EJERCICIO CALIFICADO
MICROECONOMÍA AVANZADA
MÓDULO 5
Ciclo 2013-2
Curso: Microeconomía Avanzada
Profesor: Alejandro Lugón
Integrantes:
Carlos Rodríguez Espejo 20073156
Fernando Alarcón Delgado 20070808
Wilfredo Bacilio Alarcón 20133198
Walter Ysique Quesquén 20044845
2013
9 de Diciembre del 2013
Trabajo Cali…cado Módulo 5
Microeconomía Avanzada
Contents
I
Problema 17.D.1
A
Solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II Pregunta
A
Parte
B
Parte
C
Parte
22.C.4
(a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III Bibliografía
2
2
7
8
9
12
13
Abstract
1
I.
Problema 17.D.1
Considere una economía con dos dotaciones y dos consumidores. Ambos
consumidores tienen preferencias homotéticas con elasticidad de sustitución constante. Esta elasticidad de sustitución es la misma para ambos consumidores y
es pequeña (por ejemplo: los bienes son casi perfectamente complementarios).
Especi…camente las utilidades tienen la siguiente función:
U1 (x11 ; x21 ) = (2x11 + x21 )
U2 (x12 ; x22 ) = (x12 + 2x22 )
1
1
Con las siguientes dotaciones para los consumidores:
! 1 = (1; 0)
A.
! 2 = (0; 1)
Solución
Hallamos, primero, las demandas marshallianas de cada individuo, a través
de un proceso de maximización de su utilidad sujeto a una restricción presupuestaria. Para el primer individuo, tenemos que:
M ax
s:a
(2x11 + x21 )
1
p1 x11 + p2 x21 = p1
Dado que la restricción presupuestaria se debe cumplir con igualdad, planteamos
el Lagrangeano para el consumidor 1:
1
L = (2x11 + x21 ) + (p1
p1 x11
p2 x21 )
Condiciones de primer orden:
1
1
@L
= (2x11 + x21 )
@x11
1
2
2 x11 1
(p1 ) = 0
(1)
1
@L
1
= (2x11 + x21 )
@x21
1
x21 1
(p2 ) = 0
(2)
Resolviendo las ecuaciones (1) y (2) tenemos que:
1
p1
2p2
x11 =
1
x21
(3)
Reemplazando en la restricción presupuestaria tenemos que:
p1
x21
p1
2p2
p1
1
1
x21 + p2 x21 = p1
1
p1
2p2
1
+ p2
!
= p1
p1
x21 =
(4)
1
p1
1
p1
2p2
+ p2
Asimismo, remplazando la demanda de el bien 2 en la ecuación (3):
x11 =
p1
2p2
1
p1
1
1
1
p1
2p2
p1
p1
x11 =
(5)
1
p1 + p2
p1
2p2
+ p2
1
Análogamente, el Consumidor 2, se enfrenta al mismo problema de maximización:
M ax
(x12 + 2x22 )
3
1
s:a :
p1 x12 + p2 x22 = p2
Se plantea el Lagrangeano:
1
L = (x12 + 2x22 ) + (p2
p1 x12
p2 x22 )
Las condiciones de primer orden son:
1
@L
1
= (x12 + 2x22 ) x12 1
@x12
1
@L
1
= (x12 + 2x22 ) 2 x22 1
@x22
(p1 ) = 0
(6)
(p2 ) = 0
(7)
Utilizando las dos ecuaciones anteriores tenemos que:
1
2p1
p2
x12 =
1
x22
(8)
Reemplazando en la restricción presupuestaria:
2p1
p2
p1
1
1
x22 + p2 x22 = p2
p2
x22 =
(9)
1
2p1
p2
p1
1
+ p2
Reemplazando x22 en la ecuación (8):
x12 =
2p1
p2
1
p2
1
1
p1
4
2p1
p2
1
+ p2
p2
x12 =
(10)
1
1
2p1
p2
p1 + p2
Dado que ya calculamos las demandas marshallianas de cada uno de los
individuos, a continuación, procedemos a calcular la función exceso de demanda:
Excesos de demanda para el consumidor 1 (normalizando p2 = 1 , es decir,
lo tomamos como numerario):
2
Z1 (p1 ; 1) = 4
p1
1;
1
p1
2
p1 +
p1
1
1
p1
2
p1
1
+1
3
5
(11)
Excesos de demanda para el consumidor 2 (tomando a p2 = 1 como numerario):
Z2 (p1 ; 1) =
"
1
p1 + (2p1 ) 1
1
1
;
p1 (2p1 )
#
1
1
1
+1
Sumando los excesos de demanda del bien 1 e igualando a cero:
p1
p1 +
p1
2
p1 + (2p1 ) 1
1
1
1
p1 + (2p1 ) 1
p1 +
p1
2
1
1+
1
p1
2
1
+ p1 +
1
1
p1 + (2p1 ) 1
1
p1
2
=0
1
1
=0
1
Operando la expresión anterior, obtenemos:
2
1
1
1
p11
p1
2
1
1
1
p11
21
1
5
1
p11
+ p1 + 2
1
1
p1 1 1
=0
2
(12)
Y simpli…cando algunos términos:
2
1
1
1
p11
1
1
p11
p1
p11
1
+ p1 + 2
1
1
p11
=0
Se observa que p1 = 1 es solución a esta ecuación, en efecto:
2
1
1
2
(1) 1
(1) 1
2
1
+1+2
(1) 1
1
1
=0
(13)
Lo cual demuestra que el vector de precios (p1 ; p2 ) = (1; 1) es un equilibrio.
Para demostrar que existen múltiples equilibrios, seguimos los siguientes pasos. Primero, probaremos que (p1 ; p2 ) = (1; 1) hes uniequilibrio regular1 , esto es,
^ 1 ; p2 ) = @Zij
(el número de
probar que la matriz de precios DZ(p
@pj
(L 1) (L 1)
^ 1 ; p2 ) es diferente de cero.
bienes es L = 2) es no singular, es decir, DZ(p
h
i
^ 1) = @Z11
En efecto, como L = 2 y (p1 ; p2 ) = (1; 1): DZ(1;
, así, sólo
@p1
1 1
necesitamos derivar Z11 (p1 ; 1) con respecto a p1 y luego evaluar en p1 = 1.
Partimos de:
p1
Z11 =
1
1
p1 + (p1 =2) 1
Derivando:
@Z11
(p1 ; 1) =
@p1
h
p1 +
i
1
p1
2
1
Evaluando en p1 = 1 :
@Z11
(1; 1) =
@p1
@Z11
(1; 1) =
@p1
h
1
2
1
i
1
1
2
1+
1
1
h
h
1 1+
1
h
1+
1
1
1
2
h
1
1
1
2
1
1
1
2
1+
1
i
1
2
i2
i2 > 0:
1
1
1
i2
1
1
1
1
1
1
=
i2
1
2
h
1
p1
2
1
p1
2
p1 +
1
1
2
@Z11
(1; 1) = h
@p1
1+
h
h
p1 1 +
1
1
2
1
1
1
1
1+
1
1
h
1
1
1
2
1
2
1
1
1
i
1
2
i
:
:
i
i2 :
1 Cabe señalar que, en una economía regular con la normalización p = 1, el número de
L
equilibrios es …nito.
6
^ 1) es una matriz de un sólo elemento, entonces coincide con su
Como DZ(1;
determinante, así:
h
i
1
1 1
2
1
@Z
11
^ 1) =
DZ(1;
(1; 1) = h
> 0:
1 i2
@p1
1 + 12 1
Por lo tanto, (p1 ; p2 ) = (1; 1) es un equilibrio regular de la economia. Entonces, podemos calcular el {ndice p :
index (p = (1; 1)) = ( 1)L
1
^ 1) ;
sign DZ(1;
(14)
^ 1) > 0, le asignamos
en este caso L = 2 (el número de bienes), y como DZ(1;
el valor +1, luego, remplazando en la ecuación (14), se tiene:
index (p = (1; 1)) = ( 1)(+1) =
1:
(15)
Según el Teorema de Índices, establece que para cualquier economía regular
se cumple:
X
index p = +1:
(16)
fp:Z(p)=0;pL =1g
Como ya tenemos que para p = (1; 1), su index(p) = 1, una manera que el Teorema de Índices se cumpla es tengamos almenos un par de equilibrios regulares
en la que cada uno tenga como index(p) = +1, es decir:
index (p) = ( 1) + (+1) + (+1) = +1:
(17)
Así, existen por lo menos 3 equilibrios regulares, en particular, debe existir
un número impar de precios de equilibrio.
II.
Pregunta 22.C.4
El ordenamiento (o relación de preferencias) Leximin en Rl ha sido mencionado en el pie de página 11 del capítulo 22, cuando se discutió la Función de
Bienestar Social (FBS) de tipo Rawlsiana. Su de…nición formal es:
Dado un vector u = (u1 ; u2 ; :::; ul ), sea ur Rl el vector de reordenamiento
no-decreciente de u: Es decir, las entradas de ur están ordenadas de manera
creciente, y sus valores numéricos son los mismos que para u: Decimos entonces,
que el vector u es al menos tan bueno como el vector u
b en el ordenamiento
leximin, si ur es al menos tan bueno como u
br en el ordenamiento lexicográ…co,
introducido en el ejemplo 3.C.1.
7
A.
Parte (a)
Interprete el ordenamiento Leximin como un re…namiento de la
relación de preferencias Ralwsianas.
Un ordenamiento de preferencias sociales Rawlsiana o maximin ordena jerárquicamente las preferencias sociales en términos del bienestar del individuo menos
favorecido (aquel con la menor utilidad). Este ordenamiento puede violar el
principio de Pareto. Por su parte, un ordenamiento de las preferencias sociales
de tipo leximin se puede interpretar como un re…namiento a las preferencias
Rawlsianas, ya que incorpora en el ordenamiento de las preferencias sociales
un orden de tipo lexicográ…co. Un ordenamiento leximin no puede violar el
principio de Pareto.
En Rawls, tenemos que:
W (u1 ; :::; ul ) = min fui g
i=1;:::;l
Ahora, veamos matemáticamente que un ordenamiento leximin es un re…namiento a la relación maximin o rawlsiana. Para ello, de…namos un vector de
utilidad ordenado.
De…nition 1 Vector de Utilidad Ordenado
Para cualquier u Rl , el vector de utilidad ordenado !
u es de…nido como el
vector que obtenemos cuando reordenamos los elementos de u en orden creciente.
Ejemplo: Sea u = h4; 16; 0i el vector de utilidad, entonces !
u = h0; 4; 16i:
El ordenamiento leximin 4 se de…ne como:
l
u4v,!
u antecede lexicográ…camente a !
v
l
Esto signi…ca que:
!
u =!
v; o
Existe k
!
u
n tal que
!
=
vi ; para todo i < k; y
i
!
!
uk < v k
Por ejemplo: u 4 v; para !
u = h0; 6; 20; 29i y !
v = h0; 6; 24; 25i
l
8
B.
Parte (b)
Muestre que el ordenamiento Leximin no puede ser representado
por una función de utilidad. Basta con probar esto para el caso I = 2:
Dado que un ordenamiento leximin coincide con un ordenamiento de preferencias lexicográ…cas, basta probar con que un ordenamiento lexicográ…co no
puede ser presentado por una función de utilidad. Sabemos que las relación de
preferencias lexicográ…cas son completas y cumplen con la propiedad de transitividad. Por lo tanto, podemos decir que son "candidatas" a ser representadas
por una función de utilidad. Sin embargo, a continuación demostraremos que
ello no es posible. Probamos por contradicción.
Considerando l = 2.
De…nimos (x1 ; x2 ) (y1 ; y2 ) , f[x1 > y1 ] _ [x1 = x2 ^ x2 y2 ]g.
Esta preferencia no admite una representación en función de utilidad.
Probaremos por contradicción:
-Suponga que existe una función de utilidad representando a . Así, para
cualquier xi 2 R, se tiene (x1 ; 1)
(x1 ; 0) y así u(x1 ; 1) > u(x1 ; 0), pues u
representa a .
Por la densidad del conjunto de los números racionales Q en R, para cada
a; b 2 R, existe un r 2 Q tal que a < r < b. Por lo tanto, existe un r(x1 ) 2 Q R
tal que:
u(x1 ; 1) > r(x1 ) > u(x1 ; 0):::( )
Luego, de…nimos la función r : R ! Q
R y demostraremos que esta es
inyectiva, lo cual no es posible dado que Q es numerable y R no lo es.
En efecto:
Sea x1 6= x01 , sin pérdida de generalidad, asumimos que x1 > x01 . Entonces:
r(x1 ) > u(x1 ; 0) ......... por ( )
> u(x01 ; 0) ..............puesto que (x1 ; 0) (x01 ; 0)
> r(x01 )::::::::::por ( )
Es decir, si x1 6= x01 ) r(x1 ) 6= r(x01 ), lo cual indica que la función r es
inyectiva.
Por lo tanto este tipo de preferencias no se puede representar mediante una
función de utilidad.
Asimismo, podemos demostrar también que un ordenamiento de preferencias
sociales leximin, no se puede representar a través de una Función de Bienestar
Social (FBS).
Consideramos el caso de dos individuos, es decir: n = 2, supongamos que
existe una FBS W (u1 ; u2 ) representando el ordenamiento leximín ` .
9
De…nimos
:= W (x; 4) W (x; 3) para todo x 2 [1; 2]
Debido a que (x; 4) es leximin superior a (x; 3) , esto es, (x; 3) (x; 4)
entonces
> 0 para todo x 2 [1; 2].
1
g para cada n 2 N. Observe que
Luego de…nimos A(n) := fx 2 [1; 2]=
n
los conjuntos:
A(1) := fx [l; 2]=
A(2) := fx [1; 2]=
A(3) := fx [1; 2]=
1g
1
g
2
1
g
3
Cubren el intervalo [1,2], Así tenemos que por lo menos uno de ellos es un
conjunto in…nito. Se puede escoger un n0 2 N, tal que A(no ) es un conjunto
in…nito. Además, dado que (1,3) ` (1; 4) y (2; 3) ` (2; 4) , entonces:
1
:= W (1; 4)
W (1; 3) >
1
n0
2
:= W (2; 4)
W (2; 3) >
1
n0
Esto es, {1,2} 2 A(n0 ). Para cualquier ; y 2 A(n0 ) con
(x; 3)
`
) W (x; 4)
(y; 4) ) W (x; 4) < W (y; 3)
W (x; 3) < W (y; 3)
(*1)
W (x; 3)
Así tenemos que:
W (y; 3)
W (x; 3) > W (x; 4)
10
W (x; 3)
< y tenemos:
1
n0
) W (y; 3)
W (x; 3)
1
n0
(*2)
Luego, considerando la sucesión …nita:
1=
Identi…cando
i
1
1
<
2
<
<
k
= 2 en A(n0 ) :
con x y xi con y en ( 2) :
W (xi ; 3)
W (xi 1 ; 3)
1
n0
(*3)
Aplicando sumatoria en ( 3)
k
X
[W (xi ; 3)
W (xi 1 ; 3)]
i=2
k
X
1
k 1
[ ]=
n
n0
0
i=2
(*4)
De ( 4) se observa que como k ! +1, entonces:
k
X
[W (xi ; 3) W (xi 1 ; 3)] es una cantidad in…nita, es decir, la suma no es
i=2
acotada.
También:
k
X
[W (xi ; 3)
W (xi 1 ; 3)]
i=2
=
[W (x2 ; 3)
W (x1 ; 3)] + [W (x3 ; 3)
+[W (xk 1 ; 3)
W (x2 ; 3)] + [W (x4 ; 3)
W (xk 2 ; 3)] + [W (x4 ; 3)
= [W (x; 3)
11
W (xk 1 ; 3)]
W (x1 ; 3)]:
W (x3 ; 3)] +
= [W (2; 3)
)
k
X
[W (xi ; 3)
W (1; 3)]:
W (xi 1 ; 3)] = [W (2; 3)
W (1; 3)]
i=2
Esto es un valor …jo. Por lo tanto, la suma no es acotada y a la vez es un
valor …jo. Lo cual es una contradicción. Por lo tanto, no existe una Función de
Bienestar Social (FBS) W (u1 ; u2 ) representando el ordenamiento leximín ` :
C.
Parte (c)
Muestre que el óptimo social del ordenamiento Leximin es Pareto
óptimo. Se puede asumir que I = 3:
Para resolver este item, primero presentamos las siguientes de…niciones.
De…nition 2 Vector de Utilidad Ordenado
Para cualquier u Rl , el vector de utilidad ordenado !
u es de…nido como el
vector que obtenemos cuando reordenamos los elementos de u en orden creciente.
Ejemplo: Sea u = h4; 16; 0i el vector de utilidad, entonces !
u = h0; 4; 16i:
De…nido ello, procedemos a demostrar que el óptimo social del ordenamiento
Leximin es Pareto óptimo.
Supongamos que u es un óptimo leximin pero que no es un óptimo de
pareto.Como u no es un óptimo de pareto, entonces 9 u0 tal que u0 > u; u0 6= u:
Aplicando un reordenamiento a los vectores de utilidad u0 y u, considerando
que j = min fi j u0i > ui g ; es decir:
u0i
= ui ; para i < k
u0j > uj
r
Por ejemplo, para l = 3 ; se tiene u0 = (u01 ; u02 ; u03 ) y u = (u1 ; u2 ; u3 ) ;
entonces si j = 2 ; al aplicar el reordenamiento se concluye en:
u01
= u1
u02 > u2
r
12
Así, se tiene que:
u0 % u
r
Lo cual contradice el hecho que u es un óptimo leximin. Por lo tanto, es un
óptimo de pareto. Q.E.D
III.
Bibliografía
1. Debreu, G (1959): Theory of Value. Yale University Press.
2. Lugón, A. (2013): Introducción a la Teoría del Equilibrio General. Notas
de Clase. Maestría en Economía, PUCP.
3. Mas-Colell, A.,M.D. Winston, J.R. Green (1995): Microeconomic theory.
Oxford University Press. 1995.
4. Moulin, H. (1991): Axioms of Cooperative Decision Making. Econometric
Society Monographs
5. Varian, H. (1992): Microeconomic Analysis, Third Edition. W.W Norton
& Company, Inc.
13
