Exposición sobre Teorema de Rolle, Derivadas de orden superior, Máximos y mínimos

Instituto Politécnico Nacional
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
Plantel Azcapotzalco
Integrantes:
• Paniagua Sánchez Yosef Uriel
• Gonzales Cruz Irvin Jair
• Fuentes Ramírez-España Iker Miguel
I.
II.
III.
TEOREMA DE ROLLE.
DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR.
MÁXIMOS Y MÍNIMOS, PUNTO
CRÍTICO Y PUNTO DE INFLEXIÓN.
JUSTIFICACIÓN
Esta investigación se realizó debido a que es necesario el conocimiento de los siguientes temas
ya que los aplicaremos en nuestra carrera como ingenieros, desde calculando una función para
realizar actividades de forma precisa, con el mínimo error y el mayor beneficio o éxito posible.
• Misión: Por medio de un pequeño resumen, la historia, el desarrollo y ejercicios se expondrán
los temas para aumentar el conocimiento de los alumnos.
• Visión: Se pretende hacer esto para que puedan aplicar lo aprendido de distintas maneras
en su desempeño laboral como ingenieros en las distintas ramas científicas.
I.
TEOREMA DE ROLLE.
INTRODUCCIÓN.
• Fue establecido en 1691 por el matemático
francés Michel Rolle (1652-1719).
• El teorema de Rolle demuestra la existencia de un punto
interior en un intervalo abierto para el cual la derivada
de una función derivable se anula cuando el valor que
está en los extremos del intervalo es el mismo.
OBJETIVO GENERAL.
OBJETIVOS PARTICULARES.
• Ampliar los conocimientos de
calculo, conocer plenamente
• Entender las condiciones que se requieren
los conceptos necesarios
para que se pueda cumplir el Teorema de
para el uso e interpretación
Rolle.
del Teorema de Rolle, que
posteriormente se aplicará
en calculo diferencial e
integral.
• Entender el Teorema mediante los ejercicios
o problemas que se presenten.
ANTECEDENTES
Las primeras referencias que se tienen de este teorema se remiten a Bhaskara (1114-1185) y su
libro Siddhanta Shiromani. A partir de los trabajos de su predecesor Manjula (ca 930 a.C.) que
había llegado a obtener relaciones del tipo
sen w – sen w’ = (w – w’ ) cos w’
Bhaskara llegó a deducir que el seno y el coseno mantienen una relación del tipo que hoy indicamos
como “derivada” una de la otra. A partir de aquí llegó a la conclusión de que cuando la ecuación
de un planeta está en su punto más distante o en su punto más próximo a la tierra, la ecuación del
centro se anulaba y también obtuvo que para una cierta posición intermedia, la ecuación
“diferencial” de la ecuación del centro se anula. Esta es en sí la primera expresión que se realiza de
este teorema (Gheverghese, 1996). Si bien es cierto que no existía un cálculo diferencial
propiamente dicho, sino una interesante aproximación al mismo.
Posterior a esta expresión no se encuentran más indicaciones de este
resultado hasta la versión ofrecida por el propio Michel Rolle (1652, 1719)
que lo expone en su Traité d’algèbre publicado en 1690, aunque en el
mismo no aportó una prueba convincente del mismo. La intención real de
Rolle era dar un método para localizar las raíces de un polinomio de
cualquier grado. Un asunto de gran interés en la época. A pesar de que el
libro tuvo una gran aceptación, Rolle fue objeto de grandes críticas, según
señala Smith (Smith, 1959, pp 253-260), por no incluir demostración alguna
de este resultado. Rolle se vio obligado a publicar en 1991 un pequeño
opúsculo Démonstration d’une Methode pour resoudre les égalitez de tous
les degrez;… donde incluye la demostración de su método de cascadas.
La primera vez que se encuentra este teorema en un tratado relacionado con el
Cálculo es de la mano de Leonhard Euler (1707-1783) en 1755 cuando incluye una
versión del Teorema en Institutiones calculi differentialis (Euler,1755, 657–660). El
teorema sigue apareciendo dentro de un contexto de resolución de ecuaciones, pero
ahora por primera vez aparece expresado en términos del lenguaje del cálculo.
Dado que entre dos raíces reales cualesquiera de la ecuación z = 0 este es uno de los
casos, la función z alcanza un máximo o mínimo, se deduce que si la ecuación z = 0
tiene dos raíces reales, entonces la ecuación ±dz dx = 0 tiene necesariamente una raíz
real. Igualmente, si la ecuación z = 0 tiene tres raíces reales, entonces la ecuación ±dz
dx = 0 sin duda tiene dos raíces reales. Y, en general, si la ecuación z = 0 tiene m
raíces reales, la ecuación ±dz dx = 0 necesariamente tiene por lo menos (m - 1)
raíces.
Esta presentación del Teorema de Rolle por Euler es bastante diferente de la
de sus predecesores. Por un lado, por primera vez, con la ayuda del cálculo, no
necesita del método de las cascadas, aunque sí se sigue manteniendo en el
contexto de las ecuaciones polinómicas. La siguiente versión, bastante más
abreviada la encontramos en el Traité de la résolution des équations
numériques… de Joseph Louis Lagrange (1736-1813):
En primer lugar está claro que la ecuación F(x) = 0 de grado m tendrá m raíces
reales y que la ecuación F’(x) = 0 de grado m - 1 necesariamente tendrá m - 1
raíces reales, ya que entre dos raíces reales consecutivas de la ecuación F(x) =
0, siempre hay una raíz real de la ecuación F’(x) = 0.
ENUNCIADO:
Si f es una función continua definida en un intervalo cerrado [a, b],
derivable sobre el intervalo abierto (a, b) y f(a)= f(b), entonces:
existe al menos un punto c perteneciente al intervalo (a, b) tal que f`(c)=
0.
DESARROLLO:
CONCLUSIÓN:
En el teorema de rolle tiene como finalidad demostrar que en una función ¨f
(X)¨ la cual tiene intervalo[a, b] que pueden derivables y que en un punto
de x siempre la función equivaldrá a o.
II. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR.
INTRODUCCIÓN.
• La derivada de orden superior se conoce como la segunda derivada de la
función, es decir, si f(x) es una función y existe su primera derivada f´(x).
OBJETIVO GENERAL.
OBJETIVOS PARTICULARES.
• Conocer y entender las
derivadas de orden superior
• Entender las condiciones que se requieren
para ampliar los
para que se puedan cumplir las derivadas
conocimientos de calculo
de orden superior.
diferencial.
• Entender el orden de las derivadas.
ANTECEDENTES
La regla del producto y la regla de la cadena, la noción de derivada de mayor
orden, las series de Taylor, y las funciones analíticas fueron introducidas por Isaac
Newton en una notación idiosincrásica que usó para resolver problemas de física
matemática. Usó los métodos del cálculo para resolver el problema del movimiento
planetario, la forma de la superficie de un fluido rotante, y se refirió a lo achatada
que es la tierra por los polos, así como a muchos otros problemas, los cuales discutió
en Principia mathematica. En otro trabajo, desarrolló una serie de expansiones para
las funciones, incluyendo las potencias fraccionarias e irracionales. Fue claro que
Newton entendía los principios de las series de Taylor. No publicó todos estos
descubrimientos. En su tiempo los sistemas infinitesimales eran considerados como
reprochables.
Estas ideas fueron sistematizadas en un verdadero cálculo de
infinitesimales por Gottfried Wilhelm Leibniz, quien fue originalmente
acusado de plagio por Newton. Es ahora reconocido como inventor
independiente del cálculo y un gran contribuyente a este. Su principal
contribución fue el proveer un conjunto de reglas claras para la
manipulación de cantidades infinitesimales, permitiendo el cómputo de
derivadas de segundo orden y de orden superior, y estableciendo la
regla del producto y regla de la cadena en su forma diferencial e
integral. A diferencia de Newton, Leibniz le puso mucha atención al
formalismo y a menudo le dedicaba varios días a determinar los símbolos
apropiados para los conceptos.
ORDEN DE DERIVADA:
DESARROLLO:
𝐹 𝑥 = 𝑥 5 + 24𝑥 2 + 1
4
𝑓` (X)=5𝑥 + 48𝑥
𝑓¨ 𝑋 = 20𝑥 3 + 48
𝑓¨` (X)=60𝑥 2
𝑓¨¨ 𝑋 = 120𝑥
𝑓¨¨` (X)= 120
CONCLUSIÓN:
Las derivadas de orden superior son muy importantes ya que
gracias a ellas podemos llegar a minimizar la función , hasta
incluso llegar a compararla a 0, mediante la derivación de la
misma.
III. MÁXIMOS Y MÍNIMOS, PUNTO
CRÍTICO Y PUNTO DE INFLEXIÓN.
INTRODUCCIÓN.
Los máximos y mínimos de una función, conocidos también como extremos de una función,
son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos), que toma una función en
un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva (extremo local) o en
el dominio de la función en su totalidad (extremo global o absoluto).
El punto crítico de una función de
una variable real es cualquier valor en
el dominio en donde la función no es
diferenciable o cuando su derivada es 0.
Un punto de inflexión, es un punto donde los
valores de una función continua en x pasando de
un tipo de concavidad a otra. La curva
"atraviesa" la tangente. La segunda derivada
de la función f en el punto de inflexión es cero, o
no existe.
OBJETIVO GENERAL.
OBJETIVOS PARTICULARES.
• Al terminar el alumno será
• Aplicar el concepto de máximos y
capaz de usar la derivada
mínimos en graficas, problemas de
para resolver problemas de
optimización e identificarlos
problemas de máximos y
geométricamente.
mínimos, puntos críticos y
puntos de inflexión.
• Entender y aplicar los puntos críticos
y puntos de inflexión en calculo
diferencial e integral.
ANTECEDENTES
En el siglo XVII, en 1636, Pierre Fermat desarrolla el primer método general para
la determinación de máximos y mínimos, en la memoria Methodus ad disquirendam
maximan et miniman (Método para investigar máximos y mínimos), se trata de un
procedimiento
puramente
algorítmico
desprovisto
de
todo
fundamento
demostrativo, en el cual Fermat introduce la técnica de adigualdad, que había sido
empleada por Diofanto en la Escuela de Alejandría. Presentaba la idea de dar un
incremento a cierta magnitud, la cual tomaba así el aspecto de una variable.
PARTE DE LA MEMORIA DEL METHODUS
"Toda la teoría de la investigación de máximos y mínimos supone la consideración de dos
incógnitas y la única regla siguiente:
• 1. Sea "a" una incógnita cualquiera del problema (que tenga una, dos o tres
dimensiones, según convenga al enunciado).
• 2. Se expresará la cantidad máxima o mínima por medio de "a" en términos que
pueden ser de cualquier grado.
• 3. Se sustituirá a continuación la incógnita original "a" por " a+e", y se expresará la
cantidad máxima o mínima por medio de "a" y "e", en términos que pueden ser de
cualquier grado.
• 4. Se "adigualarán", para hablar como Diofanto, las dos expresiones de la cantidad
máxima o mínima.
• 5. Se eliminarán los términos comunes de ambos lados, tras lo cual resultará que a ambos
lados habrá términos afectados de "e" o de una de sus potencias.
• 6. Se dividirán todos los términos por "e", o por alguna potencia superior de "e", de modo
que desaparecerá la "e" de al menos uno de los términos de uno cualquiera de los dos
miembros.
• 7. Se suprimirán a continuación todos los términos donde todavía aparece la "e" o una de sus
potencias y se iguala lo que queda, o bien si en uno de los miembros no queda nada se
igualarán, lo que viene a ser lo mismo, los términos afectados con signo positivo a los
afectados con signo negativo.
• 8. La resolución de esta última ecuación dará el valor de "a", que conducirá al máximo o
mínimo, utilizando la expresión original."
La idea de "hacer adiguales" dos expresiones, como las mencionadas en la etapa 4 de la regla
anterior, proviene de Diofanto.
Boyer entiende la "adigualdad" como una pseudo-igualdad que llega a ser igualdad cuando E
se hace cero, e introduce el vocablo inglés pseudo-equality para traducir el término latino
adaequalitas, que es el usado por Fermat en su texto.
Andersen, por su parte, interpreta "hacer adiguales" dos expresiones con el significado de
hacerlas tan aproximadamente iguales como sea posible.
En caso del punto de inflexión, Fermat estableció:
Si una función f alcanza un máximo o mínimo local en c, y si la derivada f '(c) existe en el
punto c, entonces f '(c) = 0.
DESARROLLO.
f(x) = x³ − 3x + 2
f'(x) = 3x² − 3 = 0
x=−1
Candidatos a extremos: − 1 y 1.
f''(x) = 6x
f''(−1) = −6 < 0
Máximo
f''(1) = 6 > 0
Mínimo
f(−1) = (−1)³ − 3(−1) + 2 = 4
f(1) = (1)³ − 3(1) + 2 = 0
Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)
x=1
f(x) = 3x - 𝑥 3
f'(x) = 3 - 3x² f’(x) = 0 x = − 1
Candidatos a extremos: − 1 y 1.
f''(x) = 6x
f''(−1) = 6 > 0
f''(1) = 6 < 0
Mínimo
Máximo
f(−1) =3 * (-1) - (−1)³ = -2
f(1) =3 * 1 -1³= 0
Máximo(-1, -2) Mínimo(1, 2)
x=1
CONCLUSIÓN.
•
Los máximos y mínimos son de gran importancia en la vida ya que sin darnos cuenta
los utilizamos cotidianamente algunas veces, un problema de manera que involucre
maximizar o minimizar una función sobre un método ya sea en aéreas , volúmenes ;
distancia ,tiempo , costos o bien en ganancias Por otra parte se usa para la obtener
de los máximos y mínimos de funciones no lineales restringidas y no restringidas, en
los que se hace uso del cálculo diferencial.
Los máximos y mínimos son de gran y importancia en cuanto ahorro de dinero,
tiempo, y materiales los podemos utilizar en casa y trabajos ya sea en empresas.
BIBLIOGRAFÍA.
• Orígenes y Evolución del Teorema de Rolle
Carlos O. Suárez Alemán
• El método de máximos y mínimos de Fermat
Andrés de la Torre Gómez / Carlos Mario Suescún Arteaga / Sergio Alberto Alarcón Vasco