UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DEL YARACUY PROGRAMA DE EDUCACION SEMIPRESENCIAL CIENCIA DEL DEPORTE CURSO INTRODUCTORIO - MATEMÁTICA- GUIA DIDACTICA Geometría Básica Autor: Prof. Dennar Oropeza San Felipe, Julio 2010 UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DEL YARACUY PROGRAMA DE EDUCACION SEMIPRESENCIAL CIENCIA DEL DEPORTE CURSO INTRODUCTORIO - MATEMÁTICA- GUIA DIDACTICA Geometría Básica Datos de Identificación Elaborado por: Dennar Oropeza e-mail: [email protected]; Fecha Elaboración: Julio de 2010 Fecha de Última Actualización: Julio de 2010 Matemática – Geometría Básica- 2 ◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Tabla de Contenidos Introducción ................................................................................................................................ 3 Contenidos………… ................................................................................................................... 4 Desarrollo del Aprendizaje ........................................................................................................ 4 1. La Geometría .................................................................................................................. 4 2. Sistema de Medidas ....................................................................................................... 5 3. Elementos básicos ........................................................................................................... 8 4. Las Figuras Planas ..........................................................................................................11 4.1. Polígonos ..................................................................................................................11 El Triángulo ................................................................................................................12 Los Cuadriláteros ......................................................................................................14 4.2. Círculo y Circunferencia .......................................................................................17 El Círculo, la circunferencia. ...................................................................................17 5. Los cuerpos geométricos. ............................................................................................19 5.1 Prismas ......................................................................................................................19 5.2. Cilindros ....................................................................................................................20 5.3. Pirámides ..................................................................................................................21 5.4. Conos .......................................................................................................................22 5.5. Esferas .......................................................................................................................23 Referencias Bibliográficas .......................................................................................................25 Introducción En esta parte del curso, te invitamos a repasar acerca de las figuras geométricas y la determinación de áreas y volúmenes. Sólo espero tu emoción por aprender y sea tú quien lo propicie En ti está el lograr el aprendizaje, si con entusiasmo estudias esta guía. Cualquier duda o interés en particular, puedes escribir un correo electrónico a tu facilitador. Entonces, a ESTUDIAR!!!! Objetivos Específicos. Luego de culminar esta unidad de estudio, amigo estudiante serás capaz de: Identificar las principales figuras geométricas en el plano y en el espacio. Determinar perímetros, áreas y volúmenes de las figuras estudiadas. Matemática – Geometría Básica- 3 ◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Contenidos 1. La Geometría 2. Sistema de Medidas 3. Elementos básicos 4. Las Figuras Planas 4.1. Polígonos El Triángulo. Tipos. Perímetro y Área Los Cuadriláteros. Tipos. Perímetro y Área 4.2. Círculo y Circunferencia. Elementos. Perímetro y Área 5. Los cuerpos geométricos 5.1 Prismas. Área y Volumen 5.2. Cilindros. Área y Volumen 5.3. Pirámides. Área y Volumen 5.4. Conos. Área y Volumen 5.5. Esfera. Área y Volumen Desarrollo del Aprendizaje 1. La Geometría Históricamente la Geometría es una de las más antiguas ciencias. Originariamente, formaba un conjunto de conocimientos prácticos relacionados longitudes, áreas y volúmenes. En el Antiguo Egipto estaba muy desarrollada, según los textos de Heródoto, Estrabón y Diodoro Sículo. Euclides, en el siglo III a. C. configuró la geometría en forma axiomática, tratamiento que estableció una norma a seguir durante muchos siglos: la geometría euclidiana descrita en “Los Elementos. El estudio de la astronomía y la cartografía”, tratando de determinar las posiciones de estrellas y planetas en la esfera celeste, sirvió como importante fuente de resolución de problemas geométricos durante más de un milenio. Mientras que René Descartes desarrolló simultáneamente el álgebra y la geometría, donde curvas planas, podrían ser representadas analíticamente mediante funciones y ecuaciones. La geometría fue enriquecida con la estructura intrínseca de los entes geométricos que analizan Euler y Gauss, dando origen a la topología y la geometría diferencial. Para indagar más, revisa http://es.wikipedia.org/wiki/Los_Elementos Matemática – Geometría Básica- 4 ◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π La geometría es la parte de las matemáticas que estudia las propiedades y las medidas de las figuras en el plano o en el espacio. En esta guía estudiaremos algunas formas geométricas: Las formas geométricas planas: Recta y Polígonos: Triángulo, Cuadrilátero; y algunas formas geométricas espaciales como: Superficies de revolución: Paralelepípedo, Cilindro, Cono y Esfera. 1. Sistema de Medidas Para hablar de medidas, definamos Medir. Desde el punto de vista físico, medir una magnitud física es comparar cierta cantidad de esa magnitud con otra cantidad en función de la unidad patrón. En este caso se harán medidas y determinaciones de longitud, superficie y volumen; y el sistema a emplearse es el Sistema Métrico Decimal, donde la unidad es el metro (m) se multiplicar o dividir por la potencia de 10 respectivo, según sean los múltiplos o submúltiplos. No obstante, existen otros sistemas de medición como el inglés y por supuesto las unidades de conversión que permiten llevar los valores medidos o calculados de un sistema a otro. En cuanto a medidas de longitud, el Sistema Métrico Decimal es: Submúltiplos Múltiplos Ejemplo: Una longitud de 3 m para convertirlo en cm. Solución: 3 m . 100 cm 300 cm = ✔ 1m Una longitud de 246 hm para convertirlo en Km. Solución: Es más fácil emplear factores de conversión que colaboran con la visualización de las unidades En este caso la conversión es una 246 hm . 1 Km 24,6 Km división. 10 hm = Al determinara áreas de superficies, la unidad principal es el metro cuadrado (m2) en el sistema métrico decimal y para calcular superficies Matemática – Geometría Básica- 5 ◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π mayores y menores que el m2, se emplean múltiplos y submúltiplos, que aumentan o disminuyen de 100 en 100 respectivamente. Múltiplos de metro cuadrado Submúltiplos del metro cuadrado En cuanto a las medidas agrarias, las superficies de campo tienen como referencia un cuadrado de 100 m de lado, así; Ejemplo: Un terreno de 24 dam2 y convertirlo en dm2 Solución: 24 dam2 . 102 m2 . 102 dm2 24*100 * 100 dm2 240.000 dm2 2,4x105 dm2 ✔ = = = 2 2 1 dam 1m Y en relación al cálculo de volumen, éste se mide por el metro cúbico (m3) y las unidades de los múltiplos y submúltiplos en el sistema métrico decimal varían de 1000 en 1000 según el caso: Múltiplos de metro cúbico Submúltiplos de metro cúbico Las unidades de volumen y capacidad se relacionan, empleando para ello al agua como referencia: 1 Litro (L) de Agua @ 4 °C tiene una masa de 1 Kg y ocupa un volumen de 1 dm3, o que es equivalente o lo que es equivalente: 1 mL de Agua @ 4 °C tiene una masa de 1g y ocupa un volumen de 1 cm3, Matemática – Geometría Básica- 6 ◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Por eso 1 L es equivalente a 1 dm3, y 1mL es equivalente a 1 cm3 Ejemplo: Un cubo que ocupa un espacio de 230 cm3, se necesita revisarlo en m3 Solución 230 cm3 . 103 dm3 . 103 m3 1 cm3 1 dm3 = 230*1000 *1000 m3 = 230.000.000 m3 = 2,3x108 m3 ✔ En otros sistemas de unidades: Longitud Superficie Volumen Matemática – Geometría Básica- 7 ◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Actividad de Control: Convierte estos valores en las unidades indicadas 100 m a cm 3,56782 mm a km 1245,768 dm2 a m2 0,00000657483 hm2 a dam2 0,030378 m3 a dm3 0,030378 mm3 a cm3 776,009 pies a m 1269,0 cm a pulg 654,00 pulg2 a pie2 900000 m2 a yardas2 10 m3 a galón3 34,98 L a m3 3. Elementos básicos Para la comprensión y posterior cálculos de medidas, es necesario aclarar algunos aspectos: El Punto, es la unidad indivisible de la geometría. Un punto sólo tiene posición en el espacio y no tiene dimensión (largo, alto, ancho). La Línea, es una figura geométrica que se genera por un punto en movimiento. Línea recta L. Si el punto se mueve sin cambiar de dirección, entonces es una línea recta. Notación: Una Línea curva se obtiene si el punto cambia continuamente de dirección. Notación: Una línea puede ser recta, curva o combinada y puede extenderse en forma ilimitada. Un Rayo es una Línea recta que crece en un solo sentido y una dirección. Notación: Matemática – Geometría Básica- 8 ◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Un Trazo es una línea segmentada caracterizada por dos puntos terminales y se le asocia una dimensión (longitud) Notación: El Plano, un plano es una superficie que tiene longitud y anchura pero no espesor, por lo tanto tiene dos dimensiones a diferencia de la mayoría de los casos que nos rodean que están en tres dimensiones. De esta forma, la geometría plana sirve para estudiar triángulos, cuadriláteros, circunferencia, círculo. El Ángulo, es el espacio que existe por la formación de dos semirectas que parten de un mismo punto. Las semirectas se llaman lados y el punto común vértice. Notación: Un ángulo se denota de la siguiente forma: Una letra mayúscula en el vértice. Una letra griega o un símbolo en la abertura. Tres letras mayúsculas. Para medir los ángulos se emplean varios sistemas, entre ellos el Sistema sexagesimal que divide la circunferencia en 360 partes iguales y cada una de estas partes constituyen un grado sexagesimal. Además, uno de estos grados se divide en 60 partes iguales (60’) que corresponden, cada una de ellas, a un minuto; a su vez el minuto se divide nuevamente en 60 partes iguales (60") correspondiendo cada una de estas partes a un segundo. Otro de los sistemas empleados para medir los ángulos es el Sistema Radial, donde se usa el valor del irracional con unidades en radianes que hace equivalencia con los grados sexagesimales: radianes equivalen a 180° Para medir un ángulo se hace contra el movimiento de las manecillas de un reloj, considerándose en este caso, un ángulo Matemática – Geometría Básica- 9 ◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π positivo. En función de la abertura se pueden obtener varios tipos de ángulos: Cóncavo 0° < < 180° Recto: Agudo: 0° < = 90° Obtuso: 90° < < 90° < 180° Ángulo obtuso está comprendido entre 90° y 180°, no incluyendo estos valores. Convexo: 180° < < 360° Extendido o Llano: = 180° Completo = 360° Los ángulos también se encuentran en pareja: Ángulos adyacentes: Son ángulos que tienen un lado común y los otros dos pertenecen a la misma recta. Ángulos consecutivos, son ángulos que tienen un lado común y el mismo vértice. <BAC es adyacente con <DAC Ángulos opuestos por el vértice, si dos líneas que se intersectan generan ángulos opuestos por el vértice; son ángulos no adyacentes <1, <2, <3 y <4 ; y son ángulos congruentes: <1 = <2 y <3 = <4 Matemática – Geometría Básica- 10 ◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Ángulos complementario, es un tipo especial de ángulo adyacente cuya particularidad es que suman 90°. Así, el <BAC es adyacente al <DAC y viceversa. . Ángulos suplementarios, es un tipo especial de ángulo adyacente cuya particularidad es que suman 180°. . De esta forma al <DAC y viceversa. <BAC es adyacente 4. Las Figuras Planas Las figuras planas son aquellas cuyos puntos están en un plano; esto es, tienen anchura y altura, siendo las más complejas: los polígonos, que son figuras planas cerradas, definidas por segmentos; y los círculos que son figuras planas cerradas demarcadas por una sola línea llamada circunferencia. En estas figuras se determina el Perímetro (P) que es la longitud de la línea que rodea a la figura plana correspondiente a la suma de las longitudes de los lados; y el Área (A) que es la porción de plano ocupada por la figura. 4.1. Polígonos Un polígono es una figura plana cerrada formada por segmentos rectilíneos y sus elementos son: Lado (cada segmento que forma la línea poligonal) Vértice (cada extremo de los lados del polígono) Ángulo (es el formado por dos lados consecutivos en el interior del polígono Diagonal (es el segmento que une dos vértices no consecutivos) Perímetro Matemática – Geometría Básica- 11 ◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π El Triángulo, es el polígono (o figura plana y cerrada) de tres lados. Sus elementos son: Vértice : A , B , C; Lados : a , b , c y Ángulos : y estos ángulos internos suman 180° , es decir: Por otro lado, el triángulo se clasifica según sus lados y según sus ángulos. Clasificación de los Triángulos Todos los lados iguales a=b=c Equilátero Según sus Lados (a, b, c) Isósceles Un lado distinto a=b c y Escaleno b a c Todos los lados desiguales a b c y Tres ángulos agudos Acutángulo Según sus ángulos interiores ( ) Rectángulo < 90° Un ángulo recto = 90° entre a y b Teorema de Pitágoras Relaciona todos los lados de un triángulo rectángulo: a2 + b2 = c2, donde Hipotenusa : c y Catetos : a y b Obtusángulo Un ángulo obtuso Ejemplos: > 90° Matemática – Geometría Básica- 12 ◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π La altura (h) de un triángulo se obtiene al trazar una línea perpendicular desde el vértice al lado opuesto o a la prolongación de éste. Ese lado, es considerado la base (b) del triángulo. En base a lo anterior, El área del triángulo es: Atriángulo Entonces el perímetro es: Ptriágulo = a + b + c y Ejemplo Calcula el área de un ABC cuya altura en es igual a 3 m y de base = 5 m. Además, determina el perímetro si CA = 4,5 m y BC = 9 m Solución El área de un triángulo se define como Atriángulo y la base es b = 5 m, entonces reemplazando: A = El perímetro del triángulo es: 3m*5m 2 = , donde la altura es hc = 3m 15 m2 P = CA + AB + BC ✔ y al sustituir se tiene que: P = 4,5 m + 5 m + 9 m = 18,5 m ✔ Matemática – Geometría Básica- 13 ◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Los Cuadriláteros, son polígonos (o figura plana cerrada) de cuatro lados. Sus elementos son: Vértices: A, B, C, D ; Lados : a, b, c, d ; Diagonales : e, f y Ángulos : donde . Los cuadriláteros se clasifican de la siguiente manera: Paralelogramo, Trapecios y Trapezoides. Acá se muestran algunos de ellos con sus áreas y perímetros. Cuadrilátero Perímetro Área Cuadrado A cuadrado= a2 Pcuadrado = 4 · a Rectángulo Prectángulo= 2 · (a + b) A rectángulo= a · b Rombo P=4·a e, f: diagonales Romboide o Paralelogramo A romboide= a · h Promboide = 2 · (a + b) Trapecio P=a+b+c+d Matemática – Geometría Básica- 14 ◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Ejemplo Un campo rectangular tiene 170 m de base y 28 m de altura. Calcular el perímetro, las hectáreas que tiene y el prec io d el cam po s i el m etr o c u ad rad o c u es ta 150 Bs F . 170 m Solución 28 m Los datos son: b = 170 m, h = 28 m; Precio = 150 BsF/ m2 El perímetro es la suma de sus lados P rectángulo = b + b + h + h = 2.b + 2.h evaluando tenemos que: P rectángulo = 2*170 m + 2*28 m = 340 m + 56 m P rectángulo = 396 m ✔ El área de un rectángulo es A rectángulo= b* h, recordando que en medidas agrarias las superficies de campo tienen como referencia un cuadrado de 100 m de lado, así 1 hectárea = 10000 m², entonces A rectángulo = 170 m * 28 m (Recuerda que el perímetro es una longitud y se mide en m) 4760 m2 . 1 hectárea 10000 m2 Finalmente, el precio del campo es: Precio Campo = = 0,476 hectárea ✔ 150 BsF .. 4760 m2 714000 BsF ✔ = 2 m = Actividad de Control: Resuélvelos todos!!, son cortos y fácil de analizar. C a l c ul a el n ú me r o d e b al d o sa s c uad r a da s , de 1 0 c m , d e l a d o q u e s e nec e s i t a n p a r a e nl o sa r u n a s u pe r fi c i e re c ta n gu l ar de 4 m de b a se y 9 m d e a l t ur a . H a l l ar e l á r e a d e u n t r i á n gu l o re c tán g u l o i s ó sc el es c uy o s l a d o s mi de n 1 0 c m c ad a u n o . E l pe rí m e t r o d e un t r i á n g ul o eq ui l át e r o mi d e 0 . 9 d m y l a a l t ur a mi de 2 5 . 9 5 c m . C a l c ul a e l á r e a de l t ri á ng ul o . Matemática – Geometría Básica- 15 ◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π C a l c ul a el n ú me r o d e ár b ol e s q u e p u e de n p l a n t a rse e n u n t e rr e n o r ec t a n gu l a r d e 3 2 m d e l ar g o y 3 0 m d e a nc h o si c a da p l an t a ne c e s i ta p a ra d e s a r r o l l ar s e 4 m ² . E l ár e a d e u n tr ap e c i o es 12 0 m² , l a a l tu r a 8 m , y l a ba s e m e n o r m i d e 1 0 m . ¿ C u á n t o m i de l a o t r a ba se ? C a l c ul ar e l ár e a de u n p ar al el o gr a mo c u ya al t ur a mi de 2 c m y s u b a s e m i d e 3 v ec es m á s q u e s u al t ur a . C a l c ul a e l ár ea d e u n r o m b o c u y a d i ag o n al m a y o r m i d e 1 0 c m y c u ya d i ag o n al m e n o r es l a m i t a d de l a m ay o r . E n e l c e n t r o de u n j a r d í n c u a dr a d o d e 1 5 0 m de l a d o h a y u n a pi sc i na t a m b i é n c u a dr a d a, d e 2 5 m d e l a r g o. C a l c u l a e l ár ea d e l j ar dí n . C a l c ul a el ár e a de l c ua d r a d o qu e re s ul t a de u ni r l os p u n t o s me di o s de l o s l a d o s d e u n r ec t á n gu l o c u y a ba se y a l t u ra m i d en 8 y 6 c m . C u á n t o v a l e el ár e a d e l a p ar t e sub r a y ad a de l a fi gu r a , si el ár e a d el h e x á g o n o es d e 96 c m ² . U n a z o n a b o s c os a t i e ne f or m a d e t ra p ec i o , c u y a s b ase s mi d en 1 2 8 m y 9 2 m . L a a nc h u r a d e l a z o n a m i de 40 m . S e c o n s tr u y e u n p as e o de 4 m d e a nc h o p e r p e nd i c u l a r a l a s d o s b a se s . Ca l c ul a el á r ea d e l a z o na a r b ol a da q ue q u ed a . U n j a r d í n r e c ta n g ul a r t i e n e p o r di m en s i o ne s 3 0 m y 2 0 m . E l j ar dí n e s tá a t r av e sa d o p o r do s c a mi n o s p er pen d i c ul a re s q u e f or m a n u na c r u z . U n o t i e n e u n a nc ho d e 8 d m y e l o t r o 7 d m . C a l c ul a el á r e a d el j ar dí n . Calcula la cantidad de pintura necesaria para pintar la fachada de este edificio sabiendo que se gastan 0.5 kg de pintura por m2. Hallar el perímetro y el área de la figura: Matemática – Geometría Básica- 16 ◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π 4.2. Círculo y Circunferencia La Circunferencia, es el lugar geométrico de todos los puntos que conforman esta figura y que equidistan de un punto llamado centro de la circunferencia. Los elementos de una circunferencia comprenden al Radio (R ó r: distancia desde el centro de la circunferencia y la línea del contorno), Diámetro (D: el doble del valor del radio, D = 2*r), Cuerda, Secante y Tangente El Círculo, representa la zona achurada, es el área delimitada por el contorno curvo denominada circunferencia. Los elementos de un círculo abraca el Segmento Circular que es el área o zona comprendida en un arco de la circunferencia y una recta secante; y el Sector Circular que cubre dos Radios y un arco de la circunferencia. Es de hacer notar que el arco es un segmento de la circunferencia. En los cálculos de área de la superficie de figuras circulares aparece el valor del número irracional Pi (). El número Pi, es la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. Algo más de ello http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_sagrada y/o en http://webs.adam.es/rllorens/pihome.htm lo encuentras Matemática – Geometría Básica- en 17 ◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π De esta forma en: Circunferencia Perímetro (Po): Área (Ao): ________________________ Círculo Perímetro (Po): Área (Ao): Po = 2* * r NO TIENE Po = 2* * r Ao = * r2 Ejemplo: Determina la longitud de la circunferencia y el área de un círculo de 30 cm de diámetro. Solución Datos: = 3,141592; D = 30 cm, como el r = D / 2, entonces r = 15 cm. La longitud de la circunferencia es el mismo perímetro Pcircunferencia = 2* * r entonces: Pcircunferencia = 2* * 15 cm = 3,141592 * 30 cm = 94,2477 cm Pcircunferencia = 94,25 cm ✔ El área del círculo es: A círculo = * r2 y sustituyendo valores se tiene que: A círculo = * (15cm)2 = 3,141592 * 225 cm2 A círculo = 706,86cm2 ✔ La Elipse, es una variación de un círculo ya que posee dos radios: r1 y r2 Así Áreaelipse = * r1 * r2 Matemática – Geometría Básica- 18 ◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π 5. Los cuerpos geométricos. Los cuerpos geométricos, son todas aquellas figuras que tienen TRES DIMENSIONES (anchura, altura y profundidad) o, lo que es lo mismo, volumen o capacidad, ocupando un lugar en el espacio. Las partes básicas de un cuerpo geométrico son: bases, caras laterales y altura. Las figuras geométricas más importantes son; prisma, pirámide, cilindro, cono y esfera. 5.1 Prismas Un prisma es una figura geométrica formada por varios paralelogramos iguales llamados caras laterales, y dos polígonos iguales y paralelos llamados bases. Los prismas se denominan según sean sus bases: Prisma triangular (sus bases son triángulos) Prisma cuadrangular (sus bases son cuadrados) Prisma pentagonal (sus bases son pentágonos) El área de la superficie de un prisma es la suma de las superficies de todas sus caras: A prisma = (perímetro de la base x altura) + (área de la base x 2) El volumen de un prisma se calcula con la siguiente expresión: V prisma = A de la base x altura Cubo Acubo = 6 · a2 Vcubo = a3 Ortoedro o Paralelepípedo A paralelepípedo = 2· (a·b + a·c + b·c) V paralelepípedo = a · b · c Matemática – Geometría Básica- 19 ◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Prisma recto A prisma recto = P · (h + a) V prisma recto = AB · h (3) 5.2. Cilindros Un cilindro es la figura geométrica que se obtiene al hacer girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados. El área de la superficie de esta figura geométrica resulta de la suma de las superficies de todas sus caras, así que será necesario el desarrollo del cilindro, que es un rectángulo y dos círculos. De esta forma su fórmula es: Á total cilindro = (Arectángulo )+ (2 x Acírculo) A total cilindro = 2 * π * R * h ] + (2 * π * R2) Obteniendo factor común 2 * π * R A total cilindro = 2 * π * R *(h + R) Mientras que el volumen de un cilindro se calcula a partir de la expresión: V cilindro = A base x altura Es decir, V = π * R2 · h Podemos resumir el cálculo del volumen de prismas o paralelepípedos y cilindros en el siguiente esquema: Matemática – Geometría Básica- 20 ◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π 5.3. Pirámides Una pirámide es un poliedro que tiene como base un polígono y cuyas caras laterales son triángulos con un vértice común. El área de la superficie de una pirámide es la suma de las superficies de todas sus caras, fórmula es: A pirámide = (Área de cara lateral x número de caras laterales) + (área de la base) Ahora, el volumen de una pirámide es: V pirámide = Área de la base x Altura / 3 V pirámide = (1/3)*b * h Matemática – Geometría Básica- 21 ◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π 5.4. Conos Un cono es la figura geométrica que se obtiene al hacer girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. El área de la superficie del cono será la de su área lateral que es un sector circular cuyo radio es la generatriz sumado al área del círculo de la base. Como la circunferencia completa tiene una longitud 2 r, entonces el sector circular tiene una esa longitud 2 r. Entonces podemos establecer la siguiente relación entre ambos: longitud de la circunferencia longitud del arco sup erficie del circulo sup erficie del sec tor De esta forma el volumen de un cono se calcula a partir de la expresión: V cono = A de la base x altura / 3 V Cono base circular = (1/3)* b * h = (1/3) * r2 * h Podemos resumir el cálculo del volumen de pirámides y conos en el siguiente esquema: Matemática – Geometría Básica- 22 ◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π 5.5. Esfera La esfera es la figura geométrica que se obtiene al hacer girar un semicírculo alrededor de un diámetro. El área de la esfera se calcula a partir de la expresión: A esfera =4 * *r2 Finalmente, el volumen de la esfera se calcula a partir de la expresión: Ejemplo Tomando los datos del círculo anterior, determine el volumen la esfera de 30 cm de diámetro. Solución Datos: = 3,141592; D = 30 cm, como el r = D / 2, entonces r = 15 cm. El volumen de la esfera es: V que: esfera = 4/3 * * r3 y sustituyendo valores se tiene V esfera = 4/3 * * r3 = 4/ 3 * * (15cm)3 = (4 * 3,141592 * 3375 cm3)/3 V esfera = 14137,17cm3 ✔ Actividad de Control: Resuélvelos todos!!, son cortos y fácil de analizar. C a l c ul a e l v ol u m en , e n c e n t í me t r os c ú bi c os , d e u n a h a bi t ac i ó n q u e t i e n e 5 m d e l a r g o , 4 0 d m d e a nc h o y 2 5 0 0 m m d e a l t o . Una piscina tiene 8 m de largo, 6 m de ancho y 1.5 m de profundidad. Se pinta la piscina a razón de 6 BsF el metro cuadrado. ¿Cuánto costará pintarla? . ¿C u á n t o s l i tr o s de a g u a se r á n n ec e s a r i os p ar a l l en a rl a? E n u n a l ma c é n de d i m e ns i o ne s 5 m d e l a r g o , 3 m de an c h o y 2 m de al t o q u er e m o s a l ma c en a r c a j as d e di me n si o n e s 10 d m d e l ar g o , 6 d m d e a n c h o y 4 d m d e a l t o . ¿ C u a n ta s c a ja s p o d re m o s al m ac e na r ? C a l c ul a l a a l t ur a d e u n p r i s m a qu e t i e ne c o m o ár e a d e l a b as e 1 2 d m 2 y 4 8 l d e c a p ac i d ad. Matemática – Geometría Básica- 23 ◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π C a l c ul a l a c a n ti da d d e h o j a l a t a q ue s e ne c e si t a rá pa r a ha c e r 1 0 b o t es d e f o r m a c i l í n d r i c a d e 1 0 c m d e di ám e t r o y 2 0 c m d e a l t ur a . Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base. Y la altura mide 125.66 cm. Calcular: El área total y su v o l u m e n . L a c ú pu l a d e u n a c a t ed r al ti e ne f o rm a s e mi es f ér i c a , de d i á m e t r o 5 0 m . Si r e s ta u ra r l a ti en e u n c os t e d e 3 0 0 B s F el m 2 , ¿ A c u á n t o as c e n d er á el p r es u pu es t o d e l a r e s ta u r a c i ó n ? ¿ C u á n t as l os e ta s c u ad r ad a s d e 2 0 c m d e l ad o s e n ec e s i ta n pa ra r ec ub r i r l a s c ar as d e u na p i s c i na d e 10 m d e l a rg o p o r 6 m de an c h o y d e 3 m d e p r o f u nd i da d ? U n r ec i p i e n t e c i l í nd r i c o de 5 c m d e r a di o y y 1 0 c m de al t u ra s e l l e na de a g u a . S i l a m as a d e l r ec i p i e n te l l e no e s d e 2 k g , ¿c uá l e s l a m as a del r ec i p i e n t e v ac í o ? P a r a u n a f i e s t a , L u í s h a h ec h o 10 g o r r os de f or m a c ó n i c a c o n c ar t ó n . ¿ C u á n t o c a r t ó n ha b r á u t i l i za d o si l as d i m e ns i on e s de l g o r r o s o n 1 5 c m d e r a di o y 2 5 c m d e ge n e r a t r i z ? U n c u b o d e 2 0 c m d e a r i s t a e s tá l l e n o d e a g ua . ¿ C a b rí a es t a a gu a en u n a e s fe r a d e 2 0 c m d e r a di o ? Actividad de Control: En la figura, encuentra diez (10) cuadrados. Matemática – Geometría Básica- 24 ◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Actividad de Control: Revisa esta página Web, http://www.thatquiz.org/es-4/ para que practiques estos cálculos: Actividad de Control: Indica la figura o las figuras que faltan en el lado derecho Referencias Bibliográficas Para el estudio del despeje de incógnitas en una ecuación, te muestro algunas referencias que sugiero buscar para fortalecer lo que has aprendido acá; son textos de Matemática usados en Educación Básica. Además, algunas direcciones electrónicas: Baldor, A. 2000. Algebra. Edit. Cultura Venezolana, S.A. Baldor, A. 2000. Aritmética. Edit. Cultura Venezolana, S.A. Grupo Editorial Girasol. 2007. Guía- Teórica-Práctica Matemática 7. Terra editores. http://www.acienciasgalilei.com/mat/formularios/form-area-volumen.htm http://ens5.buenosaires.edu.ar/doc/blog/MateDepo.pdf http://www.sectormatematica.cl/deportes.htm http://divulgamat.ehu.es/weborriak/TestuakOnLine/00-01/PG00-01-gorria.pdf http://foks-foks.blogspot.com/ Matemática – Geometría Básica- 25
