UAA PENSAMIENTO MATEMATICO IMPRENTA JUNIO12 2019

Unidades de aprendizaje autónomo
PENSAMIENTO
MATEMÁTICO
Unidades de aprendizaje
autónomo:
Pensamiento matemático
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 1
12/06/19 14:46
DIRECTORIO INSTITUCIONAL
Esteban Moctezuma Barragán
Secretario de Educación Pública
Cuauhtémoc Sánchez Osio
Director General del Consejo Nacional de Fomento Educativo
Juan Martín Martínez Becerra
Director de Educación Comunitaria e Inclusión Social
Carmen Gladys Barrios Veloso
Directora de Educación Inicial
Eduardo Pérez Haro
Director de Planeación y Evaluación
Eduardo Campos Martínez
Director de Operación Territorial
Edgardo Ernesto Castillo Cota
Director de Cultura y Difusión
Enrique Hernández Santoyo
Director de Administración y Finanzas
Sara Salazar Sotelo
Directora de Asuntos Jurídicos
Patricia Hernández Paz
Titular del Órgano Interno de Control
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 2
12/06/19 14:46
Unidades de aprendizaje autónomo
PENSAMIENTO
MATEMÁTICO
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 3
12/06/19 14:46
LEGAL
PENSAMIENTO MATEMÁTICO
Edición
Consejo Nacional de Fomento Educativo
Compilación
Alfonso González López
Carlos Goletto Franco
Efraín Pérez Farelas
Elías Mandujano Solís
Enrique Santos León
Guadalupe Estrella Martínez
Gustavo Daniel Gaona Vargas
Iván Cabrera Delgado
María del Carmen Romero Ortiz
María del Rosario Zúñiga Galván
Miguel Morales Elox
Ilustración
Eva María Paz González
Ivanova Martínez Murillo
Javier Velázquez
© Shutterstock.com
Ilustración de portada y lomo
Claudia de Teresa
Fotografía
© Shutterstock.com
Diseño
Renato Horacio Flores González
Diseño de portada
Cynthia Valdespino Sierra
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 4
Este ejemplar es una versión preliminar de la
segunda edición.
Para esta versión se tiraron 5,190 ejemplares.
Primera edición: 2016
Segunda edición: 2019
D.R. © Consejo Nacional de Fomento Educativo
Av. Universidad 1200, col. Xoco,
del. Benito Juárez, C.P. 03330,
Ciudad de México.
www.gob.mx/conafe
ISBN de obra completa: En trámite
ISBN: En trámite
Impreso en México
12/06/19 14:46
AGRADECIMIENTOS
Agradecemos la participación de las siguientes personas por su colaboración y apoyo
en la compilación de estos materiales.
A Janis Herbert por su aportación a la unidad “Lo equitativo y el cambio. Proporcionalidad
y funciones” con el texto de las páginas 190-191 (excerpted from Leonardo da Vinci for
Kids by Janis Herbert. Copyright © 1998 by Janis Herbert. Reprinted by permission of
Chicago Review Press). A Isabel García y Aron Lesser, becarios del Programa Princeton
in Latinoamérica por su apoyo en la selección y revisión de los textos en inglés incluidos
en este material.
Agradecemos a la Licenciada en Matemáticas Rebeca González Bacasegua por sus
orientaciones y precisiones en la construcción de este material.
Y también un agradecimiento especial para los equipos técnicos de las Delegaciones
Estatales de San Luis Potosí y Veracruz que, con sus aportaciones, ayudaron al enriquecimiento y mejora de este material.
Los compiladores
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 5
12/06/19 14:46
ÍNDICE
Bienvenida
Presentación
Menú temático
Las losetas. Números enteros
11
La pastelería. Números racionales
35
Por enésima vez. Patrones y progresiones
63
El lenguaje del álgebra. Ecuaciones
87
Ingenio y figura... Formas geométricas
113
Como grandes exploradores. Ubicación espacial
133
Y sólo es comparar… Medida
151
Lo equitativo y el cambio. Proporcionalidad y funciones
175
Analicemos el dato. Análisis y presentación de datos
197
Águila o sol. Nociones de probabilidad
227
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 6
12/06/19 14:46
Bienvenida
Estimadas y estimados estudiantes:
El material que ahora tienen en sus manos es el resultado de la realización de
innumerables tutorías en muchas partes de México y es un ejemplo de lo que
podemos conseguir con el diálogo y la colaboración.
Aprender es una aventura inolvidable, por eso ponemos en tus manos este libro,
para que vivas la experiencia de ser apoyado al aprender y, posteriormente,
apoyes a otro en su aprendizaje. Ese otro puede ser un líder para la educación
comunitaria, una madre de familia, un presidente de la APEC u otro alumno de
cualquier nivel, pues todos tenemos algún aprendizaje que compartir.
Este libro lo hemos elaborado con mucho cariño y con la esperanza de que te
sea de utilidad en tu paso por la Educación Básica Comunitaria. Te pedimos que
lo cuides para que sea parte del acervo de la biblioteca escolar y pueda ser
usado por muchos otros.
Consejo Nacional de Fomento Educativo
7
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 7
12/06/19 14:46
Presentación
Las Unidades de Aprendizaje Autónomo (UAA) son la herramienta de apoyo a los procesos
mentales de cada persona ya que favorecen; la solución de problemas, el diálogo cara a cara y
la producción de textos. En este sentido, la estructura de las UAA y las etapas del ciclo de la
tutoría se pueden esquematizar de la siguiente forma:
Tutor: oferta un
tema
Tutorado: elige un
tema
Apartados de
UAA: Título de la
UAA, Introducción,
Propósito general y
Propósitos específicos, Mapa de contenidos, Trayecto
de aprendizaje
Evaluación:
diagnóstica
Tutor: guía el
aprendizaje
y elabora su
Registro de
Tutoría
Tutorado: estudia a profundidad
Apartado UAA:
Acepta el desafío
y construye
comprensiones
Evaluación:
formativa
Primera
Etapa
1
Tutor: solicita
la organización
y registro al
tutorado
Tutor: acompaña
la preparación de
la demostración
pública
Tutorado: registra
su proceso
Tutorado: realiza
la demostración
pública
Apartado UAA:
Revisa tu RPA y
complétalo para
que otros lo vean
2
Evaluación:
formativa y
sumativa
Evaluación: formativa y sumativa
Tercera
Etapa
3
Tutorado: realiza
el ciclo de la
tutoría con otro
compañero
Se utilizan las
UAA
y el RPA
Apartado UAA:
Comparte lo
aprendido, mejora y completa tu
registro, trayecto
de aprendizaje
Evaluación:
formativa y
sumativa
Segunda
Etapa
Tutor: observa
cómo el tutorado realiza el ciclo
de la tutoría con
otro compañero
Cuarta
Etapa
4
Quinta
Etapa
5
En tanto herramienta de apoyo para el estudio a profundidad de los temas, las UAA contienen
desafíos, que son enunciados con una proposición a resolver. Estos enunciados se cobijan a
manera de orientaciones con una contextualización que sirve para intencionar el tema, y la cual
utiliza el tutor para acercar al tutorado al terma de estudio según su propio entorno, nivel
escolar, ritmo y estilo de aprendizaje. También encontrarás otros elementos para el análisis
crítico del tema de estudio como son: imágenes para no depender de lectura alfabética,
preguntas para el diálogo, textos para la reflexión y algunas actividades o experimentos
los cuales te guían en la toma de decisiones para resolver el desafío. También cuentan con los
Trayectos de aprendizaje para orientar el trabajo y la evaluación formativa pues en ellos es
posible identificar los saberes, conocimientos, habilidades y actitudes necesarias en educación
básica comunitaria y del campo formativo correspondiente.
Sin el diálogo tutor este material (y cualquier otro) se convierte en el seguimiento mecánico de
instrucciones; la reproducción innecesaria de información; y la aplicación descontextualizada de
soluciones. Así, el diálogo en relación tutora, como la base metodológica del ABCD, favorece la
formación de ciudadanos interculturales capaces de reconocer a los diferentes para construir y
desarrollar saberes, conocimientos y habilidades. Siendo que se ponen en práctica:
8
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 8
12/06/19 14:46
Empatía. Me pongo en el lugar del otro para comprender sus puntos de vista.
Colaboración. Realizo actividades con otros y los apoyo, con confianza y compromiso con
los objetivos comunes.
Participación. Tomo parte de las actividades y decisiones en el aula, escuela y proyectos
comunitarios.
Resolución de conflictos. Soluciono diferencias o problemas a partir del diálogo.
Autonomía. Actúo y pienso sin depender de otros.
Diálogo. Me comunico con otros, argumento mis puntos de vista, explico las razones de
ese punto de vista, escucho con atención y empatía a los otros.
En cuanto a la elaboración del registro de proceso de aprendizaje (RPA) y de otros textos,
el propósito es que cada alumno desarrolle su propio estilo de composición, que sea capaz
de escribir por cuenta propia sin recurrir a la copia de textos por obligación; de esta manera
el alumno escribirá de manera reflexiva, aprendiendo a hacer síntesis cuando sea necesario,
a dar su opinión y llegar a conclusiones de todos los textos que enfrente a lo largo de su
aprendizaje. A decir de Daniel Cassany “los alumnos mejoran su escritura si se les corrige
durante el proceso de composición, antes de dar el producto textual por acabado”. Por ello
es de suma importancia el diálogo que se establezca entre el líder para la educación
comunitaria (LEC) y el alumno, de ello dependerá la mejora y la profundidad de lo escrito.
Durante el proceso de revisión y corrección de los RPA y los escritos del alumno, debemos
buscar errores para invitar al alumno a que reformule las partes donde debe corregirse el
problema. Los errores son inevitables y no perjudican el aprendizaje, al contrario, “son parte
del desarrollo de competencia (el alumno infiere la regla – la comprueba – se equivoca – la
reformula…).”1
Los errores comunicativos más graves, y por tanto los primeros que deben corregirse, son
los que afectan la claridad del texto. Los errores que cometen los alumnos son muy variados
y los podemos agrupar como sigue:
INFORMACIÓN
•
•
•
•
Cambiar el enfoque del tema.
Añadir más información.
Ordenar la información.
Separar lo relevante de lo superfluo.
REDACCIÓN
•
•
•
•
1
Recortar las frases muy largas.
Añadir los conectores adecuados.
Buscar el léxico preciso.
Desarrollar una idea por escrito.
ESTRUCTURA
•
•
•
•
Separar todos los párrafos.
Buscar la idea central de cada párrafo.
Completar cada párrafo.
Seleccionar los conceptos o palabras clave.
CORRECCIÓN
• Verificar los acentos, el uso de las v/b y demás
usos de grafías (letras) que generan dudas
(ortografía).
• Verificar los verbos, la concordancia, etcétera
(gramática).
• Repasar los signos de puntuación.
• Evitar las repeticiones léxicas.
Daniel Cassany, Reparar la escritura. Dialéctica de la corrección de lo escrito (Barcelona: Graó, 2000).
9
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 9
12/06/19 14:46
MENÚ TEMÁTICO
CAMPO
FORMATIVO
DIMENSIÓN CURRICULAR
TEMAS
UAA
Números enteros
Las losetas
PM 7
Números racionales
La pastelería
PM 1
Patrones y progresiones
Por enésima vez…
PM 10
Ecuaciones
El lenguaje del álgebra
PM 5
Formas geométricas
Ingenio y figura...
PM 3
Ubicación espacial
Como grandes exploradores
PM 2
Medida
Y sólo es comparar…
PM 8
Proporcionalidad
y funciones
Lo equitativo y el cambio
PM 9
Análisis y presentación
de datos
Analicemos el dato
PM 4
Nociones de probabilidad
Águila o sol
PM 6
PENSAMIENTO MATEMÁTICO
Sentido numérico y
pensamiento algebraico
Forma, espacio
y medida
Manejo de la
información
10
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 10
12/06/19 14:46
Ilustración: © Shutterstock.com
LAS LOSETAS
NÚMEROS ENTEROS
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 11
12/06/19 14:46
INTRODUCCIÓN
¿Qué es lo primero que pasa por tu mente cuando escuchas las palabras
“número entero”? En esta Unidad de Aprendizaje encontrarás que los
números enteros, además de estar presentes en tu vida diaria, te sirven
para resolver diferentes problemáticas. Para ello, es necesario realizar
operaciones con los números enteros y cada persona tiene formas diferentes
de realizarlas; aquí descubrirás que existen otras maneras igualmente útiles
y que son convencionales. Te invitamos al estudio profundo de los números
enteros con la seguridad de que no tienes nada que perder y sí mucho que
aprender.
PROPÓSITO GENERAL
Conocer los números enteros y las diferentes formas de operarlos para
identificar y resolver situaciones problemáticas de la vida diaria, tanto
dentro como fuera de la escuela.
PROPÓSITOS ESPECÍFICOS
•
•
•
Analizaremos situaciones diversas que implican agregar, agrupar,
quitar, igualar, comparar y repartir objetos para la resolución de
problemas, así como distintas formas de sumar y restar números
naturales.
Conoceremos las cuatro operaciones básicas para resolver
problemas en diferentes contextos.
Resolveremos problemas que impliquen el uso y operación de
los números enteros, utilizando una o más transformaciones en el
algoritmo para llegar al resultado.
12
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 12
12/06/19 14:46
MAPA DE CONTENIDOS
NÚMERO ENTERO
Operaciones con números
Número
Sistema de
numeración decimal
Principios de conteo
La base diez
Clasificación de números
(Naturales, enteros,
ordinales y cardinales)
Valor posicional
Números con signo
Otros sistemas
de numeración
Procedimientos no convencionales
y procedimientos convencionales
Adición
Sustracción
Multiplicación
División
Potenciación
Radicación
LAS LOSETAS
NÚMEROS ENTEROS
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 13
13
12/06/19 14:46
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Manejas el conteo en diversas situaciones y estableces las relaciones uno a uno.
Modelas y resuelves problemas aditivos con objetos.
Resuelves problemas aditivos utilizando los signos +, −, = con números
de dos cifras.
Resuelves problemas que implican multiplicar mediante diversos procedimientos.
Comunicas tus estrategias de cómo identificar expresiones aditivas, multiplicativas o
mixtas que son equivalentes para solucionar problemas.
Identificas la resolución de problemas con división, utilizando el algoritmo
convencional en los casos que sean necesarios.
Expones diferentes representaciones de una misma situación en problemas aditivos y
multiplicativos con números naturales que implican dos o más transformaciones.
Comparas y aplicas distintos procedimientos para resolver problemas utilizando dos o
más operaciones básicas.
Comunicas de diversas formas los resultados a problemas que impliquen
potenciación y radicación de números enteros.
Argumentas tus razonamientos al resolver problemas que implican el uso del mínimo
común múltiplo y el máximo común divisor.
INICIAL
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 14
BÁSICO
INTERMEDIO
Ilustración: Ivanova Martínez Murillo
1
Usas conceptos cuantitativos como: todo, mucho, poco, nada, ninguno, algunos,
vacío, lleno, largo y corto.
Ilustración: Ivanova Martínez Murillo
TRAYECTO DE APRENDIZAJE
AVANZADO
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
En este desafío aprenderás la diferencia entre mucho, poco, dónde hay
más, cuándo está vacío o lleno. Encontrarás la relación que se puede
establecer entre objeto y número para poner en práctica los principios de
conteo, todo esto te permitirá contar todos los objetos que hay en una
colección.
14
12/06/19 14:46
Ilustraciones: © Shutterstock.com
¿Cómo acomodarías las manzanas para que haya muchas en una canasta
y pocas en la otra?
En las otras imágenes, ¿qué hay más: zanahorias o cocodrilos?
Ahora vamos a conocer los números, su nombre y representación. En la
primera imagen te presentamos los números, aprende el nombre de cada
uno y su representación para que aprendas a identificarlos.
Ilustraciones: © Shutterstock.com
En la segunda imagen encierra con diferentes colores todos los números
que sean iguales, es decir, todos los 1 enciérralos con un color, todos los 2
con otro color y así sucesivamente.
LAS LOSETAS
NÚMEROS ENTEROS
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 15
15
12/06/19 14:46
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Los números son una representación de la cantidad de objetos que
tenemos, los utilizamos para contar.
Ahora que ya aprendiste los números y sus nombres, ¿cómo relacionas el
número con la cantidad de cocodrilos?
•
•
•
¿Cuántas manzanas hay en la canasta?
Cuenta las zanahorias y dibuja los cocodrilos que sean necesarios
para tener el mismo número que el de las zanahorias.
¿Qué otras cosas puedes contar aparte de frutas y animales?
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
Cuando un número es divisible entre otro, quiere decir que si realizamos la
división, ésta será exacta, es decir, el residuo es igual a cero. Por ejemplo, si
tienes 5 globos y los quieres repartir entre 5 amigos, esto es una división;
a cada niño le tocará un globo y no te sobrarán ni faltarán globos. Ahora
piensa en una repartición de cinco dulces y tres amigos, si les das uno a
cada uno de ellos te sobrarían dos, eso quiere decir que el cinco no es
divisible entre el tres. A los números que no son primos también se les
llama números compuestos, ya que tienen más divisores aparte de ellos
mismos y del 1. El único primo que también es par es el número 2.
En este desafío conocerás la Criba de Eratóstenes, que es una estrategia
para reconocer algunos de los primeros números primos.
En la siguiente tabla encuentra todos los números primos menores que 20
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
16
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 16
12/06/19 14:46
•
•
¿Cuántos números primos menores que 20 encontraste?
Y si aumentas la Criba de Eratóstenes a 100, ¿cuántos números
primos habrá?
El siguiente texto te puede apoyar a resolver el desafío.
ALGUNAS CARACTERÍSTICAS
DE LOS NÚMEROS ENTEROS2
El hombre siempre ha tenido la necesidad de contar y ordenar todo lo que
hay a su alrededor, como la cantidad de estrellas que hay en el cielo, el
paso de los días, el tiempo, distancias entre lugares, dinero para comprar,
la cantidad de ganado o de animales que se tiene en una granja. Debido a
esta necesidad surgen los números, que son símbolos abstractos, los cuales
utilizamos para indicar cuántos objetos hay en un conjunto, es decir, nos
sirven para contar.
Los primeros números que el hombre empezó a utilizar son los enteros
positivos o números naturales; se representan mediante la letra ℕ y son 1, 2,
3, 4, 5, 6…
Al conjunto formado por todos los números positivos, el cero y los números
negativos se les llaman enteros y se representa mediante la letra ℤ.
También podemos representarlos a través de una línea, fijando un origen
donde colocaremos al cero (0) y una unidad de medida fija (−1) y (1). Los
números positivos van del lado derecho y cuanto más se alejan del cero, son
más grandes; en cambio los números negativos están al lado izquierdo del
cero y cuanto más se alejan de él son más pequeños.
© Shutterstock.com
2
Texto elaborado ex professo para esta UAA.
LAS LOSETAS
NÚMEROS ENTEROS
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 17
17
12/06/19 14:46
Podemos clasificar a los números naturales en:
Pares: Los que son múltiplos de 2, es decir, los que son de la forma 2, 4, 6,
8, 10…
La suma, resta y multiplicación de dos números pares siempre es un número
par.
Ejemplo:
350 + 28 = 378
378 es par
226 − 62 = 164
164 es par
40 × 10 = 400
400 es par
Impares: Todos los que no son múltiplos de 2, es decir; 1, 3, 5, 7, 9…
La suma y resta de dos números impares siempre dará como resultado un
número par.
Ejemplo:
17 + 23 = 40
40 es par
25 − 13 = 12
12 es par
La multiplicación de dos números impares siempre es un número impar.
Ejemplo:
5×7=3
35 es impar
9 × 13 = 117
117 es impar
Los múltiplos son números que se obtienen de otro número mediante la
multiplicación.
Ejemplo:
30 es múltiplo de 5, ya que 5 × 6 = 30
Dentro de los números impares se encuentran los números primos, que son
aquellos números que solo pueden dividirse entre 1 y entre ellos mismos.
El primer número primo es el 2.
Ejemplo: 7 sólo puede dividirse entre 1 y entre 7, por lo tanto es primo.
Todo número natural se puede expresar como el producto de números
primos, a esto se le llama Teorema Fundamental de la Aritmética.
18
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 18
12/06/19 14:46
Por ejemplo:
72 = 3 × 3 × 2 × 2 × 2
3 y 2 son números primos
También existen los criterios de divisibilidad para 2, 3 y 5.
Un número puede dividirse entre 2 si es par o termina en cero.
Ejemplo:
26 ÷ 2 = 13
10 ÷ 2 = 5
26 es par y 10 termina en cero
Un número puede dividirse entre 3, si la suma de sus dígitos es múltiplo de 3.
Ejemplo:
261, 2 + 6 + 1 = 9 es múltiplo de 3 261 ÷ 3 = 87
Un número puede dividirse entre 5, si termina en 5 o cero.
Ejemplo: 535 ÷ 5 = 107 240 ÷ 5 = 48 535 termina en 5 y 240 termina en cero
En este sentido tenemos otras dos herramientas: el máximo común divisor
(m.c.d.) que es el número más grande que divide exactamente a dos o más
números, éste nos brinda una optimización, es decir, puedes observar un
pedazo de tela en tu casa y la quieres cortar en cuadros, pero no quieres
que te sobre tela, entonces vamos a necesitar esta gran herramienta sólo
utilizando las medidas de tu tela original.
Y el mínimo común múltiplo (m.c.m.) que es el número más pequeño y
múltiplo común de dos o más números. Supongamos que hay un bebé en
casa al cual le tienes que dar de comer cada 3 horas y tienes gallinas a las
que hay que dar de comer cada 12 horas, ¿cuándo se juntarán las comidas
del bebé y las gallinas? ¡Exacto! Vamos a utilizar nuestro m.c.m.
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Registra en tu cuaderno tus avances, considera qué es lo más importante
que no debes olvidar.
Te sugerimos las siguientes preguntas:
• ¿Por qué hay números impares?
• Si tuvieras que hallar los primeros números primos menores que
40, ¿qué números primos te faltan?
• ¿El número 981 es divisible entre 3?, ¿por qué?
LAS LOSETAS
NÚMEROS ENTEROS
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 19
19
12/06/19 14:46
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
Es importante que identifiques la información que te da el siguiente desafío,
lo que te pide y cómo se relacionan estos elementos para construir tu
estrategia de solución.
En el siguiente desafío descubrirás la manera en que se relaciona la
aritmética con la geometría aplicada a una situación real. Podrás hacer
algunas operaciones para llegar al resultado, ¡no te preocupes!, utiliza el
procedimiento que conozcas y los materiales que más te agraden.
En su casa, don Luis cubrirá un piso rectangular de 450 cm de largo
y 360 cm de ancho con losetas cuadradas de diferentes tamaños.
Para esta actividad, don Luis no puede cortar las losetas. ¿Cuál es
el menor número de losetas que se necesitan para cubrir el piso?
Las siguientes actividades te apoyarán en la resolución del desafío. Dialoga
con tu tutor acerca de tus resultados.
Para saber la cantidad de losetas que se requieren para cubrir un piso,
los trabajadores hacen estimaciones con dibujos o esquemas como la
imagen de abajo. En la imagen, la habitación tiene forma de rectángulo y
las losetas son cuadradas.
20
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 20
12/06/19 14:46
Dialoga con tu tutor las siguientes preguntas:
• ¿En qué se parecen un rectángulo y un cuadrado? ¿En qué son
diferentes?
• Si te pidieran agrupar las losetas para transportarlas, ¿cuál sería tu
criterio para hacer esta agrupación?
• Si quisieras utilizar pocas losetas para cubrir el piso, ¿cuáles utilizarías?
• De las losetas que están en el dibujo, ¿cuáles no cubren la totalidad
del piso?
• ¿Cómo es que se relaciona el tamaño de las losetas con la cantidad
de espacio que cubren?
Para planear cómo cubrir el piso, don Luis dibujó un cuadrado rojo con losetas cuadradas de distintos tamaños, como se muestra en la imagen de abajo:
1 cm2
Observa detenidamente el dibujo y dialoga con tu tutor, ¿te ayuda en algo?
Por otro lado, si no se pidiera como condición usar el menor número de
losetas:
• ¿Cuántas soluciones encontraste para el problema?
• ¿Cuáles son las dimensiones de las losetas en cada solución?
• En las soluciones que encontraste y considerando que don Luis no
puede cortar las losetas, ¿cuántas losetas caben a lo largo y ancho
del piso?
LAS LOSETAS
NÚMEROS ENTEROS
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 21
21
12/06/19 14:46
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
No olvides anotar tus aprendizajes en tu RPA, las dificultades que se te
presentaron y la manera en que las resolviste. Te sugerimos dialogar las
siguientes preguntas:
• ¿Qué procedimientos realizó don Luis para saber el número de
losetas que requiere para cubrir el piso?
• ¿Qué procedimiento utilizarías para saber las medidas de cada loseta?
• Si don Luis sólo tuviera losetas amarillas y verdes para cubrir el
piso, ¿con cuáles de estas losetas se ocuparían más?
• ¿Qué problema habría si don Luis sólo ocupara losetas amarillas y
el piso que ha dibujado fuera de 12 por 14 en lugar de 12 por 12?
• ¿Qué problema habría si don Luis sólo ocupara losetas verdes y el
piso que ha dibujado fuera de 10 por 12 en lugar de 12 por 12?
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
En el siguiente desafío descubrirás la manera en cómo se comportan los
números con signo, y cómo el signo afecta su valor. Pon atención en el
significado del signo + o − en los números.
Don Luis trabaja pegando losetas y lo han contratado en varias
comunidades. Para preparar el pegamento que une a las losetas
don Luis necesita que el agua esté a 20 °C de temperatura.
En la siguiente página, se muestra la temperatura que tiene el agua
en distintas horas del día; esa información le sirve a don Luis para
tomar decisiones.
Si don Luis comenzara su jornada de trabajo a las 6 de la mañana,
¿en qué comunidad tendrá que calentar más el agua para que
pueda preparar el pegamento?
Si don Luis comenzara su jornada de trabajo a las 11 de la mañana,
¿en cuál comunidad tendrá que calentar menos el agua para que
pueda preparar el pegamento?
22
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 22
12/06/19 14:46
TEMPERATURA DEL AGUA
COMUNIDADES
A LAS 6 AM
A LAS 11 AM
A LA 1 PM
Plan de Ayala
−8º
10º
18º
Las Mesas
−15º
−10º
−2º
Rancho María
−4º
18º
20º
Rancho Santa Fe
−16º
−8º
2º
Las Margaritas
−10º
14º
20º
Chapultepec
−14º
−13º
−10º
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
Aunque no lo hayas notado, siempre estamos usando los números, como
cuando vas a la tienda a comprar dulces o cosas para la comida. En todo
lo que hacemos siempre hay números involucrados. En este desafío
aprenderás a resolver problemas de la vida diaria en los que se involucran
operaciones de números positivos y negativos.
Doña Lupita tiene una tienda, cada día compra mercancía para
vender en su tienda y quiere saber cuáles son sus ganancias o si
tiene pérdidas.
El lunes vendió $137 y gastó $55
El martes vendió $226 y gastó $243
El miércoles vendió $179 y gastó $391
¿Cuánto vendió en los 3 días?
¿Cuánto gastó en los 3 días?
¿Tuvo pérdidas o ganancias?
LAS LOSETAS
NÚMEROS ENTEROS
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 23
23
12/06/19 14:46
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Anota en tu cuaderno los aprendizajes que obtuviste y dialoga con tu tutor.
Apóyate de las siguientes preguntas:
•
•
•
¿De qué herramientas podemos echar mano para realizar sumas y
restas de números con diferente signo?
¿En qué casos se conserva el signo?
¿Por qué se cambia el signo de los números?
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
Los números se encuentran en cualquier lugar, sea representando una
cantidad, dando valor o señalando orden. Cuando se emplean para algún
fin, el orden de los números en una cifra adquiere un valor muy importante,
pues no es lo mismo decir “tengo 10 pesos” que “tengo 01 pesos”.
En el recreo, Julieta y sus amigos juegan a formar números con tarjetas
moviendo las tarjetas como ellos quieran.
Tu desafío es distinguir la importancia del orden en la presentación de los
números.
Ilustración: © Shutterstock.com
Para resolverlo observa con atención la siguiente imagen, y después
dialoga las preguntas con tu tutor.
0
0
9
1
Julieta
24
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 24
12/06/19 14:46
Felipe
Rosa
8
0
8
1
•
•
6
6
Ilustraciones: © Shutterstock.com
9
2
•
¿Quién de ellos puede formar el número de menor valor usando
todas sus tarjetas?
¿Cuál es el número de mayor valor que puede formar Julieta?
Menciona los nombres de tres números distintos que puede formar
Rosa y que comienzan y terminan con números diferentes.
La siguiente lectura te ayudará a comprender y profundizar en la resolución
y estudio del desafío, léela y comenta tus conclusiones con tu tutor:
SISTEMAS DE NUMERACIÓN3
Foto: © Shutterstock.com
Los egipcios representan una de las civilizaciones más antiguas y desarrolladas
del mundo. Gracias a la existencia de los papiros de Rhind y de sus múltiples
jeroglíficos es que se sabe algo acerca de su aritmética. Aunque emplearon el
sistema duodecimal en la subdivisión del año (en doce meses, correspondientes
a sus doce dioses principales) y del día (en doce horas de claridad y doce de
tinieblas), su numeración era decimal y contaba con signos jeroglíficos para
las cifras del uno al diez y para cien, mil, diez mil, cien mil y un millón.
3
Los babilonios, al igual que los egipcios,
desarrollaron su propio sistema de numeración,
ellos escribían sobre tablillas de arcilla, en
donde utilizaban la escritura cuneiforme y no
tenían ningún símbolo para representar el cero.
José Manuel Becerra, “Sistemas de numeración”, Unidad II, Colegio de Matemáticas de la EPN-UNAM, http://dgenp.unam.mx/
direccgral/secacad/cmatematicas/pdf/m4unidad02.pdf (Fecha de consulta: 19 de marzo de 2018).
LAS LOSETAS
NÚMEROS ENTEROS
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 25
25
12/06/19 14:46
Utilizaban un sistema de numeración de valor posicional a través de dos
símbolos básicos en forma de cuña. Una en forma vertical para las unidades
y otra en forma horizontal para las decenas.
Los mayas inventaron un sistema de numeración en donde aparece por
primera vez el cero, además de que su base era el veinte, ya que se cree,
que tal vez sea por el hecho de contemplar los dedos de pies y manos. Esta
civilización representó cada cantidad por medio de símbolos que según la
posición que ocupaban adquiría cierto valor, es decir el sistema maya así
como el decimal es un sistema de posiciones. El símbolo del cero en cualquier
posición indica ausencia de cantidad.
Los hindúes representaron con nueve símbolos diferentes, uno por cada
número del uno al nueve. Éstos han cambiado con el tiempo, pero llegaron a
Europa en su forma actual en el siglo XVI.
Por su parte, los griegos y los hebreos utilizaron nueve símbolos diferentes
para estos números. En cada caso, los símbolos eran las primeras nueve
letras de sus alfabetos.
Ilustración: © Shutterstock.com
El Imperio Romano desarrolló un sistema de numeración que se usó en
Europa hasta el siglo XVII. En la actualidad es muy conocido y se usa para
indicar los tomos de una obra, los capítulos de un libro, el nombre del siglo, el
nombre de una época, para las fechas, para los personajes de mismo nombre
y las horas en las carátulas de algunos relojes. […]
26
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 26
12/06/19 14:46
Sistema decimal
La numeración que se utiliza en la actualidad fue heredada por los árabes,
por lo que sus caracteres los llamamos arábigos. En un principio hubo dos
clases de números arábigos: los del Imperio de Oriente y de Occidente de
Europa. En México se emplean los occidentales, que fueron llevados por los
moros a España, los números orientales se usan en Turquía, Egipto, Arabia y
los países vecinos.
De acuerdo con lo expuesto anteriormente, la numeración egipcia y la
romana empleaban la base 10 pero no usaban el principio de posición. Otras
numeraciones como la maya y la babilonia usaban el principio de posiciones
pero no usaban la base diez. En el sistema decimal se usan los dos principios,
es decir se utiliza la base 10, además de que las cifras tienen su valor según
la posición que éstas ocupen.
Ilustración: © Shutterstock.com
Al decir que un sistema es de base diez, significa que sólo hace uso de diez
símbolos o guarismos únicamente, es decir, los símbolos de base 10 son: 0,
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.
Los dígitos pueden tener dos valores: un valor absoluto, que es el que indica
el número de unidades que lo forman, y un valor relativo, que es el que
adquieren según la posición que ocupan.
LAS LOSETAS
NÚMEROS ENTEROS
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 27
27
12/06/19 14:46
Ejemplo: El valor absoluto de los dígitos que forman 496 es: 4, 9, 6. Por su
parte, el valor relativo es 400, 90 y 6. Las cifras que intervienen en un número
se dividen en períodos de seis cifras cada uno de la siguiente forma:
TERCER PERIODO
SEGUNDO PERIODO
PRIMER PERIODO
Billones
Millones
Unidades
Primer grupo Unidades
Segundo grupo Decenas
Tercer grupo Centenas
Primer grupo Unidades
Segundo grupo Decenas
Tercer grupo Centenas
Primer grupo Unidades
Unidades
Segundo grupo Decenas
Miles
Tercer grupo Centenas
Unidades
Primer grupo Unidades
Miles
Segundo grupo Decenas
Unidades
Tercer grupo Centenas
Miles
Primer grupo Unidades
Primer
grupo
Segundo grupo Decenas
Segundo grupo
Tercer grupo Centenas
Primer
grupo
Primer grupo Unidades
Segundo grupo
Segundo grupo Decenas
Primer
grupo
Tercer grupo Centenas
Segundo grupo
El periodo de la derecha son las unidades, el siguiente son los millones, el
siguiente es el de los billones, etc.
Cada periodo se puede dividir en dos grupos de tres cifras cada uno: las
unidades y los millares, a su vez cada grupo se divide en unidades, decenas
y centenas.
Como el sistema de base 10 consta de diez dígitos o guarismos, si se desea
contar utilizando la base diez, se debe hacer de la siguiente manera:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11… 19, 20, 21… 29, 30, 31… 99, 100, 101… 109, 110, 111… 999,
1000, 1001… etc.
Es posible también escribir un número en notación desarrollada, esto es, que
cualquier cantidad se puede escribir como la suma de los dígitos del número
por la base diez elevada al correspondiente exponente.
28
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 28
12/06/19 14:46
Comenta con tu tutor lo que más te haya gustado del texto y de qué manera
te ayuda a la resolución del desafío.
Para continuar en el estudio del desafío, el siguiente texto en inglés te
ayudará a conocer la importancia del aprendizaje del sistema decimal en
niños mexicanos de primaria.
SYMBOLIC REPRESENTATION FOR INTRODUCTION OF CONCEPT OF
DECIMAL SYSTEM IN MEXICAN SCHOOL CHILDREN4
The introduction of decimal system represents one of the essential aspects
of learning at primary school. This is the theme what occupies most of
the activities in the first three years of primary school education (Ruesga
y Guimaraes, 2011). The decimal system is considered a positional system,
because the digits are not independent but are subject to their spatial
position. No digit has absolute meaning, but depends on spatial specific
position (Silva y Barela, 2010; Ávila y García, 2008; Luria, 1995). The problem
is that such knowledge is not explicit and apparently children have to
“discover” it. Normally, children learn to sum and rest and to fulfill multiple
operations, but they do not receive any orientation or explanation of the way
to “discovery” of logic and theoretical basis of decimal system.
There is no doubt that decimal system is a symbolic system based on relative
meaning of each digit. Each new column of the decimal number system is
considered as a new measure count, which is 10 times greater than the extent
of the previous column, for example, 10 units of the first column (units) given
unit of the second column (tens). Left or right position has also specific
meaning in decimal system. The reflection of such relationships could allow
students show arithmetic actions, laws and combination translational. It
is also possible to emphasize that counting by equal units (not necessary
by 10 units), allows preparation of the conceptual introduction of any
numeric system (not only decimal system) (Talizina, 2009, Salmina, 2001).
The pertinent question could be how to manage an appropriate way of
introduction of such knowledge at school?
4
Y. Solovieva, Y. Rosas Rivera, L. Quintanar y M. A. García. “Symbolic Representation for Introduction of Concept of Decimal
System in Mexican School Children”, http://www.ccsenet.org/journal/index.php/ies/article/view/30781 (Fecha de consulta: 30
de enero de 2018).
LAS LOSETAS
NÚMEROS ENTEROS
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 29
29
12/06/19 14:46
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Dialoga con tu tutor y comenta:
•
•
•
¿Qué parte del texto llamó más tu atención?
¿Cuál es el último número entero que existe?
¿Cómo sería una numeración de base seis, donde solamente hubiera
seis guarismos?
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
Las potencias son operaciones que nos hacen más sencillos los cálculos de
números que se repiten. Imagínate en la granja con una pareja de conejos,
ellos se reproducen y tienen 6 crías hembras, cada una de ellas tendrá 6
crías y así sucesivamente, entonces la primera camada tendría 6 y en la
segunda 62.
En este desafío conocerás las potencias y la notación científica, en qué
casos se utilizan y las operaciones que podemos realizar con ellas. Notarás
que es más sencillo trabajar con éstas y simplificar las operaciones.
Un terreno cuadrado tiene un área de 1 000 000 m2. Exprésalo en
notación científica.
Convierte esa área a km2.
El siguiente texto te puede ayudar a resolver el desafío.
POTENCIA5
Una potencia es una manera abreviada de escribir la multiplicación de un
número por sí mismo. Así podemos simplificar multiplicaciones muy largas
en donde se repite el mismo número.
5
Texto elaborado ex professo para esta UAA.
30
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 30
12/06/19 14:46
Una potencia está formada por dos números, que son la base y el exponente.
La base se multiplica por sí misma tantas veces como lo indique el exponente.
Ejemplos:
Potencia
23
34
Base
2
3
Exponente
3
4
Solución
2×2×2=8
3 × 3 × 3 × 3 = 81
Operaciones con potencias
a0 = 1
a1 = a
abac = ab+c
producto de potencias de la misma base
(ab)c = abc
potencia de una potencia
ab
b-c
ac = a
división de potencias de la misma base
(ab)c = ac bc
potencia de un producto
( ba ) = a /b
potencia de una fracción
c
c
c
a-n = 1n
a
a≠0
a, b, c y n son cualesquiera números naturales
( ba ) = ( ba )
-n
n
Notación científica
Se usa para hacer más sencillos los cálculos de cantidades muy grandes o
muy pequeñas y así simplificar la notación, por lo tanto será más fácil operar
con ellos; para hacerlo, utilizamos las potencias de 10.
0.1 = 10−1
0.01 = 10−2
0.001 = 10−3
0.0001 = 10−4
0.00001 = 10−5
10 = 101
100 = 102
1000 = 103
10000 = 104
100000 = 105
LAS LOSETAS
NÚMEROS ENTEROS
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 31
31
12/06/19 14:46
Para números grandes tenemos que recorrer el punto una posición antes de
la primera cifra, de derecha a izquierda.
Para números pequeños recorremos el punto de izquierda a derecha y el
exponente será negativo.
Radicación
n
A esta expresión a se le da el nombre de radical y se define de la siguiente
forma:
n
a = b si y sólo si bn = a
Un radical está formado por: coeficiente, radicando e índice de la raíz.
Coeficiente
radicando
índice de raíz
2
3
2
3
2
3
ab
1
ab
3
Algunas propiedades de los radicales:
n
a =0
•
Si a = 0, entonces
•
n
a = an
•
n
am = (am ) n = a n
•
n
abc = (abc) n = a n b n c n =
1
1
m
1
a
=
b
•
n
•
am
n
n
n
1
1
1
n
a
n
b
n
c
a
b
n
b = (am)nb
32
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 32
12/06/19 14:46
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Esta notación se utiliza mucho en cantidades muy grandes, como las
superficies de los planetas, distancias entre la tierra y el sol y otras estrellas
o también para números muy pequeños, como la longitud de bacterias.
•
•
•
•
Si la longitud de una bacteria es de 0.000052m, ¿cómo lo expresas
en notación científica?
¿Cómo resolverías (−2)3?
¿Qué pasa cuando la base es negativa y la potencia es un número
impar?
¿Qué pasa cuando la base es negativa y la potencia es un número
par?
COMPARTE LO APRENDIDO, MEJORA
Y COMPLETA TU REGISTRO
Las siguientes preguntas te ayudarán a seguir aprendiendo sobre el tema, y las
puedes mostrar a tus compañeros:
•
•
•
•
•
Si no pudieras utilizar números, ¿cómo representarías tu edad?
La maestra Ana anota su edad en números romanos así: XXIV ¿Sabes cómo
se escribe tu edad en números romanos?
Ésta es la edad de la hermana de la maestra Ana en números mayas:
¿Cómo se escribirá tu edad en números mayas?
¿Cómo representarías la edad de tus padres y de tu tutor con números
mayas?
PARA SEGUIR APRENDIENDO
Fuentes consultadas
Aguilar Márquez, A., F. Bravo Vázquez, H. Gallegos Ruíz, M. Cerón Villegas y R. Reyes
Figueroa. Aritmética y álgebra. Cuarta edición. México: Pearson Educación, 2016.
LAS LOSETAS
NÚMEROS ENTEROS
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 33
33
12/06/19 14:46
Becerra, José Manuel. Sistemas de numeración. Unidad II. Colegio de Matemáticas de la
EPN-UNAM, http://dgenp.unam.mx/direccgral/secacad/cmatematicas/pdf/m4unidad02.
pdf (Fecha de consulta: 19 de Marzo de 2018).
Navarro Cuevas, Jaime. Una breve descripción de los números reales. Vol. 1. México:
Limusa, 1980.
Purcell, Edwin J., Dale Varberg. Cálculo con Geometría analítica. México: Prentice Hall, 1984.
Solovieva y Rosas Rivera, L., L. Quintanar y M.A. García. Symbolic Representation for
Introduction of Concept of Decimal System in Mexican School Children. http://www.
ccsenet.org/journal/index.php/ies/article/view/30781 (Fecha de consulta: 30 de marzo
de 2018).
Wentworth, Jorge y David Eugenio Smith. Elementos de Álgebra. 1945.
Fuentes sugeridas
Conafe. Revista Colibrí. Arte, ciencia y técnica II. México: Conafe, 1990. pp. 49-63.
IEEPO. Educando Tv. Preescolar clase: 32. Tema: Números del 1 al 9. https://www.youtube.
com/watch?v=aNyAjkRiD_Y
____ Preescolar clase: 44. Tema: Correspondencia uno a uno. https://www.youtube.com/
watch?v=Oiandc4-OLk
____ Preescolar clase: 49. Tema: ¿Dónde hay más, donde hay menos? https://www.
youtube.com/watch?v=PEhQiB8-pDk
____ Preescolar clase: 80. Tema: Número y conteo. https://www.youtube.com/
watch?v=3N5eOCHjSGo
____ Primaria 1° y 2° clase 2. Tema: Colecciones. https://www.youtube.com/
watch?v=0yFl7eoRw74
____ Primaria 1° y 2° clase 120. Tema: La multiplicación (primera sesión) https://www.
youtube.com/watch?v=dr0GI-k3ukg
____ Primaria 1° y 2° clase 121. Tema: La multiplicación (segunda sesión) https://www.
youtube.com/watch?v=wJHjrWEq6Og
____ Primaria 1º y 2º Clase: 128. Tema: Descomposición de números. https://www.youtube.
com/watch?v=EO7IG6wpJt4
____ Primaria 3º y 4º clase: 51. Tema: Nombre y escritura de números. https://www.
youtube.com/watch?v=W4-iWdPnaxE
____ Primaria 5º y 6º clase 2. Tema: Sistema Numérico Decimal. https://www.youtube.com/
watch?v=05gnzsZ3M_I
____ Secundaria Clase 4. Tema: Números y sistemas de numeración. https://www.youtube.
com/watch?v=03nqAWgDQCs
____ Secundaria clase: 48. Tema: Números primos y compuestos. Criterios de divisibilidad
entre 2, 3 y 5. https://www.youtube.com/watch?v=w_9zZaVSlvI
____ Secundaria clase 61. Tema: Potenciación de números enteros y decimales (Primera
sesión). https://www.youtube.com/watch?v=_TkF3B1ZAu8
34
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 34
12/06/19 14:46
Ilustración: © Shutterstock.com
LA PASTELERÍA
NÚMEROS RACIONALES
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 35
12/06/19 14:46
INTRODUCCIÓN
Medir nuestra estatura, pesar los ingredientes para hacer una receta,
tomar el tiempo que tardamos en completar un viaje; para todos estos
tipos de mediciones existe un instrumento calibrado y una unidad que
se usa como la base –metros en el caso de la estatura, kilogramos en el
caso de los ingredientes, horas en el caso de la duración del viaje–. Pero,
a menudo, para obtener la precisión necesaria en nuestra medición es
necesario dividir esas unidades básicas. Por ejemplo, nuestra estatura no
es un número entero de metros, por lo cual es común hacer la medición
con reglas graduadas en centímetros –es decir, una parte de un metro
partido en cien–. Otro tanto ocurre con los kilogramos y las horas, pues
es necesario dividirlos si queremos hacer mediciones confiables en
situaciones cotidianas, y aún más si se trata de situaciones en la industria
o la ciencia.
Ilustración: © Shutterstock.com
Las personas han hecho mediciones y cálculos con números que no son
exactamente un entero –llamados comúnmente fracciones o quebrados–
desde hace aproximadamente 4000 años. Desde entonces, la humanidad
ha buscado formas cada vez más eficientes de hacer cálculos con
las fracciones, un proceso que ha llevado miles de años. Los números
decimales, por ejemplo, son hoy en día una herramienta indispensable
para los cálculos en la industria, la tecnología y la ciencia. Su invención
ocurrió a finales de los años 1500, es decir, aproximadamente 2500 años
después de que la gente usó fracciones por primera vez.
36
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 36
12/06/19 14:46
A la par de encontrar procedimientos cada vez más eficaces para hacer las
operaciones, los matemáticos han inventado varias formas de representar
cantidades no enteras.
Hoy en día, además de las fracciones comunes, se utilizan las fracciones
decimales, los números decimales y los porcentajes. Todos estos números
forman una familia llamada los números racionales, que son el tema de
esta unidad.
PROPÓSITO GENERAL
Conocer y operar con las cantidades no enteras (fracciones comunes,
fracciones decimales, números decimales y porcentajes) conocidas como
números racionales.
PROPÓSITOS ESPECÍFICOS
•
•
•
Resolveremos problemas de fraccionamiento con diferentes objetos.
Comprenderemos procedimientos para realizar las operaciones
aritméticas básicas con números racionales.
Contrastaremos el uso de los números racionales para resolver
problemas en campos distintos de las matemáticas.
MAPA DE CONTENIDOS
NÚMEROS RACIONALES
Números fraccionarios
Números decimales
Conceptualización
Partes de una fracción
Conceptualización
Punto decimal
Tipos de fracciones
Equivalencia
Base y valor
proporcional
Comparación
y equivalencias
Representación
Simplificación
Orden (antecesor
y sucesor)
Conversión de
expresiones
Comparación
Ubicación en la recta
LA PASTELERÍA
NÚMEROS RACIONALES
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 37
37
12/06/19 14:46
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 38
6
7
8
9
10
11
Comprendes las relaciones entre distintas representaciones numéricas de los números racionales, tales como
las fracciones comunes, las fracciones decimales, los números decimales, y los porcentajes.
Utilizas estratégicamente distintas representaciones numéricas de los números racionales al realizar
operaciones aritméticas con ellos.
Explicas como estimas y comparas el valor de números racionales expresados en distintas
representaciones numéricas.
Aprecias la contribución de los números racionales para resolver problemas en campos distintos de las
matemáticas, tales como las ciencias sociales.
BÁSICO
INTERMEDIO
Ilustración: Ivanova Martínez Murillo
5
Haces operaciones de multiplicación y división con fracciones comunes de igual y diferente denominador a
partir de objetos, dibujos y la recta numérica.
Divides objetos (papel, pasteles de lodo, tiras de tela, plastilina) en mitades, cuartos y octavos.
4
Haces operaciones de suma y resta de fracciones comunes con denominadores diferentes a partir de objetos,
dibujos y la recta numérica.
3
Haces operaciones de suma y resta de fracciones comunes con denominadores iguales a partir de objetos,
dibujos y la recta numérica.
2
Armas rompecabezas de hasta 10 piezas y diferentes figuras con el Tangram.
INICIAL
Representas en dibujos y números fracciones con denominadores pares e impares.
1
Realizas reparticiones en juegos simbólicos.
Ilustración: Ivanova Martínez Murillo
TRAYECTO DE APRENDIZAJE
AVANZADO
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
Uno de los problemas que más se nos presentan en matemáticas es
repartir cosas, como juguetes, dulces, ropa, etc. No siempre es tan sencillo
38
12/06/19 14:46
hacer una repartición de manera que todos tengan la misma cantidad
de objetos. Cuando hacemos una repartición, lo que realmente estamos
haciendo es una división.
Ilustración: © Shutterstock.com
Los papás de Lorena, Luis y
Alma les compraron estos juguetes y quieren repartirlos
entre los tres, de manera que
todos tengan juguetes y no
sobre ninguno.
¿Cómo harías la repartición?
¿Cuántos juguetes le tocan a
cada niño?
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Dibuja en tu cuaderno cómo harías la repartición de los juguetes.
•
•
•
•
¿Es la única forma de repartir los juguetes o existen otras?
¿Qué pasa cuando la repartición no es exacta?
¿Cómo repartirías 10 canicas entre 4 personas?
¿Cómo repartirías 5 chocolates entre 7 personas?
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
Una fracción es una porción de un entero, y se obtiene al dividir el número
en partes iguales. También podemos realizar operaciones con las fracciones
como la suma o resta. En este desafío aprenderás que se puede dividir un
objeto en partes iguales y tomar sólo algunas para repartirlas.
LA PASTELERÍA
NÚMEROS RACIONALES
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 39
39
12/06/19 14:46
Colorea y escribe según la porción que se pide.
FRACCIONES
Ilustración: © Shutterstock.com
SUMA DE FRACCIONES
40
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 40
12/06/19 14:46
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Anota en tu RPA cómo resolviste el desafío.
• ¿Qué otras figuras podrías dividir en partes iguales?
• ¿Cómo harías una resta usando figuras similares?
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
Ilustración: © Shutterstock.com
Recorta una imagen que a ti te guste y haz 10 trazos, como se ejemplifica
en la imagen de abajo, revuelve cada parte y ¡empieza a armar tu rompecabezas! También puedes armar distintas figuras con el tangram. Para ello
calca cualquiera de las variantes de tangram que aparecen abajo, colorea,
recorta y listo.
LA PASTELERÍA
NÚMEROS RACIONALES
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 41
41
12/06/19 14:46
Ilustración: © Shutterstock.com
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Recuerda que hay que escribir o dibujar en tu RPA tu proceso de
aprendizaje, identificando tus retos y las formas en que los resolviste. Las
siguientes preguntas te pueden ser de utilidad:
•
•
•
•
¿Qué consideraste para hacer tu rompecabezas?
¿Qué figuras pudiste armar con el tangram?
¿Cuál es la diferencia entre un rompecabezas como el de la imagen
y un tangram?
¿Cuál se te facilitó armar?
42
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 42
12/06/19 14:46
También puedes reflexionar sobre lo siguiente, para ampliar tu RPA.
•
•
Ahora vamos a imaginar que tenemos una barra de chocolate y
hay que repartirlo entre 3 amigos, ¿cómo lo partirías para que a
cada uno le toque un pedazo igual?, y si fueran 4 amigos, ¿cómo lo
dividirías?
Elabora en tu cuaderno los dibujos de cómo dividiste el chocolate
en el caso de 3, 4 y 8 amigos y responde: ¿en qué caso el pedazo
de chocolate es más grande?, y ¿en cuál es más pequeño?, ¿por
qué?, ¿cuál reparto fue más fácil para ti?
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
Es importante que observes cuándo los enteros ya no son suficientes
para resolver una situación, así como la relación entre objetos, cantidades,
magnitudes y números que participan en ésta. Analiza cómo los números
fraccionarios y los decimales ayudan a ser más precisos o tener mejores
aproximaciones en situaciones en las que las cantidades no son enteras o
en cantidades en las que, al operarse el resultado, éste no es entero.
Doña Isabel abrió su pastelería esta semana. Vende pasteles de 2, 3
y 5 kilos, aunque también los vende por rebanada. A continuación,
puedes ver la tabla de precios:
Tamaño
2 kilos
Precio
99.90 pesos
3 kilos
5 kilos
174.90 pesos
249.90 pesos
Doña Isabel quiere ganar más vendiendo el pastel de 2 kilos por
rebanadas, así que quiere saber en cuántas rebanadas, del mismo
tamaño, podría partir un pastel para ganar hasta el doble del
precio del pastel entero. Ayúdale a calcular diferentes tamaños de
rebanadas para que ella elija cuál le conviene más. Considera cuánto
pesaría cada rebanada en las opciones que le ofrezcas a doña Isabel.
LA PASTELERÍA
NÚMEROS RACIONALES
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 43
43
12/06/19 14:46
Ilustración: © Shutterstock.com
•
•
•
•
•
¿Cuántas rebanadas salieron de tu primer intento?
¿Cuál sería el precio de cada una?
¿Cuánto obtiene doña Isabel por estas rebanadas?
¿Cómo calculaste el peso de cada rebanada?
¿Qué otras opciones tienes?
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Registra lo siguiente sobre tu experiencia:
•
•
•
¿Recuerdas alguna vez haber repartido un pastel en algún
cumpleaños o un dulce?
¿Cómo lo hiciste?
Si lo hizo alguna otra persona, ¿recuerdas cómo lo hizo para que
quedaran del mismo tamaño cada porción?
Compara las opciones que diste en la repartición del pastel, comenta
sobre cómo le hiciste para partirlo en rebanadas y si en todas las opciones
fueron igual las porciones, y en cuál de todas obtenía doña Isabel mayor
ganancia.
44
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 44
12/06/19 14:46
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
En el siguiente desafío observa la función de las fracciones y la operación
de los números fraccionarios y de los decimales. Descubre una aplicación
más de los números en la vida diaria.
Ilustración: © Shutterstock.com
Papel de envoltura
Para entregar los pasteles, doña Isabel los envuelve en papel. En los
pasteles de 2 kilos ocupa 1/2 metro, en los de 3 kilos utiliza 3/4 de
metro y en los de 5 kilos ocupa 11/3 de metros. Si al final de un día
vendió 7 pasteles de 2 kilos, 5 de 3 kilos y 5 de 5 kilos…
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Recuerda que hay que escribir o dibujar en tu RPA tu proceso de
aprendizaje, identificando tus retos y las formas en que los resolviste.
Apóyate de las siguientes preguntas:
•
•
•
¿Cuántos metros de papel utilizó para envolver los pasteles?
Si al inicio del día el rollo de papel tenía 50 metros, ¿cuántos metros
le quedaron al final del día?
¿Cuánto ganó doña Isabel ese día por la venta de los pasteles
enteros?
LA PASTELERÍA
NÚMEROS RACIONALES
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 45
45
12/06/19 14:46
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
En el siguiente desafío tendrás que ver distancias y particiones no exactas,
es decir, seguiremos trabajando y operando con fracciones, las cuales,
como ya te pudiste dar cuenta están presentes en tu entorno.
Ilustración: © Shutterstock.com
Para la iluminación de la fiesta de una comunidad se están armando
series con alambres de 10 metros. En el primer alambre se colocó un
foco a la mitad y otro a un tercio de uno de los extremos. El coordinador
de iluminación pidió que se colocaran dos focos más entre los dos
primeros de tal manera que la distancia entre foco y foco sea la misma.
¿Cuál es la distancia entre los focos?
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Te recomiendo hacer tus operaciones y hacer el dibujo en tu RPA.
•
•
•
¿Qué hiciste para saber la distancia de la mitad del alambre y la de
un tercio?
¿Cómo lo representarías?
¿Hay otra forma de hacerlo?
46
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 46
12/06/19 14:46
Con esta experiencia, mide el largo de un cuarto o el patio de tu casa y
contesta:
• ¿Cuánto mide?
• ¿Cuántos focos quisieras poner?
• ¿Cuál es la distancia entre foco y foco?
• Si ponemos globos entre los focos, ¿qué distancia habrá entre foco
y globo?
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
Con las fracciones podemos representar las partes de un entero que se ha
dividido en porciones iguales. Ya conocemos todas las operaciones que
podemos realizar con fracciones, ahora hay que ponerlas en práctica.
En este desafío podrás utilizar todas las operaciones básicas con fracciones.
Jacinto repartió $600 entre sus tres nietas: Laura, Rocío y Ana. A
cada una le tocó una cantidad diferente.
A Laura le dio 1/2 por ser la mayor, a Rocío 1/3
¿Cuánto le dio a Ana? Exprésalo como fracción.
Encuentra una fracción equivalente para cada fracción de la
repartición que hizo Jacinto.
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Anota tus reflexiones a partir de las siguientes preguntas:
•
•
¿Cuánto le dio en pesos a Rocío?
Si Jacinto ahora tiene $900 y los reparte de la misma forma, ¿cuánto dinero le tocó a cada una de las nietas?
Para resolver estos desafíos te proponemos los siguientes textos:
LA PASTELERÍA
NÚMEROS RACIONALES
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 47
47
12/06/19 14:46
NÚMEROS RACIONALES
Fracción
propia
El numerador
es más
pequeño
que el
denominador
1 3 11
2 , 5 , 20
Fracción
impropia
Fracción
mixta
Fracción
equivalente
Fracción
decimal
El numerador
es más
grande que el
denominador
Está formada
por un entero
y una fracción
propia
Se escriben
diferente pero
valen lo mismo
Su
denominador
es 10, 100,
1000...
3 7 10
2,4, 7
3 1
1 ,3
4 2
4
2
3 = 6
3 4
5
1000
,
10 100,
Recordemos cómo realizar las operaciones con punto decimal.
Para suma y resta, el punto debe estar alineado.
Ejemplo:
23.4
+ 8.7
32.1
La multiplicación con decimales se hace igual que una multiplicación normal
y se cuentan lugares de derecha a izquierda y se coloca el punto.
Ejemplo:
3.5
× 10.3
105
00
35
36.05
48
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 48
12/06/19 14:46
Para la división
1. El dividendo es decimal. Se hace la división común y se sube el punto al
cociente.
Ejemplo:
14.66
2 29.32
09
13
12
0
2. El divisor es decimal. Se recorre el punto hasta que se vuelve entero el
divisor y se aumentan en el dividendo tantos ceros como lugares se haya
recorrido el punto.
Ejemplo:
3.2 7347
32 73470
Y se realiza la operación como se acostumbra.
3. Divisor y dividendo son decimales. Se recorre el punto del divisor hasta
que se vuelve entero, se recorre el punto en el dividendo tantos lugares
como se haya recorrido el punto en el divisor.
Ejemplo:
8.2 4322.99
→
82 4322.99
Y se realiza la operación como se acostumbra.
Recordemos cómo transformar fracciones:
Fracción
7
4
Fracción mixta
3
1
4
Número decimal
1.75
Fracción equivalente
21
12
En la primera columna tenemos una fracción impropia, para convertir a
fracción decimal, hay que realizar la división y ver que no es una división
exacta: 7 es divisible entre 4 una sola vez y nos queda un residuo de 3, como
estamos usando cuartos, entonces el residuo será 3
4
LA PASTELERÍA
NÚMEROS RACIONALES
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 49
49
12/06/19 14:46
Para convertir a fracción decimal, hay que realizar la división 7 ÷ 4 usando el
punto decimal.
Encontrar una fracción equivalente es multiplicar numerador y denominador por
el mismo número, en este caso 7 × 3 y 4 × 3 y obtenemos como resultado 21
12
Recordemos las operaciones con fracciones:
Suma y resta
Método mariposa
1
2 (1 × 3 + 5 × 2) (3 + 10) 13
+
=
= 15
=
5
(5 × 3)
3
15
Multiplicación
7 (3 × 7) 21
2
× 5 = (2 × 5) =
3
10
División
(1 × 5)
1
2
5
÷
=
=
(3 × 2) 6
3
5
El siguiente texto te ofrece información respecto a los números racionales,
es importante que pongas principal atención en la diferencia y las relaciones
que hay entre fracciones, números fraccionarios y números decimales.
NÚMEROS DECIMALES Y EXPRESIONES DECIMALES6
La notación utilizando el punto es sólo una forma de representar las
fracciones que surgió con el interés de facilitar los cálculos con ellas. Sin
embargo, algunas fracciones son decimales y otras no. Esta precisión, y otras
que haremos en seguida, ayudarán a entender mejor que no es lo mismo la
notación usando el punto decimal que los números decimales.
6
Alicia Ávila y Silvia García, Los decimales: más que una escritura (México: INEE, 2008), 33-34.
50
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 50
12/06/19 14:46
1. Los números decimales son aquellos que pueden escribirse en forma de
fracciones decimales.
2. Las fracciones decimales son las que pueden expresarse con un numerador
entero y un denominador que es una potencia de 10,7 por ejemplo 3/100
y 1/1000 son fracciones decimales; también son fracciones decimales 1/2
y 3/5, ya que se pueden encontrar fracciones equivalentes a un medio y a
tres quintos cuyos denominadores sean alguna potencia de 10.
3. Este tipo de fracciones tienen la particularidad de que pueden
representarse de otra manera: utilizando escrituras que llevan punto
decimal, dando lugar a las expresiones decimales finitas y que en la
escuela simplemente reciben el nombre de decimales. A las fracciones
3/10 y 1/1000 les corresponden, respectivamente, las siguientes
escrituras decimales: 0.3 y 0.001.
4. Las fracciones que no son decimales (por ejemplo 1/3) no pueden
representarse mediante una expresión decimal finita, este tipo de fracciones
da lugar a las expresiones decimales periódicas infinitas (1/3 = 0.3333...).
5. Ambas expresiones, decimales finitas y decimales periódicas, forman
el conjunto de los números racionales (números que pueden escribirse
como fracciones),8 que son los que se estudian en la educación primaria
y secundaria.
No deben confundirse los números decimales con una de sus representaciones mediante la escritura con punto, que por ser la más práctica es la que
más utilizamos.
En el nivel de educación primaria y secundaria sólo se estudian las expresiones
decimales que representan números racionales, son la expresiones decimales
finitas y expresiones decimales infinitas periódicas. Sin embargo, es necesario
insistir en que también hay expresiones decimales que no corresponden a
los números racionales y que son aquéllas cuya parte decimal es infinita y no
periódica; este tipo de números se llaman irracionales. Es decir, los números
irracionales también pueden expresarse de manera aproximada mediante una
expresión con punto decimal pero no son números decimales porque no pueden expresarse con una fracción con denominador potencia de 10. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 2 puede expresarse como 1.4142135…, no obstante que
lleva un punto decimal, el número no corresponde a ninguna fracción decimal.
7
8
Recuérdese que las potencias de 10 son, por ejemplo, 103 = 1000, 102 = 100, 101 = 10, 100 = 1, etcétera.
Los números racionales son todos los números que pueden escribirse como fracciones, es decir, como a/b, donde a y b son
números enteros y b debe ser diferente de cero; son números racionales: 2/3, 4/5, 5, 2.1, 0.3333…, etcétera. Nótese que los
números decimales son un subconjunto de los racionales.
LA PASTELERÍA
NÚMEROS RACIONALES
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 51
51
12/06/19 14:46
El único número irracional que los alumnos usan en su expresión con punto
decimal en la primaria y secundaria es el número π. Lo más común es que
aproximemos el valor de π con unas cuantas cifras decimales: 3.14 o 3.1416,
pero aunque agreguemos más cifras decimales no es posible expresar con
punto decimal el valor exacto de π, debido a que, por ser irracional, el número
de cifras decimales que tiene es infinito y no periódico; no obstante, para
efectos prácticos es suficiente considerar su valor con la aproximación 3.1416.9
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Continúa tu registro, reflexiona respecto a qué aportaciones te ofrecen los
textos para tu estudio de los números racionales.
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
En el siguiente desafío observarás que todos los números tienen un orden,
siempre podrás decir cuál es mayor o menor, también recordarás el valor
posicional después del punto decimal.
Debes tomar en cuenta que el metro es la unidad de medida.
Un grupo de amigos registró sus estaturas en la arena: Jacinto
1.59m, Karla 1.3m, Mónica 1.8m, Daniel 1.27m, Marcos 0.99m, Erick
1.30m y Alicia 1.6m. Ordena a los amigos según sus estaturas.
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Anota en tu RPA tus reflexiones y cómo lo resolviste, te sugerimos las
siguientes preguntas:
9
Los decimales infinitos con periodo, por ejemplo 0.1212121212… sí son racionales. Son irracionales cuando son infinitos y no
tienen periodo; otro ejemplo de número irracional es raíz cuadrada de 3, que aproximadamente es 1.7320508075688772935…,
la parte decimal continúa de manera infinita y sin periodo. El lector podrá explorar en una calculadora otros números
irracionales, como raíz cuadrada de 5, raíz cuadrada de 11, etcétera.
52
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 52
12/06/19 14:46
•
•
¿Qué tomaste en cuenta para ordenar las estaturas?
¿Qué significan las expresiones decimales como 0.4m?
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
En este desafío desarrollarás la habilidad para encontrar fracciones equivalentes, además de sumar partes de un entero, sigue descubriendo las
fracciones en tu comunidad.
En una mitad del huerto escolar se sembraron 2/3 partes de
lechugas y el resto de rábanos, en la otra mitad se sembraron 1/4
parte de zanahorias y el resto de espinacas. ¿Qué parte de la huerta
está sembrada de rábanos y qué parte está sembrada de espinacas?
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
•
•
•
•
Puedes dibujar el huerto para que tengas una idea más clara del
problema.
Escribe en tu RPA las operaciones y fracciones equivalentes que
encontraste.
¿Qué verdura cuenta con más espacio para sembrarla?
¿Encuentras la relación de los números racionales con la geometría?
Escríbela.
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
En el siguiente desafío es importante que identifiques el significado y uso
de los números negativos (así como hay enteros positivos y negativos,
también tenemos racionales positivos y negativos). También te ayudará
reflexionar respecto a la temperatura a la que están acostumbradas las
personas en cada lugar.
La siguiente tabla muestra las temperaturas mínimas extremas y promedio
del mes de enero de 2015.
LA PASTELERÍA
NÚMEROS RACIONALES
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 53
53
12/06/19 14:46
Estado10
T. Mín. (°C)
T. Media
Estado
T. Mín. (°C)
T. Media
Aguascalientes
-3.0
13.9
Morelos
1.5
19.9
Baja California
-7.0
16.0
Nayarit
9.5
24.0
-2.2
18.9
Nuevo León
-7.2
12.9
Campeche
4.1
23.5
Oaxaca
0.5
21.3
Chihuahua
-13.9
9.9
Puebla
-8.9
14.7
Chiapas
-0.2
21.8
Querétaro
1.0
14.9
Coahuila
-6.2
11.5
Quintana Roo
Colima
4.8
Baja California
Sur
10.2
24.0
24.9
Sinaloa
0
20.6
3.0
14.7
San Luis
Potosí
-1.4
14.9
Durango
-13.5
11.8
Sonora
-10
16.2
Guerrero
3.0
23.8
Tabasco
13.5
23.0
Guanajuato
-0.1
15.4
Tamaulipas
0
14.9
Hidalgo
-5.1
13.2
Tlaxcala
-3.0
12.3
Jalisco
-7.0
17.1
6.0
23.4
-5.4
12.9
Ciudad de
México
-2.0
18.0
Veracruz
Estado de
México
-5.8
11.8
Yucatán
Michoacán
-3.4
19.1
Zacatecas
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Describe tu estrategia para contestar las preguntas y tus reflexiones y
argumentos respecto al uso de los números racionales.
•
•
•
¿Qué estado alcanzó menor temperatura?
¿En cuál de los estados de la República mexicana la temperatura
mínima extrema fue más relevante?
¿Qué significa que haya temperaturas bajo cero?
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
Te compartimos los siguientes textos donde conocerás otro uso de los
números racionales. Escribe un ejemplo que practiques en tu comunidad
con estos temas.
10
Comisión Nacional del Agua, “Temperatura”, Reporte del clima en México, (Año 5, No. 1, 22, enero 2015). Cuadro adaptado con
fines educativos.
54
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 54
12/06/19 14:46
MONEDAS11
Ilustración: © Shutterstock.com
[Las denominaciones de monedas (en centavos) que son válidas para
realizar pagos son 5¢, 10¢, 20¢ y 50¢. Además de la unidad ($1 peso)
también se fabrican monedas de $2, $5, $10 y $20 pesos. Las monedas
en centavos se identifican claramente porque en la parte central de la
moneda, el número [de centavos que vale] como motivo principal y valor
facial, a su derecha el símbolo de centavos “¢”. “Al anverso y al centro,
tienen el Escudo Nacional en relieve escultórico, con la leyenda “Estados
Unidos Mexicanos”. [En el caso de las monedas a partir de $1 peso, todas
son bimetálicas constituidas por dos aleaciones, una para su parte central
y otra para su anillo perimétrico [e indican el número de pesos que vale
como motivo principal de la moneda], en la parte central a la izquierda
el símbolo “$”. [En el caso de las monedas de $5 pesos, también pueden
tener bustos, retratos ecuestres o escenas reconocidas de personajes de
la Independencia de México o la Revolución mexicana. Para la moneda
de $10 pesos, se acuñó una edición especial que tiene en el primer plano del
campo del reverso el retrato del general Ignacio Zaragoza; y, detrás de
él, una escena de la lucha entre mexicanos e invasores, con los fuertes
de Loreto y Guadalupe al fondo. Esta cara se completa con la leyenda alusiva
a la conmemoración “150 ANIVERSARIO DE LA BATALLA DE PUEBLA /
5 DE MAYO” (en dos líneas), los años “1862 y 2012”, la denominación $10
en número y la ceca de la Casa de Moneda de México (M°). [Por último,
11
Banco de México, “Monedas,” Banco de México, http://www.banxico.org.mx/billetes-y-monedas/informacion-general/
billetesy-monedas-de-fabricacion-actual/billetes-monedas-fabricacion-001.html Texto adaptado para fines educativos. (Fecha
de consulta: 25 de febrero de 2018).
LA PASTELERÍA
NÚMEROS RACIONALES
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 55
55
12/06/19 14:46
las monedas de $20 pesos son conmemorativas y se han acuñado para
conmemorar diversos hechos históricos de nuestro país como:
• Bicentenario Luctuoso del generalísimo José María Morelos y Pavón.
• Centenario de la Fuerza Aérea Mexicana.
• Centenario de la Toma de Zacatecas.
• Centenario de la Gesta Heroica de Veracruz].
DÓLAR ESTADOUNIDENSE12
Circulating coins are the coins that the United States Mint produces for
everyday transactions. Circulating coins are also included in the United
States Mint´s anual coin sets, which are the staples of coincollecting.
[The Lincoln Penny] was first issued in 2010 and is emblematic of Lincoln´s
preservation of the United States as a single and united country. If features a
union shield and scroll with the inscription ONE CENT.
[The five-cent coin] has featured, since 2006, the Thomas Jefferson likeness
based on a Rembrandt Peale portrait completed in 1800.
[The dime (ten-cent coin)] first appeared in 1946, soon after the death of
President Franklin Roosevelt. The Roosevelt dime was released on the late
president’s birthday, January 30. The dime is the smallest, thinnest coin in
use today.
[The quarter dollar (twenty-five-cent coin)] shows the familiar image of
President George Washington.
Kennedy Half-Dollars are circulating quality produced as collectibles, not
for everyday transactions. However, they may be still used as legal tender.18
The current Native American $1 Coin Program launched in 2009 and will be
issued, to the extent possible, in the chronological order in which the Native
Americans depicted lived or the events recognized occurred.
12
United States Mint, “What are Circulating Coins?” United States Mint, https://www.usmint.gov/mint_programs/
circulatingCoins/ Texto adaptado para fines educativos (Fecha de consulta: 27 de enero de 2018).
56
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 56
12/06/19 14:46
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Reflexiona sobre la información que encontraste en los textos anteriores.
•
¿Qué diferencias encontraste entre las denominaciones de las
monedas utilizadas en Estados Unidos y México?
¿Qué función tienen los números fraccionarios y decimales en el
contexto de las monedas?
•
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
En el siguiente desafío es importante que observes cuál es el entero de
referencia y qué sucede con la expansión decimal de los números; es decir,
cuando la expansión decimal tiene sentido respecto al contexto.
DENSIDAD DE POBLACIÓN13
En México, como en todo el mundo, la distribución de habitantes es desigual: existen regiones donde se concentra mucha gente y otras en donde
la población es poca; las ciudades están más densamente pobladas que las
comunidades rurales.
La relación entre un espacio determinado y el número de personas que lo
habitan se llama densidad de población, la cual se obtiene dividiendo el
número de personas que viven en un lugar específico entre el número de
kilómetros cuadrados que mide ese territorio.
Por ejemplo, para calcular la densidad de población de México:
Población total
112 336 538 habitantes
13
Densidad de
población
57 hab./km2
Extensión territorial
del país
1 959 248 km2
Instituto Nacional de Geografía y Estadística, “Densidad de población”, (México: Inegi), http://cuentame.inegi.org.mx/
poblacion/densidad.aspx?tema=P (Fecha de consulta: 30 de abril del 2018).
LA PASTELERÍA
NÚMEROS RACIONALES
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 57
57
12/06/19 14:46
Esto significa que en el 2010, si tuvieras que repartir a los habitantes del
país en todo el territorio nacional, habría 57 personas por cada kilómetro
cuadrado.
Clave
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
Entidad federativa
Aguascalientes
Baja California
Baja California Sur
Campeche
Coahuila de Zaragoza
Colima
Chiapas
Chihuahua
Distrito Federal(a)
Durango
Guanajuato
Guerrero
Hidalgo
Jalisco
Estado de México
Michoacán de Ocampo
Morelos
Nayarit
Nuevo León
Oaxaca
Puebla
Querétaro Arteaga
Quintana Roo
San Luis Potosí
Sinaloa
Sonora
Tabasco
Tamaulipas
Tlaxcala
Superficie km*
5 625
71 546
73 943
57 727
151 445
5 627
73 681
247 487
1 484
123 367
30 621
63 618
20 856
78 630
22 333
58 667
4 892
27 862
64 203
93 343
34 251
11 658
34 205(b)(c)
61 165
57 331
179 516
24 747
80 148
3 997
Población total
(2010)
1 184 996
3 155 070
637 026
822 441
2 748 391
650 555
4 796 580
3 406 465
8 851 080
1 632 934
5 486 372
3 388 768
2 665 018
7 350 682
15 175 862
4 351 037
1 777 227
1 084 979
4 653 458
3 801 962
5 779 829
1 827 937
1 325 578
2 585 518
2 767 761
2 662 480
2 238 603
3 268 554
1 169 936
58
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 58
12/06/19 14:46
30
31
32
Veracruz de Ignacio
de la Llave
Yucatán
Zacatecas
República Mexicana
71 856
7 643 194
39 671
75 416
1 955 577
1 490 668
1 959 248(d)
112 336 538
(a)El Distrito Federal está constituido por delegaciones
(b)No incluye la superficie de la isla Cozumel, la cual es de 498 Km2
(c)No incluye la superficie de Isla Mujeres, la cual es de 5 km2
(d)Considera solo la parte continental.
Fuente:*(1)INEGI. Marco Geoestadístico 2005.
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Tomando en cuenta los datos de la tabla y el estado en el que vives, calcula:
•
•
•
¿Cuál es su densidad de población?
¿Cuál es la densidad de población de cada estado por m2?
Compara con la entidad que tiene mayor densidad de población y
con la que tiene menor densidad de población.
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
Continúa tu registro de proceso de aprendizaje de los números racionales,
anota tus reflexiones respecto a qué significa la expresión decimal en el
contexto de las poblaciones.
COMPARTE LO APRENDIDO, MEJORA
Y COMPLETA TU REGISTRO
Prepara la información que deseas compartir con tus compañeros y
posteriormente registra cómo te fue. Para esto es necesario que recurras a
tu RPA e identifiques, con el apoyo de tu tutor, los aprendizajes que lograste
y quizás resaltes las estrategias que te llevaron a construir comprensiones
para la solución de cada desafío. Si es el caso recupera las dificultades
que no te permitieron avanzar durante el desarrollo del desafío. Una vez
LA PASTELERÍA
NÚMEROS RACIONALES
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 59
59
12/06/19 14:46
identificada esta información es importante que plantees los apoyos que
recibiste de tu tutor. Organiza la información para presentarla al grupo.
PARA SEGUIR APRENDIENDO
Fuentes consultadas
Ávila, Alicia y Silvia García. Los decimales: más que una escritura. México: INEE, 2008.
Banxico. Monedas. Banco de México. http://www.banxico.org.mx/billetes-ymonedas/
informacion-general/billetes-y-monedas-de-fabricacion-actual/ billetes-monedasfabricacion-001.html, 2016.
Conagua. “Temperatura” en Reporte del clima en México. Año 5, núm. 1. México: Conagua,
2015.
INEGI. Densidad de población. México: Inegi. http://cuentame.inegi.org.mx/ poblacion/
densidad.aspx?tema=P, 2016.
Us Mint. What are Circulating Coins? United States Mint. https://www.usmint.gov/ mint_
programs/circulatingCoins/, 2016.
Fuentes sugeridas
Conafe. Manual del Instructor Comunitario Nivel III. (Dialogar y Descubrir). México: Conafe,
2012.
_____ Matemáticas. Cuaderno de trabajo. Nivel III. (Dialogar y Descubrir). México: Conafe,
2012.
IEEPO. Educando Tv. Primaria 1° y 2° clase: 188. Tema: Problemas que implican repartir.
https://www.youtube.com/watch?v=BEFTq8IlxzM
_____ Primaria 3° y 4° clase. Tema: Fracciones para expresar reparto. https://www.
youtube.com/watch?v=MUWAPe0AVO8
_____ Primaria 3º Y 4º clase: 105. Tema: Fracciones equivalentes. https://www.youtube.
com/watch?v=Ceo5QjfHnEc
_____ Primaria 3º y 4º clase 121. Tema: Sumas y restas de fracciones. https://www.youtube.
com/watch?v=E6p07Y2Au1U
_____ Primaria 5º y 6º clase: 144 Tema: División de fracciones segunda sesión. https://
www.youtube.com/watch?v=PYitRmTW-98
_____ Primaria 5º y 6º clase: 52. Tema: Ubicación de fracciones y decimales en la recta
numérica I. https://www.youtube.com/watch?v=CsGUI_bEE2o
_____ Primaria 5º Y 6º clase: 54. Tema: Ubicación de fracciones y decimales en la recta
numérica II. https://www.youtube.com/watch?v=V0QajmPLEHk
60
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 60
12/06/19 14:46
_____ Secundaria clase 36. Tema: Solución de problemas que impliquen la multiplicación
de números decimales. https://www.youtube.com/watch?v=CVU0EWDLQtw
_____ Secundaria clase: 28. Tema: Problemas con número enteros, fraccionarios y
decimales. https://www.youtube.com/watch?v=-Ty4iHp6f0U
LA PASTELERÍA
NÚMEROS RACIONALES
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 61
61
12/06/19 14:46
62
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 62
12/06/19 14:46
Ilustración: © Shutterstock.com
POR ENÉSIMA VEZ
PATRONES Y PROGRESIONES
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 63
12/06/19 14:46
INTRODUCCIÓN
En esta unidad de aprendizaje revisaremos temas que nos permitirán
identificar elementos faltantes en una serie numérica y en una composición
con figuras geométricas. Veremos una cara divertida de las matemáticas
que nos permite jugar con las figuras planas y con los números como no es
común verlo en otros temas; además de que aprenderemos cómo emplear el
lenguaje algebraico para encontrar las claves para la resolución de problemas
que implican el uso de patrones numéricos.
PROPÓSITO GENERAL
Argumentar estrategias de solución para problemas que implican identificar la regularidad de progresiones en situaciones relacionadas con la vida
cotidiana.
PROPÓSITOS ESPECÍFICOS
•
•
•
Describiremos patrones a partir de regularidades en secuencias
sencillas de números, figuras simples y eventos de la vida cotidiana.
Argumentaremos estrategias de solución a problemas que implican
identificar la regularidad de progresiones aritméticas o geométricas,
simples y compuestas.
Formularemos expresiones algebraicas de primer y de segundo
grado para modelar progresiones aritméticas y geométricas de
situaciones del mundo real.
MAPA DE CONTENIDOS
PATRONES Y PROGRESIONES
Sucesiones
Regularidades
de secuencias
Progresión aritmética
Progresión geométrica
Progresión espacial
Series aritméticas
Series geométricas
Teselaciones
Regla general y de recurrencia
Expresiones algebraicas
Fractales
Enésimo término
64
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 64
12/06/19 14:46
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 65
3
4
5
6
7
8
9
Describes el patrón en sucesiones sencillas construidas con objetos o figuras simples.
Completas sucesiones de números naturales en forma ascendente o descendente.
Comunicas estrategias de solución a problemas que implican identificar la regularidad
de progresiones aritméticas.
Comunicas estrategias de solución a problemas que implican identificar la regularidad
de sucesiones compuestas.
Explicas estrategias de solución a problemas que implican identificar la regularidad de progresiones
aritméticas o geométricas.
Argumentas estrategias de solución a problemas que implican identificar la regularidad
de progresiones aritméticas o geométricas.
Obtienes la regla de recurrencia de una progresión a partir del razonamiento, comprensión
e interpretación de los elementos de la regularidad.
INTERMEDIO
10
11
POR ENÉSIMA VEZ
PATRONES Y PROGRESIONES
Ilustración: Ivanova Martínez Murillo
BÁSICO
Argumentas estrategias de solución de problemas para modelar situaciones del mundo real
que describen procesos progresivos.
2
Describes las regularidades en una secuencia sencilla a partir de interpretar cómo
se repite, crece y se ordena.
INICIAL
Formulas expresiones algebraicas de primer y de segundo grado para modelar progresiones
aritméticas y geométricas a partir de lo que has construido.
1
Construyes secuencias de eventos generalizados organizados espacial y temporalmente
a partir de una rutina.
Ilustración: Ivanova Martínez Murillo
TRAYECTO DE APRENDIZAJE
AVANZADO
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
Una secuencia es un conjunto de elementos (objetos) en la que podemos predecir
cuál es el siguiente, es decir, se ha establecido un orden.
65
12/06/19 14:46
Podemos construir secuencias con todo tipo de objetos, números, figuras
geométricas, animales, juguetes, etc.; sólo hay que fijarse en el orden que
lleva para poder determinar cuál es el siguiente.
Ilustración: © Shutterstock.com
El desafío consiste en completar cada una de las secuencias de la siguiente
imagen:
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Anota en tu cuaderno tus aprendizajes y dialoga con tu tutor.
• ¿Qué otras secuencias conoces?
• Forma una secuencia con los números del 1 al 10.
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
En varios lugares podemos observar mosaicos en los que se repiten
algunas figuras geométricas, algo que les da cierta belleza. En este
ejercicio aprenderemos cómo se pueden construir esos tipos de imágenes
con apoyo de algunos conocimientos sobre las figuras geométricas. Mira
los siguientes ejemplos de mosaicos en las que éstas se repiten:
66
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 66
12/06/19 14:46
Ilustraciones: © Shutterstock.com
Construye dos mosaicos, uno con figuras geométricas y el otro con
imágenes de arte que tú mismo diseñes. Dos condiciones: evitar
espacios vacíos entre las figuras y evitar que las figuras queden
sobrepuestas.
Para imaginar distintas posibilidades de acomodo de las figuras,
completa las siguientes series:
Ilustración: © Shutterstock.com
Ahora, puedes calcar las siguientes figuras y cortar muchas piezas
para tu primer mosaico. También puedes hacer otras figuras si las
necesitas.
POR ENÉSIMA VEZ
PATRONES Y PROGRESIONES
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 67
67
12/06/19 14:46
Ilustraciones: © Shutterstock.com
Una vez que hayas terminado tu mosaico, revisa la siguiente información:
TESELACIONES14
Se le llama teselado al patrón que se consigue cubriendo un espacio con
formas planas de manera que no quedan huecos entre ellas ni se sobreponen.
Se pueden crear distintas teselaciones según las figuras que emplees.
Una teselación se llama regular cuando el patrón está conformado con un
sólo tipo de figura plana.
Se llama teselación semi-regular al patrón que está formado por más de un
tipo de figuras planas.
En las teselaciones regulares y semi-regular se repite el patrón en todos los
vértices de las figuras. Para nombrar los patrones primero se ubica un vértice,
luego se identifican las figuras que se unen en ese vértice, se cuentan la cantidad
de lados de cada una y se anotan para nombrar la teselación. Por ejemplo:
14
New Mexico State University, Department of Mathematical Sciences. Disponible en https://www.math.nmsu.edu/~pmorandi/
math112f00/EscherRectangle.html (Fecha de consulta 9 de febrero de 2018)
68
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 68
12/06/19 14:46
3
Ilustración: © Shutterstock.com
3
3
3
3
3
En el vértice señalado con rojo se unen seis triángulos y cada uno tiene tres
lados, por lo que la teselación se nombra así: 3.3.3.3.3.3
También existen otro tipo de teselaciones en las que se emplean distintas figuras planas, están las demi-regulares, que están formadas por patrones regulares y semi-regular; y están los teselados irregulares, que están construidos con figuras planas regulares e irregulares ordenadas en círculos grandes.
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Con apoyo en la información que has leído, revisa tus mosaicos e identifica
lo siguiente:
•
•
¿Cuál es el patrón en cada uno de ellos?
¿Qué tipo de teselado son?
Compara con tus compañeros los teselados que hicieron y dibuja en tu
cuaderno el que te parezca más complicado, escribe el patrón que se
sigue en él y el tipo al que pertenece.
POR ENÉSIMA VEZ
PATRONES Y PROGRESIONES
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 69
69
12/06/19 14:46
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
Ahora, con apoyo del siguiente texto podrás realizar teselados más
complejos; juega con las distintas posibilidades que te presentan tu
imaginación y destreza.
A SIMPLE METHOD FOR CREATING TESSELLATIONS FROM
RECTANGLES15
In this assignment we will see one more method for finding tessellations. This
method works with any rectangle and is quite simple to use.
1. Cut out a rectangle out of an index card or poster board. You can
make it any size, but to be able to see the resulting tessellation, you
might want to make it no larger than 2 inches by 2 inches.
15
New Mexico State University, Department of Mathematical Sciences. Disponible en https://www.math.nmsu.edu/~pmorandi/
math112f00/EscherRectangle.html (Fecha de consulta 9 de febrero de 2018).
70
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 70
12/06/19 14:46
2. Draw a line from one side to the opposite side. Make it as simple or
as complicated as you wish.
3. Cut along the line you drew and interchange the pieces. Tape them
together.
Ilustraciones: Eva María Paz González
4. Draw another line on the resulting figure in a perpendicular
direction to the first line.
POR ENÉSIMA VEZ
PATRONES Y PROGRESIONES
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 71
71
12/06/19 14:46
5. Cut along the line you just drew and interchange the pieces. Tape
them together.
6. T
he resulting shape will tessellate the plane.
Ilustraciones: Eva María Paz González
7. Take a piece of paper, and trace repeatedly your figure in order to
tessellate part of the plane. You can form a pattern of four figures
by rotating one about a point three times to get a pattern like the
one below.
72
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 72
12/06/19 14:46
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Ahora es tiempo de que trabajes en la revisión de tu registro de proceso
de aprendizaje. Para ello da una lectura desde el principio y verifica que
cuenta con la descripción de las dificultades que has tenido en el proceso,
así como la descripción de los apoyos que recibiste y la forma en cómo
resolviste las dificultades; además, es importante que estén escritas las
reflexiones que has hecho sobre qué has aprendido y cómo lo has aprendido. Cuida que las ideas estén claramente escritas y con la ortografía
correcta.
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
En este desafío aprenderemos cómo identificar los patrones de crecimiento en una colección de objetos, que representan una cantidad que poco
a poco se va incrementando. Bienvenido a este nuevo reto y ánimo, que
juntos podemos aprender grandes cosas.
Erick está acomodando sus canicas, de manera que formen un
triángulo como se muestra en la tabla. Determina la cantidad de
canicas que tiene Erick si llegó hasta la figura 10, ¿cuántas canicas
necesitaría para formar la figura 100?
Figura 1
Figura 2
Figura 4
Figura 3
Figura 5
POR ENÉSIMA VEZ
PATRONES Y PROGRESIONES
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 73
73
12/06/19 14:46
Copia en tu cuaderno la siguiente tabla y con apoyo en ella, ve revisando
la imagen sobre cómo Erick acomodó sus canicas y escribe los datos
que faltan. Puedes apoyarte en algún material con el que cuentes para
representar lo que va haciendo Erick en cada una de las figuras o momentos.
Figura
Cuántas
canicas había
Figura 1
3
Cuántas canicas Cuántas canicas
se agregaron
hay en total
0
3
Figura 2
Figura 3
Figura 4
Figura 5
Ahora dibuja lo que está sucediendo con la forma cuadrada en la que
Erick acomoda las canicas; apóyate en la siguiente tabla, cópiala y llénala
en tu cuaderno:
Figura
Canicas
de largo
Canicas
de alto
Total
de canicas
Figura 1
2
1
2
Dibujo
74
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 74
12/06/19 14:46
Figura
Canicas
de largo
Canicas
de alto
Total
de canicas
Dibujo
Figura 2
Figura 3
Figura 4
Figura 5
POR ENÉSIMA VEZ
PATRONES Y PROGRESIONES
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 75
75
12/06/19 14:46
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Dialoga con tu tutor y contesta en tu cuaderno las siguientes preguntas:
•
•
•
•
¿Cómo saber cuántas canicas se van a agregar en la siguiente
figura?
¿Cómo saber cuántas canicas habrá en la siguiente figura?
¿En qué te ayuda saber cuántas canicas tiene de largo y de alto la
forma en la que Erick acomoda sus canicas?
¿Cómo saber cuántos cuadritos habrá en la siguiente figura?
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
En algunas ocasiones cuando contamos cosas, el orden en que están
acomodadas tiene importancia. De manera que necesitamos alguna regla
con la que podamos determinar el valor de cualquier elemento de esa
colección. A estas colecciones se les llama sucesiones, a cada elemento
de la sucesión se le llama término y se representan por x1, x2, x3… xn ={xn}
x1 es el primer término, x2 el segundo, xn es el enésimo término.
Ahora aprenderemos cómo nombrar algunos de los procesos y fenómenos
matemáticos que se emplean en esta unidad de aprendizaje, además de
que conoceremos cómo encontrar el patrón de crecimiento en una serie;
para ello, por favor lee el siguiente texto poniendo especial atención en las
palabras resaltadas.
PROGRESIONES MATEMÁTICAS16
Una progresión matemática es el conjunto de formas, figuras o números,
ordenado en una relación de diferencia entre ellos. A cada uno de los
miembros de una progresión se le llama término de la progresión.
16
Texto elaborado ex professo para esta UAA.
76
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 76
12/06/19 14:46
Una progresión matemática es progresión aritmética si a cada término de
la sucesión le sumamos un número fijo y obtenemos siempre el siguiente
término. A este número fijo se le llama diferencia y lo denotamos por d.
Ejemplo: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20…
Como podrás notar si a cada término le sumamos 3, se obtiene el siguiente:
En este caso d = 3
Si una sucesión es una progresión aritmética, tendrá que tener la forma
x1, x1 + d, x1 + 2d, x1 + 3d… entonces el enésimo término será xn = x1 + (n − 1)d
Si queremos obtener la regla general de una sucesión utilizamos la fórmula
an + b
donde a y b son constantes y n es el número del término que deseamos
obtener.
a es la diferencia entre un término y el anterior (es decir a es igual a la
diferencia)
En el ejemplo 5, 8, 11, 14, 17, 20, … a = 3
Hacemos n = 1 para encontrar el valor de b y sustituimos en la fórmula
3(1) + b = 2 y lo igualamos al primer término de la sucesión, en este caso 5.
Despejamos para obtener el valor de b
3+b=5
b=5–3
b=2
Ahora, si queremos saber qué número le corresponde al lugar 15 de la
sucesión, ya solo necesitamos sustituir los valores en la fórmula:
3(15) + 2 = 47
POR ENÉSIMA VEZ
PATRONES Y PROGRESIONES
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 77
77
12/06/19 14:46
El valor del término número 15 de la progresión será 47.
A una progresión se le llama progresión geométrica, si a cada término al
multiplicarlo por un número fijo, obtenemos el siguiente término. A este
número fijo se le llama razón y lo denotaremos por r.
Ejemplo: 2, 4, 8, 16, 32, … aquí r = 2
Si una sucesión es una progresión geométrica será de la forma:
x1, x1 r, x1 r2, x1 r3, … y el enésimo término será xn = x1 r(n-1)
Un patrón es la relación que existe entre los términos de una progresión
matemática, está relación puede ser de repetición o de recurrencia; un
patrón de repetición es aquel en dónde sus términos se repiten por periodos,
pueden obedecer a las siguientes formas: AB, AAB, AABB, ABC, etc.; un
patrón de recurrencia es cuando la relación entre los términos cambia pero
es a partir de la forma de la secuencia en la que se reconoce la regla que
sigue el patrón.
Para encontrar las reglas del patrón en una progresión se pueden seguir las
siguientes estrategias:
Primero recordemos la siguiente información que nos ayudará para
comprender las estrategias.
En una progresión matemática encontraremos distintas cifras ordenadas, a
cada una de las cifras se le llama término y cada uno ocupa un lugar en la
progresión; por ejemplo, en la progresión (3, 5, 7, 9, …) el término 7 ocupa el
tercer lugar en la progresión, por lo que es el tercer término; además, vemos
que termina con puntos suspensivos, lo que indica que continúa y puede ser
una progresión infinita.
A partir de ello pensemos en la regla que sigue el patrón en la secuencia o
progresión aritmética (3, 5, 7, 9, …). Primero observamos que empieza en
tres y va aumentando cada vez dos. Además vemos que termina con puntos
suspensivos, por lo que ese patrón se aplica continuamente al resto de
78
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 78
12/06/19 14:46
términos. Para encontrar la regla a esta progresión ordenemos los términos
en una tabla:
Lugar que se
ocupa en la serie
1
2
3
4
…
Término
Aumento en
relación con el
término anterior
3
5
7
9
2
2
2
2
Diferencia entre
el término y el
lugar que ocupa
en la serie
2
3
4
5
A partir de esta tabla, sabemos que el aumento entre los términos siempre
es de dos y que, de acuerdo con lugar que ocupa el término en la progresión,
siempre la diferencia es el mismo término más uno, por lo que el término se
obtiene multiplicando por dos el número del lugar que ocupa en la serie y
sumándole uno, como vemos en la siguiente tabla:
Regla: multiplicar el
Lugar que se ocupa en número del lugar que
la serie
ocupa por dos y sumar
uno al producto
1
1×2=2+1=
2
2×2=4+1=
3
3×2=6+1=
4
4×2=8+1=
…
Término
3
5
7
9
Sabemos que los puntos suspensivos significan que puede llegar al infinito
esa progresión, por lo que pondremos “n” para identificar que es el enésimo
lugar de la serie, y así construimos la fórmula para identificar el término que
corresponde a cualquier lugar de la progresión como: 2n + 1 = x
Estamos representando con x el valor del término desconocido para cualquier
lugar de la serie, es decir para el enésimo lugar, por lo que el valor de x
POR ENÉSIMA VEZ
PATRONES Y PROGRESIONES
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 79
79
12/06/19 14:46
siempre depende del lugar que ocupe en la serie; nuestra representación
del término estará completa hasta que escribamos el lugar del término en
la serie como sigue: xn; así, si queremos hablar del término que está en el
séptimo lugar, pondremos x7. xn es el término y n es la posición del término.
Nuestra fórmula correcta se escribe como sigue: xn = 2n + 1
En las sucesiones aritméticas en las que existe una constante en la diferencia
entre sus términos la fórmula es la misma, por ejemplo, en la siguiente
sucesión (3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, ...) la diferencia entre los términos es de
5 por lo que la fórmula o regla del patrón es xn = 5n − 2
En la siguiente sucesión geométrica un término se obtiene multiplicando
el anterior por un número fijo: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256... vemos que el
factor por el que se multiplican los términos de forma constante es el 2;
así construimos la fórmula como sigue: xn = 2n, lo que nos indica que, para
definir el término en su enésima posición, tendremos que elevar a la enésima
potencia el factor dos.
Algo similar sucede en la progresión 3, 9, 27, 81, 243, 729... en la que la regla
del patrón es xn = 3n, pues el factor constante entre un término y el anterior
es 3
En la siguiente sucesión 1, 4, 9, 16… podemos identificar que los términos
son los cuadrados de los números naturales, eso significa: 12 = 1, 22 = 4, 32 = 9,
42 = 16, … así podemos construir que la regla es xn = n2
En la sucesión 3, 5, 8, 13, 21, … encontramos que un término es la suma de los
dos que le anteceden, así 3 + 5 = 8, 5 + 8 = 13, y continúa. Por lo que la regla
se construye como sigue xn = xn-1 + xn-2
Lo que nos ayuda mucho, pues si buscamos el 6º término entonces sabemos
que n = 6 y sustituimos su valor en dónde aparece n; x6 = x6-1 + x6-2, que nos
da x6 = x5 + x4 ya sabemos que el cuarto término es 13 y el quinto término es
21, así que sumamos 13 + 21 = 34, x6 = 34
Los números triangulares son una sucesión de términos cuya disposición
revela la cantidad de puntos medios y vértices en triángulos que crecen
siguiendo un patrón, como el que se muestra en la siguiente imagen:
80
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 80
12/06/19 14:46
Así, vemos que se construye la siguiente progresión 1, 3, 6, 10, 15… en la que
el término se obtiene multiplicando por la suma del mismo término más uno,
y el producto se divide entre dos, se expresa la regla como sigue:
Xn=
n (n + 1)
2
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Con apoyo en la información anterior identifica cuál regla puedes aplicar al desafío
para identificar el patrón y verifica si la forma en cómo has construido tus operaciones
son congruentes con el apoyo teórico. Para organizar tus ideas te puedes apoyar de
las siguientes preguntas:
• ¿Cuál es la relación constante entre los términos? ¿Se suma o se multiplica?
• ¿Cuál es la relación entre el término y el lugar que ocupa en la progresión?
• ¿Cómo puedes representar la relación entre lo largo y lo alto del rectángulo
con el término?
POR ENÉSIMA VEZ
PATRONES Y PROGRESIONES
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 81
81
12/06/19 14:46
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
El siguiente texto nos comparte información sobre una progresión matemática que se emplea comúnmente para el diseño de obras artísticas.
El desafío es identificar la regla del patrón para construir dos cuadrados más que incrementen el tamaño de la espiral que se presenta
en el texto.
FIBONACCI SEQUENCE17
The Fibonacci sequence is a series of numbers where a number is found by
adding up the two numbers before it. Starting with 0 and 1, the sequence
goes 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, and so forth. Written as a rule, the expression
is xn = xn-1 + xn-2.
Fibonacci numbers do actually appear in nature, from sunflowers to hurricanes to galaxies.
Sunflowers seeds, for example, are arranged in a Fibonacci spiral, keeping
the seeds uniformly distributed no matter how large the seed head may be.
A Fibonacci spiral is a series of connected quarter-circles drawn inside an
array of squares with Fibonacci numbers for dimensions.
The squares fit perfectly together because of the nature of the sequence,
where the next number is equal to the sum of the two before it. Any two
successive Fibonacci numbers have a ratio very close to the Golden Ratio,
which is roughly 1.618034.
The larger the pair of Fibonacci numbers, the closer the approximation.
The spiral and resulting rectangle are known as the Golden Rectangle.
17
Natasha Glydon, “Music, Math, and Patterns”, Math Central, http://mathcentral.uregina.ca/beyond/articles/Music/music1.html
(Fecha de consulta: 16 de marzo de 2018).
82
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 82
12/06/19 14:46
The Golden Ratio is denoted by the Greek letter phi. Greek architects used
the ratio 1:phi as an integral part of their designs, including the Parthenon
in Athens. Though this was not consciously used by Greeks or artists, the
Golden Rectangle does appear in the Mona Lisa and other Renaissance art
works. Phi is also the ratio of the side of a regular pentagon to its diagonal.
The resulting pentagram forms a star, which is the star seen on many flags.
21
34
3
5
8
13
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
A partir de lo que has leído identifica la siguiente información:
• ¿Qué significan los números de la secuencia en la imagen?
• ¿Cómo se trazan los arcos que se muestran en la imagen?
• ¿Cuáles son los dos números que siguen en la secuencia de
Fibonacci?
• ¿En qué lados trazarás los nuevos cuadrados?
• ¿Cuánto medirán los lados de cada nuevo cuadrado?
POR ENÉSIMA VEZ
PATRONES Y PROGRESIONES
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 83
83
12/06/19 14:46
COMPARTE LO APRENDIDO, MEJORA
Y COMPLETA TU REGISTRO
Es tiempo de que, junto con el tutor, revises todo tu proceso de aprendizaje
sobre este tema; en esa revisión ve identificando qué es lo que aprendiste
sobre los temas nuevos, sobre cómo resolver las dificultades a las que te
enfrentaste y sobre aquello que te hizo sentirte muy bien con el trabajo
que estás haciendo. Luego, haz una lista de esos aprendizajes y selecciona qué
es lo que quieres compartir con tus compañeros. Junto con tu tutor planea
y ensaya la demostración para saber qué material es el más adecuado para
compartir lo que te interesa.
Después de la demostración completa tu registro con los comentarios de
tus compañeros. Si ya estás seguro de tus conocimientos logrados en esta
UAA, puedes comenzar a tutorarla.
PARA SEGUIR APRENDIENDO
Fuentes consultadas
Aguilar Márquez, A., F. Bravo Vázquez, H. Gallegos Ruíz, M. Cerón Villegas y R. Reyes
Figueroa. Aritmética y Álgebra. Cuarta edición. México: Pearson Educación, 2016.
Glydon, Natasha. “Music, Math, and Patterns” en Math Central. http://mathcentral.uregina.
ca/beyond/articles/Music/music1.html (Fecha de consulta: 16 de marzo de 2016).
Navarro Cuevas, Jaime. Progresiones aritméticas y geométricas. México: Limusa, 1980.
New Mexico State University. Department of Mathematical Sciences. https://www.math.
nmsu.edu/~pmorandi/math112f00/EscherRectangle.html (Fecha de consulta: 9 de
febrero de 2018).
Fuentes sugeridas
IEEPO. Educando Tv. Preescolar clase 121. Tema: Las secuencias. https://www.youtube.
com/watch?v=6R-4MPgYzJg
_____ Preescolar clase: 199. Tema: Secuencias y patrones. https://www.youtube.com/
watch?v=PpL9kpAEJ4o
_____ Primaria 1° y 2° clase 12. Tema: Sucesiones numéricas. https://www.youtube.com/
watch?v=Ajym0qoEXyU
84
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 84
12/06/19 14:46
_____ Primaria 1° y 2° clase 74. Tema: Sucesiones con distintas cantidades de figuras.
https://www.youtube.com/watch?v=xeOHMEDRbdk
_____ Primaria 1° y 2° clase 141. Tema: Sucesiones de figuras (primera sesión) https://www.
youtube.com/watch?v=MPekuwvo8S0
_____ Primaria 3º y 4º clase: 33. Tema: Sucesiones compuestas por números. https://www.
youtube.com/watch?v=jp688jXyQHQ
_____ Primaria 3° y 4° clase 55. Tema: Sucesiones ascendentes y descendentes. https://
www.youtube.com/watch?v=2D9EmSU-N3E
_____ Primaria 5º y 6º clase: 176. Tema: Regularidades en las sucesiones geométricas.
https://www.youtube.com/watch?v=ZhT8Lpbztt8
_____ Secundaria clase: 80. Tema: Obtención de la regla general de una sucesión con
progresión aritmética. https://www.youtube.com/watch?v=9ipaBxwlod8
_____ Secundaria clase: 90. Tema: Enésimo término de una sucesión. https://www.
youtube.com/watch?v=qlMy9Me33Tg
_____ Secundaria clase: 104. Tema: Sucesiones de números y figuras con progresión
aritmética y geométrica. https://www.youtube.com/watch?v=Th9vhqmAnoI
POR ENÉSIMA VEZ
PATRONES Y PROGRESIONES
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 85
85
12/06/19 14:46
86
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 86
12/06/19 14:46
Ilustración: © Shutterstock.com
EL LENGUAJE
DEL ÁLGEBRA
ECUACIONES
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 87
12/06/19 14:46
INTRODUCCIÓN
Muchos de los problemas que resolvemos con el álgebra se remontan a
épocas muy antiguas. Hay escritos de hace más de 4000 años en Egipto.
En ellos se encuentran problemas de cómo hallar un número que al sumarle
su séptima parte sea igual a 19; pero en ese tiempo no se conocían las
ecuaciones, ni los signos que usamos en la actualidad.
Varios teoremas que ahora se demuestran algebraicamente, se demostraron
por métodos geométricos, que resultaban en algunas ocasiones demasiado
laboriosos.
El matemático árabe llamado Al-Jwarizmi, (considerado como el padre del
álgebra) escribió un libro de matemáticas que contenía la palabra al-jabr,
que en español se traduciría como recomponer y de ahí surgió la palabra
“álgebra”. A él se debe que se utilice la letra x en las ecuaciones para
representar a la incógnita. Y es que hay situaciones en las que tenemos
que encontrar algún número perdido para lograr que las expresiones
algebraicas tengan lógica.
Asimismo, se ha dicho que el álgebra es la ciencia de las ecuaciones,
pero ¿qué significa la palabra ecuación? Bueno, es muy sencillo: igualdad.
Por eso, cualquier expresión matemática que te encuentres, y que tenga
un signo de igual a (=) es una ecuación. Por supuesto que las hay muy
sencillas, por ejemplo: ♦ ♦ ♦ = 3, porque es verdad que tres objetos juntos,
es igual al número 3. Y las hay un poco más sofisticadas, por ejemplo:
ax2 − bx + c = d, las cuales te proponen el reto de usar la lógica y encontrar
los números representados en letras y realizar las operaciones que se te
piden. Sin embargo, el principio es el mismo: satisfacer la igualdad.
Es decir, lo que se encuentra de cada lado de la igualdad tiene que ser lo
mismo, de lo contrario es una mentira, por ejemplo: ♦ ♦ ♦ = 5, es falso que
tres objetos sea igual al número 5.
También es importante considerar que las expresiones algebraicas formales
usualmente tienen letras en lugar de números. Esto es porque resulta más
sencillo establecer expresiones generales con diferentes tipos de números,
por ejemplo: a + b = c; que puede significar 2 + 2 = 4; o 3.5 + 3.5 = 7;
88
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 88
12/06/19 14:46
1
1
4
4
o
+
= .5 etc., sin embargo, cuando se nos oculta un número, al
conocer la expresión general, podemos identificar cómo ordenar los
números y operarlos.
Por otro lado, el álgebra es muy útil en la solución de problemas tanto
matemáticos (geométricos, de patrones y sucesiones, regla de tres, etc.)
como de la vida cotidiana (edades, ventas, construcción, etc.) y el reto
principal es plantearlos, es decir, escribir los enunciados y la expresión
algebraica. Básicamente, lo que haremos en esta UAA es encontrar
números perdidos que necesitamos conocer.
PROPÓSITO GENERAL
Reconocer situaciones problemáticas que impliquen la representación
algebraica en diferentes formas de ecuaciones lineales, sistemas de
ecuaciones y ecuaciones cuadráticas.
PROPÓSITOS ESPECÍFICOS
•
Representaremos algebraicamente problemas expresados en
enunciados donde se esconde un número utilizando los signos +, −,
= y números enteros positivos.
Representaremos algebraicamente problemas expresados en enunciados donde se esconde un número utilizando los signos +, −, ×, ÷,
= y números enteros (positivos y negativos) y racionales (positivos
y negativos).
Representaremos algebraicamente problemas que implican el desarrollo de ecuaciones lineales, sistema de ecuaciones y ecuaciones
cuadráticas.
•
•
MAPA DE CONTENIDOS
PROGRESIÓN ALGEBRAICA
Igualdad
Operaciones
Ecuaciones
lineales
Sistema de
ecuaciones
Ecuaciones
cuadráticas
Establecer
ecuaciones con
objetos y con
números
a+b=c
a–b=c
a (b) = c
a÷b=c
ax + b = cx + d
ax − b = cx + d
ax + by = n
cx + dy = m
ax2 − bx + c = d
EL LENGUAJE DEL ÁLGEBRA
ECUACIONES
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 89
89
12/06/19 14:46
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Estableces la igualdad entre objetos y la grafía de número.
Representas algebraicamente enunciados y encuentras el número desconocido en ecuaciones lineales de la
forma: a + b = ?; ? + b = c; y a + ? = c, donde a, b y c son números enteros positivos.
Representas algebraicamente enunciados y encuentras el número desconocido en ecuaciones lineales de la
forma: a − b = ?; ? − b = c; y a − ? = c, donde a, b y c son números enteros positivos.
Representas algebraicamente enunciados y encuentras el número desconocido en ecuaciones lineales de la
forma: a (b) = ?; (?) b = c; y a (?) = c, donde a, b y c son números enteros positivos.
Representas algebraicamente enunciados y encuentras el número desconocido en ecuaciones lineales de la
forma: a ÷ b = ?; ? ÷ b = c; y a ÷ ? = c, donde a, b y c son números enteros positivos.
Representas algebraicamente enunciados y encuentras el número desconocido en ecuaciones lineales,
donde a, b y c son números enteros y/o racionales positivos.
Representas algebraicamente enunciados y encuentras el número desconocido en ecuaciones lineales,
donde a, b y c son números enteros y/o racionales positivos y/o negativos.
Planteas algebraicamente enunciados y encuentras la incógnita en ecuaciones de la forma:
ax + b = cx + d donde a, b, c y d son números enteros y/o racionales positivos y/o negativos.
Planteas algebraicamente enunciados y estableces sistemas de ecuaciones de la forma: ax + by = n /
cx + dy = m, donde a, b, c y d son números enteros y/o racionales positivos y/o negativos.
Planteas algebraicamente enunciados y resuelves ecuaciones cuadráticas de la forma: ax2 − bx + c = d,
donde a, b, c y d son números enteros y/o racionales positivos y/o negativos.
INICIAL
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 90
BÁSICO
INTERMEDIO
Ilustración: Ivanova Martínez Murillo
1
Acomodas objetos en conjuntos, ordenándolos según alguna característica, como es: tamaño, longitud, forma.
Ilustración: Ivanova Martínez Murillo
TRAYECTO DE APRENDIZAJE
AVANZADO
90
12/06/19 14:46
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
Es importante conocer las características de los objetos que se nos
presentan, si son grandes o pequeños, la forma que tienen o el color, para
poder ordenarlos y sea más sencillo trabajar con ellos.
Ilustración: © Shutterstock.com
A los objetos que forman un conjunto se les llama elementos del conjunto.
Tu desafío consiste en acomodar las figuras de la imagen en diferentes
conjuntos. Ordénalos según la forma, es decir, que en un conjunto queden
todas las figuras que son de la misma forma.
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
•
•
•
•
•
Realiza en tu cuaderno los dibujos de los conjuntos que formaste.
¿Cuántos conjuntos formaste?
Si tuvieras que agruparlos por color, ¿cuántos conjuntos tendrías?
¿Cuántos elementos tiene cada conjunto?
Si hacemos dos conjuntos, uno en el que haya solo triángulos y
cuadrados y en el otro todas las figuras que sobran, ¿cuántos
elementos tendrá cada conjunto?
EL LENGUAJE DEL ÁLGEBRA
ECUACIONES
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 91
91
12/06/19 14:46
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
Cuando utilizamos letras para designar incógnitas, podemos escoger
cualquier letra, es costumbre que se utilice en los libros x o y, aunque
podemos utilizar cualquier letra del abecedario, así también podemos
tener expresiones algebraicas de la forma a + b, m – n, 2c + 5d. Tu desafío
es expresar algebraicamente el perímetro y el área de la figura. Usa las
letras que más te gusten.
Juan tiene un terreno rectangular con una medida de 6x + 3y de largo
y 2x + y de ancho y quiere poner una barda alrededor del terreno.
¿Cuál sería la longitud de la barda? Exprésalo algebraicamente.
¿Cuál es el área del terreno?
El siguiente texto es un apoyo para que puedas resolver el desafío.
ÁLGEBRA Y OPERACIONES BÁSICAS18
Una expresión algebraica es una combinación de números y literales que
representan cantidades mediante operaciones.
Un monomio es una expresión algebraica cuyas partes no están separadas
por signos de suma o resta.
Consta de coeficiente, base y exponente.
Monomio
3x2
7mn3
Coeficiente
3
7
Base
x
m, n
Exponente
2
3
Los coeficientes pueden ser números enteros, fracciones o decimales.
Un polinomio es una expresión algebraica que consta de varios monomios.
Ejemplo: a + b, 3a – 4b, a – b2 + 3c
18
Texto elaborado ex professo para esta UAA.
92
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 92
12/06/19 14:46
En las expresiones algebraicas las operaciones se efectúan en el orden
siguiente:
• Potencias y raíces
• Multiplicación y división (en este orden)
• Sumas y restas (no importa el orden)
Un término es semejante a otro cuando los mismos exponentes afectan a las
mismas bases.
Ejemplo: 7b, 4b, −8x2y, 6x2y, 3y3, 19y3
7b y 4b son términos semejantes ya que tienen los mismos exponentes y las
mismas bases.
−8x2y y 6x2y también son términos semejantes.
Para simplificar expresiones algebraicas reducimos términos semejantes,
para hacerlo, sumamos o restamos los coeficientes.
Ejemplo: 6x – 3y + z – 3x + y – 3z = 3x – 2y – 2z
Ilustración: © Shutterstock.com
Una de las ventajas del álgebra es la simplificación de expresiones con el
empleo de letras.
Así es más sencillo escribir por ejemplo a + b en lugar de “la suma de dos
números cualesquiera” o x2 + 2 en lugar de, “el cuadrado de un número
aumentado en dos”.
EL LENGUAJE DEL ÁLGEBRA
ECUACIONES
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 93
93
12/06/19 14:46
Una ecuación es una expresión en la que se indica la igualdad de dos números
o cantidades. Ejemplo: a + b = c
Despejar significa encontrar el valor de la incógnita.
El valor numérico de una expresión se obtiene al sustituir las letras por sus
valores numéricos y realizar las operaciones.
En la suma de polinomios escribimos uno seguido del otro y reducimos
términos semejantes.
Ejemplo: 3x3 + 6x2 − 3x + 2;
2x3 + 2x2 − x + 8 = 3x3 + 6x2 − 3x + 2 + 2x2 + 2x2 − x + 8 =
5x3 + 8x2 − 4x + 10
Para suprimir se emplean los signos de agrupación ( ), [ ], { }
Si antes tiene un + se quita (suprime) y lo que está dentro conserva el signo,
pero si antes del signo de agrupación hay un signo − (…), se quita y se cambia
el signo de cada una de las cantidades que se encuentran dentro.
Resta de polinomios: (4a – 5b + c) − (2a + 7b − 6c)
4a – 5b + c − 2a – 7b + 6c = 2a − 12b + 8 c
En la multiplicación de monomios, primero se multiplican los coeficientes y
después las bases.
Ejemplo: (3x2y3) (2x3y) = 6x5 y4
Al multiplicar polinomios por monomios, se multiplica cada término del
polinomio por el monomio.
Ejemplo: (3x2y) (− 5xy + 3z2 − 6x2y2) = −15x3y2 + 9x2z2 − 18x4y3
Al multiplicar polinomio por polinomio, se multiplica cada término del
primero por cada uno de los términos del segundo y después se reducen
términos semejantes.
Al dividir monomio entre monomio, primero se realiza la división de los
coeficientes y después se aplican las leyes de los exponentes para las bases.
94
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 94
12/06/19 14:46
Ejemplo: 8a3b2c ÷ 4a2bc = 2ab
Cuando dividimos polinomio entre monomio, se divide cada término del
polinomio entre el monomio.
Ejemplo: 2x4 − 6x3 + 18x2 ÷ x2 = 2x2 − 6x + 18
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Registra en tu cuaderno tus aprendizajes, apóyate en las siguientes
preguntas para que puedas describir mejor lo que aprendiste.
•
•
•
¿Cómo expresarías la frase “el doble de un número cualesquiera
más el cuadrado del mismo número” en lenguaje algebraico?
Si Juan divide su terreno a la mitad, ¿cuál sería el área de la mitad
del terreno?
Te sugerimos hacer el dibujo para comprender mejor el ejercicio.
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
En general, las expresiones algebraicas son utilizadas para resolver
problemas matemáticos de varios tipos. Por ejemplo, en este desafío
veremos la relación del álgebra con la geometría y tendremos que
encontrar el valor perdido de dos ángulos.
El desafío es plantear y solucionar la expresión algebraica del
siguiente enunciado:
En el cuadrilátero ABCD, el ángulo A mide 120°, el ángulo B mide
90° y el ángulo C es dos tercios del ángulo D. ¿Cuánto miden los
ángulos C y D?
EL LENGUAJE DEL ÁLGEBRA
ECUACIONES
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 95
95
12/06/19 14:46
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
•
•
Recuerda que, para un cuadrilátero, existe un axioma:19 la suma de
los ángulos interiores es igual a 360 °.
Te sugerimos hacer un dibujo para ejemplificar mejor el desafío y
puedas comprender mejor el enunciado.
Registra y analiza tu proceso de solución y describe qué conceptos o qué
información te fue de ayuda para encontrar la solución.
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
Otra de las bondades del álgebra es que, a partir de encontrar regularidades en algunos problemas, podemos plantear expresiones algebraicas
generales.
El desafío es dar una expresión algebraica para el número de diagonales
que inciden en cada vértice, según el número de lados.
En estos polígonos regulares, ¿cuántas diagonales inciden en cada vértice?
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 4
Figura 5
Figura 6
Triángulo
Cuadrado
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octágono
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Describe en tu cuaderno los aprendizajes nuevos y cómo fue que los
construiste. Apóyate de las siguientes preguntas:
19
ʼ
RAE. Del lat. axiōma, y este del gr. αξíωμα
axíōma. 1. m. Proposición tan clara y evidente que se admite sin demostración. 2. m.
Mat. Cada uno de los principios fundamentales e indemostrables sobre los que se construye una teoría.
96
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 96
12/06/19 14:46
•
•
•
¿Cómo se construye un polígono regular con un juego de geometría?
¿Qué significan los nombres de cada figura geométrica?
Te sugerimos trazar las figuras y sus diagonales para que puedas
darte cuenta de la relación de las diagonales y los vértices.
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
Podemos descubrir cómo el uso de expresiones algebraicas es útil también
en la vida cotidiana al realizar estimaciones en la venta de productos.
Como podrás darte cuenta tenemos un número perdido ¡Encuéntralo!
El desafío es plantear y solucionar la expresión algebraica del siguiente
enunciado:
Ilustración: © Shutterstock.com
Una granjera llevó huevos al mercado. Pensaba venderlos a 10
centavos cada uno. Como en el camino se le rompieron 6 huevos,
decidió vender los que le quedaban en 15 centavos cada uno.
Cuando regresó a su casa, se dio cuenta que había ganado 1 peso
más de lo que pensaba ganar. ¿Cuántos huevos llevaba al inicio?
EL LENGUAJE DEL ÁLGEBRA
ECUACIONES
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 97
97
12/06/19 14:46
El siguiente texto te apoya para la solución de este desafío:
WHAT MAKES AN EQUATION BEAUTIFUL20
By Kenneth Chang
The wonder of mathematics is that it captures precisely in a few symbols
what can only be described clumsily with many words. Those symbols,
strung together in meaningful
Readers of Physics World magazine recently were asked an interesting
question: Which equations are the greatest?
A half-dozen of respondents, including Richard Harrison, chose one of the
simplest possible equations.
Mr. Harrison wrote: “‘1 + 1 = 2’ is the fairy tale of mathematics, the first equation
I taught my son, the first expression of the miraculous power of the mind to
change the real world. I remember my son holding up the index finger, the
‘one finger,’ of each hand as he learned the expression, and the moment of
wonder, perhaps his first of true philosophical wonder, when he saw that the
two fingers, separated by his whole body, could be joined in a single concept
in his mind.”
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Elabora tu RPA y describe tu aprendizaje. Apóyate de las siguientes
preguntas:
•
•
20
¿Existe una sola forma de encontrar el número perdido?
¿Cuál es la expresión más simple de una ecuación?
enneth Chang, "What Makes an Equation Beautiful", The best of Physics, The New York Times, 24 de octubre de 2004,
K
http://www.nytimes.com/2004/10/24/weekinreview/what-makes-an-equation-beautiful.html
98
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 98
12/06/19 14:46
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
El desafío es expresar oraciones de lenguaje común en términos
algebraicos, esto nos sirve mucho para generalizar situaciones de la vida
diaria y darle una expresión algebraica, así, en vez de decir que tienes una
cierta cantidad de vacas y otra de conejos y otra de cada animal, puedes
asignar letras.
Ilustración: © Shutterstock.com
Larga fue la vida de Diofanto, cuya sexta parte constituyó su
hermosa infancia; su mentón cubrióse de vello después de otro
doceavo de su vida; la séptima parte de su vida transcurrió en un
matrimonio estéril; pasó un quinquenio más y le nació un hijo, cuya
vida sólo duró la mitad de la de su padre, que sólo sobrevivió cuatro
años a la de su amado hijo. ¿A qué edad murió Diofanto?
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Descubre y registra con detalle tu experiencia de aprendizaje con este
problema. No olvides asegurarte de que puedes dar cuenta de todo lo
aprendido.
•
•
¿Podrías plantear tu edad igual que Diofanto?
¿Qué son los sexenios, decenios o milenios?
EL LENGUAJE DEL ÁLGEBRA
ECUACIONES
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 99
99
12/06/19 14:46
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
Como ya se dijo anteriormente, las expresiones algebraicas se pueden
sumar, restar y hacer todo tipo de operaciones con ellas, para encontrar
el valor de la incógnita. En este desafío identifica la reducción de términos
semejantes en la expresión algebraica de la siguiente proposición:
¿Cuál es el área y el perímetro del triángulo cuyos lados están
dados por las expresiones x+3, x−4 y 2x−5?
El siguiente texto ofrece información que te puede ayudar en la tarea
de resolver ecuaciones. Identifica aquello que fortalece tus reflexiones
realizadas con el estudio de los problemas y también los elementos nuevos
que te ofrece el texto.
LENGUAJE ALGEBRAICO21
Una ecuación es una igualdad entre expresiones matemáticas que contiene
valores desconocidos, a estos valores desconocidos se les llama incógnitas.
2m + 4 = 36
21
5(3 − y) = −2y
Donde m, y y w son incógnitas.
15 = 7w2 − 15w
Texto elaborado ex professo para esta UAA.
100
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 100
12/06/19 14:46
Resolver una ecuación significa determinar el valor de la incógnita que
satisface la igualdad, es decir, que al sustituir el valor determinado en la
ecuación y realizar las operaciones correspondientes, se obtiene el mismo
valor en ambos lados de la igualdad. Para la ecuación 2m + 4 = 36, se puede
verificar que m = 16 cumple con la igualdad y que ningún otro número la
satisface.
Para determinar el valor de la incógnita es necesario despejarla, es decir,
dejarla sola en uno de los lados de la igualdad. Para despejar la incógnita es
importante realizar operaciones que permitan eliminar los números que le
“estorban” para quedarse sola. Las frases como “está sumando pasa restando”
son para memorizar y realizar el proceso de manera mecánica, lo cual ayuda a
realizar de manera rápida un despeje; sin embargo, las estrategias mecánicas
suelen descuidar aspectos específicos de la estructura de la ecuación, lo
que lleva al fracaso en su solución. Por ello es prioritario desarrollar y cuidar
cada paso del proceso de despeje de la incógnita y verificar la solución
de la ecuación y del problema. En el trabajo de despeje de la incógnita es
necesario tener en cuenta y respetar las propiedades de la igualdad:
•
•
•
•
Propiedad 1: Cuando se suma o resta un número a ambos lados de la
igualdad, la igualdad se mantiene.
Propiedad 2: Cuando se multiplica o divide por un mismo número,
distinto de cero, en ambos lados de la igualdad, la igualdad se
mantiene.
Propiedad 3: Cuando se eleva a una potencia distinta de cero ambos
miembros de la igualdad, la igualdad se mantiene.
Propiedad 4: Cuando se extrae la misma raíz, en ambos lados de la
igualdad, la igualdad se mantiene.
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Escribe en tu cuaderno cómo hiciste para resolver la ecuación que se pidió
en este desafío.
•
•
¿Cuál es la fórmula para el área y perímetro de un triángulo?
Si fuera otro tipo de triángulo, ¿cómo expresarías el área?
EL LENGUAJE DEL ÁLGEBRA
ECUACIONES
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 101
101
12/06/19 14:46
•
•
¿Te gustaría utilizar alguna letra en especial para representar
incógnitas?
En la expresión a2 + b2 = c2, ¿cómo despejas b2?
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
En ocasiones una sola ecuación lineal no basta para poder resolver el
problema que se nos presenta, es decir, es necesario plantear más de una
ecuación, para lo cual tendremos más de una incógnita. A esto se le llama
sistema de ecuaciones y puede ser de dos, tres o más incógnitas, y de la
misma manera dos, tres o más ecuaciones, según lo requiera el problema.
Existen diferentes métodos para resolverlos. Por eso, tu desafío es plantear
y solucionar la expresión algebraica del siguiente enunciado:
Ilustraciones: © Shutterstock.com
Un pequeño restaurante tiene un total de 8 mesas. Cuenta con
mesas para dos personas y con mesas para cuatro personas. Si el
restaurante tiene capacidad para un total de 24 personas sentadas,
¿cuántas mesas para dos personas hay en el restaurante y cuántas
para cuatro personas?
102
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 102
12/06/19 14:46
El siguiente texto es un apoyo para resolver el desafío.
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES22
Cuando tenemos un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas hay
varios métodos para resolverlo, este se llama “reducción o suma y resta”.
Consiste en multiplicar las ecuaciones por algún número de tal manera que
al sumar las ecuaciones que resultan, se elimine alguna de las variables, para
obtener una ecuación de una incógnita y resolverla (como en el ejercicio
anterior) para después sustituirla en alguna de las ecuaciones originales y así
obtener el valor de la otra incógnita.
Ejemplo:
3x − 2y = 0
x − y = −1
Primero se elige la variable a eliminar, tomaremos x, para esto necesitamos
que los coeficientes de x de cada ecuación sean iguales y de distinto signo.
Se multiplica la segunda ecuación por −3.
3x − 2y = 0
x − y = −1
3x − 2y = 0
−3x + 3y = 3
Al hacer la suma de las ecuaciones nos queda y = 3
El valor de y = 3 se sustituye en cualquiera de las ecuaciones originales para
obtener el valor de x.
x − 3 = −1
x=2
Se puede comprobar el resultado sustituyendo los valores obtenidos en la
otra ecuación.
22
Texto elaborado ex professo para esta UAA.
EL LENGUAJE DEL ÁLGEBRA
ECUACIONES
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 103
103
12/06/19 14:46
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
•
•
•
Reflexiona respecto a cuándo se requiere utilizar más de una ecuación
para resolver un problema y anota tus reflexiones y argumentos.
Investiga otros métodos que te pueden ayudar cuando tienes dos
ecuaciones o más de una misma situación problemática y anota tus
aprendizajes.
Con otro método resuelve la siguiente situación:
Don José tiene en su granja vacas y gallinas, entre todos los
animales tiene 35 cabezas y 110 patas, ¿cuántas vacas y cuántas
gallinas tiene don José?
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
En ocasiones con una ecuación de primer grado no es posible resolver un
problema, como cuando calculamos áreas de figuras, por eso necesitamos
aprender a plantear y resolver ecuaciones de segundo grado, para las
cuales existen diferentes métodos que nos hacen más sencillo resolverlas.
Así, este desafío consiste en plantear ecuaciones de segundo grado y
conocer algunos métodos para resolverlas.
Ana tiene un cuadrado de papel y recorta de él una tira de 2cm de
ancho. El área de la parte más grande es de 63cm2. ¿Cuánto mide
de lado el cuadrado?
El siguiente texto te ayudará a resolver el desafío.
PRODUCTOS NOTABLES23
El cuadrado de un binomio es el desarrollo de la suma de dos cantidades
al cuadrado. El resultado es el cuadrado del primer término, más el doble
23
Texto elaborado ex professo para esta UAA.
104
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 104
12/06/19 14:46
Ilustración: © Shutterstock.com
producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo
término.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 − 2ab + b2
A la expresión resultante se le conoce como: trinomio cuadrado perfecto.
Los binomios conjugados son de la forma (a + b) (a − b) = a2 − b2
Al resultado se le llama, diferencia de cuadrados.
Los binomios con término común son de la forma:
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab
Su desarrollo es el cuadrado del término común, más la suma de los términos
no comunes por el término común, más el producto de los no comunes.
Ejemplo:
(x + 5) (x + 3) = x2 + 3x + 5x + 15
= x 2 + (3 + 5)x + 15
= x 2 + 8x + 15
Estas expresiones algebraicas se usan para resolver multiplicaciones de
polinomios, cuando se cumplen las características de los factores que
permitan aplicar las reglas de los productos notables.
EL LENGUAJE DEL ÁLGEBRA
ECUACIONES
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 105
105
12/06/19 14:46
Factorización
Un factor común es la expresión común que tienen todos los términos de
una expresión algebraica.
Para encontrar un factor común se toma la letra que se repite en todos los
términos y que es la de menor exponente, y cada uno de los términos se
divide entre el factor común. Ejemplo: Si tenemos que factorizar:
16a6b7c – 12a5b2c3 + 20a3b10
buscamos un factor común de los coeficientes, es decir, el m.c.d. y el factor
común de las literales (letras).
m.c.d. (16, 12, 20) = 4
Factor común literal a3b2
Se realiza la división de las literales, término a término.
(a6 b7 c)
= a3b5c,
(a3 b2)
(a5 b2 c3)
= a2c3
(a3 b2)
(a3 b10)
= b8
(a3 b2)
La factorización queda de la siguiente forma:
4a3b2 (4a3b5c − 3a2c3 + 5b8)
La factorización de la diferencia de cuadrados son los binomios conjugados.
a2 − b2 = (a + b) (a – b)
Para factorizar el trinomio de la forma x2 + bx + c, se extrae la raíz del término
cuadrático y se coloca en ambos factores: (x) (x).
Se buscan dos números que su producto sea igual al tercer término y la
suma sea igual al segundo término, y se coloca en los factores.
Ejemplo: x2 + 3x + 2 = (x + 2) (x + 1)
(2) (1) = 2
2+1=3
Trinomio de la forma ax2 + bx + c
Ejemplo: 5m2 + 13m – 6
106
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 106
12/06/19 14:46
Se multiplica el coeficiente del primer término por el tercer término (5)(−6) = − 30
Se buscan dos números que multiplicados den –30 y sumados 13
Los números serían 15 y –2 y factorizamos:
5x2 + 13x + 5 = 5x2 + 15x − 2x − 6
= 5x2 + 15x − 2x − 6
= 5x (x + 3) + (−2) (x + 3)
= (5x − 2) (x + 3)
Ecuación de segundo grado
Es una ecuación cuya expresión reducida es de la forma ax2 + bx + c donde
a, b y c son números reales y a ≠ 0
Hay varios casos para resolverlas.
Caso 1
2x2 + 15 = 65
2x2 = 65 − 15
2x2 = 50
x2 = 50 ÷ 2 = 25
x = ± 25
x2 = 5 y x2 = −5 ya que (5)(5) = 25
(−5)(−5) = 25
Caso 2
x2 − 7x + 12 = 0
Factorizamos como ya vimos anteriormente.
(x − 4) (x − 3) = 0
El producto de dos factores solo puede ser cero, si al menos uno de los dos
factores es cero.
Tomamos
x−4=0
x=4
y
x−3=0
x=3
Para comprobarlo sustituimos los valores que obtuvimos en la ecuación original.
EL LENGUAJE DEL ÁLGEBRA
ECUACIONES
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 107
107
12/06/19 14:46
Caso 3
Completar la ecuación y factorizar.
2x2 − 3x = 9
x2 −
3
9
x=
divido entre 2 para dejar el término cuadrático con coeficiente 1
2
2
para reducir la ecuación a la forma x2 + 2ax = b
Hay que dividir el coeficiente del segundo término entre 2 y elevar al cuadrado
( 21 ) ( 32 ) = 34
x2 −
elevando al cuadrado
( 34 ) = 169
2
3
9 9 9
81
x+ = +
se agrega en ambos lados de la igualdad =
2
16 2
16
16
Factorizar el trinomio cuadrado perfecto
(x −
3 2 81
)=
4
16
Extraer raíz cuadrada en ambos lados
x−
3
9
=±
4
4
despejar x.
x1 =
9 3
+
4 4
x1 = 3
x1 = −
x1 = −
9 3
+
4 4
3
2
Éstas son las soluciones de la ecuación, para verificar solo hay que sustituir
cada una de las soluciones en la ecuación original y ver que sí se cumplan.
108
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 108
12/06/19 14:46
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Te sugerimos realizar el dibujo en tu cuaderno para entender mejor el
enunciado.
•
¿Sabes si hay algún otro método que resuelva todo tipo de
ecuaciones de segundo grado? Investiga.
COMPARTE LO APRENDIDO, MEJORA
Y COMPLETA TU REGISTRO
Es tiempo de que, junto con el tutor, revisen todo tu proceso de aprendizaje
sobre este tema; en esa revisión vayan identificando qué es lo que
aprendiste sobre los temas nuevos, sobre cómo resolver las dificultades
a las que te enfrentaste y sobre aquello que te hizo sentirte muy bien con
el trabajo que estás haciendo. Luego, haz una lista de esos aprendizajes
y selecciona qué es lo que quieres compartir con tus compañeros. Junto
con tu tutor planea y ensaya la demostración para saber qué material es el
más adecuado para compartir lo que te interesa.
PARA SEGUIR APRENDIENDO
Fuentes consultadas
Aguilar Márquez, A., F. Bravo Vázquez, H. Gallegos Ruíz, M. Cerón Villegas y R. Reyes
Figueroa. Aritmética y álgebra. Cuarta edición. México: Pearson Educación, 2016.
Conafe. “Ecuaciones cuadráticas” en UAI, Tercer grado, Bloque 2. 64-67. México: Conafe.
_____ “Ecuaciones cuadráticas” en UAI, Tercer grado, Bloque 3. 58-67. México: Conafe.
_____ “Ecuaciones de primer grado” en UAI, Primer grado, Bloque 3. 66-70. México: Conafe.
_____ “Ecuaciones de primer grado” en UAI, Segundo grado, Bloque 4. 66-76. México:
Conafe.
_____ “Operaciones con expresiones algebraicas” en UAI, Segundo grado, Bloque 3. 6480. México: Conafe.
EL LENGUAJE DEL ÁLGEBRA
ECUACIONES
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 109
109
12/06/19 14:46
_____ “Operaciones con expresiones algebraicas”, en UAI, Segundo grado, Bloque 2. 5660. México: Conafe.
_____ “Sistemas de ecuaciones lineales” en UAI, Segundo grado, Bloque 5. 50-59. México:
Conafe.
Dávila Rascón, Guillermo. El desarrollo del álgebra moderna. Apuntes de Historia de las
Matemáticas. Núm. 1, vol. 2, enero de 2003. www.mat.uson.mx/depto/ publicaciones/
apuntes/pdf/2-1-4-algebra.pdf (Fecha de consulta: 25 de enero de 2016).
Godino, Juan y Vicenç Font. Didáctica de las matemáticas para maestros. Departamento
de Didáctica de la Matemática. Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad
de Granada. Granada, 2013.
Star, J. R., Caronongan, et al. Teaching strategies for improving algebra knowledge in
middle and high school students. https://ies.ed.gov/ncee/wwc/Docs/PracticeGuide/
wwc_algebra_040715.pdf (Fecha de consulta: 6 de marzo de 2018).
Universidad de Chile. Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas. Centro de Modelamiento
Matemático. Fragmento tomado de Expresiones algebraicas. http://www.rua.unam.mx/
portal/recursos/ficha/21028/expresiones-algebraicas (Fecha de consulta: 12 de marzo de
2018).
Wentworth, Jorge y David Smith. “Serie matemática Wentworth y Smith” en Elementos de
álgebra. 1945.
Fuentes sugeridas
IEEPO. Educando Tv. Preescolar clase 62, Tema: Discriminación de objetos https://www.
youtube.com/watch?v=MY56xhla6Ns
_____ Primaria 1° y 2° clase 4, Tema: Construcción de colecciones para la resolución de
problemas. https://www.youtube.com/watch?v=ThCNDEU9bkg
_____ Primaria 1° y 2° clase 6, Tema: Construcción de colecciones para la resolución de
problemas. https://www.youtube.com/watch?v=zS_R6fC7xw4
_____ Secundaria clase 12, Tema: Patrones y ecuaciones. https://www.youtube.com/
watch?v=tN1rVTsSpBA
_____ Secundaria clase 6, Tema: Patrones y ecuaciones. https://www.youtube.com/
watch?v=gqIzaP_qTfE
_____ Secundaria clase 60, Tema: Sistema de ecuaciones lineales. https://www.youtube.
com/watch?v=hh5xhl5v0Ko
_____ Secundaria clase: 147, Tema: Formulación de problemas para ecuaciones lineales
cuadráticas. https://www.youtube.com/watch?v=4EW3PSKgcxA
_____ Secundaria clase: 170, Tema: Sentido numérico y pensamiento algebraico. https://
www.youtube.com/watch?v=qtv918NvJYc
_____ Secundaria clase: 25 Tema: Lenguaje algebraico. https://www.youtube.com/
watch?v=bBok1kZfZB4
_____ Secundaria clase: 30, Tema: Operaciones básicas algebraicas. Suma de monomios y
polinomios. https://www.youtube.com/watch?v=hAcZ43GHc64
_____ Secundaria clase: 40, Tema: Operaciones algebraicas. Resta de monomios y
polinomios. https://www.youtube.com/watch?v=a4XchvTqkAw
_____ Secundaria clase: 47, Tema: Multiplicación de monomios y polinomios. https://www.
youtube.com/watch?v=jjzPDTEmW_o
110
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 110
12/06/19 14:46
_____ Secundaria clase: 49, Tema: División de monomios y polinomios. https://www.
youtube.com/watch?v=-8LsWfYleWY
_____ Secundaria clase: 58, Tema: Ecuaciones de primer grado. https://www.youtube.com/
watch?v=0JN8N0_OTmM
_____ Secundaria clase: 86, Tema: Ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b.
https://www.youtube.com/watch?v=DS9RbkB2UCo
_____ Secundaria clase: 92, Tema: Ecuaciones de primer grado de la forma ax = b.
https://www.youtube.com/watch?v=r6tZ-xPIntc
_____ Secundaria clase: 98, Tema: Ecuaciones de primer grado de la forma ax + b = c.
https://www.youtube.com/watch?v=CAi99jeEHmc
EL LENGUAJE DEL ÁLGEBRA
ECUACIONES
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 111
111
12/06/19 14:46
112
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 112
12/06/19 14:46
Ilustración: © Shutterstock.com
INGENIO Y FIGURA...
FORMAS GEOMÉTRICAS
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 113
12/06/19 14:46
INTRODUCCIÓN
Con la necesidad que tiene el hombre de medir todo lo que hay a su
alrededor, surgieron los primeros problemas geométricos, como medir
sus propiedades, extensiones de tierra, construir sus casas y todo lo que
necesitaban. Así el hombre buscó reglas y fórmulas que pudieran ayudarle
a resolver sus problemas de una manera más sencilla.
Algunas civilizaciones antiguas como los asirios, babilonios, egipcios y
griegos, tenían nociones sobre geometría e hicieron grandes avances en
ella, como los griegos. Los asirios y babilonios, por su parte, conocían
el área de varias figuras rectángulos, triángulos y trapecios, así como el
volumen de prismas rectos y pirámides de base cuadrada, tenían nociones
de semejanza de triángulos. Los egipcios conocían también reglas para
obtener el área de figuras planas y volumen de algunos poliedros.
Ilustración: © Shutterstock.com
Entre los griegos, Tales de Mileto introdujo la geometría, se le atribuye el
uso de la circunferencia para la medida de los ángulos, también la teoría de
semejanza de triángulos. La escuela pitagórica se ocupó del estudio de la
aritmética y geometría, de aquí destaca el teorema de Pitágoras. Euclides
publicó muchas obras matemáticas, entre ellas está los Elementos de
Geometría, que ha sido traducida a todos los idiomas. Arquímedes y
Apolonio contribuyeron al apogeo de la geometría antigua, con varias
de sus obras: De la Medida del círculo, De la Esfera y del Cilindro, de
Arquímedes, entre muchas otras, y Tratado de las cónicas por Apolonio.
114
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 114
12/06/19 14:46
Los griegos hicieron muchos avances en esta área que hoy en día aún
utilizamos y son la base de la geometría actual.
En la vida cotidiana usamos objetos que tienen una forma geométrica,
como una mesa rectangular, una cubeta cilíndrica o un lápiz con forma
de prisma hexagonal terminado en una punta cónica. En cada uno de
estos ejemplos, la forma del objeto parece contribuir en alguna medida
a la función que desempeña.
Además de tener una influencia sobre la función de los objetos
que utilizamos cotidianamente, las formas geométricas tienen una
aplicación ornamental. Por ejemplo, los platos en los que comemos a
menudo tienen decoraciones que los embellecen, lo mismo que algunas
prendas de ropa y accesorios, como aretes y collares. Los artesanos
utilizan nociones geométricas para lograr que sus creaciones se vean
más bonitas.
Además de utilizar formas geométricas con fines prácticos y
ornamentales, las personas de todas las épocas y todas las culturas han
encontrado fascinante profundizar en la comprensión de las figuras que
observan. Esto ha dado lugar a la ciencia de la geometría, la cual estudia
propiedades de las formas, tales como su medida (área y perímetro),
el número de sus elementos (vértices, aristas, caras), su simetría y su
clasificación de acuerdo con sus características y propiedades.
PROPÓSITO GENERAL
Visualizar y hacer predicciones sobre figuras y objetos geométricos
a partir de sus características y propiedades para comprobar
razonamientos lógicos con figuras presentes en la vida cotidiana y en
figuras creadas en papel.
PROPÓSITOS ESPECÍFICOS
•
Analizaremos las características y propiedades de las formas
geométricas (planas y sólidas) a partir de la observación,
exploración y descripción.
INGENIO Y FIGURA…
FORMAS GEOMÉTRICAS
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 115
115
12/06/19 14:46
•
•
Desarrollaremos razonamientos matemáticos acerca de relaciones
geométricas para representar, construir y clasificar formas
geométricas planas y sólidas.
Argumentaremos nuevas propiedades de las formas geométricas
mediante procesos deductivos al desarrollar y comprobar hipótesis
tomando en cuenta algunos datos históricos sobre el estudio de la
geometría.
MAPA DE CONTENIDOS
FIGURAS GEOMÉTRICAS
Bidimensionales (planas)
Tridimensionales (sólidas)
Características: lados, caras, vértices, aristas y ángulos
Propiedades: suma de ángulos, ejes de simetría, área, perímetro, diagonales
Clasificación de acuerdo con sus características y propiedades: triángulos,
cuadriláteros, cilindros, prismas, poliedros, etc.
Observación, construcción, razonamiento visual-espacial y deductivo,
argumentación de propiedades y relaciones de formas geométricas
116
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 116
12/06/19 14:46
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 117
3
4
5
6
7
8
9
Identificas características y propiedades de figuras bi- y tridimensionales, tales como su
número de lados, vértices, caras, y las medidas de sus lados, ángulos y caras.
Construyes, usando materiales a tu alcance, figuras bi- y tridimensionales
que comparten ciertas propiedades.
Creas distintas clases de figuras bi- y tridimensionales a partir del análisis de sus
propiedades geométricas.
Creas definiciones precisas para clases de figuras bi- y tridimensionales, y explicas la
relación entre clases distintas.
Imaginas y describes el efecto de aplicar transformaciones geométricas (como giros,
movimientos, y cortes) a figuras bi- y tridimensionales.
Identificas simetría y la aplicas en la resolución de problemas.
Aprecias el desarrollo histórico del estudio de la geometría y su contribución en campos
del desarrollo humano distintos de las matemáticas.
INTERMEDIO
10
11
INGENIO Y FIGURA…
FORMAS GEOMÉTRICAS
Ilustración: Ivanova Martínez Murillo
BÁSICO
Desarrollas razonamientos lógicos para justificar por qué son verdaderas
las hipótesis que has planteado.
2
Aplicas imaginación geométrica (la capacidad de “ver” en tu mente las figuras) para
resolver problemas.
INICIAL
Desarrollas hipótesis acerca de las propiedades de figuras bi- y tridimensionales y las
pones a prueba de forma constructiva (es decir, usando material concreto).
1
Reconoces, nombras, juegas y agrupas figuras de diferentes materiales a tu alcance.
Ilustración: Ivanova Martínez Murillo
TRAYECTO DE APRENDIZAJE
AVANZADO
117
12/06/19 14:46
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
En todo lo que hay a nuestro alrededor encontramos figuras geométricas,
existen objetos que tienen su forma basada en dichas formas.
El desafío consiste en reconocer las figuras geométricas de las que están
formadas las siguientes figuras de las imágenes.
¿Cuántas figuras forman la casa?
¿Cuántas figuras forman el coche?
¿Cómo se llaman las figuras geométricas que forman la casa y
el coche?
Ilustraciones: © Shutterstock.com
•
•
•
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Anota tus avances en tu cuaderno.
Busca dentro de tu casa o de tu comunidad otras figuras geométricas que
puedas reconocer de objetos que utilices a diario.
Investiga los nombres de otras figuras geométricas que sean diferentes a
los de las imágenes con las que ya trabajaste. Describe sus características.
Escribe cómo se llaman y, si te es posible reconocer cuántos lados tienen,
anota el número de lados.
118
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 118
12/06/19 14:46
•
•
•
•
¿Qué relación tienen los juguetes con las figuras geométricas?
¿Qué juguetes tienes en casa?
¿Cuáles son tus juguetes preferidos?
¿Puedes identificar algunos con formas geométricas?
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
Ilustración: © Shutterstock.com
El tangram es un rompecabezas que consta de 7 piezas llamadas tans,
las cuales son figuras geométricas simples: cinco triángulos, un cuadrado
y un paralelogramo. Usando la plantilla de abajo, construye tu juego de
tans con papel grueso o cartón. Para jugar con los tans se debe seguir la
siguiente regla: usar todos sin que se traslapen o encimen, pegándolos
por sus lados. La variedad posible es enorme, existen miles de figuras que
otras personas han inventado.
Con el tangram se pueden también formar figuras geométricas sencillas,
como el cuadrado, el triángulo isósceles, el paralelogramo, etc.
INGENIO Y FIGURA…
FORMAS GEOMÉTRICAS
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 119
119
12/06/19 14:46
Ilustración: © Shutterstock.com
El desafío que te proponemos es el siguiente: arma todos los
cuadriláteros mostrados abajo empleando las figuras del tangram.
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Anota en tu registro todas las posibilidades que encontraste para armar
cuadriláteros, así como los tipos de figuras que empleaste. A partir del
ejercicio escribe qué características y propiedades infieres que tienen los
cuadriláteros y los nombres que reciben las figuras, de acuerdo con el
tamaño de sus lados y ángulos. No olvides también registrar todas las
dificultades que tuviste al armar las figuras.
Platica con el tutor sobre tus hallazgos; si les son útiles pueden emplear
las siguientes preguntas de reflexión o bien otras que ustedes consideren
para que amplíes tu reflexión, análisis y conclusiones en tu RPA.
•
•
•
•
¿Cuáles figuras te resultaron más difíciles? ¿Por qué?
¿Qué estrategia o estrategias empleaste para armar las figuras?
¿De cuántas maneras diferentes se puede armar cada figura?
Menciona otras figuras de cuatro lados que se pueden armar usando el tangram.
120
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 120
12/06/19 14:46
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
Todos hemos jugado con dados alguna vez. Aunque no tenemos la certeza
de ganar —pues de eso se trata un juego de azar— todos los jugadores
confiamos en tener la misma oportunidad de que “la suerte nos sonría”.
En otras palabras, sabemos que todas las caras del dado tienen la misma
probabilidad de caer hacia arriba. ¿Cómo sabemos esto?
Además del dado usual, que tiene forma de cubo, construye otras
figuras que al lanzarlas al aire tengan la misma probabilidad de caer
con cualquier cara hacia arriba (o hacia abajo).
Una pista: El dado común está formado exclusivamente de cuadrados.
Para encontrar otras figuras que funcionen como dados, quizá sea
necesario utilizar figuras distintas del cuadrado. Tendrás que imaginar
estos “dados alternativos” en tu mente y construirlos usando cartulina,
cartón, papel cascarón o cualquier material que tengas a la mano.
Ilustración: © Shutterstock.com
Para ayudarte en el proceso de construir los “dados alternativos”, considera
las siguientes preguntas:
• ¿Qué características geométricas tiene el dado?
• ¿Cuántas caras se unen en cada vértice?
• Explica ¿por qué las características geométricas del dado influyen
en el hecho de que cada cara tenga la misma probabilidad de caer
hacia arriba?
INGENIO Y FIGURA…
FORMAS GEOMÉTRICAS
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 121
121
12/06/19 14:46
•
¿Qué otro cuerpo se te ocurre que tenga 6 caras? ¿Ese otro cuerpo
serviría como dado? ¿Por qué?
El siguiente texto te ayudará a entender mejor algunos conceptos que vas
a utilizar en este desafío.
CUERPOS UNI, BI Y TRI DIMENSIONALES24
Un cuerpo geométrico o sólido geométrico es una figura con tres dimensiones: largo, ancho y alto, por eso se les llama tridimensionales, pueden ser
poliedros o cuerpos redondos.
A las caras de los sólidos, se les llama superficies y tienen dos dimensiones:
largo y ancho, es decir, bidimensionales.
Las caras de un sólido se limitan entre sí por líneas. A la unión de dos caras
del mismo cuerpo se le llama arista.
Al punto donde se intersectan varias aristas (3 o más) se le llama vértice.
Línea: tiene una sola dimensión que es la longitud, es decir, es unidimensional.
Un punto es un elemento geométrico que no tiene dimensión. La intersección
de dos rectas puede generar un punto.
Los poliedros son sólidos geométricos están compuestos de superficies
planas, constan de caras, aristas y vértices.
Las caras son las superficies que forman los poliedros y son limitadas por las
líneas que llamamos aristas.
Los cuerpos redondos están formados por figuras geométricas curvas, como
la esfera, el cilindro y el cono, que son las más conocidas.
También podemos encontrar estos cuerpos geométricos con el nombre de
prisma: son aquellos que tienen una base y tapa de la misma figura plana
24
Texto elaborado ex professo para esta UAA.
122
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 122
12/06/19 14:46
como por ejemplo el cilindro, el cubo y el prisma rectangular. Como puedes
observar la base puede tener cualquiera de las figuras planas que ya conoces.
Pirámide: son aquellos cuerpos que tienen base de cualquier figura plana y
una cúspide, por ejemplo, el cono, pirámide rectangular, etc.
Ilustración: © Shutterstock.com
En la siguiente imagen podrás identificar las definiciones antes mencionadas.
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Considera el dado habitual (cubo) para que reflexiones y escribas en tu
registro cuánto suman los puntos de las caras opuestas. ¿Es siempre la
misma cantidad? ¿Por qué? Reflexiona y anota en tu RPA si pasa lo mismo
con los “dados alternativos” que construiste. Incluye en tu registro todas las
posibilidades que encontraste para armar distintas clases de dados y las
respuestas a las preguntas que se te plantearon, así como las propiedades
y características que encontraste en la construcción de los dados.
Apóyate de las siguientes preguntas:
•
•
•
¿Qué características tienen cada uno de los dados que construiste?
¿Qué características comparten todos los dados entre sí que los
diferencia de otras figuras sólidas?
¿Cómo podrías saber que has encontrado todos los dados que
existen?
INGENIO Y FIGURA…
FORMAS GEOMÉTRICAS
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 123
123
12/06/19 14:46
•
•
Viendo cada dado como un cuerpo geométrico, ¿qué nombre le
pondrías? (Por ejemplo, el dado común se llama cubo o hexaedro.)
Lo que hasta ahora hemos llamado “dado”, ¿qué nombre tendrá en
geometría?
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
En este desafío mediremos dos elementos de las figuras geométricas: su
área, que es la superficie encerrada por los lados y se mide en unidades
cuadradas (centímetros cuadrados, metros cuadrados, etc.), y su perímetro,
que es la longitud del contorno de la figura.
En una plaza se quiere construir una pista de baile en forma de
paralelogramo de manera que se cumplan las siguientes condiciones:
1. Que el ancho sea dos terceras partes del largo.
2. Su perímetro debe ser igual a 30 centímetros.
3. Su área será la más grande posible.
¿Cuáles deben ser las medidas del paralelogramo para cumplir con las tres
condiciones?
Puedes realizar dibujos y modelos de cartón o hilo que te ayuden a visualizar
la situación. Anota en tu RPA todas las aproximaciones que tengas para
resolver el desafío, integra tus hipótesis y las preguntas que te formulaste,
así como sus posibles respuestas.
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Describe en tu registro qué propiedades de los paralelogramos utilizaste en tu
proceso de solución. Las siguientes preguntas pueden servirte como una guía:
•
Dibuja o construye varios paralelogramos que cumplan con la
primera condición —el ancho es dos terceras partes del largo—.
¿Qué características de los paralelogramos pueden todavía variar?
124
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 124
12/06/19 14:46
•
•
•
Dibuja o construye varios paralelogramos que cumplan con la
segunda condición —el perímetro es 30 centímetros—. ¿Qué
características de los paralelogramos pueden todavía variar?
Dibuja o construye varios paralelogramos que cumplan con las primeras dos condiciones. ¿Qué características de los paralelogramos
pueden todavía variar?
¿Cuántos paralelogramos existen que cumplan con las tres condiciones? ¿Qué forma tienen?
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
El origen etimológico del término truncar nos remite al lenguaje latín para
decir que deriva de “truncare”, traducido como “amputar” o “cortar”. Lo
truncado, por lo tanto, no está completo. En el terreno de la geometría
¿cómo imaginas amputar o cortar figuras sólidas? ¿Qué otras formas se
obtendrían al descomponerlos?
Para la solución de este desafío puedes apoyarte tanto de tu capacidad de
imaginar figuras como de esquemas o construcciones físicas.
Ilustración: © Shutterstock.com
En las siguientes figuras se hacen cortes por los puntos medios de
las aristas para retirar las esquinas. ¿Cuáles son las características
(es decir, el número de caras, aristas y vértices) de cada uno de los
cuerpos resultantes?
INGENIO Y FIGURA…
FORMAS GEOMÉTRICAS
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 125
125
12/06/19 14:46
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Escribe en tu RPA todas las posibilidades que encuentres al truncar las
figuras sólidas. Para profundizar y extender tus aprendizajes, considera
las siguientes preguntas para que amplíes, reformules y/o contrastes tus
ideas e hipótesis iniciales:
•
•
•
¿Cómo podrías deducir las características de los cuerpos
truncados sin construirlos físicamente, sino a partir de considerar
las características de los cuerpos originales?
¿Cómo describirías, en general, al efecto que tiene truncar un cuerpo?
Supón que tienes una figura que has obtenido a partir de truncar
otra. ¿Crees que la nueva figura pueda truncarse otra vez? ¿Cómo
se vería el resultado? ¿Cómo podrías recuperar la figura inicial?
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
¿Cómo defines un poliedro y un polígono? ¿Qué ejemplos puedes dar
de éstos? Los poliedros regulares también son conocidos como sólidos
platónicos, ya que Platón los utilizaba para representar los elementos de la
naturaleza. ¿Cómo te imaginas que se podría representar con un poliedro,
por ejemplo, el agua?
Para Platón, el tetraedro representaba el fuego; el hexaedro, la tierra; el
octaedro, el aire; el dodecaedro, el universo y el icosaedro el agua. Más allá
de las razones que tenía Platón para relacionar los poliedros regulares con
los elementos de la naturaleza, ¿qué propiedades tienen en común estas
figuras sólidas? ¿Sería posible construir otro sólido diferente de los cinco
anteriores que cumpla con las mismas propiedades? ¿Por qué?
El siguiente texto en inglés muestra unos cuerpos geométricos
formados por polígonos regulares, llamados poliedros regulares o
sólidos de Platón. También te ofrece la demostración del número
de poliedros regulares que existen. A partir de la comprensión del
texto, explica ¿qué nuevas propiedades y elementos descubriste
de las formas geométricas?
126
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 126
12/06/19 14:46
Toma en cuenta lo que hasta el momento comprendes sobre las formas
geométricas para que establezcas relaciones con la nueva información.
Registra las estrategias que te apoyaron a traducir y comprender el texto.
REGULAR POLYGONS25
Euclid started off by carving up two-dimensional space into the family of
shapes known as polygons, which are those shapes made from only straight
lines. With his compass and straightedge, he was able to construct not just
an equilateral triangle, but also a square, a pentagon and a hexagon.
Polygons in which every side has the same length and the angles between the
sides are all equal are called regular polygons. Interestingly, Euclid’s method
is not effective for all of them. The heptagon (seven sides), for example,
cannot be constructed with a compass and straightedge.
The octagon is constructible, but then the nonagon again is not. Meanwhile the
staggeringly complex regular polygon that has 65,537 sides is constructible,
and in fact has been constructed. (It was chosen because the number is
equal to 216 + 1.) Beginning in 1894, it took Johann Gustav Hermes, a German
mathematician, ten years to do it.
One of Euclid’s pursuits was to investigate the three-dimensional shapes
that can be made from joining identical regular polygons together. Only five
shapes fit the bill: the tetrahedron, the cube, the octahedron, the icosahedron
and the dodecahedron, the quintet known as the Platonic solids since Plato
wrote about them in the Timaeus.
He equated them with the four elements of the universe plus the heavenly
space that surrounds them all.
The tetrahedron was fire, the cube earth, the octahedron air, the icosahedron
water and the dodecahedron the encompassing dome. The Platonic solids
25
Alex Bellos, Here’s Looking at Euclid: A Surprising Excursion Through the Astonishing World of Math, (Nueva York: Free Press,
2010), 57-59.
INGENIO Y FIGURA…
FORMAS GEOMÉTRICAS
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 127
127
12/06/19 14:46
are particularly interesting because they are perfectly symmetrical. Twist
them, roll them, invert them or flip them and they always stay the same.
In the thirteenth and final book of The Elements, Euclid proved why there
are only five Platonic solids by working out all the solid objects that can be
made from regular polygons, starting with the equilateral triangle, and the
moving onto squares, pentagons, hexagons and so on. The diagram on page
59 shows how he reached his conclusion.
Ilustración: © Shutterstock.com
To make a solid object from polygons you must always have a point where
three sides meet: a corner, or what’s called a vertex.
When you join three equilateral triangles at a vertex, for example, you get a
tetrahedron.
When you join four, you get a pyramid.
A pyramid is not a Platonic solid because not all the sides are the same,
but by sticking an inverted pyramid on the bottom you get an octahedron.
Join five equilateral triangles together and you have the first part of an
icosahedron.
But join six and you get... a flat piece of paper.
128
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 128
12/06/19 14:46
You cannot make a solid angle with six equilateral triangles, so there are
no other ways to create a different Platonic solid made up out of them.
Continuing this procedure with squares, it is evident that there is only one
way to join three squares at a corner (E).
This will end up as a cube. Join four squares and you get... a flat piece of
paper (F).
No more Platonic solids here. Similarly, three pentagons together give a solid
angle, which becomes the dodecahedron (G).
It is impossible to join four pentagons. Three hexagons meeting at the same
point lie flat alongside one another (H), so it is impossible to make a solid
object out of them.
There are no more Platonic solids since it is impossible to join three regular
polygons of more than six sides at a vertex.
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Anota en tu registro las reflexiones que te provocó el texto y a partir de su
análisis escribe qué nuevos elementos y propiedades infieres que tienen
las formas geométricas. No olvides también registrar todas las dificultades
que tuviste al traducir y comprender el texto, así como las relaciones que
has construido en el camino con la información y los ejercicios prácticos.
Platica con el tutor sobre tus avances; si te son útiles puedes emplear las
siguientes preguntas o bien otras que consideres para ampliar tu reflexión,
análisis y conclusiones en tu RPA.
•
•
•
•
¿Qué entiendes por demostración matemática?
Del análisis y observación detenida de cada uno de los poliedros regulares (imaginaria o al usar material concreto), ¿qué puedes concluir?
¿Qué relación existe entre el número de aristas y el número de caras
y vértices?
¿Qué poliedros puedes identificar en la vida cotidiana?
INGENIO Y FIGURA…
FORMAS GEOMÉTRICAS
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 129
129
12/06/19 14:46
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
Casi todos los que hemos jugado una cascarita o visto un partido de futbol
conocemos el balón de pentágonos y hexágonos, típicamente coloreados
de negro y blanco. La primera vez que este diseño se utilizó en una Copa
del Mundo fue en México 1970, y se volvió tan popular que se utilizó en un
total de 8 Copas del Mundo, más que ningún otro diseño antes o después.
Ilustración: © Shutterstock.com
¿Cuántos pentágonos y cuántos hexágonos tiene el balón que
comúnmente conocemos? ¿Qué aspectos crees que contribuyen
a que un balón sea bueno para jugar? ¿Cómo influye la forma del
balón?
Hoy en día algunos balones de futbol han cambiado por otra forma
poliédrica más redondeada. ¿Cuáles y cuántas formas geométricas se
involucran para tal fin? Si consideras el balón como un sólido geométrico,
¿qué nombre le pondrías? Explica tu respuesta.
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Registra todas las respuestas del desafío anterior, las conclusiones a
las que llegaste y el nombre que le pondrías al balón en caso de que lo
consideres un sólido geométrico.
130
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 130
12/06/19 14:46
COMPARTE LO APRENDIDO, MEJORA
Y COMPLETA TU REGISTRO
Platica con tu tutor acerca de la manera en la que piensas organizar y
realizar la demostración pública de lo aprendido. Puedes considerar la
amplitud y profundidad de las respuestas que has dejado en el registro
de aprendizaje y las dificultades que enfrentaste al hacer los ejercicios
sugeridos, así como las estrategias que empleaste para solucionarlas.
La demostración pública te permitirá valorar qué tanto has alcanzado el
dominio del tema. Algunas preguntas que te pueden ser útiles son: ¿Qué
estrategias utilicé para justificar por qué son verdaderas las hipótesis que
me he planteado al hacer razonamientos lógicos? ¿Cómo me apoyó mi
tutor para lograr el desafío? ¿Cómo enriquezco mi opinión respecto a la
contribución que hace la geometría en otros campos del desarrollo humano
al conocer un poco de su historia?
Si aún no te sientes satisfecho con algún punto, es recomendable retomarlo
hasta que estés convencido de que lo manejas bien.
PARA SEGUIR APRENDIENDO
Fuentes consultadas
Bellos, Alex. Here’s Looking at Euclid: A Surprising Excursion Through the Astonishing
World of Math. Nueva York: Free Press, 2010.
Caballero, Arquímedes, Lorenzo Martínez y Jesús Bernárdez. Matemáticas, tercer curso.
Duodécima edición. México: Esfinge, 1975.
Díaz Camacho, Arturo. Introducción a la matemática moderna. México: Ediciones América
Central, 1970.
Fuentes sugeridas
Conafe. Actividades de trabajo para el preescolar comunitario. México: Conafe, 2014.
_____ “Conos cilindros y otros cuerpos” en UAI, Tercer grado. Bloque 5. Matemáticas.
México: Conafe, 2013.
_____ “La talavera” en UAI Primer grado. Bloque 3. Matemáticas. México: Conafe, 2013.
_____ “Los cuadros” en UAI Primer grado. Bloque 1. Matemáticas. México: Conafe, 2013.
INGENIO Y FIGURA…
FORMAS GEOMÉTRICAS
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 131
131
12/06/19 14:46
_____ “Los recipientes de Adriana” en UAI Segundo grado. Bloque 2. Matemáticas. México:
Conafe, 2013.
IEEPO. Educando Tv. Preescolar clase 197. Tema: Las figuras geométricas. https://www.
youtube.com/watch?v=4ORELUZ2zL8
_____ Preescolar clase 24. Tema: Vamos a construir figuras. https://www.youtube.com/
watch?v=zWK_JqPloy4
_____ Preescolar clase 27. Tema: Forma, espacio y medida. https://www.youtube.com/
watch?v=BnnIcJQCecA
_____ Preescolar clase: 141. Tema: El tangram. https://www.youtube.com/
watch?v=1B2OFpRijJg
_____ Preescolar clase: 29. Tema: Figuras geométricas. https://www.youtube.com/
watch?v=BRJIf6Q5YAo
_____ Primaria 1° y 2° clase 46. Tema: Figuras geométricas. https://www.youtube.com/
watch?v=ZeahKTuxgSw
_____ Primaria 1° y 2° clase 86. tema: Figuras geométricas. https://www.youtube.com/
watch?v=0K14hvaE45U
_____ Primaria 3º y 4º Clase: 161. Tema: Perímetro y área de polígonos. https://www.
youtube.com/watch?v=ON1bheJhh1E
_____ Primaria 3º y 4º clase: 197. Tema: Figuras geométricas. https://www.youtube.com/
watch?v=gFBmF6OjtcU
_____ Secundaria Clase: 158. Tema: Cortes a un cilindro y cono. https://www.youtube.com/
watch?v=f3RoiOQKy-A
_____ Secundaria clase: 20. Tema: Figuras y cuerpos. https://www.youtube.com/
watch?v=c8Vd6AYDV_U
Lucio Gómez Maqueo, Ma. Guadalupe. Geometría moderna I. Notas de clase. Facultad de
ciencias. México: UNAM, 2013.
132
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 132
12/06/19 14:46
Ilustración: © Shutterstock.com
COMO GRANDES
EXPLORADORES
UBICACIÓN ESPACIAL
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 133
12/06/19 14:46
INTRODUCCIÓN
Durante esta Unidad de Aprendizaje Autónomo estudiarás algunas
herramientas con las que cuenta la humanidad para conocer su ubicación
en la tierra y para dirigirse a lugares desconocidos; puede ser dentro de la
misma comunidad en la que vives o en una gran ciudad, incluso en países
distintos.
También conocerás cómo los objetos se mueven o cambian de posición.
Estos cambios se pueden observar en la vida real, por ejemplo, cómo giran
las llantas de un coche, al ver tu reflejo en el espejo o incluso cómo se mueve
la tierra, dentro de un espacio específico. Además de verlo, también lo
podemos plasmar en un plano de dos dimensiones para poder estudiarlo,
con la finalidad de que puedas adelantar e interpretar los movimientos o
cambios de tu entorno. Otro tema que también se trabajará son los planos
cartesianos, que sirven para explicar cómo se mueven objetos, predecir
comportamientos o incluso encontrar tesoros.
PROPÓSITO GENERAL
Conocer los principales elementos que nos permiten ubicarnos en el plano
y en el espacio, así como estrategias para construir, leer y usar herramientas
que nos ubiquen en el mundo y nos expliquen cómo se mueven las cosas.
PROPÓSITOS ESPECÍFICOS
•
•
•
Estableceremos relaciones con los objetos y entre los objetos para
determinar puntos de referencia que nos ayuden a ubicarnos y
trasladarnos.
Reconoceremos las características y el uso de diversas representaciones del espacio geográfico: croquis, mapas, planisferios, fotografías aéreas, mapas satelitales.
Conoceremos cómo trazar rutas y calcular la distancia real de
un lugar a otro para determinar las mejores rutas, además de
determinar puntos en un plano cartesiano.
134
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 134
12/06/19 14:46
3
4
5
6
7
8
9
Comunicas de manera verbal y escrita orientaciones para identificar objetos
y lugares del entorno en el que te encuentras.
Explicas como utilizas el conteo para la toma de decisiones en problema
de ubicación espacial.
Describes tus observaciones y estrategias de figuras compuestas utilizando
la posición entre cada figura geométrica que la compone.
Buscas la solución respecto a problemas que impliquen razonamiento visual
y espacial elemental en contextos familiares, como elaborar croquis
para indicar cómo llegar de un lugar a otro.
Utilizas diferentes representaciones para describir rutas y calcular
distancias reales de un punto a otro en mapas.
Comunicas tus reflexiones y estrategias al resolver problemas que impliquen
razonamiento visual y espacial en croquis y mapas.
Resuelves problemas que implican el trazo de figuras simétricas respecto
a un eje en diferente posición.
Puntos de referencia
(personales y convencionales)
Coordenadas cartesianas
Orientación, proximidad,
interioridad y direccionalidad.
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 135
BÁSICO
INTERMEDIO
10
11
COMO GRANDES
EXPLORADORES
UBICACIÓN ESPACIAL
Ilustración: Ivanova Martínez Murillo
INICIAL
Croquis
Explicas el tipo de transformación (reflexión, rotación o traslación) que
se aplica a una figura para obtener la figura transformada.
2
Identificas en tu entorno objetos a partir de referentes de ubicación espacial,
tomándote como punto de referencia.
Ubicación
Argumentas los procedimientos que empleas para resolver problemas que
implican el trazo de figuras simétricas respecto a un punto.
1
Usas correctamente conceptos espaciales como dentro/fuera, debajo/arriba,
delante/atrás en situaciones concretas.
Ilustración: Ivanova Martínez Murillo
MAPA DE CONTENIDOS
FORMA, ESPACIO Y MEDIDA
Mapas
Coordenadas geográficas
Transformaciones en el plano
(simetría, reflexión, rotación
o traslación).
TRAYECTO DE APRENDIZAJE
AVANZADO
135
12/06/19 14:47
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
Es importante que conozcas los conceptos como dentro/fuera, debajo/
arriba, delante/atrás y que sepas diferenciarlos, este desafío te ayudará
con estos conceptos.
Ilustración: © Shutterstock.com
El desafío consiste en colorear los dibujos de la imagen como en el
ejemplo: el rectángulo primero está adelante del círculo y en el otro
dibujo está atrás del círculo.
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Anota en tu cuaderno tus avances y reflexiona lo siguiente:
•
•
¿Qué otros dibujos puedes crear con dentro y fuera?
¿Qué otros dibujos puedes crear con arriba y debajo?
136
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 136
12/06/19 14:47
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
Los croquis tienen la función de brindar información sobre la ubicación de un lugar,
por lo que es indispensable que la descripción para su localización sea lo más clara
posible, para que la persona que lo lea no se pierda. Piensa qué lugares conoces
muy bien para elaborar un croquis, por ejemplo, podría ser el recorrido de tu casa a
la escuela, la ubicación de tu escuela en la comunidad, o la distribución de las casas,
tiendas, centro de salud, dónde se ubica la carretera, etc.
¿Te has preguntado si el camino que tomas diario a la escuela es el más corto? ¿Te
gustaría averiguarlo? ¿Cómo podrías saberlo?
Elabora un croquis de la trayectoria de tu casa a la escuela. Después lee el siguiente
texto:
CROQUIS, PLANOS Y MAPAS26
Para orientarnos mejor contamos con herramientas como los planos, los
mapas y los croquis. Cada uno de ellos nos brinda la información necesaria
para encontrar un lugar o llegar a un destino con seguridad.
El croquis es un dibujo realizado a mano alzada, que contiene información
completa y está trazado sin las medidas exactas del objeto. Explica a grandes
rasgos lo que se quiere representar.
Los planos son dibujos delineados, se realizan con ayuda de escuadra, regla
y compás para conseguir una representación lo más parecida posible al
objeto tomado como base.
Los mapas geográficos son representaciones planas de la superficie terrestre
en dos dimensiones: largo y ancho. El mapa geográfico representa toda la
superficie terrestre o una parte de ella.
26
Méndez, Leticia. ABC color.” Planos, mapas y croquis”. http://www.abc.com.py/edicion-impresa/suplementos/escolar/planosmapas-y-croquis-613546.html (Fecha de consulta: 1 de marzo de 2018).
COMO GRANDES
EXPLORADORES
UBICACIÓN ESPACIAL
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 137
137
12/06/19 14:47
Ilustración: © Shutterstock.com
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Registra en tu RPA lo que identificaste y cómo lo aprendiste, las dificultades
y las soluciones que aplicaste. También te sugerimos las siguientes
preguntas:
•
•
•
•
•
•
Identifica en tu dibujo si diste vuelta a la derecha o a la izquierda.
¿Bajaste o subiste alguna calle? ¿qué referentes iluminaste (una
iglesia, tienda, casa de salud, casa de alguna persona que conoces,
etcétera)?
¿Cómo funcionó tu croquis y tu texto cuando se lo explicaste a
alguien?
¿Qué elementos del plano utilizaste para crear uno?
¿Qué tipos de puntos de referencia utilizaste?
¿Utilizaste puntos de referencia para elaborar el plano? ¿Fueron
convencionales o no convencionales?
La siguiente imagen tiene un punto de fuga, dialoga con tu tutor sobre
qué es y cómo se utiliza este punto de referencia, después dibuja tu calle
utilizando esta técnica.
138
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 138
12/06/19 14:47
Foto: © Shutterstock.com
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
Las matemáticas nos ayudan para conocer e interpretar los aspectos
físicos del mundo. En este desafío utilizaremos la geometría para conocer
cómo se miden las esferas y el uso del plano cartesiano, mismos que
se usaron para determinar las zonas horarias en las que está dividido el
mundo. Además de que aprenderemos a interpretar lo datos que arrojan
los GPS (Sistema de Posicionamiento Global, por sus siglas en inglés). Las
coordenadas del mundo nos determinan en qué parte estamos y cómo
llegar al lugar que deseemos.
Tu desafío es identificar ¿por qué si Karla y Raúl cumplen años el
15 de abril, sucede en horarios diferentes?
Karla está en México y Raúl en Japón. Karla le habló a su amigo el
15 de abril a las 11 de la mañana para felicitarlo. Raúl se puso muy
contento, aunque antes ya estaba durmiendo y le comentó que su
cumpleaños había sido el día anterior.
COMO GRANDES
EXPLORADORES
UBICACIÓN ESPACIAL
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 139
139
12/06/19 14:47
160
140
120
100
80
60
40
20
0
20
40
60
80
100
120
140
MERIDIANO DE GREENWICH
80
160
80
60
60
40
40
TRÓPICO DE CÁNCER
20
0
0
20
20
TRÓPICO DE CAPRICORNIO
40
60
60
80
MERIDIANO DE GREENWICH
40
80
Ilustración: © Shutterstock.com
20
ECUADOR
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Ilumina México de un color y Japón de otro, y guíate con las siguientes
preguntas:
•
•
•
•
•
¿Qué tan lejos crees que se encuentre un país del otro?
¿Cómo se calcula la diferencia horaria entre dos puntos de la tierra?
¿Cómo utilizaste el plano cartesiano para resolver el desafío?
¿Qué herramienta matemática sirve para calcular distancias entre
dos puntos en la tierra?
En el mapa los husos horarios y los meridianos son líneas imaginarias
de la tierra, ¿estas líneas son paralelas?
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
La imaginación espacial es importante para que podamos determinar
dónde se encuentran los objetos y cómo pueden moverse. Por ejemplo,
cuando juegas béisbol puedes determinar qué lanzamiento es más efectivo
140
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 140
12/06/19 14:47
y realizar más lanzamientos de este tipo, ya que con esto podríamos ganar
un juego. Si nos dedicamos a observar el comportamiento de ambos
lanzamientos y los plasmamos en un plano cartesiano, identificaremos
el comportamiento de la bola y podremos tomar decisiones sobre cuál
lanzamiento es más efectivo. También nos sirven para ubicarnos en un
mapa o en el globo terráqueo y determinar la ubicación de distintos
lugares.
Para el siguiente desafío es necesario que pongas atención en los datos que
proporciona el enunciado, que identifiques los elementos de matemáticas
que están involucrados y que te asegures de comprender los conceptos que
se presentan.
Los estudiantes de Conafe escondieron el tesoro del saber en el
patio de la escuela. Ellos dejaron escritas las instrucciones y una
clave para quien quisiera encontrarlo:
Colocarse en el centro del patio y trazar una recta de norte a sur y
otra de este a oeste, la primera será el eje Y y la segunda el eje X.
El tesoro se encuentra en el centro de la figura determinada por los
puntos: A(−2, 6), B(−10, 2), C(−6, −6) y D(2, −2).
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Explica cómo se utiliza el plano cartesiano para determinar el punto de
encuentro e intégralo a tu RPA.´
•
•
•
¿Cómo elaboraste el plano para localizar las coordenadas?
¿Cómo resolviste las coordenadas en negativo?
Da las coordenadas que tienes que unir para dibujar una pirámide
rectangular en el plano cartesiano.
Si quieres profundizar en el tema puedes estudiar también la UAA
“Proporcionalidad y funciones”.
COMO GRANDES
EXPLORADORES
UBICACIÓN ESPACIAL
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 141
141
12/06/19 14:47
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
¿Sabías que se pueden crear dibujos utilizando el plano cartesiano uniendo puntos? Primero intenta hacerlo por tu cuenta, elabora un dibujo en
el que uses el plano cartesiano señalando los puntos que vas a utilizar,
pero argumenta matemáticamente el ejercicio que realices. Después lee
el siguiente texto:
PLOTTING POINTS ON A CARTESIAN PLANE27
© Shutterstock.com
27
Varsity tutors. “Plotting Points on a Cartesian Plane” https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/topics/cartesianplane (fecha de consulta: 1 de marzo de 2018).
142
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 142
12/06/19 14:47
A Cartesian plane (named after French mathematician Rene Descartes, who formalized its use in mathematics) is defined by two perpendicular number lines:
the xx-axis, which is horizontal, and the yy-axis, which is vertical. Using these
axes, we can describe any point in the plane using an ordered pair of numbers.
The Cartesian plane extends infinitely in all directions. To show this, math
textbooks usually put arrows at the ends of the axes in their drawings.
The location of a point in the plane is given by its coordinates, a pair of
numbers enclosed in parentheses: (x, y) (x, y). The first number xx gives
the point's horizontal position and the second number yy gives its vertical
position. All positions are measured relative to a "central" point called the
origin, whose coordinates are (0,0) (0,0). For example, the point (3, 2) (3, −2)
is 3,3 units to the right of the origin and 2,−2 units up and down , as shown
in the figure. Negative coordinate numbers tell us to go left or down. See the
other points in the figure for examples.
The Cartesian plane is divided into four quadrants. These are numbered from I
through IV, starting with the upper right and going around counterclockwise.
(For some reason everybody uses roman numerals for this).
In Quadrant I, both the xx- and
yy-coordinates are positive; in
Quadrant II, the xx-coordinate is
negative, but the yy-coordinate
is positive; in Quadrant III both
are negative; and in Quadrant IV
xx is positive but yy is negative.
© Shutterstock.com
Points which lie on an axis (i.e.,
which have at least one coordinate equal to 00) are said not to
be in any quadrant. Coordinates
of the form (x,0) (x,0) lie on the
horizontal xx-axis, and coordinates of the form (0,y) (0,y) lie on
the vertical yy-axis.
COMO GRANDES
EXPLORADORES
UBICACIÓN ESPACIAL
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 143
143
12/06/19 14:47
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Ubícate con las siguientes preguntas:
•
•
•
•
¿Cómo se llaman los ejes que conforman el plano cartesiano?
¿Cómo ubicarías los cuadrantes en tu croquis?
¿De qué otra forma se pueden utilizar los datos que ofrece el plano
cartesiano?
¿Cómo pasarías una figura del cuadrante III al cuadrante I?
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
Ilustraciones: © Shutterstock.com
Tu desafío es copiar en una hoja el dibujo de la estrella roja, dobla la hoja
por la mitad de manera que puedas hacer coincidir las dos mitades de la
figura (la línea que se forma en este doblez se le llama eje de simetría),
después completa el dibujo de la otra imagen.
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Registra tu aprendizaje en tu cuaderno y reflexiona sobre las siguientes
preguntas:
144
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 144
12/06/19 14:47
•
•
•
¿Qué otras figuras conoces que tengan eje de simetría?
¿Existen formas que tengan más de un eje de simetría? ¿Cómo cuáles?
¿Todas las figuras tienen eje de simetría?
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
En el mundo las cosas están en un constante movimiento, incluso si no
lo percibimos a simple vista. Hay básicamente tres tipos de movimientos
(reflexión, traslación y rotación) que nos ayudan a que las cosas sean más
fáciles, como el avance en la ingeniería, la arquitectura, las matemáticas o
las bellas artes, entre otras áreas de conocimiento.
Para el siguiente desafío te recomiendo utilizar una hoja blanca,
esto te dará mayor libertad de movimiento. Copia en tu cuaderno
la figura siguiente y aplícale un movimiento de reflexión, uno de
rotación y uno de traslación para obtener tres posiciones diferentes
de la figura.
Posteriormente lee el siguiente texto:
TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS28
Las transformaciones isométricas (también se les llama transformaciones rígidas) son cambios de posición (orientación) de una figura determinada que NO
alteran la forma ni el tamaño de esta. La palabra isometría tiene origen griego:
28
Portal Educativo Net. “Transformaciones isométricas,” http://www.portaleducativo.net/movil/quinto-basico/760/
Transformaciones-isometricas (Fecha de consulta: 17 de marzo de 2018.
COMO GRANDES
EXPLORADORES
UBICACIÓN ESPACIAL
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 145
145
12/06/19 14:47
Ilustración: © Shutterstock.com
iso, que significa igual, y metría, que significa medir. Por lo tanto, esta palabra
puede ser traducida como igual medida. Entre las transformaciones isométricas están las traslaciones, las rotaciones (o giros) y las reflexiones (o simetrías).
Una reflexión o simetría es una transformación isométrica en la que a cada
punto de la figura original se le asocia otro punto (llamado imagen), de modo
que el punto y su imagen están a igual distancia de una recta llamada eje
de simetría. La reflexión puede ser de dos tipos: Simetría axial: Cada punto
de la figura original y la imagen de cada uno de ellos bajo la reflexión, se
encuentran a igual distancia de una recta llamada eje de simetría.
Ilustración: © Shutterstock.com
Y simetría central: Cada punto de la figura
original y la imagen de cada uno de ellos bajo la
reflexión, se encuentran a igual distancia de un
punto llamado punto de simetría.
Una rotación es una transformación isométrica,
en la cual todos los puntos se mueven respecto
a un punto fijo llamado centro de rotación (O),
en un determinado ángulo, llamado ángulo de
rotación. El centro de rotación puede estar en el
interior, en el contorno o en el exterior de la figura.
146
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 146
12/06/19 14:47
El sentido positivo de la rotación es el sentido antihorario, es decir, contrario
al movimiento de las manecillas del reloj. Mientras que el sentido negativo de
la rotación es en el sentido horario.
La traslación de una figura plana es una transformación isométrica que mueve
todos los puntos de la figura en una misma dirección, sentido y longitud.
Ilustración: © Shutterstock.com
Si mediante una traslación dos figuras coinciden, a los puntos en que
coinciden, se les llama puntos homólogos.
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
En caso de que la figura propuesta se te complique mucho, te sugerimos
comenzar por una más sencilla, como un triángulo con una de las puntas
coloreadas.
•
•
¿Cuál es la diferencia entre los tres movimientos?
¿Cómo utilizaste el plano cartesiano?
COMO GRANDES
EXPLORADORES
UBICACIÓN ESPACIAL
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 147
147
12/06/19 14:47
•
¿Puedes identificar en la vida diaria los tres movimientos isométricos?
Describe en dónde.
COMPARTE LO APRENDIDO, MEJORA
Y COMPLETA TU REGISTRO
Para concluir la unidad revisa el mapa del tema que se encuentra en la
introducción y el trayecto de aprendizaje para que verifiques los aprendizajes
que has alcanzado hasta el momento y completa tu RPA. Planea junto
con tu tutor la demostración pública de los aprendizajes logrados durante
la resolución de todos los desafíos, define cómo lo quieres hacer y qué
materiales involucrarás. Identifica los aprendizajes alcanzados y cómo
los lograste. Puedes considerar las siguientes preguntas para orientar tu
demostración: ¿Qué hiciste para resolver los desafíos? ¿Qué dificultades
tuviste? ¿De qué manera usas el plano cartesiano en tu vida cotidiana?
¿Cómo se relaciona el plano cartesiano con el arte de la pintura?
Por último, recuerda que en la demostración puede haber compañeros
que quieran estudiar la unidad, considera que estás listo para convertirte
en tutor, y con esto, terminar el proceso de estudio.
PARA SEGUIR APRENDIENDO
Fuentes sugeridas
Caballero, Arquímedes, Lorenzo Martínez y Jesús Bernárdez. Matemáticas. Tercer curso.
Duodécima edición. México: Esfinge, 1975.
National Council of Teachers of Mathematics. Simetría, congruencia y semejanza.
Cuaderno 18. México: Trillas, 1970.
IEEPO. Educando Tv. Preescolar clase: 137. Tema: El croquis. https://www.youtube.com/
watch?v=ldSbUsMCz5Y
_____ Preescolar clase: 191. Tema: El croquis. https://www.youtube.com/
watch?v=18TDMT__TeI
_____ Primaria 1º y 2º clase: 196. Tema: El horario en los países del mundo. https://www.
youtube.com/watch?v=aIvBsTL1Euo
148
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 148
12/06/19 14:47
_____ Primaria 3º y 4º Clase: 159. Tema: Diagonales y ejes de simetría en cuadriláteros.
https://www.youtube.com/watch?v=1IbqBrFyGIY
_____ Primaria 5° y 6° clase 18. Tema: Uso de los ejes de simetría en la construcción de
cuerpos. https://www.youtube.com/watch?v=fMN31WWQ5Qw
_____ Primaria 5º y 6º clase: 64. Tema: Reproducción de figuras usando una cuadrícula.
https://www.youtube.com/watch?v=ANlkAB2Lbvs
_____ Primaria 5º y 6º clase: 114. Tema: Representación gráfica de pares ordenados. https://
www.youtube.com/watch?v=HAgMR1-62aw
_____ Secundaria clase: 50. Tema: Simetría axial y central. La rotación y traslación. https://
www.youtube.com/watch?v=ldpzi347AFQ
COMO GRANDES
EXPLORADORES
UBICACIÓN ESPACIAL
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 149
149
12/06/19 14:47
150
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 150
12/06/19 14:47
Ilustración: © Shutterstock.com
Y SÓLO ES
COMPARAR...
MEDIDA
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 151
12/06/19 14:47
INTRODUCCIÓN
¿Te has puesto a observar en el lugar donde vives, en tu casa o tu comunidad
cómo las personas miden las cosas y qué hacen para saber lo que necesitan
al realizar su trabajo? Por ejemplo un carpintero, cómo sabe la cantidad de
madera y los cortes requeridos para hacer un mueble, o un ingeniero que
va a construir un puente primero necesita conocer el tamaño del puente,
la altura, características y medidas para saber qué y cuánto material usará.
Una cocinera requiere saber la cantidad de comensales, para calcular la
cantidad de masa que se necesita al hacer las tortillas de ese día. Todos
requerimos conocer el tiempo que necesitamos para trasladarnos de un
lugar a otro considerando el día y la hora de mayor tráfico en la carretera.
Si te das cuenta todo el tiempo la pasamos haciendo cálculos y midiendo
las cosas, el tiempo, los días, etc. ¿Sabías que en el mundo se tuvieron que
hacer acuerdos para entenderse al momento de hablar de medidas? De
ello surgió un documento llamado Sistema Internacional de Unidades
de Medida (SI), y basándose en ese sistema en México se estableció
un lenguaje común para responder a los requerimientos actuales de las
actividades educativas, comerciales, científicas, tecnológicas e industriales.
Del uso de esas medidas y de otras cosas más trata la siguiente unidad.
PROPÓSITO GENERAL
Reconocer diversas herramientas matemáticas como el teorema de
Pitágoras, el teorema de Tales y las funciones trigonométricas, para
comprender y resolver situaciones del mundo real que implican aspectos
de medición.
PROPÓSITOS ESPECÍFICOS
•
•
•
Conoceremos cualidades medibles de los objetos y la importancia
del uso de unidades no convencionales y convencionales para
resolver problemas que implican medir magnitudes de longitud,
capacidad y peso.
Identificaremos y construiremos diversas estrategias para calcular
perímetros, áreas, volúmenes y capacidades de objetos y cuerpos
geométricos.
Resolveremos problemas del mundo real que implican conversiones
entre unidades de medida de longitud, capacidad, peso y tiempo;
así como conversiones del SI y el Sistema Inglés de Medidas.
152
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 152
12/06/19 14:47
MAPA DE CONTENIDOS
FORMA, ESPACIO Y MEDIDA
Longitud
Superficie
Área
Espacio
Peso
Volumen
Tiempo
Masa
Capacidad
Unidades de medida arbitrarias
Teorema de Pitágoras
Unidades de medida convencionales
Teorema de Tales
Trigonometría
Y SÓLO ES COMPARAR…
MEDIDA
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 153
153
12/06/19 14:47
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 154
6
7
8
9
10
11
Resuelves problemas que impliquen razonar y calcular el volumen y la capacidad
de objetos y cuerpos geométricos, utilizando diversas estrategias y representaciones.
Identificas diferentes relaciones entre la información relevante para la resolución
de problemas de medida que requieren transformación de unidades.
Resuelves problemas de medida que implican identificar y extraer información relevante
de enunciados y esquemas.
Comunicas tus soluciones y das explicaciones y argumentaciones de las estrategias de medición
utilizadas como el teorema de Tales, teorema de Pitágoras y funciones trigonométricas.
BÁSICO
INTERMEDIO
Ilustración: Ivanova Martínez Murillo
5
Resuelves problemas que impliquen establecer relaciones temporales.
Utilizas unidades de medida no convencionales de longitud y peso para medir los objetos
de tu entorno.
4
Resuelves problemas que impliquen el cálculo de perímetros y áreas utilizando
formas no convencionales.
3
Utilizas para medir objetos las unidades de medida básicas del Sistema métrico decimal.
2
Estimas la longitud, el peso y el tamaño en objetos de tu entorno y los clasificas.
INICIAL
Resuelves problemas que impliquen el cálculo de peso de objeto, utilizando diversas estrategias.
1
Distingues propiedades de los objetos, como son: pesado/ligero, corto/largo, grande/pequeño.
Ilustración: Ivanova Martínez Murillo
TRAYECTO DE APRENDIZAJE
AVANZADO
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
¿Te has preguntado qué es medir?
Medir es hacer una comparación de magnitudes, es decir, podemos comparar
distancias y decir qué camino es más largo o más corto; comparar el peso y
154
12/06/19 14:47
decir cuál es más pesado y cuál es más ligero, podemos comparar tamaños
y decir cuál es más grande y cuál es más pequeño.
El siguiente desafío consiste en medir las distancias que han recorrido los
avioncitos de la siguiente imagen.
Luis, Pedro, Lupita y Ana juegan a lanzar su avioncito de papel y
quieren saber cuál de ellos recorrió más distancia.
Ilustración: © Shutterstock.com
Lupita tiene un avión con un corazón rojo, Pedro tiene un avión con
un círculo verde, Luis tiene un avión con un hexágono amarillo y
Ana tiene un avión con una estrella azul.
Y SÓLO ES COMPARAR…
MEDIDA
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 155
155
12/06/19 14:47
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
•
•
•
•
•
•
•
¿Qué objeto te puede ayudar a medir?
¿De qué otra forma puedes medir distancias?
Si queremos saber cuándo un objeto es más pesado que otro,
¿cómo lo comparamos?
¿Qué utilizamos para medir el peso?
Busca objetos en tu casa que puedas medir y practica con estas
preguntas:
¿Cuáles objetos son más grandes?
¿Cuáles son más pequeños?
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
Hace mucho tiempo, aproximadamente en el siglo VI a.C, un filósofo y
matemático griego llamado Pitágoras descubrió una propiedad de los
triángulos rectángulos. A esta propiedad que se aplica en la ciencia, el arte,
la ingeniería y la arquitectura, se le conoce como teorema de Pitágoras y
está representado por la fórmula:
a2 + b2 = c2
Ilustración: © Shutterstock.com
Comprueba su utilidad en la solución de problemas. El siguiente tangram
tiene 25 cm2 de área y se quiere construir uno de mayor tamaño para
jugar en el centro comunitario, si se quiere que el triángulo pequeño
tenga 12.5 cm2 de área podremos saber ¿cuánto medirán sus lados y cuál
será el área del nuevo tangram?
156
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 156
12/06/19 14:47
El siguiente texto te ayudará a resolver el desafío.
TEOREMA DE PITÁGORAS29
Este teorema nos da la facilidad de calcular uno de los lados de un triángulo
rectángulo, si conocemos los otros dos.
Ilustración: © Shutterstock.com
El teorema dice: que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, aquí c es la hipotenusa
y a y b los catetos.
Se utiliza generalmente en la medición de distancias indirectas. Por ejemplo, si
sabemos la longitud de una escalera que colocamos inclinada sobre la pared
y sabemos la distancia a la que la colocamos, pero no sabemos cuánto mide
la pared. El teorema de Pitágoras nos ayuda a resolver este tipo de problemas.
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Será importante que reflexiones sobre la manera en que resolviste el
desafío, y realices los dibujos que necesitaste para comprender y resolver
29
Texto elaborado ex professo para esta UAA.
Y SÓLO ES COMPARAR…
MEDIDA
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 157
157
12/06/19 14:47
el problema. Anota en tu registro todo lo que consideras te puede servir
para volver hacer el ejercicio, demostrarlo y apoyar a un compañero.
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
En este desafío conoceremos qué es un ángulo y su clasificación.
Observa la imagen y dialoga sobre lo siguiente:
Un ángulo es una porción del plano limitado por dos semi rectas que tienen
el mismo origen. O también podemos decir que un ángulo es la amplitud
de rotación de una semirecta
Ilustración: © Shutterstock.com
El desafío consiste en relacionar el nombre de cada uno de los
ángulos con su imagen, dibuja en tu cuaderno los ángulos y ponle
el nombre según la descripción de cada uno.
158
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 158
12/06/19 14:47
Grado: la magnitud de un ángulo, es decir, la medida, es tomar el
ángulo como resultado de un movimiento de rotación, depende de la
amplitud de la rotación que se ha hecho.
Ángulo agudo: es aquel que mide menos de 90°.
Ángulo completo: es aquel que ha dado una vuelta completa, mide
360°.
Ángulo nulo: es cuando no existe una abertura entre la posición
inicial y la final.
Ángulo llano: es el ángulo cuyos lados se encuentran situados en una
misma línea recta, es decir, uno de los lados es prolongación del otro.
Ángulo recto: es el que mide 90°.
Ángulo obtuso: es el que mide más de 90° y menos de 180°.
ángulo recto
ángulos adyacentes
ángulo recto
ángulo obtuso
ángulos suplementarios
ángulos complementarios
Imagen: © Shutterstock.com
ángulo agudo
Ángulos complementarios: son aquellos ángulos que sumados siempre dan 90°.
Ángulos suplementarios: son aquellos ángulos que sumados dan 180°.
Y SÓLO ES COMPARAR…
MEDIDA
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 159
159
12/06/19 14:47
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Aquí te sugerimos algunas preguntas:
•
•
•
•
•
¿De qué otra forma podemos llamar a los ángulos?
Si te das una vuelta completa, en tu mismo lugar, ¿qué ángulo
hiciste?
Si solamente das medio giro ¿cuántos grados avanzaste?
Señala qué ángulo es el suplementario de 135°.
¿Cuál sería el ángulo cuyo complementario es cuatro veces el
mismo?
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
El siguiente desafío es muy interesante y requiere que pongas en juego
todas tus habilidades para realizar trazos, leer con sentido, investigar
conceptos de manera constante, observar lo que has construido para
proponer estrategias que te ayuden a llegar a la solución:
Sea ABC un triángulo equilátero que mide 6 cm de lado y P, Q,
R los puntos medios de los lados AB, BC y CA, respectivamente.
Los vértices del triángulo son centros de los arcos PQ, QR y RP.
Encuentra el perímetro y el área de la región formada por los arcos,
región PQR.
Una primera decisión que deberás tomar es qué quieres obtener primero,
el perímetro o el área de la región que te piden dibujar. El siguiente texto
es un apoyo para resolver el desafío.
DOS FIGURAS30
Un círculo es una superficie plana limitada por una circunferencia.
30
Texto elaborado ex professo para esta UAA.
160
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 160
12/06/19 14:47
1
2
3
4
5
6
7
8
Ilustración: © Shutterstock.com
1. Radio: es un segmento de recta que une el centro con cualquier punto
de la circunferencia.
2. Diámetro: es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.
Es igual a dos radios.
3. Circunferencia: es una línea curva, plana y cerrada en la que cada uno
de los puntos que la forman están a la misma distancia de un punto
fijo interior llamado centro.
4. Sector circular: es una superficie limitada por un arco de circunferencia
y dos radios.
5. Arco: es una parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos.
6. Cuerda: es un segmento que une dos puntos de la circunferencia.
7. Área: es la cantidad de espacio dentro de la circunferencia de un
círculo.
8. Tangente: es una secante que
sólo tiene un punto de intersección con la circunferencia.
9. Radián: es una unidad de medida de los ángulos, su amplitud
es igual a la del arco de la circunferencia cuya longitud es la
misma que la del radio. Un ángulo completo equivale a 2π radianes.
Y SÓLO ES COMPARAR…
MEDIDA
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 161
161
12/06/19 14:47
Los triángulos se clasifican también de
acuerdo a los ángulos interiores:
Rectángulo: es aquel que tiene un
ángulo interior recto (90°).
Acutángulo: es aquel que todos sus
ángulos interiores son agudos.
Obtusángulo: es aquel que tiene un
ángulo interior obtuso.
CLASIFICACIÓN POR LADOS
EQUILÁTERO
ISÓSCELES
ESCALENO
CLASIFICACIÓN POR ÁNGULOS
RECTO
AGUDO
OBTUSO
Ilustración: © Shutterstock.com
Clasificación de triángulos
Se clasifican en equiláteros y son los
que tienen sus tres lados iguales.
Isósceles: son los que tienen dos lados
iguales y uno diferente.
Escalenos: son los que tienen sus tres
lados desiguales.
La suma de los ángulos interiores de
un triángulo es igual a 180°.
Teorema de Tales
Tales de Mileto fue un sabio de la antigüedad que vivió alrededor del año
600 a.C. Descubrió cómo obtener la altura de las pirámides midiendo la
sombra que proyectaban y comparándola con una medida conocida, por
medio de triángulos semejantes.
Ilustración: © Shutterstock.com
Dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales
y sus lados son proporcionales entre sí.
162
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 162
12/06/19 14:47
Veamos cómo se utiliza el teorema: los dos triángulos son semejantes y
conocemos la longitud de x1 = 75m, x2 = 50m, y2 = 30m
Se quiere saber la altura de la pirámide (y1)
Lo resolvemos con una regla de tres: 50 ÷ 75 = 30 ÷ x
Despejamos x = (75(30)) ÷ 50
x = 45 es la altura de la pirámide
Por lo tanto y1 vale 45m
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Te recomendamos dibujar con detalle las construcciones que realices, y
anotar los conceptos que vayas construyendo y los pasos que consideres
importantes para llegar a la resolución del desafío. Es importante que
seas sistemático(a) en tu escritura porque es una forma de organizar tu
pensamiento respecto al desafío.
•
•
•
¿Qué relación hay entre el radio y el diámetro?
Si tenemos una circunferencia de perímetro 16π, ¿qué área tiene?
Si queremos saber la altura de un edificio que proyecta una sombra
de 10 metros y hace un triángulo semejante con un árbol que mide
5 metros y proyecta una sombra de 3 metros, ¿cómo lo harías?
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
Reflexiona respecto a los conceptos que has construido, principalmente el de medida. El siguiente texto te proporcionará nuevos
elementos que te ayudarán a enriquecer, corroborar o transformar
los conceptos que hasta ahora has estudiado. El desafío consiste
en elaborar un mapa conceptual relacionando todos los conceptos
que hasta ahora has visto, agregando los que se mencionan en el
texto. Debes tener en cuenta que las prácticas y el lenguaje cambian según el contexto institucional en el que se estudia y usa la
medida.
Y SÓLO ES COMPARAR…
MEDIDA
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 163
163
12/06/19 14:47
MEDIDA DE MAGNITUDES31
En la vida cotidiana y en las ciencias experimentales se habla de magnitudes
para referirse a propiedades o cualidades de los objetos o fenómenos
susceptibles de tomar diferentes valores numéricos. “Magnitud es cualquier
aspecto de las cosas que puede expresarse cuantitativamente, como la
longitud, el peso, la velocidad o la luminosidad”; “Cantidad es el aspecto por
el que se diferencian entre sí las porciones de la misma cosa o los conjuntos
de la misma clase de cosas, por el cual esas porciones o esos conjuntos se
pueden medir o contar” (Diccionario de M. Moliner).
En cambio, en las ciencias humanas y sociales, esta noción de magnitud
y cantidad es demasiado restrictiva, extendiéndose el uso del término
magnitud a rasgos de tipo cualitativo (clase social, placer, etc.). En este caso,
las “cantidades” vienen a ser las distintas modalidades o valores que puede
tomar el rasgo o característica del objeto o fenómeno en cuestión.
Se habla de medir (en sentido amplio) para designar la acción de asignar
un código identificativo a las distintas modalidades o grados de una
característica de un objeto o fenómeno perceptible, que puede variar de un
objeto a otro, o ser coincidente en dos o más objetos.
Con esta descripción tenemos en cuenta no sólo la medida habitual de
características cuantitativas y continuas como longitud, peso, capacidad,
etc., sino que también consideramos “medir” asignar una categoría a rasgos
cualitativos como el color de los ojos, la región de nacimiento, el grado de
placer que ocasiona un estímulo, etc. Cada modalidad (o grado) es un valor
de la variable que representa el rasgo correspondiente.
Magnitud
Habitualmente se suele reservar el nombre de magnitud para los atributos
o rasgos que varían de manera cuantitativa y continua (longitud, peso,
densidad, etc.), o también de manera discreta (por ejemplo, “el número de
personas”); las cantidades son los valores de dichas variables.
31
Juan Godino, Carmen Batanero y Rafael Roa. Medida de magnitudes y su didáctica para maestros, (Departamento de
Didáctica de la Matemática, Facultad de Ciencias de la Educación, Universidad de Granada, 2002), 10-21, http://www.ugr.
es/~jgodino/edumat-maestros/welcome.htm
164
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 164
12/06/19 14:47
En este caso, medir una cantidad consiste en determinar las veces que esa
cantidad contiene a la cantidad (o cantidades) que se toman como referencia
(unidades de medida). Por ejemplo, decimos que el largo de la mesa es
1 m 40 cm. Al hacer una medición asignamos un número y una unidad de
medida, o varias, dependiendo de si la cantidad a medir es múltiplo de la
cantidad tomada como referencia o no, y de la precisión deseada.
Cantidad de magnitud
Es importante distinguir los objetos particulares poseedores de un rasgo (un
valor concreto), de la clase de objetos que tienen el mismo valor o cantidad
de dicho rasgo.
Por ejemplo, el largo y ancho de este folio DIN A4 es directamente perceptible
por la vista y por el tacto. En cambio, la clase de los folios DIN A4 no es “un
objeto” perceptible. Es una norma que declara DIN A4 a cualquier hoja de
papel rectangular que mida 21 cm de ancho por 29.7 cm de largo.
Con el término cantidad nos referimos habitualmente al valor que toma la
magnitud en un objeto particular (el largo de esta mesa es 1.3 m); pero también
hablamos de una longitud o distancia entre dos puntos de 1.3 m. En este caso
la cantidad de longitud (o simplemente, la longitud) de 1.3 m hace referencia
a cualquier objeto de la clase de todos los objetos que se pueden superponer
exactamente con el largo de nuestra mesa, al menos imaginariamente.
Masa y peso
Desde un punto de vista físico, masa y peso son magnitudes diferentes. La
masa de un cuerpo es el contenido en materia de dicho cuerpo (dejamos sin
aclarar qué es la materia), mientras que el peso es la fuerza con que la Tierra
(u otro cuerpo) atrae a un objeto. La diferencia se aclara porque objetos de
la misma masa tienen un peso diferente en la Luna que en la Tierra, o situado
uno en una montaña elevada. Sin embargo, objetos de igual masa situados
en un mismo lugar de la Tierra tienen el mismo peso.
Volumen y capacidad
El término volumen se usa para designar la característica de todos los
cuerpos de ocupar un espacio. Se trata de una magnitud extensiva, derivada,
cuya unidad principal es el metro cúbico (m3). Se usa la palabra capacidad
Y SÓLO ES COMPARAR…
MEDIDA
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 165
165
12/06/19 14:47
para designar la cualidad de ciertos objetos (recipientes) de poder contener
líquidos o materiales sueltos (arena, cereales, etc.).
En realidad, no se trata de una magnitud diferente del volumen: la capacidad
de un recipiente coincide con el volumen del espacio interior delimitado por
las paredes del recipiente, y viceversa, el volumen de un cuerpo coincide con
la capacidad de un recipiente que envolviera completamente a dicho cuerpo. Cuando se habla de capacidades la unidad principal es el litro (l) que es
el volumen de 1 dm3.
Área y superficie
Con frecuencia estas palabras se usan de manera indistinta, pero es necesario
distinguir dos conceptos diferentes, aunque relacionados. Si nos fijamos en los
cuerpos o figuras geométricas debemos distinguir entre la forma que tienen
(esférica, piramidal, rectangular, plana, alabeada, etc.) y la mayor o menor extensión que ocupan. La palabra superficie se debería reservar para designar la
forma del cuerpo o figura (superficie plana, alabeada, triangular), mientras que
la palabra área debería designar la extensión de la superficie. El rasgo o característica de los cuerpos que se mide cuantitativamente es el área o extensión.
Medida directa e indirecta de cantidades
Las cantidades de una magnitud pueden ser medidas en unos casos
directamente usando los instrumentos de medida (el metro, sus múltiplos y
divisores para las longitudes; el kg, sus múltiplos y divisores para el peso, etc.).
Esta medición directa quiere decir aplicando reiteradamente las unidades de
medida hasta lograr cubrir la longitud que se quiere medir, hasta conseguir
equilibrar la balanza, etc., y según la precisión deseada.
En otros casos, si el objeto en cuestión no puede medirse directamente,
bien por su tamaño, forma, etc., pero se puede descomponer en partes o
secciones cuya medida se conoce, podemos determinar la medida del objeto
mediante operaciones aritméticas. Se habla entonces de medida indirecta.
Ejemplo: No hace falta recubrir una superficie de losetas para determinar el
área de dicha superficie. Ésta se puede determinar con frecuencia mediante
el cálculo sobre las dimensiones de la superficie.
166
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 166
12/06/19 14:47
Una vez definida la unidad de medida para ciertas magnitudes, a partir de
estas unidades se pueden definir las correspondientes a otras magnitudes.
Las primeras se conocen como magnitudes fundamentales y las segundas
como magnitudes derivadas. El carácter fundamental o derivado de una
magnitud no es intrínseco a la misma. Un sistema de unidades establece y
define con precisión cuáles son las unidades fundamentales.
Medida indirecta de áreas y volúmenes
El estudio escolar de las magnitudes área y volumen debe incluir una primera
etapa de identificación de la característica correspondiente de los objetos
(superficies y volúmenes de cuerpos y figuras geométricas), siguiendo el
proceso que se describe más adelante. Pero en la práctica las cantidades de
áreas y volúmenes se miden de manera indirecta mediante el cálculo a partir
de las medidas lineales de las dimensiones de las figuras o cuerpos. Así,
la medida del área de un rectángulo se calcula multiplicando la longitud de la
base por la altura (A = b × a), y el volumen de un ortoedro, multiplicando
las longitudes de las tres aristas que concurren en un vértice (V = a × b × c).
Magnitudes fundamentales y complementarias
Magnitud
Unidad
Símbolo
Longitud
Metro
m
Masa
Kilogramo
kg
Tiempo
Segundo
s
Intensidad
de corriente eléctrica
Amperio
A
Temperatura
termodinámica
Kelvin
K
Cantidad de sustancia
Mol
mol
Intensidad luminosa
Candela
cd
Magnitudes complementarias:
Ángulo plano
Radián
rad
Ángulo sólido
Estereorradián
sr
Y SÓLO ES COMPARAR…
MEDIDA
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 167
167
12/06/19 14:47
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Investiga en tu comunidad la manera en que miden las cosas y haz una
tabla de comparación con las magnitudes que se mencionan en el texto.
Al finalizar escribe tus conclusiones sobre el uso de la medida.
Te recomendamos leer detenidamente el texto las veces que consideres
necesario para poder definir cada uno de los conceptos, sus diferencias
y la manera en que se relacionan. Un ejercicio que te ayudará será poner
ejemplos de las semejanzas y diferencias entre los conceptos. No olvides
anotar en tu registro los hallazgos de tu estudio.
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
En el siguiente desafío saldrás de las formas planas para involucrarte con
formas tridimensionales. Te recomiendo imaginar el objeto y asegurarte de
conocer cada aspecto y concepto incluidos en el problema. Investiga las fórmulas para calcular el volumen de figuras, esto te facilitará resolver el desafío.
El siguiente esquema muestra la estructura de un filtro de agua
de 1.5 m de alto. La base es un prisma cuadrangular que mide 1 m
de lado por 50 cm de alto. Determina la cantidad de agua que se
necesita para llenar el depósito en forma de pirámide y la cantidad
de arena para llenar el resto del contenedor.
Para apoyarte en la solución y registros te puede ayudar leer los siguientes
textos y hacer los ejercicios.
168
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 168
12/06/19 14:47
VOLUME VS CAPACITY32
If there are two terms in general science that are most often interchanged in use
and meaning, they are none other than volume and capacity. To give you an idea
of the real differences between these two terms, let us compare their definitions.
Firstly, to what exactly does volume refer? Whether something is a liquid, a
solid, or a gas, volume refers to the amount of three-dimensional space that
it occupies. Some of the most common units of volume include cubic meters,
liters, milliliters and cubic centimeters.
PLO
Secondly, capacity refers to the ability of something to hold, receive, or
absorb. It is similar in concept to volume, but there are a few differences. One
good example to illustrate the difference between capacity and volume is
how they are used in sentences. Take a look at the following:
• The helium gas tank has a capacity of 12 gallons.
• The gas in our experiment expanded to twice to its original volume.
In the sentence examples, volume is used to describe the three-dimensional
size of the object, which was gas. Meanwhile, capacity refers to the volume
that the gas tank could hold.
Another example is that capacity is the ability of a container to hold two cups
of rice, while that same container may have a volume of 5 cubic centimeters,
which refers to the amount of space that the container itself occupies.
To summarize, volume is the space taken up by the object itself, while capacity
refers to the amount of substance, like a liquid or a gas, that a container can hold.
Summary:
• Volume is the amount of space taken up by an object, while capacity
is the measure of an object’s ability to hold a substance, like a solid, a
liquid, or a gas.
• While volume is measured in cubic units, capacity can be measured in
almost every other unit, including liters, gallons, pounds, etc.
• Volume is calculated by multiplying the length, width, and height of an
object, while capacity’s measurement is geared more towards cc or ml.
32
Difference Between Volume and Capacity”. http://www.differencebetween.net/science/difference-between-volumeandcapacity/ (Fecha de consulta: 21 de abril de 2018).
Y SÓLO ES COMPARAR…
MEDIDA
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 169
169
12/06/19 14:47
Con fórmulas y ejemplos que verás en seguida podrás apoyarte con el
cálculo de áreas y perímetros:
Figura
Triángulo
c
Fórmulas
a
h
A=
Nomenclatura
a, b, c: lados del triángulo
b: base
h: altura
bh
2
b
Cuadrado
A = a2
a: lado del cuadrado
A = bh
b: base
h: altura
a
a
Rectángulo
h
b
Circunferencia
A = πr2 =
r
C
πd2
4
Polígono regular
de “n” lados
l
l
l
a
Pa
A=
2
l
r: radio
d: diámetro
C: centro de la
circunferencia
l: lado del polígono
n: número de lados
a: apotema
Ilustraciones: © Shutterstock.com
l
Figura
Triángulo
equilátero
Fórmulas
Operaciones
Resultados
P = 3a
P = 3(6)
P = 18 cm
a = 6cm
170
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 170
12/06/19 14:47
Figura
Cuadrado
Fórmulas
Operaciones
Resultados
P = 4a
P = 4(6)
P = 24cm
P = 2(a + b)
P = 2 (8 + 12)
P = 2 (20)
P = 40 cm
a = 6cm
Rectángulo
h = 8 cm
b = 12cm
Trapecio
b = 14cm
a = 8cm
c = 10cm
P = a + b + c + B P = 8 + 4 + 10 + 16
P = 38 cm
B = 16cm
Ilustraciónes: © Shutterstock.com
Polígono regular
P = 5a
P = 5a
P = 35 cm
P = πd
P = 3.14(8)
P = 25.12 cm
l = 7cm
Circunferencia
d = 8cm
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
El desafío matemático es interesante, y se complementa con el reto de
traducir un texto del inglés al español para obtener más información y
detallar los conceptos. No olvides describir el proceso de estudio que
seguiste para la solución del desafío de matemáticas y para obtener
información al realizar la traducción. Escribe tus dificultades y la manera
en que las resolviste.
•
•
Calcula el volumen de un pozo que tiene de diámetro 4 m y de alto
15 m.
Si quisieras un cono con la misma base y con el mismo volumen,
¿qué altura deberá tener?
Y SÓLO ES COMPARAR…
MEDIDA
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 171
171
12/06/19 14:47
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
Supongamos que tienes 100 cajas pequeñas, cada una mide 10 cm
de cada lado de su base y 10 cm de altura. Dibuja o construye una
caja donde quepan todas las 100 cajas.
Fotos: © Shutterstock.com
Para que tengas una idea de cómo hacer el dibujo, observa las siguientes
imágenes y sus medidas, explica cuántos recipientes de los pequeños
podrás llenar con el grande.
20 litros
1
1 2 litro
1
2 litro
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Reflexiona y explica algunas conclusiones respecto al estudio de las
magnitudes: su importancia en las matemáticas y en lo que te puede ayudar
saber el tema.
Recuerda que los dibujos son una herramienta importante para resolver
problemas de matemáticas. Anota el aprendizaje logrado y la manera en
que resolviste el desafío, y al final compártelo con tu tutor.
COMPARTE LO APRENDIDO, MEJORA
Y COMPLETA TU REGISTRO
Te recomendamos que, para realizar la demostración pública, elijas el desafío en el que enfrentaste mayor dificultad para resolverlo, y ese sea el que
compartas a tus compañeros. Recuerda que en la demostración puedes
explicar la manera en que los resolviste y principalmente hablar de las dificultades y estrategias que implementaste. Al final, escucha las recomendaciones de tus compañeros y tutor e incorpóralas a tu registro.
172
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 172
12/06/19 14:47
PARA SEGUIR APRENDIENDO
Fuentes consultadas
Caballero, Arquímedes, Lorenzo Martínez y Jesús Bernárdez. Matemáticas, tercer curso.
Duodécima edición. México: Esfinge, 1975.
Díaz Camacho, Arturo, Introducción a la matemática moderna. México: Ediciones America
Central, 1970.
Difference Between Volume and Capacity. http://www.differencebetween.net/science/
difference-between-volume-andcapacity/ (Fecha de consulta: 21 de abril de 2018).
Godino, Juan, Carmen Batanero y Rafael Roa. Medida de magnitudes y su didáctica para
maestros. (Departamento de Didáctica de la Matemática, Facultad de Ciencias de la
Educación, Universidad de Granada, 2002). 615, 616, 622, 623, 624. http://www.ugr.
es/~jgodino/edumat-maestros/welcome.htm
Fuentes sugeridas
Conafe. Cómo aprendemos matemáticas. Guías de Orientación y Trabajo. 5ª edición.
México: Conafe, 1991. 57-65.
IEEPO. Educando Tv. Preescolar clase: 27. Tema: Forma, espacio y medida. https://www.
youtube.com/watch?v=BnnIcJQCecA
_____ Preescolar clase: 35. Tema: Agrupamientos por peso y tamaño. https://www.
youtube.com/watch?v=b5oNZverHNw
_____ Preescolar clase: 72. Tema: Medición. https://www.youtube.com/
watch?v=bJu2kKJT5tQ
_____ Primaria 1º y 2º clase: 134. Tema: Medida de longitudes. https://www.youtube.com/
watch?v=L4DqN9ekxAg
_____ Primaria 3º y 4º clase: 199. Tema: Las unidades de medida. https://www.youtube.
com/watch?v=t2YY0lgKfvk
_____ Primaria 5º y 6º clase: 104. Tema: Múltiplos y submúltiplos del metro cuadrado.
https://www.youtube.com/watch?v=3fEkpDR-ZuM
_____ Secundaria clase: 115. Tema: Fórmulas para hallar el perímetro y área de figuras
geométricas. https://www.youtube.com/watch?v=dIb1WuiYG5k
_____ Secundaria clase: 164. Tema: Forma, espacio y medida. https://www.youtube.com/
watch?v=UVwSCvwPxmQ
_____ Secundaria clase: 138. Tema: Polígonos regulares, fórmulas para calcular perímetro
y área. https://www.youtube.com/watch?v=OBAgVlNGX9g
Proyecto Edumat-Maestros. Matemáticas y su didáctica para maestros. www.ugr.es/jgodino /edumat-maestros/manual/5_Medida.pdf (Fecha de consulta: 15 abril de 2018).
Y SÓLO ES COMPARAR…
MEDIDA
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 173
173
12/06/19 14:47
174
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 174
12/06/19 14:47
Ilustración: © Shutterstock.com
LO EQUITATIVO
Y EL CAMBIO
PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 175
12/06/19 14:47
INTRODUCCIÓN
La proporcionalidad juega un rol formativo y transversal en la construcción
del pensamiento matemático de los estudiantes y de los ciudadanos en un
sentido amplio. Este hecho amerita comenzar con una clara diferenciación
entre nociones: fracción, razón, proporción y proporcionalidad, pues si
bien son todas ellas afines, su significado y esencia tienen diferencias
considerables entre sí, y su distinción permitirá “un acercamiento” a los
usos y la razón de ser de la proporcionalidad.
Euclides, en su libro muy famoso llamado Los elementos, habla sobre la
proporcionalidad, la cual nos lleva a dar pasos importantes a la semejanza
de figuras, que también ocupara Tales de Mileto.
Ilustración: © Shutterstock.com
¿Sabes lo que es una magnitud? ¿Alguna vez has imaginado cómo se
relacionan dos magnitudes? En esta UAA estudiaremos razonamientos
matemáticos del tema de “Proporcionalidad y funciones” que te permitirá
conocer e identificar cómo se relacionan diversas magnitudes.
Investigaremos a qué se refieren las personas cuando hablan de que algo
es el triple, la mitad, dos veces y media, una vez y media, etc. También
conoceremos aspectos relacionales entre cantidades y su variación.
Una proporción también es llamada regla de tres, y como su nombre lo
dice, siempre se tienen 3 datos y con ella podemos encontrar el cuarto
dato. Se emplea en la obtención de precios, porcentajes, medidas.
Todos estos datos obtenidos también pueden ser graficados, a esto se le
llama función, que consiste en hacer tablas, las cuales podemos representar
con gráficas.
176
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 176
12/06/19 14:47
PROPÓSITO GENERAL
Identificar la relación que existe entre magnitudes y sus relaciones de proporcionalidad directa o inversa para establecer los cambios o variaciones
en el tiempo de fenómenos naturales y sociales.
PROPÓSITOS ESPECÍFICOS
•
•
•
Reconoceremos y trabajaremos información numérica y magnitudes,
para resolver problemas mediante cálculos simples que impliquen
relaciones entre dos variables.
Compararemos razones con base en la equivalencia, proporcionalidad directa e inversa, y cómo se relacionan fracciones, decimales,
la unidad de referencia y porcentajes.
Calcularemos valores en problemas de proporcionalidad y funciones
lineales asociadas a diversos fenómenos del mundo real.
PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES
Relaciones
Proporciones
Variación
Cantidades
directamente
proporcionales
Proporción
directa
Proporción
inversa
Variables
dependientes e
independientes
Reparto
proporcional
Razón y
proporción
Constante de
proporcionalidad
Representación
algebraica y
gráfica
Valor unitario
Regla de tres
Porcentajes
Tablas de
Variación lineal
proporcionalidad
Escalas
Interés simple
y compuesto
LO EQUITATIVO Y EL CAMBIO
PROPORCIONALIDAD
Y FUNCIONES
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 177
177
12/06/19 14:47
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Pides información para identificar magnitudes entre objetos y elementos de tu entorno
y comunicas tus observaciones y opiniones.
Elaboras relaciones simples en tablas o gráficas sencillas entre magnitudes conocidas.
Ordenas los elementos de problemas que impliquen trabajo con tablas de proporcionalidad
para dotar de sentido a las tablas de multiplicar.
Usas e interpretas la relación entre magnitudes y entre números, en la solución
de problemas con contextos familiares.
Construyes soluciones para resolver problemas que impliquen el trabajo con tablas de
proporcionalidad mediante la multiplicación y la división.
Describes con dibujos los problemas y las soluciones para resolver situaciones que impliquen
identificar la relación directa o inversa entre magnitudes, diferenciando la expresión
fraccionaria de la correspondiente razón entre magnitudes.
Elaboras datos que impliquen el porcentaje de cantidades y el interés simple, para resolver
problemas y comunicar tus explicaciones y argumentaciones.
Usas lo que has aprendido para resolver problemas que implican la variación directa
o inversa de magnitudes, como el comportamiento del área de una figura al incrementar
o disminuir sus dimensiones.
Elaboras explicaciones para resolver problemas que impliquen la construcción y análisis de
escalas y semejanzas.
Evalúas lo que has elaborado para utilizarlo en distintas representaciones (gráficas, tabulares
y algebraicas) correspondientes a una relación de proporcionalidad directa o inversa para
resolver problemas del mundo real.
INICIAL
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 178
BÁSICO
INTERMEDIO
Ilustración: Ivanova Martínez Murillo
1
Distingues entre alto/bajo, ancho/delgado, largo/corto, pesado/ligero.
Ilustración: Ivanova Martínez Murillo
TRAYECTO DE APRENDIZAJE
AVANZADO
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
Es importante que aprendas a diferenciar en los objetos que se te presentan
en la vida diaria, su largo, ancho, altura, peso, y a describir las semejanzas
y diferencias que observas cuando comparas unos objetos con otros.
178
12/06/19 14:47
El desafío consiste en ordenar las siguientes imágenes. Si lo puedes hacer
con objetos reales es mejor.
Ilustración: © Shutterstock.com
Primero acomoda las pelotas por tamaño, de la más pequeña a la más
grande.
Ilustración: © Shutterstock.com
Y en esta imagen tenemos unas balanzas y pesas de diferentes tamaños,
ordénalas de mayor a menor, en cada una dice el peso.
LO EQUITATIVO Y EL CAMBIO
PROPORCIONALIDAD
Y FUNCIONES
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 179
179
12/06/19 14:47
•
•
•
•
•
¿Cuál será la más pesada de todas?
¿Cuál es la más ligera de todas?
¿Cuál pesa más, 3 o 7?
¿Cuál pesa menos, 5 o 2?
Si queremos equilibrar el peso en la balanza y en uno de los platos
ponemos las pesas de 1 y 2, ¿cuál debemos colocar en el otro plato
para que pesen lo mismo?
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
•
•
•
Anota tus reflexiones en tu cuaderno y comenta con tu tutor tus
avances.
Dibuja en tu cuaderno cómo ordenaste las pelotas.
Haz dibujos para que visualices las preguntas.
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
Antes de comenzar con el estudio, comenta con tu tutor qué entiendes
por variación y si identificas variables en la vida real, donde al aumentar el
valor de alguna variable aumenta la otra, o viceversa.
Registra en tu libreta lo que te llama la atención, y elabora un dibujo o un
esquema.
Partamos de la siguiente frase: Básicamente, una proporción es una
igualdad de razones. ¿Qué idea viene a tu mente al escuchar esa frase?
Conversa con tu tutor y escribe tus ideas.
Para trabajar este desafío te recomiendo que identifiques la o las relaciones
que existen entre los datos involucrados y lo que se pide, para que analices
cuáles te pueden ayudar para resolver el problema.
Una familia del pueblo de Chignahuapan camina cada semana al
mercado de su comunidad para vender artesanías fabricadas por
180
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 180
12/06/19 14:47
Ilustración: © Shutterstock.com
ellos mismos. Su caminata es constante
y entre su casa y la comunidad hay
2 kilómetros de distancia. Abigail es la
niña mayor de la familia y se dio cuenta
de que tardan 25 minutos en realizar ese
recorrido. Ella quiere convencer a sus
papás para vender sus artesanías en el
municipio que está a 6 kilómetros de su
casa y después llegar hasta la capital
del estado, que está a 15 kilómetros de
su casa. ¿Cuánto tiempo tardarían en
realizar esos recorridos?
El siguiente texto te ayudará a resolver el desafío.
LA RELACIÓN Y LA PROPORCIÓN33
Si decimos ¿cuántas veces es mayor 12 que 4?
Sabemos que la respuesta es 3, pero esto podemos expresarlo por medio de
una ecuación de la siguiente manera.
4x = 12, aquí x es el número que al multiplicar por 4 nos dará como resultado 12.
Si queremos saber cuántas veces 7 es menor que 28 lo expresamos de la
siguiente manera.
28
= 7, donde 28 es el número que dividiendo a x dará como resultado 7.
x
Al plantearnos estas preguntas lo que realmente hacemos es establecer una
relación, por ejemplo, entre el 4 y el 12, y la respuesta la podemos obtener
por medio de una multiplicación o una división.
4 × 3 = 12
33
12
4 =3
Texto elaborado ex professo para esta UAA.
LO EQUITATIVO Y EL CAMBIO
PROPORCIONALIDAD
Y FUNCIONES
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 181
181
12/06/19 14:47
La segunda expresión es una fracción, podemos decir que ésta es una razón
entre dos números y utilizamos este símbolo : es decir,
12 : 4 y se lee 12 es a 4
En una razón dada como a/b o a : b con b ≠ 0 al término a se le llama
antecedente y al término b se le llama consecuente.
Podemos expresar una razón como cociente de dos números.
Se dice que dos cantidades son proporcionales si al multiplicar una de
ellas por algún número, la otra quedará multiplicada por el mismo número.
También lo podemos hacer dividiéndolas, a esto se le llama cantidades
directamente proporcionales.
La razón es muy importante entre las proporciones, ya que la proporción es
de la forma a/b que se le llama razón de proporcionalidad, la cual siempre
es constante.
Ejemplo: si 18 libros cuestan $1620, la razón de proporcionalidad es de 90,
ya que 1620/18 =90
La proporción es la igualdad de dos razones
Por ejemplo: 3 paletas cuestan $6 y 8 valen $16, entonces 3/6 = 8/16
Al simplificar las fracciones como se hizo en la unidad de racionales, se
obtiene que la razón proporcional es de 1/2
A este resultado se le llama constante de proporcionalidad.
En general, también puede escribirse así:
a:b::c:d
Otra forma de verlo es que esa misma proporción se puede escribir como
3 × 16 = 6 × 8
Si tenemos tres datos y nos falta alguno, sólo habría que despejar y encontrar
el valor de la incógnita.
182
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 182
12/06/19 14:47
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Podemos seguir estableciendo relaciones:
•
•
•
¿Cuántas veces es mayor 60 que 15?
¿Cuántas veces en menor 3 que 60?
Si 5 manzanas cuestan $60, ¿cuánto cuestan 15 manzanas?
Registra con detalle tu proceso de aprendizaje, anota qué dificultades
tuviste en tu estrategia de solución, qué hiciste para salir de esas dificultades
y qué aprendizajes obtuviste.
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
La realidad tiene constantes cambios y transformaciones en el día a día,
lo cual nos lleva a distinguir variaciones en diversas formas y tamaños.
Cuando el tamaño de un espacio o estructura es más grande o pequeño de
lo que se puede percibir a simple vista, se puede realizar un modelo para
representarlo gráficamente. A esta representación gráfica que implica una
disminución o aumento de las medidas reales se le
conoce como escala.
Ilustración: © Shutterstock.com
Los estudiantes encontraron que las medidas
para una cancha de futbol sóccer son:
Largo: Mínimo 90 metros – Máximo 120 metros.
Ancho: Mínimo 45 metros – Máximo 90 metros.
El círculo central tiene 9.15 metros de radio.
El área chica o área de meta mide 5.5 metros
de largo y 7.32 metros de ancho.
El área grande o área de penal tiene 16.5
metros de largo y 40.3 metros de ancho.
Los puntos penales tienen una distancia de 11
metros con la línea del fondo.
¿Cuáles serían las dimensiones del modelo?
LO EQUITATIVO Y EL CAMBIO
PROPORCIONALIDAD
Y FUNCIONES
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 183
183
12/06/19 14:47
El siguiente texto es un apoyo para resolver el desafío.
ESCALAR34
En la elaboración de planos, mapas y maquetas utilizamos la palabra escala,
lo cual significa que las magnitudes reales se han reducido, utilizando una
escala conveniente.
Ilustración: © Shutterstock.com
Recordemos algunas equivalencias.
Equivalencias de longitud en el sistema métrico decimal
1 km = 10 Hm = 102 Dm = 103 m = 104 dm = 105 cm = 106 mm
Para reducir medidas a escala, expresamos las cantidades originales en
centímetros y las dividimos entre la escala con la que pensamos trabajar.
34
Texto elaborado ex professo para esta UAA.
184
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 184
12/06/19 14:47
Ejemplo:
Se tiene un edificio que mide 12 metros de alto y queremos hacer una maqueta
con una escala de 1:25, es decir, un centímetro en la maqueta equivale a
25 cm en la realidad.
Medida maqueta =
centímetros reales
factor de la escala
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Las escalas nos son muy útiles en varios campos, por ejemplo:
•
•
¿Has visto cuál es la escala de los mapas de la República mexicana?
¿Cuál es la escala utilizada para hacer visible una célula?
Continúa tu Registro de Proceso de Aprendizaje anotando tus estrategias
y nuevos aprendizajes de proporcionalidad. No olvides detallar cuál fue la
escala que elegiste para el modelo de la cancha.
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
Las funciones nos ayudan a modelar situaciones en las que debemos
expresar una relación entre magnitudes del mismo tipo o de diferentes
tipos. En general, en matemáticas se puede decir que una cantidad está en
función de otra cantidad si el valor de la primera depende de la segunda,
ya sea que al disminuir o aumentar lo haga en la misma proporción o
implique un cambio a la inversa.
En dos campos agrícolas se hicieron las siguientes ofertas para los
recolectores de jitomate:
Campo A. $165 por jornada diaria de 10 hrs. Con un mínimo de
35 botes de 20 kilos.
Campo B. $5 por bote de 20 kilos.
LO EQUITATIVO Y EL CAMBIO
PROPORCIONALIDAD
Y FUNCIONES
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 185
185
12/06/19 14:47
Foto: © Shutterstock.com
Si un recolector ocupa 17 minutos en llenar
un bote de 20 kilos, analiza y grafica el
comportamiento de las dos propuestas en
el tiempo para determinar cuál propuesta
conviene más.
El siguiente texto es un apoyo para resolver el desafío.
VARIACIÓN35
Variación proporcional directa e inversa
Dos cantidades son directamente proporcionales cuando al aumentar o
disminuir una, aumenta o disminuye la otra.
Dos cantidades son inversamente proporcionales cuando al aumentar una,
disminuye la otra, y al disminuir una aumenta la otra.
Para poder plantear una regla de tres, es necesario conocer por lo menos
tres cantidades. La cuarta, que es la incógnita, se desconoce y forma una
proporción con las otras tres conocidas.
Dependiendo de si las cantidades de la proporción que se establezca sean
directa o inversamente proporcionales, la regla de tres será directa o inversa.
Un ejemplo de proporcionalidad directa es el siguiente:
Jimena fue al mercado y compró 2 kilos de zanahoria y pagó $18, ¿cuánto le
cobrarán por 4 kilos?
Lo expresamos así 2 : 18 : : 4 : x
También lo podemos expresar así 2 = 4
18 x
Despejamos x y obtenemos que x = 36
35
Texto elaborado ex professo para esta UAA.
186
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 186
12/06/19 14:47
Es decir, que 4 kilos costarán $36, esta es una proporcionalidad directa ya
que a mayor cantidad comprada, mayor es el costo.
Tanto por ciento
El tanto por ciento comúnmente se designa por % y significa dividir una
cantidad en centésimas, de tal manera que cuando tenemos 1%, significa la
centésima parte de una cantidad o un número.
Si queremos expresar una fracción como porcentaje, es necesario que el
denominador de la fracción sea 100.
Ejemplo: si queremos saber que porcentaje es 7
25
Necesitamos un denominador que sea 100 y notamos que, para obtener esa
fracción equivalente, hay que multiplicar por 4.
7
7x4
28
=
=
= 0.28 = 28%
25 25 x 4 100
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Registra tu proceso de solución y tus reflexiones respecto a qué entiendes
por variación.
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
Podemos encontrar proporciones en la vida cotidiana, el desafío consiste
en investigar y nombrar en qué cosas que utiliza la gente puedes encontrar
la proporción áurea.
Lee el siguiente texto para que conozcas más sobre la proporción áurea.
LO EQUITATIVO Y EL CAMBIO
PROPORCIONALIDAD
Y FUNCIONES
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 187
187
12/06/19 14:47
SOBRE EL APRENDIZAJE
DE LA PROPORCIONALIDAD36
Si no existe una medida común, ¿cómo se pueden medir las magnitudes?
El problema de medir fue sustituido en la teoría geométrica euclidiana por
el problema de comparar. Éste es el posicionamiento fundamental que dio
origen a la teoría de las proporciones entre magnitudes.
Este hecho provocó una necesidad: la de introducir la noción de razón, pues
esta es la relación entre dos magnitudes: su comparación. De esta manera
podemos afirmar que la razón entre la longitud del lado de un cuadrado y la
longitud de su diagonal es 2, pues no hablamos de una división como en el
caso de las fracciones37 sino de una relación entre las magnitudes implicadas.
Lo mismo ocurre en el caso de la relación entre la longitud de la circunferencia
y su diámetro, siendo esta relación la constante conocida como π.
Dado que la razón refiere a la relación entre dos magnitudes, así es como
puede existir el caso, por ejemplo, de que en un conjunto de personas la
cantidad de mujeres respecto a la de hombres sea de 9 a 1, es decir, 9:1 (por
cada nueve mujeres hay un hombre), o bien, puede ser 9:9, lo que afirma
que en ese grupo de personas hay nueve mujeres y nueve hombres, o bien
podría ser 9:0, lo cual afirmaría que solo había mujeres en ese grupo.
Esto, si se viera como una fracción no sería válida pues el denominador es
cero, sin embargo, dado que es una razón que expresa la relación entre dos
magnitudes, si es posible.
Al igual que en los casos anteriores, esta situación también se expresa en
el tratamiento de otra constante famosa, la razón áurea, que es expresada
como:
(1 + √5 ) ÷ 2
Daniela Reyes-Gasperini, La transversalidad de la proporcionalidad (México: SEP, 2013), 21-25. Recuperado en http://www.
sems. gob.mx/work/models/sems/Resource/6586/1/images/transversalidad_smc_baja.pdf (Texto modificado con fines
educativos).
37
En donde la división de dos números racionales también es un número racional por ser el conjunto cerrado para las cuatro
operaciones.
36
188
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 188
12/06/19 14:47
y que representa a la relación entre dos segmentos de una recta que forman
la siguiente proporción: “la longitud total a + b es al segmento más largo a,
como a es al segmento más corto b, es decir,
a + b : a : : a : b”.
Ilustraciones: © Shutterstock.com
Hasta aquí, podemos evidenciar tres diferencias importantes entre las nociones de fracción y de razón. Las dos primeras concernientes a restricciones
numéricas y de notación: en primer lugar, las razones, al ser una relación
entre dos magnitudes, no tienen la restricción de ser la división entre dos
números enteros (ver el caso del numerador de la razón áurea en donde uno,
el numerador, es un número irracional) que da como resultado un número
racional (ver el caso de la circunferencia en donde la relación entre longitud
y diámetro es un número irracional). En segundo lugar, al no tratarse de una
división entre dos números, no es necesaria la restricción realizada sobre el
“denominador”, pues la razón no es una fracción (ver el caso de la relación
entre hombres y mujeres de un conjunto de personas). La tercera y para nosotros la más relevante, es la esencia por la cual se han desarrollado ambos
LO EQUITATIVO Y EL CAMBIO
PROPORCIONALIDAD
Y FUNCIONES
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 189
189
12/06/19 14:47
conceptos matemáticos: la fracción es la expresión de una cantidad (numerador) dividida entre otra cantidad (denominador) que representa la relación
parte–parte o parte–todo de un conjunto, mientras que la razón surge ante la
imposibilidad de medir todas las magnitudes (surge la idea de la inconmensurabilidad, es decir, que no se puede medir).
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Continúa tu registro de proceso anotando las aportaciones del texto que
consideras te ayudan en la argumentación de tus afirmaciones.
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
¿Conoces a Leonardo da Vinci? Fue un gran artista italiano, quien, entre
otras cosas, se destacó por ser un gran pintor. Era muy perseverante en
sus estudios sobre el cuerpo humano y tanto en sus investigaciones como
en su obra artística, demostraba un gran dominio de la proporción.
El siguiente texto es muestra de ello y tiene que ver con la importancia de
la proporción:
EXCERPTED FROM LEONARDO DA VINCI FOR KIDS38
As he measured and drew human bodies, Leonardo noticed that we generally
have standard proportions. He noted that “the span of a man’s outstretched
arms is equal to his height.” Other observations he noted about human
proportions:
•
38
In an adult, the head is one-eighth of the person’s height.
Janis Herbert. Copyright © 1998 by Janis Herbert. Reprinted by permission of Chicago Review Press.
190
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 190
12/06/19 14:47
•
•
•
•
•
•
The face is divided into three equal parts from the chin to the nostrils,
from the nostrils to the eyebrows, and from the eyebrows to the
hairline.
The distance across the face from one ear to another is the same as
that from the eyebrows to the chin.
The ear is as long as the nose.
The length of the forearm up to the elbow is one fourth of the body’s
height.
The foot is one-half as long as the distance from the heel to the knee.
The distance from the elbow to the wrist is one-half the length of the
thighbone.
Now is your chance to test Leonardo’s observations and maybe make some
of your own.
Ilustración: © Shutterstock.com
Spread several sheets of newspaper
on the floor so that it is longer and
wider than you are. Tape them
together. Lay down on the paper
with your arms held out away from
your body and have a friend draw
the outline of your body with a black
marker on the paper.
Measure the different parts of your body and see if they fit into the general
proportions that Leonardo noted. Have your friend measure the parts of
your face to see if those proportions Leonardo noted are true.
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Registra con detalle tus aprendizajes de la lengua inglesa y tus reflexiones.
Enlista los aspectos de la proporcionalidad que descubriste con este texto.
LO EQUITATIVO Y EL CAMBIO
PROPORCIONALIDAD
Y FUNCIONES
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 191
191
12/06/19 14:47
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
Una herramienta de las matemáticas son las gráficas para describir el
comportamiento de las ecuaciones, así podemos saber cómo se ve una
ecuación en el plano, si forma alguna figura conocida o sólo líneas o
puntos, y así entender un poco más acerca de ellas.
El desafío consiste en aprender a graficar ecuaciones de primer
grado y ecuaciones simultáneas. Para ello utilizaremos el desafío del
sistema de ecuaciones lineales de la UAA “El lenguaje del álgebra.
Ecuaciones” (el problema del restaurante y las mesas).
El siguiente texto es un apoyo para resolver el desafío.
FUNCIONES39
El plano cartesiano se forma con dos rectas perpendiculares entre sí. Al
punto donde se intersectan se le denomina origen.
A la recta horizontal se le llama eje X o eje de las abscisas, a la recta vertical
se le llama eje Y o eje de las ordenadas.
Se divide en cuatro regiones llamadas cuadrantes. A cada punto P se le
asigna un par ordenado o coordenada P (x, y).
Para localizar un punto en el plano cartesiano se toma como referencia el
origen y se avanza tanto como indica el primer número (abscisa) hacia la
derecha o izquierda, según sea su signo, de ese punto se avanza hacia arriba
o hacia abajo, tanto como lo indique el segundo número (ordenada) según
sea su signo.
Ejemplo: Graficar los puntos (2, 3), (− 3, 1), (3, −2) en el plano cartesiano.
39
Texto elaborado ex professo para esta UAA.
192
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 192
12/06/19 14:47
Ilustraciones: © Shutterstock.com
Función
Si tenemos dos conjuntos A y B y de alguna manera asociamos a cada
elemento del conjunto A, uno y solo un elemento del conjunto B, entonces
decimos que tenemos una función.
Una función consta de tres cosas:
• Un conjunto A, llamado dominio de la función.
• Otro conjunto B llamado contradominio o codominio de la función.
• Una regla de correspondencia f, que asocia a cada elemento del
conjunto A, uno y solo un elemento del conjunto B.
Se denota por f: A → B y se lee “ f va de A a B”.
Esto quiere decir que si x es un elemento del conjunto A, entonces, el
elemento de B asociado a x por medio de la función, se denota por f(x) = y,
y se lee “y es igual a f de x.”
Donde: x: variable independiente
y: variable dependiente
f(x): regla de correspondencia
Constante
Es la función que asocia un mismo valor a cada valor de la variable
independiente.
y=k
LO EQUITATIVO Y EL CAMBIO
PROPORCIONALIDAD
Y FUNCIONES
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 193
193
12/06/19 14:47
La representación es una línea paralela al eje X.
La gráfica de una ecuación de primer grado con dos incógnitas es una línea
recta, y por ello, estas ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones lineales.
Ejemplo:
Si queremos graficar las ecuaciones
y = 3x, y = 2x, y = x
Se dan valores a la x, obteniéndose así los
valores correspondientes para y.
x
y
(x, y)
1
3
(1, 3)
2
6
(2, 6)
3
9
(3, 9)
Estos pares de valores se ordenan en una
tabla.
Haremos la tabla de 3x = y, los otros
ejemplos se hacen de la misma forma.
Ilustración: © Shutterstock.com
Para obtener la recta que representa gráficamente a una ecuación de primer
grado, basta obtener dos puntos de ella, es decir, dos pares de valores
correspondientes a x, y, pero te aconsejamos determinar tres puntos, ya
que ello te ayudará a comprobar si has
resuelto correctamente la ecuación.
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Registra tu proceso de solución y tus reflexiones respecto a la gráfica de funciones
•
•
•
¿Cómo harías la tabla de la ecuación 2x + 3 = y para graficarla?
Grafica la función y = x2. ¿Es una recta?
¿Qué forma tiene?
194
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 194
12/06/19 14:47
COMPARTE LO APRENDIDO, MEJORA
Y COMPLETA TU REGISTRO
Platica con tu tutor acerca de la manera en la que piensas organizar y
realizar la demostración de lo aprendido. Puedes considerar la amplitud
y profundidad de las respuestas que has dejado en los registros de
aprendizaje, las dificultades que enfrentaste al estudiar y hacer las
actividades.
Para cerrar la unidad revisa el mapa del tema que se encuentra en
la introducción y el trayecto de aprendizaje para que verifiques los
aprendizajes que has alcanzado hasta el momento.
Cada actividad tiene sus propios productos sobre la proporcionalidad y
funciones.
Señala cuáles son los que desarrollaste y su utilidad.
PARA SEGUIR APRENDIENDO
Fuentes consultadas
Aguilar Márquez, A., F. Bravo Vázquez, H. Gallegos Ruíz, M. Cerón Villegas y R. Reyes
Figueroa. Aritmética y álgebra. Cuarta edición. México: Pearson Educación, 2016.
Caballero, Arquímedes, Lorenzo Martínez y Jesús Bernárdez. Matemáticas, tercer curso.
Duodécima edición. México: Esfinge, 1975.
Díaz Camacho, Arturo. Introducción a la matemática moderna. México: Ediciones de
América Central, 1970.
Educación Matemática. Vol. 24, núm. 1, abril de 2012. “La ejemplificación del concepto
de función: diferencias entre profesores noveles y profesores expertos”. 73-106. http://
www.revista-educacion-matematica.org.mx/revista/vol24-1/
Herbert, Janis. Excerpted from Leonardo da Vinci for Kids by Janis Herbert. Reprinted by
permission of Chicago Review Press. Leonardo da Vinci for kids, Illinois: Chicago Review
Press, 1998. http://www. arvindguptatoys.com/arvindgupta/vinci-for-kids.pdf
López Mateos, Manuel. Funciones reales. México: Asociación de Universidades e Institutos
de Enseñanza Superior, 1973.
LO EQUITATIVO Y EL CAMBIO
PROPORCIONALIDAD
Y FUNCIONES
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 195
195
12/06/19 14:47
Reyes-Gasperini, Daniela. La transversalidad de la proporcionalidad. México: SEP, 2013.
http://www.sems.gob.mx/work/models/sems/Resource/6586/1/images/transversalidad_
smc_baja.pdf
Fuentes sugeridas
IEEPO. Educando Tv. Preescolar clase 35. Tema: Agrupamientos por peso y tamaño.
https://www.youtube.com/watch?v=b5oNZverHNw
_____ Preescolar clase: 57. Tema: Semejanzas y diferencias. https://www.youtube.com/
watch?v=LAn_8DPuf0I
_____ Primaria 1º y 2º clase: 132. Tema: Relaciones aditivas al calcular números faltantes.
https://www.youtube.com/watch?v=U5VTMybGnjc
_____ Primaria 1º Y 2º clase 146. Tema: Problemas de proporcionalidad simple y directa.
https://www.youtube.com/watch?v=Q3KXW3qOkFM
_____ Primaria 5º y 6º clase: 36. Tema: Procedimientos para resolver problemas de
proporcionalidad. https://www.youtube.com/watch?v=eZb7zkI0wj4
_____ Primaria 5º y 6º clase: 42. Tema: Cálculo del tanto por ciento de cantidades.
https://www.youtube.com/watch?v=9LXGW0iGNqk
_____ Primaria 5º y 6º clase: 70. Tema: Factor constante de proporcionalidad. https://www.
youtube.com/watch?v=eiyRAwm-sCY
_____ Secundaria clase: 24 Tema: Proporcionalidad y funciones. https://www.youtube.
com/watch?v=RJb0MdpjRVI
_____ Secundaria Clase: 166. Tema: Factor inverso en una relación de proporcionalidad.
https://www.youtube.com/watch?v=1xQjYudRSNQ
_____ Secundaria Clase: 160. Tema: Problemas de reparto proporcional. https://www.
youtube.com/watch?v=Y5M05bWmQHU
196
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 196
12/06/19 14:47
Ilustración: © Shutterstock.com
ANALICEMOS
EL DATO
ANÁLISIS Y PRESENTACIÓN
DE DATOS
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 197
12/06/19 14:47
INTRODUCCIÓN
Los medios de comunicación (revistas, periódicos, televisión y redes
sociales) presentan información a través de graficas o tablas para darte a
conocer algún suceso natural o evento social de tu entorno. En esta Unidad
de Aprendizaje conocerás las herramientas necesarias para trabajar con el
análisis y presentación de la información. También tendrás la oportunidad
de comprender y valorar el papel de la estadística al procesar datos que
recabarás de tu entorno escolar, como las estaturas de tus compañeros,
sus edades y gustos por la lectura.
PROPÓSITO GENERAL
Comprender información a partir de la representación gráfica de datos
para resolver situaciones de su entorno.
PROPÓSITOS ESPECÍFICOS
•
•
•
Argumentaremos la solución de problemas por medio de la
interpretación de distintas gráficas y tablas.
Comunicaremos por escrito el comportamiento de los datos
empleando gráficos para presentar los elementos de la estadística
y las medidas de tendencia central identificados.
Presentaremos formalmente por escrito los resultados de un
estudio estadístico propio.
MAPA DE CONTENIDOS
MANEJO DE INFORMACIÓN EN UN ESTUDIO QUE DESEO CONOCER
Presentación de datos
Dibujos.
Gráficas sencillas
(símbolos y marcas).
Tablas
Gráficas con datos
numéricos y categorías
Medidas de tendencia
central
Dispersión y rango
198
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 198
12/06/19 14:47
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Clasificas objetos de acuerdo con información cualitativa y cuantitativa, y estimas diferentes
datos para comprender situaciones de tu entorno.
Usas información para explicar la representación gráfica que haces de información
relacionada con situaciones familiares.
Explicas las decisiones que tomaste para resolver problemas que implican la interpretación de
gráficas sencillas, como pictogramas, tablas y gráficas de barras.
Observas información y datos para resolver problemas que implican estimar la moda en un
conjunto de datos a partir de una representación gráfica.
Reconoces información para compartirla, a partir de datos proporcionados en tablas
y gráficas.
Describes cómo usar diferentes elementos de la estadística (población, muestra, rango,
y frecuencia) para analizar información de tu entorno.
Explicas los procedimientos que has realizado para comunicar el comportamiento
de datos de información que has recuperado en el mundo real dando a conocer la moda
y la media aritmética.
Tomas en cuenta las medidas de tendencia central en la interpretación de gráficas
para definir cuál de ellas le conviene más en el análisis del estudio en cuestión.
Comunicas mediante un gráfico (polígono de frecuencia, gráfica de líneas o histograma)
información sobre las medidas de tendencia central y la dispersión de datos agrupados que
permita comprender el estudio en cuestión.
Realizas un estudio estadístico del diseño que elaboraste desde la planificación
hasta la presentación de resultados, utilizando gráficas poligonales para inferir
conclusiones y tomar decisiones.
INICIAL
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 199
BÁSICO
INTERMEDIO
ANALICEMOS EL DATO
ANÁLISIS Y PRESENTACIÓN
DE DATOS
Ilustración: Ivanova Martínez Murillo
1
Distingues en un conjunto de objetos cual es el más alto, el más grande o el más
pequeño de entre todos.
Ilustración: Ivanova Martínez Murillo
TRAYECTO DE APRENDIZAJE
AVANZADO
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
Todos los seres humanos somos diversos, pertenecemos a familias distintas,
tenemos nombres únicos, color de cabello, de ojos y de piel diferentes;
hay quiénes preferimos jugar con la pelota y algunos leer un libro.
199
12/06/19 14:47
Ilustración: © Shutterstock.com
Si observas con atención a las personas de tu comunidad con quienes convives todos los días te darás cuenta de que tienen características distintas y
que también existen otras que compartimos. Por ejemplo: en la comunidad
siempre hay una persona muy, muy alta que casi no puede entrar en las
puertas, también hay personas muy pequeñitas que podrían entrar en una
caja de cartón.
Por otra parte, existen personas que son del mismo tamaño; y no solo
eso, también pesan lo mismo, van a la misma escuela y les gusta hacer las
mismas cosas.
Estas y otras características diversas y comunes las puedes encontrar
también en tu escuela. Es por eso que en este desafío te invitamos a
emplear las medidas de tendencia central para comparar las diversas
estaturas que tienen tú y tus compañeros y así conocer algunos elementos
de la estadística.
La siguiente actividad te ayudará a identificar algunas características
similares y diferentes que compartes con tus compañeros. Para esto se
requiere, que con la ayuda de tu tutor o algún otro compañero, dibujes la
silueta de tu cuerpo en cartoncillo o una hoja rotafolio, decórala y escribe
tu nombre sobre ella.
200
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 200
12/06/19 14:47
Una vez que tengas tu figura dibujada utilízala como referencia para medir
al resto de tus compañeros colocando tu dibujo al lado de cada uno de
ellos, si son más pequeños que tú, coloca una marca con tu lápiz indicando
la altura; si hay compañeros que son más altos que tú recorta tiras de
papel y pégalas de la cabeza de tu dibujo hacia arriba, escribe el nombre
de tus compañeros o pide que ellos lo escriban.
Una vez que has medido a todos tus compañeros, realiza un dibujo donde
se pueda observar quiénes son los más altos y quiénes los más bajitos.
•
•
•
Ilustración: © Shutterstock.com
Responde lo siguiente:
¿Quiénes son los más altos de tu escuela?
¿Quiénes son los más bajitos de tu
escuela?
¿Quiénes coinciden en estatura?
La siguiente actividad tiene como objetivo apoyarte a identificar las
medidas que recabaste de tus compañeros y transformarlas a centímetros,
para ello utilizaras la silueta que construiste con anterioridad donde se
encuentran las distintas marcas de altura de tus compañeros; apóyate con
una regla graduada, cinta métrica o, si lo prefieres, con ayuda de tu tutor
puedes elaborar una tira de papel dividida en centímetros.
Coloca tu silueta en el piso y con ayuda de la cinta métrica o regla graduada
mide desde la parte de los pies del dibujo hasta las distintas marcas
de altura de tus compañeros. Anota al lado de cada marca la altura en
centímetros y posteriormente organiza las alturas en una tabla ordenando
los datos de menor a mayor. No olvides incluirte.
A partir de tus resultados responde lo siguiente y anótalo en tu RPA
•
•
•
•
¿Cuál es el dato que más se repite?
¿Cuál es el promedio?
¿Qué dato está en el centro?
¿De qué tamaño sería una persona si midiera todas las estaturas de
tus compañeros juntas?
ANALICEMOS EL DATO
ANÁLISIS Y PRESENTACIÓN
DE DATOS
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 201
201
12/06/19 14:47
A partir de la información que hasta el momento has recabado te invitamos
a leer el siguiente texto en que conocerás cuáles son las medidas de
tendencia central.
MEDIA, MODA, MEDIANA40
Media aritmética
La media aritmética o promedio es la suma de todos los datos dividida
entre el número total de datos. Se calculan dependiendo de cómo vengan
ordenados los datos.
Ejemplo:
¿Cuál es la media de edades de Andrea y sus primos?
Andrea tiene 10 años, y sus primos Luis, Sandra y Jorge, tienen 7, 12 y 15
respectivamente.
Para calcular la media aritmética sumamos todas las edades, así tenemos:
10 + 7 + 12 + 15 = 44
Ahora dividimos 44 entre el número total de datos que es 4.
44 ÷ 4 = 11
Por lo tanto la media aritmética de las edades es 11.
La media aritmética o promedio de un grupo de datos se calcula así:
Se debe multiplicar cada dato con su respectiva frecuencia, sumar todos
estos productos, y el resultado dividirlo por la suma de los datos.
Ejemplo:
Se ha anotado el número de hermanos que tiene un grupo de amigos. Los
datos obtenidos son los siguientes:
Hermanos: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4
40
Portal Educativo, Media, moda, mediana, rango, https://www.portaleducativo.net/octavo-basico/790/Media-moda-medianarango (Fecha de consulta: 12 de marzo de 2018).
202
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 202
12/06/19 14:47
Número de hermanos (datos)
1
2
3
4
Número de veces (fx)
4
3
2
1
Multiplicamos el número de
hermanos por las veces que
se repite ese mismo dato
(frecuencia, fx)
1x4=4 2x3=6 3x2=6 4x1=4
Sumamos los resultados
4 + 6 + 6 + 4 = 20
Sumamos el número de
hermanos
1 + 2 + 3 + 4 = 10
Dividimos
20 ÷ 10 = 2
Ilustraciones: Eva María Paz González
Si hacemos el recuentro de los datos y seguimos los pasos anteriormente
descritos, tenemos:
La media del número de hermanos es: 2
Moda
La moda de un conjunto de datos es el dato que más veces se repite, es
decir, aquel que tiene mayor frecuencia absoluta. Se denota por Mo. En caso
de existir dos valores de la variable que tenga la mayor frecuencia absoluta,
habría dos modas. Si no se repite ningún valor, no existe moda.
Ejemplo 1:
¿Cuál es el dato que más se repite en el ejemplo anterior?
El dato que más se repite es el 1, es el que tiene mayor frecuencia absoluta
(4 veces)
La moda del número de hermanos es 1.
Ejemplo 2:
2, 3, 4, 5, 6, 9
En este conjunto de datos no existe ningún valor que se repita, por lo tanto,
este conjunto de valores no tiene moda.
Ejemplo 3:
1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9 M = 1, 5, 9
ANALICEMOS EL DATO
ANÁLISIS Y PRESENTACIÓN
DE DATOS
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 203
203
12/06/19 14:47
Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa
frecuencia es la máxima, la distribución es bimodal o multimodal, es decir,
tiene varias modas.
Ejemplo 4:
0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8 M = 3, 5
Si dos puntuaciones adyacentes tienen la frecuencia máxima, la moda es el
promedio de las dos puntuaciones adyacentes.
La mediana
La mediana es el valor que ocupa el lugar central entre todos los valores
del conjunto de datos, cuando estos están ordenados en forma creciente o
decreciente. La mediana se representa por Me.
Cálculo de la mediana:
1. Ordenamos los datos de menor a mayor.
La mediana de un conjunto con un número impar de datos es, una vez
ordenados los datos, el dato que ocupa el lugar central.
Ilustraciones: Eva María Paz González
Ejemplo: calcular la mediana del conjunto de datos:
2
3
4
5
8
5
3
2
3
3
4
5
5
8
Dato central
La mediana es 4
204
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 204
12/06/19 14:47
También podemos usar la siguiente forma para determinar la posición del
dato central:
(n + 1) /2 = mediana datos impares.
Ilustraciones: Eva María Paz González
La mediana de un conjunto con un número par de datos es, una vez
ordenados, la mediana de los dos datos centrales.
8
6
9
5
2
10
9
10
Ordenamos los datos
de menor a mayor
2
5
6
8
Ahora calculamos la medida de tendencia central
6+8
2
=
14
2
=
7
La mediana es 7
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Continúa con tu registro, puedes apoyarte de las siguientes preguntas:
•
•
•
•
¿Cuál es el promedio de estatura en tu escuela?
¿Cuál es la moda?
¿Cuál es la mediana de las estaturas?
¿Cómo representarías la información para comunicar tus resultados?
Para presentar tus resultados elabora distintas gráficas y acompáñalas de
pequeños textos que apoyen la interpretación de los datos presentados.
ANALICEMOS EL DATO
ANÁLISIS Y PRESENTACIÓN
DE DATOS
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 205
205
12/06/19 14:47
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
Identifica tus aprendizajes, las estrategias que seguiste para aprender, las
dificultades y dudas que han surgido.
Una escuela comunitaria está integrada por distintas personas entre
las que encontramos docentes, niñas y niños de diferentes edades, que
quizás provengan de otros lugares y compartan algunas características.
En este desafío conocerás a la población que integra tu escuela a partir
de recuperar, ordenar, analizar y presentar información con el apoyo de
algunos elementos estadísticos.
Niñas
Niños
Investiga qué porcentaje de niñas y niños hay en tu escuela, ¿cuál es la
edad promedio en años y meses? ¿cuál es la edad que se localiza en el
centro de todas? y ¿cuál es la edad que más se repite?
Para reunir la información que se te pide apóyate de una cuadrícula, como
la que está arriba, y en ella ve pegando un punto verde por cada niña y un
punto rojo por cada niño, al terminar de reunir todos los datos, selecciona
una columna y cuenta cuántos puntos tiene y escribe el número en la
parte superior, haz lo mismo con la columna que te falta.
Calcula cuál es el porcentaje de niñas y de niños en tu escuela.
206
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 206
12/06/19 14:47
Retomemos el tema de porcentajes visto en la UAA “Proporcionalidad y
funciones”.
PORCENTAJES41
Un porcentaje significa que se han tomado unas partes de cien en las que se
ha dividido una cantidad; por ejemplo, cuando decimos 32 por ciento quiere
decir que se tomaron treinta y dos partes de cien y se representa como
32/100 o como 0.32 o 32%.
Una manera rápida de calcular un tanto por ciento de una cantidad, para
ello se obtiene primero el 1% de la cantidad y luego se multiplica por el
porcentaje que se desea obtener. Para obtener el 1% se divide la cantidad
entre 100. Por ejemplo, para obtener el 32% de 74, primero se obtiene el 1%
de 74, que es el cociente de 74 ÷ 100, 74 ÷ 100= 0.74, luego se multiplica por
el porcentaje que se desea obtener, en este caso por 32, lo que nos da un
resultado de 23.68; así: el 32% de 74 es 23.68
Ahora para calcular qué tanto por ciento es una cantidad de otra se emplea
una proporción; por ejemplo, si queremos saber qué tanto por ciento es 27
de 72, entonces establecemos la siguiente proporción:
Si 72 es el total, entonces es el 100%
Luego 27 es o corresponde a x%
Así, 72 ÷ 27 = 100 ÷ x, despejamos x y nos queda:
x = 27*100 ÷ 72
Realizamos las operaciones y tenemos que
x = 37.5
Lo que nos indica que 27 es el 37.5% de 72
41
Texto elaborado ex professo para esta UAA.
ANALICEMOS EL DATO
ANÁLISIS Y PRESENTACIÓN
DE DATOS
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 207
207
12/06/19 14:47
Ilustración: © Shutterstock.com
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Para seguir registrando puedes retomar las siguientes preguntas:
•
•
•
•
¿Cuánta población de estudiantes hay en tu escuela?
¿Cuántos son niños?
¿Cuántas son niñas?
¿Cuál de los dos procedimientos anteriores te servirá y por qué?
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
Para apoyarte a recuperar la información de la edad promedio en años y
meses, te sugerimos proporcionar a cada estudiante una ficha personal
para que te pasen los datos. Por ejemplo:
208
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 208
12/06/19 14:47
Ficha personal
Nombre del estudiante
Indica el año en que naciste
Indica el mes en que naciste
Indica el día en el que naciste
Una vez que hayas recogido toda la información sobre la fecha en año y
mes de su nacimiento, tendrás que hacer un cálculo para saber cuántos
años y cuántos meses ha cumplido cada uno de ellos hasta el mes actual.
Ya que lograste obtener las edades de los compañeros en años y meses,
piensa qué tendrías que hacer con todos estos datos. Lee la siguiente
información:
¿CÓMO CALCULAR LA EDAD DE ALGUIEN CON SU
FECHA DE NACIMIENTO?42
Lo primero que nos tiene que quedar claro es que los años tienen 12 meses
y cada mes tiene, en promedio, 30 días; sabemos que algunos tienen 31 días
y hay un mes que tiene 28 días y cada cuatro años 29; por lo que el cálculo
que haremos es aproximado y sólo nos servirá para un ejercicio escolar.
Comencemos con el caso en el que en la fecha de nacimiento de la persona
los meses y los días son cifras menores a las cifras de los meses y días de la
fecha actual. Por ejemplo, pensemos que hoy es el año 2018, el mes 8 y el día
20; y la fecha de nacimiento de nuestra compañera es el año 2007, el mes 2
y el día 15; entonces sólo hacemos la resta como sigue:
−
42
2018 − 08 − 20
2007 − 02 − 15
0 0 1 1 − 06 − 05
Texto elaborado ex professo para esta UAA.
ANALICEMOS EL DATO
ANÁLISIS Y PRESENTACIÓN
DE DATOS
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 209
209
12/06/19 14:47
Ilustracionesn: © Shutterstock.com
Por lo que la edad de nuestra compañera sería de once años con seis meses
y cinco días.
Ahora pensemos en un caso en el que las cifras de los meses y los días de la
fecha de nacimiento son mayores que las cifras de los meses y días de la fecha
actual; por ejemplo, pensemos que hoy es el año 2018, el mes 8 y el día 20;
y la fecha de nacimiento de nuestra compañera es el año 2007, el mes 10 y
el día 29; entonces para poder hacer la operación trabajamos con la fecha
del día de hoy y cambiamos un año por doce meses, y se los sumamos a los
meses, y cambiamos un mes por treinta días y se los sumamos a los días,
quedando como sigue la fecha actual: 2017-19-50. Una vez hecho este ajuste,
se realiza la resta:
−
2017 − 19 − 50
2007 − 10 − 29
0010 − 09 − 21
Así, la edad de nuestra compañera sería de diez años, nueve meses con
veintiún días.
Ánimo con tus cálculos.
Cuando tengas todos los datos, puedes ordenarlos en una tabla para que
observes mejor cómo se comportan. Al analizar los datos describe cuál es
su comportamiento:
•
•
Edad mayor.
Edad menor.
210
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 210
12/06/19 14:47
•
•
•
Edad que se presenta más veces.
Edad que ocupa el lugar central.
El promedio de edad de los estudiantes de tu escuela comunitaria.
Una vez que hayas explicado el comportamiento de los datos, lee los
siguientes textos:
LAS CARPETAS DE COLORES43
Tiempo de aprender
En la estadística, al número de veces que ocurre un cierto suceso se le llama
frecuencia absoluta.
Por ejemplo, en el censo de población y vivienda 2010 se muestran los
resultados definitivos, en frecuencia absoluta.
Total nacional
Mujeres
Hombres
112 336 538
57 487 307
54 855 231
Y la proporción de veces que ocurre dicho suceso en relación con el número
de veces que podría haber ocurrido se le llama frecuencia relativa.
Hombres
49%
Mujeres
51%
Ilustración: © Shutterstock.com
43
Matemáticas I Bloque 3 Primer grado. Las carpetas de colores.
ANALICEMOS EL DATO
ANÁLISIS Y PRESENTACIÓN
DE DATOS
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 211
211
12/06/19 14:47
La frecuencia relativa también se expresa en porcentajes (%), por lo que la
población de mujeres y hombres del ejemplo anterior se puede expresar
como:
Mujeres 51%
Hombres 49%
Para la frecuencia relativa, primero se obtiene la frecuencia absoluta. Por
ejemplo, se le preguntó a 250 alumnos de secundaria cuál es su deporte
favorito. Parte de la información se presenta en la tabla.
Frecuencia relativa del básquetbol = f/n
Frecuencia relativa del básquetbol = 92/250
Fr = 0.368
Deporte favorito
Frecuencia
Frecuencia relativa
Básquetbol
92
0.368
Futbol
70
Voleibol
40
Natación
35
Otros
13
Total
250
1.00
PICTOGRAMAS44
Los pictogramas son una forma de presentar datos a través de imágenes o
símbolos y de representar una cantidad específica, lo que permite que los
niños comprendan fácilmente la información.
A través de un pictograma el niño puede aprender a “interpretar y explicar
información registrada en cuadros, gráficas y tablas, planteando y respondiendo preguntas que impliquen comparar la frecuencia de los datos registrados (en cuál hay más, cuáles son más, cuáles son iguales, cuántos hay
44
Aprendo a enseñar en preescolar. Orientaciones para el Instructor Comunitario. Pictograma. P31
212
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 212
12/06/19 14:47
menos entre éste y éste, etcétera)” para ello puedes presentarle un pictograma como el siguiente:
1985
1986
1987
1988
1989
1990
Ilustración: Eva María Paz González
LA ENCUESTA45
Cuando se tienen varios datos es muy práctico utilizar gráficas para organizar
y representar información.
45
Matemáticas I Bloque 3 Primer grado. Las carpetas de colores
ANALICEMOS EL DATO
ANÁLISIS Y PRESENTACIÓN
DE DATOS
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 213
213
12/06/19 14:47
El gráfico de barras es una representación de dos dimensiones (eje vertical
y eje horizontal). Para representar datos, se usan barras rectangulares. La
longitud de esas barras es proporcional a los valores obtenidos. Las barras
pueden ser horizontales o verticales.
¿Qué materia de tu escuela te gusta más?
Matemáticas
Ilustración: © Shutterstock.com
Español
Ciencias
Geografía
0
10
5
15
20
25
30
La gráfica circular (o de pastel) es un recurso que se emplea principalmente
para representar datos en términos de porcentaje. Los sectores de la gráfica
se obtienen al establecer la relación de proporcionalidad entre los 360 ° de
la circunferencia y el respectivo valor del ángulo que corresponde a una
sección o rebanada. Si se tiene en cuenta que 360 ° = 100%, una rebanada
que representa el 20% tendrá que cumplir la siguiente ecuación:
x
20
=
360
100
donde x
=
20 x 360
100
, por lo que x = 72
Forma equipos por género (niñas y niños) y considera el rango de edades.
Por ejemplo, pide a las niñas que se ordenen de manera ascendente
considerando su edad. En el caso de los niños el orden puede ser de forma
descendente, de acuerdo con su edad.
Esto significa que el sector circular que forma la rebanada debe de estar
determinado por un ángulo central de 72°, como se puede observar en la
siguiente imagen:
214
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 214
12/06/19 14:47
72 °
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Con el apoyo de las lecturas que acabas de realizar elige cómo vas a
presentar la información. Dialoga con tu tutor sobre el análisis y manejo
de la información que quieres comunicar.
•
¿Qué otra característica te gustaría conocer de tus compañeros de
escuela?
Revisa e identifica con tu tutor los aprendizajes logrados, las dificultades y
dudas que surgieron, así como las estrategias que te permitieron construir
comprensiones e incorpora lo que ubicaste que te hace falta, descríbelo
con más precisión. Recuerda que éste es un insumo para el momento que
brindes tutoría.
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
Los medios de comunicación nos presentan resultados sobre estudios
estadísticos, aplicados únicamente a una parte de la población mexicana;
ANALICEMOS EL DATO
ANÁLISIS Y PRESENTACIÓN
DE DATOS
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 215
215
12/06/19 14:47
Ilustración: © Shutterstock.com
ejemplos de estos estudios son las encuestas que valoran la satisfacción
de los clientes sobre el gusto de alguna marca de refresco, la telenovela
más vista o la calidad en el servicio que nos brindan las instituciones
públicas; el tipo de información que se ofrece a través de esos estudios
estadísticos ayuda a obtener conclusiones acerca de las opiniones que
tiene la población en general y a tomar decisiones para mejorar la calidad
en los servicios y productos que se ofrecen a la población.
Realiza y presenta los resultados de un estudio estadístico que te permita
inferir las preferencias de lectura que tienen tus compañeros de escuela,
para proponer la organización de un rincón de lectura en el salón de clases.
Con el fin de identificar lo que tomas en cuenta para elegir un libro y
definir cuáles son tus favoritos se te propone la siguiente actividad: visita
la biblioteca escolar y disfruta de los distintos tipos de lecturas que existen
en ella, observa las imágenes que contiene cada una, fíjate en la forma y
tamaño de los libros, puedes olerlos y sentir la textura. Luego, haz grupos
de libros en acuerdo a las siguientes consideraciones: junta los libros que
has leído y te han gustado, coloca en otro grupo los libros que no has leído
pero que te gustaría leer, arma otro grupo con los libros que no te llaman
la atención, y finalmente haz un grupo de libros que leíste pero que no te
gustaron. Puedes hacer algunas etiquetas para identificar los grupos de
libros como las siguientes:
“Libros que leí y me gustan”, “Libros que leí y no me gustan”, “Libros que
quiero leer”, “Libros que no me llaman la atención”.
216
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 216
12/06/19 14:47
Responde lo siguiente:
•
¿Qué características tienen los libros o textos que leíste y te
gustaron?
¿Qué características tienen los libros que te llaman la atención para
leer después?
¿Cuáles son las características de los libros que no te gustaron y de
los que no te llaman la atención?
Elabora una tabla con la información que obtengas de estas
respuestas.
•
•
Ilustración: © Shutterstock.com
•
Para conocer otras características que se emplean para seleccionar libros,
analiza la siguiente gráfica e identifica qué información ofrece.
3,900
TOP 10
MOST READ BOOKS
IN THE WORLD
3500
3000
2500
2000
Based on number of books printed and sold over the last 50
years. Some titles may have had more copies printed than
some of these books, but a vast number of those books
were not sold, so we’ll assume they did not get read.
1500
820
1000
400
500
43
PAULO
COELHO
DAN
BROWN
STEPHENIE
METER
33
30
GONE THINK
WITH THE
WIND AND
GROW
RICH
NAPOLEON HILL
MARGARET
MITCHELL
27
THE DIARY OF ANNE FRANK
J.K.
ROWLING
The twilight saga
J.R.R.
TOLKIEN
DA VINCI CODE
SOURCE: squido.com/mostreadbooks.
57
THE
MAO TSE TUNG
LORD
OF THE
RINGS
ALCHEMIST
THE
HOLY
BIBLE
65
THE
# Millions
of Copies Sold
(Past 50 Years)
103
QUOTATIONES FROM
CHAIRMAN MAO TSE TUNG
0
Ann Frank
Ilustración: © Javier Velázquez
4000
ANALICEMOS EL DATO
ANÁLISIS Y PRESENTACIÓN
DE DATOS
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 217
217
12/06/19 14:47
Con apoyo en la gráfica anterior contesta las siguientes preguntas:
•
•
•
•
•
•
•
¿Qué significan los números que están en la línea vertical de la
izquierda?
¿Qué significan los números que están sobre los libros?
¿Qué conclusiones puedes hacer respecto a las preferencias de
lectura en el mundo?
¿Cuáles son los cuatro libros más leídos en el mundo? ¿De qué
temas tratan estos libros?
¿Por qué crees que estos libros son los más leídos?
¿Qué información agregarías a partir de esta gráfica a tu tabla de
características de los libros que más te gustan o que no te gustan?
¿Qué le preguntarías a tus compañeros para saber qué libros les
gustan más?
El texto y la nota periodística que a continuación se presentan, te brindarán
información que te ayudará a construir estrategias para diseñar y realizar
un estudio sobre una población utilizando información contenida en una
muestra. Léelo con detenimiento y platica con tu tutor sobre aquellos
aspectos que consideres importantes para planear tu estudio.
ESTADÍSTICAS DESCRIPTIVAS E INFERENCIALES46
El lector ha visto estadísticas descriptivas en numerosas
formas: gráficas de barras, gráficas de pastel y gráficas
de líneas presentadas por un candidato político; tablas
numéricas en el periódico o el promedio de cantidad
de lluvia informado por el pronosticador del clima en
la televisión local. Las gráficas y resúmenes numéricos
46
Ilustración: © Shutterstock.com
Cuando primero se le presenta a usted un conjunto de mediciones, ya sea
una muestra o población, necesita una forma de organizarlo y resumirlo. La
rama de la estadística que presenta técnicas para describir conjuntos de
mediciones se denomina estadística descriptiva.
William Mendenhall, Robert J. Beaver y Barbara M. Beaver, Introducción a la probabilidad y estadística, (México: Cengage
Learning, 2010) 4-5 (Fecha de consulta: 11 de marzo de 2018).
218
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 218
12/06/19 14:47
generados en computadoras son comunes en nuestra comunicación de
todos los días.
Si el conjunto de mediciones es toda la población,
sólo es necesario sacar conclusiones basadas en
la estadística descriptiva. No obstante, podría ser
demasiado costoso o llevaría demasiado tiempo
numerar toda la población. Quizá enumerar la
población la destruiría, como en el caso de la
prueba “tiempo para falla”. Por estas y otras
razones, quizá el lector solo tenga una muestra de
la población que, al verla, usted desee contestar
preguntas acerca de la población en su conjunto. La rama de la estadística
que se ocupa de este problema se llama estadística inferencial.
Ilustración: © Shutterstock.com
La estadística descriptiva está formada por procedimientos empleados
para resumir y describir las características importantes de un conjunto de
mediciones.
La estadística inferencial está formada por procedimientos empleados
para hacer inferencias acerca de características poblacionales, a partir de
información contenida en una muestra de esta población.
El objetivo de la estadística inferencial es hacer inferencias (es decir,
sacar conclusiones, hacer predicciones, tomar decisiones) acerca de las
características de una población a partir de información contenida en una
muestra. He aquí una serie de conceptos:
La desviación o dispersión, es la diferencia entre los valores de una muestra
y su media aritmética. Por ejemplo, si la altura de un grupo de amigos es de
1.76, 1.90, 1.56, 1.54, 1.72, 1.68, 1.62, 1.58,
La media aritmética es 1.67.
Y la desviación de cada dato sería. 9, 23, −11, −13, 5, 1, −5 y −9,
ya que 176 − 167 = 9, 190 − 167 = 23…
ANALICEMOS EL DATO
ANÁLISIS Y PRESENTACIÓN
DE DATOS
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 219
219
12/06/19 14:47
Rango: es la diferencia entre el dato de mayor valor y el de menor valor de
un conjunto de datos.
También es importante conocer los siguientes conceptos:
•
•
•
•
•
•
Ilustración: © Shutterstock.com
•
Población. Es el conjunto de todos los elementos que permiten resolver
el problema, que presentan una característica común determinada
y medible. Por ejemplo, si el elemento es una persona, se pueden
estudiar las siguientes características: edad, peso, nacionalidad,
género, etc.
Individuo. Es la unidad estadística, es decir, cada elemento que
compone la población. Por ejemplo, en un censo poblacional cada
familia es un individuo.
Muestra. Cuando la población es muy grande entonces se saca
un subconjunto de ella que presenta el mismo comportamiento y
características de la población.
Muestreo. Es el proceso de recabar los datos que deseamos analizar,
obtenidos de la muestra representativa de la población.
Dato. Es cada valor obtenido al realizar el muestro.
Variable. Es una característica que se observa en la población, puede
tomar diferentes valores dependiendo de cada individuo.
Gráficas. Las utilizamos para representar estadísticas, son muy útiles
cuando hay que comparar cifras presentadas en forma de tablas y
datos. Las más usuales son las de barras, poligonales y circulares.
220
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 220
12/06/19 14:47
Gráficas de barras
Cada uno de los datos se indican por medio de barras, ya sean horizontales
o verticales.
Gráficas poligonales
Este tipo de representación es muy usado en el comercio y las finanzas. Es
recomendable cuando hay que comparar una gran cantidad de datos.
Gráficas circulares
Se utilizan cuando se tiene el problema de representar la relación de
cantidades individuales con un total. Sus partes o segmentos son calculados
en porcentajes o partes fraccionales del total.
Comprobemos todo lo anterior en un caso práctico.
Este lunes se dieron a conocer los resultados de la Encuesta Nacional de
Lectura y Escritura 2015. ¿Qué fue lo que se preguntó? ¿Qué tanto leemos
los mexicanos y qué leemos y a través de qué medios? Checa estas gráficas
para conocer un poco más sobre la encuesta.
5 GRÁFICAS SOBRE CUÁNTO
Y QUÉ LEEMOS LOS MEXICANOS47
REDACCIÓN
09/11/2015
Hoy se dieron a conocer los resultados de la Encuesta Nacional de Lectura
y Escritura 2015 y los resultados que arrojó es que los mexicanos leemos
5.3 libros al año. La metodología que se siguió fue con base en 5 mil 845
cuestionarios contestados de la población urbana y rural a partir de los 12
años, en territorio nacional dividido en seis regiones.
Los datos incluyen por primera vez el aspecto de la escritura a nivel nacional
y estuvo supervisada por especialistas internacionales e instituciones como
el Centro de Investigaciones Académicas y Sociales del Instituto Politécnico
Nacional (IPN), el Centro Regional para el Fomento del Libro en América
Latina (CERLALC) y el INEGI.
47
El Financiero, “5 gráficas sobre cuánto y qué leemos los mexicanos”, http://www.elfinanciero.com.mx/after-office/graficassobre-cuanto-y-que-leemos-los-mexicanos.html (Fecha de consulta: 11 de marzo de 2018).
ANALICEMOS EL DATO
ANÁLISIS Y PRESENTACIÓN
DE DATOS
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 221
221
12/06/19 14:47
¿Dónde compramos libros?
Te presentamos cinco gráficas
sobre cuánto y qué leemos los
mexicanos. Los mexicanos leemos una media de cinco libros
al año. Sólo un 21 por ciento
menciona que es algo en lo
que gasta parte de su tiempo
libre.
Poco más de una de cada 10
69.8
18.6
Librerías
¿Qué leemos?
17
16.9
9.8
Mercados/
Puesto
Ferias del
Tiendas de
libro
autoservicio o ambulantes tianguis
departamentales
Porcentaje de encuestados
57.3
55
44.9
38
25.2
16.6
Libros Periódicos
Redes Revistas
sociales
Sitios
web
Las principales razones por las
que se leen libros en México son
por entretenimiento, estudio y
trabajo.
En la capital del país se lee un
57 por ciento más que la media
del resto de México. Mientras el
40 por ciento de las personas
que han llegado a la universidad
afirma leer de manera habitual,
Historietas
o cómics
13.4
Blogs
personas descarga libros digitales. Y se trata, sobre todo, de jóvenes de entre 18 y 30
años de entornos urbanos. Las redes sociales
como Facebook o Twitter ocupan la tercera
posición en cuanto a
herramienta de lectura.
¿Por qué se leen libros?
Porcentaje de encuestados
44.3
30.5
11.8
Para
Por
entretenimiento estudiar
11.2
Para
Para
informarme trabajar
10.9
Porque
les leo a
mis hijos
222
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 222
12/06/19 14:47
entre las personas de niveles educativos más bajos, el porcentaje se reduce
al 14 por ciento.
¿Por qué no se lee?
Porcentaje de encuestados
79.9
21.3
14.6
Por falta
de tiempo
Porque nos
da flojera
Porque no
nos gusta
12.3
11.5
Preferimos
otras
actividades
Por
cansancio
La situación mexicana no es mala si se compara con la de algunos países de
América Latina, de acuerdo con un estudio realizado en 2012 por el Centro
Regional para el Fomento del Libro en América Latina y el Caribe (CERLALC),
dependiente de las Naciones Unidas. Pero sí es mala si se compara con
España o Portugal donde, según la misma institución se leían una media de
10 y 8.5 libros al año. Y no se diga ya con Finlandia.
En relación con otros paises, ¿cuántos libros lleemos al año?
47
10.3
FinlandiaE
spaña
8.5
Portugal
5.4
5.3
4.6
4
Chile
México
Argentina
Brasil
ANALICEMOS EL DATO
ANÁLISIS Y PRESENTACIÓN
DE DATOS
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 223
223
12/06/19 14:47
Después de la lectura del texto y la nota periodística reflexiona con tu
tutor sobre lo siguiente:
•
•
•
•
¿Qué fue lo que se preguntó?
¿Cuántas personas fueron encuestadas?
¿Qué método se utilizó para recabar la información?
¿Cómo se presentó la información?¿En los resultados presentados
se hizo uso de la estadística descriptiva o inferencial? Argumenta
tus respuestas.
Con apoyo en las preguntas anteriores diseña tu plan del estudio estadístico
escribiendo con claridad qué quieres saber, a quién entrevistarás, qué les
preguntarás, cómo le harás para conseguir fácilmente esa información,
cómo le harás para resumir la información que recuperes, cómo organizarás
los datos y cómo darás a conocer la información que reuniste. No olvides
presentar a tu tutor el plan de tu estudio estadístico para que juntos lo
mejoren y puedas realizarlo sin complicaciones.
Ilustración: © Shutterstock.com
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Una vez que ya has conseguido y organizado y tus resultados, es momento
de que, con base en tus conclusiones, reflexiones y respondas a las
siguientes preguntas para dar a conocer tus decisiones a tus compañeros:
•
•
¿Qué temas son los que más les gustan a los compañeros?
¿Cuáles son los temas que menos les gustan a los compañeros?
224
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 224
12/06/19 14:47
•
•
¿Qué características tienen los libros que les gustan a los
compañeros?
¿Qué características tienen los libros que no les gustan a los
compañeros?
Prepara esta información para compartir con tus compañeros, cuando
hayas reorganizado el rincón de lectura apóyate en una gráfica para dar a
conocer qué aprendiste sobre los gustos de lectura de tus compañeros y
por qué decidiste organizar así el rincón de lectura.
Ahora elabora una propuesta de reorganización del rincón de lectura que
contenga material que despierte el interés de tus compañeros por leer.
Para ello considera las siguientes recomendaciones:
•
•
•
•
•
Coloca etiquetas decoradas y claras para cada uno de los grupos
de libros que hagas.
Pon hasta atrás los libros que más les gustan a los compañeros.
Coloca al frente los libros que menos les gustan a los compañeros.
Agrega notas con personajes a los libros que menos se leen para
llamar la atención, para que así sepan de qué se tratan esos libros.
Coloca en un lugar alto y decorado el libro que más les gusta a
todos y pide a tus compañeros que escriban notitas decoradas
sobre por qué les gusta ese libro, y pégaselas a manera de medallas
en el lugar donde lo pusiste.
COMPARTE LO APRENDIDO, MEJORA
Y COMPLETA TU REGISTRO
Prepara la información que deseas compartir con tus compañeros y
posteriormente registra cómo te fue. Para esto es necesario que recurras a
tu RPA e identifiques con el apoyo de tu tutor los aprendizajes que lograste
y quizás resaltes las estrategias que te llevaron a construir comprensiones
para la solución del desafío. Si es el caso, recupera las dificultades que no
te permitían avanzar durante el desarrollo del desafío. Una vez identificada
esta información es importante que plantees los apoyos que recibiste de
tu tutor y organices la información para presentarla al grupo.
ANALICEMOS EL DATO
ANÁLISIS Y PRESENTACIÓN
DE DATOS
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 225
225
12/06/19 14:47
PARA SEGUIR APRENDIENDO
Fuentes consultadas
Chapman, James V. 10 Most Read Books in The World. 20 de marzo de 2015. http: //
hubpages.com/literature/mostreadbooks (Fecha de consulta: 23 de febrero de 2018).
Conafe. UAI. Bloque 4. Primer grado. México: Conafe.
El financiero. “5 gráficas sobre cuánto y qué leemos los mexicanos”. http://www.
elfinanciero.com.mx/after-office/graficas-sobre-cuanto-y-que-leemos-los-mexicanos.
html (Fecha de consulta: 11 de marzo de 2018).
Menderhall, William, Robert J. Beaver y Barbara M. Beaver. Introducción a la probabilidad
y la estadística. México: Cengage Learning, 2010.
Portal Educativo. Media, moda, mediana, rango, https://www.portaleducativo.net/octavobasico/790/Media-moda-mediana-rango (Fecha de consulta: 12 de marzo de 2018).
Fuentes sugeridas
IEEPO. Educando Tv. Primaria 3º y 4º clase: 183. Tema: La moda en los problemas. https://
www.youtube.com/watch?v=fQPrcsJo81g
_____ Primaria 5° y 6° clase 42. Tema: Cálculo del tanto por ciento de cantidades (primera
sesión). https://www.youtube.com/watch?v=9LXGW0iGNqk
_____ Primaria 5° y 6° clase 44. Tema: Cálculo del tanto por ciento de cantidades
(segunda sesión). https://www.youtube.com/watch?v=X6VJeVKYLCE
_____ Primaria 3º y 4º clase: 47. Tema: Pictogramas. https://www.youtube.com/
watch?v=08L1juv7y64
_____ Primaria 5º y 6º clase: 82. Tema: Lectura de datos contenidos en tablas y gráficas
circulares. https://www.youtube.com/watch?v=-AT6AfMX_ms
_____ Primaria 5º y 6º clase: 88. Tema: La media, mediana y moda. https://www.youtube.
com/watch?v=nOLqD9C0LCo
_____ Primaria 5º y 6º clase: 90. Tema: La media aritmética, mediana y moda (Segunda
sesión). https://www.youtube.com/watch?v=aSCA7lOkJoA
_____ Primaria 5º y 6º clase: 92. Tema: Métodos de tendencia central en situaciones de la
vida cotidiana. https://www.youtube.com/watch?v=IhvwuEKnuKY
_____ Primaria 5° y 6° clase 153. Tema: Interpretación de resultados. https://www.youtube.
com/watch?v=5Z4L0i0CyiE
_____ Primaria 5º y 6º clase: 182. Tema: Tablas de frecuencia y gráficas de barras. https://
www.youtube.com/watch?v=wrZs9hHszPg
_____ Secundaria clase: 136. Tema: Desviación media. https://www.youtube.com/
watch?v=uXB1gMMS2y0
226
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 226
12/06/19 14:47
Ilustración: © Shutterstock.com
ÁGUILA O SOL
NOCIONES DE PROBABILIDAD
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 227
12/06/19 14:47
INTRODUCCIÓN
Existen registros muy antiguos de la civilización egipcia de anotaciones
que se hacían para registrar resultados de eventos probables.
El concepto de probabilidad ha evolucionado en el transcurso del tiempo.
A los algebristas del siglo XVI, Pacioli, Cardano, Tartaglia, se deben las
primeras consideraciones matemáticas profundas a propósito de los
juegos de azar.
Los matemáticos Pierre de Fermat y Blaise Pascal dieron en 1654 la
primera definición de probabilidad. Demostraron que la probabilidad de
conseguir un acontecimiento es igual al cociente entre el número de casos
favorables y el de casos posibles. Después de una extensa correspondencia,
desarrollaron los principios de la teoría de la probabilidad; posteriormente
un matemático llamado Andrei Kolmogorov, estableció las bases de la
teoría de la probabilidad.
En esta unidad estudiarás la probabilidad en fenómenos o experimentos
que se llaman aleatorios, como un juego de dados o al lanzar una moneda
al aire, que usualmente los usamos para jugar o tomar decisiones. Así que
prepárate para realizar varios experimentos, hacer registros en tablas de
frecuencias, determinar la probabilidad de un evento en un experimento
aleatorio y calcular la probabilidad de la ocurrencia, y sorprenderte de los
resultados. ¿Acaso es el azar o será probabilidad?
PROPÓSITO GENERAL
Utilizar la probabilidad en la solución de problemas relacionados con
situaciones de la vida cotidiana.
PROPÓSITOS ESPECÍFICOS
•
•
Predeciremos lo que puede ocurrir en experimentos y fenómenos
aleatorios sencillos.
Explicaremos qué puede suceder en juegos y experimentos
sencillos en los que interviene o no el azar, con apoyo de registros
en tablas y gráficas.
228
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 228
12/06/19 14:47
•
Estableceremos la relación entre probabilidad frecuencial y
probabilidad teórica, así como la probabilidad de eventos
equiprobables y no equiprobables, para realizar argumentos,
predicciones, opiniones y resolver problemas.
MAPA DE CONTENIDOS
PROBABILIDAD
Probabilidad clásica
Probabilidad frecuencial
Eventos simples
Datos y gráficas
Azar
Fenómeno aleatorio
Tablas de frecuencias
Equiprobable y no equiprobable
Espacio muestral
ÁGUILA O SOL
NOCIONES DE PROBABILIDAD
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 229
229
12/06/19 14:47
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 230
6
7
8
9
10
11
Buscas información para graficar resultados de eventos de aleatorios.
Explicas cómo resolver problemas que impliquen comparar cualitativamente
la probabilidad de eventos simples.
Recuperas información para resolver problemas que impliquen aplicar conocimientos
de probabilidad para comprender, interpretar y analizar información.
Realizas explicaciones de cómo resolver problemas que impliquen calcular la probabilidad
de eventos equiprobables y no equiprobables.
BÁSICO
INTERMEDIO
Ilustración: Ivanova Martínez Murillo
5
Construyes el espacio muestral y tablas de frecuencia de eventos aleatorios sencillos
en la resolución de problemas.
Formulas hipótesis en situaciones divertidas que te proponen adivinar.
4
Realizas experimentos aleatorios para predecir el comportamiento a partir
de analizar resultados.
3
Identificas fenómenos aleatorios para interpretar información estadística familiar
y resolver problemas.
2
Predices eventos en diferentes tipos de juegos sensoriomotores.
INICIAL
Registras datos cualitativos en tablas y gráficas de frecuencia para resolver problemas.
1
Completas relatos a partir de la pregunta: ¿Y qué crees que pase después?
Ilustración: Ivanova Martínez Murillo
TRAYECTO DE APRENDIZAJE
AVANZADO
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
¿Alguna vez te has encontrado en alguna situación en la que no sabes qué
hacer? ¿Has tenido ganas de hacer dos cosas al mismo tiempo, pero no te
decides por cuál realizar primero? En la vida cotidiana suceden eventos en
los cuales tomamos decisiones, resolver problemas o incluso para jugar,
230
12/06/19 14:47
que sin pensarlo van desarrollando nuestras habilidades para enfrentar
nuevos desafíos.
El siguiente desafío es un experimento aleatorio. Realiza y analiza con
cuidado cada evento.
Si metemos 8 pelotas rojas, 5 amarillas y 7 verdes en una bolsa no
transparente, luego metemos la mano y sin ver sacamos pelotas
en dos ocasiones seguidas sin regresar la primera ¿Cuál es la
probabilidad de que la primera pelota que saquemos sea amarilla y
la segunda sea verde?
Para poyarte en la realización del experimento puedes seguir las siguientes
indicaciones:
1. Consigue pelotas, si no consigues pelotas haz bolas con papel,
o consigue tapas de envases de plástico o cualquier otro objeto,
pero la idea es que sean del mismo tamaño y forma; píntalas de tal
manera que queden como sigue: 8 rojas, 5 amarillas y 7 verdes.
2. Dibuja en tu cuaderno una tabla, para que anotes tus resultados.
3. Antes de sacar las pelotas menciona el color de la pelota que crees
va a salir, y anótalo en la tabla en el número del experimento que
realizas.
4. ¡Preparado! Sin ver en el interior de la bolsa mete la mano y saca
una pelota.
5. Vuelve a meter la pelota en la bolsa.
6. Realiza varias veces el ejercicio.
Preguntas
Número de experimento
1
2
3
4
5
6
7
8
¿Cuál color
crees que
salga?
¿Qué color
salió?
ÁGUILA O SOL
NOCIONES DE PROBABILIDAD
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 231
231
12/06/19 14:47
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Utiliza una gráfica como la anterior para registrar los colores de las pelotas
que salieron y responde en tu cuaderno las siguientes preguntas:
•
•
•
•
•
•
•
¿Qué color salió más?
¿Qué color salió menos?
¿Qué te hizo pensar que saldría primero un color en particular?
¿Qué relación habrá entre el número de pelotas con el resultado?
En tu vida cotidiana, ¿te has encontrado en una situación en la que
la probabilidad haya jugado un papel importante para tomar una
decisión?
¿Has participado en algún juego que implique el azar o la
probabilidad? Por ejemplo, en una feria, con tus familiares o amigos.
¿Cómo calculas la probabilidad cada vez que sacas una pelota?
Continuemos jugando, ¡predice el resultado!
Ilustraciones: © Shutterstock.com
Observa cada imagen y piensa lo que ocurrirá en cada uno de los
experimentos y responde las preguntas de la tabla.
Si metes la mano a cada una de las bolsas y sacas una pelota:
Preguntas
¿De qué color
crees que salga
primero?
¿Qué te hace
pensar que saldrá
primero de ese
color?
Bolsa 1
Bolsa 2
Bolsa 3
232
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 232
12/06/19 14:47
Utilicemos nuevamente todas las pelotas 8 rojas, 5 amarillas y 7 verdes, si
las colocamos en una sola urna, se podrá calcular la probabilidad de los
siguientes eventos utilizando alguna operación matemática:
•
•
•
•
•
Que sea roja.
Que sea verde.
Que sea amarilla o verde.
Que no sea roja.
Que no sea amarilla.
Si las pelotas que sacas no las devuelves a la urna, los resultados serían los
mismos, explica por qué.
Con base en los ejercicios anteriores, ¿qué puedes decir de lo siguiente?
“En todo experimento aleatorio el resultado es imprevisto”.
Registra tus reflexiones en tu cuaderno y dialoga con tu tutor las respuestas
a las preguntas del desafío.
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
Los seres humanos frecuentemente nos anticipamos a algunos sucesos,
esto es porque vamos aprendiendo a medir la frecuencia con la que un
fenómeno se presenta y entonces tenemos la posibilidad de predecir si
lo que ocurrió, pasará nuevamente. Es decir, las condiciones en las que
el suceso se presentó brindan información para fundamentar nuestra
predicción.
¡Te invito a leer el siguiente texto! y para aprovechar su contenido
te recomiendo que avances poco a poco, analizando los ejemplos y
acordándote de otros experimentos que conozcas donde has aplicado la
probabilidad.
ÁGUILA O SOL
NOCIONES DE PROBABILIDAD
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 233
233
12/06/19 14:47
PROBABILIDAD48
Esta teoría matemática tuvo como uno de sus primeros puntos de partida el
intentar resolver un problema particular concerniente a una apuesta de juego
de dados entre dos personas. El problema al que nos referimos involucraba
una gran cantidad de dinero y puede plantearse de la siguiente forma:
Dos jugadores escogen cada uno de ellos un número del 1 al 6, distinto uno
del otro, y apuestan 32 doblones de oro a que el número escogido por uno
de ellos aparece en tres ocasiones antes que el número del contrario al lanzar
sucesivamente un dado. Suponga que el número de uno de los jugadores ha
aparecido dos veces y el número del otro una sola vez. ¿Cómo debe dividirse
el total de la apuesta si el juego se suspende?
Actualmente la teoría de la probabilidad se ha desarrollado y extendido
enormemente gracias a muchos pensadores que han contribuido a su
crecimiento, y es sin duda una parte muy importante y bien establecida de las
matemáticas. La teoría de la probabilidad ha resultado muy útil para modelar
fenómenos de muy diversas disciplinas del conocimiento humano en donde
es necesario incorporar la incertidumbre o el azar como un elemento del
modelo.
Experimentos aleatorios
Existen dos tipos de fenómenos o experimentos en la naturaleza: los
deterministas y los aleatorios. Un experimento determinista es aquel que
produce el mismo resultado cuando se le repite bajo las mismas condiciones,
por ejemplo, medir el volumen de un gas cuando la presión y la temperatura
son constantes produce teóricamente siempre el mismo resultado, o medir
el ángulo de un rayo de luz reflejado en un espejo resulta siempre en el
mismo resultado cuando el ángulo de incidencia es el mismo y el resto de
las condiciones son constantes. Muchas otras leyes de la física son ejemplos
de situaciones en donde bajo idénticas condiciones iniciales, el resultado del
experimento es siempre el mismo. En contraparte, un experimento aleatorio
es aquel que cuando se le repite bajo las mismas condiciones, el resultado
que se observa no siempre es el mismo y tampoco es predecible. El lanzar
48
Rincón, Luís. Curso intermedio de probabilidad. (México: Facultad de Ciencias UNAM, 2006) 5-12.
234
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 234
12/06/19 14:47
una moneda al aire y observar la cara de la moneda que mira hacia arriba, o
registrar el número ganador en un juego de lotería, son ejemplos cotidianos
de experimentos aleatorios.
1.2. Espacio muestral
La teoría de la probabilidad es la parte de las matemáticas que se encarga
del estudio de los fenómenos o experimentos aleatorios. En principio no
sabemos cuál será el resultado de un experimento aleatorio, así que por lo
menos conviene agrupar en un conjunto a todos los resultados posibles.
Esto lleva a la siguiente definición: el espacio muestral o espacio muestra de
un experimento aleatorio es el conjunto de todos los posibles resultados del
experimento, y se le denota generalmente por la letra griega Ω (omega […]).
En algunos textos se usa también la letra S para denotar al espacio muestral.
Esta letra proviene del término sampling space de la lengua inglesa, equivalente a espacio muestral. Por otro lado y de manera preliminar llamaremos
evento o suceso a cualquier subconjunto del espacio muestral y denotaremos a los eventos por las primeras letras del alfabeto en mayúsculas: A, B,
C, […].
Ejemplo: […] Si un experimento aleatorio consiste en lanzar un dado y
observar el número que aparece en la cara superior, entonces claramente
el espacio muestral es el conjunto Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Como ejemplo de
un evento para este experimento podemos definir el conjunto A = {2, 4, 6},
que corresponde al suceso de obtener como resultado un número par. Si al
lanzar un dado una vez obtenemos el número “4”, decimos entonces que se
observó la ocurrencia del evento A = {2, 4, 6}, y si se obtiene por ejemplo el
resultado “1” decimos que no se observó la ocurrencia del evento A.
Probabilidad clásica
La probabilidad de un evento A es un número real en el intervalo [0, 1] que
denotaremos por P(A), y representa una medida de la frecuencia con la que
se observa la ocurrencia del evento A cuando se efectúa el experimento
aleatorio en cuestión. Existen definiciones más específicas de la probabilidad
[…] un renglón.
ÁGUILA O SOL
NOCIONES DE PROBABILIDAD
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 235
235
12/06/19 14:47
Definición […] Sea A un subconjunto de un espacio muestral de cardinalidad
finita. Se define la probabilidad clásica del evento A como el cociente:
P(A)=
(#A)
,
(#Ω)
en donde el símbolo #A denota la cardinalidad o número de elementos del
conjunto A.
Claramente esta definición es sólo válida para espacios muestrales finitos,
pues forzosamente necesitamos suponer que el número de elementos es
finito. Además, el espacio debe ser equiprobable, pues para calcular la
probabilidad de un evento A, únicamente necesitamos contar cuántos
elementos tiene A respecto del total, sin importar exactamente qué elementos
particulares sean. Por lo tanto, esta definición de probabilidad presupone
que todos los elementos son igualmente probables o tienen el mismo peso.
Este es el caso por ejemplo de un dado equilibrado. Para este experimento
el espacio muestral es el conjunto Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, y si deseamos calcular
la probabilidad (clásica) del evento A correspondiente a obtener un número
par, es decir A = {2, 4, 6}, entonces:
P(A)=
(#{2,4,6})
3 1
= =
(#{1,2,3,4,5,6}) 6 2
Probabilidad frecuentista
Suponga que se realizan n veces un cierto experimento aleatorio y se registra
el número de veces que ocurre un determinado evento sea A. Esta información
puede ser usada de la siguiente forma para definir la probabilidad de A.
Definición. Sea n_A el número de ocurrencias de un evento A en n
realizaciones de un experimento aleatorio. La probabilidad frecuentista del
evento A se define como el límite.
P(A)=lím
n(A)
.
n
n→∞
En este caso, debemos hacer notar que no es humanamente posible llevar
a cabo una infinidad de veces el experimento aleatorio, de modo que en la
236
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 236
12/06/19 14:47
práctica no es posible encontrar mediante este mecanismo y de manera
exacta la probabilidad de un evento cualquiera, aunque permite tener una
aproximación del valor de P(A). Esta limitación hace que esta definición
de probabilidad no sea enteramente formal, pero tiene algunas ventajas.
Veamos un ejemplo concreto. Consideremos nuevamente el experimento
aleatorio de lanzar un dado equilibrado y registrar la ocurrencia del evento
A definido como el conjunto {2, 4, 6}. Después de lanzar el dado 20 veces se
obtuvieron los siguientes resultados:
Núm.
Resultado
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3
6
2
1
4
6
3
4
2
5
nA
n
0/1
1/2
2/3
2/4
3/5
4/6
4/7
5/8
6/9
6/10
Núm.
Resultado
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
2
5
1
6
3
1
5
5
2
6
nA
n
7/11
7/12
7/13
8/14
8/15
8/16
8/17
8/18
9/19
10/20
n A
n
1
2
24
68
10 12 14 16 18 20
n
En la gráfica se muestra el singular comportamiento de este cociente a lo
largo del tiempo, al principio se pueden presentar algunas oscilaciones, pero
eventualmente el cociente parece estabilizarse en un cierto valor. Realizando
un mayor número de observaciones del experimento, no es difícil creer que
el cociente nn se estabiliza en 1/2 cuando el dado está equilibrado y el
número de ensayos n es grande.
A
ÁGUILA O SOL
NOCIONES DE PROBABILIDAD
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 237
237
12/06/19 14:47
nA
En esta tabla, tenemos en la columna n es el número de veces que sale 2,
4 o 6 en los 20 lanzamientos que realizamos.
En el primer lanzamiento sale 3, por eso el resultado en esta columna es 0/1
ya que no salió ninguno de los números del conjunto A.
En el segundo lanzamiento sale 6, así nuestro resultado será 1/2, esto quiere
decir que salió alguno de los números del conjunto A de 2 lanzamientos que
hemos realizado. Y así continuamos haciendo los lanzamientos y registrando
los resultados.
nA
n
sólo registra el número de veces que han salido 2, 4 o 6, por eso en los
lanzamientos 6 y 7 tenemos el mismo resultado y sólo cambia el número de
lanzamiento.
En el lanzamiento 18 tenemos que han salido 8 veces alguno de los números
del conjunto A, es decir el resultado es 8/18. Así lo haremos hasta completar
los 20 lanzamientos.
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Registra los aportes a tu aprendizaje a partir de la lectura y análisis del texto.
•
•
•
•
•
•
¿Cómo y cuándo puedes decir que usas la probabilidad?
¿Qué entiendes por probabilidad?
¿Por qué se le llama experimento aleatorio? Pon un ejemplo.
¿Cómo podríamos identificar el espacio muestral?
¿Cómo identificas el tipo de probabilidad que hay en un juego:
probabilidad clásica o frecuencial?
¿Qué será la probabilidad frecuentista?
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
Cuando en un juego de azar las condiciones en las que se desarrolla son
equilibradas, podemos obtener datos que nos ayudan a argumentar la
238
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 238
12/06/19 14:47
probabilidad de que un suceso se presente de la misma manera en un
experimento o cambie dependiendo de las condiciones. Algunos ejemplos
de ello los podemos encontrar en una feria, como el juego de canicas,
reventar globos, la baraja, la ruleta o el tiro al blanco.
En el siguiente desafío tienes la oportunidad de predecir resultados, pon
atención en identificar si la ocurrencia de eventos distintos es la misma o
no, es decir, si son equiprobables o no equiprobables.
Es necesario que identifiques el experimento que se propone y las preguntas que se hacen, y analices e investigues qué elementos de la probabilidad te ayudan a describir los posibles resultados de un experimento y la
ocurrencia de un evento.
Los estudiantes del centro educativo lanzaron una moneda y un
dado al aire y cada uno anotó lo que consideraba sería el resultado,
¿Cuáles son los posibles resultados de este experimento? ¿Cuál es
la probabilidad de que el resultado sea águila y un número par?
Para apoyarte en la organización de tus experimentos y registros te puede
ayudar el siguiente texto, pues presenta un análisis de la probabilidad en
un suceso.
UNIFORM DISTRIBUTION49
In the above coin tossing and the dice rolling experiments, we have assigned
an equal probability to each outcome. That is, in each example, we have chosen
the uniform distribution function. These are the natural choices provided the
coin is a fair one and the dice are not loaded. However, the decision as to
which distribution function to select to describe an experiment is not a part
of the basic mathematical theory of probability. The latter begins only when
the sample space and the distribution function have already been defined.44
49
M. Grinstead, Charles, Laurie, Snell J., Introduction to Probability. (United States: American Mathematical Society, 1998), 27.
ÁGUILA O SOL
NOCIONES DE PROBABILIDAD
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 239
239
12/06/19 14:47
It is important to consider ways in which probability distributions are
determined in practice. One way is by symmetry. For the case of the toss of
a coin, we do not see any physical difference between the two sides of a coin
that should affect the chance of one side or the other turning up. Similarly,
with an ordinary die there is no essential difference between any two sides of
the die, and so by symmetry we assign the same probability for any possible
outcome. In general, considerations of symmetry often suggest the uniform
distribution function. Care must be used here. We should not always assume
that, just because we do not know any reason to suggest that one outcome
is more likely than another, it is appropriate to assign equal probabilities. For
example, consider the experiment of guessing the sex of a newborn child. It
has been observed that the proportion of newborn children who are boys
is about .513. Thus, it is more appropriate to assign a distribution function
which assigns probability .513 to the outcome boy and probability .487 to
the outcome girl than to assign probability 1/2 to each outcome. This is an
example where we use statistical observations to determine probabilities.
Note that these probabilities may change with new studies and may vary
from country to country. Genetic engineering might even allow an individual
to influence this probability for a particular case.50
Suppose we have the experiment of the toss of a coin. ¿What can you say
about result?
1
Face
2
Eagle
X
X
X
Face
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
50
Eagle
X
X
X
X
X
Charles Grinstead M. y J. Laurie Snell. Introduction to probability, 27
240
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 240
12/06/19 14:47
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Registra los datos, tablas y aprendizaje en tu RPA y contesta las siguientes
preguntas:
•
•
•
¿Qué número de casos hay con águila?
¿Qué número de casos hay con sol?
¿Qué pasaría si usamos dos monedas al mismo tiempo?
ACEPTA EL DESAFÍO
Y CONSTRUYE COMPRENSIONES
En este desafío partamos de un experimento aleatorio de un número finito
de resultados, es decir, ocuparás la definición de la probabilidad clásica
que se encuentra en tus lecturas pasadas.
En el auditorio de una escuela secundaria se encuentran reunidos
los tres grupos de tercer grado para recibir información del curso
del idioma inglés. Del grupo A se encuentran 17, de ellos 10 hablan el
idioma y 7 no; del grupo B están 13, de éstos sólo 9 lo hablan y 4 no
y, finalmente, hay 10 estudiantes del grupo C, de ellos 3 lo hablan y 7
no. ¿Cuál es la probabilidad de que, al elegir un estudiante, éste no
hable el idioma?
REVISA TU RPA Y COMPLÉTALO
PARA QUE OTROS LO VEAN
Registra los datos, tablas y aprendizaje en tu RPA y contesta las siguientes
preguntas:
•
•
•
¿Qué número hay de casos favorables?
¿Qué número hay de casos totales?
¿Cuál es la probabilidad de que, al elegir otro estudiante, éste hable
el idioma y sea del grupo A?
ÁGUILA O SOL
NOCIONES DE PROBABILIDAD
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 241
241
12/06/19 14:47
COMPARTE LO APRENDIDO, MEJORA
Y COMPLETA TU REGISTRO
Prepara la información que deseas compartir con tus compañeros y
posteriormente registra cómo te fue. Para esto es necesario que recurras a
tu RPA e identifiques con el apoyo de tu tutor los aprendizajes que lograste
y quizás resaltes las estrategias que te llevaron a construir comprensiones
para la solución del desafío. Si es el caso recupera las dificultades que no
te permitían avanzar durante el desarrollo del desafío. Una vez identificada
esta información es importante que plantees los apoyos que recibiste de
tu tutor y organiza la información para presentarla al grupo.
PARA SEGUIR APRENDIENDO
Fuentes consultadas
Grinstead., Charles M. y J. Laurie Snell. Introduction to Probability. Second Revised
Edition. American Mathematical Society. 1998 27.
Rincón, Luis. Curso intermedio de probabilidad. México: Departamento de Matemáticas.
Facultad de Ciencias de la UNAM, 2006. 5-12.
Fuentes sugeridas
IEEPO. Educando Tv. Secundaria clase: 33. Tema: La probabilidad. https://www.youtube.
com/watch?v=KeqEavcd0ds
_____ Primaria 5º y 6º clase: 184. Tema: Cálculo de la probabilidad. https://www.youtube.
com/watch?v=idxmxTiClFI
_____ Secundaria clase 59. Tema: Eventos mutuamente excluyentes y eventos
complementarios. https://www.youtube.com/watch?v=uwQu_GXreuM
_____ Secundaria clase: 84. Tema: Probabilidad de dos eventos independientes. https://
www.youtube.com/watch?v=qa0xzk3luRI
_____ Secundaria clase: 172. Tema: Juegos de azar, registro de resultados y análisis de
resultados posibles. https://www.youtube.com/watch?v=1qgZynsi3g0
_____ Secundaria clase: 168. Tema: Probabilidad y diagramas de árbol. https://www.
youtube.com/watch?v=BJv0MjMOFGU
_____ Secundaria clase: 183. Tema: Tablas de frecuencia absoluta y relativa. https://www.
youtube.com/watch?v=-Y_TSMqTaGE
_____ Secundaria clase: 178. Tema: Experiencia aleatoria y tablas de frecuencia: Problemas
de conteo. https://www.youtube.com/watch?v=Nmh8dQbZOp8
242
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 242
12/06/19 14:47
NOTAS
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 243
12/06/19 14:47
Esta obra se terminó de imprimir en 2019,
con un tiraje de 5,190 ejemplares
UAA_PM_REV_CONAFE.indd 244
12/06/19 14:47