Medición Indirecta. Propagación de errores

Máquinas, Métodos y Control Dimensional del Procesamiento
1
Mediciones indirectas.
Propagación de incertidumbres
Hay magnitudes que no se miden directamente, sino que se derivan de otras que sí son medidas en forma directa.
Por ejemplo, para conocer el área de un rectángulo se miden las longitudes de sus lados; para determinar la
velocidad de un vehículo se miden independientemente distancias e intervalos de tiempo. La pregunta que
queremos responder aquí es cómo las incertidumbres en las magnitudes que se miden directamente se
propagarán para contribuir a la incertidumbre de la magnitud derivada que se calcula usando una expresión.
Propagación de errores en sumas y diferencias
Datos iniciales:
x ±∆x
y ±∆y
q=x+y
¿Cuál es la incertidumbre, ∆q?
Sea su suma
y su diferencia
q=x−y
Suma
Valor
máximo
de q
Valor
mínimo
de q
Diferencia
qmax = x + ∆x + y + ∆y = qmax= x +∆x −(y −∆y) =
= x + y + (∆x + ∆y)
= x − y +(∆x + ∆y)
qmin = x − ∆x + y −∆y = qmin= x−∆x−(y +∆y) =
= x + y −(∆x + ∆y)
= x− y −(∆x+∆y)
El error absoluto de la suma y de la diferencia de dos o más magnitudes es la suma de los errores absolutos de
dichas magnitudes:
q = x ± y ⇒ ∆ ≈ ∆x + ∆y
Ejemplo:
En un experimento se introducen dos líquidos en un matraz y se quiere hallar la masa total del líquido.
Se conocen:
M1 = Masa del matraz 1 + contenido = 540 ± 10 g
m1 = Masa del matraz 1 = 72 ± 1 g
M2 = Masa del matraz 2 + contenido = 940 ± 20 g
M2 = Masa del matraz 2 = 97 ± 1 g
La masa de líquido será:
M = M1 − m1 + M2 − m2 = 1311g
Su error:
∆ M = ∆M + ∆m + ∆M + ∆m = 32g
El resultado se expresará:
M = 1310 ± 32 g
EET Nº466 – Rosario
Ing. Oscar F. Rodríguez
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Propagación de errores en productos
 ∆x 

x ± ∆x = x1 ±
x 

Datos iniciales:
q=xy
Sea su producto
¿Cuál es la incertidumbre,
 ∆y 

y ± ∆y = y1 ±

y


∆q?
Producto
Valor
 ∆x   ∆y 


 y 1 +
 ≅ xy1 + ∆x + ∆y 
máximo qmax = x1 +


x  
y 
x
y 
de q


Valor
 
 ∆x   ∆y 

 y 1 −
 ≅ xy1 −  ∆x + ∆y  
mínimo qmin = x1 −

  x
x  
y 
y  
de q

 
El error relativo del producto es igual a la suma de los errores relativos:
q = xy ⇒
∆q ∆x ∆y
≈
+
q
x
y
Propagación de errores en cocientes
 ∆x 

x ± ∆x = x1 ±

x


Datos iniciales:
q=x/y
¿Cuál es la incertidumbre, ∆q?
 ∆y 

y ± ∆y = y1 ±

y


Sea su producto
Cociente
Valor
máximo qmax
de q
 ∆x 

x1 +
 x  ∆x  ∆y  x  ∆x ∆y 
x
 ≅ 1 +
1 +
 ≅ 1 +

= 
+
x 
y  y 
x
y 
 ∆y  y 

y1 −

y


Valor
mínimo qmin
de q
 ∆x 
x1 − 
x  x  ∆x  ∆y  x   ∆x ∆y  
 ≅ 1 − 

= 
≅ 1 − 1 −
+






x 
y  y  x
y  
 ∆y  y 

y1 +
y 

El error relativo del cociente es la suma de los errores relativos:
q=
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x
y
⇒
∆q ∆x ∆y
≈
+
q
x
y
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Ejemplo:
Para medir la altura de un árbol, L, se mide la longitud de su sombra, L1, la altura de un objeto de referencia, L2,
y la longitud de su sombra, L3. Por semejanza:
L = L1
Realizadas las medidas resultan:
L1 = 200 ± 2 cm,
L2 = 100.0 ± 0.4 cm,
Por tanto
L = 200
Su error será
L2
L3
L3 = 10.3 ± 0.2 cm
100
= 2000 cm
10
∆L ∆L1 ∆L2 ∆L3
2
0 .4 0 .2
≈
+
+
=
+
+
=
L
L1
L2
L3
200 100 10.3
= ( 1 + 0.4 + 2 )% = 3.4% → ∆L =
3.4
2000 = 68
100
L = 2000 ± 70 cm
Error del producto por una constante
x ±∆x
q = A.x
Datos iniciales:
Sea
¿Cuál es la incertidumbre,
∆q?
Aplicando la regla del producto:
∆A = 0
∆q ∆A ∆x ∆x
≈
+
=
q
A
x
x
⇒ ∆q = A ∆x
El error absoluto del producto de una constante por una magnitud es igual al producto de la constante por error
absoluto de la magnitud
∆q = A ∆x
Error de una potencia
Datos iniciales:
x ±∆x
¿Cuál es la incertidumbre,
Sea
q = xn = x.x….x
∆q?
Aplicando la regla del producto:
∆q ∆x ∆x
∆x
∆x
≈
+
+L+
=n
q
x
x
x
x
El error relativo de una potencia es el producto de la potencia por el error relativo de la magnitud:
∆q
∆x
=n
q
x
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Ing. Oscar F. Rodríguez