Probabilidad

FUNCION DE DUSTRIBUCION
DE UNA VARIABLE
Probabilidad y Estadística
Módulo 4
Problemas propuestos
1. Un lote de 4500 focos contiene 4% defectuosos. Si se toma una muestra de 6 focos,
encuentra la probabilidad de encontrar por lo menos un defectuoso.
Obtendremos la probabilidad de encontrar por lo menos un defectuoso que estará dada
por el porcentaje de defectuosos
Tenemos que la distribución binomial va a estar dada por 𝑛 = 6 𝑦 la probabilidad va a
ser
𝑠𝑖 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 4% 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑜𝑠𝑜𝑠 = 0.04
Vamos a calcular la probabilidad de obtener un defectuoso
6
𝑃(𝑛 = 1) = ( ) (0.04)1 (1 − 0.04)5 = 0.1957
1
Ahora vamos a calcular la probabilidad de obtener mas de un foco defectuoso
6
𝑃(𝑛 ≥ 1) = ( ) (0.04)2 (1 − 0.04)4 = 0.02
2
Y por último calcularemos que probabilidad hay de no obtener ningún defectuoso
6
𝑃(𝑛 ≤ 1) = 1 − ( ) (0.04)0 (1 − 0.04)6 = 1 − 0.2172
0
2. Si un estudiante que terminó con promedio de 80 puntos, o mayor, sus estudios de
bachillerato tienen una probabilidad de 70% de aprobar el examen de admisión de una
universidad, calcula la probabilidad de que 4 de un grupo de 6 estudiantes con el
mencionado promedio aprueben tal examen de admisión.
Tenemos que la probabilidad de éxito está dada por 𝑝 = 0.7
Y que la probabilidad de fracaso va a ser 𝑞 = 1 − 𝑝 = 1 − 0.7
Si tenemos que el grupo de estudiantes es de 6, entonces nuestra distribución
binomial va estar dada por 𝑛 = 6 y 𝑝 = 0.7
Ahora llamando
𝑋 = "𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑝𝑟𝑢𝑒𝑏𝑎𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑥𝑎𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑎𝑑𝑚𝑖𝑠𝑖ó𝑛"
Tenemos que la probabilidad de que 4 del grupo aprueben el examen va a estar dado
por
6
𝑃(𝑋 = 4) = ( ) (0.7)4 (1 − 0.7)2
4
6!
=(
) ∙ (0.7)4 (0.3)2 = 0.3241
4! (6 − 4)!
Así tenemos que la probabilidad de que 4 de un grupo de 6 estudiantes con promedio
de 80 puntos pase el examen de admisión es de 32.41%
Módulo 4
3. En una escuela de nivel superior van a seleccionar a los mejores candidatos para su
contratación. De un grupo de 25 doctores en matemáticas, se eligen 15
aleatoriamente con el fin de contratarlos. ¿Cuál es la probabilidad de que entre los 15
seleccionados estén los mejores 6 del grupo de 25 doctores?
Primero vamos a buscar la probabilidad de que al elegir 1 candidato este sea de los
mejores, y como podemos ver solo hay 6 mejores en el grupo, así tenemos que la
probabilidad será de 𝑝 = 0.24
Entonces tenemos la distribución binomial igual a 𝑛 = 15 y 𝑝 = 0.24
Siendo 𝑋 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 = 𝑚𝑒𝑗𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜
15
𝑃(𝑋 = 6) = ( ) (0.24)6 (1 − 0.24)9 =
6
15!
(0.24)6 (0.76)9 = 0.0809
6! (15 − 6)!
Entonces tenemos que la probabilidad de que entre los 15 seleccionados estén los 6
mejores del grupo de 25 doctores es de 8.09%
4. Una persona se traslada diariamente de su casa ubicada en un fraccionamiento a su
oficina en el centro de la ciudad. En promedio el viaje le toma 24 minutos con una
desviación estándar de 3.8 minutos. Si se supone que los tiempos de traslado están
normalmente distribuidos:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un traslado le tome al menos ½ hora?
Tenemos los siguientes datos
Como el promedio de viaje es de 24 minutos podemos nombrar que esta es la media
proporcional por lo tanto decimos que: 𝜇 = 24
Ahora verificamos que ya tenemos el valor de la desviación estándar que esta dado
por: 𝜎 = 3.8
Ahora podemos buscar la distribución normal con la siguiente formula:
X−μ
Z=
σ
Ahora vamos a tomar que el valor de 𝑋 sea igual a 30, sustituyendo tenemos lo
siguiente:
30 − 24
𝑍=
= 1.578
3.8
El valor que obtenemos lo buscaremos en la tabla de distribución normal, por ejemplo,
en este valor tenemos 1.5 y buscamos del lado izquierdo en la columna z, tal valor. Y lo
empataremos con el valor de la segunda cifra decimal que tiene el valor de z, en el
ejemplo tenemos 0.07.
Módulo 4
Así checando en la tabla tenemos el valor para Z=1.578 de 0.9418 este valor lo
restaremos de 1 para obtener la probabilidad de que el tiempo sea menor a una hora
y tenemos lo siguiente
𝑃(𝑋 < 30) = 1 − 𝑍 = 1 − 0.9418 = 0.0582
Con lo cual podemos decir que
𝑷(𝑿 < 𝟑𝟎) = 𝟓. 𝟖𝟐%
Y su grafica quedaría
Módulo 4
b) Si la oficina abre a las 9:00 AM y la persona sale de su casa a las 8:45 AM diariamente,
¿qué porcentaje de las veces llegar tarde a su trabajo?
Vamos a tener los mismos datos y la misma fórmula, pero ahora vamos a tomar el
tiempo correspondiente a X de 15 minutos así tenemos que
15 − 24
𝑍=
= 2.36 = 0.0091 = 1 − .001 = 0.9909
3.8
Así tenemos que la probabilidad de que salga de su casa a la s 8:45 am diariamente
nos dará un porcentaje de 99.09% de veces que llegará tarde.
5. 𝑋 es una distribución binomial con 𝑛=3 y 𝑝=34. Encuentra la función de distribución
de 𝑋.
Si la probabilidad es igual a 34 entonces la suma de toda la probabilidad nos dará 100
por lo tanto podemos dividir entre 100 y obtendríamos 0.34
Ahora las probabilidades van a estar dadas por el número de oportunidades que
tengamos en este caso el valor de n= 3
Módulo 4
Tenemos que:
3
𝑃(𝑋 = 0) = ( ) (0.34)0 (1 − 0.34)3
0
3
𝑃(𝑋 = 1) = ( ) (0.34)1 (1 − 0.34)2
1
3
𝑃(𝑋 = 2) = ( ) (0.34)2 (1 − 0.34)1
2
3
𝑃(𝑋 = 3) = ( ) (0.34)3 (1 − 0.34)0
3
= 0.2875
= 0.4443
= 0.2289
= 0.0393
Entonces:
𝑃(𝑋 ≤ 1) = 𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1) = 0.2875 + 0.4443 = 0.7318
𝑃(𝑋 ≤ 2) = 𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1) + 𝑃(𝑋 = 2) = 0.2875 + 0.4443 + 0.2289
= 0.9607
𝑃(𝑋 ≤ 3) = 𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1) + 𝑃(𝑋 = 2) + 𝑃(𝑋 = 3)
= 0.2875 + 0.4443 + 0.2289 + 0.0393 = 1
Así nuestra función de probabilidad
0.74 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜, 𝑋 ≤ 1
𝐹(𝑋) {0.96 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜, 𝑋 ≤ 2
1 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜, 𝑋 ≤ 3
6. Si 𝑋 es una variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidad dada
1 2
𝑥 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 3
𝑓(𝑥) {9
0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
Encuentra la función de distribución de 𝑋 y grafica ambas funciones.
En primer lugar, tenemos que recordar que la función de distribución calculada se
puede calcular como la probabilidad de que la variable sea menor o igual que un valor
x
𝐹(𝑋) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥)
∀𝑥 ∈
Entonces veremos el primero de los tramos que es cuando 𝑥 < 0 entonces tenemos
𝑥
𝑃(𝑋 = 0) = ∫ 0 𝑑𝑥 = 0
−∞
Ahora el segundo tramo va desde 0 hasta 3 y calcularemos la 𝑓(𝑋) para 𝑃(0 ≤ 𝑥 ≤ 3)
0
𝑥
𝑃(0 ≤ 𝑥 ≤ 3) = ∫ 0 𝑑𝑥 + ∫
−∞
0
1 2
𝑥3
𝑥 𝑑𝑥 = 0 +
9
27
Módulo 4
Para el último tramo vamos a ver que si 𝑥 > 3, ya que se trata de todo lo que este
fuera del intervalo anterior
0
3
𝑥
1
𝑃(0 ≤ 𝑥 ≤ 3) = ∫ 0 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 + ∫ 0 𝑑𝑥 = 1
−∞
0 9
3
0,
𝑥3
𝑓(𝑥) = { ,
27
1,
𝑥<0
0≤𝑥≤3
𝑥>3
7. Una comercializadora de materias primas sabe, de acuerdo a sus registros, que el 35%
de sus facturas son pagadas después de su fecha de vencimiento; si en una semana
elabora 9 facturas, calcula la probabilidad de que:
a) Ninguna se pague con retraso
b) Al menos la mitad se paguen con retraso
c) Al menos tres se paguen con retraso
Definimos el evento aleatorio
𝑋 = 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑠𝑢 𝑓𝑒𝑐ℎ𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑛𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜
Módulo 4
Y tenemos una distribución binomial de 𝑋~𝐵𝑖(9,0.35)
a) La probabilidad de que ninguna se pague con retraso 𝑿 = 𝟎
9
𝑃(𝑋 = 0) = ( ) (0.35)0 (0.65)9 = 0.0207
0
b) Al menos la mitad se paguen con retraso 𝑿 ≥ 𝟓
𝑃(𝑋 ≥ 5) = 1 − 𝑃(𝑋 < 5)
𝑃(𝑋 ≥ 5) = 1 − [𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1) + 𝑃(𝑋 = 2) + 𝑃(𝑋 = 3) + 𝑃(𝑋 = 4)]
9
𝑃(𝑋 = 0) = ( ) (0.35)0 (0.65)9 = 0.0207
0
9
𝑃(𝑋 = 1) = ( ) (0.35)1 (0.65)8 = 0.1004
1
9
𝑃(𝑋 = 2) = ( ) (0.35)2 (0.65)7 = 0.2162
2
9
𝑃(𝑋 = 3) = ( ) (0.35)3 (0.65)6 = 0.2716
3
9
𝑃(𝑋 = 4) = ( ) (0.35)4 (0.65)5 = 0.2194
4
𝑃(𝑋 ≥ 5) = 1 − [0.0207 + 0.1004 + 0.2162 + 0.2716 + 0.2194]
𝑷(𝑿 ≥ 𝟓) = 𝟏 − 𝟎. 𝟖𝟐𝟖𝟑 = 𝟎. 𝟏𝟕𝟏𝟕
c) Al menos tres se paguen con retraso 𝑿 ≥ 𝟑
𝑃(𝑋 ≥ 3) = 𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1) + 𝑃(𝑋 = 2) + 𝑃(𝑋 = 3)
𝑃(𝑋 ≥ 3) = 0.0207 + 0.1004 + 0.2162 + 0.2716
𝑷(𝑿 ≥ 𝟑) = 𝟎. 𝟔𝟎𝟖𝟗
8. El tiempo necesario para que un estudiante resuelva un examen final se puede
distribuir normalmente con una media de 110 minutos y desviación estándar de 10
minutos.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar termine de resolver
su examen en menos de 2 horas?
Vamos a definir a cuantos minutos equivalen 2 horas para poder resolver,
2hr=120 min
tenemos los siguientes datos
𝜇 = 110
𝜎 = 10
𝑋 = 120
Ahora diremos que la variable aleatoria X va a tomar el valor de 120 min. Y calculamos
con la formula
Módulo 4
𝑋 − 𝜇 120 − 110
=
=1
𝜎
10
Verificamos el valor en la tabla y tenemos :
𝑍=
𝑃(𝑋 < 120) = 𝑍 = 𝟎. 𝟖𝟒𝟏𝟑
la probabilidad de que termine de resolver el examen en menos de dos horas es de
84.13%
b) Si hay 50 estudiantes resolviendo un examen, ¿cuántos de ellos concluirán antes de
una hora y 50 minutos?
Tenemos
𝜇 = 110
𝜎 = 10
𝑥 = 110
𝑛 = 50
Realizando la fórmula.
𝑋 − 𝜇 110 − 110
𝑍=
=
=0
𝜎
10
𝑍=0
𝐹(𝑧) = 0.5
𝑃 = 1 − 𝐹(𝑧) = 1 − 0.5
𝑃 = 0.5
Módulo 4
Ahora veremos el valor esperado o esperanza
𝐸(𝑥) = 𝑛𝑝
𝐸(𝑥) = 50(0.5) = 𝟐𝟓
En total 25 estudiantes concluirán antes de una hora y 50 min.