22222222 - MatematicasBasicas1

Trigonometría
La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es "la
medición de los triángulos". Se deriva del vocablo griego τριγωνο <trigōno>
"triángulo" + μετρον <metron> "medida".[1]
La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los
ángulos y los lados de los triángulos. Para esto se vale de las razones trigonométricas,
las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos.
En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno;
tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las
demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren
medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es
el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.
Teorema de pitágoras
El teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica exclusivamente a triángulos
rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que
se conocen los otros dos. El teorema se enuncia así:
c2 = a2+b2
donde a y b son los lados del triángulo rectángulo, y c siempre es la hipotenusa (el lado
más grande del triángulo).
El cuadrito rojo en la esquina del triángulo indica solamente que ese ángulo es recto (o
sea, mide exactamente 90°)
Para usar el teorema de Pitágoras, sólo hay que sustituir los datos que te dan, por
ejemplo, en el triángulo rectángulo:
Te dan a (que es 3) y b (que es 4), así que sustituimos en la fórmula, y eso nos dá:
c2 = (3)2 + (4)2
elevando al cuadrado, eso da:
c2 = 9 +16 = 25
para obtener el valor de c, sacamos raíz cuadrada:
o sea que c = 5.
Ley de los senos
La ley de los Senos es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen entre los
lados y ángulos de un triángulo cualquiera, y que es útil para resolver ciertos tipos de
problemas de triángulos.
La ley de los Senos dice así:
donde A, B y C (mayúsculas) son los lados del triángulo, y a, b y c (minúsculas) son los
ángulos del triángulo:
Observa que las letras minúsculas de los ángulos no están pegadas a su letra mayúscula.
O sea, la a está en el ángulo opuesto de A. La b está en el ángulo opuesto de B. Y la c
está en el ángulo opuesto de C. Siempre debe ser así cuando resuelvas un triángulo. Si
no lo haces así, el resultado seguramente te saldrá mal.
Resolución de triángulos por la ley de los Senos
Resolver un triángulo significa encontrar todos los datos que te faltan, a partir de los
datos que te dan (que generalmente son tres datos).
*Nota: No todos los problemas de resolución de triángulos se pueden resolver con la ley
de los senos. A veces, por los datos que te dan, sólo la ley de los cosenos lo puede
resolver.
En general, si en un problema de triángulos te dan como datos 2 ángulos y un lado, usa
ley de los senos.
Si por el contrario te dan dos lados y el ángulo que hacen esos dos lados, usa la ley del
coseno.
Supóngamos que te ponen el siguiente problema:
Resolver el triángulo siguiente:
Llamemos b al ángulo de 27° porque está opuesto al lado B; a al ángulo de 43° y A al
lado de 5.
Lo que tenemos entónces es lo siguiente:
A=5
B=?
C=?
a = 43°
Ley del coseno
La ley de los Coseno es una expresión que te permite conocer un lado de un triángulo
cualquiera, si conoces los otros dos y el ángulo opuesto al lado que quieres conocer.
Esta relación es útil para resolver ciertos tipos de problemas de triángulos.
La ley del Coseno dice así:
y si lo que te dan son los lados, y te piden el ángulo que hacen los lados B y C, entónces
dice así:
donde A, B y C (mayúsculas) son los lados del triángulo, y a, b y c (minúsculas) son los
ángulos del triángulo:
Observa que las letras minúsculas de los ángulos no están pegadas a su letra mayúscula.
O sea, la a está en el ángulo opuesto de A. La b está en el ángulo opuesto de B. Y la c
está en el ángulo opuesto de C. Siempre debe ser así cuando resuelvas un triángulo. Si
no lo haces así, el resultado seguramente te saldrá mal.
Observa que la ley del coseno es útil sólo si te dan los dos lados que te faltan y el
ángulo opuesto al lado que buscas, o sea estos:
Dicho en otras palabras: te tienen que dar los lados y el ángulo que hacen los lados. Si
no te dan el ángulo que hacen los lados, entonces tienes que usar la ley de los senos.
Resolución de triángulos por la ley del Coseno
Resolver un triángulo significa encontrar todos los datos que te faltan, a partir de los
datos que te dan (que generalmente son tres datos).
*Nota: No todos los problemas de resolución de triángulos se pueden resolver con la ley
del coseno. A veces, por los datos que te dan, sólo la ley de los senos lo puede resolver.
En general, si en un problema de triángulos te dan como datos 2 ángulos y un lado, usa
ley de los senos.
Si por el contrario te dan dos lados y el ángulo que forman esos lados, usa ley de los
cosenos.
Supóngamos que te ponen el siguiente problema:
Resolver el triángulo siguiente:
llamemos a al ángulo de 25° porque está opuesto al lado A; C al lado que mide 12
porque está opuesto al ángulo c. y B al lado de 9 porque está opuesto al lado b.
Lo que tenemos entónces es lo siguiente:
A=?
B=9
C = 12
a = 25°
b=?
c=?
Funciones Trigonométricas
Función Seno:
La función Seno se obtiene de dividir el cateto opuesto de un triángulo rectángulo, entre
su hipotenusa:
Así por ejemplo, en el triángulo rectángulo siguiente:
el seno del ángulo alpha será:
Para obtener el valor de ángulo alpha, hay que sacar la función inversa del seno:
cualquier calculadora científica lo puede hacer, y generalmente hay que apretar una
tecla "shift" o "2daf" que se encuentra típicamente en la esquina superior izquierda, y
luego apretar la tecla "sin" (dice "sin" y no "sen" porque en inglés la función seno se
escribe "sin"):
para este caso, el resultado da: 53.13010...
que es el valor en decimal que corresponde al ángulo alpha.
Función Cosecante
La función cosecante es parecida a la función seno, sólo que al revés. Esto es: en lugar
de dividir el cateto opuesto entre la hipotenusa, se divide la hipotenusa entre el cateto
opuesto
en principio, para obtener el valor del ángulo alpha, uno debería sacar la función inversa
de la cosecante:
sin embargo, la mayoría de las calculadoras no sacan ésta función (ni siquiera la
cosecante) porque suponen que el usuario sabe que es lo mismo, que sacar la función
inversa del inverso del seno. O sea que en lugar de quebrarte la cabeza preguntándote
"¿Cómo lo saco?" simplemente haz la siguiente sustitución:
y ya.
Gráfica de la función Seno
Si graficas la función y = sen(x) en un plano cartesiano, obtendrías la siguiente figura:
Observa que la función no pasa de 1 por arriba y de -1 por abajo. Se dice entónces que
la función está "acotada" entre -1 y +1. Los valores para los que la función llega hasta
+1 o -1 son los múltiplos impares de ¶ / 2 , o sea:
con n entero y mayor que cero.
La función seno(x) tiene periodo de 2¶, esto es, que cuando x es igual a 2¶, la función se
vuelve a repetir tomando los valores que tomó a partir del cero.
Función Coseno:
La función Coseno se obtiene de dividir el cateto adyacente de un triángulo rectángulo,
entre su hipotenusa:
Así por ejemplo, en el triángulo rectángulo siguiente:
el coseno del ángulo alpha será:
Para obtener el valor de ángulo alpha, hay que sacar la función inversa del coseno:
cualquier calculadora científica lo puede hacer, y generalmente hay que apretar una
tecla "shift" o "2daf" que se encuentra típicamente en la esquina superior izquierda, y
luego apretar la tecla "cos":
para este caso, el resultado da: 53.13010...
que es el valor en decimal que corresponde al ángulo alpha.
Función Secante
La función secante es parecida a la función coseno, sólo que al revés. Esto es: en lugar
de dividir el cateto adyacente entre la hipotenusa, se divide la hipotenusa entre el cateto
adyacente:
en principio, para obtener el valor del ángulo alpha, uno debería sacar la función inversa
de la secante:
sin embargo, la mayoría de las calculadoras no sacan ésta función (ni siquiera la
secante) porque suponen que el usuario sabe que es lo mismo, que sacar la función
inversa del inverso del coseno. O sea que en lugar de quebrarte la cabeza preguntándote
"¿Cómo lo saco?" simplemente haz la siguiente sustitución
y ya.
Gráfica de la función Coseno
Si graficas la función Coseno en un plano cartesiano, ésta se vería así:
Observa que la función se parece muchísimo a la función Seno. La diferencia está en
que el coseno comienza en el +1 [o sea y(0) = +1], y el seno en el 0 [ o sea y(0) = 0].
Esto se debe a que la función coseno está desfasada medio periódo respecto de la
función seno.
Igual que en la función Seno, la función coseno sólo puede tomar valores entre -1 y +1.
A esto se le dice "acotada", que significa que tiene límites de los cuáles ya no pasa.
La función es periódica ( o sea que se repite su forma a lo largo del eje x) y su periodo
vale 2¶ (o sea que cuando x toma el valor de 2¶, la función vuelve a tomar los valores
que tomó desde el cero otra vez.
Los valores para los que la función Coseno se vuelve +1 o -1 son los múltiplos enteros
de ¶, o sea:
n¶ con n cualquier entero incluyendo el cero.
Función Tangente:
La función Tangente se obtiene de dividir el cateto opuesto de un triángulo rectángulo,
entre el cateto adyacente:
Así por ejemplo, en el triángulo rectángulo siguiente:
la tangente del ángulo alpha será:
Para obtener el valor de ángulo alpha, hay que sacar la función inversa de la tangente:
cualquier calculadora científica lo puede hacer, y generalmente hay que apretar una
tecla "shift" o "2daf" que se encuentra típicamente en la esquina superior izquierda, y
luego apretar la tecla "tan":
para este caso, el resultado da: 53.13010...
que es el valor en decimal que corresponde al ángulo alpha.
La función tangente se puede también definir a través de las funciones seno y coseno
como sigue:
y el resultado es el mismitito que dividir el cateto opuesto entre el cateto adyacente.
Función Cotangente
La función cotangente es parecida a la función tangente, sólo que al revés. Esto es: en
lugar de dividir el cateto opuesto entre el cateto adyacente, se divide el cateto adyacente
entre el cateto opuesto
hay otras notaciones válidas para la contangente, algunos la prefieren escribir de alguna
de las siguientes formas:
pero es la misma función.
Identidades entre funciones trigonométricas
Ley de los seno
Ley del Coseno
La ley de los Senos y ley del coseno se basan en éste triángulo:
Tabla de coseno y seno de los ángulos principales.
Comprobar las identidades:
1
2
2 Simplificar las fracciones:
1
2
3
3 Calcular las razones de 15º (a partir de las de 45º y 30º).
4 Desarrollar: cos(x+y+z)
5 Resuelve las ecuaciones trigonométricas:
1
2
6 Resuelve las ecuaciones trigonométricas:
1
2
7 Resuelve las ecuaciones trigonométricas:
1
2
8 Resuelve los sistemas de ecuaciones trigonométricas:
1
2
3
Geometría
La geometría del griego geo (tierra) y métrica (medida) es una rama de la
matemática que se ocupa de las propiedades de las figuras geométricas en el plano
o el espacio, como son: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, curvas,
superficies, etc. Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos
relativos a medidas y es la justificación teórica de muchos instrumentos, por
ejemplo el compás, el teodolito y el pantógrafo.
Tiene su aplicación práctica en física, mecánica, cartografía, astronomía, náutica,
topografía, balística, etc.
1. Poliedro
Porción de espacio limitada por polígonos planos. Sus elementos característicos son las
caras, las aristas y los vértices:
Las caras son los polígonos que la limitan.
Las aristas son los lados de las caras, y limitan dos caras contiguas.
Los vértices son los de las caras. En cada vértice de un poliedro concurren tres o más
caras.
Un poliedro se llama convexo si todo él está en el mismo semiespacio respecto al plano
de cada una de sus caras.
Poliedro cóncavo es el que tiene alguna cara cuyo plano atraviesa a la figura.
Poliedro simple es el que no tiene orificios que lo atraviesen. En todo poliedro simple se
cumple el teorema de Euler
2. Prisma
Poliedro limitado por dos polígonos iguales, llamados bases, situados en planos
paralelos, y por varios paralelogramos, llamados caras laterales.
Se llama altura del prisma a la distancia entre los planos en que se sitúan sus bases.
Un prisma se llama triangular, cuadrangular, pentagonal… según que sus bases sean
triángulos, cuadriláteros, pentágonos…
Un prisma recto es el que tiene sus caras laterales perpendiculares a las bases:
En el prisma recto, las caras laterales son todas ellas rectángulos. Si sus bases son
polígonos regulares, el prisma se llama regular.
Un prisma oblicuo es el que tiene sus aristas laterales oblicuas a los planos de las bases.
Los prismas cuyas bases son paralelogramos se llaman paralelepípedos. En un
paralelepípedo, sus seis caras son paralelogramos.
Se llama área lateral de un prisma al área de todas sus caras laterales. El área lateral de
un prisma recto es:
Alat = perímetro de la base · altura
El área total es la suma del área lateral con las áreas de las bases:
Atot = área lateral + 2 · área de la base
El volumen de un prisma cualquiera es igual al área de la base por la altura:
V = área de la base · altura
Cada uno de los dos cuerpos geométricos que se obtienen al partir un prisma por un
plano que corta a todas sus aristas laterales se llama tronco de prisma.
3. Poliedros Regulares
Un poliedro regular es aquel cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cada uno
de sus vértices concurren el mismo número de caras. Sólo existen cinco tipos de
poliedros regulares:
Tetraedro regular: 4 caras triangulares, que concurren tres en cada vértice. Tiene 4
vértices y 6 aristas.
Cubo: 6 caras cuadradas, que concurren tres en cada vértice. Tiene 8 vértices y 12
aristas.
Octaedro: 8 caras triangulares, que concurren cuatro en cada vértice. Tiene 6 vértices y
12 aristas.
Dodecaedro: 12 caras pentagonales regulares, que concurren tres en cada vértice. Tiene
20 vértices y 30 aristas.
Icosaedro: 20 caras triangulares, que concurren cinco en cada vértice. Tiene 12 vértices
y 30 aristas
Dos poliedros regulares se llaman conjugados si cada uno de ellos se obtiene del otro
uniendo mediante segmentos los puntos medios de cada dos caras contiguas. Así, el
tetraedro es conjugado de sí mismo, el dodecaedro es conjugado del icosaedro y el cubo
lo es del octaedro:
Tetraedro
Poliedro con cuatro caras que, necesariamente, han de ser triángulos. Es, por tanto, una
pirámide triangular:
Si las cuatro caras de un tetraedro son triángulos equiláteros, entonces se llama tetraedro
regular y es uno de los cinco poliedros regulares. Habitualmente, al hablar del tetraedro
se hace referencia al tetraedro regular.
El área de un tetraedro regular en función de su arista es:
A= a2  3
Su volumen es:
V = a3  /12
Cubo
Poliedro regular formado por seis caras cuadradas.
El cubo es un ortoedro (sus caras son perpendiculares) con todas las aristas iguales.
El área total de un cubo de arista a es
A = 6a2
Su volumen es
V = a3
La longitud de su diagonal es: D= a  3
El cubo se llama también hexaedro regular o, simplemente, hexaedro.
Octaedro
Poliedro de ocho caras. Se suele designar genéricamente así al octaedro regular,
poliedro formado por ocho triángulos equiláteros idénticos:
El área de las caras de un octaedro en función de su arista, a, es:
A= 2a2  3
Su volumen es:
V = a3/3
Calcula en el triángulo A(2, 3) ; B(6, 9) ; C (8, 1):
1) Ecuaciones de las medianas y coordenadas del baricentro
Mediana: recta que pasa por el punto medio de una lado y por el vértice opuesto
Punto medio del lado AB:
Vector:
Mediana:
En forma general
—————————————
Punto medio del lado BC:
Vector
Mediana:
En forma general
—————————————
Punto medio del lado AC:
Vector
Mediana
En forma explicita
—————————————
Para calcular el baricentro resolvemos el sistema formado por dos de las medianas:
Por sustitución
El baricentro
. Despejando