ROBOT BIPEDO posicion vertical

Índice
COORDINACIÓN GENERAL DE UNIVERSIDADES
TECNOLÓGICAS Y POLITÉCNICAS
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE TEHUACÁN
PROGRAMA EDUCATIVO EN
MECATRONICA
ÁREA SISTEMAS DE MANUFACTURA FLEXIBLE
INTEGRADORA II TSU
DOCENTE:
ING. Amparo Roxana Gámez Espíndola
ASESOR:
M.C. Alfredo Namigtle Jiménez
COLABORADORES:
M.C. Óscar Bautista Merino
M.C. Cesar Adrián Masa Valle
NOMBRE DEL PROYECTO:
Control de la vertical de un NAO
ESTUDIANTES:
Omar González Merino
Jesús Alberto Amil pacheco
David Antonio Cruz Jiménez
Tehuacán; Puebla, 13 agosto 2019
i
Índice
ÍNDICE
Contenido
ÍNDICE ............................................................................................................................. ii
ÍNDICE DE FIGURAS ..................................................................................................... iv
ÍNDICE DE TABLAS ......................................................................................................... v
ÍNDICE DE ANEXOS ....................................................................................................... v
AGRADECIMIENTOS ..................................................................................................... vi
RESUMEN...................................................................................................................... vii
ABSTRACT ................................................................................................................... viii
INTRODUCCIÓN............................................................................................................. ix
CAPÍTULO I................................................................................................................... 10
PLANTEAMIENTO DEL PROYECTO ........................................................................... 10
1.1
Planteamiento del problema .......................................................................... 10
1.2
Justificación ................................................................................................... 10
1.3 Trascendencia .................................................................................................... 10
1.3.1 Trascendencia Académica ......................................................................... 10
1.3
Factibilidad y viabilidad ................................................................................. 10
1.5 Objetivos ............................................................................................................. 11
1.5.1 Objetivo general .......................................................................................... 11
1.5.2 Objetivos específicos .................................................................................. 11
1.6 Preguntas de Investigación .............................................................................. 11
CAPÍTULO II.................................................................................................................. 12
ESTADO DEL ARTE ................................................................................................. 12
ii
Índice
CAPÍTULO III................................................................................................................. 14
METODOLOGÍA ............................................................................................................ 14
3.1 Tipo de Investigación ........................................................................................ 14
3.2 Metodología para el desarrollo del proyecto ................................................... 14
3.3 Cronograma de actividades .............................................................................. 14
3.4 Descripción de actividades ............................................................................... 14
CAPÍTULO V ................................................................................................................. 16
RESULTADOS Y CONCLUSIONES ............................................................................. 16
5.1 Evaluación y análisis de resultados ................................................................. 16
5.2 Discusión ............................................................................................................ 24
5.3 Conclusiones ..................................................................................................... 25
5.4 Recomendaciones ............................................................................................. 25
ANEXOS........................................................................................................................ 26
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS .............................................................................. 27
iii
Índice de tablas
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 3. 1 Cadenas y articulaciones cinemáticas del NAO
15
Figura 3. 2 Robot bípedo humanoide NAO
16
Figura 3.3 Fuerzas y momentos aplicados sobre el pie de apoyo
18
Figura 3. 4 Modelos del péndulo invertido 3D
20
Figura 3.5 Modelo simplificado del robot bípedo (péndulo invertido 3D)
20
Índice
ÍNDICE DE TABLAS
Tabla 1: Cronograma de actividades
12
Tabla 2: Características funcionales de los humanoides
14
Tabla 3: Características principales del NAO humanoide
15
Tabla 4: Discusión de artículos
22
ÍNDICE DE ANEXOS
David Antonio buscando información...............................................................................................26
Comprobando modelos matemáticos..............................................................................................26
v
Índice
AGRADECIMIENTOS
La vida es hermosa y una de las principales características de esta hermosura que la podemos
compartir y disfrutar con quienes amamos, podemos ayudar y guiar muchas personas si ellas lo
permiten, pero también podemos ser ayudados y guiados durante nuestra vida; por esto mismo,
mediante estos agradecimientos quiero exaltar la labor de todos mis amigos, todos aquellos que
estuvieron presentes durante toda la mayor parte de la realización y el desarrollo de este proyecto,
gracias a aquellos que con respeto y decencia realizaron aportes a esta, gracias a todos.
El desarrollo de este proyecto no lo puedo catalogar como algo fácil, pero lo que sí puedo hacer,
es afirmar que durante todo este tiempo pude disfrutar de cada momento, que cada investigación,
proceso que realizamos dentro de esta, lo disfrute mucho y no fue porque simplemente me dispuse
a que así fuera, fue porque mis amigos siempre estuvieron ahí, fue porque la misma que demostró
que las cosas y actos que yo realice, serán los mismos que harán conmigo.
Siembra una buena y sincera amistad, y muy probablemente el tiempo te permitirá disfrutar de una
agradable cosecha.
vi
Introducción
RESUMEN
Los robots bípedos desempeñan funciones casi similares a la del ser humano, sin
embargo, carecen de ciertas características las cuales limitan su potencial, en especial,
mantener el equilibrio en condiciones adversas. Se tiene información de ciertos
métodos los cuales podrían aplicar al problema de dichos robots por lo que el objetivo
del presente trabajo fue seleccionar un modelo matemático capaz de controlar la
posición vertical de un robot bípedo tomando como criterio el Centro de Masa (CoM) y
el Zero Moment Point (ZMP). Para ello se decidió buscar distintos modelos
matemáticos, se toma como referencia el bípedo Nao H025. Con ayuda de estos
modelos se busca implementar una solución viable para desarrollar el control de
posición vertical.
vii
Introducción
ABSTRACT
Bipedal robots perform functions almost similar to that of the human being, however,
they lack certain characteristics that limit their potential, especially maintaining balance
in adverse conditions. There is information on certain methods which could apply to the
problem of these robots, so the objective of the present work was selected a
mathematical model capable of controlling the vertical position of a bipedal robot taking
as a criterion the Center of Mass (CoM) and the Zero moment point (ZMP). For this, we
seek to find different mathematical models, the Nao H025 biped is taken as a reference.
With the help of these models, it is sought to implement a viable solution to develop
vertical position control.
viii
Introducción
INTRODUCCIÓN
La robótica es una rama de la tecnología integrada por un conjunto de conocimientos
teóricos y prácticos que permiten el diseño, construcción, operación y aplicación de los
robots; la robótica además combina diversas disciplinas como la física, mecánica,
electrónica, informática, ingeniería de control e inteligencia artificial.
La robótica está tomando un papel muy importante para el futuro de la sociedad ya que
cada vez hay más robots que desempeñan las tareas del ser humano. Como lo son los
robots utilizados en procesos industriales que trabajan con materiales peligrosos, esto
hace más fáciles las tareas del hombre.
Por otra parte, también existe la robótica móvil, estos robots tienen extremidades
inferiores para realizar su desplazamiento, conocidos como bípedos, la caminata bípeda
al momento de imitar, es una de las más complicadas en comparación con otros
(cuadrúpedos o hexápodos) debido a la complejidad de mantener el equilibrio, ya que, es
esta la limitación de los proyectos de investigación científica en esta área de la robótica.
Dada la importancia del desarrollo de tecnologías, algunas de estas investigaciones se
centran solo en la caminata bípeda en zonas planas, pero debido a algunas necesidades
de la robótica también se busca que la caminata bípeda pueda de igual forma realizarse
en un plano inclinado o una pendiente.
Por eso y otras razones la robótica es imprescindible para el desarrollo y competitividad
de un país. Debe quedar claro que no se está hablando de importación de tecnología de
otros países, sino más bien de la comprensión de la ciencia que hay de detrás y del
desarrollo de la propia tecnología.
Desde la década de 1980 se han construido maquinas bípedas de tamaño similar a las
personas. Después de años de investigación y desarrollo, los primeros robots
humanoides tuvieron su aparición en los años 1990. Últimamente grandes empresas e
instituciones académicas de prestigio son los principales fabricantes de este tipo de
robots.
ix
Capítulo I. Planteamiento del proyecto
CAPÍTULO I
PLANTEAMIENTO DEL PROYECTO
1.1 Planteamiento del problema
La robótica actual se ha desarrollado de un manera bastante amplia, sin embargo con el
pasar del tiempo surgen nuevas incógnitas, los robots bípedos Nao, son unos de los más
completos que hay, mas no cumplen toda la locomoción del ser humano, una de estas
es mantener el equilibrio en un plano inclinado, esto puede resolverse aplicado algunos
un modelo matemáticos teniendo como criterio el ZMP(Punto de Momento Cero) y el CoM
(Centro de Masa), aunque para esto será necesario abordar las características de dicho
robot.
1.2 Justificación
La tendencia de hoy en día en la robótica, es que cada vez los robots humanoides, tenga
una locomoción parecida a la del ser humano, los robots bípedos Nao, en su mayoría
son utilizados en pacientes autistas para su acompañamiento, mas no es su único fin, sin
embargo carecen de ciertas características en su software para un mejor funcionamiento,
es por eso que en este proyecto buscaremos un modelo matemático teniendo como
criterio el ZMP y CoM, con el fin de proponer el más viable para resolver que este se
mantenga en equilibrio en un plano inclinado.
1.3 Trascendencia
1.3.1 Trascendencia Académica
Puede brindar soluciones a proyectos escolares, además de resolver algunas incógnitas
que con el tiempo pueden surgir, incluso puede servir como base de futuras
investigaciones, en las que se tome como criterio el ZMP y el CoM, no obstante este
proyecto puede asentar las bases para una futura actualización de dicho software.
1.3 Factibilidad y viabilidad
El proyecto es factible ya que contamos con el robot Nao H025 dentro de la institución
educativa, además de que podemos utilizar varios softwares de código libre, que están
completamente disponibles para diversas plataformas, incluso contar con los criterios del
ZMP y el CoM.
Dicho proyecto también es viable, debido a las características de los recursos con los que
contamos, tales como las características cinemáticas del robot Nao, además de que dicho
robot puede ser cargado con un nuevo software previamente creado, por otra parte
10
Capítulo I. Planteamiento del proyecto
contamos con varios modelos matemáticos para hallar el equilibrio en base al ZMP y el
CoM.
1.5 Objetivos
1.5.1 Objetivo general
Diseñar e implementar un algoritmo a un robot bípedo considerando los criterios de ZMP
y CoM con el fin de mantener el equilibrio en una superficie inclinada.
1.5.2 Objetivos específicos

Proponer un modelo matemático con criterio en ZMP y/o CoM para la solución a
la vertical del robot Nao

Buscar modelos matemáticos para calcular el equilibrio teniendo como criterio el
ZMP y el CoM

Abordar las características cinemáticas del robot bípedo “NAO H025”
1.6 Preguntas de Investigación
 ¿Cuáles son las características del robot Nao H025?
 ¿Qué es lo que buscamos obtener investigando ZMP CoM?
 ¿Qué es lo que debe realizar el algoritmo?
 ¿Cómo podemos hacer que el robot bípedo se mantenga en equilibrio a partir de
ZMP?
 ¿Cómo se debe diseñar un algoritmo?
 ¿Por qué es necesario buscar modelos matemáticos del ZMP y CoM?
11
Capítulo III. Metodología
CAPÍTULO II
ESTADO DEL ARTE
Generación de trayectorias para un robot bípedo en fase de balanceo a partir de de
captura de movimiento humano.
En este trabajo se propone la captura de movimiento humano para generar movimientos
de una de las piernas en fase de oscilación de nuestro robot bípedo restringido al plano.
Los movimientos están o son definidos mediante algunos lapsos de tiempo que
representan las posiciones angulares deseadas para las articulaciones que están
involucradas. La captura de dichos movimientos se realiza con un sensor Kinect TM y a
partir de los datos obtenidos se generaron trayectorias articulares para controlar la pierna
derecha del robot bípedo en la fase de balanceo. La ley de control propuesta es una
estrategia hibrida; una de las primeras estrategias está basada en un control por par
calculado para realizar un seguimiento de trayectorias de referencia y la segunda
estrategia se basa en control escalado de tiempo para garantizar el equilibrio del robot.
Diego A. Bravo M. Carlos F. Rengifo R. (31/07/2017)
Lo tomado de este artículo es; la fórmula para calcular la inercia y los vectores de fuerza,
esto nos será útil para el equilibrio del bípedo, algunas referencias para el movimiento a
base de la captura de movimientos, además de la influencia del torque del Nao y la
influencia del control de la escala de tiempo del ZMP.
Técnicas de control para el balance de un robot bípedo.
Debido a la inestabilidad inerte de los robots bípedos, existen diferentes técnicas para
controlarlos. El objetivo es presentar una revisión descriptiva de algunas técnicas de
algunas técnicas de control para mantener el equilibrio estático y dinámico, además de
resaltar que se utilizaran algoritmos para la generación de patrones de marcha
desarrolladas en la robótica bípeda. El artículo también tiene cierto contenido una breve
terminología de la locomoción bípeda. Las técnicas de control descritas están basadas
en la teoría de control a partir de modelos dinámicos de robots bípedos.
Sergey González Mejía
José Miguel Ramírez Scarpetta
Edna Jovdeth Rodríguez
(15/05/2014)
Lo que más resalta de este articulo y lo tomado para nuestro proyecto es: el centro de
gravedad y el centro de masa del cuerpo humano ZMP, también el uso de actuadores en
los tobillos del robot, sobre todo algo muy importante como la ley de control y el grado de
perdida de equilibrio.
Zero moment point method for stable biped walking.
Los robots bípedos, o también conocidos como robots de 2 piernas se supone que imitan
a los humanos en el sentido de caminar. Estos generalmente consisten en cuerpos
interconectados con articulaciones que están activamente o pasivamente accionadas. El
caminar humano es una órbita periódica de una fase estable que alterna con una fase
inestable. Esta es una forma compleja, aunque altamente energéticamente eficiente en
12
Capítulo III. Metodología
la locomoción de un bípedo ya que cada “fallo”, es debido a la gravedad. Debido a su
complejidad el análisis de estabilidad del caminar humano se puede simplificar usando el
criterio de momento del punto cero (ZMP). A costo de la eficiencia energética de la
locomoción bípeda sin embargo se puede controlar para que siempre sea dinámicamente
estable.
M.H.P.Dekker (19/07/2009)
Lo que se recabo de este artículo fue la locomoción de los bípedos, la definición del ZMP,
también algunos otros criterios del CoP, incluso su derivación, abordando las
características del ZMP aplicado a robots bípedos.
Locomoción bípeda del robot humanoide Nao.
La locomoción bípeda de robots humanoides, esto se refiere a aquellos que tienen
morfología humana y las articulaciones necesarias para realizar movimientos similares a
los humanos, este es un desafío para el desarrollo tecnológico.
El proyecto de investigación se propone como el objetivo principal desarrollar un
algoritmo de control para conseguir que el robot humanoide Nao camine, mejorando su
algoritmo propio. Además de que se creara una interfaz gráfica de usuario que permitirá
que permitiría el control del Nao y las funciones que se desarrollen.
Samuel Fernández Iglesias (noviembre 2009)
Algunos datos recabados de este fueron nuevamente, el ZMP y la formulación
matemática ampliando el criterio del mismo, el diseño y las características de un algoritmo
implementado, tomando como base el robot ASIMO, y en torno a eso como se podría
aplicar a él Nao.
Análisis y diseño de algoritmos.
El algoritmo es un conjunto prescrito de instrucciones o reglas bien definidas, ordenadas
y finitas que permiten llevar a cabo una actividad mediante paso sucesivos que no
generan dudas a quien deba hacer dicha actividad, la medida de eficiencia de dicho
algoritmo que se estudia los recursos, en este trabajo se describe como diseñar un
algoritmo y que función queremos que cumpla también se describe que es un lenguaje
de programación es el más viable que pueda cumplir con lo que deseamos programar,
he incluso se da una breve introducción al lenguaje C++ .
Juan Bernardo Vázquez Gómez (2012)
Lo que tomamos de este articulo fueron las características de diseño de un algoritmo,
también los diferentes tipos de lenguajes para programar y aquellos que sean más
factibles, pero completos, incluso recabamos a información del lenguaje C++ ya que es
uno de los menos complicados de entender y por ende nos resulta más sencillo de
programar.
13
Capítulo III. Metodología
CAPÍTULO III
METODOLOGÍA
3.1 Tipo de Investigación
En el desarrollo de nuestro documento aplicamos diferentes tipos de investigación los
cuales son; Descriptiva y Explicativa.
Descriptiva: como su nombre lo dice este tipo de investigación busca describir la realidad
de las situaciones que se están abordando y que pretendemos analizar, además de que
consiste en plantear lo más relevante de dicha situación concreta. Se debe definir su
análisis y los procesos que involucrar el mismo.
Explorativa: este tipo de investigación que ofrece un acercamiento al problema que se
está estudiando y pretendemos conocer, nos permitirá familiarizarnos con algo que hasta
el momento desconocíamos, con este tipo de investigación logramos obtener un
panorama superficial del tema.
3.2 Metodología para el desarrollo del proyecto
La metodología que utilizamos para el desarrollo de este proyecto fue el Diagrama de
Gantt, una de las metodologías más utilizadas para la gestión de proyectos, esto debido
a la simplicidad de su estructura y lo manejable de su planteamiento, las principales
características, es que se compone de dos ejes donde se recogen las tareas y actividades
que componen el proyecto y se asocian con un cronograma, una ventaja es que aporta
una visión clara y realista de la situación.
3.3 Cronograma de actividades
Tabla 1: cronograma de actividades
3.4 Descripción de actividades
En primera instancia fue investigar características generales del robot Nao, con base a lo
obtenido, se fue desglosando la información y lo que realmente se quería obtener, en
este caso los únicos rasgos que nos importaban por el momento eran las características
14
Capítulo III. Metodología
cinemáticas del robot, eso incluía el centro de masa de todo el robot y también de cada
una de sus componentes cinemáticos (brazos, piernas, pies, cabeza, etc.) y una breve
investigación de las características de su programación.
Con base a los resultados de nuestro primer abordaje al tema, procedimos a buscar cual
era el significado de ZMP (por sus siglas en ingles Zero Moment Point/ Punto del
momento cero) y el CoM (Cetro de Masa), habiendo encontrado lo que significaba, se
buscó posibles modelos matemáticos que podrían aplicarse para obtener el equilibrio del
robot nao en un plano inclinado.
Habiendo encontrado algunos modelos no tan complejos, pero tampoco tan simples, se
aplicó un filtro en el cual seleccionamos algunos que podrían brindarnos la solución a
nuestro problema teniendo como criterio principal el ZMP y el CoM, sin embargo, no
descartamos la posibilidad de basarnos en otros modelos, pero con criterios diferentes,
ya que algunos se complementaban entre sí.
15
Capítulo III. Metodología
CAPÍTULO V
RESULTADOS Y CONCLUSIONES
5.1 Evaluación y análisis de resultados
Un robot bípedo debe mostrar un buen rendimiento de movimiento para su relación
altura/peso o índice de masa corporal (IMC). Nao tiene un IMC de aproximadamente
13.5kg/m2, lo que significa que es muy ligero en comparación con otros robots que existen
de la misma altura. La tabla 1.2 da el IMC para diferentes robots humanoides Nao.
Tabla 2: Características funcionales de los humanoides
El robot está equipado con motores DC de escobillas de alta calidad y dispositivos de
sensores magnéticos de alta precisión. Uno de los grandes desafíos para un robot con
patas consiste en auto-localización. El software propuesto por Nao es fácil de usar y se
basa en una arquitectura distribuida que permita interactuar con aplicaciones instaladas
y remotas que son útiles para la depuración y desarrollo.
La arquitectura abierta significa que la mayoría del software integrado, incluido el sistema
operativo, puede ser cambiado por el usuario si lo desea.
16
Capítulo III. Metodología
Cuerpo
Altura (m)
Peso (kg)
Batería
Tipo
0.57
4.5
Lithim-ion
55 Wh
Capacidad
Grados de Libertad (DOF) : 25
2DOF
Cabeza
Brazos
5 DOF X 2
Pelvis
1 DOF
Piernas
5 DOF X 2
Manos
1 DOF X 2
Tabla 3: Características principales del NAO humanoide.
Figura 1: Cadenas y articulaciones cinemáticas del NAO.
17
Capítulo III. Metodología
Cinemática
El robot Nao tiene un total de 25 grados de libertad, 11 grados de libertad (DOF) para la
parte inferior del cuerpo que incluye, piernas y pelvi, y 14 DOF para la parte superior que
incluye tronco, brazos y cabeza.
Figura 2: Robot bípedo humanoide NAO.
Las articulaciones de cadera, rodilla y tobillo son articulaciones rotatorias, el movimiento
ladeado en ambas piernas, 0.5seg, levantamiento de piernas en posición ladeada 0.
5seg.todos los motores se controlan mediante una ley PID (controlador).
El análisis cinemático de un robot comprende el estudio de su movimiento con respecto
a un sistema de referencia.
 Cinemática directa: determinar cuál es la posición y orientación del extremo final
del robot, con respecto a un sistema de coordenadas que se toma como referencia,
conocido los valores de las articulaciones y los parámetros geométricos de los
elementos del robot.
 Cinemática inversa: resuelve la configuración (valores de las articulaciones) que
debe adoptar el robot para una posición y orientación de extremo conocidas.
Modelos o métodos encontrados.
El problema cinemático directo se plantea en términos de encontrar una matriz de
transformación que relaciona el sistema de coordenadas ligado al cuerpo en movimiento
respecto a un sistema de coordenadas que se toma como referencia. Para lograr esta
representación se usan las matrices de transformación homogénea 4x4, la cual incluye
las operaciones de traslación y la orientación.
La matriz de transformación homogénea es una matriz 4x4 que transforma un vector de
18
Capítulo III. Metodología
posición expresado en coordenadas homogéneas desde un sistema de coordenadas
hasta otro sistema de coordenadas. Una matriz de transformación homogénea se puede
considerar que consiste en sub matrices:
T=[
𝑅3X3 𝑃3𝑋1
𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑟𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛
]=[
]
𝑓1𝑥3 1𝑋1
𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓. 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎
𝐸𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑑𝑜
La submatriz 3x3 superior izquierda representa la matriz de rotación; la submatriz
superior derecho 3x1 representa el vector de posición del origen del sistema de
coordenadas rotado con respecto al sistema de referencia; la submatriz inferior izquierda
1x3 representa la transformación de perspectiva. Y el cuarto elemento diagonal es el
factor de escala global.
Denavit-hartenberg (D-H), propusieron en 1955 un método matricial que permita
establecer de manera sistemática un sistema de coordenadas {Si} ligado a cada eslabón
i, de una cadena articulada, pudiéndose determinar a continuación las ecuaciones
cinemáticas de la cadena completa [1].
Según la representación de D-H, escogido adecuadamente los sistemas de coordenadas
asociados a cada eslabón, será posible pasar de uno a los siguientes mediante 4
transformaciones básicas que dependen exclusivamente de las características
geométricas del eslabón.
Estas transformaciones básicas consisten en una sucesión de rotaciones y traslaciones
que permitan relacionarlas el sistema de referencia del elemento. Las transformaciones
en cuestión son las siguientes;
1) Rotación alrededor del eje zi-1 un Angulo θ12) Traslación a lo largo de zi-1 una distancia d1
3) Traslación a lo largo de xi un ángulo a1
Dado el producto de matrices no es conmutativo, las transformaciones se han de
realizar en el orden indicado. De este modo se tiene que;
𝑖 − 1𝐴𝑖 = 𝑇(𝑧, 𝜃𝑖)𝑇(0,0, 𝑑𝑖 )(𝑇𝑎𝑖 , 0,0)𝑇(𝑥, 𝑎𝑖 )
𝑖 − 1𝐴𝑖
𝑐𝜃𝑖
𝒔𝜃
=[ 𝑖
𝟎
𝟎
−𝒄𝑎𝑖 𝑠𝜃𝑖
𝒄𝑎𝑖 𝑐𝜃𝑖
𝒔𝑎𝑖
𝟎
𝒔𝑎𝑖 𝑠𝜃𝑖 𝒄𝜃𝑖
−𝒔𝑎𝑖 𝑐𝜃𝑖 𝒔𝜃𝑖
]
𝒄𝑎𝑖
𝒅𝒊
𝟎
𝟏
Donde θi , di , αi , ai son parámetros D-H de eslabón i. De esta manera basta con identificar
los parámetros para obtener las matrices de transformación homogénea A y relacionar
así todos y cada uno de los eslabones del robot.
Modelo de péndulo invertido.
Los péndulos invertidos son una familia de artefactos que constituye de un banco de
pruebas muy complejo e interesante para la ingeniería de control no lineal. Es un
dispositivo que simula algunos sistemas prácticos como brazos robóticos, grúas, etc.
19
Capítulo III. Metodología
Criterio de estabilidad, ZMP.
El punto de momento cero, es el punto sobre el AS (área de soporte) del humanoide
donde se anula el momento resultante de las fuerzas externas, la gravedad y las fuerzas
de inercia. Se define también como el punto en el suelo tal que el momento neto de las
fuerzas externas no tienen componentes sobre los ejes horizontales. Cuando existe
dentro del AS, el contacto entre el, suelo y el pie estable. Cuanto más cercano este el
centro de la superficie de soporte, más robustez se conseguirá. Cuando este fuera del
AS, el robot se inclina rotando sobre algunos de los bordes de dichos polígonos. El criterio
de que el ZMP (por sus siglas en inglés) existe dentro del AS es condición necesaria y
suficiente para garantizar la estabilidad dinámica del robot.
Otra definición difiere de la anterior el ZMP es el punto sobre la superficie donde la suma
de todos los momentos, ocasionados por la gravedad y las fuerzas inerciales es igual a
cero.
Cuando el ZMP se ubica dentro del área convexa formado por los puntos de contacto
entre el pie de soporte y el suelo, el robot puede desarrollar una marcha dinámica estable.
1) Se comenzará el análisis de todas las fuerzas y momentos que actúan sobre el pie
de apoyo
Figura 3: Fuerzas y momentos aplicados sobre el pie de apoyo
El momento y la fuerza resultante generada por el cuerpo en movimiento de un robot
bípedo ¨M¨ y ¨R¨ son el momento y la fuerza de reacción del piso. Para que se
encuentre el equilibrio estático se tiene:
20
Capítulo III. Metodología
Se asume no deslizante entre el ¨PIE¨ de apoyo y el suelo.
Por lo que se tendrá:
Los momentos se ha reducido al plano horizontal (ejes ¨Z¨ y ¨Y¨). Se debe cumplir:
Cambiando el punto de referencia de O, despreciando la masa del pie se obtiene.
En base a la teoría expuesta anteriormente para calcular el ZMP a partir de un modelo
simplificado del robot bípedo es decir de un modelo de péndulo invertido 3D ya que el
cálculo se realiza a partir de las coordenadas, velocidad y aceleración y el momento
angular del robot bípedo.
21
Capítulo III. Metodología
Figura 4: Modelo del péndulo invertido 3D.
Se presenta el siguiente grafico para el análisis del de ZMP con el modelo del péndulo
invertido
Figura 5: modelo simplificado del robot bípedo (péndulo invertido 3D)
= Torques creadas por las fuerzas de reacción del suelo
Tcm: momento dinámico de centro de masa
22
Capítulo III. Metodología
Fgr: fuerza de gravedad
rcm: vector de posición de la base del pie al centro de masa
Se tiene la ecuación de equilibrio rotacional
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Donde;
Hcm= momento angular del centro de masa
m = masa del robot ubicado en el centro de masa
g = aceleración de la gravedad
Donde el momento angular de una masa puntual (Centro de Masa), se puede expresar.
(6)
Siendo:
Pcm = momentum del centro de masa
Desarrollando la ecuación anterior se tiene lo siguiente;
(7)
(8)
(9)
(10)
El primer término de la ecuación anterior es igual acero. Por ser vectores paralelos.
(11)
(12)
Remplazando las ecuaciones 12, 3, 5 y 6en la ecuación 1:
(13)
(14)
El ZMP puede ser usado para representar una suma de torques, resultando las fuerzas
de reacción del suelo como sigue.
(15)
(16)
23
Capítulo III. Metodología
Siendo:
(17)
(18)
Remplazando las ecuaciones 2, 5 y 16 en la 15, se tiene;
(19)
(20)
Remplazando las ecuaciones 13 y 14 en 19 y 20 se tiene:
(21)
(22)
5.2 Discusión
Tabla 4: Discusión de artículos.
24
Capítulo III. Metodología
5.3 Conclusiones
Cumpliendo con nuestros objetivos propuestos, se obtuvieron varios modelos
matemáticos para que en un futuro se pueda encontrar la solución a la vertical del robot
Nao, aplicando el criterio del ZMP y el CoM mediante un sistema de péndulo invertido, se
encontraron dichas formulas y los pasos a seguir para encontrar las coronadas del robot
bípedo.
Se buscan herramientas algunas como la planeación de trayectorias y un modelo
parametrizado carro mesa para proponer las posibles ecuaciones para la cinemática
directa del robot y así poder generalizar sobre su estabilidad y poder encontrar el punto
de equilibrio en una pendiente.
Cabe resaltar que también se obtuvo ciertas características esenciales del robot nao que
nos servirán como base para encontrar datos que ayuden a resolver las ecuaciones que
solucionaran nuestro problema.
5.4 Recomendaciones
Con los resultados obtenidos se espera que se lleve a cabo la implementación de dichos
métodos a la problemática en cuestión.
Se diseñe un algoritmo que pueda modificar la posición del ZMP y el CoM cuando estos
se salgan del polígono del soporte y que evite que el Nao caiga.
Hacer uso de controladores utilizando la inteligencia artificial.
Los alcances que logre tener esta investigación dopen de la aplicación que se le pueda
dar, de tal manera que logre trascender en lo académico.
25
Capítulo III. Metodología
ANEXOS
Comprobando varios modelos
matemáticos
David Antonio buscando información.
26
Referencias bibliográficas
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
 Br. Josmell Henry Alva Alcántara, Diseño de un prototipo de robot bípedo
con planificación de trayectorias con criterio ZMP para su estabilidad al
caminar sobre una superficie plana. – Trujillo Perú 2017.
 Mtro. Diego Alberto Bravo Montenegro, Generación de trayectorias para un
robot bípedo basadas en captura de movimiento humano. – Universidad de
cauca, Popayán agosto de 2016.
 Samuel Fernández Iglesias, Locomoción bípeda del robot humanoide Nao.
– noviembre 2019.
 J. Aracil, F. Gordillo, El péndulo invertido: un desafío para el control no lineal.
– escuela superior de ingenieros, universidad de Sevilla s/n. Sevilla41092.spain abril 2005.
 Sergey Gonzales Mejia, José Miguel Ramírez Escarpetta, Edna Joydeth
Avella Rodríguez, Técnicas de control para el balance de un robot bípedo:
un estado del arte. – 15 de mayo del 2014.
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