vigasdef tablas

Fórmulas de deformación de vigas
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Simbolo
E·I
y

x
L
M
P
w
R
V
Magnitud
Rigidez a flexión
Deflexión, deformación, flecha
Pendiente, giro
Posición del punto de estudio (distancia desde el origen)
Longitud de la viga (sin vano lateral)
Momento flector, flector, momento aplicado
Carga puntual, carga concentrada
Carga distribuida
Reacción
Esfuerzo cortante, cortante
Viga simple apoyada - Carga uniforme en todo el vano
 w0 x 3
( L  2 Lx 2  x 3 )
24 EI
L
 5w0 L4
para x 
yMAX 
2
384 EI
 w0 3
( L  6 Lx 2  4 x 3 )
Pendiente  AB 
24 EI
 w0 L3
 A   B 
24 EI
w0 x
( L  x)
Momento M AB 
2
L
w L2
para x 
M MAX  0
2
8
w
Cortante VAB  0 ( L  2 x)
2
wL
Reacciones RA  RB  0
2
Deflexión yAB 
Unidades
N·m2, Pa·m4
m
m
m
N·m
N
N/m
N
N
Viga simple apoyada - Carga uniforme en la mitad del vano
 w0 x
(9 L3  24 Lx 2  16 x 3 )
384 EI
 w0 L
yCB 
(8 x 3  24 Lx 2  17 L2 x  L3 )
384 EI
 w0
(9 L3  72 Lx 2  64 x 3 )
Pendiente  AC 
384 EI
 w0 L
 CB 
(24 x 2  48 Lx  17 L2 )
384 EI
 3wL3
7 wL3
A 
B 
128EI
384 EI
w
w 2
2
Momento M AC  0 (3Lx  4 x ) M CB  0 ( L  Lx )
8
8
w0
 w0 L
VAC 
(3L  8 x)
VCB 
Cortante
8
8
VA  RA
VB   RB
3w L
wL
RB  0
Reacciones RA  0
8
8
Deflexión
y AC 
Viga simple apoyada - Carga uniforme parcial en un lado
Deflexión:
 w0 x 4
yAC 
(a  4a 3 L  4a 2 L2  2a 2 x 2  4aLx 2  Lx 3 )
24 LEI
 w0 a 2
yCB 
(a 2 L  4 L2 x  a 2 x  6 Lx 2  2 x 3 )
24 LEI
Pendiente:
 w0
 AC 
(a 4  4a 3 L  4a 2 L2  6a 2 x 2  12aLx 2  4 Lx 3 )
24 LEI
 w0 a 2
 CB 
(4 L2  a 2  12 Lx  6 x 2 )
24 LEI
Momento:
 w0 2
w a2
M AC 
(a x  2aLx  Lx 2 )
M CB  0 ( L  x )
2L
2L
Cortante:
 w0 2
 w0 a 2
VAC 
(a  2aL  2 Lx ) VCB  VC  VB 
2L
2L
2
wa
wa
Reacciones RA  0 (2 L  a )
RB  0
2L
2L
Viga simple apoyada - Carga uniforme parcial
RA x 3
R x3
w
 x
yCD  A  0 ( x  a) 4  x
6 EI
6 EI 24 EI
3
R ( L  x)
 ( L  x)
yDB  B

6 EI
L
2
R x
R x2
w
Pendiente:  AC  A  
 CD  A  0 ( x  a )3  
2 EI
2 EI 6 EI
2
 RB ( L  x)

 DB 

2 EI
L
w
M CD  RA x  0 ( x  a ) 2
Momento M AC  RA x
2
M DB  RB ( L  x )
VAC  VA  VC  RA
VCD  RA  w0 ( x  a )
Cortante
VDB  VD  VB   RB
wb
wb
RB  0 (2a  b)
Reacciones RA  0 (2c  b)
2L
2L
Siendo:
w b3 L  6 EI  3RBc 2 L  3RA L(a  b) 2
 0
6 LEI
3
4
4 w ab  3w0b  8 RA (a  b)3  12 RBc 2 L  8 RBc 3
 0
24 EI
Deflexión yAC 
Viga simple apoyada - Cargas uniformes parciales distintas a cada lado
Momento
M AC  RA x 
M CD  RA x 
w1 x 2
2
w1a
(2 x  a)
2
M DB
w2 ( L  x) 2
 RB ( L  x ) 
2
Cortante:
VAC  RA  w1 x VCD  RA  w1a
VDB   RB  w2 ( L  x)
Reacciones:
w a(2 L  a)  w2c 2
w c(2 L  c )  w1a 2
RA  1
RB  2
2L
2L
Viga simple apoyada - Carga uniformemente creciente en todo el vano
 w0 x
(7 L4  10 L2 x 2  3 x 4 )
360 LEI
w L4
para x = 0,5193L
y MAX  0,00652 0
EI
 w0
(7 L4  30 L2 x 2  15 x 4 )
Pendiente  AB 
360 LEI
 7 w0 L3
w L3
A 
B  0
360 EI
45EI
w0 2
(L x  x3 )
Momento M AB 
6L
w0 2
VAB 
( L  3x 2 )
Cortante
6L
wL
2w L
RB  0
Reacciones RA  0
6
6
Deflexión
y AB 
Viga simple apoyada - Carga uniformemente creciente hacia el centro
 w0 x
(5L2  4 x 2 ) 2
960 LEI
 w0 ( L  x)
y CB 
(5 L2  4( L  x) 2 ) 2
960 LEI
L
 w0 L4
para x 
y MAX 
2
120 EI
 w0
(5L2  4 x 2 )( L2  4 x 2 )
Pendiente  AC 
192 LEI
w0
 CB 
(5L2  4( L  x ) 2 )( L2  4( L  x) 2 )
192 LEI
 5w0 L3
 A   B 
192 EI
w0
(3L2 x  4 x 3 )
Momento M AC 
12 L
w ( L  x)
M CB  0
(3L2  4( L  x ) 2 )
12 L
w
 w0 2
2
2
( L  4( L  x) 2 )
Cortante VAC  0 ( L  4 x ) VCB 
4L
4L
Deflexión y AC 
Reacciones RA  RB 
w0 L
4
Viga simple apoyada - Carga senoidalmente distribuida
 w0 L4
πx
sen
4
π EI
L
4
L
w L
para x 
yMAX  4 0
2
π EI
3
w L
πx
 w L3
Pendiente  AB  3 0 cos
 A   B  3 0
π EI
L
π EI
2
wL
πx
Momento M AB  0 2 sen
π
L
w0 L
πx
wL
cos
VA  VB  0
Cortante VAB 
π
L
π
w0 L
Reacciones RA  RB 
π
yAB 
Deflexión
Viga simple apoyada - Carga puntual en el centro
Deflexión
 Px
(3L2  4 x 2 )
48 EI
 P ( L  x)
y CB 
(3L2  4( L  x) 2 )
48 EI
L
 PL3
para x 
y MAX  yC 
2
48 EI
Pendiente:
y AC 
P 2
P
( L  4 x 2 )  CB 
(4 x 2  8 Lx  3L2 )
16 EI
16 EI
PL2
 A   B 
16 EI
Px
P ( L  x)
M CB 
Momento M AC 
2
2
P
P
VAC  VA 
VCB  VB 
Cortante
2
2
P
Reacciones RA  RB 
2
 AC 
Viga simple apoyada - Carga puntual en cualquier punto
Deflexión
 Pbx 2
(L  b2  x2 )
6 LEI
 Pa ( L  x ) 2

L  a 2  ( L  x) 2
6 LEI
y AC 
yCB


Pendiente:
 Pb 2
Pa 2
 AC 
( L  b 2  3 x 2 )  CB 
L  a 2  3( L  x) 2
6 LEI
6 LEI
2
2
Pa
 Pb( L  b )
B 
( L2  a 2 )
A 
6 LEI
6 LEI
Pbx
Pa ( L  x)
M CB 
Momento M AC 
L
L
Pb
 Pa
VAC  VA 
VCB  VB 
Cortante
L
L
Pb
Pa
RB 
Reacciones RA 
L
L

Viga simple apoyada - Dos cargas puntuales iguales situadas simétricamente
 Px
(3aL  3a 2  x 2 )
6 EI
 Pa
yCD 
(3Lx  3 x 2  a 2 )
6 EI
 P ( L  x)
y DB 
3aL  3a 2  ( L  x) 2
6 EI
 Pa
L
y MAX 
(3L2  4a 2 ) para x 
24 EI
2
P
 Pa
(aL  a 2  x 2 )  CD 
( L  2 x)
Pendiente  AC 
2 EI
2 EI
P
 DB 
aL  a 2  ( L  x ) 2
2 EI
 P (aL  a 2 )
 A   B 
2 EI
M CD  Pa
M DB  P ( L  x)
Momento M AC  Px
VAC  P
VCD  0
VDB   P
Cortante
Reacciones RA  RB  P
Deflexión y AC 




Viga simple apoyada - Dos cargas puntuales iguales situadas asimétricamente
M AC  RA x
M CD  RA x  P ( x  a)
M DB  RB ( L  x)
VAC  RA
VCD  RA  P
VDB   RB
Cortante
P ( L  a  b)
P( L  b  a)
RB 
Reacciones RA 
L
L
Momento

Viga simple apoyada - Dos cargas puntuales desiguales situadas asimétricamente
M AC  RA x
M CD  RA x  P1 ( x  a )
M DB  RB ( L  x)
VAC  RA
VCD  RA  P1
VDB   RB
Cortante
P ( L  a)  P2b
P ( L  b)  P1a
RB  2
Reacciones RA  1
L
L
Momento
Viga simple apoyada - Momento antihorario en el lado derecho
 M0x 2
(L  x 2 )
6 LEI
 M0 2
( L  3x 2 )
Pendiente  AB 
6 LEI
 M0L
M L
A 
B  0
6 EI
3EI
M x
Momento M AB  0
L
M
VAB  0
Cortante
L
M0
 M0
RB 
Reacciones RA 
L
L
Deflexión
y AB 
Viga simple apoyada - Momento antihorario en el lado izquierdo
M0x
(2 L2  3Lx  x 2 )
6 LEI
3 3 
M L2
L
y MAX  0
para x  

3
9 3EI


M0
(2 L2  6 Lx  3x 2 )
Pendiente  AB 
6 LEI
M L
 M 0L
A  0
B 
3EI
6 EI
 M0
( L  x)
Momento M AB 
L
M
Cortante VAB  0
L
M
 M0
RB 
Reacciones RA  0
L
L
Deflexión
y AB 
Viga simple apoyada - Momento horario en el extremo izquierdo
 M0x
(2 L2  3Lx  x 2 )
6 LEI
3 3 
 M 0 L2
L
y MAX 
para x  

3
9 3EI


 M0
(2 L2  6 Lx  3 x 2 )
Pendiente  AB 
6 LEI
 M0L
M L
A 
B  0
3EI
6 EI
M0
( L  x)
Momento M AB 
L
 M0
Cortante VAB 
L
 M0
M
RB  0
Reacciones RA 
L
L
Deflexión
y AB 
Viga simple apoyada - Momento antihorario en el centro
 M0x 2
(L  4x 2 )
24 LEI
M 0 ( L  x) 2
yCB 
( L  4( L  x ) 2 )
24 LEI
 M0 2
( L  12 x 2 )
Pendiente  AC 
24 LEI
M0
 CB 
(12( L  x) 2  L2 )
24 LEI
 M0 2
M0
A 
( L  3b 2 )  B 
( L2  3a 2 )
6 LEI
6 LEI
M0x
 M0
M CB 
( L  x)
Momento M AC 
L
L
M
M
Cortante VAC  0 VCB  0
L
L
M
 M0
Reacciones RA  0 RB 
L
L
Deflexión
y AC 
Viga simple apoyada - Momento antihorario en cualquier punto
 M0x 2
( L  3b 2  x 2 )
6 LEI
M 0 ( L  x) 2
y CB 
( L  3a 2  ( L  x) 2 )
6 LEI
 M0 2
( L  3b 2  3 x 2 )
Pendiente  AC 
6 LEI
M0
 CB 
( L2  3a 2  3( L  x) 2 )
6 LEI
 M0 2
M0
A 
( L  3b 2 )
B 
( L2  3a 2 )
6 LEI
6 LEI
M0x
 M0
M CB 
( L  x)
Momento M AC 
L
L
M
M
VAC  0
VCB  0
Cortante
L
L
M
 M0
RB 
Reacciones RA  0
L
L
y AC 
Deflexión
Viga simple apoyada - Dos momentos distintos antihorario + horario en los extremos
y AB 
Deflexión
 x( L  x)
( M 1  M 2 ) x  (2M 1  M 2 ) L
6 LEI
Pendiente:
1
 AB 
( M 1  M 2 )(3 x 2  2 Lx )  (2 M 1  M 2 )(2 Lx  L2 )
6 LEI
1
Momento M AB  ( M 1  M 2 ) x  LM 1 
L
M  M2
VAB  1
Cortante
L
M1  M 2
M  M1
RB  2
Reacciones RA 
L
L

Viga simple apoyada - Dos momentos distintos antihorario en los extremos
y AB 
Deflexión
 x ( L  x)
( M 1  M 2 ) x  (2M 1  M 2 ) L
6 LEI
Pendiente:
1
 AB 
( M 1  M 2 )(3 x 2  2 Lx )  (2 M 1  M 2 )(2 Lx  L2 )
6 LEI
1
Momento M AB  ( M 1  M 2 ) x  LM 1 
L
M1  M 2
VAB 
Cortante
L
M1  M 2
 M1  M 2
RB 
Reacciones RA 
L
L



Viga simple apoyada - Dos momentos iguales horario + antihorario en los extremos
 M0x
( L  x)
2 EI
L
 M 0 L2
para x 
y MAX 
2
8 EI
 M0
 M 0L
( L  2 x)  A   B 
Pendiente  AB 
2 EI
2 EI
M

M
Momento
AB
0
VAB  0
Cortante
Reacciones RA  RB  0
Deflexión
y AB 
Viga en voladizo - Carga uniforme en todo el vano
 w0 4
( x  4 Lx 3  6 L2 x 2 )
24 EI
 w0 L4
para x = L
y MAX  y B 
8EI
 w0 3
 w0 L3
( x  3Lx 2  3L2 x )  B 
Pendiente  AB 
6 EI
6 EI
 w0
 w0 L2
( L  x) 2
Momento M AB 
M MAX  M A 
2
2
V

w
(
L

x
)
Cortante
AB
0
Reacciones RA  w0 L
Deflexión
y AB 
Viga en voladizo - Carga uniforme parcial en el lado empotrado
 w0
(6a 2 x 2  4ax 3  x 4 )
24 EI
 w0 a 3
yCB 
(4 x  a)
24 EI
 w0 a 3
y MAX  y B 
(4 L  a)
24 EI
 w0
(3a 2 x  3ax 2  x 3 )
Pendiente  AC 
6 EI
 w0 a 3
 CB   C   B 
6 EI
 w0
M CB  M C  M B  0
(a  x) 2
Momento M AC 
2
 w0 a 2
M MAX  M A 
2
VAC  w0 (a  x)
VCB  VC  VB  0
Cortante
Reacciones RA  w0 a
Deflexión
y AC 
Viga en voladizo - Carga uniforme parcial en el lado libre
 w0 bx 2
Deflexión y AC 
(3L  3a  2 x)
12 EI
 w0 4
yCB 
( x  4 Lx 3  6 L2 x 2  4a 3 x  a 4 )
24 EI
 w0 bx
( L  a  x)
Pendiente  AC 
2 EI
 w0 3
 CB 
( x  3Lx 2  3L2 x  a 3 )
6 EI
 w0 3
B 
(L  a3 )
6 EI
 w0 b
 w0
M AC 
( L  a  2 x) M CB 
( L  x) 2
Momento
2
2
V

V

V

w
b
V

w
(
Cortante
AC
A
C
0
CB
0 L  x)
Reacciones RA  w0b
Viga en voladizo - Carga uniforme parcial
Deflexión
y AC 
 w0bx 2
(6a  3b  2 x)
12 EI
 w0 4
( x  4(a  b) x 3  6(a  b) 2 x 2  4a 3 x  a 4 )
24 EI
 w0
y DB 
(4 x[(a  b) 3  a 3 ]  (a  b) 4  a 4 )
24 EI
 w0 bx
( 2a  b  x )
Pendiente  AC 
2 EI
 w0 3
 CD 
( x  3(a  b) x 2  3(a  b) 2 x  a 3 )
6 EI
 w0
 DB 
(( a  b) 3  a 3 )
6 EI
 w0 b
( 2a  b  2 x )
Momento M AC 
2
 w0
M CD 
(a  b  x ) 2 M DB  M D  M B  0
2
VAC  VA  VC  w0 b VCD  w0 (a  b  x)
Cortante
VDB  VD  VB  0
Reacciones RA  w0b
yCD 
Viga en voladizo - Carga uniformemente creciente hacia el lado libre en todo el vano
 w0 x 2
Deflexión
y AB 
( 20 L3  10 L2 x  x 3 )
120 LEI
 11w0 L4
para x = L
y MAX 
120 EI
 w0 x
(8 L3  6 L2 x  x 3 )
Pendiente  AB 
24 LEI
 w0 L3
B 
8EI
 w0
(2 L3  3L2 x  x 3 )
Momento M AB 
6L
w
VAB  0 ( L2  x 2 )
Cortante
2L
w0 L
Reacciones RA 
2
Viga en voladizo - Carga uniformemente creciente hacia el lado empotrado en todo el vano
 w0 x 2
(10 L3  10 L2 x  5 Lx 2  x 3 )
120 LEI
w L4
para x=L
yMAX  0
30 EI
 w0 x
(4 L3  6 L2 x  4 Lx 2  x 3 )
Pendiente  AB 
24 LEI
 w0 L3
B 
24 EI
 w0
( L  x) 3
Momento M AB 
6L
w
VAB  0 ( L  x) 2
Cortante
2L
wL
Reacciones RA  0
2
Deflexión
y AB 
Viga en voladizo - Carga cosenoidalmente decreciente hacia el lado libre en todo el vano
 w0 L 
πx

3
 48L3  3π 3 Lx 2  π 3 x 3 
 48L cos
4
3π EI 
2L

4
 2w0 L 3
y MAX 
( π  24) para x = L
3π 4 EI
w L 2
πx 
2 2
2

Pendiente  AB  3 0  2π Lx  π x  8 L sen
2L 
π EI 
 w L3
 B  3 0 ( π 2  8)
π EI
 2 w0 L 
πx 
 πL  πx  2 L cos

Momento M AB 
2
π
2L 

2w L 
πx 

Cortante VAB  0 1  sen
π 
2L 
2 w0 L
Reacciones RA 
π
Deflexión y AB 
Viga en voladizo - Carga puntual en el extremo libre
P
(3Lx 2  x 3 )
6 EI
 PL3
y MAX  y B 
3EI
P
(2 Lx  x 2 )
Pendiente  AB 
2 EI
 PL2
 MAX   B 
2 EI
M


P
(
L
 x)
M MAX  M A   PL
Momento
AB
VAB  VA  VB  P
Cortante
Reacciones RA  P
Deflexión
y AB 
Viga en voladizo - Carga puntual en cualquier punto
P
 Pa 2
(3ax 2  x 3 ) y CB 
(3x  a)
6 EI
6 EI
 Pa 2
y MAX  y B 
(3L  a )
6 EI
P
 Pa 2
(2ax  x 2 )  CB   C   B 
Pendiente  AC 
2 EI
2 EI
M


P
(
a

x
)
M

M

M

0
Momento
AC
CB
C
B
M MAX  M A   Pa
VAC  VA  VC  P
VCB  VC  VB  0
Cortante
Reacciones RA  P
Deflexión
y AC 
Viga en voladizo - Momento horario en el extremo libre
 M 0 x2
Deflexión
y AB 
2 EI
 M 0 L2
para x = L
y MAX 
2 EI
 M0x
Pendiente  AB 
EI
Momento M AB  M A  M B   M 0
VAB  VA  VB  0
Cortante
Reacciones RA  0
Viga en voladizo - Momento horario en cualquier punto
 M 0a
 M 0 x2
y CB 
(2 x  a )
y AC 
2 EI
2 EI
 M 0a
y MAX 
(2 L  a ) para x = L
2 EI
 M0x
 M 0a
 CB   C   B 
Pendiente  AC 
EI
EI
M CB  M B  0
Momento M AC  M A   M 0
VAC  VA  VC  0 VCB  VC  VB  0
Cortante
Reacciones RA  0
Deflexión
Viga empotrada - Carga uniforme en todo el vano
 w0 x 2
Deflexión y AB 
( L  x) 2
24 EI
 w0 x 2
( L  3Lx  2 x 2 )
Pendiente  AB 
12 EI
 w0 2
( L  6 Lx  6 x 2 )
Momento M AB 
12
w
VAB  0 ( L  2 x)
Cortante
2
wL
Reacciones RA  RB  0
2
Viga empotrada - Carga uniforme en la mitad del vano
 x2
( w0 x 2  4 RA x  12M A )
24 EI
3( M B  LRB ) x 2  RB x 3
y CB 

6 EI
L2 (3M B  LRB )  3(2 M B  LRB ) Lx

6 EI
x
( w0 x 2  3RA x  6 M A )
Pendiente  AC 
6 EI
1
 CB 
RB x 2  2( M B  LRB ) x  L(2 M B  LRB )
2 EI
w x2
M CB  RB ( L  x )  M B
Momento M AC  RA x  M A  0
2
VCB   RB
Cortante VAC  RA  w0 x
3w L M  M B
w L M  MB
RB  0  A
Reacciones RA  0  A
8
L
8
L
2
2
 11w0 L
 5w0 L
Siendo M A 
MB 
192
192
Deflexión y AC 


Viga empotrada - Carga uniforme parcial en un lado
 x2
( w0 x 2  4 RA x  12M A )
24 EI
3( M B  LRB ) x 2  RB x 3
y CB 

6 EI
L2 (3M B  LRB )  3(2 M B  LRB ) Lx

6 EI
x
( w0 x 2  3RA x  6 M A )
Pendiente  AC 
6 EI
1
 CB 
RB x 2  2( M B  LRB ) x  L(2 M B  LRB )
2 EI
w x2
M CB  RB ( L  x )  M B
Momento M AC  RA x  M A  0
2
Cortante VAC  RA  w0 x VCB   RB
w ( L  b) a M A  M B

Reacciones RA  0
2L
L
2
wa
M  MB
RB  0  A
2L
L
2
 w0 a
Siendo M A 
(6 L2  8 La  3a 2 )
2
12 L
 w0 a 3
MB 
(4 L  3a)
12 L2
Deflexión y AC 


Viga empotrada - Carga uniforme parcial
x2
(3M A  RA x)
6 EI
1
y CD 
w0 ( x  a ) 4  4 RA x 3  12M A x 2
24 EI
3( M B  LRB ) x 2  RB x 3
y DB 

6 EI
L2 (3M B  LRB )  3(2 M B  LRB ) Lx

6 EI
x
(2 M A  RA x)
Pendiente  AC 
2 EI
1
 CD 
w0 ( x  a) 3  3RA x 2  6 M A x
6 EI
1
 DB 
RB x 2  2( M B  LRB ) x  L(2 M B  LRB )
2 EI
w ( x  a) 2
Momento M AC  M A  RA x M CD  RA x  M A  0
2
M DB  M B  RB ( L  x)
VDB   RB
Cortante VAC  RA VCD  RA  w0 ( x  a)
w (2c  b)b  2 M A  2M B
Reacciones RA  0
2L
w (2a  b)b  2 M A  2 M B
RB  0
2L
 w0 b 2
b (2 L  6c  3b)  (6a  3b)(2c  b) 2
Siendo M A 
2
24 L
 w0 b 2
MB 
b (2 L  6a  3b)  (6c  3b)(2a  b) 2
2
24 L
Deflexión y AC 










Viga empotrada - Carga puntual en el centro
 Px 2
 P ( L  x) 2
y AC 
(3L  4 x ) y CB 
(4 x  L)
48 EI
48 EI
 Px
P 2
( L  2 x)
 CB 
( L  3Lx  2 x 2 )
Pendiente  AC 
8EI
8 EI
P
P
( L  4 x)
M CB  (3L  4 x )
Momento M AC 
8
8
P
P
VAC 
VCB 
Cortante
2
2
P
Reacciones RA  RB 
2
Deflexión
Viga empotrada - Carga puntual en cualquier punto
 Pb 2 x 2
(3aL  3ax  bx)
6 EIL3
 Pa 2 ( L  x ) 2
yCB 
(3bx  aL  ax)
6 EIL3
 Pb 2 x
Pendiente  AC 
(2aL  3ax  bx)
2 EIL3
Pa 2 ( L  x )
 CB 
x(3b  a )  L2
3
2 EIL
 Pb 2 x
Momento M AC 
(aL  3ax  bx)
L3
Pa 2
M CB  3 ( L2  bL  Lx  2bx)
L
Pb 2
 Pa 2
Cortante VAC  3 ( L  2a) VCB 
( L  2b)
L
L3
Pb 2
Pa 2
Reacciones RA  3 ( L  2a ) RB  3 ( L  2b)
L
L
Deflexión y AC 


Viga empotrada - Dos cargas puntuales iguales situadas simétricamente
 Px 2
(3aL  3a 2  Lx )
6 EIL
 Pa 2
y CD 
(3Lx  3 x 2  aL)
6 EIL
 P ( L  x) 2
y DB 
(3aL  3a 2  L( L  x))
6 EIL
 Px
 Pa 2
(2aL  2a 2  Lx)  CD 
Pendiente  AC 
( L  2 x)
2 EIL
2 EIL
P( L  x)
 DB 
2aL  2a 2  L( L  x)
2 EIL
P
2
Momento M AC  ( Lx  aL  a )
L
P
Pa 2
M DB  ( L2  Lx  La  a 2 )
M CD 
L
L
VCD  0
VDB   P
Cortante VAC  P
Reacciones RA  RB  P
Deflexión y AC 


Viga empotrada - Momento antihorario en el centro
M 0x2
Deflexión y AC 
( 2 x  L)
8 LEI
 M0
y CB 
(5 Lx 2  2 x 3  4 L2 x  L3 )
8LEI
M x
 M0
(10 Lx  6 x 2  4 L2 )
Pendiente  AC  0 (3 x  L)  CB 
4 LEI
8 LEI
M0
 M0
(6 x  L) M CB 
(5 L  6 x)
Momento M AC 
4L
4L
3M 0
Cortante VAB 
2L
3M 0
 3M 0
RB 
Reacciones RA 
2L
2L
Viga empotrada - Momento antihorario en cualquier punto
Deflexión:
 M 0bx 2
M 0 a( L  x) 2
yAC 
(
2
aL

2
ax

bL
)
y

(2bx  aL)
CB
2 L3 EI
2 L3 EI
Pendiente:
 M bx
M a ( L  x) 2
 AC  3 0 (2aL  3ax  bL)  CB  0 3
( L  3bx)
L EI
L EI
Momento:
 M 0b
M a
M AC 
(2aL  6ax  bL) M CB  03 (6bx  4bL  aL )
3
L
L
6 M 0 ab
Cortante VAB 
L3
6M 0 ab
 6 M 0 ab
RB 
Reacciones RA 
3
L
L3
 M 0b
M a
( 2a  b )
M B  02 (2b  a )
Siendo M A 
2
L
L
Viga empotrada / apoyada - Carga uniforme en todo el vano
 w0 x 2
(3L2  5 Lx  2 x 2 )
48 EI
 w0 x
(6 L2  15 Lx  8 x 2 )
Pendiente  AB 
48 EI
 w0 2
( L  5Lx  4 x 2 )
Momento M AB 
8
w0
VAB 
(5L  8 x)
Cortante
8
5w L
3w L
RB  0
Reacciones RA  0
8
8
Deflexión
y AB 
Viga empotrada / apoyada - Carga uniforme parcial en el lado empotrado
Deflexión:
8R L( L  x) 3  2 w0 L(a  x ) 4  w0 a 3 ( L  x)( L  3b)
y AC  B
48 EIL
3
3
8R L( L  x)  w0 a ( L  x)( L  3b)
y CB  B
48 EIL
Pendiente:
 24 RB L( L  x) 2  8w0 L(a  x) 3  w0 a 3 ( L  3b)
 AC 
48 EIL
2
 24 RB L( L  x)  w0 a 3 ( L  3b)
 CB 
48 EIL
2 R ( L  x)  w0 (a  x) 2
M CB  RB ( L  x )
Momento M AC  B
2
VAC   RB  w0 (a  x ) VCB   RB
Cortante
w0 ( L  b)a  2 M A
2L
2 2
 w0 ( L  b) a
Siendo M A 
8 L2
Reacciones RA 
w0 a 2  2M A
RB 
2L
Viga empotrada / apoyada - Carga uniforme parcial en el lado apoyado
x2
Deflexión y AC 
( RA x  3M A )
6 EI
4 R L( L  x ) 3  w0 L( L  x) 4
yCB  B

24 EIL
 w0b 2 ( L  x )(bL  3ab  6a 2 )

48EIL
x
( RA x  2 M A )
Pendiente  AC 
2 EI
 3RB L( L  x) 2  w0 L( L  x) 3 w0 b 2 (bL  3ab  6a 2 )
 CB 

6 EIL
48EIL
2 R ( L  x)  w0 ( L  x) 2
Momento M AC  RA x  M A M CB  B
2
V

R
V


R

w
(
L

x
)
Cortante
AC
A
CB
B
0
2
w (2a  b)b  2 M A
w b  2M A
RB  0
Reacciones RA  0
2L
2L
2
 w0b
Siendo M A 
(2 L  b)( L  a)  b 2
2
16 L


Viga empotrada / apoyada - Carga uniforme parcial
x2
( RA x  3M A )
6 EI
4 R ( L  x) 3  w0 ( L  x  c ) 4
y CD  B

24 EI
 w0 b( L  x ) 2b 2 L  3b 2 (2a  b)  3(2c  b)( 2a  b) 2

96 EIL
RB ( L  x) 3
y DB 

6 EI
 w0 b( L  x ) 2b 2 L  3b 2 (2a  b)  3(2c  b)( 2a  b) 2

96 EIL
x
( RA x  2 M A )
Pendiente  AC 
2 EI
 3RB ( L  x ) 2  w0 ( L  x  c) 3
 CD 

6 EI
w b 2b 2 L  3b 2 (2a  b)  3(2c  b)(2a  b) 2
 0
96 EIL
2
 RB ( L  x)
 DB 

2 EI
w0b 2b 2 L  3b 2 (2a  b)  3(2c  b)(2a  b) 2

96 EIL
M

R
x

M
Momento
AC
A
A
Deflexión y AC 








2 RB ( L  x)  w0 ( L  x  c ) 2
M DB  RB ( L  x)
2
Cortante VAC  RA VCD  w0 ( L  x  c)  RB VDB   RB
w b(2c  b)  2M A
Reacciones RA  0
2L
w0 (2a  b)b  2 M A
RB 
2L
 w0 ( 2c  b)(2a  b)b ( 2 L  2c  b)(2a  b)  b 2
Siendo M A 
16 L2
M CD 


Viga empotrada / apoyada - Carga puntual en el centro
Deflexión:
 P ( L  x)
 Px 2
(3L2  5( L  x) 2 )
y AC 
(9 L  11x) y CB 
96
EI
96 EI
Pendiente:
 Px
P
 AC 
(6 L  11x)
 CB 
(4 L2  10 Lx  5 x 2 )
32 EI
32 EI
P
5P
(3L  11x) M CB 
( L  x)
Momento M AC 
16
16
11P
 5P
VCB 
Cortante VAC 
16
16
11P
5P
RB 
Reacciones RA 
16
16
Viga empotrada / apoyada - Carga puntual en cualquier punto
 Pbx 2
Deflexión y AC 
(3L3  3b 2 L  3L2 x  b 2 x )
3
12 EIL
 Pa 2 ( L  x )
yCB 
(3bL2  (2 L  b)( L  x ) 2 )
12 EIL3
 Pbx
(2 L3  2b 2 L  3L2 x  b 2 x)
Pendiente  AC 
3
4 EIL
 Pa 2
 CB 
(2 L3  4 L2 x  2bLx  2 Lx 2  bx 2 )
4 EIL3
Momento:
 Pb 3
Pa 2
2
2
2
M AC 
(
L

b
L

3
L
x

b
x
)
M CB  3 ( L  x)(2 L  b)
2 L3
2L
Pb
 Pa 2
VAC  3 (3L2  b 2 ) VCB 
Cortante
( 2 L  b)
2L
2 L3
Pb
Pa 2
2
2
Reacciones RA  3 (3L  b )
RB  3 (2 L  b)
2L
2L
Viga empotrada / apoyada - Dos cargas puntuales iguales situadas simétricamente
Deflexión:
Px 2
y AC 
(3a 2  3aL  2 L2 )( L  x )  2 L(3a 2  3aL  L2 )
2
12 EIL
 Pa (3( L  a)( L  x) 3  6 L2 ( L  x ) 2 )
y CD 

12 EIL2
 Pa 3L2 ( L  a )( L  x)  2 L2 a 2

12 EIL2
 P ( L  x)
y DB 
(3aL  3a 2  2 L2 )( L  x) 2  3aL2 ( L  a)
2
12 EIL
Pendiente:
Px
 AC 
(3a 2  3aL  2 L2 )(2 L  3x)  4 L(3a 2  3aL  L2 )
2
12 EIL
 Pa
 CD 
 3( L  a)( L  x) 2  4 L2 ( L  x)  L2 ( L  a)
2
4 EIL
P
 DB 
(3aL  3a 2  2 L2 )( L  x) 2  aL2 ( L  a)
2
4 EIL
P
2
2
2
2
Momento M AC  2 3a L  3aL  x(2 L  3aL  3a )
2L
 Pa
M CD 
3( L  a)( L  x)  2 L2
2
2L
 P ( L  x)
M DB 
(3aL  3a 2  2 L2 )
2
2L
P
3Pa ( L  a )
VAC  2 (2 L2  3aL  3a 2 ) VCD 
Cortante
2L
2 L2
P
VDB  2 (3aL  3a 2  2 L2 )
2L
P
2
2
Reacciones RA  2 (2 L  3aL  3a )
2L
P
RB  2 (3a 2  2 L2  3aL)
2L
















Viga empotrada / apoyada - Momento horario en cualquier punto


 M 0 x2
Deflexión: y AC 
2b 2 L  ( L  x )( L2  b 2 )
3
4 EIL
 M 0 a( L  x)
yCB 
 4 L3  (( L  x ) 2  3L2 )( L  b)
3
4 EIL
 M0x
4b 2 L  (2 L  3 x)( L2  b 2 )
Pendiente  AC 
3
4 EIL
 M 0a 3
 CB 
4 L  3( L  b)( x 2  2 Lx )
4 EIL3
 M0
2b 2 L  ( L  3x )( L2  b 2 )
Momento M AC 
3
2L
3M 0 a
M CB 
( L  b)( L  x)
2 L3
 3M 0 a
VAB 
( L  b)
Cortante
2 L3
 3M 0 a
3M 0 a
( L  b)
RB 
( L  b)
Reacciones RA 
3
2L
2 L3






Viga empotrada / apoyada - Momento horario en el lado apoyado
M 0 x 2 ( L  x)
4 EIL
M x (2 L  3 x )
Pendiente  AB  0
4 EIL
M 0 ( L  3 x)
Momento M AB 
2L
 3M 0
VAB 
Cortante
2L
 3M 0
3M 0
RB 
Reacciones RA 
2L
2L
Deflexión
y AB 


Viga con vano lateral - Carga uniforme en todo el vano
 w0 x 4
( L  2 L2 x 2  Lx 3  2a 2 L2  2a 2 x 2 )
24 LEI
 w0 x1
2
3
y BC 
(4a 2 L  L3  6a 2 x1  4ax1  x1 )
24 EI
 w0
( L4  6 L2 x 2  4 Lx 3  2a 2 L2  6a 2 x 2 )
Pendiente  AB 
24 LEI
 w0
2
3
 BC 
(4a 2 L  L3  12a 2 x1  12ax1  4 x1 )
24 EI
wx 2
 w0
2
(a  x1 ) 2
Momento M AB  0 ( L  Lx  a ) M BC 
2L
2
w0 2
( L  2 Lx  a 2 ) VBC  w0 (a  x1 )
Cortante VAB 
2L
w 2
w
2
2
Reacciones RA  0 ( L  a ) RB  0 ( L  a)
2L
2L
Siendo x1  x  L
Deflexión
y AB 
Viga con vano lateral - Carga uniforme sobre el saliente
w0 a 2 x 2
(L  x 2 )
12 LEI
 w0 x1
2
3
y BC 
(4a 2 L  6a 2 x1  4ax1  x1 )
24 EI
w a2 2
Pendiente  AB  0
( L  3x 2 )
12 LEI
 w0 2
2
3
 BC 
(a L  3a 2 x1  3ax1  x1 )
6 EI
 w0
 w0 a 2 x
M BC 
(a  x1 ) 2
Momento M AB 
2
2L
2
 w0 a
VBC  w0 (a  x1 )
Cortante VAB 
2L
w (2 L  a )a
 w0 a 2
RB  0
Reacciones RA 
2L
2L
Siendo x1  x  L
Deflexión y AB 
Viga con vano lateral - Carga puntual en el extremo saliente
 Px1
Pax 2
2
( L  x 2 ) y BC 
(2aL  3ax1  x1 )
6 LEI
6 EI
Pa
P
2
( L2  3 x 2 )  BC 
(2aL  6ax1  3 x1 )
Pendiente  AB 
6 LEI
6 EI
 Pax
M BC   P (a  x1 )
Momento M AB 
L
 Pa
VBC  P
VAB 
Cortante
L
 Pa
P( L  a)
RB 
Reacciones RA 
L
L
Siendo x1  x  L
Deflexión y AB 
Viga con vano lateral - Carga puntual entre los apoyos
 Pbx 2
(L  b2  x2 )
6 LEI
 Pa( L  x)
y CB 
(2 Lx  a 2  x 2 )
6 LEI
Pabx1
y BD 
( L  a)
6 LEI
 Pb 2
( L  b 2  3x 2 )
Pendiente  AC 
6 LEI
 Pa
Pab( L  a)
 CB 
(2 L2  6 Lx  a 2  3 x 2 )  BD 
6 LEI
6 LEI
Pbx
Pa
M CB 
( L  x) M BD  0
Momento M AC 
L
L
Pb
 Pa
VAC 
VCB 
VBD  0
Cortante
L
L
Pb
Pa
RB 
Reacciones RA 
L
L
Siendo x1  x  L
Deflexión y AC 
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