SUMA O ADICIÓN. Las operaciones elementales tienen varias fuentes. La primera de ellas es la numeración y sus numerosas actividades contar, contar a partir de, quitar, contar hacía atrás etcétera. son conductas que los niños siguen empleando en los primeros cursos de primaria. La suma o adición es para los niños una operación sencilla se resuelve avanzando en la recta numérica y por lo tanto va en el sentido de la forma más rápida que tiene el cerebro de procesar cálculos además el alumno no está desprovisto de habilidades cuando se enfrenta el cálculo por primera vez. Ya tenemos experiencias suficientes como para afirmar, sin ningún género de dudas, qué los niños de educación infantil pueden acabar la etapa con un dominio completo de los hechos numéricos de la tabla de sumar correspondientes a los 10 primeros números y algunos niños y niñas se extienden ese conocimiento a algunas decenas. Cómo presentar este aprendizaje y a través de qué secuencias será otro de los apartados que se van a desarrollar. LOS PROCESOS MENTALES EN LA ADICCIÓN. la mente del niño no es una tabla rasa o un libro en blanco sobre el que se pueda comenzar escribir lo que el docente quiera tiene sus propias herramientas su propia forma de aprender sus ideas previas que le permiten aprender bien unas cosas y ser incapaz de aprender otras etcétera Por ello es muy importante que conozcamos la evolución que siguen los niños podemos establecer que recorre 6 etapas diferentes e inclusivas en el sentido de que cualquiera de las posteriores comprende todas las anteriores. *CONTAR TODO. es la primera la primigenia estrategia de los niños se trata de un comportamiento universal común a todas las estructuras se le dice al niño que junte cuatro objetos con tres local niño hace es extender cuatro dedos con la mano y tres dedos en otra y hecho esto cuenta todos los dedos extendidos al niño se le ponen dos pequeños montoncitos de objetos dos cubitos y tres cubitos cuántos hay en total el niño cuenta los que hay en un montón y cuando pasan montón siguiente aplica el primer elemento que debe contar el número siguiente al último elemento del primer montón. esta forma de procesar los números es muy persistente e intuitiva persistente porque hemos templado con niños de segundo y tercero de primaria han vuelto a ella cuando tenía que aprender la tabla de multiplicar utilizando los dedos y esto es intuitiva por qué el alumno no se da cuenta de ello hasta que ha acumulado muchas experiencias y cuando se enfrenta a un cálculo que no sabe acomodar o abordar vuelve inconscientemente a este procedimiento. Sucede con alumnos de 4 y 5 años. *CONTAR A PARTIR DE UN SUMANDO. Supone un salto cualitativo muy importante cuando le ponemos al niño la tarea anterior este ya no cuenta todo sino comienza a partir del primer sumando es decir que sí ha de juntar 4 con 3 comienza a partir de 4 y solo cuenta 3 más. *CONTAR A PARTIR DEL SUMANDO MAYOR. Cuando se automatiza la estrategia del paso anterior queda sitio en el pensamiento para darse cuenta de más cosas. Es lo que ocurre ahora. El niño se da cuenta de que la economía que supone colocar siempre el sumando mayor en primer lugar y contar a partir del mismo el otro sumando. el alumno emplea menos tiempo en El paso de la segunda estrategia a la tercera que en el paso de la primera a la segunda como en toda línea de progreso, el avance a través de la misma se va acelerando conforme avanza por ella. *RECUPERAR HECHOS BÁSICOS. 1 este estadio equivale al aprendizaje de la tabla aquí interviene la ayuda de la cultura si se nos permite es de expresión saberse la tabla no es más que fijar en la memoria a largo plazo los cálculos resueltos de un determinado número de combinaciones numéricas, normalmente las correspondientes a los números comprendidos en la primera decena. Son situaciones previstas y repetitivas por lo que el resultado de su relación es siempre el mismo. su utilización responde a un principio de economía es más rápido y seguro apelar a la recuperación de un resultado que tener que repetir el cálculo como si fuera la primera vez. es por lo que hablamos de la cultura nos aprovechamos de las experiencias fructíferas para no tener que recrear todo de nuevo. Algunos niños de 4 años son capaces de realizar mentalmente sumas cuyo resultado supera el número 20 y la gran mayoría de los alumnos de 5 años denominan la tabla por completo evidentemente para y utilizamos una metodología repetitiva aburrida y tediosa, sino que apela al interés y la capacidad de los alumnos. *DESCOMPONER. constituye otra estrategia básica que sin embargo y a pesar de su carácter se utiliza poco en la escuela los que conozcan algo de la metodología del cálculo aún sabrán que es una de las de manera fundamental empleamos en nuestro método. las posibilidades estrategias son inmensas la más corriente es la que se muestra más arriba el complementario hasta diez y la añadidura de lo que se da si esto es tan sencillo se practicará con la centena y con el millar el nivel de cálculo mental de nuestros alumnos subiría como la espuma. la descomposición con añadido respeto puedo adoptar infinitas soluciones conforme afecte o toma como referencia números con los que el niño calcule muy bien en lo que se refiere al dominio en el que nos movemos el niño puede desdoblar hasta complementar la primera decena después de hacerlo con cualquier decena y finalmente integrar varias decenas. *Utilizar estrategias de abreviación. Las estrategias de abreviación son aquellas con las que al aplicarlas el cálculo se retrotrae a unos niveles más elementales normalmente se instruye a los niños en dos de ellas: -Redondo: consiste en manipular los sumados para transformarlos en otros que faciliten un cálculo más sencillo y rápido es una estrategia que se debe aplicar una vez que los alumnos tengan soltura en el cálculo y comprendan la esencia de la suma la reunión en sólo conjunto de dos o más la primera tarea que se le debe enseñar al niño cuando llegué al momento de sistematizar los cálculos es que estudia los sumandos para ver si se puede aplicar técnicas de redondo. En esencia y y en las edades de las que nos ocupamos se trata de mover las piezas de manera que en uno de los humanos quedé solo decenas completas. -Compensación: Es una técnica qué a los niños les gusta mucho aplicar hemos observado Ya que en primero de primaria la ponen en práctica espontáneamente y sin que hayan sido instruidos en ella se trata de cuando uno de los sumandos rebasa en muy poco la decena o por el contrario le falta muy poco para llegar a la decena siguiente sumar sólo decenas más cercanas y después de hacer los ajustes correspondientes. TABLA DE SUMAR Tabla de sumar la secuencia de aprendizaje de la tabla de sumar que ya recogíamos en anteriores trabajos el aprendizaje de la tabla de sumar suele ser algo peor de pensar qué de pasar de acuerdo con diversos autores y con la propia experiencia racionaliza se racionaliza y facilita el aprendizaje de acuerdo con el proceso que se describe a continuación antes de nada cada niño debe tener una tabla de doble entrada vacía y debe figurar atrás de Gran tamaño igual al enfrente de la clase una vez que se aprendan unas combinaciones básicas las va a incorporar a los correspondientes casilleros 2 las primeras familias de combinaciones básicas de los niños aprenden intensamente y es la más numerosa puesto que abarca 21 combinaciones cuando los niños a lo que tienen dañado en cero o nada siguen teniendo lo mismo a continuación, el estudio todas las combinaciones básicas en las que entre el número uno es la familia del uno y abarca 19 casos o combinaciones es muy fácil y los alumnos la identifican enseguida con la progresión numérica sumar 1 cualquier número es decir el que le sigue de acuerdo con la que se dice comediante que el número mayor sea siempre el primero bien conocido y practicado 3 la familia del uno le puede seguir la familia del 10 es también fácil puesto que al parecer el 10 en primer lugar siempre será el número mayor el resultado va a ser el número que compone con el otro sumando resulta más conveniente comenzar las combinaciones de esta familia a partir de 610 + 6 continuando con el 7 8 y 9 se ve que ocurre con el 1, el 2, el 3, el 4, el 5 y el último desde el 10 + 10 la familia el des comprender es combinación es lo que hace que entre las tres familias citadas se conozcan ya 57 combinaciones de la 121 qué consta la tabla completa es decir la mitad 4 la tabla de familia de diez conviene iniciar la familia del 9 son 15 combinaciones la razón de esta sucesión es sencilla sumar es como sumar 10 pero quitando uno también aquí aparece siempre el número 9 en primer lugar por lo que resulta sencilla la composición de los resultados 5 la familia de dos es también fácil para los niños recuerda que progresión numérica y el contar salteado abarca 13 combinaciones y cabe señalar lo que se dijo en la familia de las 13 combinaciones y cabe señalar lo que se dijo en la familia del uno respecto al orden en que deben presentarse los números en estos hechos numéricos seis debe comenzar a practicarse con la familia de los dobles teniendo en cuenta las familias que ya han aprendido sólo se presenta seis combinaciones tres más tres cuatro más cuatro cinco más cinco 6 + 6 + 7 + 7 y 8 + 8 los dobles de 01 29 y 10 y están incluidos en las familias anteriores esta familia costará un poco más trabajo de aprender, pero tampoco será excesivo los dobles se les dan bien a los niños especialmente el cuatro el cinco y el seis siete ya bien conocida la familia de los dobles hay que comenzar con la familia de los vecinos de los dobles son 10 combinaciones formadas por todas aquellas parejas de números cuya diferencia es 1 pertenecen a esta familia las combinaciones 4 + 3 y 5 + 4 la estrategia es muy sencilla el resultado es doble del número mayor por qué, pero quitándole uno o si lo prefieren el doble del número menor al que se le añade 1 esto les sonará a los alumnos pues ya lo han practicado con la familia de 9 8 la familia del número misterioso abarca 8 combinaciones y suele atraer mucho a los niños resultando por ello de rápido dominio se trata de las combinaciones en las que los números que las componen tiene una diferencia en sus valores de 26 + 47 + 5 etcétera la solución es sencilla es el doble del número que no aparece y que está en medio de ahí lo del número misterioso en el caso del 8 más 6 el número intermediario es el 7 y la solución es el doble del 7 que por otra parte ya ha sido estudiado la familia de los complementarios al 10 es la última que se estudia como tal teniendo en cuenta todas las anteriores sólo dos combinaciones han quedado sin estudiar y aparecen dentro de esta familia se trata de 7 + 3 y 3 + 7 puede parecer con poco sentido el que se incluye aquí cuando en realidad se trata prácticamente de una sola combinación sin embargo se ve interesante porque el resto de las combinaciones 10 + 0,9 + 1, 8 + 2, 4 + 6 y 5 + 5 y al revés reciben el refuerzo de caer dentro de esta otra categoría que a los niños les gusta tener cambios diversos para llegar a una misma solución además como se indicó con anterioridad la familia de los complementarios a 10 es muy sencilla para el alumno a poco que vaya practicando con los dedos queda por último 10 combinaciones básica sin clasificar 5 si se aplica la propiedad comunicativa son 8 + 3, 8 + 4, 8 + 5, 7 + 4 y 6 + 3 con ellas se agota la 121 combinaciones que forman la tabla y que facilita la realización de cualquier cálculo dentro de la suma se puede aprender memorizando las simplemente o aplicando una estrategia que puede ser útil a otras combinaciones se trata de descomponer sumando mayor en dos números uno es el mismo que el otro sumando y el otro es un resto que se suma a los otros dos como se ha indicado con anterioridad 3 se pueden emplear los dos dedos de las manos para facilitar las sumas en las que ambos sumando sean superiores a 5 e inferiores a 10 son los casos más difíciles y se tranquilizan mucho los niños cuando saben que pueden recurrir al truco de los dedos si les falla la memoria cuando traten de averiguar el resultado y el procedimiento es el siguiente un dedo extendido es el número 6, 2 el número 7, 3 el número 8 y 4, el número 9 y hace lo que quiere Así si se quiere sumar8 y 6 en una mano ha de aparecer el 8 que son tres dedos extendidos y el 6 que es un solo dedo se cuentan los dedos extendidos 4 y se señalan al 10 el resultado es 14 en el caso de 8 + 9 una mano tiene 4 dedos extendidos y la otra 3 son en total 7 dedos resultando 17 EMPLEO DE LOS DEDOS es el material más tradicional y el recurso de los desmemoriados además de emplear para contar y calcular al estilo clásico se puede emplear una forma abreviada para calcular todas las combinaciones básicas integradas por números superiores a 5 inferiores al 10 RECTA NUMÉRICA constituye otro modo de aprovechar las rectas numéricas como hechos señalados la recta numérica para este fin supone una ventaja añadida pues favorece la tradición entre la numeración y la suma el sistema de cálculo es muy sencillo el niño identifica en la recta numérica el número correspondiente al sumando mayor a partir del él cuenta tantos números como indica el sumando menor el número en el que se detiene es el resultado de la suma RECTA DE CÁLCULO ELEMENTAL esta regla está formada por dos reglas ordinarias de las que el niño lleva corrientemente a la escuela formalmente es el mismo procedimiento que el anterior pero aquí seña de movilidad y ayuda a la destreza manual de los alumnos el cálculo del resultado es muy sencillo se identifica en una regla del primer sumando sobre el se hace coincidir el cero de la segunda regla se busca a continuación en esta segunda regla el número correspondiente al segundo sumando el resultado es el número que marca la primera regla en el cual en el lugar donde está el número correspondiente al segundo sumando RESTA O SUSTRACCIÓN. INTRODUCCIÓN. La resta es a la suma lo que contar hacia atrás es a contar hacia adelante: la otra cara de un mismo proceso, el reverso de una moneda la estructura aditiva sin el cual dicha moneda no existiría. Por ello, las actividades que se ocupen de transformaciones de números que supongan sustracciones se deben desarrollar un paso por detrás de las dedicadas a la suma. Para los niños de estas edades no es lo mismo contar hacia delante que contar hacia atrás, como tampoco lo es calcular la transformación de un número cuando se le añade que cuando se le sustrae. Los niños emplean estrategias espontáneas y desarrollan otras más avanzadas a partir de la práctica de las primeras. Sus primeras estrategias requieren de un recuento material. Superadas estas pueden trabajar con otras que ya no lo requieran la explicación el desarrollo de estas estrategias es un aspecto importante de este capítulo. La práctica de las anteriores herramientas abre muchas posibilidades a los niños. Ya no va a ser prematuro al trabajar el cálculo de la sustracción en la Educación Infantil. No lo es al menos sino planteamos estas cuestiones y respondemos afirmativamente a las mismas. Las actividades las tienen que realizar de manera manipulativa y después, una vez que los dominan podrán llevarlas a cabo de manera simbólica. 2. LAS ESTRATEGIAS DE LOS ALUMNOS. Cómo se dijo anteriormente el chico chica no parten de cero, sino que aplica estrategias espontáneas e intuitivas a partir de las cuales construye técnicas de cálculo más depuradas. 4 2.1 ESTRATEGIAS QUE INCLUYEN RECUENTO MATERIAL. Son las que los niños ponen en marcha cuando tienen a su alcance los objetos que se trabajan en el problema. Se aplican a situaciones en las que sólo invierten una cantidad. Fundamentalmente se puede reducir a dos: retiro directamente el sustraendo o retiro elementos hasta que quede sobre la mesa el sustraendo. Sobre los objetos que representa el minuendo, el niño quita o extrae el número de objetos equivalente al sustraendo. El resultado es lo que queda. Si el niño tiene 8 caramelos y quiere saber cuántos le van a quedar después de dar 6 apártalo 6 y cuenta los que le quedan. El alumno empieza adquirir destrezas cuando practique estos ejercicios sobre cantidades muy conocidas y sobre conjuntos muy familiares. El paso siguiente es conseguir que el niño anticipé su resultado, no se trata de que cambia el modo de operar, sino de que sin necesidad de retirar los objetos sepa cuántos van a quedar. Cuando el niño tiene destrezas para adivinar el resultado es cuando es capaz de contestar casi instantáneamente a las preguntas que se le hacen. Entonces es el momento de suprimir la recta numérica y plantearle las cuestiones con la colección de objetos que se determinen. 2.2 ESTRATEGIAS QUE NO REQUIEREN MANIPULACIÓN DIRECTA. En este caso suponen un nivel de dificultad más elevado. Los alumnos han debido adquirir una experiencia suficiente como para poder sustituir los objetos por sus propios símbolos numéricos. Cuando se haya llegado a ello tres estrategias de poner en marcha, en orden creciente de dificultad son: 1. CONTAR HACIA ATRÁS, DESDE EL MINUENDO, TANTAS COMO INDICA EL SUSTRAENDO: si a 9 le quitó 3 el niño identifica un dedo con el 9 y a continuación cuenta 3 hacia atrás señalando un dedo cada vez que cuenta uno. 2. CONTAR HASTA LLEGAR AL SUSTRAENDO: es el caso inverso puesto que no sabe que las tiene que contar. Serán los que resulten cuando haya llegado al número que sea identificado como sustraendo. Por ejemplo: tengo 12 gominolas y me voy a comer 7, ¿Cuántas me quedan? El niño piensa en 12 y a continuación va contando de 2, 11, 10, 9, 8, 7. Ya ha llegado. Ha contado 5 dedos. 3. CONTAR DESDE EL SUSTRAENDO HASTA EL MINUENDO: es el proceso más natural, aunque a veces el más costoso, es natural porque implica seguir el procedimiento más rápido y efectivo del conteo, y puede ser el más costoso si hay mucha distancia entre minuendo y sustraendo. LA TABLA DE RESTAR. Suma y resta forma la cara y cruz de una estructura aditiva, como señalamos con anterioridad. La operación quedará determinada en función, en donde ponemos el interrogante o hacemos desaparecer el dato así en la estructura a + b = c si desaparece se habrá que resolver una suma, pero si lo que no tenemos esa o b entonces la operación pertinente es una resta. Si el alumno domina los hechos numéricos correspondientes a la suma (tabla de sumar) no ha de tener dificultades para operar la resta. El aprendizaje y la práctica de la sustracción pueden colmar lagunas que se den en el conocimiento de las combinaciones básicas de la suma. Pero es muy recomendable que estás sean dominadas para poder conseguir una buena ejecución a la resta. Las situaciones de la sustracción En estas edades no tenemos por qué ser tan exhaustivo. Simplificando y centrándonos en los aspectos más esenciales, hay cinco categorías de actividades claramente delimitadas entre si cuya práctica ofrece muchas posibilidades del desarrollo del sentido del número. 5 DETRAER: Un niño sabe, de una determinada colección, quitar un determinado número de elementos y puede averiguar los que están contando. Cuando tienen esta experiencia asentada, puede anticipar los resultados, pueden realizar estas actividades sobre la recta numérica o sobre la tabla, hace dibujos finalmente con los signos gráficos correspondientes los números. La detracción implica una sola cantidad, de la que se quita una que se nos dice. Ejemplo: “Tengo10 bombones y me como 4 ¿Cuántos me quedan? “En mi clase somos 24. Si hay 14 niñas ¿Cuántos niños hay? AÑADIR HASTA UN TOPE: El niño sabe, añadir elementos a una colección hasta que esta alcance un cardinal determinado. Si un niño tiene 4 caramelos, va añadiendo hasta llegar a 10. Cuenta los añadidos y este es el resultado. Siempre es curioso observar lo que hacen los niños. Le damos a un niño cuatro palillos y le decimos que añada hasta llegar a nueve, lo hace; echa uno y dice cinco, echa el segundo y dice seis, y así hasta que añade el quinto. Pero cuando les preguntamos cuantos a puesto es imposible que no sepa respondernos, ya que no se ha tomado la precaución de separar lo que añadió y los que ya tenía. Situaciones que el niño puede realizar: El niño tiene una cantidad. Tiene que llegar a otra, poniendo elementos. “Tienes 4 canicas ¿Cuántas te tienen que regalar para que tengas 10?” La cantidad a la que hay que llegar es la que sirve de referencia a otra cantidad. “Tengo nueve caramelos. Lidia tiene cinco ¿Cuántos le tienen que dar a Lidia para que tenga los mismos que yo?” QUITAR HASTA UN TOPE: Tiene que ir apartando objetos hasta alcanzar un número determinado. Hay tres situaciones que son: Se parte de una cantidad, de la que se detrae una parte no determinada, y se sabe lo que queda. Se trata de averiguar que parte se ha detraído. “Tenía 12 caramelos. Le he dado a mi amiga unos pocos, y ahora me quedan. ¿Cuántos le he dado? Se parte de una cantidad desconocida, a la que se le añade otra que si se conoce. Se cuentan las que se tienen, y a partir de ella se ha de averiguar cuantas se tenían “He ganado 8 canicas y ahora tengo 12 ¿Cuántas tenía cuando empecé a jugar? La cantidad a la que tengo que llegar tiene como referencia una cantidad ajena. “Tengo 12 canicas, y Lidia tiene 7 ¿Cuántas tengo que perder para que me quede con las mismas que Lidia? COMPENSAR: O redistribuir. Supongamos el caso siguiente: 6 “Sara tiene ocho caramelos y Nerea tiene dos ¿Cuántos le tiene que dar Sara a Nerea para que ambas tengan el mismo número de caramelos? Es evidente que el problema se puede resolver por tanteos, por ensayo y error. Pero la sistematización del mismo pasa por establecer la diferencia entre una y otra cantidad para a continuación, partir esa diferencia. También es evidente que el resultado final (cada una se queda con cinco caramelos) es el número que bisecciona la distancia existente entredós y ocho. En un primer momento, que el de la diferencia y la partición y juega con la ventaja de que aporta al alumno la visualización espacial de las distancias entre dos números. El enfoque de la diferencia y la participación implica la capacidad del alumno para hacer mitades o tercios. Cuando hablamos de mitades o tercios no estamos diciendo nada que tenga que ver con las divisiones clásicas en las que el divisor sea dos o tres. Nos referimos a la capacidad que tenga el alumno para repartir en partes iguales una cantidad entre dos o tres sujetos, o entre dos o tres recipientes, de manera tal que se sepa dar a cada uno la misma cantidad y que, si le sobra algún elemento, sepa también cuantos más necesita para poder repartir uno más A B C D Volvamos a la situación planteada con Sara y Nerea. En la tabla, A representa la situación de partida. B establece la diferencia entre Sara y Nerea. C parte esa diferencia en dos. D traslada una de las mitades de la diferencia a Nerea, quitándola del montón de Sara. Ambas quedan con el mismo número de caramelos. Es otro procedimiento que los niños son capaces de realizar manipulativamente. 7
