NUMEROS REALES

UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA
FACULTAD DE CIENCIAS
EL CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES
El campo de los números reales es un conjunto ℝ de elementos 𝑎, 𝑏, 𝑐, … (llamados números
reales), cuyas propiedades serán especificadas en la lista de axiomas. Los axiomas se
presentan en tres grupos: los axiomas de campo, los axiomas de orden y el axioma de
completitud.
Los axiomas de orden son de carácter algebraico y tienen que ver con las propiedades de la
suma y el producto de ℝ. Los axiomas de orden se refieren al tamaño relativo de los números
reales y regulan las relaciones de orden entre ellos (“mayor que”, “menor que”, …), el
axioma de completitud es también un axioma de orden.
La forma actual del enfoque axiomático de los números reales que vamos a estudiar es el
resultado del planteamiento hecho por la famosa Escuela Formalista de Hilbert, a principios
del siglo XX.
Axiomas de la Adición y de la Multiplicación
Ley de la Clausura:  : R  R  R
Ley de la clausura:  : R  R  R
(a, b)  ab
(a, b)  a  b
A1)
a, b  R : a  b  b  a
M1)
a, b  R : ab  ba
A2)
a, b, c  R : (a  b)  c  a  (b  c )
M2)
a, b, c  R : (ab)c  a(bc )
A3)
!0  R, a  R : a  0  a
M3)
!1 R, a  R : a 1  a
A4)
a  R , !(a)  R , : a  (a)  0
M4)
a  0, a  R, !a 1 : aa 1  1
Donde a 1 
1
a
D) a, b, c  R : a(b  c )  ab  ac
Relación de Orden
O1) a, b  R , una y solamente una de las relaciones se cumple a  b, a  b, b  a (Ley de
tricotomía).
O2)
Si a  b y b  c entonces a  c (Transitiva)
O3)
Si a  b  a  c  b  c , a, b, c  R
O4)
Si a  b, c  0  a  c  b  c
Axiomas de la Igualdad
I1. a  R : a  a
I2. a, b  R : si
I3. a, b, c  R : si
abba
a  bb  c a  c
Teoremas relativos a la igualdad
Teorema 1
Teorema 2:
1. Si a  b  c  R  a  c  b  c
2. Si a  c  b  c  a  b
1
a  R  a  0  0
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3. Si a  b  c  R  ac  bc
4. Si ac  bc  c  0  a  b
Teorema 3
Teorema 4:
a 
1 1
1.
a  R :  a  (1)a
1. Si a  0, a  R , 
2.
a, b  R : a(b)  (ab)  (a)b
2. Si a  0  b  0; a, b  R , 
3.
a  R :  (a)  a
4.
a, b  R : (a)(b)  ab
Definición de Diferencia:
Definición de División:
a
 ab  1  a 1b 1
a  b  a  (b)
a, b  R, b  0, se define
a
b
 ab 1
Definición para potenciación:
Si a  R  a  0 , m  R :
a0  1

 m
m 1
a  a a, si m  1
además a m  (a 1 )m .
Teorema 5
Si a, b  R  0 y m, n  R :
1.
aman  amn
2.
(am )n  amn
3.
(ab)m  ambm
 a m n
4.
am
an
5.
 ab 
m

am
an
Ecuaciones lineales con una incógnita
Teorema 6
Si a, b, x  R y a  0 , entonces ax  b  0 si y sólo si x   ab
Teorema 7
∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, ab  0  a  0  b  0
Corolario 7.1
ab  0  a  0  b  0
Teorema 8
a 2  b 2  a  b  a  b
Corolario 8.1
Si k  0 , entonces a 2  k  a  k  a   k
Ecuaciones cuadráticas
Teorema 9
La ecuación cuadrática ax 2  bx  c  0, a  0 es equivalente a la ecuación  x  2ba  
Teorema 9.1
Las raíces de la ecuación cuadrática ax 2  bx  c  0, a  0 son
2
Teorema 10
La ecuación cuadrática ax 2  bx  c  0, a  0 :
2

 b  b 2  4ac
2a
, b 
b 2  4ac
2a

b 2  4 ac
4a 2
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(1)
tiene dos raíces reales diferentes, si y sólo si,   0
(2)
tiene sólo una raíz real, si y sólo si,   0
(3)
no tiene raíces reales, si y sólo si,   0
Propiedades
Teorema 11
Si
r1 
 b  b 2  4ac
2a
y
r2 
 b  b 2  4ac
2a
son
las
raíces
de
la
ax 2  bx  c  0, a  0 , se cumplen las siguientes propiedades:
(1)
r1  r2   ab y r1r2  ac
(2)
ax 2  bx  c  a( x  r1 )( x  r2 )
INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS
Teoremas
1.
2.
Si a  b  c  d  a  c  b  d
3.
Si a  b  c  0  ac  bc
4.
5.
6.
Si a  0  a 2  0 ()ó también a  R : a 2  0
Si 0  a  b  0  c  d  ac  bd
De la regla de los signos
6.1 ab  0  a  b tienen el mismo signo.
6.2 ab  0  a  b tienen signos diferentes.
a  b  a  b
Corolarios:
a 1 y a tienen el mismo signo, siempre que a  0
1
1
2. Si a y b tienen el mismo signo y a  b  a  b
a, b  0
1.
7.
Si a  0 y b  0 , entonces a 2  b 2  a  b
8.
Si b  0 , entonces a 2  b  a  b  a   b
9. Si b  0 , entonces a  b   b  a  b
Nota: Los teoremas 6, 7, 8 y 9 siguen siendo válidos si reemplazamos
 por  ó  por  .
Nota: Los teoremas 6, 7, 8 y 9 siguen siendo válidos si reemplazamos
 por  ó  por  .
2
ECUACIONES E INECUACIONES CON RADICALES
Propiedades
1.
0 a  b 0ab
2.
3.
a) Si n es un entero positivo par, se cumple:
a  b  0  a  0b  0
i.
n
a 0a0
ii.
n
a 0a0
a  nb 0ab
iii.
b) Si n es un entero positivo impar, se cumple:
n
i.
n
a 0a0
ii.
n
a 0a0
3
ecuación
cuadrática
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iii.
4.
5.
n
a  nb ab
a)
a b 0a0b0
b)
a b 0a0b0
Teorema fundamental para la resolución de inecuaciones con radicales
i.
a  b  a  0  [b  0  a  b 2 ]
ii.
a  b  a  0  b  0  [b  0  a  b 2 ]


VALOR ABSOLUTO
Propiedades
1. x  R , x  0 . Además x  0  x  0
2.
x  x
3.
xy  x y . Consecuencia |𝑥|2 = |𝑥 2 | = 𝑥 2
4.
x  x  x  x
5.
x y  x  y
6.
x y  x  y
x  R , x  0
ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Propiedades relativas a ecuaciones
1.
x  b  b  0  ( x  b  x  b)
x  y  x  y  x   y . Consecuencia x  y  ( x  y)( x  y)  0
2.
Propiedades relativas a inecuaciones
3.
x  b  b  0  (b  x  b)
4.
x  b  b  0  (b  x  b)
5.
x  b  x  b  x  b
6.
x  b  x  b  x  b
7.
x  y  x 2  y 2  ( x  y)( x  y)  0
Nota:
x2  x
EJERCICIOS.
1. Determine si la operación de adición verifica la propiedad de clausura:
a) En el conjunto de los números racionales no enteros.
b) En el conjunto de los números irracionales
2. Sean {𝑎, 𝑏} ⊂ ℚ y {𝑐, 𝑑} ⊂ 𝕀. En cada recuadro en blanco coloque un aspa donde corresponda. En el
caso de que marque la opción “A veces” indique la columna de observaciones la justificación.
Proposición
Siempre
Nunca
(𝑎 + 𝑐) ∈ ℕ
(𝑎 ∙ 𝑐) ∈ 𝕀
𝑐
( )∈𝕀
𝑑
𝑎
( ) ∈ (ℚ − ℤ)
𝑏
4
A veces
Observaciones
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(𝑎 + 𝑐) ∈ 𝕀
(𝑐 + 𝑑) ∈ 𝕀
3. Halle el conjunto solución de la inecuación 3 ≤
3−2𝑥
2
−2≤7
4. Determine el intervalo o unión de intervalos que corresponden a cada uno de los siguientes conjuntos:
1
𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ/𝑥 ∈ [0; 3] ∧ (−𝑥 + ) ∈ [−1; 2⟩}
2
𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ/(2𝑥 − 1) ∈ (⟨−∞; 1⟩ ∪ [2; +∞⟩)}
𝑥
𝐶 = {𝑥 ∈ ℝ/ (1 − ) ∈ (⟨−2; 3] − {1})}
2
𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ/(1 − 𝑥) ∈ ([−𝑥; 2] ∩ ⟨𝑥 + 1; 4⟩)}
5. A una mesa de sufragio de las últimas elecciones asistieron a votar un total de 𝑥 personas. Hasta el
mediodía ya habían votado 80 personas y faltaban votar más de la tercera parte de 𝑥. Entre el mediodía
y las tres de la tarde votaron 29 personas más, con lo que el número de personas que faltaban votar fue
menos de 13 personas. Si se sabe que todas las personas que figuraban en el padrón electoral asistieron
a sufragar, determine el número de personas que faltaban votar al mediodía.
6. Las estaturas de dos personas están en la relación de 5 a 6. Si la suma de las mismas está comprendida
entre 3 y 4 metros, determine el intervalo al cual pertenece cada una de estas estaturas.
7. Si 𝑎 y 𝑏 son números reales tales que 𝑎 < −8 y 𝑏 > 7, simplifique las expresiones 𝑀, 𝑁 y 𝑃.
a) 𝑀 = |2𝑎𝑏| − |−3𝑎𝑏| + |𝑏 − 𝑎| − |𝑎 − 𝑏| − 𝑎𝑏 − 1
b)
𝑁 = |2𝜋 + 𝑎| − |2𝜋 − 𝑏| − |2 + 𝜋| − 𝜋 + 𝑏 − 𝑎 + 4
c) 𝑃 = |2𝑎 + √2| − |−√2 − 𝑏| + |5𝑏 + √2| − 2𝑎 + 𝑏
8. Utilice las propiedades del valor absoluto para determinar el conjunto solución 𝑆 de las siguientes
ecuaciones e inecuaciones:
a) |5 − 10𝑥| < 𝑥 + 5
b) 3𝑥 − |1 − 𝑥| ≤ 1 + 2𝑥
c)
1
2
𝑥 ≤ |3𝑥 − 2| < 𝑥 +
3
2
d) ||𝑥 2 + 2| − 𝑥 2 + 𝑥| − 6𝑥 = 10
9. Halle el conjunto solución de las siguientes ecuaciones polinomiales.
a) 2𝑥 5 + 7𝑥 4 − 18𝑥 2 − 8𝑥 + 8 = 0
b) 2𝑥 4 + 13𝑥 3 + 28𝑥 2 + 23𝑥 + 6 = 0
10. Una empresa productora de malta de cebada solicita a su departamento de proyectos que diseñe un
depósito de granos de cebada, el cual tendrá la forma de cilindro circular recto, con un techo semiesférico.
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La parte cilíndrica debe tener una altura de 20 m y todo el depósito (desde el piso hasta el techo) un
volumen de 198𝜋 𝑚3 . Determine la longitud del radio dela base del depósito que satisface las
especificaciones dadas.
11. Un padre de familia compra cierto número de cuadernos por S/. 360. Si cada cuaderno costara S/. 2
menos, hubiera podido comprar 6 cuadernos más. ¿Cuánto le costó cada cuaderno y cuántos compró?
12. Un ingeniero de sistemas cobró S/. 900 por arreglar una falla en el sistema de cómputo de una empresa.
El trabajo le llevó tres horas menos de lo que suponía y entonces ganó S/. 50 más por hora de lo que
esperaba. ¿Cuánto dinero por hora pensó cobrar inicialmente por llevar a cabo el trabajo?
13. Resuelva las siguientes inecuaciones racionales
a)
b)
c)
d)
7−5𝑥
𝑥 2 −9
≥0
𝑥 2 +3𝑥−40
𝑥 2 +6𝑥−7
≤0
(1−𝑥−𝑥 2 )(2−𝑥−𝑥 2 )
(3−𝑥)(2−𝑥)
𝑥 5 −1
𝑥 4 +1
≥
≥0
𝑥 5 −2
𝑥 4 +2
14. Dadas las inecuaciones −
14
3
< 𝑥 < 8 y |3𝑥 − 5| < 𝐶. Calcule el valor de la constante 𝐶 para que 𝑥
verifique ambas inecuaciones.
15. Sean 𝐶1 y 𝐶2 dos recipientes cilíndricos que contienen leche. La altura de la leche en 𝐶1 es 480 cm y
en 𝐶2 es 200 cm. Mediante una bomba, se trasfiere leche de 𝐶1 hacia 𝐶2 . Se observa que el recipiente 𝐶1
la altura de la leche disminuye 5 cm por minuto, y en 𝐶2 aumenta 2 cm por minuto. ¿Después de cuánto
tiempo desde que se inició el bombeo las alturas en 𝐶1 y 𝐶2 serán iguales?
16. A partir de una pieza de cartón de forma cuadrada se desea confeccionar una caja abierta de base
cuadrada. Para ello se recortan cuadrados de 6 cm de lado en cada esquina y luego se doblan hacia
arriba las porciones restantes, formando las caras laterales de la caja. Si el volumen de la caja es de 864
𝑐𝑚3 , entonces determine la longitud del lado de la pieza original de cartón.
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NÚMEROS REALES
1.1 Intervalos
𝑥 2 +𝑥+4
𝑥 3 −1
1. Sean los conjuntos 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ/ 𝑥 3 +𝑥 2 +2𝑥 ≥ 0}, 𝐵 = {𝑥 ∈ ℤ/ (𝑥−4)(𝑥+3)2 < 0} y
1
𝐶 = {𝑥 ∈ ℝ/𝑥 2 (𝑥 2 + 𝑥 − 6) > 0}, hallar (𝐴 ∩ 𝐵′) ∩ 𝐶.
2. Sean los conjuntos 𝑃 = {2𝑥 ∈ ℝ/2𝑥 2 − 13𝑥 + 20 ≥ 0} y 𝑄 = {(3𝑥 + 1) ∈ ℝ/6 ≤ 4𝑥 + 2 ≤
18}, determinar
a) 𝑄 − 𝑃′
b) (𝑃 − 𝑄)∆(𝑃 ∩ 𝑄)
3. Sean los conjuntos 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ/−3 <
3𝑥−5
3
≤ 2}, 𝐵 = {
𝑥+3
2
∈ ℝ/−3 ≤ 𝑥 < 9} y
𝐶 = {𝑥 ∈ ℝ/(𝑥 2 + 2𝑥 + 5)(𝑥 2 − 9) ≤ 0}, hallar 𝐴 − (𝐵∆𝐶).
4. Dados los conjuntos 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ/𝑥 2 + 6𝑥 + 4 < 0}, 𝐵 = {
−2𝑥−7
𝑥+4
∈ ℝ/−2 < 𝑥 < 4} y
14
𝐶 = {2−𝑥 ∈ ℝ/𝑥 < −5}, hallar 𝐶 ′ − (𝐴 − 𝐵).
𝑥+2
1
5. Si 𝑥+1 ∈ ⟨1,2⟩, ¿a qué conjunto pertenece la expresión 𝑥?
6. Si 𝑎 < 𝑏 < 0, entonces en ℝ:
𝑎
𝑎𝑥−1
<
𝑏
.
𝑏𝑥+1
1.2 Inecuaciones polinomiales y racionales
1. Resolver (𝑥 2 − 9)(𝑥 4 + 𝑥 3 − 8𝑥 − 8)(−𝑥 + 5)3 (3𝑥 2 + 7𝑥 + 12)5 > 0
𝑥 2 −4𝑥
2. Resolver 𝑥 2 −3𝑥+2 ≥ 0.
𝑥−1
1
1
3. Resolver en ℝ: 𝑥+2 < − 𝑥 ∧ − 𝑥 ≤
1−2𝑥
.
2
5 (𝑥
4. Resolver en ℝ: (𝑥 2 + 2𝑥 − 4)(1 − 𝑥)
5. Resolver
(−𝑥 2 +1)(𝑥+3)9 (𝑥+2)7 (2𝑥 2 +5𝑥+7)𝑥 8
(9−𝑥 2 )(−𝑥 2 −𝑥−1)7 (𝑥−4)4
1.3 Inecuaciones con radicales
1. Resolver √𝑥 2 + 𝑥 − 2 < 1.
2. Resolver √𝑥 2 − 2𝑥 − 15 > 𝑥 + 1.
3. Resolver √𝑥 − 1 + √𝑥 − 3 ≥ √𝑥 + 1.
4. Resolver √2 − √3 + 𝑥 ≤ √4 + 𝑥.
1.4 Inecuaciones con valor absoluto
1. Resolver |3𝑥 + 4| < 𝑥.
2. Resolver √|𝑥 − 4| − 1 + 3 ≥ 0.
3. Resolver |𝑥 2 + 2𝑥 − 4| > 4.
4. Resolver
|𝑥 2 −1|−|𝑥−2|
|𝑥−2|−3
|𝑥−1|+3𝑥
> 0.
5. Resolver |𝑥−2|−𝑥 2 < 0.
6. Resolver
|𝑥 2 −2𝑥|−2𝑥+1
|𝑥|+5
≥ 0.
7. Resolver √2𝑥 − 1 ≤ |𝑥 + 2| − 2.
1
8. Resolver ||4 + 𝑥−2| − 4| ≥ √𝑥 − 2.
7
+ 2)2 (𝑥 5 − 2𝑥 4 + 3𝑥 3 − 2𝑥 2 )(3 − 𝑥)4 ≥ 0.
≥ 0.