“ Universidad Nacional San Cristóbal de Huamanga” Facultad de Ingeníeria Minas , Geología y Civil Escuela de Ingeniería Civil PROBLEMAS RESUELTOS DE RESISTENCIA DE MATERIALES I - II Autor: Calderón Quispe, Gilmer ( [email protected],[email protected] ) Estudiante de Ingeniería Civil Presentacion 1 Índice General 1 Esfuerzo Deformación 3 2 Parámetros de origen 4 3 Método de tres Momentos 1 Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 4 Metodo Viga conjuagda 13 5 Torsion 14 6 Deformaciones 15 7 esfuerzos por flexion 16 8 deflexion de vigas 17 9 Slope Deflection 18 10 Hardy Cross 19 11 Metodo de fuerzas 1 Fundamento teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 23 2 Capítulo 1 Esfuerzo Deformación 1.1 Definiciones 1.1.1 Solución de Problemas Ejercicio N° 1 Durante el montaje de un nudo de 3 barras resulto que la barra media era más larga en 5x10´4 L . Calcular las tensiones en las barras después de realizar el montaje del nudo considerando E “ 2x105 Mpa. A B 30° 30° Solución: 3 A A 1 Esfuerzo Deformación Ingeniería Civil (a) B F@A F@B F@C (a) (b) C A FAB De la figura 1 ÿ Fx “ 0 A FCE ´ FAB sin 30˝ ` FAd sin 30˝ “ 0 (a) ..................................... (I) FAB “ FAD ÿ Fy “ 0 FAB cos 30˝ ` FAD cos 30˝ ´ FAC “ 0 ? 3FAB “ FAC ..................................... (II) Del gráfico 2 δAB cos 30˝ δ ` δAC “ ∆ δ“ ..................................... (III) ..................................... (IV) Remplazando FAB ?23 L FAC L ` “ 5x10´4 AE AE ? 4 σAB p q ` 3σAB “ 5x10´4 3„ 5x10´4 x105 x2 ? σAB “ 4`3 3 σAB “ σAD “ 32.622M pa σAC “ 56.503M pa [tración] [compresión] pagina 4 Resistencia de Materiales I-II Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación Ejercicio N° 2 Calcular las tensiones que se surgen en las barras durante el montaje del nudo a causa de que la barra AD es más corta que su longitud nominal δ “ 0.001L. El material de las barras es de acero cuyo módulo de elasticidad es 2.1x105 M pa. D C C 4A n A Solución: C A B A FCE A FCF N A A (b) (a) B F@A F@B De la figura a F@C ÿ Fx “ 0 ? 2 FAD “ FAB 2 ÿ Fy “ 0 (a) FAD(b)cos 45˝ “ 0 ? 2 A FAD “ FAC 2 FAC “ FAB Resistencia de Materiales I-II ..................................... (I) A C ..................................... (II) FAB F ..................................... (III) AB pagina A5 A FCE FAC (b) Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación De la figura b M N “ δAB ´ δAC ? AM “ 2δAC ? 2 pδAB ´ δAC q M A˝ “ 2 1 1 AA “ AM ` M A˝ ` A˝ A Remplazando valores ? ? 2 2δAC ` pδAB ´ δAC q ` δAD “ δ 2 ¸ ? « ˜ ? ff ? 2 ? F FAC 22 L 2 FAB L FAD L AC 2 ` ´ ` “ 0.001L 2 2AE 2 AE 2AE AE ? ? ˆ? ˙ FAC 2 FAB 2 2 FAC FAD ` ´ ` “ 0.001 2AE 2 AE 2 4 AE AE ? FAB 2 FAB 1 FAB 2 FAB ` ´ `? “ 0.001L 2AE 2 AE 4 AE 2 AE ? ˙ ˆ 2 1 2 FAB 1 ` ´ `? “ 0.001x2.1x105 2 2 4 A 2 FAB A “ σAB “ 88.558M pa [tracción] De la relación siguiente FAC 1 2 FAB “ ñ σAB “ σAC ademas σAD “ ? σAB 2A 2A 2 2 σAC “ 44.279M pa [Compresión] σAD “ 125.240M pa [tración] Ejercicio N 3 La viga AC articulada en un muro absolutamente rígido es sostenida por un tirante BD. Determinar la posición del punto B de unión del tirante con la viga partiendo de la condición que el peso del tirante sea mínimo , si l “ 6m, h “ 3m P “ 40KN , la densidad del acero es ρ “ 7.85x103 Kg{m3, la tensión admisible rσs “ 160M pa, el peso de un metro de la viga es p “ 1KN pagina 6 Resistencia de Materiales I-II Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación Solución: De la figura ÿ MA “ 0 FBD sin α pxq ´ 40 p6q ´ 1 p6q p3q “ 0 3x ? FBD “ 240 ` 18 x2 ` 9 ? 86 x2 ` 9 pKN q FBD “ x (I) Hallando el esfuerzo de FBD σBD “ FBD “ σadm “ 160M pa “ 160000Kpa A se sabe que m ρ“ ?v ρA x2 ` 9 “ m; W A“ ? 2 ρg x ` 9 σBD “ W “ Del dato dW dx “0 mg “ W ppesoq ? 86 x2 `9 x ?W ρg x2 `9 2 86 px ` 9q x ρgσadm g; ρ; σadm “ CT E Derivando se tiene 86 px2 ´ 9q ρgσadm x2 x “ ˘3m x “ 3m pagina 7 Resistencia de Materiales I-II Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación Ejercicio N° 4 Una viga absolutamente rígida se sostiene por un tensor y un tornapuntas , ambos de acero, cuyas secciones tienen unas áreas iguales a ABE “ 2cm2 ;ACD “ 4cm2 . El tensor es más corto que su dimensión nominal es δ “ 0.1 %. Calcular las tensiones en el tornapuntas y en el tensor después de realizar el montaje, considerando a “ b “ c “ d “ 1m; E “ 2x105 Mpa Solución: pagina 8 Resistencia de Materiales I-II Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación De la figura N° 1 ÿ MA “ 0 ´ FBE sin 45˝ p1q ` FCD sin α ? 2 2 ? FCd “ FBE 2 5 Del gráfico 2 se observa ? 2δBE ; ? M C “ 2 2δBE sin α “ BB 1 “ ? CC˝ “ 2 2δBE ? 2 2 ? δBE ; 5 p4ABB 1 „ 4AC˝ Cq C 1 M “ δCD C 1 M ` M C “ δ “ CC 1 ? 2 2 δCD ` ? δBE “ δ 5 ? ? ˆ ? ? ˙ 5FCD 2 2 2FBE 0.1 5 ` ? “ 4 ˚ 0.2 ˚ 105 100 5 2 ˚ 0.2 ˚ 105 ? ? ˆ ˙ 4FCD 0.1 5 5FCD 4 ? ` ? “ 4 ˚ 0.2 ˚ 105 2 5 ˚ 0.2 ˚ 105 100 10 ? ˆ? ˙ ˘ 5 16 0.1 5 ` ` ? ? FCD “ 0.2 ˚ 105 4 100 2 5 ˚ 10 FCD “ 26.456KN 6 FBE “ 33.464KN pagina 9 Resistencia de Materiales I-II Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación Hallando las tensiones 26.456 “ 6.614KN {cm2 4 33.464 σBE “ “ 17.732KN {cm2 2 σCD “ 6.614KN {cm2 σCD “ [Tacción] σBE “ 16.732KN {cm2 [Compresión] Ejercicio N° 5 Calcular el peso teórico (sin tener en cuenta los pesos de los elementos de unión) de un nudo de dos barras dispuestas simetricamente, considerando que las barras están frabricadas de un material igual, cuya tensión admisible de tracción es dos veces más grande que su tensión admisible de compresión: rσtr s “ 2rσcompr s. Examinar dos casos: a) en el nudo está aplicada una sola una fuerza horizontal Ph y b) en el nudo esta aplicado solo una fuerza vertical Py . ¿Para qué valor del ángulo α el peso será mínimo ? Calcularlo considerando que la densidad ρ del material es conocida. Solución: Considerando la carga horizontal: Ph pagina 10 Resistencia de Materiales I-II Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación De la figura 1(a) ÿ y“0 FAB sin α ´ FAC sin α “ 0 (I) FAB “ FAC ÿ Fx “ 0 ´ FAB cos α ´ FAC cos α ` Ph “ 0 ˆ ˙ Ph 1 FAB “ 2 cos α (II) Cuando se aplica la fuerza horizontal Ph las barras estarán en tracción ˆ ˙ FAB m l σAB “ ; ρ“ ñ ρA “ m1 A v cos α ˆ ˙ l W1 cos α ρgA “ W1 ñA“ cos α ρgl ` P ˘ 1 h Ph ρgl α ñ W1 “ σtr “ σAB “ 2W1cos cos α 2σtr cos2 α ρgl W2 “ W1 “ Ph ρgl ; 2σtr cos2 α Ph ρgl 2σtr cos2 α Wnodo “ Wnodo “ W2 “ Ph ρgl σtr cos2 α Considerando la carga vertical: Py Ph ρgl σtr cos2 α Ph ρgl 2σtr cos2 α [Tracción] [Para α “ 0˝ ] De la figura 1(b) se tiene ÿ Fx “ 0 ´ FAB cos α ` FAC cos α ÿ Fy “ 0 FAB sin α ` FAC sin α ´ Py “ 0 Py Py ñ FAB “ 2FAB “ sin α 2 sin α (I) (II) pagina 11 Resistencia de Materiales I-II Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación Del gráfico se observa claramente que AB esta en tracción y AC esta en Compresión por tanto sus esfuerzos serán σtr ^ σcomp respectivamente FAB ρAlg W1 cos α ; W1 “ ; A“ A1 cos α ρgl pPy {2 sin αq Py ρgl σtr “ ñ W1 “ pW1 cos αq { pρglq σtr sin 2α 1 Py { p2 sin αq σAC “ σcomp “ σtr “ pW2 cos αq { pρglq 2 1 Py ρgl 2Py ρgl σtr “ ñ W2 “ 2 W2 sin 2α σtr sin 2α 3Py ρgl Wtotal “ W1 ` W2 “ σtr sin 2α σAB “ σtr “ Hallando el mínimo 3Py ρgl σtr 6 W1 “ ˆ dW dα “0 ´2 cos 2α sin2 2α Py ρgl σtr sin 2α Wtotal “ W1 ` W2 “ ˙ “0 W2 “ ùñ 2α “ 90˝ ùñ α “ 45˝ 2Py ρgl σtr sin 2α 3Py ρgl σtr sin 2α Ejercicio N° 6 [Para α “ 45˝ min] En la columna escalonada de la figura construir los diagramas de las fuerzas longitudinales , de las tensiones y de los desplazamientos longitudinales. pagina 12 Resistencia de Materiales I-II Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación Solución: Hallando R en la figura 1 ÿ Fy “ 0 ´ R ` 120 ` 60 ´ 20 “ 0 ùñ R “ 160KN Hallando esfuerzos í σ1 ˚ 15 ´ 160 “ 0 ñ σ1 “ 32KN {cm2 [Tracción] 2 í σ2 ˚ 10 ` 120 ´ 160 “ 0 ñ σ2 “ 4KN {cm í σ3 ˚ 5 ` 120 ` 60 ´ 160 “ 0 ñ σ3 “ ´4KN {cm [Tracción] 2 [Compresión] Hallando los desplazamientos para 0 ă x ă 20 32x δ“ E " ñ δpx“0q “ 0 δpx“20q “ 640 E Para 20 ă x ă 60 32 ˚ 20 4 px ´ 20q δ“ ` E E " ñ δpx“20q “ δpx“60q “ 640 E 800 E Para 60 ă x ă 140 32 ˚ 20 4 ˚ 40 4 px ´ 60q ` ´ “ 1040 ´ 4x E" e E δpx“60q “ 800 E ñ δpx“140q “ 480 E δ“ pagina 13 Resistencia de Materiales I-II Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación - - Ejercicio N° 7 - - + En la estructura mostrada calcular: 1. Las fuerzas normales de las barras + 2. Los esfuezos normales de las barras 3. las deformaciones de las barras + + 4. El giro que experimenta la barra rígida E “ 2x107 Kg{cm2 + + AyC 5. El desplazamiento de los puntos 3T barra rigida 1T/m 3T o 1T/m barra rigida o Solución: C 3T A 1T/m C 3T A A 1T/m A FI FI C (a)FII (a) FII C C A (b) A (b) pagina 14 Resistencia de Materiales I-II C Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación Del equilibrio de la figura 1(a) ÿ Mo “ 0 1000 ˚ 7 ˚ 3.5 ` 3000 ˚ 3.5 ´ 7FI ´ 1000 ˚ 5 ˚ 2.5 ´ pFII sin 45˝ q 5 “ 0 ? 5 2 7FI ` FII “ 22500 2? CC 1 “ δII 2 a a Por semejanza AA1 O „ CC 1 O ? ? „ δI 2δI I 1 700FI 800 2FII “ ñ “ 7 5 7 1 ˚ 2 ˚ 107 1 ˚ 2 ˚ 107 16FII ñ FI “ 5 (1) (2) (3) Remplazando (3) en (1) ? ˆ ˙ 5 2FII 16FII 7 ` “ 22500 5 2 FII “ 867.536Kg FI “ 2776.115Kg Hallando Esfuerzos para: A1 “ A2 “ 1cm2 σI “ 2776.115Kg{cm2 [Compresión] σII “ 867.536Kg{cm2 [Tracción] Hallando Desplazamientos AA1 “ δI “ 0.0972cm ? AA1 “ 2δII “ 0.0694cm Hallando giro: tan θ “ [Se comprime] [Se Alarga] δI 7 θ “ 0.795˝ Hallando las deformaciones $ 0.0972cm ’ ’ δI “ 2776.115˚700 “ & 7 2˚10 σl δ“ ñ ’ E ’ ? % 0.0491cm 2 δII “ 867.536˚800 “ 7 2˚10 [Antihorario (ö)] rAcorta.s rAlarg.s pagina 15 Resistencia de Materiales I-II Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación Ejercicio N° 8 Una escalera de acero está sujeta a una pared al nivel de los escalones primero y undécimo (fig a). Considerando que la pared es absolutamente rígida, calcular las reacciones en los apoyos de la escalera para el caso cuando sobre ella se encuentran tres personas de peso 1KN cada una dispuestas en los escalones quinto, noveno y décimocuarto contando desde abajo. Solución: Por ser absolutamente rigído se cumple δ1 ` δ2 ` δ3 “ 0 ÿ Fy “ 0 (I) RA ` RB “ 3P (II) Entre paso y paso la dist. es l 4 4Rb l Rb ; δ3 “ ´ A 10AE P ´ Rb 4 pP ´ Rb q l σ2 pAq ` Rb ´ P “ 0 ñ σ3 ´ ; δ2 “ A 10AE 2P ´ Rb 2 p2P ´ Rb q l σ1 pAq ` Rb ´ 2P “ 0 ñ σ1 ´ ; δ2 “ A 10AE σ3 pAq ` Rb “ 0 ñ σ3 ´ pagina 16 Resistencia de Materiales I-II Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación Remplazando valores 4 pP ´ Rb q l 4 pP ´ Rb q l 2 p2P ´ Rb q l ` ` “0 10AE 10AE 10AE ´ 2Rb ` 2 pP ´ Rb q ` 2P ´ Rb “ 0 ´ Rb “ 0.8KN Ra “ 2.2KN Ejercicio N° 9 Calcular ∆A y ∆aen la figura mostrada donde E “ 2˚101 1N {m2 ; µ “ 0.3, P “ 30000N y a “ 10cm Solución: Recordando fórmulas : ε“ σ σ ∆A σ ; ε1 “ µε “ ´µ ; “ ´2µ E E A E (ε : Deformación unitaria longitudinal) (ε1 : Deformación unitaria transversal) Hallando los valores pedidos 30000 “ ´1 ˚ 106 N {m2 0.22 ´ 0.12 ´1 ˚ 106 ε1 “ ´0.3 “ 1.5 ˚ 10´6 2 ˚ 101 1 ñ ∆a “ 2aε “ 2 ˚ 100 ˚ 1.5 ˚ 10´6 “ 0.0003mm σ“´ pagina 17 Resistencia de Materiales I-II Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación Hallando la variación de área ∆A “ ˘ ´2 ˚ 0.3 p´1 ˚ 106 q ` 2 2 200 ´ 100 “ 0.09m2 2 ˚ 101 1 Ejercicio N° 10 Una barra escalonada empotrada en sus extremos rígidamente esta cargada con una fuerza P “ 200KN en la sección m y con una fuerza 4P en la sección n ´ n a lo largo de eje de la barra hay un orificio pasante de diámetro d˝ “ 2cm; los diámetros exteriores de los escalones son: D1 “ 6cm, D2 “ 4cm D3 “ 8cm. El material es de acero, E “ 2.1 ˚ 105 M pa. Determinar las reacciones en los apoyos A y B , construir los diagramas de fuerzas longitudinales N, de tensiones normales σ y de los desplazamientos longitudinales de las secciones transversales de la barra Solución: De la figura (a) ÿ Fy “ 0 RA ` RB ´ 5P “ 0 ñ RA ` RB “ 5P δ1 ` δ3 ` δ3 ` δ4 “ 0 4 ˚ 20RA 4 ˚ 10 pRA ´ P q 4 ˚ 20 pRA ´ P q 4 ˚ 20 pRA ´ 5P q ` ` ` 2 2 π p6 ´ 2 q E π p42 ´ 22 q E π p82 ´ 22 q E π p82 ´ 22 q E (I) (II) Remplazando para P “ 200KN y luego en (I) RA “ 266.667KN RB “ 733.333KN pagina 18 Resistencia de Materiales I-II Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación Hallando Esfuerzos 4 ˚ 266.667 σ1 “ π p62 ´ 22 q σ1 “ 10.610KN {cm2 ñ [Tracción] σ2 “ 7.074KN {cm2 4 p266.667 ´ 200q σ2 “ π p42 ´ 22 q ñ 4 p266.667 ´ 200q π p82 ´ 22 q ñ σ2 “ 4 p266.667 ´ 1000q σ4 “ π p82 ´ 22 q [Tracción] σ2 “ 1.415KN {cm2 [Tracción] σ2 “ ´15.562KN {cm2 ñ [Compresión] Hallando las deformaciones E “ 2.1 ˚ 105 M pa « 0.21 ˚ 105 KN {cm2 [Acumulado] δ1 “ 4 ˚ 266.667 ˚ 20 “ 0.010cm π p62 ´ 22 q 0.21 ˚ 105 δ “ 0.0106cm δ2 “ 4 p266.667 ´ 200q 10 “ 0.00337cm π p42 ´ 22 q 0.21 ˚ 105 δ “ 0.0141cm δ3 “ 4 p266.667 ´ 200q 20 “ 0.00135cm π p82 ´ 22 q 0.21 ˚ 105 δ “ 0.0156cm δ4 “ 4 p266.667 ´ 1000q 20 “ 0.00148cm π p82 ´ 22 q 0.21 ˚ 105 δ “ 0cm pagina 19 Resistencia de Materiales I-II Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación Ejercicio N° 11 Calcular el desplazamiento vertical del nudo A bajo la acción de una fuerza P “ 200KN , si el diagrama de tracción del material de las barras tiene la forma de la función lineal a trozos representada en el gráfico . Considerar que σ˝ “ 120M pa, E “ 7 ˚ 105 M pa, A “ 10cm2 y l “ 3m. Solución: (a) FAB FAC De la figura 1 ÿ Fx “ 0 ´ FAB sin 60˝ ` FAC sin 60˝ “ 0 (I) FAB “ FAC ÿ Fy “ 0 FAB cos 60˝ ` FAC cos 60˝ ´ 200 “ 0 FAB “ 200KN σ “ σAB “ σAC “ 200 ˚ 1000 “ 200M pa 10 ˚ 10´4 pagina 20 Resistencia de Materiales I-II Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación Del gráfico 2 hallar ε σ˝ σ ´ σ˝ ` E1 E2 120 200 ´ 120 ε“ ` “ 4 ˚ 10´4 5 7 ˚ 10 0.5 ˚ 7 ˚ 105 ε“ Hallando las deformaciones de las barras δAC “ δAB “ δ δ “ 4 ˚ 10´4 ˚ 300 δ “ 0.12cm δAC cos 60˝ ∆A “ 0.24cm ∆A “ Ejercicio N° 12 ¿A qué ángulo α hace falta aplicar en el nudo la fuerza P para que el desplazamiento de éste se efectúe por la vertical? Las longitudes de las barras son iguales, están hechas de un mismo material. El área de la sección de la barra AD es dos veces mayor que el area de la sección de las barras AB y AC. pagina 21 Resistencia de Materiales I-II Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación Solución: De la figura (a) ÿ y“0 FAB ` FAC cos 30˝ ` FAD cos 60˝ ´ p cos α “ 0 ÿ (I) Fx “ 0 FAC sin 30˝ ` FAD sin 60c irc ´ p sin α “ 0 (II) De la figura (b) δAD δAC “ ˝ cos 60 sin 60˝ ˆ ˙ FAB l FAD l FAC l 2 ? p2q “ “ AE 2AE AE 3 FAB “ FAD ? 3 FAB “ FAC 2 δAB “ (III) (IV) Remplazando (III) (IV) en (I) y (II) ? ˆ? ˙ 3 3 1 FAB ` FAB ` FAB “ p cos α 2 2 2 9 FAB “ p cos α 4 ? ˆ ˙ ? 3 1 3 FAB ` FAB “ p sin α 2 2 2 ? 3 3 FAB “ p sin α 4 (V) (VI) pagina 22 Resistencia de Materiales I-II Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación Dividiendo (VI) entre (V) se tiene ? 3 “ tan α 3 ´? ¯ 3 ´1 “ 30˝ “ α tan 3 ñ Ejercicio N° 13 En la estructura de la figura, el tirante A es de aluminio, la columna C es de acero y la barra horizontal B es rígida, si el esfuerzo admisible en la columna: σadm “ 1100kg{cm2 calcule el máximo valor de la carga ”P” Eac “ 2.2x106 kg{cm2 EAl “ 0.7x106 kg{cm2 . Solución: De la figura 1(a) ÿ My “ 0 30Fal ` 10Fac ´ 30P “ 0 3Fal ` Fac “ 3P δal ∆ ` δac “ 30 10 (I) pagina 23 Resistencia de Materiales I-II Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación δal “ 3∆ ` 3δac ˙ ˆ Fal ˚ 60 Fac ˚ 30 ` 0.006 “3 8 ˚ 0.7 ˚ 106 25 ˚ 2.2 ˚ 106 ˆ ˙ 15 1 90Fac Fal “ ` 6000 2 0.7 25 ˚ 2.2 (II) De (I) y(II) : Asumiendo σadm para acero σ “ 1100 “ Fac 25 ñ Fac “ 27500kg Remplazando en (II) ñ σal “ 595kg{cm2 Fal “ 4760kg 6 P “ Fal ` [Dentro de rango Adm] Fac ñ 13926.667kg 3 De (I) y(II) : Asumiendo σadm para aluminio 1100 “ Fal 8 ñ Fal “ 8800kg Remplazando en (II) Fac “ 53952.381kg ñ σac “ 2158.095kg{cm2 [Fuera de rango Adm] 6 P “ 13926.6667kg Ejercicio N° 14 Una barra absolutamente rígida se sostiene por tres tirantes paralelos con áreas de secciones iguales a A “ 10cm2 . Calcular los esfuerzos en los tirantes y hallar el valor admisible de la carga a partir de la tensión admisible rσs “ 160M pa. pagina 24 Resistencia de Materiales I-II Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación Solución: De la figura (a) ÿ Fy “ 0 F1 ` F2 ` F3 “ 0 ÿ MC “ 0 (I) ´ F1 p3aq ´ F2 paq ` P p2aq “ 0 2P “ F2 ` 3F1 (II) De la figura (b) M mA1 C 1 „M nC 1 B 1 δ1 ´ δ3 δ2 ´ δ3 “ ñ 2δ3 “ 3δ3 ´ δ1 3a a 3F2 p2lq F1 l p2F3 q l “ ´ 2AE AE AE F1 ´ 6F2 ` F3 “ 0 (III) Resolviendo los 3 sistemas se tiene; ademas para σ “ 16KN {cm2 13P “ 0.619P ñ P ď 258.462 21 P F2 “ “ 0.143P ñ P ď 1120 7 5P F3 “ “ 0.238P ñ P ď 1344 21 6 P “ 258.462KN F1 “ Ejercicio N° 15 Una placa absolutamente rígida de sección rectangular esta apoyada con sus ángulos sobre columnas de longitudes y secciones iguales. Sobre la placa gravita una fuerza concentrada P “ 100KN aplicada en el punto k que divide la diagonal AC en razon 1 : 2. Calcular la sección de las barras a partir de la tensión admisible rσ “ 50M pas y determinar el asiento máximo del ángulo de la placa. Viene dado: a “ 4.5m, b “ 3m l “ 1m, E “ 2x105 Mpa pagina 25 Resistencia de Materiales I-II Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación Solución: De la figura (a) ÿ Fy “ 0 Fa ` 2Fb ` Fc “ 0 ÿ Mk “ 0 ˙ ˆ ˙ ˆ ´m¯ 3m 3m ´ Fa `P ` Fc 2 2 2 P ´ Fa ` Fc “ 3 (I) (II) De la figura (b) δa ` δc “ δb ñ δa ` δc “ 2δb 2 Fa l Fc l Fb l ` “2 AE AE AE Fa ` Fc “ Fb (III) pagina 26 Resistencia de Materiales I-II Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación Resolviendo (I), (II) y (III) Fa “ P 12 Fb “ Fd “ Fc “ 5P 12 para P 4 P “ 100KN para para í Fa “ 8.333KN P “ 100KN P “ 100KN í F “ 25KN í Fc “ 41.667KN El esfuerzo máximo se dará en Fc σ “ 50M pa “ 5KN {cm2 Fc “5 6 A “ 8.333cm2 A El asiento máximo se ara debido a la fuerza Fc δmax “ 41.667 ˚ 100 ˚ 10 “ 25mm 8.333 ˚ 0.2 ˚ 105 Ejercicio N° 16 Una barra absolutamente rígida AD esta articulada en el punto D de una pared también absolutamente rígida y sometida por tres tornapuntas 1, 2 y 3: Calcular los esfuerzos en los tornapuntas y la magnitud del parámetro d la carga P a partir de la tensión admisible rσs “ 160M pa , si las secciones de todos los tornapuntas tienen igual área A “ 2cm2 Solución: pagina 27 Resistencia de Materiales I-II Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación De la figura 1 ÿ MD “ 0 ´ ? ¯ pF1 sin 30˝ q 2 3a ´ 2P p3aq ´ P p2aq ` pF2 sin 45˝ q p2aq ` pF3 sin 45˝ q paq “ 0 ? ? ? 2 3F1 ´ 6P ´ 2P ` 2F2 ` F3 “ 0 2 ? ? ? 2 3F1 ` 2F2 ` F3 “ 8P 2 (I) pagina 28 Resistencia de Materiales I-II Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación De las relaciones geométricas M AA1 D „M BB 1 D ? ? 2δ1 2δ2 ? “ ñ 2δ1 “ 6δ2 2a 2 3a « ` ? ˘ ff „ ? F2 2 2a F1 p4aq 2 “ 6 AE AE ? 2F1 “ 3F2 (II) Además se tiene ? ? 2δ2 “ 2 2δ3 « `? ˘ ff ` ? ˘ F2 2 2a F3 2a “2 AE AE (III) F2 “ F3 De las ecuaciones (I), (II) y (III) F1 “ 1.914P F2 “ F3 “ 2.209P Hallando P σ “ 160M pa “ 16KN {cm2 ñ 2.209P “ 16 2 P “ 14.486KN Ejercicio N° 17 Una barra absolutamente rígida, representada en la figura, esta articulada en un cuerpo absolutamente rígido mediante barras de acero. Calcular los esfuerzos en las barras, así como el área de la sección A de estas, si la tension admisible de tracción es rσstr “ 160M pa y la de compresión rσscomp “ 50M pa. La magnitud del parámetro de la carga es P “ 100KN Solución: pagina 29 Resistencia de Materiales I-II Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación De la figura (a) ÿ MA “ 0 FBE sin 45˝ paq ` FCG sin 30˝ p2aq ´ 100 p3aq “ 0 ? 2 FBE ` FCG “ 300 2 (I) De la figura (b) 2BB 1 “ CC 1 `? ˘ ? ? FBE 2a 1 BB “ 2δBE “ 2 AE ˆ ˙ FBE BB 1 “ 2 a AE ˙ˆ ˙ ˆ 4a FCG 1 ? CC “ 2δCG “ 2 AE 3 ˆ ˙ 8 FCG CC 1 “ ? a 3 AE (II) Remplando en (II) „ ˆ ˙ 8 FCG a 2FBE a “? 2 AE 3 AE ? 3FBE “ 2FCG (III) De (I) y (III) FBE “ 190.702KN FCG “ 165.153KN Solo hay esfuerzo de tracción rσs “ 160M pa “ 16KN {cm2 190.702 6 “ 16 ñ A “ 11.919cm2 A pagina 30 Resistencia de Materiales I-II
