ProblemarioTermodinamica 2015

Problemario de Termodinámica Equilibrio térmico, ecuaciones de estado y trabajo • Los sistemas 1 y 2 son sales paramagnéticas con coordenadas B,M y B´M´, respectivamente. El sistema 3 es un gas con coordenadas P, V. Cuando 1 y 3 están en equilibrio térmico se cumple la relación: 4πRCC B − MPV = 0
Cuando 2 y 3 están en equilibrio se tiene nRTM ´+4πnRC C´ B´− M ´PV = 0
Donde n, R, CC, C´C y T son constantes. a) Encuentre las tres funciones que son iguales entre sí de acuerdo al principio cero de la termodinámica b) Hacer cada una de estas funciones igual a la temperatura del gas ideal y ver si algunas de estas ecuaciones son ecuaciones de estado. • Represente matemáticamente: o El efecto de un cambio infinitesimal de presión sobre el volumen de un sistema hidrostático cuando se mantiene constante la temperatura. o Efecto del cambio infinitesimal de temperatura sobre la longitud por unidad de longitud cuando se mantiene constante la fuerza externa. • Enuncie y describa: 𝐿 𝜕𝐹
𝑌=
𝐴 𝜕𝐿 !
• Deducir las siguientes igualdades termodinámicas: ⎛ ∂P ⎞ ⎛ ∂V ⎞
⎛ ∂P ⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟ = −⎜ ⎟
⎝ ∂V ⎠T ⎝ ∂T ⎠ P
⎝ ∂T ⎠V
β
⎛ ∂P ⎞
⎜ ⎟ =
⎝ ∂T ⎠V κ
1
κ
dV =
dV + dP
βV
β
• Un hilo metálico de 0.0085 cm2 de sección es sometido a la tensión de 20N a la temperatura de 10°C entre dos soportes rígidos separados 1.2 m. ¿Cuál es la fuerza final si la temperatura se reduce a 8°C? Considere el coeficiente de dilatación lineal α y el módulo de Young isotérmico Y, como siguen: 1 ⎛ ∂L ⎞
α = ⎜ ⎟ = 1.5x10 −5 K −1
L ⎝ ∂T ⎠ F
L ⎛ ∂F ⎞
9
2
Y = ⎜
⎟ = 2 x10 N / m
A ⎝ ∂L ⎠T
• La presión sobre 0.1 Kg de metal es incrementada cuasi-­‐estáticamente e isotérmi-­‐camente desde 0 a 108 Pa. Suponiendo que la densidad y el coeficiente de compresibilidad permanecen constantes con los valores 104 Kg/m3 y 6.75 x10-­‐12 Pa-­‐1, respectivamente, calcular el trabajo en Julios. • Un mol de gas ideal en un estado A, ocupa un volumen de 10 litros a la presión de 4 atm. Posteriormente se expande hasta un estado B que tiene la misma temperatura inicial ocupando un volumen de 20 litros. Calcúlese el trabajo realizado por el sistema para los siguientes procesos, describiendo detalladamente cada uno de ellos. a) Procesos Isobárico+ isocórico b) Proceso libre que sigue un comportamiento lineal c) proceso isotérmico d) proceso isocórico + isobárico • a) Se aumenta cuasi-­‐estáticamente y en forma isotérmica la fuerza de un hilo metálico de Fi a Ff. Si permanecen prácticamente constantes la longitud, la sección y el módulo de Young isotérmico, demuéstrese que el trabajo realizado es: L
W=
F f2 − Fi 2
2 AY
b) La tensión en el hilo metálico de 1 m de longitud y 1x10-­‐7 m2 de área, es incrementada cuasi-­‐
estáticamente e isotérmicamente a 0°C de 10 a 100 N. ¿Cuántos julios de trabajo son realizados? El módulo de Young a 0°C es 2.5 x1011 N/m2. (
)
• La ecuación de estado de una sustancia elástica ideal es ⎛ L L2 ⎞
F = kT ⎜⎜ − O2 ⎟⎟
⎝ L0 L ⎠
donde K es una constante y LO (el valor de L a F=0) es solo función de la temperatura. Calcular el trabajo necesario para comprimir la sustancia desde L=L0 hasta L=L0/2 cuasiestáticamente e isotérmicamente. Considerando que la energía interna de un sistema hidrostático es función de T y P, deducir las ecuaciones: ⎡⎛ ∂U ⎞
⎡⎛ ∂U ⎞
⎛ ∂V ⎞ ⎤
⎛ ∂V ⎞ ⎤
dQ = ⎢⎜
⎟ + P⎜
⎟ ⎥ dT + ⎢⎜
⎟ + P⎜
⎟ ⎥ dP
⎝ ∂T ⎠ P ⎦
⎝ ∂P ⎠T ⎦
⎣⎝ ∂T ⎠ P
⎣⎝ ∂P ⎠T
⎛ ∂U ⎞
⎜
⎟ = CP − PVβ
⎝ ∂T ⎠ P
κ
⎛ ∂U ⎞
⎜
⎟ = PVκ − (CP − CV )
β
⎝ ∂P ⎠T
• Para un gas real a presiones moderadas P(ν-­‐b)=RT, donde R y b son constantes es una ecuación de estado aproximada que tiene en cuenta el tamaño finito de las moléculas. Demostrar que: 1
T
β=
1 + bP
1
κ=
RT
P
bP
1+
RT
• Dos termómetros idénticos, uno de mercurio y otro de aceite, tienen el mismo volumen a 0°C. Encuéntrese la razón de las longitudes l de una división correspondiente a 1°C en la escala del termómetro de mercurio y l1 de una división de la escala del termómetro de aceite. El coeficiente β=
1 ⎛ ∂V ⎞
1 ⎛ ∂Ah ⎞
1 ⎛ ∂h ⎞
⎜
⎟ =
⎜
⎟ = ⎜ ⎟
V ⎝ ∂T ⎠ p Ah ⎝ ∂T ⎠ p h ⎝ ∂T ⎠ p
de expansión volumétrica del mercurio es b y del aceite b1 pudiéndose considerar constantes en el intervalo de operación. Considerar que: • Un dieléctrico tiene una ecuación de estado P/V=cE siendo c una función de la temperatura. Demostrar que el trabajo realizado en un cambio de estado isotérmico y cuasi-­‐estático viene dado por: W=
1
Vχ 2
χ 2f − χ i2 =
E f − Ei2
2Vχ
2
(
)
(
)
• Calcúlese una expresión para el trabajo realizado por una mol de un gas que obedece la ecuación de estado de Beattie-­‐Bridgmann cuando el gas se expande de Vi a Vf cuasiestática e RT (1 − ε )
A
isotérmicamente. P=
V2
(V + B) −
V2
c
⎛ a ⎞
⎛ b ⎞
A = Ao⎜1 − ⎟; B = Bo⎜1 − ⎟; ε =
VT 3
⎝ V ⎠
⎝ V ⎠
Ao, a, B, b y C son constantes. • Demuéstrese que para un gas que satisface la ecuación de estado de Van der Waals (eq.1) el trabajo realizado por éste en un proceso cuasi-­‐estático e isotérmico está dado por: a ⎞
⎛
⎜ P + 2 ⎟(v − b ) = RT
v ⎠
⎝
W = nRT
V f − nb
⎛ 1 1 ⎞
+ an 2 ⎜ − ⎟
⎜ V V ⎟
Vi − nb
i ⎠
⎝ f
• Un gas ideal se encuentra en un estado de equilibrio a la temperatura T1 y presión P1. El gas se expande reversiblemente hasta ocupar un volumen igual al doble de su volumen inicial. Durante esa expansión, T varía de tal manera que para casa estado intermedio, P=kV2 donde k es una constante. a) Dibújese el proceso en un diagrama P-­‐V b) Calcúlese el trabajo realizado por el gas en términos de R y T1. • Un recipiente de volumen VB contiene n moles de gas a alta presión. Conectado al recipiente hay un tubo capilar por el cual puede fluir el gas lentamente hacia la atmósfera donde la presión es Po. Rodeando el recipiente y el capilar hay un baño de agua, en el cual se ha sumergido una resistencia eléctrica. Se deja escapar lentamente hacia la atmósfera a través del capilar mientras se disipa energía eléctrica en la resistencia a una velocidad tal que la temperatura del gas, del recipiente, del capilar y del agua se mantienen igual a la del aire exterior. Demostrar que, después de haber salido tanto gas como haya sido posible durante el tiempo t, la variación de energía interna es: ΔU = εiτ + Po (nvo − VB )
Siendo vo es volumen molar del gas a la presión atmosférica, e es la diferencia de potencial entre los extremos de la resistencia e i la intensidad de la corriente en ella. • La capacidad calorífica molar a presión constante de un gas varía con la temperatura según la ecuación c
C P = a + bT −
siendo a,b, y c constantes. T2
¿Qué cantidad de calor se transfiere durante un proceso isobárico en el cual n moles de gas experimentan una elevación de temperatura de Ti a Tf. Calor y primer principio de la termodinámica, Gases ideales y segundo principio de la termodinámica • Suponga que a través de la pared de un cilindro hueco de radio interior r1 y de radio exterior r2 tiene lugar el fenómeno de conducción de calor a una velocidad constante Q. Las temperaturas en las caras interior y exterior de la pared son T1 y T2, respectivamente. Demostrar que para un cilindro de longitud L y conductividad térmica constante K, la diferencia de temperaturas entre las dos caras de la pared es (2P) •
Q
r
T1 − T2 =
ln 2
2πLK r1
• Deducir las siguientes igualdades termodinámicas: ⎡⎛ ∂U ⎞
⎡⎛ ∂U ⎞
⎛ ∂V ⎞ ⎤
⎛ ∂V ⎞ ⎤
dQ = ⎢⎜
⎟ + P⎜
⎟ ⎥ dT + ⎢⎜
⎟ + P⎜
⎟ dP
∂T ⎠ P
∂T ⎠ P ⎦
∂P ⎠T
∂P ⎠T ⎥⎦
⎝
⎝
⎝
⎝
⎣
⎣
⎛ ∂U ⎞
⎜
⎟ = CP − PVβ
⎝ ∂T ⎠ P
κ
⎛ ∂U ⎞
⎜
⎟ = PVκ − (CP − CV )
β
⎝ ∂P ⎠T
C − CV
⎛ ∂U ⎞
−P
⎜
⎟ = P
Vβ
⎝ ∂V ⎠T
• Calcular el valor de ΔH° para la siguiente reacción: 2PbS(s) + 3O2 ( g ) → 2PbO(s) + 2SO2 ( g )
°
H 298
PbS ( s) = −94.5kJ ;
°
H 298
PbO( s) = −220.5kJ ;
°
H 298
SO2 ( g ) = −298.0kJ
• La Figura siguiente representa un diagrama PV simplificado del ciclo de Joule para un gas ideal. Todos los procesos son cuasi-­‐estáticos y Cp es constante. Demostrar que el rendimiento térmico de un motor que realiza este ciclo es γ −1
⎛ P1 ⎞
⎟⎟
⎝ P2 ⎠
η = 1 − ⎜⎜
γ
Presión
P2
P1
Volumen
• Considérese el siguiente diagrama PV en el cual se muestra el ciclo reversible de una máquina térmica que trabaja con un gas ideal monoatómico. Los procesos son: AB =adiabático, CD= isotérmico. La temperatura en el punto A es TA=293K. Calcular: a) el valor de las variables termodinámicas desconocidas en cada vértice. b) en cada etapa del ciclo el trabajo, el calor y la variación en energía interna. c) el rendimiento térmico del ciclo. P (atm)
3
isot
2
30
4
Adiab
15
1
V
•
2V
48
V (lt)
Considere que Cv=3/2R; Cp=5/2R; y γ=5/3, Un gas diatómico a la presión P1=0.5 atm, ocupa el volumen V1 =0.5 lt. Este gas se comprime adiabáticamente hasta el volumen V2 y la presión P2 y después manteniendo constante el volumen V2, se enfría hasta la temperatura inicial. Al hacer esto, su presión llega a ser igual a Po=1 atm. a) dibújese el diagrama de esta transformación B) Determinar el volumen V2 y la presión P2. Entropía, Tercera ley de la termodinámica, Energías libres de Gibbs y Helmholtz, Relaciones de Maxwell • La expresión matemática del teorema de Carnot es como sigue. Q
T
η = 1 − frio = 1 − frio
Qcaliente
Tcaliente
Donde η es el rendimiento térmico de una máquina térmica. Enuncie y comente las consecuencias termodinámicas de este teorema. • Defina las cuatro funciones que representan las propiedades de una sustancia pura y obtenga a partir de sus diferenciales exactas las relaciones de Maxwell que se cumplen en cualquier estado de equilibrio de un sistema hidrostático. • Demuestre que para cualquier gas que obedece la ecuación de estado de Van der Waals a ⎤
⎡
P
+
(v − b) = RT
2 ⎥
⎢
v
⎣
⎦
Se cumple la siguiente relación: (2P) a
⎛ ∂U ⎞
⎜
⎟ = 2
⎝ ∂T ⎠T
v
• Demuestre que la tercera ecuación de la termodinámica TdS tiene la forma siguiente: Cκ
C
TdS = V dP + P dV
β
βV
• Demuestre y discuta la siguiente ecuación que relaciona las capacidades caloríficas. 2
⎛ ∂V ⎞ ⎛ ∂P ⎞
CP − CV = −T ⎜
⎟ ⎜
⎟
⎝ ∂T ⎠ P ⎝ ∂V ⎠T
• Obtenga la siguiente expresión de la Energía: ⎛ ∂U ⎞
⎛ ∂V ⎞
⎜
⎟ = CP − P⎜
⎟
⎝ ∂T ⎠ P
⎝ ∂T ⎠ P
•
•
Una masa de 1 kg de agua a una temperatura de 25°C se mezcla adiabáticamente e isobáricamente con una masa de 3 kg de agua a 75°C. Calcúlese el cambio de entropía del agua y del universo. Tómese cP=1 cal/gK para el agua. Una máquina térmica ideal opera según el ciclo de Carnot entre 127°C y 27°C. a) Calcúlese la máxima eficiencia que puede alcanzar. B) ¿Cuánto calor debe tomar a 127°C? C) ¿Qué trabajo produce, si su eficiencia sólo alcanza el 15%? Supóngase QC=100cal. •
Determinar el cambio de entropía del sistema, del medio ambiente local y del universo cuando el sistema lleva a cabo la siguiente reacción: Pb(s) + Cl2(g) = PbCl(s) a 298.15 K A partir de las tablas termodinámicas de las 3 especies considere los siguientes valores. Pb(s) S°298 =64.785 J/(mol-­‐K); H°298 =0 Cl2(g) S°298 =223.117 J/(mol-­‐K); H°298 =0 PbCl(s) S°298 =135.980 J/(mol-­‐K); H°298 =-­‐359.406 KJ/mol