INVOPROYS - ISEG Apuntes de Invest igación de Volumen 6: Métodos de Pronóstico Lic. Jorge Luis Medrano La Paz – Bolivia 2012 Este volumen describe los métodos de pronóstico cuantitativos, más usuales y tienen como objetivo coadyuvar a la programación y planeación en escenarios futuros para la toma de decisiones en la práctica económica y administrativa tanto pública como privada. Apuntes de Investigación Operativa 6 Métodos de Pronóstico Las decisiones empresariales que se toman hoy determinan las consecuencias del mañana, por lo que es necesario generar escenarios que muestren el comportamiento del futuro, por lo tanto “las proyecciones o pronósticos son vitales para toda organización empresarial y para toda decisión gerencial importante”1 1. Definición Un pronóstico se define como la predicción de hechos y condiciones futuros, sobre la base de un conjunto de información clave, con cierto grado de probabilidad de lo que pudiera pasar bajo ciertas condiciones (supuestos). Un pronóstico es una estimación anticipada del valor de una variable convirtiéndose en una herramienta fundamental para la toma de decisiones dentro de las organizaciones. Los pronósticos se utilizan en: planeación y control de inventarios, producción, finanzas, ventas, comercialización, etc. En el campo de la gestión de la producción y las operaciones, los pronósticos forman parte de los procesos administrativos de planeación y control, un buen pronóstico determinará en gran medida la supervivencia, el crecimiento y la rentabilidad a largo plazo, así como la eficiencia y efectividad a corto plazo. ¿Por qué se debe pronosticar? Un pronóstico se realiza para reducir la incertidumbre acerca de lo que puede acontecer en el futuro proporcionando información cercana a la realidad que permita tomar decisiones. Entre algunas razones que justifican la necesidad de realizar pronósticos se encuentran: • • • Me interesa el futuro porque es el sitio donde voy a pasar el resto de mi vida El entorno económico de los negocios es cambiante, dinámico y por lo tanto altamente incierto. La intuición no necesariamente da los mejores resultados La planeación s un proceso continuo que requiere retroalimentación y necesita mejoras permanentes. 1 “Administración de la Producción y las Operaciones” Chase Aquilano Jacobs. Ed. Lily Solano Arévalo. 8va. Edición. Santa Fé de Bogota - Colombia, 2001. Lic . Jorge Lu is Medrano L l . Métodos de Pronóstico Ahora bien nadie puede predecir el futuro con certeza, pues no tenemos una bola mágica para saber lo que pasará mañana. Entonces ¿Por qué pronosticar? Porque necesitamos cierta base o criterio que justifique un curso de acción acerca de una decisión. A partir del pronóstico que generemos, estaremos decidiendo dónde asignar nuestros recursos escasos. 2. Horizonte temporal2 Pronóstico a corto plazo: hasta 1 año; aunque casi siempre es menor que 3 meses Pronóstico a mediano plazo: de 3 meses a 3 años. Pronóstico a largo plazo: comprende 3 años o más. Los diferentes escenarios temporales de los pronósticos responden a algunas de las siguientes razones: • • • La planeación de nuevas instalaciones: diseñar nuevas fábricas, realizar nuevos diseños o poner en práctica un nuevo proceso de producción; requieren de un pronóstico de la demanda de productos existentes y nuevos a largo plazo. Planeación de la producción: como la demanda de productos y servicios varía de un mes a otro, se deben elevar o reducir las tasas de producción. Para esto se necesitan los pronósticos a mediano plazo. Programación de la fuerza de trabajo: como la demanda de los productos y servicios varía de una semana a otra, se necesitan pronósticos a corto plazo. 3. Tipos de pronóstico Desde el punto de vista del proceso de planeación se pueden diferenciar los pronósticos económicos (variables del entorno), los pronósticos tecnológicos (índices de progreso tecnológico) y los pronósticos de demanda o pronósticos de ventas. Según Hanke y Reitsch (1996) los pronósticos se pueden clasificar según tres criterios: • • 2 Criterio temporal, según el cual existen pronósticos a corto y a largo plazo. Estos últimos ayudan a establecer el curso general de la organización en un plazo largo de tiempo, mientras que los primeros se utilizan para diseñar las estrategias que se utilizarán inmediatamente y serán ejecutadas por niveles medios en la organización. Criterio de entorno, según el cual el pronóstico se relaciona directamente con la posición en cuanto al entorno micro y macro relativos a los detalles de una organización. Estos tipos de detalles son el micro pronóstico y el macro pronóstico. Un ejemplo de micro pronóstico es que el gerente de producción sepa cuánto se necesitará para la producción anual de un producto determinado, mientras que un macro detalle sería conocer el incremento en la carga tributaria (impuestos) que el gobierno aplicará en el siguiente año fiscal. “Principios de Administración de Operaciones”. Render – Heizer. Ed. Pearson P.H. 5ta. Edición. México – 2004. Apuntes de Investigación Operativa • Criterio metodológico, según el cual se clasifica a los pronósticos en cualitativos y cuantitativos, el primero se aplica cuando se emite el juicio de una persona, mientras que los cuantitativos se refieren a procesos mecánicos que dan como resultado datos matemáticos. Chase, Aquilano y Jacobs (2001) hacen una clasificación de los pronósticos en base a lo que consideran importante de analizar. Para ellos, hay cuatro tipos de pronósticos, los cuales son: cualitativos, de análisis de series de tiempo, causales y modelos de simulación 4. El sistema de pronóstico Los pronósticos proporcionan información para tomar mejores decisiones. El primer paso es identificar la decisión que determina qué es lo que se va a pronosticar, el nivel de detalle necesario y con qué frecuencia se realizará. “Los pronósticos de ventas, calidad de materiales, ingresos, gastos, uso de energía o los tiempos de llegada de los clientes son una necesidad común en las empresas”. La identificación del problema determina la misión o el propósito, que se muestra como necesidad del pronóstico y constituye el punto de partida para el diseño del sistema de pronósticos. Las principales características de un problema de pronósticos son el marco del tiempo, el nivel de detalle, la exactitud necesaria y el número de aspectos a pronosticar. En los sistemas de producción, casi siempre es de interés el pronóstico de la demanda con el fin de decidir cuánto producir, las decisiones a largo plazo (nuevas plantas, aumentos de capacidad, nuevos productos, etc.) con frecuencia dependen de un pronóstico de demanda, en este caso las decisiones se basan en la tendencia de los pronósticos para varios años sucesivos y no en una sola estimación de demanda. La clave para entender los problemas de pronósticos se encuentra en la comprensión del proceso, el caso más usual es el proceso que crea la demanda de un producto, esto se consigue analizando las características del problema y los datos existentes (si existen), estableciendo los objetivos y metas del pronóstico. Render y Heizer, señalan 7 pasos en el sistema de pronóstico: 1. 2. 3. 4. 5. Determinar el uso del pronostico Seleccionar los aspectos (variables) que se quiere pronosticar. Determinar el horizonte temporal del pronóstico. Seleccionar la técnica o modelo de pronóstico. Reunir (recolectar, seleccionar y sistematizar) los datos necesarios para elaborar el pronóstico. 6. Aplicar el método elegido a los datos y obtener los resultados del pronóstico. 7. Validar e implementar los resultados. Lic . Jorge Lu is Medrano L l . Métodos de Pronóstico Diseño de un Sistema de Pronóstico Fuente: Tomado de http://adminoperaciones.blogspot.com/ Apuntes de Investigación Operativa 5. Métodos y técnicas de pronósticos Básicamente se tienen los métodos cualitativos y cuantitativos. Los métodos cualitativos están basados en juicios y opiniones de un grupo de individuos, que forman el panel de pronóstico, respecto a los factores causales de las variables que se quieren pronosticar. Hacen poco uso de la información histórica y casi siempre consideran un horizonte de largo plazo. Principalmente se desarrollan para construcción de escenarios referidos a las alternativas hipotéticas futuras y para investigación de las posibilidades de factibilidad de proyectos tecnológicos. Entre los métodos cualitativos más usuales, se encuentran: 1. El Consenso de comité ejecutivo o Jurado de opinión de ejecutivos, consiste en utilizar información proveniente de los ejecutivos de alto nivel de todos los ámbitos de la organización para llegar a un pronóstico grupal, a menudo suele combinarse con métodos estadísticos. 2. El método Delphi, es muy similar al anterior, utiliza tres tipos de informantes (tomadores de decisión, personal de la organización y entrevistados expertos) para llegar a un pronóstico general. 3. Composición de la fuerza de ventas, es una técnica en la que los vendedores estiman sus niveles de ventas de un determinado tiempo y lugar. 4. La encuesta en el mercado de consumo (encuesta a clientes), permite obtener información, con métodos no formales, de clientes reales y potenciales acerca de sus planes e intenciones de compra. 5. La analogía histórica y las investigaciones de mercado3 son procedimientos útiles para productos y servicios nuevos. La analogía histórica estima las ventas futuras de un producto nuevo con el conocimiento de las ventas de un producto similar y las investigaciones de mercado son encuestas de mercado que consisten en cuestionarios por correo y/o entrevistas telefónicas. Los métodos cuantitativos se basan en el análisis y procesamiento de información (por lo general histórica), generando pronósticos numéricos, son útiles en el mediano y corto plazo porque la información disponible se analiza estadísticamente asumiendo continuidad y estabilidad de los cambios de mercado y los cambiostecnológicos. Los métodos cuantitativos se pueden clasificar en: series temporales, modelos causales o asociativos y modelos de simulación. En este capítulo, nos concentraremos en las series temporales y los modelos causales. 3 En realidad las investigaciones de mercado combinan métodos estadísticos y técnicas cualitativas, para recopilar información de diferentes maneras y probar hipótesis sobre el mercado. Lic . Jorge Lu is Medrano L l . Métodos de Pronóstico 6. Análisis de series temporales Una serie de tiempo es un conjunto de valores observados, para series ordenadas secuencialmente de periodos de tiempo, por ejemplo: El Alto: Ventas de carne de pollo, 2000- 2008 (En kilogramos) 1500 1250 1002 1054 1120 2008 2007 2006 2005 2004 2003 2002 2001 849 875 891 2000 Kilos 1975 2000 1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0 El análisis de series de tiempo es el procedimiento mediante el cual se identifican y separan los factores relacionados con el tiempo que influyen sobre los valores observados de la serie. Una vez que se identifican esos valores, se les puede utilizar para mejorar la interpretación de los valores históricos de la serie de tiempo y para pronosticar valores futuros. Los modelos de series temporales, asumen una relación funcional de una variables de pronóstico dependiente del tiempo: Y = ƒ (Xt), esto quiere decir que se pronostica el valor futuro de la variable basado en patrones establecidos en el pasado. 6.1. Descomposición de una serie temporal Los datos de una serie temporal se pueden comportar de diferentes formas a través del tiempo, puede que se presente una tendencia, un ciclo; variaciones estacionales (anual, trimestral, semestral, …), no tener una forma definida o aleatoria. En este sentido una serie de tiempo tiene cuatro componentes, típicos: • • • • Tendencia (T), movimiento a lo largo de los valores de la serie de tiempo durante un número prolongado de periodos Fluctuaciones Cíclicas (C), movimientos recurrentes (arriba y abajo) con respecto a la tendencia, por varios periodos, Variaciones Estacionales (E), movimientos respecto a la tendencia y que no duran más de un año. Variaciones Irregulares (I), variaciones erráticas con respecto a la tendencia, que no pueden atribuirse a efectos estacionales o cíclicos. El valor observado de una serie de tiempo puede ser representado como: Y = T x C x E x I Apuntes de Investigación Operativa El profesor Gabriel Leandro, señala algunos tips que pueden ayudar a determinar los componentes de una serie de tiempo: Datos estacionarios: • Las fuerzas que generan la serie se han estabilizado y el medio permanece relativamente sin cambios, la estabilidad se puede lograr mediante correcciones sencillas a factores como crecimiento de la población o la inflación. • La serie se puede transformar en una serie estable y es un conjunto de errores de pronóstico, de una técnica de pronóstico que se considera adecuada. Datos con tendencia: • Productividad creciente y nueva tecnología producen cambios. • El incremento de la población elevan la demanda por productos. • El poder de compra se afecta por la inflación. • Aumenta la aceptación en el mercado de un producto. Datos con estacionalidad • El clima influye en la variable de interés. • El año calendario influye en la variable. Series cíclicas • El ciclo del negocio influye sobre la variable. • Cambios en el gusto popular, cambios en la población y ambios en el ciclo de vida del producto. 6.2. Métodos cuantitativos para el análisis de series temporales • • • • • • • Promedio Móvil Simple Se promedia un periodo que contiene varios puntos de datos, dividiendo la suma de los valores de los puntos entre el número de puntos. Cada punto tiene la misma influencia. Promedio Móvil Ponderado. Ciertos puntos se ponderan más que otros, según se considere conveniente de acuerdo con la experiencia. Suavizamiento Exponencial. Los puntos de datos más recientes tienen mayor peso; este peso se reduce exponencialmente, cuantos más antiguos son los datos. Análisis de Regresiones Ajusta una línea recta a datos pasados, por lo general relacionando el valor del dato con el tiempo. El método de ajuste más común es el de mínimos cuadrados. Técnica Box Jenkins Muy complicada, pero al parecer la más precisa de las técnicas estadísticas disponibles. Series de Tiempo de Shiskin Eficaz para descomponer una serie de tiempo en estacionalidad, tendencia e irregulares. Requiere por lo menos tres años de datos históricos. Muy bueno para identificar puntos de cambio. Proyección de Tendencias Ajusta una línea de tendencia matemática a puntos de datos y la proyecta hacia el futuro. Lic . Jorge Lu is Medrano L l . Métodos de Pronóstico Método de proyección Cantidad de datos Patrón de los datos históricos Ajuste exponencial 5 a 10 observaciones Los datos deben ser simple para fijar la ponderación estacionarios Ajuste exponencial de 10 a 15 observaciones Tendencias pero no Holt para fijar la ponderación estacionalidad Ajuste exponencial de Por lo menos 4 ò 5 Tendencias y Winter observaciones por estacionalidad Horizonte de Tiempo de Antecedentes del proyección preparación personal Corto Corto Poca sofisticación Ligera sofisticación Corto a mediano Corto Sofisticación Corto a mediano Corto moderada trimestre 10 a 20 observaciones Modelos de la tendencia para la estacionalidad, por Tendencias y de regresión lo menos 5 por trimestre estacionalidad Sofisticación Corto a mediano Corto moderada Largo tiempo para el Modelos de regresión 10 observaciones por Puede manejar Corto, mediano o desarrollo, corto para la Sofisticación causal variable independiente patrones complejos largo puesta en ejecución considerable Corto a mediano Corto tiempo para Poca sofisticación Maneja patrones cíclicos y Descomposición de las Suficiente para ver 2 estacionales puede identificar series de tiempo picos y simas los puntos críticos Box Jenkins 50 o más observaciones la moderación Deben ser estacionarios o Corto, mediano o ser transformados en largo estacionarios Largo Alta sofisticación Apuntes de Investigación Operativa 6.3. Medición del error del pronóstico Antes de desarrollar las diferentes técnicas de análisis de series temporales, es conveniente conocer algunas medidas para comparar la precisión las técnicas de pronóstico, medir su confiabilidad y buscar una técnica adecuada. El error de pronóstico (e) o desviación se define como: et = Yt − Yˆt , la diferencia entre el valor observado y el valor pronosticado. Existen diferentes medidas para estimar e error global del modelo de pronóstico, que sirven para comparar diferentes métodos y criterios y también como medida de desempeño, Las medidas más comunes son: 1. Deviación absoluta media n DAM = ∑ Y − Yˆ t t =1 t n 2. Error medio cuadrado ∑ (Y − Yˆ ) n EMC = 2 t t =1 t n 3. Porcentaje de error medio absoluto n ∑ Yt − Yˆt Yt n t =1 PEMA = 4. Porcentaje medio de error n ∑ PME = t =1 (Y − Yˆ ) t t Yt n Comencemos con un ejemplo: La tabla siguiente muestra las ventas de un producto alimenticio de la empresa APROC, en un mercado local y los pronósticos realizados por el departamento de ventas: Lic . Jorge Lu is Medrano L l . 10 Programación Lineal Cuadro No. 2 Ventas anuales APROC, 2000 - 2008 (Libras/año) Años Ventas Pronostico 2000 325 325 2001 372 360 2002 451 475 2003 550 580 2004 673 675 2005 700 745 2006 896 900 2007 1002 1000 2008 1200 1150 Fuente: Departamento de ventas APROC Calculando los errores de pronóstico: Pronostico Error Años Ventas de ventas (e) 2000 325 325 0 2001 372 360 12,00 DAM EMC PEMA PME 0 0 0 0 12,00 144,00 0,03 0,03 2002 451 475 -24,00 24,00 576,00 0,05 -0,05 2003 550 580 -30,00 30,00 900,00 0,05 -0,05 2004 673 675 -2,00 2,00 4,00 0,00 0,00 2005 700 745 -45,00 45,00 2025,00 0,06 -0,06 2006 896 900 -4,00 4,00 16,00 0,00 0,00 2007 1002 1000 2,00 2,00 4,00 0,00 0,00 2008 1200 1150 50,00 50,00 2500,00 0,04 0,04 18,8 685,4 ____________________________ Lic. Jorge Luis Medrano Ll. 11 Investigación de Operaciones 6.4. Modelos para pronósticos cuantitativos 6.4.1. Método del último valor Este método parte del supuesto de que los periodos recientes son los mejores para pronosticar el futuro. En este sentido el pronóstico en un periodo t, se define como: Veamos un ejemplo: Las ventas de carne de pollo en la ciudad de El Alto, durante los meses de enero y octubre del año que transcurre fueron: Cuadro No. 3 El Alto: Ventas de carne de pollo Enero-Octubre/2009 (Kilogramos/mes) Mes Demanda Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct 23751 25612 24002 22101 23218 25000 25425 27201 30004 33125 Fuente: INE Cuadro No. 4 El Alto: Pronostico de ventas de carne de pollo (método del último valor) (En kilogramos/mes) Mes Demanda Pronóstico de demanda Error PEMA 35000 Enero 23751 - - - Febrero 25612 23751 1861 0,073 Marzo 24002 25612 -1610 0,067 25000 Abril 22101 24002 -1901 0,086 20000 Mayo 23218 22101 1117 0,048 Junio 25000 23218 1782 0,071 Julio 25425 25000 425 0,017 10000 Agosto 27201 25425 1776 0,065 5000 Septiembre 30004 27201 2803 0,093 Octubre 33125 30004 3121 0,094 33125 Diciembre 33125 PEMA 6,83% 15000 0 Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre Noviembre 30000 Demanda Pronóstico de demanda Fuente: Elaboración propia ____________________________ Lic. Jorge Luis Medrano 12 Programación Lineal 6.4.2. Método del promedio simple Este método consiste en considerar la media aritmética o promedio de todos los valores pertinentes (en la mayor parte de casos de todos los valores precedentes), el valor de dicho promedio será el pronóstico del periodo correspondiente. Veamos: Junio 25000 23736,80 1263,20 0,05 5000 Julio 25425 23947,33 1477,67 0,06 0 Agosto 27201 24158,43 3042,57 0,11 Septiembre 30004 24538,75 5465,25 0,18 Octubre 33125 25146,00 7979,00 0,24 Noviembre 25943,90 Diciembre 25943,90 PEMA Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre Cuadro No. 5 El Alto: Pronostico de ventas de carne de pollo (método del promedio simple) (En kilogramos/mes) Pronóstic 35000 Mes Demanda o de Error PEMA demanda 30000 Enero 23751 25000 Febrero 25612 23751,00 1861,00 0,07 20000 Marzo 24002 24681,50 -679,50 0,03 15000 Abril 22101 24455,00 -2354,00 0,11 10000 Mayo 23218 23866,50 -648,50 0,03 Demanda 9,77% Fuente: Elaboración propia Guía de cálculos (algunos ejemplos) Febrero: El promedio del mes de enero: Marzo: El promedio de los meses de enero y febrero: (23751 + 25612)/2 = Abril: El promedio de enero, febrero y marzo: (23751 + 25612 + 24002) = Noviembre: El promedio desde el mes de enero hasta el mes de octubre = ____________________________ Lic. Jorge Luis Medrano Ll. 23751,00 24681,50 24455,00 25943,90 Pronóstico de demanda 13 Investigación de Operaciones Veamos la salida en QSB Secuencia: File New Problem Historical data Solve and Analize Simple Average (Promedio simple) 6.4.3. Método del promedio móvil Este método considera para el pronóstico el promedio de los “n” periodos más recientes, donde “n” es definido por la persona o equipo responsable del pronóstico y depende de la cantidad de datos históricos que se dispongan. El promedio móvil es la media aritmética de los “n” datos más recientes.4. 4 Una variante permite tomar también los valores adyacentes ____________________________ Lic. Jorge Luis Medrano 14 Programación Lineal Veamos: Cuadro No. 6 El Alto: Pronostico de ventas de carne de pollo (método del promedio móvil) (En kilogramos/mes) Pronóstic o de Mes Demanda Error PEMA 35000 demanda 30000 (n = 2) Enero 23751 25000 Febrero 25612 Marzo 24002 24681,50 -679,50 0,03 Abril 22101 24807,00 -2706,00 0,12 Mayo 23218 23051,50 166,50 0,01 Junio 25000 22659,50 2340,50 0,09 Julio 25425 24109,00 1316,00 0,05 Agosto 27201 25212,50 1988,50 0,07 Septiembre 30004 26313,00 3691,00 0,12 Octubre 33125 28602,50 4522,50 0,14 20000 Noviembre 31564,50 Diciembre 31564,50 PEMA 15000 10000 5000 Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre 0 Demanda Pronóstico de demanda (n = 2) 7,95% Fuente: Elaboración propia Guía de cálculos (algunos ejemplos) Marzo: El promedio de los meses de enero y febrero: (23751 + 25612)/2 = 24681,50 Noviembre: El promedio de septiembre y octubre: (30004+33125)/2 = 25943,90 ____________________________ Lic. Jorge Luis Medrano Ll. 15 Investigación de Operaciones En QSB: File New Problem Historical data Solve and Analize Moving Average (Promedio movil) Ingresar: el número de periodos del promedio (number period average) 6.4.4. Método del promedio móvil ponderado Este procedimiento es una variante del promedio móvil, en el que se asignan diferentes pesos a los datos pasados, lógicamente la suma de las ponderaciones o pesos debe ser igual a 1. La experiencia sugiere que los últimos valores tienen mayor ponderación que los valores antiguos. La mejor forma de asignar las ponderaciones es mediante prueba y error, pero debemos tener cuidado cuando existen datos estacionales. La fórmula del promedio móvil ponderado es: Donde: w1 + w2 + … + wn = 1 ____________________________ Lic. Jorge Luis Medrano 16 Programación Lineal Veamos: Cuadro No. 7 El Alto: Pronostico de ventas de carne de pollo (método del promedio móvil ponderado) (En kilogramos/mes) Pronóstic o de 35000 Error PEMA Mes Demanda demanda 30000 (n = 3) 25000 Enero 23751 25612 20000 Marzo 24002 15000 Abril 22101 24434,80 -2333,80 0,11 10000 Mayo 23218 23373,50 -155,50 0,01 5000 Junio 25000 23039,70 1960,30 0,08 0 Julio 25425 23885,60 1539,40 0,06 Agosto 27201 24856,10 2344,90 0,09 Septiembre 30004 26228,00 3776,00 0,13 Octubre 33125 28247,30 4877,70 0,15 Noviembre 31003,90 Diciembre 31003,90 PEMA Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre Febrero Demanda Pronóstico de demanda (n = 3) 8,7% Fuente: Elaboración propia Factores de ponderación: 3 meses antes 0,20 2 meses antes 1 mes antes 0,30 0,50 Guía de cálculos (algunos ejemplos) Marzo: El promedio ponderado: (0,20*23751) + (0,30*25612) + (0,50*24002) = 24434,80 Noviembre: El promedio ponderado: (0,20*27201) + (0,30*30004) + (0,50*33125) = 31003,90 6.4.5. Método de suavización exponencial Este método de pronóstico consiste en otorgar una ponderación mayor a las observaciones más recientes. Las ponderaciones se asignan mediante la constante “α”que varía según 0 < α < 1. El modelo de pronóstico se expresa como: 1 Esta expresión implica que el pronóstico depende del valor observado anterior, el valor pronosticado anterior y el factor de suavizamiento, que determina el nivel de suavizamiento y la velocidad de reacción con respecto a las diferencias entre pronósticos y datos observados, mientras más rápido sea el crecimiento, mayor debe ser la tasa de reacción. ____________________________ Lic. Jorge Luis Medrano Ll. 17 Investigación de Operaciones Partiendo del supuesto de que la importancia de los datos disminuye a medida que son más antiguos, el suavizamiento permite asignar más peso a los datos más reciente y por lo tanto puede generar mejores ajustes que los promedios móviles, es decir que por lo general tienen mayor grado de precisión. Esto hace que esta técnica es una de las más utilizadas. Cuadro No. 8 El Alto: Pronostico de ventas de carne de pollo (método del suavizamiento exponencial) (En kilogramos/mes) Pronóstic o de Mes Demanda Error PEMA 35000 demanda ( α = 0,75) 30000 Enero 23751 23751,00 25000 Febrero 25612 23751,00 1861,00 0,07 Marzo 24002 25146,75 -1144,75 0,05 Abril 22101 24288,19 -2187,19 0,10 15000 Mayo 23218 22647,80 570,20 0,02 10000 Junio 25000 23075,45 1924,55 0,08 5000 Julio 25425 24518,86 906,14 0,04 0 Agosto 27201 25198,47 2002,53 0,07 Septiembre 30004 26700,37 3303,63 0,11 Octubre 33125 29178,09 3946,91 0,12 Noviembre 32138,27 Diciembre 32138,27 PEMA Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre 20000 Demanda Pronóstico de demanda (α = 0,75) 7,33% Fuente: Elaboración propia Guía de cálculos (algunos ejemplos) Enero: El dato del pronóstico sólo es referencial Febrero: 0,75 * 23751 + (1 – 0,75) * 23751,00 = 23751,00 Marzo: 0,75 * 25612 + (1 – 0,75) * 23751,00 = 25146,75 Noviembre: 0,75 * 33125 + (1 – 0,75) * 29178,09 = 32128,27 ____________________________ Lic. Jorge Luis Medrano 18 Programación Lineal En QSB: File New Problem Historical data Solve and Analize Single exponential smoothing (Suavizamiento exponencial simple) Ingresar: factor de suavizamiento (smoothing constant alpha) Chase y Aquilano, señalan que el método del ajuste o suavizamiento exponencial es uno de los más utilizados por las siguientes razones: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Los modelos exponenciales son sorprendemente exactos. La formulación de un modelo exponencial es relativamente fácil. El usuario puede entender cómo funciona el modelo. Se requieren de pocos datos y pocos cálculos para utilizar el modelo. Los requerimientos de almacenamiento son bajos debido al uso limitado de datos. Las pruebas de exactitud en cuanto al desempeño del modelo son fáciles de calcular. 6.4.6. Método de suavizamiento exponencial para datos con tendencia (Holt) Ya indicamos que una serie temporal puede presentar un componente de tendencia (creciente o decreciente), en tal caso el suavizamiento exponencial podría no ajustarse de manera adecuada a los datos en tal caso es posible estimar un factor de tendencia, para los datos y aplicar un modelo biecuacional que ajuste los datos a la tendencia. Las proyecciones de suavizamiento exponencial pueden corregirse agregando un ajuste de tendencia, para lo cual se necesitan dos constantes de ajuste “α” y “β”, este último factor trata de reducir el impacto del error entre la realidad y el pronóstico. ____________________________ Lic. Jorge Luis Medrano Ll. 19 Investigación de Operaciones La ecuación que permite calcular el pronóstico con tendencia se define como: 1 1 En este modelo S representa el pronóstico de base y G representa el comportamiento de la tendencia. IMPORTANTE. Para que la ecuación de tendencia funcione la primera vez que se utilice, el valor inicial debe registrarse manualmente, en el caso del pronóstico de base (S) puede ser el mismo valor observado, una estimación razonable o un cálculo basado en los datos anteriormente observados. Para el caso de la tendencia (G) se puede tomar el incremento agregado desde el primer dato hasta el último dato, por periodo de observación, con estos valores será fácil realizar los demás cálculos. Veamos: En el ejemplo de la demanda de carne de pollo se observa que los datos presentan un comportamiento creciente es decir una tendencia a la que aproximaremos una tendencia lineal. Cuadro No. 9 El Alto: Pronostico de ventas de carne de pollo (método del suavizamiento exponencial con tendencia) (En kilogramos/mes) Mes Enero Demanda St (α = 0,50) Gt (α = 0,10) Pronóstico de demanda Error PEMA 23751 23751,00 1041,56 Febrero 25612 25202,28 1082,53 24792,56 819,44 0,03 Marzo 24002 25143,40 968,39 26284,81 -2282,81 0,10 Abril 22101 24106,40 767,85 26111,79 -4010,79 0,18 Mayo 23218 24046,12 685,04 24874,24 -1656,24 0,07 Junio 25000 24865,58 698,48 24731,16 268,84 0,01 Julio 25425 25494,53 691,53 25564,06 -139,06 0,01 Agosto 27201 26693,53 742,27 26186,05 1014,95 0,04 Septiembre 30004 28719,90 870,68 27435,80 2568,20 0,09 Octubre 33125 31357,79 1047,40 29590,58 3534,42 0,11 Noviembre 32405,19 Diciembre 32405,19 PEMA 6,95% Fuente: Elaboración propia ____________________________ Lic. Jorge Luis Medrano 20 Programación Lineal Nótese que en el gráfico siguiente, se ve reflejada la tendencia de mejor manera que con los otros procedimientos vistos anteriormente (con excepción del método del último valor). 35000 30000 25000 20000 15000 10000 5000 0 Demanda Pronóstico de demanda 6.4.7. Método de suavizamiento exponencial para datos con estacionalidad (Winter) El método de invierno (Winter) se usa para series temporales en las que se encuentra presente la tendencia y la estacionalidad. Ya vimos como incluir la tendencia, ahora veremos cómo se incorpora la estacionalidad, para ello se define C, como el número de periodos en la duración del patrón estacional. (C = 4 si la información es trimestral, C = 12 si los datos son mensuales, C = 2, si se trata de semestres, etc.) Tomando las ecuaciones de pronóstico de base y tendencia del modelo anterior se tiene: / 1 1 Donde N es el número de períodos de un ciclo estacional completo (N=2, N=4; N=12, etc.) Adicionalmente se requiere un procedimiento para revisar los factores estacionales ya que al hacer las suavizaciones se dispone de nuevos datos, para tal caso se aplica nuevamente una suavización exponencial para los factores estacionales: / 1 ____________________________ Lic. Jorge Luis Medrano Ll. 21 Investigación de Operaciones En este caso el factor de suavizamiento γ en general es mayor a los parámetros α y β, debido a que el número de observaciones del factor estacional es uno al año. Con estas tres ecuaciones el pronóstico se obtiene como: Veamos un ejemplo (tomado de Bodoni-Hausman y Bierman, “Análisis Cuantitativo para los Negocios”). Las ventas mensuales de sopa de carne de pollo (en miles de cajas) en los tres últimos años fueron: Mes Enero Año 1 Año 2 Año 3 219 236 243 Febrero 216 239 238 Marzo 218 221 224 Abril 185 194 194 Mayo 154 161 162 Junio 147 131 153 Julio 124 110 138 Agosto 93 101 128 Septiembre 127 131 151 Octubre 148 157 165 Noviembre 161 189 194 Diciembre 198 217 241 Promedio 165,83 173,92 185,92 Según el gráfico siguiente se aprecia un comportamiento estacional que se repite en los tres años: 300 250 200 150 Año 1 100 Año 2 50 Año 3 0 ____________________________ Lic. Jorge Luis Medrano 22 Programación Lineal Paso a paso Paso 1: factores estacionales Con la información dada el primer paso consistirá en determinar los doce factores estacionales, lo cual se puede hacer simplemente dividiendo el promedio de cada mes individual en los tres años con respecto al promedio total de los tres años, por ejemplo para el mes de enero: Promedio total = (219 + 216 + … + 241)/36 = 6308/36 = Promedio del mes de enero = (219 + 236 + 243)/3 = Factor estacional del mes de enero = 232,67/175,22 = 175,22 232,67 1,3278 Realizando este procedimiento para todos los meses, en una hoja de cálculo se obtiene: Factores Mes Año 1 Año 2 Año 3 estacionales 219 236 243 1,32784 Enero Febrero 216 239 238 1,31833 Marzo 218 221 224 1,26126 Abril 185 194 194 1,09004 Mayo 154 161 162 0,90742 Junio 147 131 153 0,81991 Julio 124 110 138 0,70767 Agosto 93 101 128 0,61256 Septiembre 127 131 151 0,77806 Octubre 148 157 165 0,89410 Noviembre 161 189 194 1,03488 Diciembre 198 217 241 1,24794 Paso 2: Valores iniciales Calculo de la tendencia (G0): del año 3 Incremento mensual de las ventas de enero del año 1 a enero (243 – 219)/24 = 1 Tiempo transcurrido entre enero/año 1 y enero/Año 3 ____________________________ Lic. Jorge Luis Medrano Ll. 23 Investigación de Operaciones Calculo del pronóstico de base (S0) Se toma el promedio de ventas mensuales durante el año 1 y se resta la mitad del año de tendencia. Promedio de ventas mensuales año 1 = 165,83 Mitad del año de la tendencia =6 Dado que G0 = 1 1 año 12 meses La mitad del año de tendencia es 6 Entonces S0 = 165,83 – 6 = 159,83 Paso 3: Calculo del pronóstico Teniendo los valores iniciales S0 y G0, ahora se puede calcular el pronóstico de base (S), la tendencia (G) y los factores estacionales (C), utilizando el suavizamiento exponencial correspondiente a cada caso. IMPORTANTE: Para el caso de los factores estacionales es más fácil comenzar con el primer punto de datos (en nuestro caso enero) que será el insumo para el pronóstico del mes de febrero Veamos los cálculos para los insumos del pronóstico del mes de febrero (datos de enero del año 1), tomando α = 0,20; β = 0,20; γ = 0,20 S1 = 0,20 (219/1,32784) + (1-0,20) (159,83+1) = 161,5 G1 = 0,20 (161,5-159,83) + (1-0,20) (1) = 1,16386 C1 = 0,20 (219/161,5) + (1-0,20) (1,16386) = 1,3332 Con esta información el pronóstico del mes de febrero: Este procedimiento se repite para todo el año 1 En el caso del año 2 se toman en cuenta los factores estacionales suavizados para el año 1. En el caso del año 3 se toma en cuenta los factores estacionales suavizados para el año 2. ____________________________ Lic. Jorge Luis Medrano 24 Programación Lineal Realizando todos los cálculos se obtiene: Año 1 PRONOSTICO Dt Factor Valores iniciales St Gt Ct Pronóstico 159,83 1 Enero 219 1,328 161,65 1,16386 1,3332215 Febrero 216 1,318 163,02 1,20497 1,31965563 214,65 Marzo 218 1,261 165,95 1,54963 1,27173368 207,13 Abril 185 1,090 167,94 1,63835 1,09234766 182,58 Mayo 154 0,907 169,61 1,64356 0,90753061 153,88 Junio 147 0,820 172,86 1,96501 0,82601007 140,41 Julio 124 0,708 174,90 1,98095 0,70793077 123,72 93 0,613 171,87 0,97849 0,5982644 108,35 Septiembre 127 0,778 170,93 0,59353 0,7710502 134,49 Octubre 148 0,894 170,32 0,35392 0,8890714 153,36 Noviembre 161 1,035 167,65 -0,25012 1,01996218 176,63 Diciembre 198 1,248 165,66 -0,59985 1,23740061 208,91 Agosto Año 2 St Gt Enero PRONOSTICO Dt 236 Factor 1,328 167,45 -0,12151 1,34845567 220,06 Febrero 239 1,318 170,08 0,42974 1,33676409 220,81 Marzo 221 1,261 171,17 0,56038 1,27561619 216,85 Abril 194 1,090 172,90 0,79530 1,09828437 187,58 Mayo 161 0,907 174,44 0,94364 0,9106176 157,63 Junio 131 0,820 172,02 0,27213 0,81311254 144,87 Julio 110 0,708 168,91 -0,40441 0,69658899 121,97 Agosto 101 0,613 168,57 -0,39189 0,59844204 100,81 Septiembre 131 0,778 168,52 -0,32315 0,77230833 129,67 Octubre 157 0,894 169,88 0,01240 0,89609585 149,54 Noviembre 189 1,035 172,97 0,62883 1,03450176 173,28 Diciembre 217 1,248 173,95 0,69948 1,23941104 214,81 ____________________________ Lic. Jorge Luis Medrano Ll. Ct Pronóstico 25 Investigación de Operaciones Año 3 PRONOSTICO Dt Factor St Gt Ct Pronóstico Enero 243 1,328 175,76 0,92157 1,35527104 235,51 Febrero 238 1,318 176,96 0,97581 1,33840293 236,19 Marzo 224 1,261 177,47 0,88255 1,27293475 226,97 Abril 194 1,090 178,01 0,81414 1,09659622 195,88 Mayo 162 0,907 178,64 0,77734 0,90986716 162,84 Junio 153 0,820 181,16 1,12739 0,81939694 145,88 Julio 138 0,708 185,46 1,76002 0,70609398 126,98 Agosto 128 0,613 192,55 2,82695 0,61170602 112,04 Septiembre 151 0,778 195,41 2,83258 0,77239729 150,89 Octubre 165 0,894 195,42 2,26835 0,88574662 177,64 Noviembre 194 1,035 195,65 1,86215 1,02591068 204,51 Diciembre 241 1,248 196,90 1,73939 1,23632022 244,80 1,355 262.91 6.4.8. Correlación y regresión Correlación lineal En diversas ocasiones se analiza el grado de relacionamiento entre dos variables, por ejemplo entre la publicidad y las ventas, o la demanda de un producto y su precio. Una primera aproximación al problema, se puede encontrar mediante una representación gráfica en un plano cartesiano, que nos permitiría obtener una nube de puntos que muestre la existencia (o no) de algún tipo de relación (lineal, parabólica, exponencial, etc.) entre ambas notas. La correlación permite analizar la intensidad de la relación lineal entre dos variables, mediante el coeficiente de correlación lineal de Pearson, cuyo valor oscila entre –1 y +1 El coeficiente r se define como: , ∑ ∑ ! ∑ ! ____________________________ Lic. Jorge Luis Medrano 26 Programación Lineal Y Y Y 140 140 140 120 120 120 100 100 100 80 80 80 60 60 60 40 40 40 20 20 20 0 X 0 5 10 15 Correlación lineal directa (r +1) X 0 0 5 10 15 Correlación lineal inversa (r -1) X 0 0 5 10 15 Correlación no lineal (r 0) De acuerdo con los gráficos se observa que cuando existe una relación directa (A mayor X mayor Y) la correlación tiende a 1, en una relación inversa (A mayor X, menor Y) la correlación tiende a -1, y en ausencia de relación lineal la correlación tiende a 0, pero esto puede indicar que existe otro tipo de correlación. El siguiente diagrama resume el análisis, del coeficiente de correlación, entre dos variables: Propiedades del coeficiente de correlación de Pearson (r) • Es adimensional. • Sólo toma valores en [-1,1]. • Las variables son incorrelacionadas r = 0. • Relación lineal perfecta entre dos variables r = +1 o r = -1. o Excluimos los casos de puntos alineados horizontalmente o verticalmente. • Cuanto más cerca esté r de +1 o -1 mejor será el grado de relación lineal. o Siempre que no existan observaciones anómalas. ____________________________ Lic. Jorge Luis Medrano Ll. 27 Investigación de Operaciones Análisis de regresión Cuando se piensa que una variable depende de la otra, se debe cuantificar la relación entre ellas, esto permite el valor de una variable (dependiente o explicada) a partir del valor de otra variable (independiente o explicativa). Los modelos de regresión intentan analizar este proceso. En el caso de las series temporales se trata de ajustar un conjunto de datos en el tiempo (puntos) a una función matemática conocida, por ejemplo en el siguiente gráfico: Bolivia: Demanda de café 2000-2009 (En kilogramos/año) Demanda de café (Kg) 1200 2000 602 1000 2001 389 2002 420 2003 525 2004 647 2005 720 2006 693 2007 992 2008 1050 2009 985 Kilos de café Años 800 600 400 200 0 2000 2002 2004 2006 2008 2010 En este caso los puntos representan la cantidad demandada por año, en general se observa que la misma ha ido aumentando con el transcurrir de los años, por lo que parece existir una tendencia creciente la misma que se puede ajustar a una línea recta de la forma Y = a + bX. Es importante notar que la existencia de correlación entre variables no implica causalidad, la correlación sólo mide la fuerza de asociación entre dos variables cuantitativas; la regresión estudia la relación entre dos variables cuando una depende de la otra La regresión lineal El tipo más frecuente y usual de tendencia es la lineal, según la cual los datos observados se pueden ajustar a una función lineal de la forma , donde es el valor pronosticado y Xt el periodo correspondiente a cada pronóstico, en este caso se trata de estimar los parámetros a y b, siendo a el valor de la tendencia cuando X = 0 y b es el valor de la pendiente de la función lineal. ____________________________ Lic. Jorge Luis Medrano 28 Programación Lineal El método más común de estimación de los parámetros de la regresión a y b, es el de mínimos cuadrados ordinarios5, según el cual: b= ∑ (X − X )(Y − Y ) ∑ (X − X ) 2 a = Y − bX Donde Y son los datos observados en los periodos X. Veamos el ejemplo de la demanda de café: Manualmente: (X − X ) (Y − Y ) (X − X ) (Y − Y ) (X − X ) 2 Años Xt Demanda (Y) 2000 1 602 -4,5 -100,3 451,35 20,25 2001 2 389 -3,5 -313,3 1096,55 12,25 2002 3 420 -2,5 -282,3 705,75 6,25 2003 4 525 -1,5 -177,3 265,95 2,25 2004 5 647 -0,5 -55,3 27,65 0,25 2005 6 720 0,5 17,7 8,85 0,25 2006 7 693 1,5 -9,3 -13,95 2,25 2007 8 992 2,5 289,7 724,25 6,25 2008 9 1050 3,5 347,7 1216,95 12,25 2009 985 Σ 10 55 7023 4,5 0 282,7 0,00 1272,15 5755,5 20,25 82,5 Promedio 5,5 702,3 Calculando los parámetros: 5755,5 = 69,75 82,5 a = 702,3 − (69.75) * (5,5) = 318,66 b= Estimación de los coeficientes de regresión por mínimos cuadrados. Los parámetros se pueden estimar mediante cálculos manuales, ingresando la información en una calculadora científica, en excel o en cualquier software estadístico o especializado de Investigación Operativa como el QSB. ____________________________ 5 Lic. Jorge Luis Medrano Ll. 29 Investigación de Operaciones Ms Excel ofrece diferentes alternativas para el cálculo de los parámetros: • La forma más sencilla, se encuentra en agregar línea de tendencia a un gráfico de dispersión. También se puede estimar los parámetros mediante las funciones estadísticas: PENDIENTE parámetro b INTERSECCION.EJE parámetro a COEF.CORREL parámetro r La forma más completa de obtener los parámetros de una regresión es a través del complemento “Herramientas de Análisis” utilizando la función Regresión. • • Gráficamente 1200 y = 69,764x + 318,6 R² = 0,7911 Demanda 1000 800 600 400 200 0 0 2 4 6 8 10 12 Periodos 1. 2. 3. Graficar la nube de puntos. Sobre uno de los puntos “agregar línea de tendencia. En el cuadro de dialogo, elegir lineal y marcar: □ Presentar ecuación en el gráfico □ Presentar el valor de R cuadrado en el gráfico Calculados los parámetros, la función de tendencia será: pueden realizar pronósticos para varios periodos, por ejemplo Año Xt Demanda 2010 11 1086,0 2011 12 1155,8 2012 13 1225,5 2013 14 1295,3 2014 15 1365,1 2015 16 1434,8 , con la cual se Guía de cálculos (algunos ejemplos) Año 2010: Año 2011: Año 2015: 318,6 + 69,8*11 = 1086,0 318,6 + 69,8*12 = 1155,8 318,6 + 69,8*16 = 1434,8 ____________________________ Lic. Jorge Luis Medrano 30 Programación Lineal Otros tipos de tendencia Si bien la tendencia lineal es la más usual existe un menú de ajustes que pueden adecuarse a otro tipo de comportamiento de datos, en este caso nos referiremos a la tendencia exponencial y a la tendencia de tipo logarítmica que suelen presentarse con cierta frecuencia al momento de analizar series temporales. La regresión exponencial de la forma Y = aebX se caracteriza por presentar un crecimiento sostenido de los datos, en el ejemplo se observa una estimación de necesidades de tratamiento para personas que han contraído el VIH. 1000 800 600 400 200 0 1980 1000 1990 2000 2010 y = 1,0244e0,2669x R² = 0,9352 800 600 400 200 0 0 10 20 30 La regresión logarítmica de la forma Y = a + b Ln(X) se caracteriza por un crecimiento sostenido durante los primeros periodos para luego presentar una estabilización casi lineal durante los siguientes periodos, por ejemplo en los gráficos siguientes se muestra la demanda de chips para celulares en la región andina de Sudamérica. ____________________________ Lic. Jorge Luis Medrano Ll. 31 Investigación de Operaciones 35000 35000 30000 30000 25000 25000 20000 20000 15000 15000 10000 10000 5000 5000 0 1990 y = 6334ln(x) + 12741 R² = 0,9233 0 1995 2000 2005 2010 0 5 10 15 20 -:- ____________________________ Lic. Jorge Luis Medrano 32 Programación Lineal Resolviendo pronósticos con el software QSB El QSB tiene integrado el programa “Forecasting and Linear Regression” (Pronostico y regresión lineal). Para ingresar una serie temporal el procedimiento es el siguiente: 1. File 2. New Problem Titulo del problema Unidad de tiempo (mes, trimestre, semestre, año, etc.) Número de periodos de observación (número de datos observados) 3. Ingresar los datos de la serie temporal: Por ejemplo Historical Mes Data 1 23751 4. 2 25612 3 24002 4 22101 5 23218 6 25000 7 25425 8 27201 9 30004 10 33125 Resolver el modelo (Solve and Analyze) y elegir el modelo de pronostico En este caso Simple average (SA) ____________________________ Lic. Jorge Luis Medrano Ll. 33 Investigación de Operaciones Ingresar el número de periodos a pronosticar 5. La salida del modelo será: ____________________________ Lic. Jorge Luis Medrano 34 Programación Lineal ____________________________ Lic. Jorge Luis Medrano Ll. 35 Investigación de Operaciones ____________________________ Lic. Jorge Luis Medrano