Pronósticos

INVOPROYS - ISEG
Apuntes de
Invest igación de
Volumen 6:
Métodos de Pronóstico
Lic. Jorge Luis Medrano
La Paz – Bolivia
2012
Este volumen describe los métodos de pronóstico cuantitativos, más usuales y tienen como
objetivo coadyuvar a la programación y planeación en escenarios futuros para la toma de
decisiones en la práctica económica y administrativa tanto pública como privada.
Apuntes de Investigación Operativa
6
Métodos de Pronóstico
Las decisiones empresariales que se toman hoy determinan las consecuencias del mañana, por lo
que es necesario generar escenarios que muestren el comportamiento del futuro, por lo tanto
“las proyecciones o pronósticos son vitales para toda organización empresarial y para toda
decisión gerencial importante”1
1. Definición
Un pronóstico se define como la predicción de hechos y condiciones futuros, sobre la base de un
conjunto de información clave, con cierto grado de probabilidad de lo que pudiera pasar bajo
ciertas condiciones (supuestos). Un pronóstico es una estimación anticipada del valor de una
variable convirtiéndose en una herramienta fundamental para la toma de decisiones dentro de
las organizaciones. Los pronósticos se utilizan en: planeación y control de inventarios,
producción, finanzas, ventas, comercialización, etc.
En el campo de la gestión de la producción y las operaciones, los pronósticos forman parte de los
procesos administrativos de planeación y control, un buen pronóstico determinará en gran
medida la supervivencia, el crecimiento y la rentabilidad a largo plazo, así como la eficiencia y
efectividad a corto plazo.
¿Por qué se debe pronosticar?
Un pronóstico se realiza para reducir la incertidumbre acerca de lo
que puede acontecer en el futuro proporcionando información
cercana a la realidad que permita tomar decisiones. Entre algunas
razones que justifican la necesidad de realizar pronósticos se
encuentran:
•
•
•
Me interesa el futuro porque
es el sitio donde voy a pasar
el resto de mi vida
El entorno económico de los negocios es cambiante, dinámico y por lo tanto altamente
incierto.
La intuición no necesariamente da los mejores resultados
La planeación s un proceso continuo que requiere retroalimentación y necesita mejoras
permanentes.
1 “Administración de la Producción y las Operaciones” Chase Aquilano Jacobs. Ed. Lily Solano Arévalo. 8va. Edición.
Santa Fé de Bogota - Colombia, 2001.
Lic . Jorge Lu is Medrano L l .
Métodos de Pronóstico
Ahora bien nadie puede predecir el futuro con certeza, pues no tenemos una bola mágica para
saber lo que pasará mañana. Entonces ¿Por qué pronosticar? Porque necesitamos cierta base o
criterio que justifique un curso de acción acerca de una decisión.
A partir del pronóstico que generemos, estaremos decidiendo dónde asignar nuestros recursos
escasos.
2. Horizonte temporal2
Pronóstico a corto plazo: hasta 1 año; aunque casi siempre es menor que 3 meses
Pronóstico a mediano plazo: de 3 meses a 3 años.
Pronóstico a largo plazo: comprende 3 años o más.
Los diferentes escenarios temporales de los pronósticos responden a algunas de las siguientes
razones:
•
•
•
La planeación de nuevas instalaciones: diseñar nuevas fábricas, realizar nuevos diseños o
poner en práctica un nuevo proceso de producción; requieren de un pronóstico de la demanda
de productos existentes y nuevos a largo plazo.
Planeación de la producción: como la demanda de productos y servicios varía de un mes a
otro, se deben elevar o reducir las tasas de producción. Para esto se necesitan los
pronósticos a mediano plazo.
Programación de la fuerza de trabajo: como la demanda de los productos y servicios varía
de una semana a otra, se necesitan pronósticos a corto plazo.
3. Tipos de pronóstico
Desde el punto de vista del proceso de planeación se pueden diferenciar los pronósticos
económicos (variables del entorno), los pronósticos tecnológicos (índices de progreso
tecnológico) y los pronósticos de demanda o pronósticos de ventas.
Según Hanke y Reitsch (1996) los pronósticos se pueden clasificar según tres criterios:
•
•
2
Criterio temporal, según el cual existen pronósticos a corto y a largo plazo. Estos últimos
ayudan a establecer el curso general de la organización en un plazo largo de tiempo,
mientras que los primeros se utilizan para diseñar las estrategias que se utilizarán
inmediatamente y serán ejecutadas por niveles medios en la organización.
Criterio de entorno, según el cual el pronóstico se relaciona directamente con la posición en
cuanto al entorno micro y macro relativos a los detalles de una organización. Estos tipos de
detalles son el micro pronóstico y el macro pronóstico. Un ejemplo de micro pronóstico es
que el gerente de producción sepa cuánto se necesitará para la producción anual de un
producto determinado, mientras que un macro detalle sería conocer el incremento en la
carga tributaria (impuestos) que el gobierno aplicará en el siguiente año fiscal.
“Principios de Administración de Operaciones”. Render – Heizer. Ed. Pearson P.H. 5ta. Edición. México – 2004.
Apuntes de Investigación Operativa
•
Criterio metodológico, según el cual se clasifica a los pronósticos en cualitativos y
cuantitativos, el primero se aplica cuando se emite el juicio de una persona, mientras que los
cuantitativos se refieren a procesos mecánicos que dan como resultado datos matemáticos.
Chase, Aquilano y Jacobs (2001) hacen una clasificación de los pronósticos en base a lo que
consideran importante de analizar. Para ellos, hay cuatro tipos de pronósticos, los cuales son:
cualitativos, de análisis de series de tiempo, causales y modelos de simulación
4. El sistema de pronóstico
Los pronósticos proporcionan información para tomar mejores decisiones. El primer paso es
identificar la decisión que determina qué es lo que se va a pronosticar, el nivel de detalle
necesario y con qué frecuencia se realizará. “Los pronósticos de ventas, calidad de materiales,
ingresos, gastos, uso de energía o los tiempos de llegada de los clientes son una necesidad
común en las empresas”. La identificación del problema determina la misión o el propósito, que
se muestra como necesidad del pronóstico y constituye el punto de partida para el diseño del
sistema de pronósticos.
Las principales características de un problema de pronósticos son el marco del tiempo, el nivel
de detalle, la exactitud necesaria y el número de aspectos a pronosticar. En los sistemas de
producción, casi siempre es de interés el pronóstico de la demanda con el fin de decidir cuánto
producir, las decisiones a largo plazo (nuevas plantas, aumentos de capacidad, nuevos
productos, etc.) con frecuencia dependen de un pronóstico de demanda, en este caso las
decisiones se basan en la tendencia de los pronósticos para varios años sucesivos y no en una
sola estimación de demanda. La clave para entender los problemas de pronósticos se encuentra
en la comprensión del proceso, el caso más usual es el proceso que crea la demanda de un
producto, esto se consigue analizando las características del problema y los datos existentes (si
existen), estableciendo los objetivos y metas del pronóstico.
Render y Heizer, señalan 7 pasos en el sistema de pronóstico:
1.
2.
3.
4.
5.
Determinar el uso del pronostico
Seleccionar los aspectos (variables) que se quiere pronosticar.
Determinar el horizonte temporal del pronóstico.
Seleccionar la técnica o modelo de pronóstico.
Reunir (recolectar, seleccionar y sistematizar) los datos necesarios para elaborar el
pronóstico.
6. Aplicar el método elegido a los datos y obtener los resultados del pronóstico.
7. Validar e implementar los resultados.
Lic . Jorge Lu is Medrano L l .
Métodos de Pronóstico
Diseño de un Sistema de Pronóstico
Fuente: Tomado de http://adminoperaciones.blogspot.com/
Apuntes de Investigación Operativa
5. Métodos y técnicas de pronósticos
Básicamente se tienen los métodos cualitativos y cuantitativos.
Los métodos cualitativos están basados en juicios y opiniones de un grupo de individuos, que
forman el panel de pronóstico, respecto a los factores causales de las variables que se quieren
pronosticar. Hacen poco uso de la información histórica y casi siempre consideran un horizonte
de largo plazo. Principalmente se desarrollan para construcción de escenarios referidos a las
alternativas hipotéticas futuras y para investigación de las posibilidades de factibilidad de
proyectos tecnológicos. Entre los métodos cualitativos más usuales, se encuentran:
1.
El Consenso de comité ejecutivo o Jurado de opinión de ejecutivos, consiste en utilizar
información proveniente de los ejecutivos de alto nivel de todos los ámbitos de la
organización para llegar a un pronóstico grupal, a menudo suele combinarse con métodos
estadísticos.
2. El método Delphi, es muy similar al anterior, utiliza tres tipos de informantes (tomadores
de decisión, personal de la organización y entrevistados expertos) para llegar a un
pronóstico general.
3. Composición de la fuerza de ventas, es una técnica en la que los vendedores estiman sus
niveles de ventas de un determinado tiempo y lugar.
4.
La encuesta en el mercado de consumo (encuesta a clientes), permite obtener información,
con métodos no formales, de clientes reales y potenciales acerca de sus planes e intenciones
de compra.
5. La analogía histórica y las investigaciones de mercado3 son procedimientos útiles para
productos y servicios nuevos. La analogía histórica estima las ventas futuras de un producto
nuevo con el conocimiento de las ventas de un producto similar y las investigaciones de
mercado son encuestas de mercado que consisten en cuestionarios por correo y/o
entrevistas telefónicas.
Los métodos cuantitativos se basan en el análisis y procesamiento de información (por lo
general histórica), generando pronósticos numéricos, son útiles en el mediano y corto plazo
porque la información disponible se analiza estadísticamente asumiendo continuidad
y
estabilidad de los cambios de mercado y los cambiostecnológicos.
Los métodos cuantitativos se pueden clasificar en: series temporales, modelos causales o
asociativos y modelos de simulación.
En este capítulo, nos concentraremos en las series temporales y los modelos causales.
3 En realidad las investigaciones de mercado combinan métodos estadísticos y técnicas cualitativas, para recopilar
información de diferentes maneras y probar hipótesis sobre el mercado.
Lic . Jorge Lu is Medrano L l .
Métodos de Pronóstico
6. Análisis de series temporales
Una serie de tiempo es un conjunto de valores observados, para series ordenadas
secuencialmente de periodos de tiempo, por ejemplo:
El Alto: Ventas de carne de pollo, 2000- 2008
(En kilogramos)
1500
1250
1002
1054
1120
2008
2007
2006
2005
2004
2003
2002
2001
849 875 891
2000
Kilos
1975
2000
1800
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
El análisis de series de tiempo es el procedimiento mediante el cual se identifican y separan los
factores relacionados con el tiempo que influyen sobre los valores observados de la serie. Una
vez que se identifican esos valores, se les puede utilizar para mejorar la interpretación de los
valores históricos de la serie de tiempo y para pronosticar valores futuros. Los modelos de
series temporales, asumen una relación funcional de una variables de pronóstico dependiente del
tiempo: Y = ƒ (Xt), esto quiere decir que se pronostica el valor futuro de la variable basado en
patrones establecidos en el pasado.
6.1. Descomposición de una serie temporal
Los datos de una serie temporal se pueden comportar de diferentes formas a través del tiempo,
puede que se presente una tendencia, un ciclo; variaciones estacionales (anual, trimestral,
semestral, …), no tener una forma definida o aleatoria. En este sentido una serie de tiempo
tiene cuatro componentes, típicos:
•
•
•
•
Tendencia (T), movimiento a lo largo de los valores de
la serie de tiempo durante un número prolongado de
periodos
Fluctuaciones Cíclicas (C), movimientos recurrentes
(arriba y abajo) con respecto a la tendencia, por varios
periodos,
Variaciones Estacionales (E), movimientos respecto a
la tendencia y que no duran más de un año.
Variaciones Irregulares (I), variaciones erráticas con
respecto a la tendencia, que no pueden atribuirse a
efectos estacionales o cíclicos.
El valor observado de una serie de tiempo puede ser representado como: Y = T x C x E x I
Apuntes de Investigación Operativa
El profesor Gabriel Leandro, señala algunos tips que pueden ayudar a determinar los
componentes de una serie de tiempo:
Datos estacionarios:
• Las fuerzas que generan la serie se han estabilizado y el medio permanece relativamente sin
cambios, la estabilidad se puede lograr mediante correcciones sencillas a factores como
crecimiento de la población o la inflación.
• La serie se puede transformar en una serie estable y es un conjunto de errores de
pronóstico, de una técnica de pronóstico que se considera adecuada.
Datos con tendencia:
• Productividad creciente y nueva tecnología producen cambios.
• El incremento de la población elevan la demanda por productos.
• El poder de compra se afecta por la inflación.
• Aumenta la aceptación en el mercado de un producto.
Datos con estacionalidad
• El clima influye en la variable de interés.
• El año calendario influye en la variable.
Series cíclicas
• El ciclo del negocio influye sobre la variable.
• Cambios en el gusto popular, cambios en la población y ambios en el ciclo de vida del
producto.
6.2. Métodos cuantitativos para el análisis de series temporales
•
•
•
•
•
•
•
Promedio Móvil Simple Se promedia un periodo que contiene varios puntos de datos,
dividiendo la suma de los valores de los puntos entre el número de puntos. Cada punto tiene
la misma influencia.
Promedio Móvil Ponderado. Ciertos puntos se ponderan más que otros, según se considere
conveniente de acuerdo con la experiencia.
Suavizamiento Exponencial. Los puntos de datos más recientes tienen mayor peso; este
peso se reduce exponencialmente, cuantos más antiguos son los datos.
Análisis de Regresiones Ajusta una línea recta a datos pasados, por lo general relacionando
el valor del dato con el tiempo. El método de ajuste más común es el de mínimos cuadrados.
Técnica Box Jenkins Muy complicada, pero al parecer la más precisa de las técnicas
estadísticas disponibles.
Series de Tiempo de Shiskin Eficaz para descomponer una serie de tiempo en
estacionalidad, tendencia e irregulares. Requiere por lo menos tres años de datos históricos.
Muy bueno para identificar puntos de cambio.
Proyección de Tendencias Ajusta una línea de tendencia matemática a puntos de datos y la
proyecta hacia el futuro.
Lic . Jorge Lu is Medrano L l .
Métodos de Pronóstico
Método de proyección
Cantidad de datos
Patrón de los datos
históricos
Ajuste exponencial
5 a 10 observaciones
Los datos deben ser
simple
para fijar la ponderación
estacionarios
Ajuste exponencial de
10 a 15 observaciones
Tendencias pero no
Holt
para fijar la ponderación
estacionalidad
Ajuste exponencial de
Por lo menos 4 ò 5
Tendencias y
Winter
observaciones por
estacionalidad
Horizonte de
Tiempo de
Antecedentes del
proyección
preparación
personal
Corto
Corto
Poca sofisticación
Ligera sofisticación
Corto a mediano
Corto
Sofisticación
Corto a mediano
Corto
moderada
trimestre
10 a 20 observaciones
Modelos de la tendencia
para la estacionalidad, por
Tendencias y
de regresión
lo menos 5 por trimestre
estacionalidad
Sofisticación
Corto a mediano
Corto
moderada
Largo tiempo para el
Modelos de regresión
10 observaciones por
Puede manejar
Corto, mediano o
desarrollo, corto para la
Sofisticación
causal
variable independiente
patrones complejos
largo
puesta en ejecución
considerable
Corto a mediano
Corto tiempo para
Poca sofisticación
Maneja patrones cíclicos y
Descomposición de las
Suficiente para ver 2
estacionales puede identificar
series de tiempo
picos y simas
los puntos críticos
Box Jenkins
50 o más observaciones
la moderación
Deben ser estacionarios o
Corto, mediano o
ser transformados en
largo
estacionarios
Largo
Alta sofisticación
Apuntes de Investigación Operativa
6.3. Medición del error del pronóstico
Antes de desarrollar las diferentes técnicas de análisis de series temporales, es conveniente
conocer algunas medidas para comparar la precisión las técnicas de pronóstico, medir su
confiabilidad y buscar una técnica adecuada.
El error de pronóstico (e) o desviación se define como: et = Yt − Yˆt , la diferencia entre el valor
observado y el valor pronosticado.
Existen diferentes medidas para estimar e error global del modelo de pronóstico, que sirven
para comparar diferentes métodos y criterios y también como medida de desempeño, Las
medidas más comunes son:
1.
Deviación absoluta media
n
DAM =
∑ Y − Yˆ
t
t =1
t
n
2. Error medio cuadrado
∑ (Y − Yˆ )
n
EMC =
2
t
t =1
t
n
3. Porcentaje de error medio absoluto
n
∑
Yt − Yˆt
Yt
n
t =1
PEMA =
4. Porcentaje medio de error
n
∑
PME =
t =1
(Y − Yˆ )
t
t
Yt
n
Comencemos con un ejemplo:
La tabla siguiente muestra las ventas de un producto alimenticio de la empresa APROC, en un
mercado local y los pronósticos realizados por el departamento de ventas:
Lic . Jorge Lu is Medrano L l .
10
Programación Lineal
Cuadro No. 2
Ventas anuales APROC, 2000 - 2008
(Libras/año)
Años
Ventas
Pronostico
2000
325
325
2001
372
360
2002
451
475
2003
550
580
2004
673
675
2005
700
745
2006
896
900
2007
1002
1000
2008
1200
1150
Fuente: Departamento de ventas APROC
Calculando los errores de pronóstico:
Pronostico
Error
Años
Ventas
de ventas
(e)
2000
325
325
0
2001
372
360
12,00
DAM
EMC
PEMA
PME
0
0
0
0
12,00
144,00
0,03
0,03
2002
451
475
-24,00
24,00
576,00
0,05
-0,05
2003
550
580
-30,00
30,00
900,00
0,05
-0,05
2004
673
675
-2,00
2,00
4,00
0,00
0,00
2005
700
745
-45,00
45,00
2025,00
0,06
-0,06
2006
896
900
-4,00
4,00
16,00
0,00
0,00
2007
1002
1000
2,00
2,00
4,00
0,00
0,00
2008
1200
1150
50,00
50,00
2500,00
0,04
0,04
18,8
685,4
____________________________
Lic. Jorge Luis Medrano Ll.
11
Investigación de Operaciones
6.4. Modelos para pronósticos cuantitativos
6.4.1. Método del último valor
Este método parte del supuesto de que los periodos recientes son los mejores para
pronosticar el futuro. En este sentido el pronóstico en un periodo t, se define como:
Veamos un ejemplo: Las ventas de carne de pollo en la ciudad de El Alto, durante los meses
de enero y octubre del año que transcurre fueron:
Cuadro No. 3
El Alto: Ventas de carne de pollo Enero-Octubre/2009
(Kilogramos/mes)
Mes
Demanda
Ene
Feb
Mar
Abr
May
Jun
Jul
Ago
Sep
Oct
23751
25612
24002
22101
23218
25000
25425
27201
30004
33125
Fuente: INE
Cuadro No. 4
El Alto: Pronostico de ventas de carne de pollo (método del último valor)
(En kilogramos/mes)
Mes
Demanda
Pronóstico
de demanda
Error
PEMA
35000
Enero
23751
-
-
-
Febrero
25612
23751
1861
0,073
Marzo
24002
25612
-1610
0,067
25000
Abril
22101
24002
-1901
0,086
20000
Mayo
23218
22101
1117
0,048
Junio
25000
23218
1782
0,071
Julio
25425
25000
425
0,017
10000
Agosto
27201
25425
1776
0,065
5000
Septiembre
30004
27201
2803
0,093
Octubre
33125
30004
3121
0,094
33125
Diciembre
33125
PEMA
6,83%
15000
0
Enero
Febrero
Marzo
Abril
Mayo
Junio
Julio
Agosto
Septiembre
Octubre
Noviembre
Diciembre
Noviembre
30000
Demanda
Pronóstico de demanda
Fuente: Elaboración propia
____________________________
Lic. Jorge Luis Medrano
12
Programación Lineal
6.4.2. Método del promedio simple
Este método consiste en considerar la media aritmética o promedio de todos los valores
pertinentes (en la mayor parte de casos de todos los valores precedentes), el valor de dicho
promedio será el pronóstico del periodo correspondiente. Veamos:
Junio
25000
23736,80
1263,20
0,05
5000
Julio
25425
23947,33
1477,67
0,06
0
Agosto
27201
24158,43
3042,57
0,11
Septiembre
30004
24538,75
5465,25
0,18
Octubre
33125
25146,00
7979,00
0,24
Noviembre
25943,90
Diciembre
25943,90
PEMA
Enero
Febrero
Marzo
Abril
Mayo
Junio
Julio
Agosto
Septiembre
Octubre
Noviembre
Diciembre
Cuadro No. 5
El Alto: Pronostico de ventas de carne de pollo (método del promedio simple)
(En kilogramos/mes)
Pronóstic
35000
Mes
Demanda
o de
Error
PEMA
demanda
30000
Enero
23751
25000
Febrero
25612
23751,00
1861,00
0,07
20000
Marzo
24002
24681,50
-679,50
0,03
15000
Abril
22101
24455,00
-2354,00
0,11
10000
Mayo
23218
23866,50
-648,50
0,03
Demanda
9,77%
Fuente: Elaboración propia
Guía de cálculos (algunos ejemplos)
Febrero:
El promedio del mes de enero:
Marzo:
El promedio de los meses de enero y febrero: (23751 + 25612)/2 =
Abril:
El promedio de enero, febrero y marzo: (23751 + 25612 + 24002) =
Noviembre:
El promedio desde el mes de enero hasta el mes de octubre =
____________________________
Lic. Jorge Luis Medrano Ll.
23751,00
24681,50
24455,00
25943,90
Pronóstico de demanda
13
Investigación de Operaciones
Veamos la salida en QSB
Secuencia:
File New Problem Historical data Solve and Analize Simple Average (Promedio
simple)
6.4.3. Método del promedio móvil
Este método considera para el pronóstico el promedio de los “n” periodos más recientes,
donde “n” es definido por la persona o equipo responsable del pronóstico y depende de la
cantidad de datos históricos que se dispongan. El promedio móvil es la media aritmética de
los “n” datos más recientes.4.
4
Una variante permite tomar también los valores adyacentes
____________________________
Lic. Jorge Luis Medrano
14
Programación Lineal
Veamos:
Cuadro No. 6
El Alto: Pronostico de ventas de carne de pollo (método del promedio móvil)
(En kilogramos/mes)
Pronóstic
o de
Mes
Demanda
Error
PEMA
35000
demanda
30000
(n = 2)
Enero
23751
25000
Febrero
25612
Marzo
24002
24681,50
-679,50
0,03
Abril
22101
24807,00
-2706,00
0,12
Mayo
23218
23051,50
166,50
0,01
Junio
25000
22659,50
2340,50
0,09
Julio
25425
24109,00
1316,00
0,05
Agosto
27201
25212,50
1988,50
0,07
Septiembre
30004
26313,00
3691,00
0,12
Octubre
33125
28602,50
4522,50
0,14
20000
Noviembre
31564,50
Diciembre
31564,50
PEMA
15000
10000
5000
Enero
Febrero
Marzo
Abril
Mayo
Junio
Julio
Agosto
Septiembre
Octubre
Noviembre
Diciembre
0
Demanda
Pronóstico de demanda (n = 2)
7,95%
Fuente: Elaboración propia
Guía de cálculos (algunos ejemplos)
Marzo:
El promedio de los meses de enero y febrero: (23751 + 25612)/2 = 24681,50
Noviembre:
El promedio de septiembre y octubre: (30004+33125)/2 =
25943,90
____________________________
Lic. Jorge Luis Medrano Ll.
15
Investigación de Operaciones
En QSB:
File New Problem Historical data Solve and Analize Moving Average (Promedio
movil)
Ingresar: el número de periodos del promedio (number period average)
6.4.4. Método del promedio móvil ponderado
Este procedimiento es una variante del promedio móvil, en el que se asignan diferentes
pesos a los datos pasados, lógicamente la suma de las ponderaciones o pesos debe ser igual
a 1. La experiencia sugiere que los últimos valores tienen mayor ponderación que los valores
antiguos. La mejor forma de asignar las ponderaciones es mediante prueba y error, pero
debemos tener cuidado cuando existen datos estacionales. La fórmula del promedio móvil
ponderado es:
Donde: w1 + w2 + … + wn = 1
____________________________
Lic. Jorge Luis Medrano
16
Programación Lineal
Veamos:
Cuadro No. 7
El Alto: Pronostico de ventas de carne de pollo (método del promedio móvil ponderado)
(En kilogramos/mes)
Pronóstic
o de
35000
Error
PEMA
Mes
Demanda
demanda
30000
(n = 3)
25000
Enero
23751
25612
20000
Marzo
24002
15000
Abril
22101
24434,80
-2333,80
0,11
10000
Mayo
23218
23373,50
-155,50
0,01
5000
Junio
25000
23039,70
1960,30
0,08
0
Julio
25425
23885,60
1539,40
0,06
Agosto
27201
24856,10
2344,90
0,09
Septiembre
30004
26228,00
3776,00
0,13
Octubre
33125
28247,30
4877,70
0,15
Noviembre
31003,90
Diciembre
31003,90
PEMA
Enero
Febrero
Marzo
Abril
Mayo
Junio
Julio
Agosto
Septiembre
Octubre
Noviembre
Diciembre
Febrero
Demanda
Pronóstico de demanda (n = 3)
8,7%
Fuente: Elaboración propia
Factores de ponderación:
3 meses antes
0,20
2 meses antes
1 mes antes
0,30
0,50
Guía de cálculos (algunos ejemplos)
Marzo:
El promedio ponderado: (0,20*23751) + (0,30*25612) + (0,50*24002) = 24434,80
Noviembre:
El promedio ponderado: (0,20*27201) + (0,30*30004) + (0,50*33125) = 31003,90
6.4.5. Método de suavización exponencial
Este método de pronóstico consiste en otorgar una ponderación mayor a las observaciones
más recientes. Las ponderaciones se asignan mediante la constante “α”que varía según 0 < α <
1. El modelo de pronóstico se expresa como: 1
Esta expresión implica que el pronóstico depende del valor observado anterior, el valor
pronosticado anterior y el factor de suavizamiento, que determina el nivel de suavizamiento
y la velocidad de reacción con respecto a las diferencias entre pronósticos y datos
observados, mientras más rápido sea el crecimiento, mayor debe ser la tasa de reacción.
____________________________
Lic. Jorge Luis Medrano Ll.
17
Investigación de Operaciones
Partiendo del supuesto de que la importancia de los datos disminuye a medida que son más
antiguos, el suavizamiento permite asignar más peso a los datos más reciente y por lo tanto
puede generar mejores ajustes que los promedios móviles, es decir que por lo general tienen
mayor grado de precisión. Esto hace que esta técnica es una de las más utilizadas.
Cuadro No. 8
El Alto: Pronostico de ventas de carne de pollo (método del suavizamiento exponencial)
(En kilogramos/mes)
Pronóstic
o de
Mes
Demanda
Error
PEMA
35000
demanda
( α = 0,75)
30000
Enero
23751
23751,00
25000
Febrero
25612
23751,00
1861,00
0,07
Marzo
24002
25146,75
-1144,75
0,05
Abril
22101
24288,19
-2187,19
0,10
15000
Mayo
23218
22647,80
570,20
0,02
10000
Junio
25000
23075,45
1924,55
0,08
5000
Julio
25425
24518,86
906,14
0,04
0
Agosto
27201
25198,47
2002,53
0,07
Septiembre
30004
26700,37
3303,63
0,11
Octubre
33125
29178,09
3946,91
0,12
Noviembre
32138,27
Diciembre
32138,27
PEMA
Enero
Febrero
Marzo
Abril
Mayo
Junio
Julio
Agosto
Septiembre
Octubre
Noviembre
Diciembre
20000
Demanda
Pronóstico de demanda (α = 0,75)
7,33%
Fuente: Elaboración propia
Guía de cálculos (algunos ejemplos)
Enero:
El dato del pronóstico sólo es referencial
Febrero: 0,75 * 23751 + (1 – 0,75) * 23751,00 = 23751,00
Marzo:
0,75 * 25612 + (1 – 0,75) * 23751,00 = 25146,75
Noviembre:
0,75 * 33125 + (1 – 0,75) * 29178,09 =
32128,27
____________________________
Lic. Jorge Luis Medrano
18
Programación Lineal
En QSB:
File New Problem Historical data Solve and Analize Single exponential smoothing
(Suavizamiento exponencial simple)
Ingresar: factor de suavizamiento (smoothing constant alpha)
Chase y Aquilano, señalan que el método del ajuste o suavizamiento exponencial es uno de
los más utilizados por las siguientes razones:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Los modelos exponenciales son sorprendemente exactos.
La formulación de un modelo exponencial es relativamente fácil.
El usuario puede entender cómo funciona el modelo.
Se requieren de pocos datos y pocos cálculos para utilizar el modelo.
Los requerimientos de almacenamiento son bajos debido al uso limitado de datos.
Las pruebas de exactitud en cuanto al desempeño del modelo son fáciles de calcular.
6.4.6. Método de suavizamiento exponencial para datos con tendencia (Holt)
Ya indicamos que una serie temporal puede presentar un componente de tendencia
(creciente o decreciente), en tal caso el suavizamiento exponencial podría no ajustarse de
manera adecuada a los datos en tal caso es posible estimar un factor de tendencia, para los
datos y aplicar un modelo biecuacional que ajuste los datos a la tendencia.
Las proyecciones de suavizamiento exponencial pueden corregirse agregando un ajuste de
tendencia, para lo cual se necesitan dos constantes de ajuste “α” y “β”, este último factor
trata de reducir el impacto del error entre la realidad y el pronóstico.
____________________________
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19
Investigación de Operaciones
La ecuación que permite calcular el pronóstico con tendencia se define como:
1 1 En este modelo S representa el pronóstico de base y G representa el comportamiento de la
tendencia.
IMPORTANTE. Para que la ecuación de tendencia funcione la primera vez que se utilice, el
valor inicial debe registrarse manualmente, en el caso del pronóstico de base (S) puede ser
el mismo valor observado, una estimación razonable o un cálculo basado en los datos
anteriormente observados. Para el caso de la tendencia (G) se puede tomar el incremento
agregado desde el primer dato hasta el último dato, por periodo de observación, con estos
valores será fácil realizar los demás cálculos.
Veamos: En el ejemplo de la demanda de carne de pollo se observa que los datos presentan
un comportamiento creciente es decir una tendencia a la que aproximaremos una tendencia
lineal.
Cuadro No. 9
El Alto: Pronostico de ventas de carne de pollo (método del suavizamiento exponencial con tendencia)
(En kilogramos/mes)
Mes
Enero
Demanda
St
(α = 0,50)
Gt
(α = 0,10)
Pronóstico
de
demanda
Error
PEMA
23751
23751,00
1041,56
Febrero
25612
25202,28
1082,53
24792,56
819,44
0,03
Marzo
24002
25143,40
968,39
26284,81
-2282,81
0,10
Abril
22101
24106,40
767,85
26111,79
-4010,79
0,18
Mayo
23218
24046,12
685,04
24874,24
-1656,24
0,07
Junio
25000
24865,58
698,48
24731,16
268,84
0,01
Julio
25425
25494,53
691,53
25564,06
-139,06
0,01
Agosto
27201
26693,53
742,27
26186,05
1014,95
0,04
Septiembre
30004
28719,90
870,68
27435,80
2568,20
0,09
Octubre
33125
31357,79
1047,40
29590,58
3534,42
0,11
Noviembre
32405,19
Diciembre
32405,19
PEMA
6,95%
Fuente: Elaboración propia
____________________________
Lic. Jorge Luis Medrano
20
Programación Lineal
Nótese que en el gráfico siguiente, se ve reflejada la tendencia de mejor manera que con
los otros procedimientos vistos anteriormente (con excepción del método del último valor).
35000
30000
25000
20000
15000
10000
5000
0
Demanda
Pronóstico de demanda
6.4.7. Método de suavizamiento exponencial para datos con estacionalidad (Winter)
El método de invierno (Winter) se usa para series temporales en las que se encuentra
presente la tendencia y la estacionalidad. Ya vimos como incluir la tendencia, ahora veremos
cómo se incorpora la estacionalidad, para ello se define C, como el número de periodos en la
duración del patrón estacional.
(C = 4 si la información es trimestral, C = 12 si los datos son mensuales, C = 2, si se trata de
semestres, etc.) Tomando las ecuaciones de pronóstico de base y tendencia del modelo
anterior se tiene:
/ 1 1 Donde N es el número de períodos de un ciclo estacional completo (N=2, N=4; N=12, etc.)
Adicionalmente se requiere un procedimiento para revisar los factores estacionales ya que
al hacer las suavizaciones se dispone de nuevos datos, para tal caso se aplica nuevamente
una suavización exponencial para los factores estacionales:
/ 1
____________________________
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21
Investigación de Operaciones
En este caso el factor de suavizamiento γ en general es mayor a los parámetros α y β,
debido a que el número de observaciones del factor estacional es uno al año.
Con estas tres ecuaciones el pronóstico se obtiene como: Veamos un ejemplo (tomado de Bodoni-Hausman y Bierman, “Análisis Cuantitativo para los
Negocios”). Las ventas mensuales de sopa de carne de pollo (en miles de cajas) en los tres
últimos años fueron:
Mes
Enero
Año 1
Año 2
Año 3
219
236
243
Febrero
216
239
238
Marzo
218
221
224
Abril
185
194
194
Mayo
154
161
162
Junio
147
131
153
Julio
124
110
138
Agosto
93
101
128
Septiembre
127
131
151
Octubre
148
157
165
Noviembre
161
189
194
Diciembre
198
217
241
Promedio
165,83
173,92
185,92
Según el gráfico siguiente se aprecia un comportamiento estacional que se repite en los tres
años:
300
250
200
150
Año 1
100
Año 2
50
Año 3
0
____________________________
Lic. Jorge Luis Medrano
22
Programación Lineal
Paso a paso
Paso 1: factores estacionales
Con la información dada el primer paso consistirá en determinar los doce factores
estacionales, lo cual se puede hacer simplemente dividiendo el promedio de cada mes
individual en los tres años con respecto al promedio total de los tres años, por ejemplo para
el mes de enero:
Promedio total = (219 + 216 + … + 241)/36 = 6308/36 =
Promedio del mes de enero = (219 + 236 + 243)/3 =
Factor estacional del mes de enero = 232,67/175,22 =
175,22
232,67
1,3278
Realizando este procedimiento para todos los meses, en una hoja de cálculo se obtiene:
Factores
Mes
Año 1
Año 2
Año 3
estacionales
219
236
243
1,32784
Enero
Febrero
216
239
238
1,31833
Marzo
218
221
224
1,26126
Abril
185
194
194
1,09004
Mayo
154
161
162
0,90742
Junio
147
131
153
0,81991
Julio
124
110
138
0,70767
Agosto
93
101
128
0,61256
Septiembre
127
131
151
0,77806
Octubre
148
157
165
0,89410
Noviembre
161
189
194
1,03488
Diciembre
198
217
241
1,24794
Paso 2: Valores iniciales
Calculo de la tendencia (G0):
del año 3
Incremento mensual de las ventas de enero del año 1 a enero
(243 – 219)/24 = 1
Tiempo transcurrido entre
enero/año 1 y enero/Año 3
____________________________
Lic. Jorge Luis Medrano Ll.
23
Investigación de Operaciones
Calculo del pronóstico de base (S0)
Se toma el promedio de ventas mensuales durante el año 1 y
se resta la mitad del año de tendencia.
Promedio de ventas mensuales año 1 = 165,83
Mitad del año de la tendencia
=6
Dado que G0 = 1 1 año 12 meses
La mitad del año de tendencia es 6
Entonces S0 = 165,83 – 6 = 159,83
Paso 3: Calculo del pronóstico
Teniendo los valores iniciales S0 y G0, ahora se puede calcular el pronóstico de base (S), la
tendencia (G) y los factores estacionales (C), utilizando el suavizamiento exponencial
correspondiente a cada caso.
IMPORTANTE: Para el caso de los factores estacionales es más fácil comenzar con el
primer punto de datos (en nuestro caso enero) que será el insumo para el pronóstico del mes
de febrero
Veamos los cálculos para los insumos del pronóstico del mes de febrero (datos de enero del
año 1), tomando α = 0,20; β = 0,20; γ = 0,20
S1 = 0,20 (219/1,32784) + (1-0,20) (159,83+1) = 161,5
G1 = 0,20 (161,5-159,83) + (1-0,20) (1) = 1,16386
C1 = 0,20 (219/161,5) + (1-0,20) (1,16386) = 1,3332
Con esta información el pronóstico del mes de febrero:
Este procedimiento se repite para todo el año 1
En el caso del año 2 se toman en cuenta los factores estacionales suavizados para el año 1.
En el caso del año 3 se toma en cuenta los factores estacionales suavizados para el año 2.
____________________________
Lic. Jorge Luis Medrano
24
Programación Lineal
Realizando todos los cálculos se obtiene:
Año 1
PRONOSTICO
Dt
Factor
Valores iniciales
St
Gt
Ct
Pronóstico
159,83
1
Enero
219
1,328
161,65
1,16386
1,3332215
Febrero
216
1,318
163,02
1,20497
1,31965563
214,65
Marzo
218
1,261
165,95
1,54963
1,27173368
207,13
Abril
185
1,090
167,94
1,63835
1,09234766
182,58
Mayo
154
0,907
169,61
1,64356
0,90753061
153,88
Junio
147
0,820
172,86
1,96501
0,82601007
140,41
Julio
124
0,708
174,90
1,98095
0,70793077
123,72
93
0,613
171,87
0,97849
0,5982644
108,35
Septiembre
127
0,778
170,93
0,59353
0,7710502
134,49
Octubre
148
0,894
170,32
0,35392
0,8890714
153,36
Noviembre
161
1,035
167,65
-0,25012
1,01996218
176,63
Diciembre
198
1,248
165,66
-0,59985
1,23740061
208,91
Agosto
Año 2
St
Gt
Enero
PRONOSTICO
Dt
236
Factor
1,328
167,45
-0,12151
1,34845567
220,06
Febrero
239
1,318
170,08
0,42974
1,33676409
220,81
Marzo
221
1,261
171,17
0,56038
1,27561619
216,85
Abril
194
1,090
172,90
0,79530
1,09828437
187,58
Mayo
161
0,907
174,44
0,94364
0,9106176
157,63
Junio
131
0,820
172,02
0,27213
0,81311254
144,87
Julio
110
0,708
168,91
-0,40441
0,69658899
121,97
Agosto
101
0,613
168,57
-0,39189
0,59844204
100,81
Septiembre
131
0,778
168,52
-0,32315
0,77230833
129,67
Octubre
157
0,894
169,88
0,01240
0,89609585
149,54
Noviembre
189
1,035
172,97
0,62883
1,03450176
173,28
Diciembre
217
1,248
173,95
0,69948
1,23941104
214,81
____________________________
Lic. Jorge Luis Medrano Ll.
Ct
Pronóstico
25
Investigación de Operaciones
Año 3
PRONOSTICO
Dt
Factor
St
Gt
Ct
Pronóstico
Enero
243
1,328
175,76
0,92157
1,35527104
235,51
Febrero
238
1,318
176,96
0,97581
1,33840293
236,19
Marzo
224
1,261
177,47
0,88255
1,27293475
226,97
Abril
194
1,090
178,01
0,81414
1,09659622
195,88
Mayo
162
0,907
178,64
0,77734
0,90986716
162,84
Junio
153
0,820
181,16
1,12739
0,81939694
145,88
Julio
138
0,708
185,46
1,76002
0,70609398
126,98
Agosto
128
0,613
192,55
2,82695
0,61170602
112,04
Septiembre
151
0,778
195,41
2,83258
0,77239729
150,89
Octubre
165
0,894
195,42
2,26835
0,88574662
177,64
Noviembre
194
1,035
195,65
1,86215
1,02591068
204,51
Diciembre
241
1,248
196,90
1,73939
1,23632022
244,80
1,355
262.91
6.4.8. Correlación y regresión
Correlación lineal
En diversas ocasiones se analiza el grado de relacionamiento entre dos variables, por
ejemplo entre la publicidad y las ventas, o la demanda de un producto y su precio. Una
primera aproximación al problema, se puede encontrar mediante una representación gráfica
en un plano cartesiano, que nos permitiría obtener una nube de puntos que muestre la
existencia (o no) de algún tipo de relación (lineal, parabólica, exponencial, etc.) entre ambas
notas.
La correlación permite analizar la intensidad de la relación lineal entre dos variables,
mediante el coeficiente de correlación lineal de Pearson, cuyo valor oscila entre –1 y +1
El coeficiente r se define como:
, ∑ ∑ !
∑ !
____________________________
Lic. Jorge Luis Medrano
26
Programación Lineal
Y
Y
Y
140
140
140
120
120
120
100
100
100
80
80
80
60
60
60
40
40
40
20
20
20
0
X
0
5
10
15
Correlación lineal directa (r +1)
X
0
0
5
10
15
Correlación lineal inversa (r -1)
X
0
0
5
10
15
Correlación no lineal (r 0)
De acuerdo con los gráficos se observa que cuando existe una relación directa (A mayor X
mayor Y) la correlación tiende a 1, en una relación inversa (A mayor X, menor Y) la correlación
tiende a -1, y en ausencia de relación lineal la correlación tiende a 0, pero esto puede indicar
que existe otro tipo de correlación.
El siguiente diagrama resume el análisis, del coeficiente de correlación, entre dos variables:
Propiedades del coeficiente de correlación de Pearson (r)
• Es adimensional.
• Sólo toma valores en [-1,1].
• Las variables son incorrelacionadas r = 0.
• Relación lineal perfecta entre dos variables r = +1 o r = -1.
o Excluimos los casos de puntos alineados horizontalmente o verticalmente.
• Cuanto más cerca esté r de +1 o -1 mejor será el grado de relación lineal.
o Siempre que no existan observaciones anómalas.
____________________________
Lic. Jorge Luis Medrano Ll.
27
Investigación de Operaciones
Análisis de regresión
Cuando se piensa que una variable depende de la otra, se debe cuantificar la relación entre
ellas, esto permite el valor de una variable (dependiente o explicada) a partir del valor de
otra variable (independiente o explicativa). Los modelos de regresión intentan analizar este
proceso. En el caso de las series temporales se trata de ajustar un conjunto de datos en el
tiempo (puntos) a una función matemática conocida, por ejemplo en el siguiente gráfico:
Bolivia: Demanda de café 2000-2009
(En kilogramos/año)
Demanda de
café (Kg)
1200
2000
602
1000
2001
389
2002
420
2003
525
2004
647
2005
720
2006
693
2007
992
2008
1050
2009
985
Kilos de café
Años
800
600
400
200
0
2000
2002
2004
2006
2008
2010
En este caso los puntos representan la cantidad demandada por año, en general se observa
que la misma ha ido aumentando con el transcurrir de los años, por lo que parece existir una
tendencia creciente la misma que se puede ajustar a una línea recta de la forma Y = a + bX.
Es importante notar que la existencia de correlación entre variables no implica
causalidad, la correlación sólo mide la fuerza de asociación entre dos variables
cuantitativas; la regresión estudia la relación entre dos variables cuando una
depende de la otra
La regresión lineal
El tipo más frecuente y usual de tendencia es la lineal, según la cual los datos observados se
pueden ajustar a una función lineal de la forma
, donde
es el valor
pronosticado y Xt el periodo correspondiente a cada pronóstico, en este caso se trata de
estimar los parámetros a y b, siendo a el valor de la tendencia cuando X = 0 y b es el valor
de la pendiente de la función lineal.
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28
Programación Lineal
El método más común de estimación de los parámetros de la regresión a y b, es el de
mínimos cuadrados ordinarios5, según el cual:
b=
∑ (X − X )(Y − Y )
∑ (X − X )
2
a = Y − bX
Donde Y son los datos observados en los periodos X.
Veamos el ejemplo de la demanda de café:
Manualmente:
(X − X )
(Y − Y ) (X − X ) (Y − Y ) (X − X )
2
Años
Xt
Demanda (Y)
2000
1
602
-4,5
-100,3
451,35
20,25
2001
2
389
-3,5
-313,3
1096,55
12,25
2002
3
420
-2,5
-282,3
705,75
6,25
2003
4
525
-1,5
-177,3
265,95
2,25
2004
5
647
-0,5
-55,3
27,65
0,25
2005
6
720
0,5
17,7
8,85
0,25
2006
7
693
1,5
-9,3
-13,95
2,25
2007
8
992
2,5
289,7
724,25
6,25
2008
9
1050
3,5
347,7
1216,95
12,25
2009
985
Σ
10
55
7023
4,5
0
282,7
0,00
1272,15
5755,5
20,25
82,5
Promedio
5,5
702,3
Calculando los parámetros:
5755,5
= 69,75
82,5
a = 702,3 − (69.75) * (5,5) = 318,66
b=
Estimación de los coeficientes de regresión por mínimos cuadrados.
Los parámetros se pueden estimar mediante cálculos manuales, ingresando la información en una calculadora
científica, en excel o en cualquier software estadístico o especializado de Investigación Operativa como el QSB.
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5
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29
Investigación de Operaciones
Ms Excel ofrece diferentes alternativas para el cálculo de los parámetros:
•
La forma más sencilla, se encuentra en agregar línea de tendencia a un gráfico de
dispersión.
También se puede estimar los parámetros mediante las funciones estadísticas:
PENDIENTE
parámetro b
INTERSECCION.EJE
parámetro a
COEF.CORREL
parámetro r
La forma más completa de obtener los parámetros de una regresión es a través del
complemento “Herramientas de Análisis” utilizando la función Regresión.
•
•
Gráficamente
1200
y = 69,764x + 318,6
R² = 0,7911
Demanda
1000
800
600
400
200
0
0
2
4
6
8
10
12
Periodos
1.
2.
3.
Graficar la nube de puntos.
Sobre uno de los puntos “agregar línea de tendencia.
En el cuadro de dialogo, elegir lineal y marcar:
□ Presentar ecuación en el gráfico
□ Presentar el valor de R cuadrado en el gráfico
Calculados los parámetros, la función de tendencia será:
pueden realizar pronósticos para varios periodos, por ejemplo
Año
Xt
Demanda
2010
11
1086,0
2011
12
1155,8
2012
13
1225,5
2013
14
1295,3
2014
15
1365,1
2015
16
1434,8
, con la cual se
Guía de cálculos (algunos ejemplos)
Año 2010:
Año 2011:
Año 2015:
318,6 + 69,8*11 = 1086,0
318,6 + 69,8*12 = 1155,8
318,6 + 69,8*16 = 1434,8
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Programación Lineal
Otros tipos de tendencia
Si bien la tendencia lineal es la más usual existe un menú de ajustes que pueden adecuarse a
otro tipo de comportamiento de datos, en este caso nos referiremos a la tendencia
exponencial y a la tendencia de tipo logarítmica que suelen presentarse con cierta
frecuencia al momento de analizar series temporales.
La regresión exponencial de la forma Y = aebX se caracteriza por presentar un crecimiento
sostenido de los datos, en el ejemplo se observa una estimación de necesidades de
tratamiento para personas que han contraído el VIH.
1000
800
600
400
200
0
1980
1000
1990
2000
2010
y = 1,0244e0,2669x
R² = 0,9352
800
600
400
200
0
0
10
20
30
La regresión logarítmica de la forma Y = a + b Ln(X) se caracteriza por un crecimiento
sostenido durante los primeros periodos para luego presentar una estabilización casi lineal
durante los siguientes periodos, por ejemplo en los gráficos siguientes se muestra la
demanda de chips para celulares en la región andina de Sudamérica.
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Investigación de Operaciones
35000
35000
30000
30000
25000
25000
20000
20000
15000
15000
10000
10000
5000
5000
0
1990
y = 6334ln(x) + 12741
R² = 0,9233
0
1995
2000
2005
2010
0
5
10
15
20
-:-
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Programación Lineal
Resolviendo pronósticos con el software QSB
El QSB tiene integrado el programa “Forecasting and Linear Regression” (Pronostico y
regresión lineal).
Para ingresar una serie temporal el procedimiento es el siguiente:
1. File
2. New Problem
Titulo del problema
Unidad de tiempo (mes, trimestre,
semestre, año, etc.)
Número de periodos de observación
(número de datos observados)
3. Ingresar los datos de la serie temporal:
Por ejemplo
Historical
Mes
Data
1
23751
4.
2
25612
3
24002
4
22101
5
23218
6
25000
7
25425
8
27201
9
30004
10
33125
Resolver el modelo (Solve and Analyze) y elegir el modelo de pronostico
En este caso Simple average (SA)
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Investigación de Operaciones
Ingresar el número de
periodos a pronosticar
5. La salida del modelo será:
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Programación Lineal
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Investigación de Operaciones
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