1 LÍNEAS DE TRANSMISIÓN INTRODUCCIÓN Supongamos que se quiere calcular la intensidad y el voltaje en la resistencia de carga RL conectada a través de dos hilos de cobre de 6 cm de longitud a un generador sinusoidal Vg de frecuencia 1 MHz y resistencia interna Rg (Fig. 1). donde se han ignorado los hilos de cobre, es decir, no radian energía y no presentan resistencia ni inductancia para ninguna frecuencia. Supongamos que ahora la longitud de los hilos es de 60 m. Uno podría pensar que el problema es análogo al anterior sin más que tener en cuenta la resistencia total de los hilos de cobre, que ahora no se pueden despreciar frente a Rg y RL. El problema planteado de este modo estaría mal resuelto. La razón de ello es que no se ha tenido en cuenta un efecto importante: la propagación de la señal del generador a la carga. El voltaje y la intensidad de corriente en los hilos de cobre son ahora función no sólo del tiempo sino de la distancia respecto al generador. Es decir, al contrario que en el primer caso, la corriente en los puntos de los hilos de cobre ya no tienen el mismo valor, por lo que ya no se está en condiciones de corriente estacionaria (lentamente variable en el tiempo) y los hilos de cobre forman lo que se denomina una línea de transmisión. Los bornes del generador excitan sendas ondas de voltaje y corriente que se propagan a lo largo de los hilos con una velocidad de 3 x 108 m/s, con lo que la longitud de onda (distancia que recorre la onda en un período) es de =v/f=300 m. A todas luces, 6 cm es una distancvia muy pequeña comparada con la longitud de onda, por lo que no cabe hablar de propagación y la señal del generadoir aparece instantáneamente en la carga. O dicho de otro modo, el tiempo que tarda la señal en llegar a la carga (0.2 ns) es despreciable comparado con el período de la señal (1 s=1000 ns). En el segundo caso, 60 m de hilo de cobre es sólo /5. El tiempo que tarda la señal en llegar a la carga (0.2 s) ya no es despreciable comparado con el período de la señal (1 s) y los efectos de propagación no pueden ser despreciados. 2 El uso principal de las líneas de transmisión es el de transmitir de forma guiada señales y potencias. Una línea de transmisión está formada por dos conductores separados por un medio dieléctrico, largos en una dimensión y dortas en las otras dos, siendo los tipos más comunes: 1. Línea coaxial: dos conductores concéntricos separados por un dieléctrico (Fig. 2ª.). Posee la ventaja de que confina completamente los campos eléctrico y magnético dentro de la región dieléctrica (Fig. 2b), de tal forma que no hay pérdidas por radiación y es muy inmune a las interferencias externas de la línea. Se utilizan en instrumentos de precisión a alta frecuencia y en cables telefónicos y de TV. 2. Línea de dos hilos paralelos (o de Lecher) separadas por un material dieléctrico (Fig. 3a): se utilizan para cables telefónicos. 3. Línea de placas conductoras plano paralelas (“striplines”) separadas por un material dieléctrico (Fig. 3b). Pueden fabricarse con bajo coste mediante tecnología de circuitos impresos. Para las frecuencias usadas en la transmisión de potencia las dimensiones transversales son pequeñas comparadas de . Incluso las dimensiones longitudinales son generalmente pequeñas, ya que las líneas de transmisión rara vez los 500 km (frente a los 6000 km de la longitud de onda de una señal sinusoidal de 50 Hz de frecuencia). El límite superior para la frecuencia de trabajop de una línea de transmisión ordinaria (coaxial o bifilar) es de 1 GHz (=1000 MHz), ya que las pérdidas se hacen prohibitiva la propagación de energía. Existen dos formalismos para analizar el comportamiento de las líneas de trnsmisión: 1. Propagación del campo electromagnético resultante de las ecuaciones de Maxwell: la teoría de ondas guiadas considera como punto de partida una onda que se propaga en el espacio exterior a los conductores y que está sujeta a satisfacer sobre las superficies de los conductores las condiciones en los límites que resultan de las 3 ecuaciones de Maxwell. Esta condición implica la existencia de una onda electromagnética que se propaga entre los conductores, creando en ellos una corriente que circula y estableciendo un voltaje entre los conductores. 2. Propagación de ondas de voltaje y corriente analizando la línea de transmisión mediante parámetros distribuidos (R, L, C y G por unidad de longitud): cuando la longitud de onda del campo electromagnético es grande comparada con las dimensiones transversales de la línea de transmisión, los campos eléctrico y magnético en la línea de transmisión son perpendiculares entre sí y transversales a la dirección de propagación (Modos transversales electromagnéticos o TEM). Para estos modos las magnitudes escalares V e I están relacionadas con los campos E y H de la línea de transmisión. Por tanto, es posible hacer una extensión de la teoría de circuitos en términos de voltaje e intensidad de corriente introduciendo los elementos pasivos distribuidos uniformemente a todo lo largo de la línea de transmisión. En la teoría de circuitos se ha supuesto que los elementos pasivos R, L y C se hayan concentrados (en el sentido de que no hay variación espacial de la intensidad en ellos) y unidos por cables conductores ideales. La validez de los elementos concentrados se restringe a circuitos cuya longitud física real se mantenga dentro de los límites que permitan considerarla pequeña frente a la longitud de onda del campo electromagnética que se origina. Cuando esta condición ya no se cumple, los fenómenos de propagación que se observan no se explican por modelos concentrados y es necesario tomar otros nuevos considerando densidades lineales de resistencia e inductancia a lo largo de los conductores y de conductancia y capacitancia entre los dos conductores de la línea de transmisión. ANÁLISIS DE LAS LÍNEAS DE TRANSMISIÓN MEDIANTE PARÁMETROS DISTRIBUIDOS La representación usual de una línea de transmisión es la de dos conductores paralelos en la dirección del eje z (Fig. 4ª), donde se tiene una resistencia y una inductancia en serie, a la vez que una capacidad y una conductancia en paralelo, distribuidos uniformemente a lo largo de la línea. La resistencia y la conductancia dan idea de las pérdidas de energía asociadas a que los conductores y el dieléctrico no son 4 perfectos. Por tanto, una línea de transmisión es un circuito con parámetros distribuidos en la que R, L, C y G vienen defindos por unidad de longitud de la línea (Fig. 4b). El voltaje y la corriente son función de la posición z, que es la coordenada longitudinal de propagación, y del tiempo: es decir, no presenta la misma magnitud y fase en todos los puntos de la línea en un instante determinado. Además distintos puntos en la línea no responden simultánea e instantáneamente a un cambio en la tensión o en la corriente en otro punto de la línea de transmisión. La teoría convencional de los circuitos eléctricos se puede aplicar a una pequeña porción de línea z: y la línea línea de transmisión se puede considerar como formada por conexiones en cascada de estas secciones. La posición en la línea, z, se mide desde la entrada de la línea (Fig. 1a), y la sección z se puede tratar como un cuadrupolo de resistencia total Rz, inductancia total Lz, conductancia total Gz y capacidad total Cz (Fig. 2). Aplicando las leyes de Kirchhoff (LDK) en el dominio temporal se puede calcular los parámetros de transmisión inversa, es decir el voltaje y la corrinte en los terminales de salida de la sección en función del voltaje y corriente en la entrada del mismo, y a partir de eelos conocer las variaciones del voltaje y la corriente en esa sección de línea: donde estas expresiones son aproximadas, en el sentido de que V e I son valores promedio sobre el intervalo z. Sin embargo, este error tiende a cero si se hace la sección cada vez más corta (z0). Por tanto, dividiendo por z y hallando el límite se obtiene: que son las ecuaciones diferenciales de la línea de transmisión. 5 LÍNEAS DE TRANSMISIÓN SIN PÉRDIDAS En el estudio de las líneas de transmisión se analizará inicialmente en detalle la línea de transmisión ideal, es decir, aquella en que se desprecian las pérdidas por efecto Joule a través de la resistencia de los conductores y las fugas a través del dieléctrico que separa los dos conductores en toda la línea. Por tanto, en un elemento infinitesimal de línea se tiene que R=0 y G=0. Aunque parezca una simplificación muy drástica, en muchos casos prácticos las pérdidas en la línea son relativamente bajas. Sin embargo, posteriormente se analizará la línea incluyendo estos efectos. Las expresiones (3) quedan de la forma Derivando la 1ª expresión respecto al tiempo y la 2ª respecto a la distancia Repitiendo el proceso a la inversa Reagrupando términos se obtiene finalmente que son las ecuaciones unidimensionales de onda. Etas expresiones son las mismas que las obtenidas para E y H en el espacio libre. Se tendrá ondas de voltaje y corriente en l línea de transmisión propagándose con una velocidad Como en general el dieléctrico no es un material magnético 0 siendo r la permitividad relativa del dieléctrico y n el índice de refracción. Por tanto, la velocidad de propagación (que coincide en líneas de transmisión con la velocidad de grupo) depende de la permitividad del dieléctrico que separa los conductores. Este resultado no debe sorprender si se tiene en cuenta ue los campos electromagnéticos se propagan en el dieléctrico. El problema se reduce ahora a resolver las ecuaciones diferenciales con las condiciones de contorno (en la entrada y la salida de la línea de transmisión) adecuadas. 6 La solución general de las ecuaciones unidimensionales (5) será de la forma F(t z/v), que representa la forma (sinusoidal, cuadrada, pulso,...) de la onda dada por la fuente que se propaga en la dirección del eje z con velocidad v. En concreto, la solución será de la forma: que representa la superposición de dos ondas que se propagan en la línea con velocidad vf 1 LC , es decir, una onda que se propaga en el sentido positivo del eje z (onda incidente) y la otra en sentido negativo (onda reflejada). Por tanto, en un instante determinado el voltaje y la corriente en cualquier punto de la línea vienen dados por una combinación de las ondas incidente y reflejada, estandop éstas íntimamente relacionadas con las ondas de E y H en la línea de transmisión. Como las soluciones de la tensión y de la corriente están acopladas a través de las ecuaciones unidimensionales (5), sustituyendo las soluciones (8) en ellas se pueden expresar en función solo de los tensiones voltajes incidente y reflejado: Para que se cumpla la igualdad se tiene que verificar que Haciendo un cambio de variable: A=z-vt Integrando se obtiene Sustituyendo estos resultados en la expresión (8) para la corriente se obtiene Finalmente, las soluciones son donde 7 es la impedancia característica (en este caso, resistencia) de la línea de transmisión sin pérdidas. Con esta definición: donde el signo (-) indica que la corriente reflejada viaja en el sentido negativo del eje z. De las expresiones (13) se concluye que la impedancia (resistencia) característica relaciona las ondas de voltaje y corriente incidentes y las ondas de voltaje y corriente reflejadas en la línea de transmisión. Sin embargo, no relaciona el voltaje y la corriente en un punto cualquiera de la línea de transmisión. Veamos algunos casos de interés: 1. La línea de transmisión es infinitamente larga (z): En la línea sólo existen ondas de voltaje y corriente viajando en el sentido positivo del eje z, es decir alejándose de la fuente, y no existen ondas reflejadas. De aquí se obtiene que la impedancia característica es la relación entre las ondas de voltaje y de corriente en una línea de transmisión infinitamente larga. La energía que atraviesa en la unidad de tiempo una sección transversal de la línea de transmisión es la potencia transmitida por las ondas a tavés de la línea de transmisión en el sentido positivo del eje z. En una posición z respecto de la entrada de la línea, la diferencia de potencial o voltaje entre los conductores es Vi(z,t) y la corriente que circula por cada uno de ellos (en sentidos contrarios) Ii(z,t). En este caso, la potencia instantánea será: y es la misma potencia que se consume por efecto Joule en una resistencia igual a R0. Sin embargo, esta potencia no se disipa, al tratarse de una línea sin pérdidas, sino que se transmite al resto de la línea: donde el primer término del sumando es la energía eléctrica almacenada por unidad de longitud y el segundo término la energía magnética almacenada por unidad de longitud, y donde se ha hecho uso de la expresión 8 2. Línea de transmisión finita (de longitud zL) con una resistencia de carga RL conectada en su salida entre los dos conductores. Las condiciones de contorno para el voltaje y la corriente en la salida e la línea (Fig. 6) imponen que y es una consecuencia de que NO puedan existir discontinuidades ni en el voltaje ni en l corriente en la salida de la línea. Por tanto, se verifica la relación De las ecuaciones (16) se puede obtener una relación muy importante Es el coeficiente de reflexión para la onda de voltaje, y expresa la intensidad relativa de la onda reflejada generada por la discontinuidad en la impedancia que observan las ondas al alcanzar la salida de la línea de transmisión. Una consecuencia importante es que si el coeficiente de reflexión es distinto de cero, parte de la potencia incidente (ViIi) es reflejada y vuelve por la línea a la entrada. El resto de la potencia incidente se suministra a la resistencia de carga y ahí se consume totalmente. Si V = -1 (línea cortocircuitada, RL = 0) o si V = +1 (línea en circuito abierto, RL = ) se tiene reflexión total, lo cual es lógico ya que ninguna de las dos resistencia de carga puede aceptar potencia. Si V = 0 (RL = R0) se dice que la carga está adaptada o acoplada a la línea de transmisión. En este último caso, la línea se dice equilibrada, ya que no hay potencia reflejada por la carga y toda la potencia incidente se consume en la resistencia de carga. Además, desde el punto de vista de la fuente de excitación, conectada a la entrada de la línea, la línea de transmisión acoplada se comporta como una línea infinitamente larga. De esta forma, la impedancia característica es la resistencia que al conectarla a una línea de transmisión no da onda reflejada. 9 Si se hace lo mismo para la corriente: También se puede definir el coeficiente de transmisión: 3. Existe una discontinuidad en la unión de dos líneas de transmisión de distinta impedancia característica. LÍNEA DE TRANSMISIÓN SIN PÉRDIDAS CON FUENTES DE EXCITACIÓN SINUSOIDAL Con frecuencia las líneas de transmisión son excitadas por fuentes de señales que varían sinusoidalmente en el tiempo, de manera que el voltaje y la corriente en culuier punto de la línea tambien varían sinusoidalmente en el tiempo. Además, ha de tenerse en cuenta que cualquier forma de onda no sinusoidal puede ser tratada como la superposición de funciones sinusoidales mediante la aplicación de las series de Fourier y del teorema de superposición dada la linealidad de las ecuaciones de onda de la línea de transmisión. Considérese una tensión Aplicada a la entrada de la línea de transmisión (z=0) en el instante t=0 s. En la línea aparece una onda que se desplaza con una velocidad vf = 1/ LC hacia la carga, donde w es la pulsación del generador (en rad/s), = w/vf = 2/ es el desfase por unidad de longitud y se denomina constante de fase y es la longitud de onda. Si la línea de transmisión es infinita sólo existirá onda incidente, al igual que cuando se tiene una línea de longitud finita que termina en una impedancia de carga Z L igual en valor a la impedancia característica de la línea. En el primer caso la onda se propaga indefinidamente, mientras que en el segundo caso, no hay onda reflejada y la energía incidente se suministra a la impedancia de carga donde se consume. 10 De la expresión anterior se observa que la amplitud de las ondas de voltaje y corriente no se atenúa en una línea sin pérdidas, mientras que la fase será distinta en cada uno de los puntos de la línea de transmisión. Si el coeficiente de reflexión en la carga es distinto de cero, una vez alcanzado el régimen permanente en el sistema, se tiene una situación de ONDA ESTACIONARIA para el voltaje y la corriente en la línea de transmisión. Las ondas estacionarias de voltaje y corriente se pueden interpretar como formados por ondas que se propagan en sentidos contrarios, es decir, como suma de una onda incidente y otra reflejada: En notación fasorial, la amplitud y la fase de las ondas de voltaje y corriente en un punto de la línea que dista una distancia z de la entrada vienen dadas por las magnitudes complejas donde = j es la constante de propagación compleja para líneas de transmisión sin pérdidas, que depende de la frecuencia. El factor ejwt puede omitirse ya que tanto el voltaje como la corriente en cualquier punto de la línea oscila a la misma frecuencia (o pulsación) de la señal sinusoidal del generador. En la práctica, la mayoría de las medidas útiles se toman respecto al extremo receptor, es decir, con respecto la carga. Por tanto, imponiendo las condiciones en los terminales de salida, es decir suponiendo que la línea de longitud zL termina en una impedancia ZL por la que circula una corriente IL y con un voltaje VL, se puede conocer tanto Vi como Vr en función de ellos: Sustituyendo estas soluciones en las expresiones (21) podremos conocer el voltaje y la corriente en cualquier punto de la línea en función del voltaje y la corriente en la salida de la línea:
