculo de las resistencias ....................................................................................................................................... 28
7447 BDC to 7 seg decoder/driver .............................................................................................................................. 28
Terminales de Control ............................................................................................................................................. 28
Multiplexores................................................................................................................................................................... 28
Multiplexor de 4 a 1 líneas .......................................................................................................................................... 28
Tabla de funcionamiento ......................................................................................................................................... 28
Esquema equivalente al multiplexor ....................................................................................................................... 28
Cronograma de una transmisión .............................................................................................................................. 28
Demultiplexores .............................................................................................................................................................. 29
Demultiplexor de 1 a 4 líneas...................................................................................................................................... 29
Tabla de funcionamiento ......................................................................................................................................... 29
74LS138 Decodificador / Demultiplexor de 3 a 8 líneas ............................................................................................ 29
74138 Diagrama interno .......................................................................................................................................... 29
74138 Tabla de funcionamiento .............................................................................................................................. 30
74154 Decodificador / Demultiplexor......................................................................................................................... 30
Tabla de funcionamiento ......................................................................................................................................... 30
Circuitos comparadores ................................................................................................................................................... 31
7485 Comparador de magnitud de 4 bits..................................................................................................................... 31
Circuito comparador de 8 bits ..................................................................................................................................... 31
Circuitos sumadores ........................................................................................................................................................ 31
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Semisumador (Half-adder) .......................................................................................................................................... 31
Circuito lógico de un semisumador ............................................................................................................................. 31
Sumador completo (Full-adder) .................................................................................................................................. 31
Circuito sumador completo ......................................................................................................................................... 32
Circuito sumador de 4 bits........................................................................................................................................... 32
7483 4-Bit Full-adder. ................................................................................................................................................. 32
Circuito sumador de 8 bits........................................................................................................................................... 32
Circuito subtractor de 4 bits ........................................................................................................................................ 32
74181 Unidad aritmética / lógica (ALU)..................................................................................................................... 33
(Aritmetic Logic Unit)................................................................................................................................................. 33
Flip-flops ......................................................................................................................................................................... 34
Lógica combinacional y lógica secuencial .................................................................................................................. 34
Flip-flop SR NOR ....................................................................................................................................................... 34
Circuito lógico......................................................................................................................................................... 34
Símbolo lógico del flip-flop NOR........................................................................................................................... 34
Tabla de funcionamiento ......................................................................................................................................... 34
Cronograma para un flip-flop SR NOR................................................................................................................... 34
Flip-flop SR NAND .................................................................................................................................................... 34
Circuito lógico......................................................................................................................................................... 34
Símbolo lógico del flip-flop NAND........................................................................................................................ 34
Tabla de funcionamiento ......................................................................................................................................... 34
Cronograma para un flip-flop SR NAND................................................................................................................ 34
Flip-flop SR síncrono .................................................................................................................................................. 35
Circuito lógico......................................................................................................................................................... 35
Símbolo lógico ........................................................................................................................................................ 35
Tabla de funcionamiento ......................................................................................................................................... 35
Flip-flop SR síncrono con preset y clear ..................................................................................................................... 35
Circuito lógico......................................................................................................................................................... 35
Símbolo lógico ........................................................................................................................................................ 35
Tabla de funcionamiento ......................................................................................................................................... 35
Flip-flop tipo D............................................................................................................................................................ 35
Circuito lógico......................................................................................................................................................... 35
Símbolo lógico ........................................................................................................................................................ 35
Tabla de funcionamiento ......................................................................................................................................... 36
Flip-flop J-K ................................................................................................................................................................ 36
Símbolo lógico ........................................................................................................................................................ 36
Tabla de funcionamiento ......................................................................................................................................... 36
Flip-flop J-K disparado por flanco .............................................................................................................................. 36
Tabla de funcionamiento ......................................................................................................................................... 36
4027 Dual edge triggered J-K flip-flop ....................................................................................................................... 36
7476 dual edge triggered J-K flip-flop ........................................................................................................................ 36
Tabla de funcionamiento ......................................................................................................................................... 36
Contadores....................................................................................................................................................................... 37
Condensador de desacoplo .......................................................................................................................................... 38
Contadores síncronos .................................................................................................................................................. 38
Circuitos integrados contadores .................................................................................................................................. 38
4520 Doble contador binario asíncrono .................................................................................................................. 38
4040 Contador binario asíncrono ............................................................................................................................ 38
7493 Contador binario asíncrono ............................................................................................................................ 38
Contadores de décadas ................................................................................................................................................ 39
4518 Dual decade counter ....................................................................................................................................... 39
7490 Decade counter ............................................................................................................................................... 39
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Contadores conectados en cascada .............................................................................................................................. 39
Programación de contadores........................................................................................................................................ 40
EJEMPLO: .............................................................................................................................................................. 40
Contadores síncronos .................................................................................................................................................. 41
74193 Sincronous Up/Down binary counter ........................................................................................................... 41
Conexión en cascada de 2 contadores reversibles ................................................................................................... 43
Bibliografía...................................................................................................................................................................... 44
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Sistemas Numéricos
Un sistema numérico consiste en un conjunto ordenado
de símbolos ó guarismos empleados en la
representación de números, con reglas definidas para
operaciones matemáticas sobre esos símbolos, tales
como la adición y la substracción.
En general, una determinada cantidad, se puede
expresar de la siguiente forma:
N r = a n −1 a n − 2 .... a j .... a1 a0 , a −1 a − 2 .... a − m
Nr =
n −1
Σ
aj ⋅r j
j =− m
Sistema decimal
Un sistema numérico recibe su nombre de acuerdo a la
cantidad de símbolos que se utilizan para representar
una cantidad. En el caso del sistema numérico que
usamos a diario, se usan diez (10) símbolos por lo que
recibe el nombre sistema decimal y se dice que tiene
base o rádix igual a diez (10). Los símbolos usados
son: “0”, “1”, “2”, “3”, “4”, “5”, “6”, “7”, “8” y “9”.
Éste sistema derivó del sistema numérico indoarábigo
y posiblemente se adoptó porque contamos con diez
dedos en las manos. Para diferenciar un número
decimal de uno con otra base, se escribe con letras
subíndices el valor de la base a la derecha del número,
como ejemplo: 6810.
Los números están compuestos por uno o más dígitos,
que son cada uno de los símbolos usados para formar
un número. Por ejemplo, el número 69 tiene dos (2)
dígitos; el número 155 posee tres (3) dígitos.
Notación posicional
En un sistema de notación posicional, como lo es el
sistema decimal, el valor representado por cada
símbolo componente de un número es diferente
conforme a su posición. La cantidad representada por
cada símbolo depende fundamentalmente de su valor
absoluto (cantidad de unidades representadas por el
símbolo) y de su posición relativa a la coma que ocupa
dentro de un número. Se considera posición cero como
el primer dígito a la izquierda de la coma. Por ejemplo,
en el sistema decimal, el símbolo 3 representa una
cantidad diferente en el número 4310 que en el número
3410. En el primer caso, el número 3 se encuentra en la
posición cero y representa tres (3) unidades, en cambio
en el segundo caso, el número 3 se encuentra en la
posición uno, donde representa treinta (30) unidades.
Cabe señalar que al no existir coma, se supone como
posición cero el primer dígito de la derecha.
Donde:
r = base.
rj = factor de multiplicación del símbolo.
aj = símbolo perteneciente al conjunto de símbolos del
sistema.
n = número de dígitos de la parte entera.
m = número de dígitos de la parte fraccionaria.
an-1 = dígito más significativo.
a-m = dígito menos significativo.
Ejemplo:
2 −1
83,2710 = Σ a j ⋅ 10 j
−2
1
83,2710 = Σ a j ⋅ 10 j
−2
83 ,27 10 = 7 ⋅ 10 −2 + 2 ⋅ 10 −1 + 3 ⋅ 10 0 + 8 ⋅ 10 1
Sistema binario
El sistema binario es importante motivo de estudio
debido a que todos los Sistemas Digitales operan
únicamente con números binarios.
El sistema binario tiene base igual a dos (2) y los
símbolos empleados son “0” y “1”. En el lenguaje de
los Sistemas Digitales cada dígito recibe la
denominación de bit, que es la contracción de las
palabras, del idioma inglés, binary digit (dígito
binario). Para denotar un número binario, se indica con
el subíndice igual a 2, como se muestra en el siguiente
ejemplo: 1001012.
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Conjuntos de bits
Sistema hexadecimal
Se utilizan con nombre propio a determinados
conjuntos de dígitos en binario, los más usados son:
El sistema hexadecimal tiene base igual a dieciséis (16)
y sus símbolos son: “0”, “1”, “2”, “3”, “4”, “5”, “6”,
“7”, “8”, “9”, “A”, “B”, “C”, “D”, “E” y “F”. Cada
símbolo hexadecimal representa una cantidad
equivalente en el sistema decimal de acuerdo como se
muestra en la siguiente tabla:
Nibble: Conjunto de cuatro bits. Esto no representaría
una estructura interesante si no fuera por dos razones:
El código BCD, que estudiaremos más adelante, y los
números hexadecimales. Se requieren cuatro bits para
representar un sólo dígito BCD ó hexadecimal.
Byte: Conjunto de 8 bits y se simboliza con la letra
“B”. El byte es una importante unidad de medida de
cantidad de información, usada en muchas áreas
relacionadas con la electrónica y comunicaciones entre
otras. El byte es la unidad básica de capacidad de los
medios de almacenamiento de información digital,
tales como memorias, CDROM, disquetes y discos
duros entre otros. Cabe señalar que en el lenguaje de
Sistemas Digitales y computación, a un conjunto de
1.024 bytes se le llama kilobyte (kB), a un conjunto de
1.024 kilobytes es igual a un megabyte (MB) y un
gigabyte (GB) es igual a un conjunto de 1.024
megabyte.
Word: Un word (palabra) es un conjunto de 16 bits.
Dword: Un Dword ó Doubleword (palabra doble) es un
conjunto de 32 bits.
Símbolo
hexadecimal
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
Cantidad expresada
en decimal
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Conversión de bases
Qword: Un Qword ó Quadword (palabra cuádruple) es
un conjunto de 64 bits.
Evidentemente, en muchas oportunidades tendremos la
necesidad de convertir un número en su equivalente
con base diferente. A continuación de detallarán las
formas más usuales para convertir:
Dígitos más y menos significativos
Conversión de un entero decimal a binario
En un número entero, se llama dígito más significativo
al que posee la posición con mayor valor, mientras que
el dígito menos significativo es el que se encuentra en
la posición cero.
En los Sistemas Digitales, no siempre se presentan los
números con el dígito más significativo a la izquierda,
como estamos acostumbrados a hacerlo con los
números decimales. Se usan únicamente con números
binarios las siglas MSB, (Most Significant Bit) para
señalar el dígito más significativo y LSB (Least
Significant Bit) para señalar el bit menos significativo.
Ejemplo:
MSB 100112 = LSB 110012
El método más usado para realizar esta conversión es
el denominado como divisiones sucesivas cuyo
desarrollo consiste en:
1. Dividir por 2 la parte entera del número decimal a
convertir.
2. Dividir por 2 sucesivamente la parte entera del
cociente de la división anterior hasta obtener
cociente igual a cero (0).
3. El cociente de cada división se multiplica por 2. El
resultado de cada multiplicación corresponde a un
dígito del número binario, siendo el bit menos
significativo el resultado de la primera
multiplicación y el más significativo el de la
última.
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En el siguiente ejemplo, se convierte el número
decimal 27 en el binario 11011(2710 → x2):
La conversión de un número binario a uno decimal se
realiza usando el método del polinomio ponderado,
esto es que el número decimal es igual a la suma de los
productos entre el valor de cada dígito binario y la
potencia de 2 correspondiente a su posición.
27 : 2 = 13 , 5
0,5 · 2 = 1
13 : 2 =
6,5
0,5 · 2 = 1
6 :2=
En el siguiente ejemplo se convierte a decimal el
número binario 11011 (101012 → x10):
3,0
0 ·2=0
3 :2=
1,5
x10 = 101012
0,5 · 2 = 1
1 :2=
x10 = 1 ⋅ 2 4 + 0 ⋅ 2 3 + 1 ⋅ 2 2 + 0 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0
x10 = 1 ⋅ 16 + 0 + 1 ⋅ 4 + 0 + 1 ⋅ 1
0,5
0,5 · 2 = 1
1 1 0 1 1
MSB
2
LSB
Conversión de decimal a hexadecimal
Esta conversión se puede realizar mediante divisiones
sucesivas, al igual que la conversión de decimal a
binario con la diferencia que en vez de dividir por 2 y
luego multiplicar por 2, se divide por 16 y luego se
multiplica por 16. Los resultados de las
multiplicaciones que son mayores que 9 se reemplazan
por el símbolo hexadecimal correspondiente.
En el siguiente ejemplo se muestra cómo convertir a
hexadecimal el número decimal 698 (69810 → x16):
698 : 16 =
Conversión de hexadecimal a decimal
Esta conversión se realiza de un forma similar que la
conversión de binario a decimal. El número decimal es
igual a la suma de los productos entre el valor decimal
de cada dígito hexadecimal y la potencia de 16
correspondiente a su posición.
En el siguiente ejemplo se muestra como convertir el
número hexadecimal 2F3 en el decimal 755 (2F316 →
x10):
x10 = 2 ⋅ 16 2 + 15 ⋅ 16 1 + 3 ⋅ 16 0
x10 = 2 ⋅ 256 + 15 ⋅ 16 + 3 ⋅ 1
2 , 6875
x10 = 512 + 240 + 3
0,6875 · 16 = 11 = B
2 : 16 =
x10 = 16 + 4 + 1
x10 = 21
x10 = 2 F 32
43 , 625
0,625 · 16 = 10 = A
43 : 16 =
Conversión de binario a decimal
x10 = 755
0 , 125
0,125 · 16 = 2
2 B A
16
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Conversión de hexadecimal a binario
Conversión de binario a hexadecimal
Los números hexadecimales son usados en los
Sistemas Digitales por la sencilla razón que basta un
(1) dígito hexadecimal para representar la misma
cantidad que con cuatro (4) dígitos binarios, como se
muestra en la siguiente tabla:
Para convertir un número binario entero en
hexadecimal, primero se deben formar grupos de 4 bits
a partir de la derecha hacia la izquierda y luego cada
grupo se debe reemplazar por el símbolo hexadecimal
equivalente de acuerdo con la tabla anterior. Si el
último grupo de la izquierda no contempla 4 bits, se
debe completar 4 bits agregando ceros (“0”) a la
izquierda hasta completarlos.
Número hexadecimal
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
Número binario
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
En el siguiente ejemplo se convierte a hexadecimal el
número binario 10110010102 (10110010102 → x16):
10 1100 1010
2
0010 1100 1010
2 C A 16
Ésta característica hace que sea muy fácil convertir un
número hexadecimal en binario y viceversa. Nótese
que por razones prácticas, en la tabla anterior, se han
representando los ceros (“0”) a la izquierda del número
binario hasta completar 4 dígitos.
Para convertir un número hexadecimal en binario,
simplemente se debe reemplazar cada dígito
hexadecimal por cuatro dígitos binarios equivalente a
su símbolo de acuerdo a la tabla anterior.
En el siguiente ejemplo se cómo convertir a binario el
número hexadecimal C3A (C3A16 → x2):
C 3 A 16
1100
0011 1010
1100 0011 1010 2
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Álgebra de Boole
Operación OR
Los Sistemas Digitales están compuestos por circuitos
lógicos digitales que son componentes electrónicos que
manipulan información binaria. Una manera de
describir el comportamiento de éstos circuitos es
mediante el uso de un álgebra (notación matemática)
que especifica la operación de éstos. El álgebra
utilizada se llama álgebra boleana ó álgebra de Boole
y es una herramienta fundamental para el análisis y el
diseño.
La operación OR recibe su nombre de la conjunción
“O”. Su símbolo en el álgebra de Boole es el de la
suma del álgebra convencional (“+”) y su tabla de
verdad se muestra a continuación:
El álgebra de Boole es un sistema algebraico cerrado
que contiene elementos que pueden asumir dos estados
perfectamente diferenciados que son “0” y “1”, y tres
operaciones lógicas denominadas AND, OR y
complemento.
Operación AND
La operación AND recibe su nombre de la conjunción
“Y”. Su símbolo en el álgebra de Boole es el de la
multiplicación del álgebra convencional (“·”).
Podríamos definir una operación mediante una tabla
que exprese el resultado de la operación frente a cada
posible combinación que puedan asumir los
operadores. Esta tabla se denomina tabla de verdad
(truth table). La siguiente tabla de verdad expresa la
operación AND entre los operadores x e y:
x
0
0
1
1
y
0
1
0
1
x⋅ y
0
0
0
1
Nótese en la tabla que la función x ⋅ y es igual a “1”
solamente cuando la variable x es igual a “1” y la
variable y es igual a “1”.
x
0
0
1
1
y
0
1
0
1
x+ y
0
1
1
1
Nótese en la tabla que la función x + y es igual a “1”
cuando la variable x es igual a “1” o la variable y es
igual a “1”.
En forma genérica, en una operación con n operadores
la función OR será igual a “1” cuando uno ó más de los
operadores son igual a “1”.
Complemento
El complemento de una variable que es igual a “0” es
“1” y el de una variables que es igual a “1”, es “0”. El
símbolo del complemento de una variable x es x y se
lee “x negado”.
El complemento de una variable x se muestra en la
siguiente tabla de verdad:
x
x
0
1
1
0
En forma genérica, en una operación con n operadores
la función AND será igual a “1” solo si todos los
operadores son igual a “1”, por éste motivo a la
operación AND se le llama también “todo o nada”.
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Propiedades del álgebra de Boole
Leyes y teoremas del álgebra de Boole
El álgebra de Boole reúne diversas propiedades que
nos permitirán manipular ecuaciones lógicas.
A continuación se expresan las más importantes leyes y
teoremas del álgebra de Boole, con sus
correspondientes demostraciones :
1. Conmutatividad
a)
b)
x+ y = y+ x.
x⋅ y = y⋅ x.
1. Teorema de idempotencia
a)
x+ x = x .
x+x = x
0+0 = 0
1+1 = 1
x
0
1
2. Distributividad
a)
b)
x ⋅ (y + z) = x ⋅ y + x ⋅ z .
x + y ⋅ z = (x + y ) ⋅ (x + z ) .
b)
x⋅x = x .
x
0
1
3. Asociatividad
x + ( y + z ) = (x + y ) + z .
b) x ⋅ ( y ⋅ z ) = (x ⋅ y ) ⋅ z .
x⋅ x = x
x ⋅0 = 0
x ⋅1 = 1
a)
4. Identidad
2. Teorema de los elementos dominantes
a)
x +1 = 1.
a) 0 + x = x .
b) 1 ⋅ x = x .
5. Para cada elemento x del álgebra, existe un
b)
b) 1 = 0 .
x + x = 1.
b) x ⋅ x = 0 .
a)
0
1
0 +1=1
1+1 = 1
x
x ⋅0
0 ⋅0 = 0
1⋅ 0 = 0
0
1
0 =1.
6. Axiomas del complemento
x +1
x ⋅0 = 0 .
elemento denominado x (complemento), tal que:
a)
x
3. Ley involutiva
x = x.
x
x
x
0
1
1
0
0
1
Página 12 de 44
4. Teorema de absorción
6. Leyes de De Morgan
x+ x⋅ y = x
a)
x
0
0
1
1
y
0
1
0
1
x⋅ y
x + x⋅ y
0
0
0
1
0
0
1
1
x ⋅ (x + y ) = x
b)
x
y
x+ y
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
x ⋅ (x + y )
0
0
1
1
x
y
x+ y
x
x⋅ y
x+ x⋅ y
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
x+ y
x⋅ x + y
1
1
0
1
0
0
0
1
(
)
x
y
x⋅ y
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
y
x+ y
x
y
x⋅ y
x⋅ y
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
1
b)
x+ x⋅ y = x+ y
b)
x
En general: x + y + z + .... = x ⋅ y ⋅ z ⋅ ....
5. Teorema del consenso
a)
x+ y = x⋅ y
a)
x⋅ y = x + y
x
y
x⋅ y
x
y
x+ y
x+ y
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
0
0
1
En general: x ⋅ y ⋅ z ⋅ .... = x + y + z + ....
x⋅ x + y = x⋅ y
x
1
1
0
0
(
)
Página 13 de 44
Compuertas lógicas
La importancia del álgebra de Boole en los Sistemas
Digitales es que ésta se puede asociar con los circuitos
eléctricos y electrónicos que operan bajo régimen de
conmutación. El elemento básico de los circuitos
lógicos digitales se llama compuerta lógica (logic
gate). Una compuerta lógica es un circuito electrónico
que se usa para realizar una función boleana.
Compuerta YES
En el siguiente ejemplo, se muestra un circuito
compuesto por una batería, un pulsador normalmente
abierto (A) y una ampolleta (Y):
2. Cuando está conectada la ampolleta luce.
Consideraremos como “1” cuando la ampolleta se
encuentre bajo esta condición.
Estado de la ampolleta
No luce
Luce
Y
0
1
A partir de estas observaciones, podemos elaborar una
tabla que nos exprese qué estado asumirá la ampolleta
ante los posibles estados en que se pueda encontrar el
interruptor:
A
0
1
A
Y
0
1
Éste comportamiento podemos expresarlo en el álgebra
de Boole como:
Y=A
El símbolo usado en los circuito electrónicos digitales
para esta función se muestra en la siguiente figura y se
denomina compuerta YES:
Y
A
Estableceremos que el interruptor puede asumir
solamente dos estados:
Y
1. Cuando el interruptor está sin pulsar, éste se
encuentra abierto por lo que no conduce.
Consideraremos como “0” cuando el interruptor no
se encuentre sin presionar.
En la figura anterior, la letra “A” denota la entrada de
la compuerta y la letra “Y” denota la salida.
2. Cuando se pulsa el interruptor éste se cierra y se
establece la conducción. Consideraremos como “1”
cuando el interruptor se encuentre presionado.
Compuerta NOT
Estas dos condiciones las podríamos expresar en la
siguiente tabla:
Estado del interruptor
Sin presionar
Presionado
A continuación se presenta el circuito anterior pero
usando un pulsador normalmente cerrado:
A
A
0
1
También la ampolleta puede asumir solamente dos
estados:
Y
1. Cuando no está conectada la ampolleta no luce.
Consideraremos como “0” cuando la ampolleta se
encuentre bajo esta condición.
Página 14 de 44
Continuaremos considerando que el interruptor sin
presionar equivale a que la variable “A” sea igual a “0”
(A=0) y cuando esté presionado la variable “A” sea
igual a “1” (A=1), pero el efecto que tiene sobre “Y” es
distinto. En efecto, mientras no presionemos el
interruptor, la ampolleta lucirá y cuando lo
presionemos, la ampolleta no lucirá.
Si elaboramos una tabla de verdad ante todos los
posibles combinaciones que puedan asumir los estados
de las variables A y B, verificaremos que el
comportamiento de este circuito es análogo a la
operación Booleana AND:
A
0
0
1
1
Si lo expresamos en una tabla de verdad obtendríamos:
A
0
1
Y
1
0
Éste comportamiento se expresa en el álgebra de Boole
como:
B
0
1
0
1
Y
0
0
0
1
La expresión algebraica de ésta tabla es:
Y = A⋅ B
Y=A
El símbolo esquemático electrónico para esta función
se muestra en la siguiente figura y se denomina
compuerta NOT:
A
El símbolo esquemático electrónico se muestra en la
siguiente figura y se denomina compuerta AND:
A
Y
Y
B
Compuerta AND
En el siguiente circuito se encuentran dos pulsadores
normalmente
abiertos
conectados
en
serie.
Determinaremos cómo el comportamiento de este
circuito está asociado a una operación del álgebra de
Boole:
La operación AND se puede realizar con 2 o más
variables. Como ejemplo, se muestra el siguiente
circuito, que contiene 3 contactos normalmente
abiertos:
A
A
B
B
C
Y
Y
Analizando el circuito, verificaremos que la única
posibilidad para lograr que luzca la ampolleta es que
ambos pulsadores se encuentren presionados, es decir
Y=1 cuando A=1 y B=1.
Página 15 de 44
La tabla de verdad que muestra el comportamiento del
circuito es:
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
Y
0
0
0
0
0
0
0
1
La siguiente figura muestra el símbolo de la compuerta
lógica AND de 3 entradas:
A
B
C
Algebraicamente expresaremos:
Y = A+ B
El símbolo electrónico se muestra en la siguiente figura
y se denomina compuerta OR:
A
Y
B
Al igual que la operación AND, la operación OR puede
tener 2 o más variables de entrada.
Como ejemplo se muestra un circuito con 3 contactos
normalmente abiertos en paralelo:
Y
A
B
C
Compuerta OR
Un circuito con interruptores normalmente abierto
conectados en paralelo es equivalente a la operación
OR del álgebra de Boole:
A
B
Y
En este circuito se cumple que la salida Y será igual a
“1” cuando cualquiera o ambos interruptores se
encuentres presionados, por lo tanto su tabla de verdad
coincide con la función OR del álgebra de Boole:
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
Y
0
1
1
1
Y
La tabla de verdad que muestra el comportamiento del
circuito es:
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
Y
0
1
1
1
1
1
1
1
La siguiente figura muestra el símbolo de la compuerta
lógica OR de 3 entradas:
A
B
C
Y
Página 16 de 44
Compuertas lógicas derivadas
Mientras que las tres operaciones básicas AND, OR y
NOT son suficientes para llevar a cabo todas las
posibles operaciones y funciones lógicas, algunas
combinaciones son muy usadas, a tal grado que han
recibido su propio nombre y símbolo lógico. Éstas
combinaciones de compuertas son NAND, NOR, XOR
y XNOR, y se detallan a continuación:
El siguiente circuito lógico de contactos tiene el
comportamiento de una compuerta NAND:
A
B
Y
Compuerta NAND
El símbolo de la compuerta NAND se muestra en la
siguiente figura:
Compuerta NOR
A
Y
El símbolo de la compuerta NOR se muestra en la
siguiente figura:
B
La compuerta NAND tiene el comportamiento de una
compuerta AND cuya salida ha sido complementada.
Esto es lo que representa el círculo en el símbolo, por
lo tanto una compuerta NAND es equivalente a la
combinación entre una compuerta AND y una
compuerta NOT, como se muestra en la siguiente
figura:
A
A⋅ B
A⋅ B
B
A
Y
B
En forma análoga a la compuerta NAND, una
compuerta NOR equivale a la conexión entre una
compuerta OR y una compuerta NOT:
A
A+ B
A+ B
B
El comportamiento de la función NAND se expresa en
la siguiente tabla de verdad:
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
Y
1
1
1
0
La expresión algebraica de la compuerta NAND es:
El comportamiento de la función NOR se expresa en la
siguiente tabla de verdad:
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
Y
1
0
0
0
Y = A⋅ B
Página 17 de 44
El siguiente circuito lógico de contactos tiene el
comportamiento de una compuerta NOR:
Compuerta XNOR
A
A
B
El comportamiento de la función XOR se expresa en la
siguiente tabla de verdad:
Y
Compuerta XOR
El símbolo esquemático de la compuerta OR exclusiva
ó simplemente XOR se muestra en la siguiente figura:
A
0
0
1
1
Y
B
El comportamiento de la función XOR se expresa en la
siguiente tabla de verdad:
B
0
1
0
1
Y
0
1
1
0
La siguiente figura muestra un circuito de lógica de
contactos que realiza la función XOR:
B
0
1
0
1
Y
1
0
0
1
XNOR equivale a la conexión entre una compuerta
XOR y una compuerta NOT:
A
A
A
0
0
1
1
Y
B
A⊕ B
A⊕ B
B
La siguiente figura muestra un circuito de lógica de
contactos que realiza la función XNOR:
A
B
Y
A
B
Y
Página 18 de 44
Lógica combinacional
AND dentro de OR
En los circuitos de lógica combinacional, la respuesta a
la salida de un circuito está en función de los estados
lógicos presentes en las entrada y de la función lógica
realizada.
Circuito en lógica de contactos:
A
A continuación se muestran circuitos lógicos básicos
que valen la pena reconocer para un mejor estudio de
los Sistemas Digitales:
C
B
Y
OR dentro de AND
Circuito en lógica de contactos:
Expresión boleana:
A
B
Y = A⋅ B + C
Circuito lógico con compuertas:
C
A
A⋅ B
Y
A⋅ B + C
B
C
Expresión boleana:
Tabla de verdad:
Y = ( A + B) ⋅ C
Circuito lógico con compuertas:
A
A+ B
(A + B)⋅ C
B
C
Tabla de verdad:
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
A+ B
( A + B) ⋅ C
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
A
B
C
A⋅ B
A⋅ B + C
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
NOT dentro de AND
Circuito en lógica de contactos:
A
B
Y
Página 19 de 44
Expresión boleana:
Compuertas lógicas comerciales
Y = A⋅ B
7408 Quad 2-input AND gate
Circuito lógico con compuertas:
A
A⋅ B
B
B
VCC=14, GND=7
Tabla de verdad:
A
B
B
A⋅ B
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
4081 Quad 2-input AND gate
NOT dentro de OR
Circuito en lógica de contactos:
A
VCC=14, GND=7
B
7432 Quad 2-input OR gate
Y
VCC=14, GND=7
Expresión boleana:
Y = A+ B
4071 Quad 2-input OR gate
Circuito lógico con compuertas:
A
A+ B
B
B
Tabla de verdad:
VCC=14, GND=7
A
B
B
A+B
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
Página 20 de 44
7404 Hex inverter
7402 Quad 2-input NOR gate
VCC=14, GND=7
VCC=14, GND=7
4049 Hex inverter
4001 Quad 2-input NOR gate
VCC=14, GND=7
VCC=16, GND=8
7486 Quad 2-input XOR gate
7400 Quad 2-input NAND gate
VCC=14, GND=7
VCC=14, GND=7
4030 Quad 2-input XOR gate
4011 Quad 2-input NAND gate
VCC=14, GND=7
VCC=14, GND=7
Página 21 de 44
4077 Quad 2-input XOR gate
4078 8-input NOR gate
VCC=14, GND=7
VCC=14, GND=7
7411 Triple 3-input AND gate
4068 8-input NAND gate
VCC=14, GND=7
7410 Triple 3-input NAND gate
VCC=14, GND=7
VCC=14, GND=7
Equivalencias
Con el fin de reducir la cantidad de circuitos integrados
que conforman un circuito lógico, es válido reemplazar
algunas compuertas por otras que puedan cumplir la
misma función. A continuación se muestran algunas
equivalencias que son válidas para considerar en el
diseño de circuitos lógicos digitales:
1.
(A ⋅ B)⋅ C = A ⋅ B ⋅ C
2.
(A + B) + C = A + B + C
3.
A⋅ B ⋅ B = A⋅ B
7421 Dual 4-input NAND gate
VCC=14, GND=7
4073 Quad 3-input AND gate
VCC=14, GND=7
Página 22 de 44
4.
A+ B+ B = A+ B
VCC
12. A + 1 = A
5.
1⋅ A⋅ B = A ⋅ B
VCC
6.
A+ B+1= A+ B
7.
1⊕ A = A
VCC
8.
A⊕0 = A
9.
A⋅ A = A
10. A + A = A
11. 1 ⋅ A = A
Página 23 de 44
Mapa de Karnaugh maxterm de 4 variables
Mapas de Karnaugh
Los mapas de Karnaugh es un método gráfico para
simplificar ecuaciones de forma maxterm y minterm, a
partir de una tabla de verdad.
C+D
Mapa de Karnaugh minterm de 3 variables
C
C
A⋅ B
A⋅ B
A⋅ B
A⋅ B
C+D
C+D
Ejemplos de agrupaciones
Mapa de Karnaugh minterm de 4 variables
C⋅D
C+D
A+ B
A+ B
A+ B
A+ B
C⋅D
C⋅D
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
C⋅D
A⋅ B
A⋅ B
A⋅ B
A⋅ B
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
C
A+ B
A+ B
A+ B
A+ B
1
1
1
C
1
1
1
1
1
Mapa de Karnaugh maxterm de 3 variables
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Página 24 de 44
Códigos binarios
Ejemplo
Código BCD
Conviértase el siguiente número binario en su
equivalente BCD:
Los números BCD (Binary Coded Decimal) ó decimal
codificado en binario, son ampliamente usado en los
Sistemas Digitales con el fin de simplificar la
conversión e interpretación de números decimales
convertidos en binario y viceversa.
Conversión decimal a BCD
Para convertir un número decimal en BCD, se
reemplaza cada dígito decimal por 4 dígitos binarios
equivalentes de acuerdo a la siguiente tabla, de forma
análoga a la conversión de hexadecimal a binario.
Decimal
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
BCD
0 0
0 0
0 1
0 1
1 0
1 0
1 1
1 1
0 0
0 0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
Nótese que en la tabla anterior, no existen los binarios
1010, 1011, 1100, 1101, 1110 y 1111.
Ejemplo
Conviértase el número 6910 en su equivalente BCD:
6 9 10
0110 1001 BCD
Conversión de BCD a decimal
La conversión de un número BCD a decimal se realiza
en forma análoga a la conversión de un número binario
en hexadecimal, es decir: Se forman grupos de 4 bits y
luego se reemplaza cada grupo por un dígito decimal.
0001 1001 0110 1000 BCD
1 9 6 8 10
Nótese en el ejemplo, que si el grupo más significativo
no completa 4 dígitos, éste se debe completar con
dígitos igual a cero.
Código de Gray
Existen algunas situaciones dentro de los Sistemas
Digitales en donde es necesario que en una cuenta
binaria cambie un solo bit de estado entre números
consecutivos. Esto no sucede al usar los números
binarios estudiados hasta ahora. Como ejemplo, los
siguientes números binarios son consecutivos pero
entre uno y otro existen 3 bits que cambian de estado:
00112 a 01002.
En el código de Gray entre números consecutivos
cambia de estado solamente un bit a la vez, como se
muestra en la siguiente tabla:
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
Binario
0 0
0 0
0 1
0 1
1 0
1 0
1 1
1 1
0 0
0 0
0 1
0 1
1 0
1 0
1 1
1 1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
Gray
0 0
0 0
0 1
0 1
1 1
1 1
1 0
1 0
1 0
1 0
1 1
1 1
0 1
0 1
0 0
0 0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
Un ejemplo de aplicación del código de Gray es en el
Control de posicionamiento de máquinas ó motores, en
Página 25 de 44
donde un sistema de detectores llamados encoders
informan al Sistema de Control la posición de la
máquina ó posición angular de un servomotor.
Tabla de verdad
Inputs
A
B
L
L
L
H
H
L
H
H
Codificadores
74147 Decimal to BCD priority encoder
Outputs
Out1 Out2 Out3 Out4
H
L
L
L
L
H
L
L
L
L
H
L
L
L
L
H
7442 BCD to decimal decoder
Outputs
Inputs
1
H
X
X
X
X
X
X
X
X
L
2
H
X
X
X
X
X
X
X
L
H
3
H
X
X
X
X
X
X
L
H
H
4
H
X
X
X
X
X
L
H
H
H
5
H
X
X
X
X
L
H
H
H
H
6
H
X
X
X
L
H
H
H
H
H
7
H
X
X
L
H
H
H
H
H
H
8
H
X
L
H
H
H
H
H
H
H
9
H
L
H
H
H
H
H
H
H
H
D
H
L
L
H
H
H
H
H
H
H
C
H
H
H
L
L
L
L
H
H
H
Decodificadores
Decodificador básico de 2 a 4 líneas
A
Out1
B
Out2
Out3
B
H
H
H
L
L
H
H
L
L
H
A
H
L
H
L
H
L
H
L
H
L
Tabla de verdad
BCD inputs
A3 A2 A1 A0 0
L
L
L
L L
L
L
L H H
L
L H L H
L
L H H H
L H L
L H
L H L H H
L H H L H
L H H H H
H L
L
L H
H L
L H H
H L H L H
H L H H H
H H L
L H
H H L H H
H H H L H
H H H H H
Decimal outputs
1
H
L
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
2
H
H
L
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
3
H
H
H
L
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
4
H
H
H
H
L
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
5
H
H
H
H
H
L
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
6
H
H
H
H
H
H
L
H
H
H
H
H
H
H
H
H
7
H
H
H
H
H
H
H
L
H
H
H
H
H
H
H
H
8
H
H
H
H
H
H
H
H
L
H
H
H
H
H
H
H
9
H
H
H
H
H
H
H
H
H
L
H
H
H
H
H
H
Out4
Página 26 de 44
Decodificadores BCD a 7 segmentos
Tabla de verdad
Display de 7 segmentos
a
b
f
g
e
DISPLAY CÁTODO COMÚN
d
c
DISPLAY ÁNODO COMÚN
a
a
b
b
c
c
d
d
e
e
f
f
g
g
COM
Pines de Control
COM
4511 BCD to 7 seg decoder/driver
BI (Blanking Input): Cuando esta entrada es activa
todos las salidas pasan a un nivel inactivo.
LT (Lamp Test): Cuando esta entrada es activa, todos
las salidas son activas.
LE (Latch Enable): Cuando esta entrada es inactiva, en
la salida permanecerá el número decodificado que
estaba presente en la entrada en el instante en que LE
pasara de estado activo a inactivo.
Driver significa que las salidas son capaces de entregar
en sus salidas suficiente corriente para encender los
LEDs.
Página 27 de 44
Decodificador para display cátodo común
LT (Lamp Test) Cuando esta entrada se activa, todos
los segmentos se encienden.
RBI (Ripple Blanking Input): Entrada para conexión en
cascada del Blanking Input. La utilidad consiste en no
encender los display que contienen ceros a la izquierda
del número.
Multiplexores
Multiplexor de 4 a 1 líneas
A
B
D1
Cálculo de las resistencias
+ V − VD
R=
ID
Si usamos valores prácticos como:
VD=1,5V.
ID=10mA.
entonces:
R = 100 ⋅ ( +V − 1,5 )Ω
Out
D2
D3
D4
Tabla de funcionamiento
Entradas
A
B
0
0
0
1
1
0
1
1
Salidas
Out
D1
D2
D3
D4
Esquema equivalente al multiplexor
7447 BDC to 7 seg decoder/driver
(display ánodo común)
D1
D2
D3
D4
A
0
A
0
B
1
A
1
B
0
A
1
B
0
Out
B
1
Cronograma de una transmisión
Terminales de Control
BI (Blanking Input): Cuando esta entrada está activa,
todos los segmentos se apagan.
Página 28 de 44
A
Demultiplexores
B
D1
Demultiplexor de 1 a 4 líneas
D2
D3
A
D4
B
Out
D1
D
D1
D2
D3
D4
D2
D3
D4
Tabla de funcionamiento
Entradas
A
B
0
0
0
1
1
0
1
1
D1
D
0
0
0
Salidas
D2
D3
0
0
D
0
0
D
0
0
D4
0
0
0
D
74LS138 Decodificador / Demultiplexor de
3 a 8 líneas
74138 Diagrama interno
Página 29 de 44
74138 Tabla de funcionamiento
74154 Decodificador / Demultiplexor
Tabla de funcionamiento
Página 30 de 44
Circuitos comparadores
Circuitos sumadores
7485 Comparador de magnitud de 4 bits
Semisumador (Half-adder)
Half adder
A
B
Σ
Cout
Tabla de sumar 2 bits
A
B
Cout
Σ
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
Circuito comparador de 8 bits
Σ = A⊕ B
Cout = A ⋅ B
Circuito lógico de un semisumador
A
B
Σ
Cout
Sumador completo (Full-adder)
A
0
0
0
0
1
1
1
1
Tabla de sumar 3 bits
B
Cin
Cout
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
Σ
0
1
1
0
1
0
0
1
Página 31 de 44
Circuito sumador completo
Circuito sumador de 8 bits
Full adder
Half adder
Cin
A
B
Half adder
A
B
A
B
Σ
Σ
Cout
Σ
Cout
Cout
Full adder
A
B
Cin
Σ
Cout
Circuito sumador de 4 bits
A3 B3
A2 B2
A1 B1
A0 B0
A B Cin
A B Cin
A B Cin
A B
FA
Cout Σ
Σ4
FA
FA
Cout Σ
Σ3
HA
Cout Σ
Σ2
Σ1
Cout Σ
Circuito subtractor de 4 bits
Σ0
7483 4-Bit Full-adder.
10
8
3
1
11
7
4
16
13
A1
A2
A3
A4
Σ1
Σ2
Σ3
Σ4
9
B1
B2
B3
B4
Cout
14
6
2
15
Cin
A minus B =A plus B plus C
in
Σ=A plus B plus
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Circuito sumador/subtractor de 4 bits
Control
Function
0
1
A plus B
A minus B
74181 Unidad aritmética / lógica (ALU)
(Aritmetic Logic Unit)
Página 33 de 44
Flip-flops
Tabla de funcionamiento
Lógica combinacional y lógica secuencial
S
R
Q
Q
En los circuitos de lógica combinacional, los estados
que adquieren las salidas está en función de los estados
de las entradas y de la operación realizada por el
circuito.
Dentro
de
los
circuitos
lógicos
combinacionales se encuentran los circuitos
comparadores,
sumadores,
codificadores,
decodificadores, multiplexores y demultiplexores entre
otros.
L
L
H
H
L
H
L
H
Qn
L
H
L
Qn
En los circuitos lógicos combinacionales se cumple
que para cierta combinación de estados de entrada el
estado esperado en las salidas será siempre igual.
En los circuitos lógicos secuenciales los estados en las
salidas no solo dependen de la combinación de los
estados de las entradas y de la función realizada si no
que además, depende de la secuencia en que estas
cambian de estado. Entonces, para una misma
combinación de los estados de entrada, pueden existir
diferentes estados en las salidas. Todo depende de la
secuencia de cambios de los estados de las entradas.
Los flip-flops son los elementos fundamentales de la
lógica secuencial y son unidad básica para formar los
circuitos contadores, registros y memorias.
Qn y Qn son los estados de Q y Q respectivamente,
antes de presentarse las condiciones indicadas.
Cronograma para un flip-flop SR NOR
S
R
Q
Q
Flip-flop SR NAND
Circuito lógico
S
Flip-flop SR NOR
Circuito lógico
H
L
L
Acción
Memory
Reset
Set
Indeterminada
Q
Q
R
Símbolo lógico del flip-flop NAND
Tabla de funcionamiento
Símbolo lógico del flip-flop NOR
Acción
S
R
Q
Q
L
L
L
H
Qn
L
Qn
H
H
L
H
L
Reset
H
H
L
L
Memory
Indeterminada
Set
Cronograma para un flip-flop SR NAND
Página 34 de 44
Circuito lógico
S
PR
R
S
Q
Q
CLK
Q
Q
R
CLR
Flip-flop SR síncrono
Este flip-flop permite conmutar las salidas solamente
con la presencia de una señal de sincronismo
denominada reloj ó clock (CLK).
Símbolo lógico
S
R
CLK
S
Q
R
R
Q
Símbolo lógico
S
Q
CLK
R
Q
Tabla de funcionamiento
Q
CLK
Circuito lógico
S
PR
CLR
Q
Tabla de funcionamiento
CLK
S
R
PR
CLR
Q
Q
X
L
L
L
L
Qn
Qn
H
H
L
L
L
H
L
H
L
H
L
L
L
H
L
X
X
H
L
H
L
L
X
X
L
H
L
H
H
H
H
X
X
L
L
X
X
X
H
H
L
L
Flip-flop tipo D
CLK
S
R
Q
Q
H
H
L
L
L
H
Qn
L
Qn
H
H
H
L
H
L
H
H
H
L
L
L
X
X
Qn
Qn
En el flip-flop tipo D (Data), con el flanco de la señal
de sincronismo, la salida Q adquirirá el estado de la
entrada D.
Circuito lógico
Flip-flop SR síncrono con preset y clear
Este es un flip-flop SR síncrono al que se la han
incorporado dos nuevas entradas asíncronas,
denominadas preset (PR) y clear (CLR). Con estas
nuevas entradas se puede “setear” ó “resetear” las
salidas en forma independiente de la señal de
sincronismo.
Símbolo lógico
Página 35 de 44
Tabla de funcionamiento
Tabla de funcionamiento
CLK
D
Q
Q
J
K
CLK
Q
Q
Acción
L
X
Qn
Qn
L
L
↑
Qn
Qn
H
L
L
H
L
H
↑
L
H
H
H
H
L
H
L
↑
H
L
Memoria
Reset
Set
Toggle
Memoria
Memoria
H
H
↑
Qn
Qn
Flip-flop J-K
X
X
H
Qn
Qn
Produciendo la realimentación desde las salidas hasta
unas nuevas entradas en un flip-flop S-R síncrono, se
puede lograr que cuando ambas entradas (set y reset)
sean activas, no se produzca el estado no permitido (Q
y Q . Lo que sucede bajo estas condiciones de entrada,
es que las salidas adquieren los estados contrarios a los
que existían antes de presentarse estas condiciones.
Este modo de operar se denomina toggle.
X
X
L
Qn
Qn
Qn y Qn son los estados de Q y Q respectivamente,
antes del flanco ascendente de la entrada CLK.
4027 Dual edge triggered J-K flip-flop
En este flip-flop, la entrada set se denomina “J” y la
entrada reset “K”.
Símbolo lógico
J
Q
7476 dual edge triggered J-K flip-flop
CLK
K
Q
Tabla de funcionamiento
J
K
CLK
Q
Q
L
L
H
Qn
Qn
L
H
H
L
H
H
L
H
H
L
H
H
H
Qn
Qn
SD
CD
X
X
L
Qn
Qn
L
H
L
H
H
H
H
H
L
L
H
H
H
H
Flip-flop J-K disparado por flanco
El flip-flop J-K disparado por flanco (Edge triggered JK flip-flop) se aprovechan los retardos producidos por
la propagación de las compuertas con que está
constituido para cambiar los estados de las salidas solo
con un flanco de la entrada de reloj.
Tabla de funcionamiento
J
K
Q
Q
X X
X X
X X
h h
l h
h l
l l
H
L
H
L
H
H
Qn
H
L
Qn
L
H
Qn
Qn
Operación
Preset
Clear
Indeterminada
Toggle
Reset
Set
Memoria
Las letras con minúscula (l, h) indican el estado de la
entrada referenciada en el instante anterior a la
transición de alto a bajo de la señal de reloj.
Página 36 de 44
tendremos que por cada flanco descendente de Q0,
existirá solo un cambio de estado.
Contadores
La operación en el modo toggle del flip-flop J-K es
fundamental para el funcionamiento de los circuitos
denominados contadores, puesto que con esta manera
de conmutar se logra “contar” en binario los impulsos
del reloj y/o dividir frecuencia.
En el siguiente cronograma, se muestra la conmutación
en la salida Q con los flancos del reloj , cuando un flipflop J-K está en el modo toggle (nótese que la entrada
de reloj es bajo activa por lo que la salida Q cambiará
con los flancos descendentes de CLK).
CLK
Q
1 ciclo de
CLK
1 ciclo de Q
2 ciclos de CLK
Del cronograma anterior se puede desprender que:
1. Las conmutaciones de Q sólo se producen con el
flanco descendentes de CLK.
2. El período de la señal de salida Q tiene el doble de
tiempo que la señal de entrada CLK, por lo que la
salida Q tiene la mitad de la frecuencia que CLK.
3. Por cada dos ciclos de CLK solo se obtiene un
ciclo en la salida Q.
En el siguiente circuito se han conectado dos flip-flops
J-K en modo toggle y en cascada, es decir, la salida Q
del primero se conecta a la entrada CLK del segundo.
H
J
H
K
H
J
H
K
Q
Q0
Q
Q1
En la salida Q0, encontraremos que por cada flanco
descendente de la señal CLK, de entrada, se producirá
solo un cambio de estado. La salida Q0 es la entrada
CLK del siguiente flip-flop por lo que en la salida Q1
CLK
Q0
Q1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Se puede completar una tabla con los estados de las
salidas en los diferentes períodos de la señal CLK:
Período
Entre instantes 0 y 1
Entre instantes 1 y 2
Entre instantes 2 y 3
Entre instantes 3 y 4
Entre instantes 4 y 5
Entre instantes 5 y 6
Entre instantes 6 y 7
Entre instantes 7 y 8
Entre instantes 8 y 9
Q1
L
L
H
H
L
L
H
H
L
Q0
L
H
L
H
L
H
L
H
L
Nótese que en cada período se presentan Q0 y Q1
como un número binario de dos bits que al siguiente
período se incrementa en 1. La cuenta se incrementa
hasta alcanzar el máximo con solo dos bits y luego se
reinicia desde cero, indefinidamente.
Esta forma de contar, donde la cuenta máxima
corresponde a todas las salidas en estado alto y luego la
cuenta es cero, se denomina cuenta natural.
En Q0 podemos encontrar la frecuencia del reloj
dividida en 2 y en Q1 está dividida por 4.
Conectando varios flip-flops J-K, en modo toggle en
cascada se logran los circuitos contadores, cuya cuenta
máxima depende de la cantidad de flip-flops que
contenga. Este tipo de contadores se denominan
contadores asíncronos (ripple counters). Los
contadores asíncronos, tienen limitaciones en la
velocidad de operación y se caracterizan porque la
salida de un flip-flop J-K sirve como señal de reloj para
el siguiente. Esto produce latencias debidas a los
tiempos de propagación de cada flip-flop que van en
aumento en la medida que aumenta la cantidad de flipflop utilizados, haciendo que aparezcan, en algunos
instantes, pulsos imprevistos (glitch) que no
corresponden a la cuenta correcta.
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Circuito interno equivalente de cada contador
Algunos ejemplos de éstos son los TTL 7490, 7493,
74193 y los CMOS 4020, 4040 y 4518 entre otros.
H
J
H
K
H
J
La cuenta máxima en decimal que puede alcanzar un
contador se puede determinar mediante la siguiente
ecuación:
H
K
H
J
C10 = 2n –1
H
K
Donde:
C10: es la cuenta máxima decimal.
n: es la cantidad de flip-flops que contiene el contador.
H
J
H
K
Se pueden conectar circuitos integrados contadores en
cascada con el fin de obtener cuentas superiores a la
que puede llegar un circuito por si solo.
Condensador de desacoplo
Cabe señalar que los circuitos integrados de lógica
secuencial como los flip-flops, contadores, registros de
desplazamientos y memorias entre otros, siempre
deben llevar en paralelo a sus terminales de
alimentación, un capacitor de 100nF, para desacoplar
los ruidos que se puedan transmitir por los conductores
de la alimentación.
CLK
EN
Q
Q0
CLR
R
Q1
Q
CLR
Q
Q2
CLR
Q
Q3
CLR
4040 Contador binario asíncrono
Contadores síncronos
En los contadores síncronos, la señal de reloj se aplica
simultáneamente a cada flip-flop, siendo el tiempo de
propagación igual en cada salida, permitiendo
frecuencias de reloj superiores a las que permiten los
contadores asíncronos.
7493 Contador binario asíncrono
Circuitos integrados contadores
4520 Doble contador binario asíncrono
Página 38 de 44
Circuito interno equivalente
H
J
H
K
H
J
H
K
H
J
H
K
H
J
H
K
7490 Decade counter
Q
Q0
CLK0
CLR
Q
Q1
Este circuito integrado contiene un flip-flop J-K que
solamente divide por 2 y otros 3 flip-flops J-K que
están programados para dividir por 5. Normalmente se
juntan estos con el fin de obtener un contador decimal.
CLK1
MR1
CLR
Q
Q2
CLR
MR2
Q
Q3
GND=10; VCC=5.
CLR
Contadores conectados en cascada
Contadores de décadas
Los contadores de décadas (decade counters) están
programados para contar, con 4 bits, una década
decimal (0~9) o, que es lo mismo, una cuenta BCD.
Básicamente, para ampliar la capacidad de un circuito
contador, basta con conectar dos o más contadores
como se muestran en las siguientes figuras:
4518 Dual decade counter
Diagrama de tiempo
CLK
EN
Q0
Q1
Q2
Q3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4
Página 39 de 44
Los terminales reset se unen para formar una señal de
control reset en común. La cascada se realiza
conectando el bit más significativo del primer
contador, a la entrada de reloj del segundo contador. Se
pueden conectar tantos contadores como se necesite,
tomando en consideración que al estar conectados en
cascada (ripple) se producirán mayores retardos de
propagación que limitarán su funcionamiento con altas
frecuencias de reloj. Para evitar los problemas
mencionados anteriormente, se deben usar contadores
síncronos.
EJEMPLO:
El siguiente contador (4040) está programado para
contar hasta MSB1012 (510). La programación se
realiza decodificando el numero MSB1102 (610)
mediante la utilización de una compuerta AND.
En la siguiente figura se muestran dos contadores BCD
conectados para contar hasta el número 9910. Nótese
como el bit más significativo del dígito menos
significativo (LSD) es usado como entrada de reloj
para el siguiente contador.
Solo cuando Q2 y Q3 sean nivel alto, la salida de la
compuerta será nivel alto y realizará un reset a IC1, por
lo que la cuenta siguiente será cero, entonces la salida
de la compuerta será nivel bajo. Esto nos dice que la
salida de compuerta será nivel alto solo durante un
pequeño intervalo de tiempo y que su duración
depende de los tiempos de propagación de ambos
circuitos integrados.
En Q3 encontraremos un ciclo completo por cada 6
ciclos completos de la señal entrante de reloj.
Recuerde que el CI 4518 tiene una entrada alto-activa
de reloj y una entrada de habilitación que es utilizada
como entrada de reloj bajo-activa.
Diagrama de tiempo
CLK
Q1
Programación de contadores
La programación de contadores es necesaria para el
funcionamiento
de
circuitos
como
relojes,
temporizadores y otros en donde es necesario dividir
frecuencia.
Q2
Q3
Cuenta
0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2
La idea es que la máxima cuenta del contador se
diferente (siempre menor) a la cuanta máxima de
acuerdo con la cantidad de flip-flops que contenga.
La programación de contadores se realiza mediante la
decodificación de un número con los bits de salida.
Este número debe ser una unidad mayor que el de la
cuenta a la que se requiere alcanzar.
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Contadores síncronos
74193 Sincronous Up/Down binary counter
GND=10; VCC=5.
Circuito lógico
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Este es un contador binario ascendente y descendente síncrono. La cuenta ascendente se produce cuando la señal de
reloj (clock) es aplicada en el terminal señalado como CPU (Count Pulse Up). La cuenta es descendente cuando la señal
de reloj se aplica en la entrada CPD (Count Pulse Down). Ambas entradas de sincronismo trabajan con la transición de
bajo a alto de la señal de sincronismo, por lo que si es necesario mantenerlas inactivas se deben dejar en nivel bajo.
La entrada MR (Master Reset) es una entrada asíncrona que limpia el contador, es decir que todas las salidas pasan a
nivel bajo.
La entrada PL (Parallel Load) es asíncrona y realiza la "carga paralela" es decir que el número presente en las entradas
D0 a D3 es traspasado a las salidas Q0 a Q3 respectivamente. Esto se hace con el fin de poder contar a partir de un
número preestablecido en las entradas D0 a D3.
Las salidas TCU (Terminal Count Up) - que equivale a un carry- y TCD (Terminal Count Down)- que equivale a un
borrow- se usan para la conexión en cascada.
Tabla de funcionamiento
Diagrama de tiempo
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Conexión en cascada de 2 contadores reversibles
Con la conexión que se muestra a continuación, se puede contar reversiblemente entre 010 y 25510. Si se desea contar
en BCD se pueden reemplazar los circuitos integrados por el 74192 (Sincronous Reversible Decimal Counter),
entonces la cuenta puede estar comprendida entre 0010 y 9910.
Página 43 de 44
Bibliografía
www.modelo.edu.mx/univ/virtech/prograc/cbyn01.htm
www.ulbrajp.com.br/~tecnobyte/sisnum1.htm
www.ing.ula.ve/~araujol/sd/clases/clases.htm
www.play-hookey.com/digital/basic_gates.html
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