Tema 2: Ondas Fátima Masot Conde Ing. Industrial 2007/08 Tema 2: Ondas Índice: 1. Introducción 2. Movimiento Ondulatorio Simple 3. Ondas Periódicas 4. Ondas en Tres Dimensiones 5. Ondas y Barreras 6. Efecto Doppler 1. Introducción ¿Qué es una onda? “Ola” en el fútbol Ondas de agua Ejemplos Pulsación de una cuerda de guitarra Radio, TV (UHF, VHF) Involucra un oscilatorio movimiento Las “moléculas” se mueven hacia arriba y hacia abajo pero NO CRUZAN EL ESTANQUE 1. Introducción Es una perturbación que viaja No hay transporte de masa, sólo de energía y de momento lineal Vibran las moléculas Ondas Mecánicas: Necesitan un medio material 1ª Clasificación Ondas Electromagnéticas: Vibra el campo No necesitan medio 2. Movimiento Ondulatorio Simple ¿Cómo se produce la onda? Por interacción de cada segmento del sistema con los segmentos adyacentes. Ejemplo: Ondas de dominó La 1ª ficha comunica su energía a la 2ª, la 2ª a la 3ª, etc. Es una onda longitudinal: las elementos (moléculas, fichas) vibran paralelamente a la dirección de la onda. Las ondas de sonido, la onda del resorte de la figura también son longitudinales. Onda longitudinal 2. Movimiento Ondulatorio Simple Pero la interacción también se puede dar transversalmente Onda transversal La partícula oscila perperdicularmente a la dirección de la perturbación -Ola de fútbol Más ejemplos de o. transversales: -Olas de agua -Ondas electromagnéticas -Ondas en una cuerda 2. Movimiento Ondulatorio Simple En general, podemos tener combinaciones de ambas: Ondas longitudinales y transversales combinadas 2. Movimiento Ondulatorio Simple Con medio: Mecánicas Por el medio Sin medio: Electromagnéticas (siempre transversales) Clasificación (sólo para las mecánicas) Paralela. Ondas longitudinales Por la dirección (dirección de la oscilación respecto de la dirección de la onda) Perpendicular. Ondas transversales Descripción matemática de una onda Supongamos que tenemos una función cualquiera y = f (x) que ‘viaja’, con velocidad v, a lo largo del eje x. En una visión estática, sólo podemos capturarla en determinados instantes. En un instante t=0, Fig. a Y en un instante cualquiera t , Fig b. Descripción matemática de una onda La forma de la función sería la misma en cualquier sistema de referencia O’ que viajara con ella. y = f(x0 ) Así que sólo tenemos que hacer un cambio de coordenadas: 0 x = x + vt Coordenadas en el sistema de referencia viajero O’ Coordenadas en el sistema de referencia inicial estático O Descripción matemática de una onda Y nuestra función viajera queda: Para ondas viajeras a la derecha, x y = f (x − vt) Observad el signo O bien: Para ondas viajeras a la izquierda, x y = f (x + vt) En ambos casos: Puede ser cualquier dirección del espacio, no necesariamente un eje de coordenadas. f v x es la función de onda es la velocidad de propagación es la dirección de propagación Ondas armónicas Onda Onda periódica: periódica: Producida Producida por por una una perturbación periódica. perturbación periódica. P. ej.: Extremo de una cuerda que se mueve periódicamente función periódica y = f (x − vt) Si f seno es una función armónica coseno Onda armónica Cada punto del medio oscila con un M.A.S. La distancia entre dos crestas es λ La onda avanza λ en un período T De modo que su velocidad: v = λ /T = λ f Ondas armónicas. Representación matemática Si nuestra función armónica es de tipo seno: y(x, t) = f (x − vt) ‘f 0 ≡ sen v= Nuestra onda sería: ω K K =no de onda y = A sen(Kx − ωt) Factor de conversión de long. a rd Argumento modificado ligeramente, para su expresión en radianes. Ondas armónicas. Representación matemática Doble periodicidad, espacio-temporal: Ondas armónicas. Representación matemática Periodo espacial La onda armónica es periódica en el espacio (fijado t, se repite en el espacio) Si λ es el periodo espacial ([m]) y(x + λ) = A sen (K(x + λ) + δ(t)) = = A sen (Kx + δ(t)) = y(x) Esta igualdad se cumple si Kλ = 2π K= 2π λ K =no de onda ([rad/m]) Ondas armónicas. Representación matemática Periodo temporal La onda armónica es periódica en el tiempo (fijado x, se repite en el tiempo) Si T es el periodo temporal ([s]) y(t + T ) = A sen (ω(t + T ) + δ(x)) = = A sen(ω t + δ ( x)) = y (t ) Esta igualdad se cumple si ωT = 2π T = 2π ω ω =frecuencia angular ([rad/s]) Diferencia entre la velocidad de una partícula y la velocidad de la onda Para Para una una onda onda armónica armónica en en una una cuerda cuerda La velocidad transversal de la partícula es: ∂ ∂y = [A sen(Kx − ωt)] = −ωA cos(Kx − ωt) vy = ∂t ∂t En la dirección y Y su valor máximo: vy,m a x = ωA Velocidad máxima de la partícula (módulo) Mientras que la velocidad de la onda (velocidad de fase): 2π/T λ ω = = = λf v= K 2π/λ T En la dirección x Diferencia entre la velocidad de una partícula y la velocidad de la onda Ecuación de onda Todas las ondas verifican la ecuación de onda: 1 ∂ 2y ∂ 2y = 2 2 2 ∂x v ∂t Si y(x, t) cumple la ecuación de onda, entonces y(x, t) es una onda. Ecuación de onda y(x, t) = f (x ± vt) Por ejemplo: ψ Derivadas Espaciales ∂y ∂f ∂ψ ∂f = = ∂x ∂ψ ∂x ∂ψ 2 ∂ y ∂ = ∂x2 ∂x Derivadas Temporales ∝ ∂f ∂x ∂ ∂ = ∂ψ ∝ ∂f ∂ψ ∂ ∂f ∂ψ ∂f ∂y = = ±v ∂t ∂ψ ∂t ∂ψ ∂ ∂ 2y = ∂t2 ∂t ∝ ∂f ∂t ∂ ∂ = ∂ψ ∝ ∂f ±v ∂ψ ∂ ∂ψ =1 ∂x ∂ψ = ±v ∂t ∂ψ ∂ 2f = ∂x ∂ψ 2 ±v ∂ 2y 1 ∂ 2y = 2 2 ∂x2 v ∂t 2 ∂ψ 2∂ f =v ∂t ∂ψ 2 Ecuación de onda f es una función cualquiera Si fuera armónica: y(x, t) = A sen(Kx ± ωt + δ) Derivadas temporales vy = ∂y = ±ωA cos(Kx ± ωt + δ) ∂t Derivadas espaciales ∂y = KA cos(Kx ± ωt + δ) ∂x ∂ 2y ∂ 2y ay= 2 = −ω 2A sen(Kx ± ωt + δ) = −K 2A sen(Kx ± ωt + δ) 2 ∂t ∂x Ecuación de onda 1 ∂ 2y 1 ∂ 2y = 2 2 2 2 K ∂x ω ∂t 0 0 y representa una función cualquiera f , siempre que tenga una dependencia del espacio y del tiempo x ± vt, i.e. y = f (x ± vt) 1 ∂ 2y ∂ 2y = 2 2 ∂x2 v ∂t Esta Esta dirección dirección no no tiene tiene por qué ser el eje por qué ser el eje x, x, puede ser cualquier puede ser cualquier dirección dirección del del espacio. espacio. Velocidad de las ondas Propiedad Propiedad general general de de las las ondas: ondas: Su Su velocidad velocidad depende depende de de las las propiedades propiedades del del medio, medio, no no de de la la velocidad velocidad de de la la fuente fuente (emisor) (emisor) La velocidad del sonido, por ejemplo, procedente de la sirena de una ambulancia, depende de las propiedades del aire, no de la velocidad de la ambulancia. En En general: general: v= Fuerza de restitución que devuelve el sistema al equilibrio Inercia que resiste el retorno al equilibrio Velocidad de la onda en una cuerda En En una una cuerda: cuerda: acción, propiedad elástica tensión de la cuerda v= F μ masa lineal de la cuerda reacción o inercia, propiedad inercial Velocidad de la onda en una cuerda Componentes horizontales: F1x = F1 cos θ1 = F2 x = F2 cos θ 2 = FT Componentes verticales: F1 y = F1 sin θ1 = FT tgθ1 F2 y = F2 sin θ 2 = FT tgθ 2 Newton: ∂2 y F2 y − F1 y = FT (tgθ 2 − tgθ1 ) = ma = μΔx 2 ∂t Velocidad de la onda en una cuerda tgθ 2 = ∂y ∂x tgθ1 = x +Δx ∂y ∂x x F2 y − F1 y = FT (tgθ 2 − tgθ1 ) = ma = μΔx FT lim Δx ∂y ∂x − x +Δx Δx ∂y ∂x x =μ ∂2 y ∂t 2 ∂2 y ∂t 2 0 ∂2 y μ ∂2 y = ∂x 2 FT ∂t 2 Ecuación de onda, con velocidad v = FT μ Transferencia de energía Calculemos la tasa de transferencia de energía (potencia) para una cuerda vibrante (onda transversal). F G dW JJG d s JJG G P= = FT ⋅ = FT ⋅ v dt dt Velocidad de la partícula La tensión en el estado perturbado (cuando la onda está pasando) tiene dos componentes: G G v = vy j JJG G G FT = Fx i + Fy j Transferencia de energía La F que aparece en la fórmula de la velocidad es la tensión de la cuerda sin perturbar, estirada. O sea, ‘F’ es en realidad la componente x de FT F v= F μ F ≡ Fx Si la perturbación es pequeña, ambas (FT y F) se pueden considerar idénticas Fy P = Fy v y = − FT senθ ⋅ v y = − Componentes y F senθ ⋅ v y cos θ tan θ Tensión Transferencia de energía = −F ∂y ∂y · = ∂x ∂t Y para una onda armónica: vy tan θ = −F [KA cos(Kx − ωt)][−Aω cos(Kx − ωt)] P = μvω 2A2 cos2(Kx − ωt) v= F μ v= ω K Potencia Potencia instantánea instantánea transmitida transmitida Transferencia de energía Potencia media = 1 T ∫ T 0 P(t ) dt 2 Valor medio cos =1/2 2 2 2 Pav m = P (t) = μvω A cos (Kx − ωt) Pavm 1 = μvω 2A2 2 Potencia media Pav Potencia transmitida en una oleada (periodo) Potencia máxima 2 Pmax (cos =1) Transferencia de energía La potencia media transmitida en un ciclo es, pues, la mitad de la potencia máxima: Transferencia de energía En un intervalo de tiempo dado, la energía transmitida: Pm av ∆Em = ∆t 1 ∆Em = μvω2A2∆t 2 en función de ∆t ∆Em = v= ∆x ∆t 1 2 2 μω A ∆x 2 en función de ∆x Tanto la Pm como la Em transmitidas son proporcionales al cuadrado de la amplitud de la onda y al cuadrado de la frecuencia Transferencia de energía Evolución de una onda en un intervalo de tiempo Δt: Aquí, la onda no ha alcanzado todavía la zona derecha. Aquí ha transcurrido un intervalo Δt, y la onda ha llegado hasta aquí, recorriendo un espacio v Δt Ondas sonoras armónicas • Las moléculas vibran en torno a sus posiciones de equilibrio en un MAS. • Chocan con las próximas, haciéndolas oscilar S(x, t) = s0 sen(Kx − ωt) Llamamos ‘S’ a la onda de sonido, a la onda de desplazamiento de las partículas Es una onda longitudinal Los Los desplazamientos desplazamientos de de las las partículas partículas (MAS) (MAS) son son paralelos paralelos aa la la dirección dirección de de propagación. propagación. Ondas sonoras armónicas • Estos desplazamientos provocan variaciones de densidad y presión (enrarecimientos y compresiones) que también desplazamiento varían sinusoidalmente con la frecuencia, provocando a su vez ondas de presión y densidad. • Como la presión es proporcional a la densidad, p es máxima cuando ρ es máxima, y viceversa. Las ondas de presión y densidad van en fase. • En cambio, están desfasadas o 90 respecto de la onda de desplazamiento S(x,z) presión Ondas sonoras armónicas O sea: S(x, t) = s0 sen(Kx − ωt) π× p(x, t) = p0 sen Kx − ωt − 2 ≥ cambio de presión respecto del equilibrio o. desplazamiento o. presión valor máximo de p Relación de amplitudes: p0 = ρωvs0 velocidad de la onda densidad de equilibrio Velocidad de las ondas sonoras Para ondas sonoras en un fluido (aire, agua...) v= s B ρ módulo de compresibilidad (adiabático) ∆P B=− ∆V /V ¯ ¯ ¯ ¯ adiabático densidad del medio (volumétrica) ρ= ∆m ∆V Y esto se puede expresar… Velocidad de las ondas Velocidad del sonido en gases En función de: Así: Coeficiente adiabático v= r Constante gas ideal γRT M Temperatura (Kelvin) Masa molecular Veámoslo: Velocidad de las ondas Velocidad del sonido en gases Módulo de compresibilidad adiabático Ecuación de estado en un proceso adiabático Derivamos: dP cte(−γ ) = cte(−γ )V −γ −1 = dV V γ +1 Y sustituimos B=− ΔP ΔV / V =− Adiabático B=P= ΔP ΔV/V cte Vγ Adiabático (Adiabático) coef. adiabático Esto es B: cte(−γ ) cte γ nRT P = = γ = γ V γ +1 / V Vγ V Velocidad de las ondas Velocidad del sonido en gases Dividiendo: B ρ = γ nRT RT n º gramos γ γ RT V = V M = n º gramos ρ M V ρ= n º gramos V n= n º gramos M Velocidad de las ondas Obtenemos la velocidad por fin: v= B ρ = γ RT M Velocidad del sonido en gases Por ejemplo: Velocidad del sonido en el aire A 0o C (273K) r γRT = 331m/s v= M R = 8.314 A 20o C (223K) r γRT v= = 343m/s M J mol K Maire = 29 × 10−3 kg mol γ = 1.4 (diatómico) Energía de ondas sonoras Para ondas de cuerda ∆Em 1 = μω 2A2∆x 2 ∆m = μ∆x Para ondas de sonido ∆Em = 1 2 2 ρω s0∆V 2 ∆m = ρ∆V Densidad de energía media (Energía p.u.v.) ηm ∆Em 1 = = ρω 2s20 ∆V 2 Por unidad de volumen Ondas en 3 dimensiones En un medio isótropo todas las direcciones del espacio son idénticas La onda que procede de una fuente puntual se propaga con simetría esférica Ondas en 3 dimensiones Definición de intensidad: I= P A (Potencia por unidad de área) [W/m2] I= Para las superficies esféricas señaladas: 4π r12 I1 = 4π r2 2 I 2 Como se supone que no hay pérdidas de potencia: I1 r2 2 = 2 I 2 r1 P 4π r 2 Ley del cuadrado inverso para la intensidad Intensidad para una onda sonora procedente de una fuente puntual La energía almacenada en la corteza esférica: densidad de energía p.u.v. volumen ΔEm = ηm ΔV = ηm A v Δt Dividiendo por Δt Potencia transmitida P= Velocidad de la onda Área ΔEm = ηm A v Δt Dividiendo por el área A Volumen de la corteza esférica: P 1 1 p0 2 2 2 = ηm v = ρ ω so v = I = A 2 2 ρv Intensidad Efecto Doppler • Se produce cuando receptor y emisor se mueven uno respecto al otro. • Cambio en la frecuencia observada respecto de la emitida. • Ejemplo: Cambio de tono de la sirena cuando se acerca o aleja de nosotros. • Es una combinación de dos efectos: Nomenclatura f=frecuencia R=receptor v=velocidad F=fuente fR=frecuencia que recibe el receptor vR=veloc. Receptor v=veloc. del Sonido (veloc. de la onda) fF=frecuencia que emite la fuente vF=velocidad de la fuente Efecto Doppler 1. Efecto del movimiento del receptor hacia la onda La velocidad efectiva con la que el sonido llega al receptor aumenta: Y por tanto, la frecuencia que recibe es mayor fR = RaF R R F v + vR v + vR v/ f F λ v + vR fR = fF v = Si el receptor en lugar de acercarse, se aleja, hay que cambiar aquí el signo Efecto Doppler 2.- Efecto del movimiento del emisor La longitud de onda varía según estemos delante o detrás de la fuente: longitud de onda DELANTE longitud de onda DETRÁS λ= v + vF fF λ= v ‐ vF fF RaF F F R F F R Si el receptor se acerca por delante, hay que utilizar esta λ Frecuencia que percibe el receptor fR = v + vR λ = v + vR v + vR = f (v + v F) / f F (v + v F) F detrás de la fuente Efecto Doppler Cuando se acercan: R E frecuencia observada > frecuencia emitida fR > fF Cuando se alejan: E R Si no tienen movimiento relativo: frecuencia observada frecuencia < emitida fR < fF fR = fF Ondas de Mach En el efecto Doppler veíamos que para una fuente en movimiento, λ delante de v − vF la fuente era: λ= Fuera no hay sonido fF Así que, Cuando vF → v ⇒ λ → 0 Si la fuente se mueve aún más rápido que la onda: vF > v se produce una onda de choque o de Mach: El móvil ejerce una gran fuerza para comprimir el aire delante de él y por acción y reacción (Newton), el aire ejerce una gran fuerza igual y opuesta sobre el móvil que se llama “barrera del sonido” vFt Cono tridimensional Dentro, un observador escucha la fuente alejándose con efecto Doppler Ondas de Mach La superficie tangente a todas las sucesivas ondas es un cono cuyo eje es la recta sobre la que se mueve la fuente, y cuya apertura es: sen α = v 1 = o uvfF N de Mach v fF u N de Mach= v o El movimiento resultante es una onda cónica que se propaga normalmente a la superficie del cono. Esta onda se llama Onda de Choque o de Mach. •Sonido repentino y violento, estampido. •Estela de botes •Aviones supersónicos •Radiación de Cerenkov Ondas de Mach El sonido se produce por el movimiento del avión, no porque éste tenga una fuente sonora, y se mantiene mientras dura el movimiento (no sólo en el momento de atravesar la barrera). Ondas de Mach Superposición de Ondas Cuando se encuentran dos ondas, el desplazamiento que se produce es la suma de los desplazamientos individuales que produce cada onda por separado. La La onda onda resultante resultante es es la la suma suma algebraica algebraica de de las las ondas ondas individuales. individuales. (Principio (Principio de de superposición) superposición) Superposición de Ondas • Caso de pulso iguales: Dos ondas pasan una a través de la otra, sin ser modificadas • La superposición: propiedad característica de las ondas. • La superposición ecuación de la onda. en Constantes Matemáticamente: y3 = C1y1 + C2y2 Ondas componentes y3 también es una onda, i.e. si y1 e y2 cumplen la ecuación de onda ⇒ y3 también. Veámoslo: la Superposición de Ondas Veamos si y3 cumple la ecuación de onda si y1 e y2 la cumplen: 1 ∂ 2y ∂ 2y = 2 2 2 ∂x v ∂t Ésta es la ecuación de onda ¿La cumple y3? ∂2 ∂ 2y3 ∂ 2y1 ∂ 2y2 = (C1y1 + C2y2) = C1 2 + C2 2 ∂x2 ∂x2 ∂x ∂x Superposición de Ondas Entonces: Si y1 e y2 la cumplen: 1 ∂ 2y1 ∂ 2y1 = 2 2 ∂x2 v ∂t 1 ∂ 2y2 ∂ 2y2 = 2 2 ∂x2 v ∂t 1 ∂2y1 1 ∂2y2 ∂2y3 = C1 2 2 + C2 2 2 = v ∂t v ∂t ∂x2 ∝ ∂ 1 ∂ 2y1 ∂ 2y2 = 2 C1 2 + C2 2 = v ∂t ∂t 1 ∂2 = 2 2 (C1y1 + C2y2) v ∂t y3 también. La La ecuación ecuación de de onda onda es es lineal lineal yy toda toda combinación combinación lineal lineal de de ondas ondas es es también también una una onda. onda. Interferencia de dos ondas armónicas Queremos sumar dos ondas de la misma amplitud y frecuencia, y distinto desfase. y1 = A sen(Kx − ωt) distinto desfase y2 = A sen(Kx − ωt + δ) Aquí las tenemos representadas: Interferencia de dos ondas armónicas La onda resultante: (Teorema superposición): y1 + y2 = A sen(Kx − ωt) + A sen(Kx − ωt + δ) Suma de funciones armónicas Usando las identidades trigonómetricas: 1 1 sen θ1 + sen θ2 = 2 cos (θ1 − θ2) · sen (θ1 + θ2) 2 2 θ1 = Kx − ωt θ2 = Kx − ωt + δ 1 1 (θ1 − θ2) = − δ 2 2 1 1 (θ1 + θ2) = −Kx − ωt + δ 2 2 Interferencia de dos ondas armónicas La onda resultante resulta ser otra onda armónica cuya amplitud depende del desfase. ∝ y1 + y2 = 2A cos ∂ 1 1 δ sen(Kx − ωt + δ) 2 2 amplitud δ=0 Interferencia constructiva δ=π Interferencia destructiva La fase es la mitad de la diferencia de fase entre las dos ondas. Superposición de ondas de frecuencias ligeramente diferentes La resultante es una onda cuya frecuencia es aproximadamente la misma que las ondas componentes La amplitud está modulada Velocidad de la onda ≡ Velocidad de fase Velocidad de la portadora del "paquete de ondas" ≡ Velocidad de grupo Ondas electromagnéticas Luz, radio, rayos X, γ, TV. . . • Difieren sólo en su longitud de onda y frecuencia. • No requieren medio de propagación • Viajan a través del vacı́o. • Velocidad ‘c’' 3 × 108m/s (2.9979 × 108m/s) • Lo que vibra no es materia, sino los campos eléctrico y magnético asociados. en vacío. (En un medio cualquiera: v=c/n, “n” índice de refracc.) Bibliografía •Tipler & Mosca “Física para la ciencia y tecnología” Ed. Reverté (vol. II) •Serway & Jewett, “Física”, Ed. Thomson (vol. II) •Halliday, Resnick & Walter, “Física”, Ed. Addison- Wesley. •Sears, Zemansky, Young & Freedman, “Física Universitaria”, Ed. Pearson Education (vol. II) Fotografías y Figuras, cortesía de Tipler & Mosca “Física para la ciencia y tecnología” Ed. Reverté Sears, Zemansky, Young & Freedman, “Física Universitaria”, Ed. Pearson Education
