PRISMA–CILINDRO PROFESOR DAMIÁN ALFARO COTRINA Demostrar que: 01. El área lateral de un prisma recto está dado por: “El producto del perímetro de la base y su altura” 15. Se tiene un prisma regular cuya altura es congruente con la arista básica. Calcular el número de lados de la base del prisma, si su área total y lateral están en la relación de 3 a 2. 02. El área total de un prisma recto está dado por: “La suma del área lateral y dos veces el área de la base”. 16. Calcular el volumen de un prisma triangular regular si todas sus aristas son congruentes y suman 18. 03. El área total de un paralelepípedo rectangular, está dado por: “Dos veces los productos de sus aristas tomados de dos en dos”. 17. Calcular el área de la superficie de un prisma cuadrangular regular tal que el desarrollo de su superficie lateral es un cuadrado cuya diagonal mide 42. 04. El volumen de un rectoedro esta dado por: “El producto de sus aristas concurrentes en un vértice”. 05. “En todo rectoedro, su volumen es igual a la raíz cuadrada del producto de multiplicar las áreas de tres caras concurrentes. 06. El área lateral de una pirámide regular está dada por: “El producto de multiplicar el semiperimetro de la base con la longitud del apotema de la pirámide” 07. El área total de una pirámide regular, está dada por: “ El área lateral más el área de la base” 08. Si un prisma tiene 39 aristas; cuántas caras tiene? 09. De las proposiciones a. El número de aristas de un prisma n-gonal es 3n. b. El número de caras de un prisma de 60 vértices es c. el desarrollo de la superficie lateral de un prisma cuadrangular regular es una región cuadrada. Cuáles son verdaderas? 10. Se tiene un prisma recto de base rectangular, en donde : C= número de caras; A = número de aristas; V = número de vértices. Calcular E = 6C : 9(A-V) 11. Calcular el área lateral de un prisma cuadrangular regular, su arista básica mide 2m y su arista lateral 8m. 12. Un recipiente de forma cúbica contiene 14m3 de agua; al introducir u cubo macizo de hierro, cuya arista es la mitad de aquel, el agua se eleva hasta enrasar el recipiente. Calcular el volumen del cubo macizo de hierro. 13. El desarrollo del área lateral de un cubo es un rectángulo de diagonal iguala a 17 : Calcular el volumen del cubo. 14. Se tiene un cubo cuya arista mide “L”. Hallar la distancia del centro de una cara a cualquiera de los vértices de la cara opuesta. 18. Tres caras de una caja rectangular tiene áreas de 49; 64 y 9cm2. Cuál es el volumen de la caja? 19. Las dimensiones de un paralelepípedo rectangular son enteros y consecutivos. Calcular su volumen, si su área es 214. 20. Se tiene un prisma recto ABC – DEF; en donde M es punto medio de AC y AB = 2(FM). Calcular la medida del ángulo que determinan FM y DE. 21. En un paralelepípedo rectangular su diagonal mide 10u y forma un ángulo que mide 45° con la base y un ángulo de 30° con una cara lateral; calcular el volumen del sólido limitado por el paralelepípedo. 22. En un paralelepípedo rectangular las diagonales de las caras miden 34 ; 58 y 74cm Cuál es el volumen del sólido? 23. Con relación a una caja rectangular, el área del fondo , de la base y del costado es 32, 24 y 12 cm2. Cuál es el volumen de la caja? 24. En un prisma regular ABCD - MNLR, la diagonal mide “d” y la arista básica mide “a”. calcule el área mínima de la región PBR (P en MA). 25. Calcule el área de la superficie lateral de un tronco de prisma triangular oblicuo, si la sección recta es regular, cuyo lado mide 3cm y la suma de longitudes de las aristas laterales es 15cm. 26. Calcule el volumen del prisma triangular, si el área de una de sus caras laterales es 50 y la distancia de la arista opuesta a dicha cara lateral es 3. 27. Por los vértices de un triángulo equilátero ABC se trazan AD, BE y CF perpendiculares al plano que contiene a dicho triángulo. Si CF/ 5 = AD/4 = BE / 3 = AB = 2. Calcule el volumen dl tetraedro DEFB. 28. La proyección de la diagonal de un paralelepípedo rectangular sobre el plano de la base mide 25cm, si una de las aristas de la base es de 15cm y el ángulo que la diagonal forma con el plano de la base es de 30°; ¿cuánto mide la otra arista y la altura del paralelepípedo? 29. La base de un prisma regular es un triángulo equilátero cuya área es de 163 cm2. Siendo el área lateral del prisma de 240cm2, hallar el volumen del prisma. 30. Las dimensiones de un rectoedro son 7cm, 6cm y 5cm. Hallar el volumen del rectoedro. 31. Las dimensiones de un paralelepípedo rectangular son 2x; x y x; el área de su superficie total es igual a 160cm2. Hallar el valor de “x”. 32. Calcular el área de la superficie total de un paralelepípedo rectangular. Sabiendo que sus dimensiones están en progresión aritmética de razón 4 y su diagonal mide 5 11. 33. Dado un prisma recto, cuya base es un hexágono regular inscrito en un círculo de 8m de radio y cuya altura es igual al diámetro del círculo. Calcular V/A en metros, donde A es el área lateral y V el volumen del prisma. 34. En un prisma triangular regular cuya altura mide 8 y el desarrollo de su superficie lateral es una región rectangular cuya diagonal mide 16, ¿cuánto mide el volumen del sólido limitado por el prisma? 35. La base de un paralelepípedo recto es un rombo, cuya área lateral es S. Las áreas de las secciones diagonales son iguales a S1 y S2. Halle el volumen del paralelepípedo. 36. 37. Las longitudes de las aristas de un paralelepípedo rectangular son entre sí como 3; 4 y 12 respectivamente, su diagonal mide 6,5. Hallar su área total y volumen. se hallan en progresión aritmética y que ellas suman 18m. Su área total es 208m2. 42. En un paralelepípedo rectángulo el área de la base es 60m2, la suma de las longitudes de todas las aristas es 96m y la suma de los cuadrados de las longitudes de sus tres dimensiones es 200m2. Hallar la longitud de la altura del sólido. 43. Hallar el volumen de un paralelepípedo rectangular si su diagonal mide 10u y forma un ángulo que mide 45° con la base y un ángulo que mide 30° con una cara lateral. 44. Calcular el volumen de un prisma regular, tal que su base es un pentágono, cuya apotema mide 4m y conociendo además que el área de una cara lateral es 16m2. 45. Calcular el volumen de un prisma regular, tal que su base es un pentágono, cuya apotema mide 4m y conociendo además que el área de una cara lateral es 16m2. 46. Se tiene un prisma recto de base regular y cuya altura es igual al lado de la base, si el área total y el área lateral del prisma están en la relación de 3 a 2. Hallar el número total de aristas del prisma. 47. En un prisma regular ABC – A´B´C´, M y N son puntos medios de BC Y A´C´. La medida del ángulo formado por AA´, y MN es 45° y MN = 3 cm. Calcular el volumen del sólido. 48. En un prisma regular ABC – A´B´C´ se ubican los puntos medios M y N de A´C´ y C´B´ respectivamente, tal que MB y NA se intersecan en R y ARB =. Calcular el volumen de dicho prisma, si su arista básica es “a”. 49. La altura de un prisma cuadrangular regular es igual a “h”. Calcular la distancia del lado de la base, cuya longitud es igual a “a”, hasta la diagonal del prisma que no lo intercepta. 38. La diagonal de un rectoedro mide 10m y su área total es 261 m2. Calcular la suma de las longitudes de todas las aristas. 39. Un paralelepípedo rectangular tiene un volumen de 60m3, la suma de las longitudes de todas sus aristas 2 es de 48m y su área lateral es 70m . Hallar las longitudes de sus tres dimensiones. 40. Calcular el volumen de un paralelepípedo rectangular, el área de la superficie total es 180m2 la diagonal de la base mide 10m y la suma de las longitudes de las tres dimensiones es 17m. 41. Hallar el volumen de un paralelepípedo rectangular sabiendo que las longitudes de sus tres dimensiones 50. En un depósito de forma cúbica de 5m de arista, el espesor de la capa de agua contenida es de 3,2m. Calcular el área de la superficie mojada. 51. El área de la base de un paralelepípedo rectángulo es de 48m2, la de una cara lateral 42m2 y la de un plano diagonal determinado por dos aristas laterales 70m2. Hallar el área total y el volumen del sólido. 52. Calcular el área total de un prisma triangular recto, de altura 5m y cuya base es un triángulo equilátero de 2m de lado. 53. Calcular el área total y volumen de un prisma hexagonal regular de altura 6m y de arista básica 2m. 54. Calcular el área total y volumen de un cubo, sabiendo que la distancia de uno de sus vértices al centro de una cara opuesta es de 4m. 64. En un cilindro se encuentra inscrito un paralelepípedo ABCD - EHGF, siendo su volumen la mitad del volumen del cilindro circular recto. Hallar la distancia de C a BD en términos de “r” radio de la base. 55. En un cubo, la suma de una arista, una diagonal y la diagonal de una cara es 12m. Hallar el área total y volumen del cubo. 65. Si la generatriz de un cilindro equilátero mide 6m, calcular el área total de dicho cilindro. 56. Un tronco de prisma triangular recto tiene por aristas básicas a segmentos cuyas longitudes son: 8; 12 y 6m. Las aristas laterales opuestas a estos lados miden 15, 5 y 10m respectivamente. Hallar el área lateral del tronco. 66. En qué porcentaje debe aumentar la altura de un cilindro, sabiendo que el radio de su base disminuye un 50% para que ambos sólidos (final e inicial) tengan el mismo volumen. 57. Un tronco de prisma triangular recto tiene por aristas básicas a segmentos cuyas longitudes son: 8; 12 y 6m. Las aristas laterales opuestas a estos lados miden 15, 5 y 10m respectivamente. Hallar el área lateral del tronco. 67. En un prisma triangular regular se inscribe un cilindro. ¿Qué razón existe entre las áreas de las superficies laterales de estos dos sólidos? 58. Un tronco de prisma triangular recto tiene por aristas básicas a segmentos cuyas longitudes son: 8; 12 y 6m. Las aristas laterales opuestas a estos lados miden 15, 5 y 10m respectivamente. Hallar el área lateral del tronco. 59. Un tronco de prisma triangular recto tiene por aristas básicas a segmentos cuyas longitudes son: 8; 12 y 6m. Las aristas laterales opuestas a estos lados miden 15, 5 y 10m respectivamente. Hallar el área lateral del tronco. 68. Hallar la razón geométrica entre al generatriz y el radio de un cilindro de revolución conociendo que el desarrollo del área lateral es un rectángulo donde el lado mayor es la altura del cilindro y además la diagonal forma con uno de los lados del rectángulo un ángulo de 60° 69. Demostrar que: 1. 2. 3. El área lateral de un cilindro recto esta dado por: “El producto de la longitud de la circunferencia y la altura.” El área total de un cilindro recto está dado por: “EL área lateral más dos veces el área de la base”. El volumen está dado por: “El producto del área de la base y su altura”. NOTA: Se llama sección axial, a la sección determinada en el cilindro recto por un plano que contiene a su eje, esta sección tiene forma de rectángulo. 60. Calcular la relación de los volúmenes de los cilindros que genera un rectángulo de lados iguala 2m y 3m cuando giran alrededor de cada uno de dichos lados. 61. Se tiene un cilindro cuyo radio de la base mide 4cm y está lleno de agua hasta un nivel que dista de la base superior 3cm. Calcular la medida del ángulo que debe girar el cilindro con respecto a la vertical para que el agua esté a punto de derramarse. 62. Un cilindro está lleno de agua hasta la mitad, se suelta un sólido metálico y el nivel del agua sube 3,5cm, si el diámetro de la base del cilindro es 8cm. ¿Cuál es el volumen del sólido metálico? 63. En qué relación se encuentran las áreas de la superficie lateral de un cilindro y de la región que resulta de proyectar al cilindro en un plano paralelo a su eje. Se tiene un prisma recto de base triangular ABC, si B = 90° y la altura del prisma es 6m, considerando como diámetro al segmento BC se dibuja un cilindro recto de igual altura que el prisma. La cara lateral mayor del prisma es dividida por una de las generatrices del cilindro en 2 regiones rectangulares cuyas áreas son 18m2 y 6m2; la región rectangular menor es interior al cilindro. Hallar el volumen del cilindro. 70. Se tiene un cilindro recto, de bases: O1 y O2 en el eje O2O1 se toma el punto medio M; A y B se encuentran en la circunferencia de la base O1 , se une M con B y éste con un punto P de O2 formando un ángulo de 30°, PA es perpendicular a la base O1 . Siendo AB = 2; BM = 4. Hallar el volumen del cilindro recto. 71. ¿Qué altura debe tener un cilindro de radio: R, para que el cuadrado de ella sea media proporcional entre el área lateral y el área de la base? 72. La altura y el radio del cilindro interior de una vasija miden 20cm y 12cm. El espesor de la vasija lateralmente y en el fondo es de 3 mm. Calcular las áreas interior e exterior. 73. Se ha pintado una superficie lateral cilíndrica de 2m de radio y 8m de altura. Para ello se dividió en dos fajas por medio de un plano paralelo a la base. La primera faja se pagó a $5 el m2. y la otra a $6. El costo total fue de $ 565,20. Calcular las áreas de esas dos fajas . CILINDRO OBLICUO. Es aquel cilindro cuyas bases pueden ser círculos o elipses y sus generatrices no son perpendiculares a sus bases. Demuestre que: a. El área lateral es igual al perímetro de la sección recta multiplicada por la longitud de su generatriz. b. Si la base es una elipse, el área de la elipse es: ab c. El volumen es igual al área de la base multiplicada por la altura o igual al área de la sección recta multiplicada por su generatriz. 74. En una mesa se encuentra ubicado un vaso que tiene la forma de un tronco de cilindro oblicuo donde AC y BD son las generatrices máxima y mínima respectivamente (A Y B) pertenecen a la mesa), en dicho vaso se vierte un cierto líquido tal que la superficie superior divide en dos sólidos equivalentes. En dicha superficie están los puntos M y N ( en AC, N en BD). Calcular CM. Si DN = 2 y BN = 6. 75. El radio de la sección de un cilindro oblicuo mide 2 m. La generatriz esta inclinada 60° respecto a la base y la longitud de la altura es el doble del diámetro de la sección recta. Calcular el volumen del cilindro. 76. Se tiene un prisma regular ABC - A´B´C´ donde AB = 4cm, el área de una base es equivalente al área de una cara lateral. Calcular el volumen de un cilindro de revolución inscrito en dicho prisma. 77. Al aumentar el radio de un cilindro en 6m el volumen aumenta en “x” m 3. Si la altura del cilindro aumenta en 6m el volumen aumenta en “x” m3. Si la altura inicial mide 2m, ¿cuánto mide el radio original? 78. ¿En cuánto aumenta el volumen de un cilindro de revolución, si el radio de la base aumenta en el 20% y la altura disminuye en el 20%? 79. Calcular el volumen de un cilindro circular recto, sabiendo que su proyección sobre un plano perpendicular a su base es una región cuadrada de 16m2 de área 80. En un prisma triangular se inscribe un cilindro; ¿Qué relación existe entre las áreas de estos dos cuerpos? 81. La diagonal del rectángulo resultante de cortar un cilindro por un plano que pasa por el eje mide 3m, y es igual al doble del diámetro de la base. Calcular el área total del cilindro. 82. ¿Cuál es en cm2, el área total de una moneda de 5 céntimos, siendo el diámetro de ésta 2,5cm y su espesor 1,5 mm? 83. En un depósito de forma cúbica de 5m de arista, el espesor de la capa de agua contenida es de 3,2m. Calcular el área de la superficie mojada. 84. Calcular el área total y volumen de un prisma hexagonal regular de altura 6m y de arista básica 2m. 85. Calcular el área total y volumen de un cubo, sabiendo que la distancia de uno de sus vértices al centro de una cara opuesta es de 4m. 86. En un cubo, la suma de una arista, una diagonal y la diagonal de una cara es 12m. Hallar el área total y volumen del cubo. 87. El desarrollo de la superficie lateral de un prisma triangular regular de 12cm de altura, es un rectángulo de 20cm de diagonal. 88. La base de un prisma triangular regular está inscrita en una circunferencia de 12cm de radio. Si la altura del prisma mide el doble del lado de la base; calcular su área total y volumen. 89. Se ha confeccionado un tubo en forma de prisma hexagonal regular, su lado exterior mide 12cm y su espesor 0,5cm; su largo es de 80cm. Hallar su volumen. 90. Las diagonales de un cubo suma: 60 3 cm .Hallar el área total y volumen. 7 91. Hallar el área total y volumen de un prisma hexagonal regular cuya altura mide lo mismo que el lado de la base, la apotema de la base mide: 2,5 3 dm . 92. Calcular el área total de un paralelepípedo rectangular de 60 dm de diagonal, siendo las dimensiones de la base 2 3 y 3 2 mts. P I R Á M I D E PROFESOR DAMIÁN ALFARO COTRINA 01. Hallar el área total y volumen de una pirámide triangular regular, de arista lateral 20cm y altura 16cm 02. Una pirámide cuadrangular regular tiene de diagonal 12cm, las aristas laterales forman con la base ángulos de 60°. Hallar su área total y volumen. 03. Una pirámide tiene como base un cuadrado que puede inscribirse en una circunferencia de 16cm de radio. Las aristas laterales forman con la base ángulos de 53°. Hallar el área total y volumen del sólido. 14. El área total de una pirámide cuadrangular regular es 46 cm2 y el radio d3e la circunferencia inscrita en la base es de 1,4cm. Hallar su área total y volumen. 15. Hallar el área total y volumen de un tetraedro regular, cuya arista es igual a la longitud de un arco de 45° correspondiente a una circunferencia de radio igual al lado del cuadrado de 16 cm2 de área. 16. En un cubo cuyas aristas suman 18cm se une el centro de una cara con uno de los vértices de la cara opuesta. Hallar el volumen de la pirámide. 17. El área lateral de una pirámide regular hexagonal es 2 04. La altura de un tetraedro regular mide 12cm. Hallar su área total y volumen. de 48 m . Hallar el lado de la base si la apotema de la pirámide tiene una medida igual a cuatro veces la medida del radio del círculo que circunscribe a la base. 05. El área total de un tetraedro regular es de 64 3 18. Las áreas delas bases de un tronco de pirámide cm2. Hallar la suma de las aristas del sólido. 06. La arista de un tetraedro regular mide 6cm. Hallar el área total y volumen del sólido. 07. ¿Cuál es el peso de una pirámide hexagonal regular de hierro macizo, cuya base tiene un apotema de 9cm y la altura de la pirámide mide igual que la longitud de la circunferencia circunscrita a la base. 08. El volumen de una pirámide hexagonal regular mide 20886 cm3., la altura mide igual que el lado del triángulo regular inscrito en la circunferencia circunscrita en la base. Hallar su área lateral. 09. Una pirámide regular tiene por base un octógono regular inscrito en una circunferencia de 18cm de radio. La arista es el doble del radio. Hallar el volumen de la pirámide. 10. ¿A qué distancia del vértice de una pirámide, cuya altura es 6 3 12 cm. se debe hacer pasar un plano paralelo a la base para que la primera pirámide sea la mitad de la mayor? 11. Una pirámide de altura 12cm, y cuyo pie cae en la intersección de las diagonales de la base, que es un rombo en el cual una diagonal mide 16cm y la otra los ¾ de ésta. Hallar su área total. 12. En una pirámide triangular regular, la superficie lateral es 5 veces el área de la base. Si la arista mide 3cm; hallar su volumen. 13. Hallar el área total y volumen de una pirámide, cuya base es un cuadrado de lado 230cm, y sus caras laterales son triángulos equiláteros. 2 2 triangular mide 9m y 25m respectivamente. Se pide calcular el área de la sección recta determinada por un plano equidistante a la base. 19. A qué distancia de la cúspide de una pirámide de 6m de alto se debe trazar un plano paralelo a la base, a fin de que la pirámide deficiente sea 1/8 de la pirámide total. 20. La base de una pirámide regular es un hexágono regular de lado 6 3 cm. Hallar la altura que debe tener esta pirámide para que la superficie lateral sea los cinco tercios del área de la base. 21. Calcular el área total de una pirámide cuadrangular regular cuyas caras laterales son triángulos equiláteros y cuya arista básica es “a”. 22. La base de una pirámide regular es un triángulo equilátero inscrito en un círculo de 2m de radio, la superficie lateral de esta pirámide es igual al doble de la superficie de la superficie de la base. Calcular el volumen. 23. Las bases de un tronco de pirámide de 2m2 y 8m2 de área respectivamente. Calcular el lado de la base de un prisma cuadrangular de igual altura cuyo volumen es los 21/2 del volumen del tronco. 24. Calcular el área total de un tronco de pirámide cuadrangular. El lado de la base menor mide 2m la altura mide 2 3 m y las caras laterales están inclinadas 60° con respecto a la base mayor.
