Sem 15 CTD

SOLUCIONES DE ECUACIONES
DIFERENCIALES EN SERIES DE
POTENCIAS
"La ciencia es el
cementerio de las
hipótesis."
Lee Smolin
Logro de sesión
Al nalizar la sesión el estudiante resuelve ecuaciones diferenciales por medio de series de potencias.
Series de Potencias
Una serie de potencias en x − a es una serie innita de la forma
∞
X
cn (x − a)n = c0 + c1 (x − a) + c2 + (x − a)2 + ...
n=0
Se dice que esta serie es una serie de potencias centrada en a.
P∞
Convergencia. Una serie de potencias n=0 cn (x − a)n es convergente en un valor especicado de x
Pk
si su sucesión de sumas parciales Sk (x) converge, es decir, existe lı́mk→∞ n=0 cn (x − a)n Si el límite no
existe en, entonces se dice que la serie es divergente.
Intervalo de convergencia. Toda serie de potencia tiene un intervalo de convergencia. El intervalo
de convergencia es el conjunto de números reales x para los que converge la serie.
Radio de convergencia. Toda serie de potencias tiene un radio de convergencia R. Si R > 0, entonces
P∞
la serie de potencias n=0 cn (x − a)n converge para |x − a| < R y diverge para |x − a| > R. Si la serie
converge sólo en su centro a. entonces R = 0. Si la serie converge para toda x entonces se escribe R = ∞.
Una serie de potencias podría converger o no en los puntos extremos a − R y a + R de este intervalo.
P∞
Propiedad de identidad. Si n=0 cn (x − a)n ; R > 0 para los números x en el intervalo de convergencia, entonces cn = 0 para toda n.
Prueba de relación. La convergencia de una serie de potencias suele determinarse mediante el
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Soluciones en series de potencias
criterio de la razón. Suponga que cn 6= 0 para toda n y que
lı́m
n→∞
cn+1 (x − a)n+1
cn+1
= |x − a| . k = L
= |x − a| lı́m
n
n→∞
cn (x − a)
cn
Si L < 1 la serie converge, si L > 1 la serie diverge, y si L = 1, el criterio no es concluyente.
Ejemplo 1. Vericar la convergencia y el radio de convergencia de la serie
P∞
n=0
(x − 3)n
2n n
Ejemplo. Una serie de potencias dene una función Una serie de potencias dene una función
P∞
cuyo dominio es el intervalo de convergencia de la serie. Si el radio de convergencia
es R > 0, entonces f (x) es continua, diferenciable e integrable en el intervalo (a - R, a + R). Además,
R
f 0 (x) y f (x)dxse encuentran mediante diferenciación e integración término a término.
f (x) =
n=0 cn (x−a)
n
∞
∞
0
f (x) =
X
n−1
cn .n.(x − a)
00
f (x) =
X
n.(n − 1).cn (x − a)n−2
n=2
n=1
Analítica en un punto Una función es analítica en un punto a si se puede representar mediante una
serie de potencias en x − a con un radio positivo o innito de convergencia.
Aritmética de series de potencias
Las series de potencias se combinan mediante operaciones de suma, multiplicación y división. Los
procedimientos para las series de potencias son similares a los que se usan para sumar, multiplicar y dividir
dos polinomios, es decir, se suman los coecientes de potencias iguales de x se usa la ley distributiva y se
reúnen términos semejantes y se efectúa la división larga.
Recordemos que:
1.
P∞
n
=
P∞
k+2
2.
P∞
n
=
P∞
k−2
n=2 an x
n=0 an x
k=0 ak+2 x
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k=2 ax−2 x
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Soluciones en series de potencias
Ejemplo 2. Escribir
P∞
n=2 n.(n
− 1).cn xn+2 +
P∞
n=0 cn x
n+1
como una sola serie de potencias
Series de Taylor y de Maclaurin
Sea f una función innitamente diferenciable, se puede representar f en una serie de Taylor centrada
en a
∞
f (x) =
X f (n) (a)
n!
n=0
(x − a)n
Las series de Taylor centradas en x = 0, se llaman series de Maclaurin
∞
f (x) =
X f (n) (a)
n=0
n!
.xn
Ejemplo 3. Hallar la serie de Maclaurin de las funciones:
1. f (x) = ex
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2. g(x) = cos(x)
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Soluciones en series de potencias
EJERCICIOS ADICIONALES
1. Determinar el intervalo y radio de convergencia de
P∞
a)
n 2n
n=0 (−1) x
b)
P∞
n=0
2n xn
n
2. Hallar la serie de Maclaurin de las funciones:
a) f (x) = e−x
3. Escribir
P∞
n+1 +
n=2 n.cn x
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b) g(x) = x.sen(x)
P∞
n=0 cn x
n+2
como una sola serie de potencias
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Soluciones en series de potencias
CÁLCULO PARA LA TOMA DE DECISIONES
Semana 15
TAREA DOMICILIARIA
Determinar el intervalo y radio de convergencia de
1.
P∞
xn
n=0 3n+1
P∞ xn
2. n=0
n
Hallar la serie de Maclaurin de las funciones:
3. f (x) = x2 e−x
4. g(x) = sen(x)
Respuestas:
1. r=3
2. r=1
4
5
3. f (x) = x2 − x3 + x2! − x3! + ...
3
5
4. g(x) = x − x3! + x5! − ...
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