Problemas de Análisis - Gobierno de Canarias

PROBLEMAS DE ANÁLISIS
1. En un centro de formación profesional están siguiendo la evolución del crecimiento de las palmeras a lo largo de
varios años. Después de muchas notas y cálculos, han llegado a la conclusión de que la altura, en metros, viene
dada por la expresión:
y
a)
b)
c)
d)
e)
30 x 2  60
4 x 2  40
donde x representa los años que transcurren desde que se plantan.
¿Cuánto tiempo debe transcurrir, aproximadamente, para que la palmera alcance 6 metros?
¿Cuánto ha crecido hasta el quinto año y cuál ha sido el crecimiento medio en los 5 primeros años?
¿Cuál es el crecimiento instantáneo al finalizar el quinto año de haber sido plantada?
Justifica la monotonía de la función.
¿Cuál es la altura máxima que consigue esta especie de palmeras?
Sol.: a) 5 años, 5 meses y 22 días; b) 4,2286 m, 0,857 m/año; c) 49 cm/año; d) Creciente; e) 7,5 m.
2. La función f ( x ) , en cientos de miles de euros, indica las ganancias de una empresa en función del tiempo
transcurrido, x en años, desde su creación:
a)
b)
c)
d)
1
 2 x si 0  x  3
f (x)  
 x+3
si x>3
 x+1
Estudiar la continuidad y derivabilidad.
Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las ganancias.
¿A cuánto asciende la máxima ganancia?
¿Qué sucede a medida que transcurre el tiempo? Razona la respuesta.
Sol.: a) Continua pero no derivable; b) Creciente: (0 , 3) , decreciente; (3 , +∞); c) 150 000 €;
d) Las ganancias tienden a 100 000 €.
3. El servicio de traumatología de un hospital va a implantar en nuevo sistema que permite reducir a corto plazo las
listas de espera. Se prevé que a partir de ahora la siguiente función, p , indicará en cada momento, t (en meses),
el porcentaje, p , de pacientes que podrá ser operado sin necesidad de entrar en lista de espera:
t 2  8t  50 si 0  t  10

p(t )   38t  100
si t  10

0, 4t

Determinar:
El porcentaje de pacientes que en la actualidad se operan sin entrar en las listas de espera.
¿Qué porcentaje de pacientes se operará sin entrar en listas de espera dentro de un año?
¿Cuánto tiempo será necesario esperar para que las listas de espera solo deriven el 10% de los pacientes?
¿Se podrá operar algún día al 98% de los pacientes sin necesidad de entrar en listas de espera?
¿En qué momento el porcentaje de pacientes que podrán ser operados sin lista de espera es menor y qué
porcentaje es?
f) ¿Siempre disminuye el porcentaje de lista de espera?
Sol.: a) 50%; b) 74,16%; c) 4 años y 2 meses; d) No, el máximo es el 95%;
e) A los 4 meses y con un porcentaje del 34%; f) Disminuye a partir del 4º mes.
a)
b)
c)
d)
e)
4. Un rectángulo mide 8 dm de largo y 4 de ancho. De cada esquina se recorta un cuadrado de lado x con el fin de
hacer una caja sin tapa. Halla x para que el volumen sea máximo e indicar los cm 3 de la capacidad de la caja.
Sol.: x= 0,845 dm =8,45 cm, V= 12,317 dm3=12317 cm3.