Propagación de Errores

Propagación de Errores
• Propagación de errores.
• Propagación de errores en sumas y diferencias.
• Propagación de errores en productos.
• Propagación de errores en cocientes.
• Error del producto por una constante.
• Error de una potencia.
• Error en funciones de una variable.
• Error en funciones de varias variables.
• Errores independientes y aleatorios
• Formula general para la propagación de errores.
9 Medidas independientes.
9 Problema semidirecto.
9 Problema inverso.
Técnicas experimentales de Física General
1/14
Propagación de errores
Medidas indirectas.- Magnitudes que se calculan a partir de los
valores encontrados en las medidas de otras magnitudes.
• Conocemos x ± δx , y ± δy ,...
• Calculamos z = f ( x, y,...)
• ¿Cuál es el error de z?
Propagación de errores.- Conjunto de reglas que permiten
asignar un error a z, conocidas las incertidumbres de x e y, ...
• Permiten asignar un error al resultado final.
• Indica la importancia relativa de las diferentes medidas
directas.
• Planificación del experimento.
Hipótesis de partida
• Medidas dependientes.- Hipótesis pesimista. Siempre en la
situación más desfavorable. Conjunto de reglas prácticas.
• Medidas independientes.- Errores cuadráticos medios.
Fórmula general de propagación de errores.
Técnicas experimentales de Física General
2/14
Propagación de errores en sumas y diferencias
Datos iniciales:
Sea su suma
y ± δy
x ± δx
q = x + y y su diferencia
q = x− y
¿Cuál es la incertidumbre, δ q ?
Valor
máximo
de q
Valor
mínimo
Suma
Diferencia
qmax = x + δ x + y + δ y =
qmax = x + δ x − ( y − δ y) =
qmin = x − δ x + y − δ y =
qmin = x − δ x − ( y + δ y) =
= x + y + (δ x + δ y )
= x + y − (δ x + δ y )
= x − y + (δ x + δ y )
= x − y − (δ x + δ y )
de q
El error absoluto de la suma y de la diferencia de dos o mas
magnitudes es la suma de los errores absolutos de dichas
magnitudes:
q = x ± y ⇒ δ q ≈ δ x +δ y
Técnicas experimentales de Física General
3/14
Ejemplo:
En un experimento se introducen dos líquidos en un matraz y se
quiere hallar la masa total del líquido. Se conocen:
M1 = Masa del matraz 1 + contenido = 540 ± 10 g
m1 = Masa del matraz 1
= 72 ± 1 g
M2 = Masa del matraz 2 + contenido = 940 ± 20 g
M2 = Masa del matraz 2
= 97 ± 1 g
La masa de líquido será:
M = M 1 − m1 + M 2 − m2 = 1311 g
Su error:
δ M = δ M 1 + δ m1 + δ M 2 + δ m2 = 32 g
El resultado se expresará:
M = 1310 ± 30 g
Técnicas experimentales de Física General
4/14
Propagación de errores en productos
 δx 
1 ± 
x
±
x
=
x
δ
Datos iniciales:

x 

Sea su producto
 δy 
y ± δy = y1 ± 
y

q = xy
¿Cuál es la incertidumbre, δ q ?
Producto
Valor
máximo
de q
δ xδ y
x y
qmax
mínimo
de q
 δx  δy ↓
 δx δy
xy
= x 1 +  y 1 +
≅
+

1 +

x
y
x
y

 



δ xδ y
Valor
x y
qmin
<<
<<
 δ x δ y  
 δx  δy ↓
= x 1 −  y 1 −
 ≅ xy 1 −  +  
x
y
y 

 

  x
El error relativo del producto es igual a la suma de los
errores relativos:
q = xy ⇒
Técnicas experimentales de Física General
δq
q
≈
δx δy
x
+
y
5/14
Propagación de errores en cocientes
 δx 
1 ± 
δ
x
±
x
=
x
Datos iniciales:

x 

x
q
=
Sea su producto
y
 δy 
y ± δy = y1 ± 
y

¿Cuál es la incertidumbre, δ q ?
Cociente
Valor
máximo
de q
qmax
 δx 1
δ xδ y
<<
x 1 +  1−ε =1+ε
x y
x  ↓ x  δ x  δ y  ↓

1+
=
≅
1 + 
 ≅
y 
x 
y
 δy


y 1 −

y 

≅
Valor
mínimo
de q
qmin
x δx δy
+
1 +

y
x
y 
 δx 1
δ xδ y
<<
x 1 −  1+ε =1−ε
x y
x  ↓ x  δ x  δ y  ↓

1−
=
≅
1 − 
 ≅
y 
x 
y
 δy


y 1 +

y 

x  δ x δ y  
≅ 1 −  +  
y   x
y  
El error relativo del cociente es la suma de los errores relativos:
x
δq δ x δ y
q=
⇒
≈
+
y
q
x
y
Técnicas experimentales de Física General
6/14
Ejemplo:
Para medir la altura de un árbol, L, se mide la longitud de su
sombra, L1, la altura de un objeto de referencia, L2, y la
longitud de su sombra, L3. Por semejanza:
L = L1
L2
L3
Realizadas las medidas resultan:
L1 = 200 ± 2 cm, L2 = 100.0 ± 0.4 cm, L3 = 10.3 ± 0.2 cm
100
L = 200 ×
= 2000 cm
10
Por tanto
Su error será
δ L δ L1 δ L2 δ L3
L
≈
L1
+
L2
+
L3
=
2
0.4 0.2
+
+
=
200 100 10.3
= (1 + 0.4 + 2)% = 3.4% → δ L =
3.4
× 2000 = 68
100
L = 2000 ± 70 cm
Técnicas experimentales de Física General
7/14
Error del producto por una constante
Datos iniciales: x ± δx
Sea q = Ax
¿Cuál es la incertidumbre, δq ?
Aplicando la regla del producto
δq
q
≈
δA δx δx
A
+
x
=
δq = A δx
⇒
x
El error absoluto del producto de una constante por una magnitud es
igual al producto de la constante por el error absoluto de la magnitud
δq = A δx
Error de una potencia
Datos iniciales: x ± δx
n
Sea q = x = x ⋅ x "⋅ x
¿Cuál es la incertidumbre, δq ?
Aplicando la regla del producto
δq
q
≈
δx δx
x
+
x
+"+
δx
x
=n
δx
x
El error relativo de una potencia es el producto de la potencia por el
error relativo de la magnitud.
δq
q
Técnicas experimentales de Física General
=n
δx
x
8/14
Error en funciones de una variable
Datos iniciales: x ± δx
Sea q = f ( x) una función cualquiera
¿Cuál es la incertidumbre, δq ?
Gráficamente
δq =
qmax − qmin
2
Analíticamente
δq = f ( x + δx ) − f ( x ) =
df ( x)
δx
dx
Si x se mide con un error δx y se utiliza para calcular q = f (x) , el
error absoluto de q viene dado por :
δq =
Técnicas experimentales de Física General
df ( x)
δx
dx
9/14
Error en funciones de varias variables
Las reglas para el cálculo de errores que hemos visto se
pueden deducir de una fórmula más general que nos permite
resolver casos más complicados.
Sean las medidas x, y con errores δx, δy usadas para
calcular:
q = f ( x, y )
Mediante un desarrollo en serie para el caso de varias variables:
f ( x + δx , y + δy ) = f ( x , y ) +
∂f
∂f
δx + δy + "
∂x
∂y
Con lo que:
∂f
∂f
δq = f (x +δx, y +δy) − f (x, y) ≈ δx + δy
∂x
∂y
Ejemplos:
Función
Errores
Error
q = kx
x ± δ (x )
δ ( q ) = kδ ( x )
q = ±x ± y ±"
x ± δ ( x) y ± δ ( y )
δ (q) ≈ δ ( x) + δ ( y )
q = kx α y β "
x ± δ ( x) y ± δ ( y )
δq
z
Técnicas experimentales de Física General
≈α
δx
x
+β
δy
y
10/14
Errores independientes y aleatorios
Las reglas anteriores suponen una sobreestimación del error,
puesto que siempre nos situamos en el caso más desfavorable.
Ejemplo: error de la suma
Dados x ± δx , y ± δy el error de la suma q = x + y viene
dado por δz ≈ δx + δy
Sin embargo:
El máximo valor posible de q, q ± δq se alcanza cuando nos
equivocamos simultáneamente δx en x y δy en y , lo que es
altamente improbable si las medidas son aleatorias e
independientes.
Una sobreestimación (o subestimación ) de x no viene
necesariamente acompañada de una sobreestimación (o
subestimación) de y .
Si las medidas son independientes
La hipótesis pesimista es exagerada.
Los errores se cancelan parcialmente.
Los errores se propagan cuadráticamente.
Técnicas experimentales de Física General
11/14
Fórmula general para la propagación de errores
• Medidas independientes
Sean las medidas de x, y , " , w con errores δx, δy , " , δw
usadas para calcular :
q = f ( x, y,", w)
Si los errores son independientes y aleatorios, entonces el error de
z es la suma en cuadratura
2
2
 ∂f

 ∂f   ∂f 
δq =  δx  +  δy  + " +  δw 
 ∂w 
 ∂x   ∂y 
2
Ejemplos:
Función
Errores
Error
q = kx
x ± δ (x )
δ ( q ) = kδ ( x )
q = ±x ± y ±"
x ± δ ( x) y ± δ ( y )
q = kx α y β "
x ± δ ( x) y ± δ ( y )
Técnicas experimentales de Física General
δ (q) =
[δ ( x)]2 + [δ ( y )]2 + "
2
2
 δx   δy 
= α  +  β  + "
q
 x   y 
δq
12/14
• Problema semidirecto
conocidos
ε ( x ), ε ( y ), "
Errores desconocidos
ε (m), ε ( n ), "
Errores
z = f ( x, y , " , m, n, ")
¿Cuál ha de ser ε ( m ), ε ( n ), " para que no influyan mucho en ε ( z ) ?
2
2
2
2

∂ z
 ∂ z
∂z
 ∂ z

ε ( z ) =  ε ( x)  +  ε ( y )  + " − + 
ε ( m)  +  ε ( n)  "
∂x
∂m

 ∂ y

 ∂ n


2
kT
A
ε 2 ( z ) = A + kT → kT = 0.2 A
ε ( z ) = 1.1 A
T = 0.2
A
k
2
 ∂z

ε
(
)
m
 ∂m
 =T → ε ( m )


2
 ∂z

ε
(
n
)
 ∂n
 =T → ε ( n)


#
Técnicas experimentales de Física General
13/14
• Problema inverso
ε ( z)
Error
deseado
Errores
conocidos
ε ( x ), ε ( y ), "
Errores desconocidos
ε ( m ), ε ( n ), "
z = f ( x, y , " , m, n, ")
¿Cuál ha de ser ε ( m ), ε ( n ), " para que ε ( z ) sea el deseado?
2
2
2
2

∂ z
 ∂ z
∂z
 ∂ z

ε 2 ( z ) =  ε ( x)  +  ε ( y )  + " + 
ε ( m)  +  ε ( n)  "
∂x
∂m

 ∂ y

 ∂ n


kT
A
ε ( z ) = A + kT → T =
2
ε 2 ( z) − A
k
2
 ∂z

m
ε
(
)
 ∂m
 =T → ε ( m )


2
 ∂z

ε
n
(
)
 ∂n
 =T → ε ( n)


#
Técnicas experimentales de Física General
14/14