P1.2

Parcial 1: Espectroscopı́a
Luis E. Sierra E.
18/09/2019
Investigación:
Los siguientes incisos corresponden a fundamentos básicos que se requieren para entender la conceptualización que corresponde al comportamiento de partı́culas a escala atómica. La idea es que usted se
familiarice con el marco conceptual que reviste la mecánica cuántica y un abre boca a lo que son los formalismos operacionales que se requieren para su tratamiento matemático.
a) La mecánica clásica (las abstracciones y formalismos usados hasta ahora en los cursos básicos de
fı́sica que usted ya cursó) supone que toda partı́cula de interés viaja en una trayectoria bien definida (donde
trayectoria tiene el significado especial de ser una ruta con posición y momento lineal precisamente definidos en cada instante). Además, supone que cualquier tipo de movimiento puede pasar a otro estado de
energı́a arbitraria y distingue muy bien los conceptos de onda y partı́culas como entidades fı́sicas distintas
con propiedades caracterı́sticas que las definen, pero no a la otra (por ejemplo, las ondas tienen longitud
de onda y frecuencias, pero no masa, esta ultima es una propiedad de las partı́culas).
La mecánica cuántica contrasta con esta visión de la fı́sica en dos caracterı́sticas fundamentales: la
cuantización de la energı́a, y la dualidad onda-partı́cula. Discuta de forma breve a que refieren estas dos
propiedades.
Desde un punto de vista clásico cuando ocurre un cambio en el estado de una partı́cula, esta puede presentar cualquier cantidad arbitraria de energı́a, tal como un carro puede avanzar con todas sus velocidades
disponibles, no obstante para sistemas cuánticos, las partı́culas en consideración de hecho solo pueden presentar valores discretos de energı́a, tal como si un carro solo pudiera avanzar con ciertas velocidades en vez
de todas las disponibles. Esto fue puesto en evidencia al observar la emisión de radiación electromagnética
desde cuerpos sólidos, donde solo se emitı́a una cierta cantidad de energı́a, lo que significó que no solo la
materia se encontraba cuantizada sino también la energı́a, por lo menos para el mundo cuántico. Tal como
se mencionó, al considerar sistemas macroscópicos esto no es observado.
Toda onda electromagnética puede presentar ciertas caracterı́sticas propias de las partı́culas y viceversa,
toda partı́cula tiene intrı́nsecamente cierta naturaleza ondulatoria, es precisamente esto lo que conocemos
como la dualidad onda-partı́cula en el mundo cuántico. Este postulado surgió como resultado del estudio de
la naturaleza de la luz, donde en ocasiones como en el efecto fotoeléctrico, esta radiación electromagnética
no podı́a comportarse como una onda, sino como un flujo de paquetes de partı́culas elementales conocidas
como fotones y en otras ocasiones, los resultados experimentales solo podı́an ser explicados si la luz tenı́a
una naturaleza ondulatoria, ante esta divergencia de comportamientos, la luz debı́a exhibir una dualidad
onda-partı́cula. Posteriormente esto se generalizó para cualquier partı́cula y por ende, desde el formalismo
cuántico, toda partı́cula debe presentar esta dualidad.
b) Investigue acerca de la conceptualización de la función de onda. ¿Qué es y cómo se escribe matemáticamente?;¿Cuál es la interpretación usual dada a esta de acuerdo al postulado de Born?
La función de onda Ψ(x, t) es una amplitud de probabilidad de variable compleja que describe el comportamiento de un sistema cuántico. En todo caso, es una solución a la ecuación de Schrödinger que
dependiendo de las condiciones aplicadas, ofrece información estadı́stica sobre los posibles valores de la
posición y el momento lineal de un sistema en una espacio definido. Al considerar el caso particular de
una partı́cula de masa m que viaja en la dirección x, entonces si la función de onda es una amplitud de
probabilidad, su modulo cuadrado |Ψ(x, t)|2 debe representar una densidad de probabilidad ρ(x, t) de que
la partı́cula para un instante t se encuentre en una posición x. Más especı́ficamente, se evalúa la posición
de la partı́cula en un intervalo I tal que x ∈ I, entonces la probabilidad P (t) de encontrar la posición de
la partı́cula en I para un instante t está dada por,
Z
|Ψ(x, t)|2 dx = P (t)
(1)
I
La interpretación estadı́stica de la función de onda introduce cierta indeterminación a la mecánica
cuántica, debido a que no es posible predecir con certeza la posición de una partı́cula, en cambio, todo lo
que la mecánica cuántica ofrece es información estadı́stica sobre posibles posiciones en la que se encuentra
la partı́cula. Supongamos que en el caso anterior de la partı́cula unidimensional, medimos su posición
experimentalmente para un tiempo t. La posición hallada realmente no importa. Ahora, ¿dónde se encontraba la partı́cula antes de la medición?, de acuerdo a la interpretación de Copenhagen la partı́cula no se
encontraba en ninguna posición en realidad, sino que es el acto de medición el que fuerza a la partı́cula a
tomar una posición definitiva, es decir, los sistemas fı́sicos no presentan propiedades definitivas antes de ser
medidas sino que es el acto de medir alguna de estas propiedades que hace que la función de onda colapse
y de un conjunto amplio de posibles valores, se obtenga el valor más probable para el sistema evaluado,
independientemente si este es obtenido experimentalmente o no. Esta es la interpretación más aceptada
de la mecánica de cuántica, postulada por Born.
c) Investigue de que trata el principio de correspondencia.
El principio de correspondencia, formulado por Bohr, establece que las leyes de la mecánica cuántica
reproducen el comportamiento descrito por las leyes de la fı́sica clásica cuando el número cuántico es grande (o el conjunto de números cuánticos es amplio) y la longitud de onda es baja. Matemáticamente, las
ecuaciones del formalismo cuántico deben transformarse a las ecuaciones descritas por la mecánica clásica
y por tanto, que las predicciones de la fı́sica cuántica encajen con las predicciones de la fı́sica clásica bajo
sistemas macroscópicos.
d) Investigue a que se refieren los siguientes formalismos:
1. Series infinitas, series de potencias y expansión de funciones en series de potencias (expansión de
Taylor).
1.1. Series infinitas:
Sea {an }: N → R, donde la sucesión {an } está dada por an = a1 , a2 , a3 , · · · , an , entonces se puede
generar la sucesión de sus sumas parciales,
S1 = a1
S2 = a1 + a2 = S1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3 = S2 + a3
..
.
Sn = a1 + a2 + a3 + · · · + an = Sn−1 + an
Ante esto, se dice que una serie infinita es la sucesión de sumas parciales de la forma Sn . Matemáticamente, una serie infinita está descrita por la siguiente expresión:
Sn = lı́m
k→∞
k
X
an = a0 + a1 + a2 + · · · + an + · · ·
n=0
1.2. Serie de potencias:
Si x es una variable, una serie de potencias es cualquier serie de la forma:
Sn = lı́m
k→∞
k
X
an x n = a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 + · · · + an x n + · · ·
n=0
Más en general, cualquier serie de la forma,
Sn = lı́m
k→∞
k
X
an (x − c)n = a0 + a1 (x − c)1 + a2 (x − c)2 + a3 (x − c)3 + · · · + an (x − c)n + · · ·
n=0
se dice que es una serie de potencias centrada en c, donde c es un elemento de los reales.*
1.3. Expansión de funciones en serie de potencias:
Sea f (x) una función real o compleja con n derivadas en a, entonces el polinomio
f (n) (a) (x − a)n
f 00 (a) (x − a)2 f (3) (a) (x − a)3
+
+ ··· +
Pn (x) = f (a) + f (a) (x − a) +
2!
3!
n!
0
se conoce como el polinomio de Taylor de grado n de f (x) en a, el cual puede ser rescrito en forma de
una serie de expansión de Taylor:
∞
X
f (n) (a) (x − a)n
Pn (x) =
n!
n=0
Si a = 0, entonces se obtiene la serie de expansión de Maclaurin de grado n para f (x):
Tn (x) =
∞
X
f (n) (0) xn
n!
n=0
2. Operadores y álgebra de operadores. Operadores de posición y momento lineal. Construcción de
operadores.
3. Autofunciones y autovalores. Dependencia e independencia lineal. Combinación lineal.
3.1. Autofunciones y autovalores.
Sea D un operador lineal definido en un espacio funcional, el número λ (real o complejo) se conoce
como el autovalor caracterı́stico asociado al operador lineal si y solo si existe una función f diferente de
cero en Cn tal que,
Df = λf
De satisfacerse la expresión, entonces f será la autofunción correspondiente al autovalor λ del operador
lineal D.
En el formalismo cuántico la ecuación de Schrödinger (independiente del tiempo) es esencialmente un
problema de autovalores, donde se busca una autofunción Ψ correspondiente al operador hamiltoniano Ĥ
que satisfaga la siguiente expresión,
Ĥ Ψ(x, t) = E Ψ(x, t)
donde E es el autovalor correspondiente a la autofunción Ψ(x, t) y está asociado al operador Ĥ.
3.2. Dependencia e independencia lineal.
Dados n vectores v1 , v2 , v3 , ... , vn definidos en una espacio vectorial V , entonces se dice que los vectores
son linealmente dependientes si existen n escalares c1 , c2 , c3 , ... , cn , donde por lo menos alguno es diferente
de cero, tal que
c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 + · · · + cn vn = 0
(2)
Se dice que los vectores v1 , v2 , v3 , ... , vn son linealmente independientes si la ecuación (2) se cumple
únicamente para el caso donde c1 = c2 = c3 = · · · = cn = 0.
3.3. Combinación lineal.
Sean v1 , v2 , v3 , ... , vn vectores en un espacio vectorial T , entonces cualquier vector de la forma
a1 v1 + a2 v2 + a3 v3 + · · · + an vn = 0
donde a1 , a2 , a3 , ... , an son escalares se denomina una combinación lineal de v1 , v2 , v3 , ... , vn .
4. Conmutatividad y no conmutatividad de operadores. Importancia en la especificación simultanea de
propiedades. Identidades de conmutadores.
4.1. Conmutatividad y no conmutatividad de operadores.
Los operadores son esencialmente funciones que hacen transformaciones sobre un vector dado. La conmutatividad es una propiedad de dos operadores, es decir, no se puede decir que un operador  es no
conmutativo, en cambio, solo se puede decir que dos operadores no conmutan entre sı́. Ilustremos un ejemplo de conmutatividad y no-conmutatividad:
Dado el vector (a, b). Sea  un operador lineal que intercambia las coordenadas del vector y B̂ otro
operador lineal que resta el primer término del segundo. Si los dos operadores lineales conmutan, entonces
al aplicar ambos operadores en ordenes diferentes sobre el vector, se obtendrá el mismo resultado. De ser
los resultados diferentes, entonces los operadores  y B̂, definidos en un espacio de Hilbert, no conmutan
entre sı́.
ÂB̂(a, b) = (b − a, a)
B̂ Â(a, b) = (b, b − a)
ÂB̂(a, b) 6= B̂ Â(a, b)
En este caso particular, se comprueba que los operadores  y B̂ son no conmutativos. En general,
dados dos operadores lineales Ĉ y D̂ que actúan sobre un vector V , estos son conmutativos si y solo si
Ĉ D̂ (v1 , v2 , v3 , ... , vn ) = D̂Ĉ (v1 , v2 , v3 , ... , vn ). De caso contrario, los operadores serán no conmutativos.
4.3. Identidades de conmutadores.
Sean  y B̂ dos operadores lineales que actúan sobre una función arbitraria, entonces el conmutador de
los operadores se define como [Â, B̂] = ÂB̂ − B̂ Â. Si el conmutador es igual a cero, entonces los operadores
lineales son conmutativos (tal como se describió). Los conmutadores presentan una serie de identidades
útiles, descritas a continuación.
Sea c un escalar real, entonces:
[Â, c] = 0
[Â, Â] = 0
[Â, B̂] = −[B̂, Â]
[cÂ, B̂] = [Â, cB̂] = c[Â, B̂]
[Â, B̂ ± Ĉ] = [Â, B̂] ± [Â, Ĉ]
[ÂB̂, Ĉ] = Â[B̂, Ĉ] + B̂[Â, Ĉ]
[Â, B̂ Ĉ] = B̂[Â, Ĉ] + Ĉ[Â, B̂]
5. Integral sobre operadores. Normalización. Condición de ortonormalidad.
5.1. Integral sobre operadores.
la pregunta es ambigua, buscar
5.2. Normalización.
De acuerdo a la interpretación estadı́stica de la función de onda, la densidad de probabilidad de encontrar a una partı́cula de masa m en alguna posición en el espacio es igual al modulo cuadrado de la
función de onda Ψ(x, t), entonces resulta razonable que la probabilidad de encontrar a tal partı́cula en
alguna posición x de evaluarse todas las posibles debe ser igual a 1, es decir,
Z∞
|Ψ(x, t)|2 dx = 1
(3)
−∞
Si esto no se cumple, entonces la interpretación estadı́stica no tendrı́a sentido alguno debido a que
la partı́cula debe estar en algún lugar. Las funciones de onda debe ser normalizadas, lo que implica que
deben ser multiplicadas por un factor complejo A de forma que la ecuación (3) se cumpla, esto es lo que se
conoce como normalizar a la función de onda. Esto no ofrece problema alguno en términos de la ecuación
de Schrödinger debido a que si Ψ(x, t) es solución, entonces AΨ(x, t) también lo es.
5.3. Condiciones de ortonormalidad*.
Se dice que un conjunto de vectores S = {u1 , u2 , u3 , ... , un } en Rn es un conjunto ortonormal si
ui · uj = 0
∀ i 6= j
ui · ui = 1
En otras palabras, un conjunto de vectores son ortonormales si cualquiera de ellos es ortogonal y cada
uno tiene una longitud de 1.
6. Notación de Dirac. (PREGUNTAR SI DEBO PONER PROPIEDADES)
La notación de Dirac, también conocida como la notación bra-ket, es la notación estándar para describir
los estados cuánticos de un sistema dado, donde se escribe el producto interno de dos estados de manera
diferente debido a que la notación emplea un paréntesis angular. El cambio de notación es el siguiente
hΨ, φi → hΨ|φi. Se puede definir el producto interno siguiendo la notación de Dirac de la siguiente manera,
Z
hΨ|φi ≡ (hΨ|, |φi) = Ψ∗ (x)φ(x) dx para todo ket |φi
Donde la parte derecha |φi se conoce como ket y es un vector tı́picamente representado como un vector
columna, mientras que la parte izquierda hΨ| se conoce como bra y es una función multilineal de vectores,
en el sentido que cuando se aplica sobre un vector, da lugar a un número complejo. En un espacio funcional,
el bra puede verse como una instrucción en la integración:
Z
hf | =
f ∗ [ · · · ] dx,
con la elipsis [ · · · ] esperando ser reemplazada por cualquier función que el bra encuentre en el ket de su
derecha. En un espacio vectorial finito, los ket de ser expresados como un vector columna, se representan
de la siguiente manera (donde los componentes corresponden a alguna base),

φ1

 
 φ2 
 
 
|φi →  φ3 
.
 .. 
 
φn
7. Operadores hermitianos.
El valor esperado de un operador observable Q(x, p) puede ser expresado como un producto interno:
Z
hQi =
Ψ∗ Q̂Ψ dx = hΨ|Q̂Ψi
El resultado de la medición de tal operador debe ser real y por tanto, es el promedio de muchas mediciones:
Q = Q∗
No obstante, tenga en cuenta que el conjugado complejo de un producto interno revierte el orden,
entonces,
hΨ|Q̂Ψi = hΨQ̂|Ψi
y esto debe ser cierto para toda función de onda Ψ. De manera que los operadores que representan
observadores tienen la especial propiedad que,
hf |Q̂f i = hQ̂f |f i para toda f (x).
Donde se conoce que todo operador Q es un operador hermitiano, los cuales representan observables.
Tal vez una definición más común es la siguiente:
El conjugado hermitiano (adjunto) de un operador Q̂ es el operador Q̂† tal que,
hf |Q̂gi = hQ̂† f |gi para toda f (x) y g(x).
Un operador hermitiano, entonces, es igual al conjugado hermitiano: Q̂ = Q̂† .
e) Enumere y describa los postulados de la mecánica cuántica.
1. En cada instante, el estado de un sistema fı́sico está representado por un ket |ψi en un espacio de
estados.
Comentarios
El espacio de estados es un espacio vectorial. El postulado implica que la superposición de dos
estados es nuevamente un estado del sistema. Si |ψ1 i y |ψ2 i son posibles estados de un sistema,
entonces también lo es |φi,
|ψi = a1 |ψ1 i + a2 |ψ2 i
con a1 y a2 siendo números complejos.
El espacio de estados viene equipado con el concepto de un producto interno hΨ|φi, donde el producto
interno asocia un número complejo a cualquiera de los estados (en la sección de la notación de Dirac,
se encuentra la definición de este producto interno).
2. Cada atributo observable de un sistema fı́sico está descrito por un operador que actúa sobre los kets
que describen al sistema.
Comentarios
Por convención, un operador  que actúa sobre un ket |ψi se denota por una multiplicación,
 : |ψi → |ψ 0 i = Â|ψi
Es importante reconocer que un operador que actúa sobre un estado, en general, altera el estado del
sistema.
Por cada operador, existen estados especiales que no son alterados por la acción de un operador (a
menos que se multipliquen por un constante),
Â|ψa i = a|ψa i
Estos son los eigenestados y los números a son los autovalores del operador.
3. El único resultado posible de la medición de un observable A es uno de los autovalores del correspondiente operador Â.
Comentario
Debido a que solo se miden números reales, los autovalores de los operadores correspondientes a
observables deben ser reales. Los operadores con autovalores reales son hermitianos.
4. Al realizar la medición de un observable A sobre un estado genérico |ψi, la probabilidad de obtener
un autovalor an está dada por producto interno cuadrado de |ψi con el autoestado |an i, es decir, |han |ψi|2 .
Comentarios
Los estados deben ser normalizados hacia la unidad de forma que la interpretación estadı́stica sea
razonable,
hψ|ψi = 1
∗
haj |ak i = δjk
aunque esto no es siempre posible.
El número complejo han |ψi se conoce como la amplitud de probabilidad de medir a an como el valor
de A en el estado |ψi.
Se puede calcular el valor esperado de un observable A. Si la probabilidad de observar an es |cn |2 ,
entonces el valor esperado hAi está dado por:
hAi =
X
an |cn |2
n
5. Inmediatamente después de que la medición de un observable A ha dado origen a un autovalor an ,
el estado del sistema será el eigenestado normalizado |an i.
Comentario
Lo cual se conoce como el colapso de la función de onda Ψ. Este es uno de los postulados más controversiales de la mecánica cuántica y se encuentra motivado por mediciones experimentales repetidas.
Si una muestra experimental se prepara en un estado |ψi, entonces se observa que una medición de
A puede dar origen a una variedad de resultados an con probabilidades |han |ψi|2 . Sistemas preparados idénticamente pueden dar lugar a diferentes resultados en su medición, tal como se describe
en el anterior postulado. No obstante, si se mide A con un resultado an en un sistema dado y se
vuelve a medir el sistema inmediatamente, los resultados de la segunda medición no se encuentran
estadı́sticamente distribuidos y el resultado siempre será an .
6. La evolución de un sistema cuántico en el tiempo preserva la normalización del ket asociado. La
evolución del estado de un sistema cuántico en el tiempo está descrito por |ψ(t)i = Û (t, t0 )|ψ(t0 )i para
algún operador unitario Û .
Comentarios
Bajo la evolución del tiempo, un estado |ψi se mueve a través de un espacio de estados en una
trayectoria que definimos como |ψ(t)i. La preservación de la normalización del estado está asociado
con la conservación . Si el observador O es energı́a, por ejemplo, entonces de acuerdo a la ecuación
(3) la probabilidad de encontrar al sistema con algún valor para la energı́a es de 1, cuando se evalúan
todas las posibilidades. Para que esto se cumpla en el tiempo, es necesario que la función de onda
esté normalizada.
El postulado requiere que |ψi satisfaga la ecuación de Schrödinger (escrita en forma de operador en
el espacio de estados),
i~
d
|ψ(t)i = Ĥ|ψ(t)i
dt
(4)
donde i es la unidad imaginaria y ~ es la constante de Planck reducida.
f ) Investigue, y discuta las bases fı́sicoquı́micas de las siguientes técnicas espectrométricas, ası́ como,
sus aplicaciones y perspectivas en biologı́a. Cite ejemplos.
1. Espectroscopia de fluorescencia.
La espectroscopia se encarga del estudio de la interacción entre la materia y la radiación electromagnética. De acuerdo a los diferentes tipos de radiación, existen diversos tipos de espectroscopia, cuyas diferencias
radican tanto en la longitud de onda λ de la radiación electromagnética como en la naturaleza del proceso,
sea una absorción o emisión de energı́a. La espectroscopia de fluorescencia se basa precisamente en esto
último, la emisión de energı́a en forma de fotones que no es producto de la alta temperatura del cuerpo,
es decir, se basa en la emisión fluorescente de un cuerpo a partir de un proceso de excitación, que generalmente inducido por haces de radiación ultravioleta (también es posible lograrlo con otras radiaciones). A
continuación se discutirán los fundamentos moleculares de esta técnica.
El proceso inicia con la proyección de haces de luz ultravioleta hacia la muestra, que inducen una
absorción estimulada sobre las moléculas presentes en la muestra. La energı́a hv dispuesta en los paquetes
de fotones presentes en cada haz es del mismo orden que la necesaria para excitar a los electrones presentes
en las moléculas de la muestra, este aumento de energı́a se traduce en que los electrones desde su estado
estacionario S0 pasan a un estado electrónico excitado S1 , de mayor energı́a. En moléculas, cada estado
electrónico se divide en una serie de estados vibracionales, cada uno con una cantidad discreta de energı́a
(cuantización de la energı́a). La relación entre cada estado electrónico y su transición a través de la serie
de estados vibraciones puede observarse fácilmente desde un diagrama de Jablonski (Figura 1).
Figura 1: Diagrama de Jablonski tı́pico de un proceso de fluorescencia. Los estados S0 y S1 representan
estados electrónicos y las lı́neas negras horizontales representan estados vibracionales.
El diagrama de Jablonski permite explicar el proceso con mayor facilidad. Una vez que los electrones de
la molécula excitada se encuentran en alguno de los estados vibracionales (1, 2, 3) del estado electrónico S1 ,
en el orden de femtosegundos o picosegundos, se produce un decaimiento no radiactivo donde la molécula
excitada colisiona con múltiples moléculas en su región circundante debido al movimiento browniano, cada
uno de estas colisiones implica la transferencia de una fracción de la energı́a potencial desde la molécula
excitada hacia la rotación, traslación y vibración de las moléculas circundantes, es decir, la energı́a de
excitación se traduce espontáneamente en calor. Cada colisión hace que la molécula excitada pase a un
estado vibracional de menor energı́a (de acuerdo al principio de Frank-Condon), tal como indican las flechas
en el diagrama, hasta que finalmente se alcanza el menor estado vibracional del estado electrónico excitado,
el estado 0.
Debido a que la brecha de energı́a entre el estado electrónico excitado y el estado electrónico estacionario
es mayor que la energı́a térmica presente, el paso de la molécula desde su estado excitado hasta su estado
de menor energı́a está favorecido termodinámicamente. Esta transición de estados electrónicos solo tiene
lugar cuando la molécula excitada ha alcanzado el menor estado vibracional de S1 , en el cual permanece
por algunos nanosegundos, para que finalmente la molécula excitada pase a uno de los estados vibracionales
del estado electrónico estacionario S0 al emitir un fotón de mayor longitud de onda λ que el absorbido,
debido a que se parte de la energı́a de excitación fue transferida en la relajación vibracional (dispersión de
Stokes). Esta fluorescencia está representada por la flecha verde en el diagrama presente en el diagrama
Jablonski. Tal como ocurre en una molécula excitada, ocurre simultáneamente en muchas otras, lo cual
produce una constante radiación electromagnética, la cual es captada consecuentemente por un fluorı́metro
que mide la fluorescencia emitida.
Aplicaciones y perspectivas en biologı́a. Citas.
2. Espectroscopia infrarroja.
La espectroscopia infrarroja, tal como indica su nombre, se fundamenta en la interacción entre la
radiación infrarroja y la materia. La técnica puede ser realizada a partir de diferentes vı́as y por ende,
con diferentes dispositivos, no obstante, en todo caso se basa en la absorción de luz infrarroja por parte
de las moléculas presentes en una muestra, lo cual induce una transición de estados vibracionales V entre
niveles siempre presentes en el mismo estado electrónico estacionario S0 , debido a que la luz infrarroja
gracias a su elevada longitud de onda λ, no presenta la suficiente energı́a para inducir una excitación de
estados electrónicos. La espectroscopia infrarroja entonces se fundamenta en la transición entre estados
vibracionales, por lo que describamos un poco el proceso de vibración.
De acuerdo al principio de incertidumbre de Heisenberg toda partı́cula se encuentra siempre en movimiento, por lo que no deberı́a sorprender que toda molécula siempre se encuentra en movimiento. El
movimiento de una molécula no solo es traslacional, sino también rotacional y vibracional. Ciertamente
no hay una sola forma en que una molécula puede rotar o vibrar, dependiendo del número de grados de
libertad que esta presente, son posibles cientos de diferentes modos vibracionales. Estos modos no son más
que movimientos periódicos que realiza un átomo con respecto a otro al cambiar su distancia internuclear
y precisamente porque son periódicos, presentan una frecuencia intrı́nseca que se conoce como frecuencia
vibracional, la denotaremos con una v. Esta frecuencia depende únicamente de dos parámetros, siendo el
más obvio la masa atómica, debido a que mientras más masivo de un objeto, mayor será la energı́a cinética
a ser empleada para moverlo. El segundo factor es la energı́a de disociación de enlace, que es una medida
de la energı́a necesaria para romper un enlace y por tanto es, una medida de la fuerza de un enlace. Se
puede visualizar a un enlace tal como visualizamos a un resorte, mientras más se oponga a la compresión,
una vez que es finalmente comprimido, su frecuencia aumenta notablemente, tal como ocurre en un enlace.
Entonces, podemos visualizar a la vibración atómica como la elongación y compresión del enlace covalente
que une a dos átomos. La frecuencia vibracional v entonces está dada por,
1
v=
2π
s
k
µ
donde k es la fuerza del enlace y µ es la masa reducida del sistema diatómico.
Se hace tanto énfasis en la vibración y especialmente en su frecuencia para poder llegar a una importante conclusión. Cada modo vibracional tiene su propia frecuencia vibracional, lo que implica que toda
molécula presenta sus propias frecuencias vibracionales, ya que todos los átomos tienen masa atómicas
diferentes y la fuerza de un enlace depende de los átomos constituyentes y especialmente de sus configuraciones electrónicas particulares. La espectroscopia infrarroja se aprovecha de esta propiedad intrı́nseca
de cada molécula para determinar su estructura y por tanto, su identidad. Veamos como es posible esta
identificación.
El proceso se inicia con la proyección del espectro infrarrojo sobre la muestra en estudio, donde los
fotones emitidos por policromador tienen la suficiente energı́a para inducir una transición de estados
vibracionales sobre las moléculas de la muestra, no obstante, la excitación solo ocurre cuando un haz de
luz infrarroja de frecuencia ν presenta la misma frecuencia vibracional que la molécula irradiada, debido
a que cuando esto ocurre, hay un aumento notorio de la amplitud (resonancia) de la molécula y por tanto
de su energı́a. Este aumento en la energı́a interna se traduce en una transición desde un estado vibracional
inicial, llamemoslo V0 , hasta un estado vibracional de mayor energı́a, que puede ser el subsiguiente V1 u
otro superior dependiendo de la intensidad absorbida por la molécula (Figura 2). El repentino aumento en
el movimiento vibracional implica un cambio notorio en el momento dipolar µ de los grupos funcionales en
cuestión, debido a que este depende de la distancia entre las cargas parciales y precisamente la vibración
altera la distancia entre átomos. La variación en el momento dipolar es tal que se produce un campo
que finalmente interactúa con el campo producido por la radiación infrarroja. Ante la tendencia de todo
sistema de desplazarse hacia estados de menor energı́a, los grupos funcionales excitados pasan de su estado
vibracional excitado a su estado vibracional de menor energı́a, que puede o no ser el inicial, emitiendo la
diferencia de energı́a entre estos estados hacia su entorno en forma de fotones. Los fotones emitidos son
captados por un detector que transforma tal radiación en una señal eléctrica, las cuales son seguidamente
procesadas por un computador que transforma tales impulsos empleando ciertos algoritmos en el espectro
infrarrojo de la muestra empleada, que representa gráficamente la trasmitancia frente a la frecuencia de haz
incidente. Esta representación permite determinar las frecuencias vibracionales de la muestra desconocida
debido a que en tales puntos, se observa un pico de absorbancia (resonancia). Finalmente, debido a que
cada grupo funcional vibra a una frecuencia caracterı́stica, es posible de acuerdo a una base de datos,
identificar tal grupo y por ende, a la molécula irradiada. Es precisamente esta la razón por la cual el
espectro infrarrojo reproducido por el espectroscopio se le conoce como huella.
Aplicaciones y perspectivas en biologı́a. Citas.
3. Espectroscopia de UV-Visible.
Z
Y X Z
I
Y X
φ Γ ln(x) arctan(x) cosh(x)
γ δ ζ Ψ
Φ α η
Z Y X Y
X Y
ϕ λ % χ
cosh(x) Γ(s) xn ζ(z) π υ
µ
ex arc cos(x) tan(x) e(iθ) ν ψ ω
X Y
X Z Z Z
ln(x) arctan(x) cosh(x) Γ(s)
λ ~ α θ sin(x) cos(x) ex arc cos(x) τ β ϑ π
Y X Z
x
sin(x) cos(x) e
φ Γ ln(x) υ γ ι $ φ δ arc cos(x) tan(x) e(iθ) ν ψ ωκ ρ cos(x) ex arc co
z
I
δ ζ
X
Ψ ∆ Ξ Υ Ω
sin(x) cos(x) e
x
Θ Π Φ sin(x) cos(x) ex arc cos(x) tan(x) eiθ) ln(x) arctan(x) cosh(x) Γ(s) xn ζ(z)
sin(x) cos(x) ex arc cos(x) tan(x) eiθ) ln(x) arctan(x) cosh(x) Γ(s) xn ζ(z)