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☸Guía para docentes
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Matemáticas 2
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Matemáticas 2
ŗGuía para docentes
Travesías es una serie diseñada por el Departamento de Proyectos Educativos de Ediciones Castillo.
Autores: Elia María Covarrubias Castañeda
Dirección editorial: Tania Carreño
Gerente de Secundaria: Fabián Cabral
Gerente de Arte y Diseño: Cynthia Valdespino
Coordinación editorial: Verónica Velázquez
Edición: Blanca Torres, Griselda Ortigoza
Corrección de estilo: Coral Velázquez
Primera edición: diciembre 2018
Matemáticas 2. Guía para docentes. Travesías
Coordinación diseño: Rafael Tapia
Coordinación iconográfica: María Teresa Leyva
Coordinación operaciones: Gabriela Rodríguez
Diseño de interiores: Gustavo Hernández y Federico Gianni
Diseño de portada: Joaquín García
Supervisión diseño: Mario Vázquez, Antonio Montero
Diagramación: Avant Graph
Iconografía: David Antonio Silva (IN Sinister)
Producción: Carlos Olvera
D. R. © 2018 Ediciones Castillo, S. A. de C. V.
Castillo ® es una marca registrada
Ediciones Castillo forma parte de Macmillan Education
Insurgentes Sur 1886, Florida,
Álvaro Obregón, C. P. 01030,
Ciudad de México, México.
Teléfono: (55) 5128-1350
Lada sin costo: 01 800 536-1777
www.edicionescastillo.com
ISBN: 978-607-540-396-0
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Registro núm. 3304
Prohibida la reproducción o transmisión parcial o total de esta obra por cualquier medio o método o en cualquier forma electrónica o mecánica, incluso fotocopia o sistema para recuperar información, sin permiso escrito del editor.
Impreso en México / Printed in Mexico
Presentación
Estimado profesor:
El que todos los niños y adolescentes del país tengan la oportunidad de aprender demanda que
las cuestiones sobre qué enseñar y cómo hacerlo sean el punto medular de la reflexión didáctica, ya que en la actualidad el conocimiento que adquirimos debe ampliarse y profundizarse
según las rápidas transformaciones sociales. Por ello, es importante dotar a los estudiantes
con herramientas para que por sí mismos adquieran conocimientos y desarrollen habilidades y
actitudes que les permitan enfrentar los desafíos actuales.
La serie Travesías pretende apoyarlo en la ardua labor docente promoviendo la adquisición de
saberes fundamentales y el desarrollo de la capacidad de análisis, el pensamiento crítico y la
participación social. Por ello, pone énfasis en:
• proponer actividades diversas –realizables en el aula– que permitan desarrollar capacidades
cognitivas como analizar, inferir, generalizar y abstraer; así como fortalecer el pensamiento
lógico, el razonamiento inductivo, el deductivo y el analógico.
• conceder al discurso visual un papel preponderante; esto es, considerar la imagen como
un recurso didáctico.
El libro Matemáticas 2, elaborado con base en el nuevo enfoque educativo, está dividido en tres
bloques con un número variable de secuencias, dos evaluaciones (una diagnóstica y una final),
y la sección Travesías sobre diversos aspectos de las matemáticas; todo ello con el propósito de
facilitar su trabajo en el aula, pues los contenidos están dosificados considerando el número de
horas semanales asignadas de forma oficial.
Las secuencias están estructuradas con un inicio para explorar y activar conocimientos previos;
un desarrollo con actividades para construir los conceptos, algoritmos y procedimientos necesarios para alcanzar los aprendizajes esperados en la secuencia; y un cierre para consolidar
y aplicar el aprendizaje.
La palabra travesía hace referencia a un viaje… nos hace pensar en una aventura que supone
“riesgos” y sorpresas, y que sin embargo se antoja emprender. Así también es todo aprendizaje,
no sólo el que se da en la escuela. Nuestro interés es ayudarlo en la formación de ciudadanos
críticos, participativos y comprometidos no sólo con su comunidad; sino también con su país.
Los editores
3
Índice
Presentación
¿Cómo es su guía?
Dosificación
3
6
8
Bloque 1
Evaluación diagnóstica
16
Secuencia 1
Multiplicación con fracciones y decimales positivos
Secuencia 2
División con fracciones
Secuencia 3
Multiplicación de números positivos y negativos
Secuencia 4
División de números positivos y negativos
Secuencia 5
Potencias con exponentes enteros
Secuencia 6
Diagonales y ángulos interiores de un polígono
Secuencia 7
Relaciones entre los ángulos de un polígono
Secuencia 8
Múltiplos y submúltiplos del metro, litro y kilogramo
Secuencia 9
El sistema inglés
Secuencia 10
Histogramas y polígonos de frecuencia
18
Evaluación
Travesías
4
14
24
32
40
46
54
62
70
78
84
92
94
Bloque 2
Evaluación diagnóstica
96
98
Secuencia 11
Notación científica
Secuencia 12
Raíz cuadrada
Secuencia 13
Problemas de proporcionalidad inversa y directa
Secuencia 14
Problemas de reparto proporcional
Secuencia 15
Representaciones tabular, gráfica y algebraica de la proporcionalidad inversa
Secuencia 16
Otros problemas de proporcionalidad inversa
Secuencia 17
Construcción de polígonos regulares y teselados
Secuencia 18
Área de polígonos regulares e irregulares
Secuencia 19
Área del círculo
Secuencia 20
Gráficas de línea
Secuencia 21
Desviación media
100
Evaluación
Travesías
188
190
108
116
124
132
140
148
156
164
Bloque 3
188
Evaluación diagnóstica
190
Secuencia 22
Modelos geométricos y expresiones algebraicas
Secuencia 23
Sucesiones y expresiones algebraicas equivalentes
Secuencia 24
Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas
Secuencia 25
Método gráfico para resolver un sistema de ecuaciones
Secuencia 26
Métodos algebraicos para resolver un sistema de ecuaciones
Secuencia 27
Desarrollos planos de prismas y cilindros
Secuencia 28
Volumen de prismas rectos
Secuencia 29
Volumen de cilindros
Secuencia 30
Probabilidad teórica
196
204
212
220
228
236
244
252
260
172
180
Evaluación
Travesías
268
270
5
¿Cómo es su guía?
Dosificación
Bloque 1
Semana
Eje
Tema
Aprendizaje esperado
1
1. Resuelve problemas de
multiplicación y división con
fracciones y decimales positivos.
Dosificación
En este bloque, en el eje Número, álgebra y variación, se amplían y concretan
los aprendizajes relacionados con el tema de multiplicación con fracciones y
decimales positivos, cuyo procedimiento se estudió en el curso anterior. Se
analiza el tema de división con fracciones, la interpretación y resolución de
algunos problemas. Además, se amplía el conocimiento en la operatividad
de números con signo al resolver multiplicaciones y divisiones.
En el eje Forma, espacio y medida, los estudiantes no sólo reconocerán
las propiedades de los polígonos con relación a sus ángulos, sino también las
distintas unidades de medida y equivalencias entre metro, litro y kilogramo,
además de las equivalencias con el sistema inglés.
En las secuencias relativas al eje Análisis de datos se estudian formas para
representar información, las cuales facilitan el análisis y la toma de decisiones
con respecto a ciertos fenómenos: histogramas, polígonos de frecuencias
y gráficas de línea.
14
Bloque 1
Número, álgebra y variación
Forma, espacio y medida
Análisis de datos
1. Multiplicación con fracciones
y decimales positivos
2. División con fracciones
3. Multiplicación de números positivos
y negativos
4. División de números positivos
y negativos
5. Potencias con exponentes enteros
6. Diagonales y ángulos interiores de
un polígono
7. Relaciones entre los ángulos de
un polígono
8. Múltiplos y submúltiplos del metro,
litro y kilogramo
9. El sistema inglés
10. Histogramas y polígonos
de frecuencia
12
3. Resuelve problemas de potencias
con exponente entero y aproxima
raíces cuadradas.
6
22 a 29
Resuelve problemas de multiplicación
con números enteros, fracciones y
decimales positivos y negativos.
30 a 37
4. División
de números
positivos y
negativos
Resuelve problemas de división
con números enteros, fracciones y
decimales positivos y negativos.
Eje
Tema
Aprendizaje esperado
7
Figuras y
9. Deduce y usa las relaciones entre
cuerpos
los ángulos de polígonos en la
geométricos construcción de polígonos regulares.
8
Forma, espacio y
medida
9
10. Resuelve problemas que
implican conversiones en múltiplos
y submúltiplos del metro, litro,
kilogramo y de unidades del sistema
inglés (yarda, pulgada, galón, onza y
libra).
Magnitudes
y medidas
38 a 43
5. Potencias
con exponentes
enteros
Resuelve problemas de potencias con
exponente entero (elaboración y uso
de procedimientos).
Audio de
comprensión oral
Animaciones
y tutoriales
Galería de imágenes
Vínculos
Secuencia
Contenido
Págs.
6. Diagonales y
ángulos interiores
de un polígono
Analiza las propiedades de los
polígonos: número de diagonales
que pueden trazar desde un vértice,
número de diagonales en total y suma
de sus ángulos interiores.
52 a 59
7. Relaciones
entre los ángulos
de un polígono
Explora las relaciones entre las
medidas de los ángulos interior,
exterior y central de polígonos
regulares.
60 a 67
8. Múltiplos y
submúltiplos
del metro, litro y
kilogramo
Resuelve problemas que implican
conversiones en múltiplos y
submúltiplos del metro, litro y
kilogramo.
68 a 75
9. El sistema
inglés
Resuelve problemas que implican
convertir unidades del Sistema
Internacional y de unidades del
sistema inglés (yarda, pulgada, galón,
onza y libra).
76 a 81
10. Histogramas
y polígonos de
frecuencia
Recolecta, registra y lee datos
en histogramas y polígonos de
frecuencia.
82 a 89
44 a 51
Análisis de datos
13. Recolecta, registra y lee datos en
histogramas, polígonos de frecuencia
y gráficas de línea.
Estadística
12
Evaluación final
90 y 91
Travesías
92 y 93
Recursos
digitales*
* Descargue la App Castillo para acceder a sus recursos digitales.
8
9
Ideas erróneas
En ocasiones los estudiantes hacen operaciones aritméticas sin observar que
hay condiciones que influyen en los procedimientos. Así, al no considerar
dichas variaciones se obtienen resultados erróneos. A continuación mencionaremos algunos casos; la intención es detectarlos y dar algunas sugerencias
para que no ocurran.
• Es común que los estudiantes confundan los procedimientos para resolver las distintas operaciones aritméticas entre fracciones; por lo que se
recomienda que las escriban a manera de resumen y las describan con
sus palabras. Por ejemplo, suma y resta: son necesarias fracciones equivalentes hasta lograr que los denominadores sean iguales. Multiplicación:
se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador. División: el recíproco del divisor se multiplica por el dividendo.
• Es probable que al resolver operaciones que involucran números con
signo, confundan o utilicen sólo un par de reglas. Se recomienda diferenciar las reglas al resolver suma y resta de las reglas de multiplicación
y división.
• Dado que la operación potenciación con exponentes enteros es algo
nuevo para ellos, es común que en lugar de multiplicar la base por sí
misma las veces que indica la potencia, multipliquen la base por la potencia. Se recomienda repetir continuamente el significado de resolver
una potencia con exponentes enteros.
• Cuando se realiza la conversión de unidades, los estudiantes no saben
si dividir o multiplicar. Por ello se recomienda utilizar la estructura de
regla de tres.
• Al estudiar el análisis de datos y construcción de histogramas y polígonos de frecuencias los estudiantes pueden cometer errores al momento
de ubicar las ordenadas y las abscisas, lo cual altera la interpretación de
resultados. Se recomienda aclarar la forma correcta de construir gráficas.
Bloque 1
15
Evaluación diagnóstica
Antes de iniciar el contenido de cada bloque encontrará una evaluación diagnóstica con el objetivo de que identifique los conocimientos, habilidades y
destrezas con las que cuentan sus estudiantes los resultados le permitirán
establecer medidas, emitir juicios y tomar decisiones para mejorar el aprendizaje y desempeño de los alumnos.
Antecedentes
6
Resuelve problemas de división con
fracciones positivas.
3. Multiplicación
de números
positivos y
negativos
Semana
11
13
• Incluye las respuestas de la evaluación
del libro del alumno.
• Se mencionan los antecedentes sobre
lo que el alumno sabe al iniciar el bloque.
• Se recomiendan algunos sitios de internet
que pueden ayudar a la nivelación de los
conocimientos previos.
2. División con
fracciones
Recursos
digitales*
14 y 15
10
Bloque 1
Evaluación diagnóstica
16 a 21
En primero de secundaria, los estudiantes resolvieron problemas que involucraban las operaciones aritméticas de multiplicación y división, por lo que se
espera que sean capaces de plantear y resolver problemas similares. La nueva
variante consiste en la realización de operaciones con números positivos y
negativos, por ello deben considerar las reglas de los signos. A su vez, en el
curso anterior también se estudiaron tanto la jerarquía de las operaciones
como la resolución de problemas de suma y resta con números enteros.
Dicho tema es una herramienta previa para la solución de multiplicaciones
y divisiones de números con signo.
Mientras que, en quinto y sexto de primaria, los estudiantes resolvieron
problemas que involucraban el uso de unidades de masa y longitud; ahora
deberán resolver problemas de conversión de unidades. También en esos
mismos grados escolares analizaron información a partir de tablas y gráficas.
Finalmente, en el año escolar anterior también aprendieron a realizar gráficas
circulares.
Entrada de bloque
Al inicio de cada bloque encontrará un resumen
de los contenidos a estudiarse. Se dan algunas
sugerencias para trabajar la imagen del libro del
alumno y se mencionan algunas ideas y conceptos
erróneos que tienen los alumnos.
Sugerencias didácticas para la nivelación
6. Completa las equivalencias en las imágenes.
1. Subraya la respuesta correcta.
3
Roberto compró 5 paquetes de galletas de $12.60 cada uno y 4 kg de queso
manchego que cuesta $168.75 el kilogramo. ¿Cuánto gastó en total?
A) $187.10
B) $189.60
C) $197.40
D) $232.60
2. Realiza las operaciones correspondientes y contesta: un muro se adorna colocando tiras de madera alrededor de éste. Cada tira mide 0.16 m y la longitud del
muro es de 8.44 m. Si las tiras de madera colocadas linealmente cubren 3.8 m,
¿cuántas tiras se deberán colocar para terminar?
100
1m=
8.44 – 3.8 = 4.64
4.64 ÷ 0.16 = 29
Para terminar se deberán colocar
29 tiras de madera.
1 kg =
cm
1 000
1L=
g
1 000
mL
7. Escribe la letra de la magnitud que corresponde a cada unidad de medida.
Tiempo (T)
Longitud (L)
Masa (M)
L
(
3. Subraya la opción que representa con números negativos la deuda total en un
año si la deuda mensual que aparece en un recibo es de –$570.
A) –$582
B) –$5 712
C) –$6 387
D) –$6 840
(
M
) libra
(
T
) gramo
(
L
) metro
( M
( M
(
T
) segundo
(
L
) pulgada
) centímetro
(
L
) kilómetro
) kilogramo
) hora
Recuerde que la evaluación diagnóstica tiene por objetivo tomar decisiones
relacionadas con la manera de abordar los distintos temas que se estudiarán
en este bloque. También le ayudará a saber si debe retomar, repetir o analizar
otros temas que resultan fundamentales para mejorar el aprendizaje. Enseguida se sugieren algunas páginas de internet que pueden ser de utilidad
para repasar, practicar y analizar algunos contenidos, de modo que al iniciar
formalmente el bloque los estudiantes estén mejor preparados.
• Suma y resta de números negativos
www.edutics.mx/wYq
www.edutics.mx/3jF
• Producto de fracciones
www.edutics.mx/wYc
• Repaso de polígonos
www.edutics.mx/wYp
• Gráfica circular
www.edutics.mx/wYG
8. Considera los datos y construye una gráfica de barras. Recuerda colocar títulos
en la gráfica y en los ejes.
La siguiente tabla muestra la edad de los asistentes a la presentación de una obra
de teatro.
4. Traza las diagonales del hexágono irregular y marca con colores distintos los
ángulos interiores del paralelogramo.
Edad
(años)
Menores
de 15
De 15
a 25
De 25
a 35
De 35
a 45
De 45
a 55
Mayores
de 55
Asistentes
3
12
24
31
29
10
Asistencia por edad
35
5. Calcula la medida de los ángulos b y d.
c = 152°
a = 115°
d
b
A) ∡ b = 45° y ∡ d = 180°
B) ∡ b = 95° y ∡ d = 365°
16
Bloque 1 - Evaluación diagnóstica
14
C) ∡ b = 65° y ∡ d = 208°
D) ∡ b = 245° y ∡ d = 28°
30
Asistentes
Contenidos
Págs.
Resuelve problemas de multiplicación
con fracciones y decimales positivos.
© Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.
Nikolay Lobachevsky
Secuencia
© Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.
Pida a los estudiantes que observen la imagen y respondan:
• ¿Qué cuerpos geométricos identifican? Márquenlos sobre la imagen.
• ¿Cómo se forman los lados de los cubos de la imagen?
• ¿Cómo calcularían el volumen, en litros, de cada cuerpo?
Pida a los estudiantes que imaginen la vista superior de los cuerpos de la
imagen y la dibujen. Analicen las propuestas en grupo y observen las semejanzas y diferencias. Comente la importancia de aprender a visualizar figuras
de tres dimensiones desde diferentes ángulos (arriba, abajo o vistas laterales).
Por ejemplo, tanto la ventana de contorno rojo como la que está en uno de
los costados pertenecen a planos distintos; pero si se estudia la vista frontal
de la imagen, la percepción puede ser diferente.
Analice con sus estudiantes la frase escrita por Nikolay Lobachevsky, y
pregunte ¿Qué ramas de la matemática conocen? Si mencionan alguna rama
explique en qué fenómeno del mundo real se aplica. Si los estudiantes no
identifican ninguna, solicite que ennumeren fenómenos del mundo real e
identifique con ellos la rama de la matemática que se aplica en tales casos.
Después del análisis puede mostrar el siguiente video: www.edutics.mx/wYT
2. Resuelve problemas de
multiplicación y división con números
enteros, fracciones y decimales
positivos y negativos.
Evaluación diagnóstica
No hay rama de la
matemática que no
pueda aplicarse algún
día a los fenómenos
del mundo real.
Sugerencias para trabajar la imagen
Número, álgebra
y variación
5
Presenta la propuesta para
planear y organizar el trabajo
en el aula para cada bloque.
Los aprendizajes de cada
secuencia se organizan
en 36 semanas.
Bloque 1
Multiplicación y división
3
4
Contenido
1. Multiplicación
con fracciones
y decimales
positivos
Evaluación diagnóstica
2
25
20
15
10
5
0
Menores de 15 De 15 a 25
De 25 a 35
De 35 a 45
Edad (años)
De 45 a 55 Mayores de 55
9. Revisa los resultados con tu profesor. Juntos establezcan los temas en los que
deberás poner más atención y las estrategias de estudio a implementar para
que aprendas los contenidos del bloque.
15
Bloque 1 - Evaluación diagnóstica
17
Solucionario
Multiplicación con fracciones
y decimales positivos
S1
Partimos
S1
Resuelve problemas
de multiplicación con
fracciones y decimales
positivos.
Sugerencias didácticas
Partimos
1. a)
Glosario
manzana. Espacio o
bloque de casas delimitado
por calles, generalmente
cuatro.
Nogal
b) La fracción que ocupa el museo es de
c) 4 860 m2
Compara tus respuestas y procedimientos con los de tus compañeros.
¿Qué operaciones utilizaron para resolver la actividad?
9 .
20
Si es necesario, guíe el análisis para resolver el inciso e) de la actividad 1 preguntando ¿Cuál es la fracción correspondiente a la longitud total del circuito?
Entonces, ¿cuál es la fracción correspondiente a la mitad del circuito? ¿Cuál
a la cuarta parte del circuito?
Se recomienda hacer el análisis escribiendo las fracciones para tener una
mejor comprensión de la situación; por ejemplo: si hay 45 entonces hay 4
pedazos de tamaño 51 , la mitad de dicha fracción es 2 pedazos de tamaño 51 ,
es decir, 25 . Por otro lado, y de manera más formal, puede plantear ¿Cuánto es
1 de 4 ? Una vez hecho el planteamiento, deben deducir que, para obtener la
2
5
respuesta, tendrán que multiplicar las fracciones.
Explique a sus estudiantes la importancia de calcular la fracción correspondiente a un total, ya que de esta manera se obtiene el número de elementos que le corresponden a dicha fracción.
1
2
1
4
3
4
Inicio
Fin
1. Lee la situación y contesta.
Se construyó un museo que ocupa tres quintas partes de la cuadra sobre
la calle Olivo y tres cuartas partes
de la cuadra sobre la calle Nogal.
Cedro
a) Representa en el mapa la parte de la manzana que ocupa el
museo.
b) ¿Qué fracción de toda la manzana ocupa el museo?
c) Si el área total de la manzana es
de 10 800 m2, ¿cuántos metros
cuadrados ocupa el museo?
Olivo
Olivo
Laurel
Cedro
e) Expresa por medio de una multiplicación de fracciones
los kilómetros que cada pareja recorrió en el tren.
En primer grado aprendiste a multiplicar fracciones por fracciones y decimales por
decimales. En esta secuencia aprenderás a resolver problemas que involucran multiplicaciones con fracciones y decimales, así como combinaciones que incluyen más
de una operación. Las operaciones básicas, como la multiplicación, se utilizan con
frecuencia en varias situaciones de la vida cotidiana por lo que es importante resolverlas satisfactoriamente con todo tipo de números.
Pregunte ¿En cuántas partes se divide la manzana para saber las dimensiones
del museo? Si es necesario dibuje el rectángulo en el pizarrón y pida a un
alumno que haga las divisiones para calcular la fracción que se solicita.
Solucionario
Sugerencias didácticas
Multiplicación con fracciones
y decimales positivos
Teresa y Claudia:
Carlos y Mariela:
Luis y Pedro:
Solucionario
Juan y Carolina:
2. Resuelvan en parejas los siguientes problemas.
1
2
a) Karla tiene 2 2 paquetes de galletas, de los cuales 3 partes son de nuez y el
2
resto de vainilla. De las galletas de nuez, 5 partes tienen chispas de chocolate,
¿qué fracción del total de galletas hay en esta combinación?
Nogal
Antes de resolver la actividad 1 de la sección “Recorremos”, lean la sección
“Recuerda” y analicen qué operación se debe hacer para obtener la fracción
de una fracción. Por ejemplo pregunte ¿Cuánto es 21 de 83 y 43 de 83 ? Haga
más ejercicios como los anteriores.
Sugerencias didácticas
1. a) 25 km
d) Dieron 2
3
4
b) 35 km
vueltas y recorrieron
11
5
c) Luis y Pedro se bajaron en el martillo, después de 1
c) 1 km
km = 2.2 km.
1
4
vueltas.
d) Si Juan y Carolina dieron dos vueltas completas y después se bajaron en las
sillas voladoras, ¿cuántas vueltas dieron? ¿Cuántos kilómetros recorrieron a
bordo del tren?
18
Bloque 1 - Secuencia 1
=
2
5
× 45 =
3
5
4
5
× 45 = 1
Juan y Carolina:
11
4
× 45 =
11
5
4
15
partes son galletas de nuez con chocolate.
• 51 del total son galletas de vainilla con almendras.
• Nuez con chispas de chocolate: 12
Nuez sola: 18
Vainilla con almendras: 9
Vainilla sola: 6
4 partes del total de personas eran niñas.
b) • 23 × 25 = 15
• Escriban cuántas galletas hay de cada tipo considerando que en total hay 45.
Nuez con chispas de chocolate:
5
4
•
Nuez sola:
2
3
× 25 × 41 =
4
60
=
1
15
eran menores de 6 años.
• Había 8 niñas y 2 eran menores de 6 años.
Vainilla con almendras:
Vainilla sola:
2
b) La familia García rentó un autobús para ir de excursión. Las 3 partes de las
2
1
personas eran mujeres, 5 partes de ellas eran niñas y 4 parte de las niñas eran
menores de seis años.
• ¿Qué fracción del total eran menores de seis años?
• Si en total había 30 personas en el autobús, ¿cuántas niñas había y cuántas
de ellas eran menores de seis años?
16
Recursos adicionales
Bloque 1 - Secuencia 1
17
19
Sugerencias didácticas
3. Si las placas de los autos de carreras son como las de la imagen, ¿cuál es la cantidad máxima de autos que pueden participar en la carrera si solo se toman en
cuenta los números?
A) 10 autos
B) 102 autos
C) 103 autos
D) 104 autos
Analiza cada situación y subraya la opción correcta.
1. En la imagen se muestra el circuito para una competencia de carreras de autos.
Analiza el letrero que se enciende en la estación 4 y responde.
E4
4. Observa la pista, ¿cuántos grados debe rotarse el volante en cada vuelta?
A) 360°
C) 90°
B) 135°
D) 45°
Inicio y meta
• ¿A cuántos corredores se entrevistaron?
A) 25
C) 100
B) 53
D) Más de 100
• Uno de los participantes terminó la carrera y otro sólo junto 85.8 puntos, ¿cuántos
puntos obtuvo en total el primer participante y en qué estación quedó el segundo?
A) El primero obtuvo 114.4 puntos y el segundo quedó en la estación 6.
B) El primero obtuvo 100 puntos y el segundo quedó en la estación 6.
C) El primero obtuvo 80.4 puntos y el segundo quedó en la estación 7.
D) El primero obtuvo 57.2 puntos y el segundo quedó en la estación 5.
3
8
de la pista y
1
4
de la pista
1
B) 1
3
4
vueltas
3
5
D)
5
8
de la pista y
2
5
de la pista
partes del circuito, ¿cuántas vueltas se pueden
C) 2
D) 2
1
6
2
5
vueltas
vueltas
2. La capacidad del tanque del auto de carreras es de 105 L de gasolina. Por cada
2
litro recorre 8 000 m y por cada estación recorrida se consumen 7 partes del
tanque. ¿Cuántos galones de gasolina quedan en el tanque al terminar la tercera
estación y cuántos kilómetros se habrán recorrido?
A) 15 galones, 0.8 km
B) 4 galones, 720 km
C) 4 galones, 450 km
D) 0 galones, 800 km
90
5
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18
Edad
Cabe mencionar que cada estudiante posee habilidades y capacidades variadas, por lo que se recomienda tomar en cuenta el avance propio de cada
uno. La intención es medir el avance individual de los estudiantes, por lo que,
debe existir una comparación con sus propios aprendizajes; esto es, analizar
cómo ingresa al curso y cómo egresa de éste.
La evaluación permitirá a los estudiantes poner a prueba los conocimientos y habilidades adquiridos. Es importante mencionar que la evaluación
incluye algunas imágenes, las cuales aportan información a la solución del
problema.
Después de que los alumnos hayan resuelto la evaluación, se recomienda
hacer algunos comentarios y sugerencias de análisis para la retroalimentación. Puede realizar las siguientes preguntas con base en la imagen del
problema 1: ¿Cuántos lados tiene la pista? ¿Qué forma tiene la pista? ¿Cuántos ángulos internos y externos tiene? ¿Cuánto suman los ángulos externos?
¿Cómo puedes obtener el valor de un ángulo interno? Si ya se recorrió 21 de
la pista, ¿cuántas estaciones de han recorrido?
Si lo considera necesario, para comprobar la solución de la actividad 2,
realice una tabla de valores. Pida que calculen cuánta gasolina se ha consumido en las estaciones 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8, pregunte ¿En qué momento debe
recargar gasolina? Recuerde a sus estudiantes la importancia de generar una
tabla de equivalencias entre unidades de medición.
Explique que en la actividad 4 deben identificar que se requiere el valor
del ángulo exterior de la pista.
Dado el contexto del problema 6, recuerde a los estudiantes el procedimiento para despejar una variable.
6. Para un objeto en caída libre, la fuerza de gravedad es proporcional a la masa m,
de dicho objeto, de manera que se cumple la siguiente expresión, donde g es la
aceleración de la gravedad dirigida hacia abajo (– 9.8 m/s2). La fuerza se mide en
newtons (N).
F = mg
Si sobre un cuerpo en caída libre actúa una fuerza de – 490 N, ¿cuál es la masa de
dicho cuerpo?
A) 50 kg
B) 85 kg
C) 480.2 kg
D) 4 802 kg
Reúnete en pareja con un compañero. Comparen sus respuestas, argumenten el
porqué respondieron así. Corrijan lo que sea necesario.
Coevaluación
Revisa con tu profesor los resultados: ¿en qué necesitas mejorar? ¿Qué estrategias
usarás?
Heteroevaluación
Bloque 1 - Evaluación
91
En este apartado encontrará
recomendaciones bibliográficas
y electrónicas extra para apoyar
su clase.
Evaluación
93
Contiene las respuestas a los reactivos
y algunas orientaciones sobre la evaluación.
Travesías
Travesías
Sugerencias didácticas
Explique que a través de la historia el hombre ha construido objetos matemáticos que son la principal herramienta para la interpretación de fenómenos
naturales y sociales. La evolución de dichas herramientas va ligada con las
necesidades del hombre, el ejemplo más claro relacionado con este tema,
es el tipo de registro que se menciona en “Materiales para el registro de datos
estadísticos”. Aquí se habla de los materiales utilizados para el registro de
información, se muestran marcas hechas en piedra o huesos. Plantee a los
alumnos las siguientes preguntas para saber lo que piensan del registro de
datos en la actualidad ¿Cómo se lleva a cabo el manejo de información? ¿Qué
software conoces que ayuda a representar datos a través de gráficas? ¿Cuál
crees que sea la principal necesidad del hombre relacionada con el manejo
de información? Cuando te ofrecen nuevos productos, ¿crees que se haga
un estudio para lograr más ventas?
Sugerencias didácticas
Los datos de ayer y hoy
La recolección, registro e interpretación de datos provenientes de distintas fuentes es
una práctica que se ha desarrollado desde tiempos remotos, pues en una sociedad
organizada siempre surge la necesidad de poseer datos sobre su población, actividades y condiciones materiales que la rodean. Así, esta práctica ha evolucionado desde
la simple recolección de datos hasta la diversa y rigurosa interpretación que en la
actualidad se hace de éstos.
La estadística, en general, trata de la recopilación,
organización, presentación, análisis e interpretación de datos numéricos con el fi n de tomar
decisiones.
Los primeros registros estadísticos de los que
se tiene conocimiento fueron los censos, estudios descriptivos sobre todos los integrantes de
una población.
En antiguas civilizaciones como la egipcia,
china, griega y romana era común que se llevaran
a cabo recuentos sobre características de los habitantes: nacimientos, defunciones o de aspectos
económicos, impuestos, cosechas, etcétera.
De acuerdo con lo que indica el historiador griego Herodoto,
en Egipto algunos de los censos de riqueza y población se
hacían para planificar la construcción de las pirámides.
En México
Los materiales empleados para el registro y comunicación de datos han evolucionado
a la par de la escritura. Van desde la piedra, láminas metálicas, papiros y papel, entre
otros, hasta los soportes electrónicos actuales.
Travesías
Se presentan sugerencias didácticas
para trabajar esta sección.
Hacia el año 3 000 a. n. e. los babilonios usaban
pequeñas tablillas de arcilla para recopilar datos acerca de la producción agrícola y los géneros
vendidos o cambiados mediante trueque.
94 Bloque 1 - Travesías
92
Recursos adicionales
En el siguiente enlace podrá consultar información de los histogramas y polígonos de frecuencia:
• “Histograma” y “Polígono de frecuencia”, disponible en www.edutics.mx/
wPT (consulta: 24 de agosto de 2018).
Nuestro país tiene una rica tradición en materia de información estadística
de la cual dan cuenta diversos códices e innumerables publicaciones,
instituciones y personajes desde la época colonial hasta nuestros días.
El 25 de enero de 1983 se creó, por decreto presidencial, el Instituto
Nacional de Estadística, Geografía e Informática (Inegi). Con su creación,
el instituto modernizó la valiosa tradición que tenía nuestro país en materia de captación, procesamiento y difusión de información acerca del
territorio, la población y la economía.
El 16 de abril de 2008, el Inegi cambió su personalidad jurídica, adquiriendo autonomía técnica y de gestión. A partir de entonces su nueva
denominación es Instituto Nacional de Estadística y Geografía, pero aún
conserva las mismas siglas.
Materiales para el registro de datos estadísticos
Desde la prehistoria
han existido formas
rudimentarias de registrar información
con fines contables:
montículos de piedras o señ ales en
huesos, pieles, palos
y paredes de cuevas.
Antes de leer el subtema “En México” pregunte a los estudiantes:
• ¿Qué sabes sobre la historia de México y las formas en que manejaban
la información en el pasado?
• ¿Qué instituciones conoces que lleven a cabo recolección de datos
y manejo de información en la actualidad?
• ¿Qué investigación te gustaría que se llevara a cabo? ¿Por qué?
Después de responder de forma grupal las preguntas anteriores analicen dicho subtema. Enseguida aliéntelos a que visualicen la forma en que se
registraba la información de los datos de tributación y cómo es que ahora
se podrían registrar según los temas estudiados.
Al término de la lectura y análisis del último párrafo, vuelva a preguntar:
¿qué tema te gustaría investigar?
Actualmen te se dispone
de
medios electrónico
s para resguardar información
así como
de las hojas de cálculo
o diversos softwares que
permiten
introducir números
y variables
y, de forma casi instantánea
,
presentar una representac
ión
visual de los mismos.
Plantear y resolver problemas usando herramientas matemáticas.
© Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.
5
8
15
10
0
2
5
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B)
25
20
• Al trazar el polígono de frecuencias, ¿cuáles son los
8
puntos medios de los intervalos?
A) 8, 10, 12, 14 y 16
C) 9.5, 11.5, 13.5, 15.5 y 17.5
B) 9, 11, 13, 15 y 17
D) 10.5, 12.5, 14.5, 16.5 y 18.5
• Un corredor logró avanzar hasta de la pista, y con dificultad recorrió más
del resto de la pista. Inicialmente, ¿cuánto le faltaba por recorrer? y en el último
tramo, ¿qué parte de la pista recorrió?
1
2
1
A) 2 de la pista y 5 de la pista
C) 3 de la pista
• Si en 4 de hora se recorren
dar en una hora?
A) Una vuelta
Edad a la que los corredores de autos
eligieron su profesión
Cantidad de corredores
5. En el histograma se muestran los resultados de una encuesta realizada a los corredores de autos acerca de
la edad en la que eligieron esa profesión. ¿Cuál fue el
intervalo de edad con mayor frecuencia?
A) De 16 a 18 años
C) De 10 a 12 años
B) De 14 a 16 años
D) Más de 18 años
E8
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Autoevaluación
Se incluyen las respuestas a las
actividades del libro del alumno.
Encontrará la leyenda Respuesta libre
(R. L.) o Respuesta modelo (R. M.), según
se requiera.
También se proporcionan recursos
bibliográficos o tecnológicos
complementarios.
• ¿Qué fracción del total de personas eran niñas?
Expliquen en grupo cuántos factores tienen las multiplicaciones con las que pueden
resolverse los problemas. ¿De qué forma las resolvieron? Si hay diferencia en los
resultados, revísenlos para llegar a un acuerdo.
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92 Bloque 1 - Evaluación
Evaluación
A lo largo del proceso de enseñanza-aprendizaje se presentan tres momentos de evaluación, cada uno de ellos tiene características que en conjunto
determinan el avance de los estudiantes.
El primer momento está presente al aplicar la evaluación diagnóstica, la
cual marca la pauta en la toma de decisiones enfocadas en las planeaciones
didácticas. Su principal objetivo es identificar las necesidades de los estudiantes para desarrollar las temáticas que se abordaran en el nuevo bloque; una
vez identificadas se procede a planear los temas que se deben repasar para
alcanzar los objetivos deseados. Al revisar la evaluación diagnóstica que se
propone en este libro, se pueden identificar los conocimientos y habilidades
que los estudiantes deben reforzar.
Como segundo momento, está la evaluación formativa. Dicha evaluación
está enfocada en dar un seguimiento constante al desempeño académico de
los estudiantes. Su principal objetivo es determinar los aspectos en los que
el estudiante debe mejorar, cuáles herramientas le han servido y en cuáles
debe trabajar aún más para alcanzar los aprendizajes deseados. Puede servir
como actividad de retroalimentación, en la que el estudiante reconoce sus
fortalezas y deficiencias y, a partir de ellas, los aspectos que puede mejorar;
es decir, se le ofrece un camino a seguir para mejorar su aprendizaje. Las
técnicas más recomendadas para su realización son: observación, análisis
de desempeño de los estudiantes (tanto en actitudes como en adquisición
de conocimiento) y autoevaluación.
En la página de internet www.edutics.mx/w2W puede consultar más
información al respecto.
Por último se tiene la evaluación sumativa, la cual emite un juicio final
del aprovechamiento del estudiante. Este tipo de evaluación es el resultado
del análisis de información que se obtiene sobre el desempeño académico
del alumno a lo largo del bloque. De igual forma, ésta determina si los conocimientos planeados se alcanzaron y si las habilidades estudiadas forman
parte del saber de los estudiantes. Al emitir esta evaluación se determina la
acreditación del bloque.
b) Carlos y Mariela bajaron en la las sillas voladoras.
Solucionario
Se proporcionan sugerencias
didácticas para el trabajo en el aula.
Evaluación
1. Analiza y contesta.
Juan y sus amigos visitaron un parque de diversiones; para recorrerlo, subieron a
4
un tren cuyo circuito mide 5 km y en el cual se puede permanecer las vueltas que
se deseen. Observa en la siguiente página este circuito y expresa en una fracción
irreducible los kilómetros que cada una de las siguientes parejas recorrió.
a) Teresa y Claudia dieron media vuelta y bajaron en la montaña rusa.
Una fracción irreducible
es aquella que está escrita
en su forma equivalente
más sencilla, con el menor
numerador y el menor
denominador posibles.
Es decir, que no se puede
simplificar más.
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Recuerda
Sugerencias didácticas
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Multiplicación de fracciones positivas
×
3
4
2. a)
• Si 5 partes de las galletas de vainilla tienen trozos de almendra, ¿qué fracción
del total de galletas es de esta combinación?
Multiplicación de fracciones positivas
Recorremos
1
2
Carlos y Mariela:
Luis y Pedro:
3
Recorremos
e) Teresa y Claudia:
Discute con el resto del grupo: ¿qué tipo de fracciones aparecen en los problemas?
¿Obtuvieron las mismas fracciones irreducibles? ¿Todos escribieron las mismas multiplicaciones? Verifiquen juntos si al realizar las multiplicaciones se obtiene el total
de kilómetros que recorrió cada pareja.
Laurel
Secuencias
Cada 10 años el Inegi realiza un censo de población y vivienda. El último se llevó a cabo
en 2010.
En 1535, por órdenes del primer
virrey de la Nueva España, Antonio
de Mendoza, se realiza el Códice
Mendocino, que en su apartado
“Matrícula de tributos” se describe la
manera en que los pueblos registraba
sus datos de la tributación.
Î En el siglo XVII Gaspar Neumann demostró, basándose en los registros de defunciones de la época, la falsedad de la creencia popular de que en los años acabados
en siete moría más gente. ¿Conoces algún otro hecho en el que la aportación
estadística haya provocado un cambio de ideas?
93
Bloque 1 - Travesías
95
7
Dosificación
Bloque 1
Semana
Eje
Tema
1
Número, álgebra
y variación
5
Multiplicación y división
1. Resuelve problemas de
multiplicación y división con
fracciones y decimales positivos.
3
Audio de
comprensión oral
2. Resuelve problemas de
multiplicación y división con números
enteros, fracciones y decimales
positivos y negativos.
3. Resuelve problemas de potencias
con exponente entero y aproxima
raíces cuadradas.
6
8
Secuencia
Contenido
Evaluación diagnóstica
2
4
Aprendizaje esperado
Animaciones
y tutoriales
Galería de imágenes
Págs.
14 y 15
1. Multiplicación
con fracciones
y decimales
positivos
Resuelve problemas de multiplicación
con fracciones y decimales positivos.
16 a 21
2. División con
fracciones
Resuelve problemas de división con
fracciones positivas.
22 a 29
3. Multiplicación
de números
positivos y
negativos
Resuelve problemas de multiplicación
con números enteros, fracciones y
decimales positivos y negativos.
30 a 37
4. División
de números
positivos y
negativos
Resuelve problemas de división
con números enteros, fracciones y
decimales positivos y negativos.
38 a 43
5. Potencias
con exponentes
enteros
Resuelve problemas de potencias con
exponente entero (elaboración y uso
de procedimientos).
44 a 51
Vínculos
Recursos
digitales*
* Descargue la App Castillo para acceder a sus recursos digitales.
Semana
Eje
Tema
Aprendizaje esperado
7
Figuras y
9. Deduce y usa las relaciones entre
cuerpos
los ángulos de polígonos en la
geométricos construcción de polígonos regulares.
8
Forma, espacio y
medida
9
Magnitudes
y medidas
10
11
12
Análisis de datos
Estadística
10. Resuelve problemas que
implican conversiones en múltiplos
y submúltiplos del metro, litro,
kilogramo y de unidades del sistema
inglés (yarda, pulgada, galón, onza y
libra).
13. Recolecta, registra y lee datos en
histogramas, polígonos de frecuencia
y gráficas de línea.
Secuencia
Contenido
Págs.
6. Diagonales y
ángulos interiores
de un polígono
Analiza las propiedades de los
polígonos: número de diagonales
que pueden trazar desde un vértice,
número de diagonales en total y suma
de sus ángulos interiores.
52 a 59
7. Relaciones
entre los ángulos
de un polígono
Explora las relaciones entre las
medidas de los ángulos interior,
exterior y central de polígonos
regulares.
60 a 67
8. Múltiplos y
submúltiplos
del metro, litro y
kilogramo
Resuelve problemas que implican
conversiones en múltiplos y
submúltiplos del metro, litro y
kilogramo.
68 a 75
9. El sistema
inglés
Resuelve problemas que implican
convertir unidades del Sistema
Internacional y de unidades del
sistema inglés (yarda, pulgada, galón,
onza y libra).
76 a 81
10. Histogramas
y polígonos de
frecuencia
Recolecta, registra y lee datos
en histogramas y polígonos de
frecuencia.
82 a 89
Evaluación final
90 y 91
Travesías
92 y 93
Recursos
digitales*
9
Dosificación
Bloque 2
Semana
Eje
Tema
13
Aprendizaje esperado
Multiplicación y
división
15
3. Resuelve problemas de potencias con
exponente entero y aproxima raíces
cuadradas.
16
Proporcionalidad
Funciones
10
4. Resuelve problemas de proporcionalidad
directa e inversa y de reparto proporcional.
Número, álgebra y
variación
18
19
Contenido
Evaluación diagnóstica
14
17
Secuencia
6. Analiza y compara situaciones de variación
lineal y proporcionalidad inversa, a partir
de sus representaciones tabular, gráfica y
algebraica. Interpreta y resuelve problemas
que se modelan con este tipo de variación,
incluyendo fenómenos de la Física y otros
contextos.
Págs.
96 y 97
11. Notación
científica
Resuelve problemas de potencias con exponente
entero (notación científica).
98 a 105
12. Raíz cuadrada
Aproxima raíces cuadradas.
106 a 113
13. Problemas de
proporcionalidad
inversa y directa
Resuelve problemas de proporcionalidad inversa
y compara con la proporcionalidad directa.
114 a 121
14. Problemas de
reparto proporcional
Resuelve problemas de reparto proporcional.
122 a 129
15. Representaciones
tabular, gráfica y
algebraica de la
proporcionalidad
inversa
Analiza y compara situaciones de variación
lineal y proporcionalidad inversa, a partir de sus
representaciones tabular, gráfica y algebraica.
130 a 137
16. Otros problemas
de proporcionalidad
inversa
Interpreta y resuelve problemas que se modelan
con variación lineal y proporcionalidad inversa,
incluyendo fenómenos de la Física y otros
contextos.
138 a 145
Recursos
digitales*
Semana
Eje
20
Tema
Aprendizaje esperado
Figuras y
cuerpos
geométricos
9. Deduce y usa las relaciones entre los
ángulos de polígonos en la construcción de
polígonos regulares.
Magnitudes y
medidas
11. Calcula el perímetro y área de polígonos
regulares y del círculo a partir de diferentes
datos.
Forma, espacio y
medida
21
22
13. Recolecta, registra y lee datos en
histogramas, polígonos de frecuencia y
gráficas de línea.
23
24
25
26
Análisis de datos
Estadística
Secuencia
Contenido
Págs.
17. Construcción de
polígonos regulares y
teselados
Resuelve problemas de construcción de
polígonos regulares a partir de diferentes datos
(construye teselaciones).
146 a 153
18. Área de polígonos
regulares e
irregulares
Desarrolla y usa la fórmula para calcular el área
de polígonos regulares a partir de diferentes
datos.
154 a 161
19. Área del círculo
Desarrolla y usa la fórmula para calcular el área
del círculo a partir de diferentes datos.
162 a 169
20. Gráficas de línea
Recolecta, registra y lee datos en histogramas,
polígonos de frecuencia y gráficas de línea.
170 a 177
14. Usa e interpreta las medidas de tendencia
central (moda, media aritmética y mediana),
el rango y la desviación media de un conjunto 21. Desviación media
de datos y decide cuál de ellas conviene más
en el análisis de los datos en cuestión.
Usa e interpreta las medidas de tendencia central
(moda, media aritmética y mediana), el rango y
la desviación media de un conjunto de datos y
decide cuál de ellas conviene más en el análisis
de los datos en cuestión.
Recursos
digitales*
178 a 185
Evaluación final
186 y 187
Travesías
188 y 189
11
Dosificación
Bloque 3
Semana
Eje
Tema
27
Patrones,
figuras
geométricas y
expresiones
equivalentes
29
31
32
12
Secuencia
Contenido
Evaluación diagnóstica
28
30
Aprendizaje esperado
8. Formula expresiones de primer grado para
representar propiedades (perímetros y áreas) 22. Modelos
de figuras geométricas y verifica equivalencia geométricos y
expresiones algebraicas
de expresiones, tanto algebraica como
geométricamente (análisis de las figuras).
7. Verifica algebraicamente la equivalencia de
expresiones de primer grado, formuladas a
partir de sucesiones.
Número, álgebra y
variación
Ecuaciones
5. Resuelve problemas mediante la
formulación y solución algebraica de
sistemas de dos ecuaciones lineales con dos
incógnitas.
Págs.
192 y 193
Formula expresiones de primer grado para
representar propiedades (perímetros y áreas)
de figuras geométricas y verifica equivalencia
de expresiones, tanto algebraica como
geométricamente (análisis de las figuras).
194 a 201
Verifica algebraicamente la equivalencia de
23. Sucesiones y
expresiones algebraicas expresiones de primer grado, formuladas a
partir de sucesiones.
equivalentes
202 a 209
Resuelve problemas mediante la formulación y
24. Sistemas de
ecuaciones lineales con solución de sistemas de dos ecuaciones lineales
con dos incógnitas (procedimientos intuitivos).
dos incógnitas
210 a 217
25. Método gráfico para Resuelve problemas mediante la formulación y
solución gráfica de sistemas de dos ecuaciones
resolver un sistema de
lineales con dos incógnitas.
ecuaciones
218 a 225
26. Métodos
algebraicos para
resolver un sistema de
ecuaciones
226 a 233
Resuelve problemas mediante la formulación
y solución algebraica de sistemas de dos
ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Recursos
digitales*
Semana
Eje
Tema
Aprendizaje esperado
27. Desarrollos planos
de prismas y cilindros
33
Forma, espacio y
medida
Magnitudes y
medidas
12. Calcula el volumen de primas y cilindros
rectos.
34
35
36
Secuencia
Análisis de datos
Probabilidad
15. Determina la probabilidad teórica de un
evento en un experimento aleatorio.
Contenido
Págs.
Construye desarrollos planos de prismas y
cilindros.
234 a 241
28. Volumen de prismas Calcula el volumen de primas rectos (base
rectos
polígono regular).
242 a 249
29. Volumen de
cilindros
250 a 257
Calcula el volumen de cilindros rectos.
Determina la probabilidad teórica de un evento
30. Probabilidad teórica en un experimento aleatorio (comparación con
la probabilidad frecuencial).
Recursos
digitales*
258 a 265
Evaluación final
266 y 267
Travesías
268 y 269
13
Bloque 1
Sugerencias para trabajar la imagen
Pida a los estudiantes que observen la imagen y respondan:
• ¿Qué cuerpos geométricos identifican? Márquenlos sobre la imagen.
• ¿Cómo se forman los lados de los cubos de la imagen?
• ¿Cómo calcularían el volumen, en litros, de cada cuerpo?
Pida a los estudiantes que imaginen la vista superior de los cuerpos de la
imagen y la dibujen. Analicen las propuestas en grupo y observen las semejanzas y diferencias. Comente la importancia de aprender a visualizar figuras
de tres dimensiones desde diferentes ángulos (arriba, abajo o vistas laterales).
Por ejemplo, tanto la ventana de contorno rojo como la que está en uno de
los costados pertenecen a planos distintos; pero si se estudia la vista frontal
de la imagen, la percepción puede ser diferente.
Analice con sus estudiantes la frase escrita por Nikolay Lobachevsky, y
pregunte ¿Qué ramas de la matemática conocen? Si mencionan alguna rama
explique en qué fenómeno del mundo real se aplica. Si los estudiantes no
identifican ninguna, solicite que ennumeren fenómenos del mundo real e
identifique con ellos la rama de la matemática que se aplica en tales casos.
Después del análisis puede mostrar el siguiente video: www.edutics.mx/wYT
Contenidos
En este bloque, en el eje Número, álgebra y variación, se amplían y concretan
los aprendizajes relacionados con el tema de multiplicación con fracciones y
decimales positivos, cuyo procedimiento se estudió en el curso anterior. Se
analiza el tema de división con fracciones, la interpretación y resolución de
algunos problemas. Además, se amplía el conocimiento en la operatividad
de números con signo al resolver multiplicaciones y divisiones.
En el eje Forma, espacio y medida, los estudiantes no sólo reconocerán
las propiedades de los polígonos con relación a sus ángulos, sino también las
distintas unidades de medida y equivalencias entre metro, litro y kilogramo,
además de las equivalencias con el sistema inglés.
En las secuencias relativas al eje Análisis de datos se estudian formas para
representar información, las cuales facilitan el análisis y la toma de decisiones
con respecto a ciertos fenómenos: histogramas, polígonos de frecuencias
y gráficas de línea.
14
Bloque 1
Número, álgebra y variación
Forma, espacio y medida
Análisis de datos
1. Multiplicación con fracciones
y decimales positivos
2. División con fracciones
3. Multiplicación de números positivos
y negativos
4. División de números positivos
y negativos
5. Potencias con exponentes enteros
6. Diagonales y ángulos interiores de
un polígono
7. Relaciones entre los ángulos de
un polígono
8. Múltiplos y submúltiplos del metro,
litro y kilogramo
9. El sistema inglés
10. Histogramas y polígonos
de frecuencia
12
No hay rama de la
matemática que no
pueda aplicarse algún
día a los fenómenos
del mundo real.
Nikolay Lobachevsky
Ideas erróneas
En ocasiones los estudiantes hacen operaciones aritméticas sin observar que
hay condiciones que influyen en los procedimientos. Así, al no considerar
dichas variaciones se obtienen resultados erróneos. A continuación mencionaremos algunos casos; la intención es detectarlos y dar algunas sugerencias
para que no ocurran.
• Es común que los estudiantes confundan los procedimientos para resolver las distintas operaciones aritméticas entre fracciones; por lo que se
recomienda que las escriban a manera de resumen y las describan con
sus palabras. Por ejemplo, suma y resta: son necesarias fracciones equivalentes hasta lograr que los denominadores sean iguales. Multiplicación:
se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador. División: el recíproco del divisor se multiplica por el dividendo.
• Es probable que al resolver operaciones que involucran números con
signo, confundan o utilicen sólo un par de reglas. Se recomienda diferenciar las reglas al resolver suma y resta de las reglas de multiplicación
y división.
• Dado que la operación potenciación con exponentes enteros es algo
nuevo para ellos, es común que en lugar de multiplicar la base por sí
misma las veces que indica la potencia, multipliquen la base por la potencia. Se recomienda repetir continuamente el significado de resolver
una potencia con exponentes enteros.
• Cuando se realiza la conversión de unidades, los estudiantes no saben
si dividir o multiplicar. Por ello se recomienda utilizar la estructura de
regla de tres.
• Al estudiar el análisis de datos y construcción de histogramas y polígonos de frecuencias los estudiantes pueden cometer errores al momento
de ubicar las ordenadas y las abscisas, lo cual altera la interpretación de
resultados. Se recomienda aclarar la forma correcta de construir gráficas.
Bloque 1
13
Bloque 1
15
Antecedentes
En primero de secundaria, los estudiantes resolvieron problemas que involucraban las operaciones aritméticas de multiplicación y división, por lo que se
espera que sean capaces de plantear y resolver problemas similares. La nueva
variante consiste en la realización de operaciones con números positivos y
negativos, por ello deben considerar las reglas de los signos. A su vez, en el
curso anterior también se estudiaron tanto la jerarquía de las operaciones
como la resolución de problemas de suma y resta con números enteros.
Dicho tema es una herramienta previa para la solución de multiplicaciones
y divisiones de números con signo.
Mientras que, en quinto y sexto de primaria, los estudiantes resolvieron
problemas que involucraban el uso de unidades de masa y longitud; ahora
deberán resolver problemas de conversión de unidades. También en esos
mismos grados escolares analizaron información a partir de tablas y gráficas.
Finalmente, en el año escolar anterior también aprendieron a realizar gráficas
circulares.
1. Subraya la respuesta correcta.
3
Roberto compró 5 paquetes de galletas de $12.60 cada uno y 4 kg de queso
manchego que cuesta $168.75 el kilogramo. ¿Cuánto gastó en total?
A) $187.10
B) $189.60
C) $197.40
D) $232.60
2. Realiza las operaciones correspondientes y contesta: un muro se adorna colocando tiras de madera alrededor de éste. Cada tira mide 0.16 m y la longitud del
muro es de 8.44 m. Si las tiras de madera colocadas linealmente cubren 3.8 m,
¿cuántas tiras se deberán colocar para terminar?
8.44 – 3.8 = 4.64
4.64 ÷ 0.16 = 29
Para terminar se deberán colocar
29 tiras de madera.
3. Subraya la opción que representa con números negativos la deuda total en un
año si la deuda mensual que aparece en un recibo es de –$570.
A) –$582
B) –$5 712
C) –$6 387
D) –$6 840
4. Traza las diagonales del hexágono irregular y marca con colores distintos los
ángulos interiores del paralelogramo.
5. Calcula la medida de los ángulos b y d.
c = 152°
a = 115°
d
b
A) ∡ b = 45° y ∡ d = 180°
B) ∡ b = 95° y ∡ d = 365°
16
Bloque 1 - Evaluación diagnóstica
14
C) ∡ b = 65° y ∡ d = 208°
D) ∡ b = 245° y ∡ d = 28°
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Antes de iniciar el contenido de cada bloque encontrará una evaluación diagnóstica con el objetivo de que identifique los conocimientos, habilidades y
destrezas con las que cuentan sus estudiantes los resultados le permitirán
establecer medidas, emitir juicios y tomar decisiones para mejorar el aprendizaje y desempeño de los alumnos.
Evaluación diagnóstica
Evaluación diagnóstica
Sugerencias didácticas para la nivelación
6. Completa las equivalencias en las imágenes.
100
1m=
1 kg =
cm
1 000
1L=
g
1 000
mL
7. Escribe la letra de la magnitud que corresponde a cada unidad de medida.
Tiempo (T)
Longitud (L)
Masa (M)
L
(
(
M
) libra
(
T
) gramo
(
L
) metro
( M
( M
(
T
) segundo
(
L
) pulgada
) centímetro
(
L
) kilómetro
) kilogramo
) hora
Recuerde que la evaluación diagnóstica tiene por objetivo tomar decisiones
relacionadas con la manera de abordar los distintos temas que se estudiarán
en este bloque. También le ayudará a saber si debe retomar, repetir o analizar
otros temas que resultan fundamentales para mejorar el aprendizaje. Enseguida se sugieren algunas páginas de internet que pueden ser de utilidad
para repasar, practicar y analizar algunos contenidos, de modo que al iniciar
formalmente el bloque los estudiantes estén mejor preparados.
• Suma y resta de números negativos
www.edutics.mx/wYq
www.edutics.mx/3jF
• Producto de fracciones
www.edutics.mx/wYc
• Repaso de polígonos
www.edutics.mx/wYp
• Gráfica circular
www.edutics.mx/wYG
8. Considera los datos y construye una gráfica de barras. Recuerda colocar títulos
en la gráfica y en los ejes.
La siguiente tabla muestra la edad de los asistentes a la presentación de una obra
de teatro.
Edad
(años)
Menores
de 15
De 15
a 25
De 25
a 35
De 35
a 45
De 45
a 55
Mayores
de 55
Asistentes
3
12
24
31
29
10
Asistencia por edad
30
Asistentes
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35
25
20
15
10
5
0
Menores de 15 De 15 a 25
De 25 a 35
De 35 a 45
Edad (años)
De 45 a 55 Mayores de 55
9. Revisa los resultados con tu profesor. Juntos establezcan los temas en los que
deberás poner más atención y las estrategias de estudio a implementar para
que aprendas los contenidos del bloque.
15
Bloque 1 - Evaluación diagnóstica
17
Partimos
S1
Resuelve problemas
de multiplicación con
fracciones y decimales
positivos.
Sugerencias didácticas
Pregunte ¿En cuántas partes se divide la manzana para saber las dimensiones
del museo? Si es necesario dibuje el rectángulo en el pizarrón y pida a un
alumno que haga las divisiones para calcular la fracción que se solicita.
Partimos
Solucionario
1. a)
Glosario
manzana. Espacio o
bloque de casas delimitado
por calles, generalmente
cuatro.
En primer grado aprendiste a multiplicar fracciones por fracciones y decimales por
decimales. En esta secuencia aprenderás a resolver problemas que involucran multiplicaciones con fracciones y decimales, así como combinaciones que incluyen más
de una operación. Las operaciones básicas, como la multiplicación, se utilizan con
frecuencia en varias situaciones de la vida cotidiana por lo que es importante resolverlas satisfactoriamente con todo tipo de números.
1. Lee la situación y contesta.
Se construyó un museo que ocupa tres quintas partes de la cuadra sobre
la calle Olivo y tres cuartas partes
de la cuadra sobre la calle Nogal.
Cedro
a) Representa en el mapa la parte de la manzana que ocupa el
museo.
b) ¿Qué fracción de toda la manzana ocupa el museo?
c) Si el área total de la manzana es
de 10 800 m2, ¿cuántos metros
cuadrados ocupa el museo?
Olivo
Olivo
Laurel
Cedro
Multiplicación con fracciones
y decimales positivos
Nogal
b) La fracción que ocupa el museo es de
c) 4 860 m2
9 .
20
Recorremos
Recorremos
Multiplicación de fracciones positivas
Recuerda
Sugerencias didácticas
Antes de resolver la actividad 1 de la sección “Recorremos”, lean la sección
“Recuerda” y analicen qué operación se debe hacer para obtener la fracción
de una fracción. Por ejemplo pregunte ¿Cuánto es 21 de 83 y 43 de 83 ? Haga
más ejercicios como los anteriores.
Solucionario
1. a) 25 km
d) Dieron 2
Compara tus respuestas y procedimientos con los de tus compañeros.
¿Qué operaciones utilizaron para resolver la actividad?
3
4
b) 35 km
vueltas y recorrieron
Una fracción irreducible
es aquella que está escrita
en su forma equivalente
más sencilla, con el menor
numerador y el menor
denominador posibles.
Es decir, que no se puede
simplificar más.
Multiplicación de fracciones positivas
1. Analiza y contesta.
Juan y sus amigos visitaron un parque de diversiones; para recorrerlo, subieron a
4
un tren cuyo circuito mide 5 km y en el cual se puede permanecer las vueltas que
se deseen. Observa en la siguiente página este circuito y expresa en una fracción
irreducible los kilómetros que cada una de las siguientes parejas recorrió.
a) Teresa y Claudia dieron media vuelta y bajaron en la montaña rusa.
b) Carlos y Mariela bajaron en la las sillas voladoras.
1
11
5
c) 1 km
km = 2.2 km.
c) Luis y Pedro se bajaron en el martillo, después de 1 4 vueltas.
d) Si Juan y Carolina dieron dos vueltas completas y después se bajaron en las
sillas voladoras, ¿cuántas vueltas dieron? ¿Cuántos kilómetros recorrieron a
bordo del tren?
18
Bloque 1 - Secuencia 1
Nogal
16
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Multiplicación con fracciones
y decimales positivos
Laurel
S1
Sugerencias didácticas
e) Expresa por medio de una multiplicación de fracciones
los kilómetros que cada pareja recorrió en el tren.
1
2
1
4
3
4
Inicio
Fin
Teresa y Claudia:
Carlos y Mariela:
Si es necesario, guíe el análisis para resolver el inciso e) de la actividad 1 preguntando ¿Cuál es la fracción correspondiente a la longitud total del circuito?
Entonces, ¿cuál es la fracción correspondiente a la mitad del circuito? ¿Cuál
a la cuarta parte del circuito?
Se recomienda hacer el análisis escribiendo las fracciones para tener una
mejor comprensión de la situación; por ejemplo: si hay 45 entonces hay 4
pedazos de tamaño 51 , la mitad de dicha fracción es 2 pedazos de tamaño 51 ,
es decir, 25 . Por otro lado, y de manera más formal, puede plantear ¿Cuánto es
1 de 4 ? Una vez hecho el planteamiento, deben deducir que, para obtener la
2
5
respuesta, tendrán que multiplicar las fracciones.
Explique a sus estudiantes la importancia de calcular la fracción correspondiente a un total, ya que de esta manera se obtiene el número de elementos que le corresponden a dicha fracción.
Luis y Pedro:
Solucionario
Juan y Carolina:
e) Teresa y Claudia:
1
2
× 45 =
2
5
Carlos y Mariela:
3
4
× 45 =
3
5
Discute con el resto del grupo: ¿qué tipo de fracciones aparecen en los problemas?
¿Obtuvieron las mismas fracciones irreducibles? ¿Todos escribieron las mismas multiplicaciones? Verifiquen juntos si al realizar las multiplicaciones se obtiene el total
de kilómetros que recorrió cada pareja.
2. Resuelvan en parejas los siguientes problemas.
1
2
a) Karla tiene 2 2 paquetes de galletas, de los cuales 3 partes son de nuez y el
2
resto de vainilla. De las galletas de nuez, 5 partes tienen chispas de chocolate,
¿qué fracción del total de galletas hay en esta combinación?
3
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• Si 5 partes de las galletas de vainilla tienen trozos de almendra, ¿qué fracción
del total de galletas es de esta combinación?
• Escriban cuántas galletas hay de cada tipo considerando que en total hay 45.
Nuez con chispas de chocolate:
Nuez sola:
Luis y Pedro:
5
4
× 45 = 1
Juan y Carolina:
2. a)
11
4
× 45 =
11
5
4
15
partes son galletas de nuez con chocolate.
• 51 del total son galletas de vainilla con almendras.
• Nuez con chispas de chocolate: 12
Nuez sola: 18
Vainilla con almendras: 9
Vainilla sola: 6
4 partes del total de personas eran niñas.
b) • 23 × 25 = 15
•
2
3
× 25 × 41 =
4
60
=
1
15
eran menores de 6 años.
• Había 8 niñas y 2 eran menores de 6 años.
Vainilla con almendras:
Vainilla sola:
2
b) La familia García rentó un autobús para ir de excursión. Las 3 partes de las
2
1
personas eran mujeres, 5 partes de ellas eran niñas y 4 parte de las niñas eran
menores de seis años.
• ¿Qué fracción del total de personas eran niñas?
• ¿Qué fracción del total eran menores de seis años?
• Si en total había 30 personas en el autobús, ¿cuántas niñas había y cuántas
de ellas eran menores de seis años?
Expliquen en grupo cuántos factores tienen las multiplicaciones con las que pueden
resolverse los problemas. ¿De qué forma las resolvieron? Si hay diferencia en los
resultados, revísenlos para llegar a un acuerdo.
17
Bloque 1 - Secuencia 1
19
Sugerencias didácticas
Escuche las propuestas que hacen los alumnos para resolver la actividad “Integración”, escríbalas en el pizarrón y analícenlas en grupo. Después, agrupe
dos factores mediante el uso de paréntesis. Se espera que de esta forma los
alumnos noten que la solución va de lo particular a lo general. Por ejemplo:
2 × 3 × 1 × 7 × 3 = ( 2 × ( 3 × ( 1 × ( 7 × 3 )))).
3
4
5
3
7
3
4
5
3
7
En la actividad 3, es necesario que recabe conocimientos previos, para
ello puede preguntar ¿Qué relación existe entre los números decimales y las
fracciones? ¿Cuáles son las fracciones que corresponden a los números 0.5,
0.25? Si no se les ocurre algo, mencione que 0.5 es igual a cinco décimos, y
que 0.25 son veinticinco centésimos. De esta forma obtendrán las respuestas
casi de forma inmediata.
Solucionario
Integración
S1
Integración
• De manera grupal escriban un procedimiento para multiplicar tres o más fracciones y den un ejemplo.
Procedimiento:
Ejemplo:
Multiplicación de fracciones por números decimales
3. En equipos analicen las imágenes y contesten.
Para cada vehículo, escriban la fracción que representa el indicador de nivel de
combustible y calculen la cantidad de gasolina en cada tanque a partir de su
capacidad total.
Multiplicación de fracciones por números decimales
3. Vehículo 1. Fracción: 43 . Combustible restante: 45.6 L
Vehículo 2. Fracción: 41 . Combustible restante: 14.2 L
Vehículo 3. Fracción: 35 . Combustible restante: 42.3 L
Recursos adicionales
En la siguiente página puede consultar más problemas de multiplicación de
números decimales y fracciones:
• “Multiplicar fracciones y decimales”, disponible en www.edutics.mx/wpz
(consulta: 9 de agosto de 2018).
Vehículo 1
Capacidad: 60.8 L
Vehículo 2
Capacidad: 56.8 L
Vehículo 3
Capacidad: 70.5 L
Fracción:
Combustible restante:
Fracción:
Combustible restante:
Fracción:
Combustible restante:
Expliquen qué operaciones aritméticas utilizaron. Analicen si existe más de una
forma de resolver y, de ser así, describan cada una.
4. Observen en parejas el procedimiento que emplearon cuatro alumnos para re4
solver la multiplicación 5 × 1.75 y contesten.
Martín
4
175
700
7
5 × 100 = 500 = 5
Camila
4
3
4
7
7
4×7
= 5
5 ×1 4 = 5 × 4 =
5×4
20 Bloque 1 - Secuencia 1
18
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Procedimiento: Respuesta modelo (R. M.) Multiplicar todos los numeradores
para obtener el numerador final y multiplicar todos los denominadores para
obtener el denominador final. Después se simplifica la fracción hasta obtener
una fracción irreducible.
1(2)(1) = 2 = 1
Ejemplo: 31 ( 25 )( 41 ) = 3(5)(4)
60
30
Multiplicación con fracciones y decimales positivos
Sugerencias didácticas
Pregunte a sus alumnos si con los cuatro procedimientos presentados en
las páginas 18 y 19 se obtiene el mismo resultado. Al analizar el resultado de
Julia, pida que conviertan el número 1.4 a fracción para validar los resultados. Señale las diferencias entre procedimientos; por ejemplo, la solución
que propone Patricio está relacionada con la factorización de los números
175 y 100.
Analicen la información de la sección “Formalización” y pregunte ¿Qué
es más conveniente para resolver el problema, convertir la fracción a decimal
o el decimal a fracción? Puede organizar dos equipos, pida a uno de ellos
que convierta los números decimales a fracciones y al otro que convierta
las fracciones a decimales. Cada equipo deberá exponer las dificultades encontradas. Por ejemplo, en el segundo caso, en el último renglón de la tabla
no se puede hacer el cálculo exacto ya que el decimal asociado a la fracción
es periódico.
Patricio
4
175
35
7
4 × 5 × 35
5 × 100 = 5 × 25 × 4 = 25 = 5
Julia
0.8 × 1.75 = 1.4
a) ¿Cuál es la diferencia entre lo que hizo Julia y lo que hicieron los demás?
b) Describan lo que hizo Camila y lo que hicieron Martín y Patricio.
Solucionario
c) Expliquen cómo simplificaron Camila y Patricio las fracciones.
4. a) Julia convirtió la fracción a número decimal y los demás convirtieron
el número decimal a fracción.
b) Camila convirtió el número decimal a fracción mixta y los demás convirtieron el número decimal a fracción decimal.
c) Camila eliminó el 4 del numerador y del denominador porque 44 = 1 y
no altera el resultado. Patricio utilizó el mismo recurso 4 × 55 × 4 = 1
por la misma razón.
d) • No, porque el numerador y el denominador de las fracciones obtenidas no tienen divisores en común.
• R. M. No hay dificultad para el procedimiento de Martín. Para el de
Julia sí, porque no se puede convertir la fracción 31 a decimal finito.
5. a)
1
d) Multipliquen 3 × 1.25 utilizando los cuatro procedimientos anteriores.
• Expliquen si lograron simplificar como Camila y Patricio.
• ¿Encontraron alguna dificultad al utilizar el procedimiento de Martín o el de
Julia? ¿Cuál?
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Comparen sus respuestas con las de otra pareja. ¿Utilizaron alguno de estos procedimientos para resolver la actividad 3? ¿Cuál les parece que se puede aplicar a
cualquier multiplicación de una fracción y un número decimal? ¿Por qué?
Cuando en una multiplicación los factores son números decimales y fracciones
es posible realizar conversiones para utilizar un solo tipo de números. Sin embargo, dependiendo del problema y de las cantidades que intervienen es necesario
decidir si es conveniente convertir a números decimales o trabajar con fracciones.
5. Resuelvan en equipos.
a) En la tabla de la derecha
se muestran los kilómetros que Mariana debe
correr cada día que entrena durante la semana
y la fracción que corrió
en realidad. Complétenla.
Día
Distancia por
recorrer (km)
Fracción de
distancia recorrida
Lunes
0.84
Miércoles
1.75
3
4
1
1
2
Viernes
3.6
19
Día
Distancia por
recorrer (km)
Fracción de distancia
recorrida
Kilómetros
recorridos
Lunes
0.84
3
4
0.63
Miércoles
1.75
1 21
2.625
Viernes
3.6
2
3
2.4
Kilómetros corridos
2
3
Bloque 1 - Secuencia 1
21
S1
Explique a los estudiantes que la multiplicación de fracciones implica calcular una parte de un total, es decir, 21 × 23 implica calcular un medio de
un total de tres medios. Para resolver el inciso b) de la actividad 5, analicen
las imágenes A, A1 y A2 por separado y utilicen diferentes procedimientos.
Comente que en ocasiones las soluciones de los problemas involucran
más de una operación. Plantee algunos problemas aritméticos con enteros,
por ejemplo: Daniel vende tortas y tacos, los tacos cuestan $12 y las tortas
$18, ¿cuánto obtuvo de ganancia si vendió 6 tacos y 9 tortas? Y pregunte
¿Qué operaciones se tienen que hacer para resolver el problema?
Si lo considera necesario, haga un repaso de sumas y restas con fracciones. El objetivo es que observen las diferencias entre los procedimientos
para resolver las distintas operaciones; ya que mientras la suma y la resta
requieren de fracciones equivalentes, la multiplicación se resuelve casi inmediatamente multiplicando numerador por numerador y denominador por
denominador.
Analicen la sección “Recuerda”, pregunte ¿Por qué la segunda expresión
del inciso d) de la actividad 6 no necesita paréntesis? ¿Qué indican los paréntesis de la tercera expresión?
A
b) Para determinar el tamaño correcto de una imagen en un cartel, primero se
3
redujo a la mitad y luego se amplio con un factor de 2 .
• Si las dimensiones de la imagen A son 60 cm × 48 cm, ¿cuáles son las me1
×2
A1
3
×2
A2
Operaciones combinadas de suma, resta y multiplicación
6. c 1 –
1
3
a (1 – 31 ) × 63
7. a) 85
b)
1
4
5
8
d
3
3
× 31 × 63
b
1
3
× 63
c)
d) $195.60
e) El libro costó $293.40 y le quedaron $293.40
• ¿Con qué factor se puede obtener la imagen A2 a partir de A?
Expongan sus respuestas al grupo argumentando sus procedimientos.
Operaciones combinadas de suma, resta
y multiplicación
6. Lean en parejas los problemas y escriban el inciso en el círculo de la expresión
numérica que los resuelve.
a) Paula leyó la tercera parte de una novela de 63 páginas. ¿Cuántas páginas le
quedan por leer?
b) Marco y Antonio se reparten 63 libros que su abuela sacó del librero. Si Marco
toma la tercera parte, ¿cuántos libros tiene?
c) De los libros que se repartieron Marco y Antonio, ¿qué fracción tiene Antonio?
d) De 63 alumnos que están en la biblioteca la tercera parte usa lentes, de estas
personas dos terceras partes son mujeres. ¿Cuántas de ellas usan lentes?
Solucionario
b) • Las medidas de A1 son 30 cm × 24 cm.
Las medidas de A2 son 45 cm × 36 cm.
• R. M. Sí, es verdad, del cartel original se calcula la mitad de las
dimensiones; es decir, 21 de cada longitud. Después, a las medidas
obtenidas se les multiplica por 23 para obtener las medidas finales.
• El factor es 43 o 0.75.
didas de las imágenes A1 y A2?
1
3
• ¿Es verdad que al multiplicar las medidas de A por los factores 2 × 2 se obtienen las de A2? Expliquen.
(1 – 31 )
Recuerda
La jerarquía de
operaciones establece el
orden en que se realizan la
suma, resta, multiplicación
y división cuando aparecen
al mismo tiempo en una
operación. Revisa tu libro
de primer grado para
tomar nota del orden.
2
3
1
× 3 × 63
(1 – 31 ) × 63
1
3
× 63
7. Continúen en parejas y contesten.
Esta mañana, Xóchitl gastó tres octavas partes de sus ahorros para comprar un
libro de arte. En la noche, utilizó dos quintas partes de lo que le quedaba para el
regalo de cumpleaños de su hermano.
a) ¿Qué fracción de sus ahorros le quedaron en la tarde?
b) ¿Qué fracción de sus ahorros totales utilizó en la noche?
c) ¿Qué fracción de sus ahorros totales utilizó en total?
d) Si tenía ahorrados $782.40, ¿cuánto dinero utilizó en el regalo de su hermano?
e) ¿Cuánto costó el libro? ¿Cuánto dinero le quedó de sus ahorros?
Comparen sus respuestas y procedimientos con el resto del grupo. ¿Las diferencias
que encontraron son porque entendieron de manera distinta los problemas o son
errores numéricos? ¿En qué problemas usaron la jerarquía de operaciones?
22 Bloque 1 - Secuencia 1
20
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Sugerencias didácticas
Multiplicación con fracciones y decimales positivos
Sugerencias didácticas
Integración
• En parejas planteen un problema que involucre varias operaciones y números
decimales y fracciones para resolverlo.
Aprendemos
Reflexiona: ¿cuáles son
las habilidades mentales
que utilizas al plantear
o inventar un problema
matemático?
• Intercambien problemas con otras parejas y traten de resolverlos de otras
formas.
1. Analiza nuevamente el problema al inicio de la secuencia y contesta.
a) En la esquina de Cedro y Laurel, sobre una superficie de 1 253.16 m2, se va
3
a construir una librería de manera que ocupe las 4 partes del área. ¿Cuál
será su superficie?
b) En la esquina de Laurel y Nogal se va a construir un estacionamiento para
3
el museo. El ancho, sobre la calle Nogal, será de 22.5 m y las 4 partes de él
se utilizarán para la entrada. ¿Cuánto mide el ancho de la entrada
del estacionamiento?
Arribamos
Formen dos equipos; para resolver la actividad 3 solicite que uno de ellos
resuelva las operaciones utilizando fracciones y el otro utilice números decimales. Cada equipo debe explicar sus procedimientos y resultados, verifiquen
que los resultados sean equivalentes.
Para terminar pregunte ¿Qué significa resolver una multiplicación de
fracciones? Mencionen una dificultad que puede surgir al usar decimales en
lugar de fracciones. Pida a sus estudiantes que se pongan a prueba con los
ejercicios sugeridos en la sección “Explora”.
Aprendemos
Pregunte ¿Qué es una habilidad mental? ¿Qué es lo primero que haces para
resolver un problema? Una vez que has entendido el problema, ¿qué procede? La información contenida en la página de “Recursos adicionales” les
permitirá responder esta sección. Si es necesario sugiera como respuesta: el
análisis, percepción, atención y memoria.
Solucionario
2. Resuelve los siguientes problemas.
4
2
a) Javier toma las 5 partes del jugo de piña, Mario las 3 partes del jugo de
3
durazno y Balam las 4 partes del jugo de manzana. ¿Cuántos litros tomó
cada uno?
Integración
• Respuesta libre (R. L.)
Arribamos
Explora
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0.75 L
zana
Man1.25
3
_
4
0. 7 5
3
4
1.25 L
L
b) Al inicio de diciembre una tienda de juguetes ha vendido las tres cuartas partes del lote de juegos de mesa y a mediados del mes las dos terceras partes
de los que quedaban. ¿Qué fracción del lote de juegos de mesa se vendió a
mediados de diciembre?
3. Resuelve las siguientes operaciones. Cuando sea necesario, simplifica hasta
que resulte una fracción irreducible y aplica la jerarquía de las operaciones.
3.6 ×
2
5
5
6
× 0.8 =
3
1.2 × − 4 =
1
3
7 3.3 + 1 5 =
(
)
7
8
×
8
7
× 0.12 =
(
)(
)
3
2
4
1.3 + 4 × 3 3.5 – 5 =
21
4
12.5 – 5 × 5 – 6.2 =
(
)
En la siguiente
página www.edutics.
mx/38b podrás realizar
multiplicaciones para
calcular áreas de
rectángulos, usando
fracciones, decimales y
sus combinaciones. Toma
en cuenta que la coma en
los números representa el
punto decimal.
1. a) La superficie de la librería será de 939.87 m2.
b) El ancho de la entrada del estacionamiento mide 16.875 m.
2. a) Javier tomó 0.6 L del jugo de piña.
Mario tomó 0.5 L del jugo de durazno.
Balam tomó 0.9375 L del jugo de manzana.
b) 23 ( 41 ) = 61 , por lo tanto se vendió 61 del lote que quedaba a mediados
de diciembre.
7 × 8 × 0.12 = 0.12
3. 3.6 × 25 × 0.8 = 1.152
8
7
1.2 × 65 – 43 = 41
(1.3 + 43 × 23 ) (3.5 – 45 ) = 4.86
1 (3.3 + 1 3 ) = 7 = 10.7
(12.5 – 21
) × 45 – 6.2 = 0.44
7
5
10
5
Recursos adicionales
En la siguiente página puede consultar más información relacionada con los
procesos mentales:
• “Procesos cognitivos”, disponible en www.edutics.mx/wQk (consulta: 9
de agosto de 2018).
Compara tus procedimientos y resultados con el resto del grupo.
21
Bloque 1 - Secuencia 1
23
S2
División con fracciones
Partimos
Sugerencias didácticas
Lea con los alumnos el título de la secuencia y pregunte ¿Qué tipo de problemas se resuelven con divisiones? Si es necesario pida que formulen problemas que involucren divisiones. Analicen el problema 1, después pregunte
¿Qué operaciones deben hacer para resolver el problema? ¿Se trata de un
problema de reparto? ¿Qué se va a repartir y en cuántas partes? Pida a un
alumno que pase al pizarrón a representar gráficamente la situación.
S2
Resuelve problemas de
división con fracciones
y decimales positivos.
Partimos
División con fracciones
Otra de las operaciones que has estudiado desde primaria es la división, la cual resolviste con números naturales y, en primer grado de secundaria, con números decimales.
En esta secuencia estudiarás cómo dividir números fraccionarios. De este modo, al
resolver problemas podrás combinar las cuatro operaciones básicas que conoces con
las distintas expresiones numéricas positivas.
1. Observa las imágenes y responde.
En una tienda de lácteos quedan las siguientes fracciones de dos tipos de queso.
Solucionario
3 en cada recipiente.
1. Queso canasto: hay 16
5 en cada recipiente.
Queso doble crema: hay 16
Recorremos
El queso canasto se repartió equitativamente en cuatro recipientes, mientras
que la fracción de doble crema, solamente en dos.
a) ¿Qué fracción hay en cada recipiente para cada tipo de queso?
División de fracciones entre números naturales y viceversa
Discute con tus compañeros el procedimiento para hallar la respuesta. Si
se divide a la mitad cada octavo del queso canasto, ¿el número de partes se puede
dividir en cuatro? En el caso del queso doble crema, ¿se puede hacer lo mismo?
Como es el primer acercamiento de los alumnos al tema de división con
fracciones, se recomienda que resuelva gráficamente los problemas y después analice la solución. Compare las respuestas del inciso b) con las del
inciso a) y plantee más ejemplos con fracciones distintas, después pida a los
alumnos que formulen un procedimiento informal para resolver la división
entre fracciones.
Solucionario
1. a)
b)
c)
1 de metro
10
1 ÷5= 1
2
10
1 de metro
14
Recorremos
División de fracciones entre números naturales
y viceversa
1. Resuelvan en parejas.
Laura cortó en cinco partes iguales una tira de medio metro de listón verde, como
se muestra en la figura.
1
2
m
1m
a) ¿Qué fracción de un metro representa cada parte?
b) Escriban una operación que represente el corte que hizo Laura.
c) Si Laura hubiera cortado el medio metro de listón en siete partes iguales, ¿cuánto mediría cada parte?
24 Bloque 1 - Secuencia 2
22
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Sugerencias didácticas
d) La tabla muestra los cortes hechos a otros listones. Determinen las longitudes
de las partes que se obtienen en cada caso y complétenla.
Color
Longitud de la tira del listón (m)
Número de partes
Rojo
3
4
3
Azul
4
3
4
Rosa
2
5
3
Amarillo
5
6
2
Naranja
1
3
5
Longitud de cada parte (m)
Expliquen a sus compañeros cómo dividieron la longitud de la tira entre el núme3
ro de partes, por ejemplo, 4 ÷ 3. Si usaron fracciones equivalentes, asegúrense
de escribir los resultados con fracciones irreducibles. Discutan qué procedimiento
utilizarían para comprobar sus resultados.
Sugerencias didácticas
Represente gráficamente las fracciones que se van a dividir en la tabla del
inciso d). Permita que los alumnos trabajen solos y pregúnteles cómo encontraron los resultados que se solicitan. Analicen en grupo los números de
la columna cuatro y encuentren un procedimiento general para hacer las
divisiones que se piden. Haga notar que en las tres últimas filas pareciera que
sólo el denominador se afecta (dado que se obtienen fracciones irreducibles),
mientras que en las primeras dos no se observa lo mismo debido a que las
fracciones son reducibles.
Pregunte después de leer el inciso a) de la actividad 2 ¿Por qué será que la
división también puede escribirse como multiplicación? ¿Cuál es la diferencia
entre escribir la división y la multiplicación? ¿Qué significa 41 × 31 ? Explique
que multiplicar 41 × 31 implica encontrar la cuarta parte de un tercio, es decir
dividir 31 en 4 partes iguales.
Solucionario
d)
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2. Continúen en parejas y contesten a partir de las imágenes.
En los siguientes esquemas se representan fracciones de distintos tipos de tela
divididas en partes. Escriban en la primera fila de recuadros la división que representa la zona de color más oscuro. Completen el ejemplo.
1
3
÷4 =
1
3
×4 =
1
Color
Longitud
de la tira (m)
Número
de trozos
Longitud
del trozo (m)
Rojo
3
4
3
3 = 1
12
4
Azul
4
3
4
4 = 1
12
3
Rosa
2
5
3
2
15
Amarillo
5
6
2
5
12
Naranja
1
3
5
1
15
Multiplicar el número de trozos por la longitud de cada uno para obtener
la longitud de la tira.
a) La zona de color más oscuro también puede verse como una multiplicación
que representa el área de esa parte. Escriban en el segundo renglón de recuadros las multiplicaciones correspondientes.
b) ¿Qué relación hay entre los números fraccionarios utilizados en las multiplica-
2.
1
3
÷4 =
1
12
5
6
÷3 =
5
18
4
3
÷2 =
4
6
1
3
× 41 =
1
12
5
6
×
5
18
4
3
×
4
6
1
3
=
1
2
=
ciones y divisiones?
Comparen con su grupo y analicen si con ambas operaciones obtienen el mismo
resultado. Representen las divisiones de la actividad 1 como áreas de rectángulos
y verifiquen si también pueden resolverlas con una multiplicación.
23
a) Las respuestas se muestran en la segunda fila.
b) Uno de los factores es el inverso multiplicativo del divisor.
Bloque 1 - Secuencia 2
25
S2
Pida a los alumnos que expliquen cómo se hacen las reducciones o ampliaciones de fotografías. Escuche las respuestas y resalte palabras clave como
multiplicación, división y factor de escala. Continúe con la solución de la
actividad 3. Para resolver el inciso a) explique que se requiere hacer una
reducción, haga las siguientes preguntas ¿Cómo debe ser el factor de escala
para reducir la imagen? ¿Cuál es la característica del factor que amplíe la
imagen? Los alumnos deben relacionar la reducción de la imagen con una
fracción propia.
Pida a los estudiantes que lean la sección “Recuerda”, muestre algunos
ejemplos de fórmulas que estudiaron en el curso anterior y planteen el procedimiento para dividir una fracción entre un número natural en la sección
"Integración".
Para resolver la actividad 4, puede convertir el total de litros de las jarras
a fracciones equivalentes de 43 de litro, por ejemplo, 12 = 48
.
4
3. Completen en equipos el esquema con el factor fraccionario que reduce a la
tercera parte las dimensiones de la imagen y las medidas resultantes.
÷3
1
2 m
3
4 m
a) Para reducir en 3, 5 o 7 veces las dimensiones de una figura, ¿cuál es el factor
por el que deben multiplicarse sus medidas, respectivamente?
Comparen sus respuestas. A partir de los problemas anteriores discutan cómo se
puede dividir una fracción entre un número natural utilizando una multiplicación.
Convivimos
Al terminar la actividad 4 analicen la sección “Convivimos”, haga una ronda
de participaciones y pregunte ¿Qué beneficios trae la participación en la
resolución de conflictos de una comunidad? ¿Crees que el estudio de las
matemáticas te ayuda a desarrollar habilidades para mejorar la toma de decisiones? ¿Por qué?
×
Recuerda
Las letras o literales
pueden utilizarse para
representar números
generales con los que es
posible hacer operaciones.
Integración
• En grupo establezcan un procedimiento para dividir una fracción
División de una fracción entre un número natural
a
b
a
b
÷n =
a
b
× n1 = a × b1 × n =
÷n =
×
=
=
4. Analiza y resuelve.
Los alumnos de una secundaria prepararon agua de distintos sabores para repartirla
entre los integrantes de una brigada de reforestación. Para ello, llenaron varias bo3
tellas de 4 L. Observa a continuación los sabores y la cantidad de algunos de ellos.
Integración
•
entre un
número natural n. Represéntenlo en el siguiente esquema.
Solucionario
3. Factor fraccionario: 31
Dimensiones de la imagen: 41 de base por 61 de altura.
a) Los factores por los que debe multiplicarse para reducir en 3, 5 y 7 son
1 , 1 y 1 respectivamente.
3 5 7
a
b
a
bn
4. Limón: 12 L; naranja: 6 L; sandía: 15 L; tamarindo: 7.5 L
a) Hay 48 cuartos de litro en 12 litros de agua. Se llenaron 16 botellas de
3 litro de agua de limón.
4
• 12 ÷ 43 = 16
Convivimos
Valora y comenta: ¿por qué
es importante interesarse y
participar organizadamente
para resolver conflictos
o afectaciones en tu
comunidad?
26 Bloque 1 - Secuencia 2
Limón 12 L
Naranja
Sandía 15 L
Tamarindo
3
a) ¿Cuántos cuartos de litro equivalen a 12 L y cuántas botellas de 4 L de agua de
limón se llenaron?
• Escribe la división que representa este reparto y su resultado.
24
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Sugerencias didácticas
División con fracciones
Sugerencias didácticas
Solicite a los alumnos que calculen 43 de 20, para ello plantee Si tienes 20
unidades, ¿cuál es la cuarta parte? Si 41 de 20 es 5, entonces, ¿cuánto son
tres cuartos? Explique cómo el recíproco de una fracción puede ayudar para
calcular la división de fracciones a partir de la multiplicación.
Puede ser de utilidad que los alumnos analicen el resultado de una división de fracciones, por ejemplo, pregunte Si divides un entero entre una
fracción, ¿el resultado es mayor o menor que el dividendo? Presente varios
ejemplos al respecto.
Complemente la actividad 5 asignando nuevas longitudes a las tiras
que se muestran en la página, por ejemplo, pida que dividan una tira de 35
de metro en trozos de 23 y que dibujen la representación gráfica. Pregunte ¿En
5 , cuántos trozos de 2 caben? Resalte que inicialmente caben dos completos
3
3
y un medio más, por lo que el cociente es 2 21 . Analice con sus estudiantes el
video sugerido al final de esta página.
b) Si se llenaron 8 botellas de agua de naranja, ¿cuántos litros se prepararon?
c) Lucía dice que sirvieron 20 botellas de agua de sandía, ¿es cierto? Escribe una
división y una multiplicación que modele esta situación.
d) Pedro dice que había 9 L de agua de tamarindo porque llenaron 10 botellas
y no sobró agua. ¿Tiene razón? Escribe las operaciones para comprobarlo.
e) ¿Cuántas botellas se llenan con 16 L de agua de jamaica?
• ¿Cuánto sobra y qué fracción de la botella representa?
• ¿Cuántas botellas y fracciones de botella se obtienen al dividir 16 L en botellas
3
de 4 L?
Reúnete con algunos compañeros y expliquen cómo resolvieron cada inciso. ¿Todos
dividieron la cantidad de agua en cuartos? Comenten de qué otra manera pueden
3
calcular cuántas porciones de 4 L hay en cierta cantidad de litros.
Solucionario
5. Trabaja con un compañero.
Laura necesita saber cuántas partes iguales es posible sacar de cada tira de listón
si la divide en fracciones. ¿Cuál es el resultado de cada división?
3
a) Una tira de 3 m en partes iguales de 4 m.
1
1
1
3
3
3
3
3
4
4
4
4
3÷ 4 =
Partes obtenidas:
b) 6 litros, 43 × 8 = 6.
c) Sí, es cierto, ya que 15 ÷ 43 = 20 y 20 × 43 = 15
d) No, porque 9 ÷ 43 = 12 que es distinto de 10; y 10 × 43 = 7 21 que es
distinto de 9.
e) Se llenan 21 botellas de agua de Jamaica y una tercera parte de otra
botella.
• Sobra 41 L lo que representa 31 de la botella.
• 21 31
5. a) 3 ÷ 43 = 4
Partes obtenidas: 4
2
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b) Una tira de 2 m en partes iguales de 5 m.
1
1
2
2
2
2
2
2
5
5
5
5
5
2÷ 5 =
Partes obtenidas:
b) 2 ÷
2
5
=5
c) 3 ÷
2
3
=4
Partes obtenidas: 5
1
2
Partes obtenidas: 4
1
2
Recursos adicionales
c) Una tira de 3 m en partes iguales de
1
2
3
m.
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
2
3÷ 3 =
Partes obtenidas:
En la siguiente página puede encontrar una explicación para entender la
división de fracciones:
• “División de fracciones”, disponible en www.edutics.mx/wQL (consulta:
14 de agosto de 2018).
Comparen sus respuestas y sus razonamientos con los de otra pareja. ¿Cuál fue el
procedimiento que siguió Laura? Discutan cómo interpretaron el último esquema
y cómo resolvieron la división. Luego, escriban una regla para dividir un número
natural entre una fracción.
25
Bloque 1 - Secuencia 2
27
S2
Sugerencias didácticas
Analice de forma grupal la división de un número natural entre una fracción y explique las diferencias que hay entre la multiplicación y la división
de fracciones. Puede utilizar uno o varios ejemplos para ello; de preferencia que la multiplicación y la división tengan los mismos números: 5 ÷ 23 y
5 × 23 ; pregunte qué resultado es menor y por qué sucede así.
Finalmente pida que expliquen de forma resumida el procedimiento para
dividir un número natural entre una fracción; por ejemplo, “para obtener
el resultado de la división se multiplica numerador por denominador y se
divide entre el numerador de la segunda fracción”. Al terminar mencione
que la división se resuelve multiplicando el número natural por el inverso
multiplicativo de la fracción.
Una vez realizada la actividad 6, recomiende a los estudiantes que resuelvan los ejercicios que se sugieren en la sección “Explora”.
Integración
2
3
a
n ÷ b = (n × b) ÷ a =
Explora
En la página www.edutics.
mx/36N podrás resolver
otros problemas de división
de fracciones y números
naturales.
n×b
a
Integración
• Analiza
la información anterior y, a partir de las igualdades, representa la siguiente división de un número natural entre una fracción como una
multiplicación.
2
×
5÷ 3 =
×
=
=
División de fracciones
Solucionario
• 5÷
La división de un número natural n entre una fracción se puede resolver al
multiplicar el número natural por el denominador de la fracción y luego dividir
el resultado entre el numerador, es decir:
= 5×
3
2
=
5×3
2
=
6. Analicen y contesten en parejas.
a) Para dividir tiras de madera en fracciones Mirna y sus compañeros utilizaron
los siguientes esquemas aplicando la idea de cuántas veces cabe el divisor en
el dividendo. Escriban la división correspondiente y su resultado.
15
2
Mirna
División de fracciones
1
1
2
Joaquín:
David:
Elisa:
6
4
4
3
÷ 41 = 2
3
2
÷ 43 = 2
÷ 49 = 3
÷ 83 = 4
1
4
cabe dos veces en
1
2
3
4
cabe dos veces en
3
2
4
9
cabe tres veces en
4
3
3
8
cabe 4 veces en
2
1
1
4
4
1
2
1
÷4 =
Joaquín
6
4
1
1
1
2
2
2
3
3
4
4
3
÷4 =
David
1
1
1
1
3
3
3
3
4
4
4
9
9
9
4
3
÷
=
Elisa
28 Bloque 1 - Secuencia 2
1
1
1
1
1
1
4
4
4
4
4
4
3
3
3
3
8
8
8
8
26
÷
=
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6. a) Mirna:
División con fracciones
Sugerencias didácticas
3
Colabore con los alumnos para resolver el inciso b) de la actividad 6, realice
el siguiente análisis: si en 43 partes de hora Jacinta recorrió 25 partes de la
distancia total, ¿cuánto habrá recorrido en 41 de hora? Indique que un cuarto
del tiempo es la tercera parte de lo que tardo en recorrer los 25 . Entonces 25
debe dividirse entre 3, para calcular la tercera parte.
2
b) En 4 de hora Jacinta recorrió 5 partes de la distancia total de su casa a la de
sus abuelos.
1
• ¿Qué fracción del trayecto recorrió en 4 de hora?
• ¿Cómo pueden calcular la fracción del trayecto que recorrió en una hora?
Solucionario
• Jacinta calculó la fracción del trayecto que recorrió en una hora con la siguiente cadena de operaciones. Expliquen cuál fue el razonamiento de Jacinta y resuelvan la división.
2
3
2
2
1
÷ 4 = ( 5 ÷ 3) × 4 = ( 5 × 3 ) × 4 =
5
2 , recorrió 2 partes del trayecto en 1 de hora.
b) • 25 ÷ 3 = 15
15
4
2 partes del trayecto, entonces
• Dado que en 41 de hora recorrió 15
2 = 8 .
en una hora recorrió cuatro veces el trayecto 4 × 15
15
• Jacinta dividió entre 3 para calcular lo que se recorre en 41 de hora
y al multiplicar por 4 se calculó el trayecto de la hora completa.
7. a)
×5
Analicen sus respuestas y compárenlas con el grupo. Calculen las divisiones del
inciso a) con el razonamiento de Jacinta y verifiquen que obtienen los mismos resultados. Discutan de qué otra forma pueden resolver una división de dos fracciones.
Original
7. Analicen en equipos la información y resuelvan.
Para revertir o deshacer la transformación que se realiza al aplicar a una cantidad
un factor de proporcionalidad directa se aplica otro llamado factor inverso.
a) Completen los esquemas con los factores para realizar las transformaciones
que indican las flechas.
×
1
5
×
b)
c)
×
3
fraccionario que revierte dicha transformación?
c) Completen el esquema con las medidas del cuadrado y los factores de cada transformación.
d) Mariana afirma que como la multiplicación y la división son ope5
raciones inversas, entonces multiplicar por 3 para obtener las
3
medidas originales es equivalente a dividir entre 5 las medidas
transformadas. ¿Están de acuerdo? ¿Por qué?
5
3
×
5
3
Original
Transformación a
3
Original
Transformación a 5
×
3
5
3
5
×
7
10
m
Comparen los procedimientos de las actividades 6 y 7 y establezcan un procedimiento para calcular la división de una fracción entre otra.
27
Aumento al triple
×3
×
b) Si el factor 5 puede verse como la aplicación sucesiva de los
3
1
dos factores en los esquemas ( 5 = 5 × 3), ¿cuál sería el factor
1
3
Original
Aumento
al triple
Original
×
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×
×
Reducción a la
quinta parte
Original
Reducción a la quinta parte
7
10
m
21 m
50
d) Sí, en las actividades anteriores se obtuvo la misma conclusión.
Bloque 1 - Secuencia 2
29
S2
Sugerencias didácticas
Plantee diferentes ejercicios para analizar la forma en que los estudiantes
resuelven operaciones con fracciones. Es probable que algunos propongan
soluciones variadas; si es así, pida que las escriban en el pizarrón. Haga notar
que, con la variedad de soluciones, se demuestra la lógica de la matemática
y la diversidad de análisis. Por ejemplo, para el problema del inciso d) de la
actividad 8:
• Análisis 1. Al girar 85 de vuelta en una hora y cuarto, es decir 45 de hora,
significa que en un cuarto de hora giró 81 , así en 44 habrá girado 48 = 21
giro.
• Análisis 2. Se divide el total del giro entre el total del tiempo:
5 ÷ 5 = 5 × 4 = 1.
8
4
8
5
2
Integración
÷
c
d
=
a
b
×
2
Prenda
3
2
4
2
5
× 3 = ( 5 × 4) × 3 = ( 5 × 4) ÷ 3
4
2
4
1
2
3
Es decir, 5 ÷ 4 = 5 × 3 , donde 3 es el inverso multiplicativo de 4 .
Recuerda
7y
1
son números
7
1
=1
7
5
6
y
son inversos
6
5
5
6
porque × = 1
6
5
Integración
• Con base en la información anterior, escribe el procedimiento general
para dividir dos fracciones cualesquiera al reescribir la división como una
multiplicación.
a
c
÷d =
×
b
inversos porque 7 ×
d
c
8. a) 4 recipientes
• Multiplicando
b)
3
y
3
20
por 4 o dividiendo
3
5
entre 4.
8. Resuelvan en equipos los siguientes problemas.
3
a) Se repartieron entre varios recipientes 5 L de acetona. Si en cada recipiente se
3
pusieron 20 L, ¿cuántos recipientes había?
• ¿Cómo verificarían su resultado?
Tela
Largo de los Prendas que puede
disponible (m) lienzos (m)
hacer (piezas)
Falda
1 41
1
4
5
Camisa
7 21
3
4
10
Pantalón
5 31
1 31
b) Para confeccionar diversas prendas Estela utiliza lienzos de distintos tamaños.
Completen la tabla.
Tela disponible
(m)
Prenda
Falda
1
1
4
1
4
Camisa
7
1
2
3
4
Pantalón
5
1
3
4
c) Mide 87 m
d) En una hora el engrane da media vuelta y tarda dos horas en dar la
vuelta completa.
e) Se cultivará en 4 parcelas.
Largo de los lienzos
(m)
1
Prendas que puede hacer
(piezas)
1
3
c) ¿Cuánto mide de largo el rectángulo de la izquierda?
5
d) El engrane de una máquina da 8 de vuelta en una hora y cuarto. ¿Qué fracción
de vuelta da en una hora? ¿Cuánto tiempo tardará en dar una vuelta completa?
2
3
m
7
12
m2
6
e) Las 8 partes de un terreno se dividirán en parcelas del mismo tamaño para
3
plantar árboles frutales. Si cada parcela corresponde a 16 partes del terreno,
¿en cuántas parcelas se cultivará?
En grupo, expliquen cómo interpretaron y resolvieron cada problema.
30 Bloque 1 - Secuencia 2
28
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a
b
( 25 ÷ 3) × 4 = ( 25 × 31 ) × 4 =
Dos números son
inversos multiplicativos
si su producto es 1. Por
ejemplo:
Solucionario
•
2
Para dividir una fracción entre otra, por ejemplo 5 entre 4 , se puede primero
dividir entre 3 y luego multiplicar por 4; o primero multiplicar por 4 y luego dividir
entre 3. Dividir una fracción entre un número natural n es lo mismo que multi1
plicar dicha fracción por n ; por ello, las siguientes expresiones son equivalentes:
División con fracciones
Arribamos
1. Considera la cantidad de queso planteada al inicio de la secuencia.
1
5
Si cada pieza completa de queso pesa 4 2 kg, ¿cuántas raciones de 8 kg se
pueden obtener de cada tipo de queso?
Arribamos
Pida a sus alumnos que respondan en el pizarrón las respuestas a ¿En qué
tipo de problemas se usa la división de fracciones? ¿Cómo se resuelve la
división de fracciones? ¿Cómo se relacionan la división y la multiplicación de
fracciones? Aclare las dudas que surjan y continúe.
Solicite que escriban diferentes formas de resolver la actividad y verifique
las respuestas en grupo.
Invite a los alumnos a evaluar su aprendizaje resolviendo los ejercicios
interactivos de la sección “Explora”.
2. Resuelve las siguientes adivinanzas numéricas.
2
a) ¿Qué número dividido por 11 da 22?
5
3
b) ¿Qué número multiplicado por 6 da 4 ?
3
9
c) ¿2 4 entre qué número da 8 ?
13
d) ¿Qué número dividido por 5 da 2 ?
3. Resuelve los siguientes problemas.
3
a) ¿Cuántas personas hay en una fiesta si 36 mujeres son las 5 partes del total?
3
b) Elías preparó 6 4 L de jugo de naranja y lo vendió todo, ¿cuántos vasos de
3
L vendió? ¿Cuánto dinero obtuvo?
8
Solucionario
1. Queso canasto: (4
Explora
Entra en la página www.
edutics.mx/36x y resuelve
los problemas de división
de fracciones.
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c) Alondra y Guadalupe visitaron a sus abuelos recorriendo la misma distancia
2
pero a distinta velocidad. Alondra avanzó 90 km del camino en 3 de hora,
2
mientras que Guadalupe, en el mismo tiempo, recorrió 5 partes de ese
mismo camino. Si Alondra llegó a casa de sus abuelos en una hora, ¿cuál
es la distancia total del camino?
• Como la velocidad de un móvil es la distancia recorrida entre el tiempo
empleado, ¿cuál es la velocidad de Guadalupe en kilómetros por hora?
4. Explica por qué si una división de fracciones está escrita de forma vertical, como la que se encuentra al lado derecho, el resultado es una fracción cuyo numerador es el producto de los
extremos y cuyo denominador es el producto de medios.
2
5
6
7
5. Resuelve las divisiones. Escribe el procedimiento.
4
2
4
5
÷3 =
15÷6 =
7
7
8
3
7
9
4
1
÷1 4 =
=
3
1
2 8 ÷3 2 =
1
8
2
11
=
Sugerencias didácticas
1
2
× 86 ) ÷ 85 =
Queso doble crema: (4
2. a) 4
9
b) 10
c)
22
9
d)
65
2
1
2
27
5
=
52
5
× 85 ) ÷ 85 = 4
1
2
3. a) Había 60 personas en la fiesta.
b) Vendió 18 vasos de 83 L y obtuvo $270.
c) 90 ÷ 23 = 135 km
• v = dt = 25 ÷ 23 × 135 = 81 km/h
4. R. M. Al escribirse la división en forma horizontal 25 ÷ 67 = 25 × 67 ,
se multiplica 2 por 7 y 5 por 6 que son los extremos y los medios de
la división original.
5.
4 ÷ 2 = 12 = 6
7
3
14
7
1 45 ÷ 65 = 95 ÷ 65 = 54
25
7 ÷ 1 1 = 28 = 7
8
4
40
10
19
2 83 ÷ 3 21 = 38
= 28
56
3
7
4
= 3 × 47 × 9 = 21
9
4
1
8
11
= 1 × 11
× 2 = 16
8
2
11
Verifica tus respuestas con el resto del grupo. Recuerda que es importante entender a qué se refiere cada problema antes de realizar cualquier operación o cálculo.
29
Bloque 1 - Secuencia 2
31
S3
Multiplicación de números
positivos y negativos
Partimos
Sugerencias didácticas
Lea en grupo la introducción a la secuencia y si tienen dudas haga un breve
recordatorio de suma y resta de números con signo. Al terminar analicen la
actividad 1 y pregunte ¿Qué operación está involucrada en el cálculo del
recorrido de Camila? Enseguida pida que escriban la operación y solución.
Cuando analicen el recorrido de Romina, resalte el hecho de que hay un
signo involucrado para que los estudiantes lo consideren en la solución. Si
observa que se complica el cálculo para encontrar las respuestas analice la
posición de las jóvenes después de dos horas.
S3
Resuelve problemas
de multiplicación con
números enteros,
fracciones y decimales
positivos y negativos.
Partimos
Multiplicación de números positivos
y negativos
En primer grado de secundaria comenzaste el estudio de las operaciones que involucran números positivos y negativos. Aprendiste a sumar y restar números positivos y
negativos y a resolver diversos problemas con ellos. Ahora, en esta secuencia, aprenderás a multiplicarlos y sabrás qué procedimiento emplear si los factores tienen un
signo negativo y otro positivo o si ambos son negativos.
1. Lee la situación y contesta.
Romina y Camila, como se muestra en la siguiente figura, parten de un
mismo punto. Camila viaja hacia la derecha a 25 km/h y Romina hacia la
izquierda a 20 km/h.
Solucionario
1. a) Camila a 150 km del punto de partida y Romina a –120 km del punto
de partida.
−
+
0
Números positivos para Camila y números negativos para Romina.
a) Considera que todas las magnitudes que están a la derecha del punto de
referencia son positivas y todas las que estén a la izquierda son negativas.
¿En qué posición respecto del punto de partida se encuentran Camila y
Romina después de 6 horas?
Recorremos
Multiplicación de un número positivo y un número negativo
Pida a los estudiantes que lean la sección “Recuerda” y plantee algunos ejemplos que se relacionen con una suma iterada, por ejemplo: si una paleta cuesta $8, escribe la suma que te permite encontrar el costo de 5 paletas. Después
pida que hagan el cálculo con una multiplicación.
Recorremos
Solucionario
1. a) 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 7(2) = 14
• (– 3) + (– 3) + (– 3) + (– 3)
Multiplicación de un número positivo
y un número negativo
1. Analiza las siguientes operaciones.
a) Escribe la suma iterada y la multiplicación equivalente que se representa en la
recta numérica.
Recuerda
Una suma iterada o
repetida es aquella en la
que un mismo sumando
se repite varias veces.
32 Bloque 1 - Secuencia 3
–16
–14
–12
–10
–8
–6
–4
–2
0
2
4
6
8
10
12
14
• De manera semejante a la anterior escribe la suma de la recta numérica de
la siguiente página.
30
© Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.
Compara con tus compañeros cómo resolvieron el problema y si llegaron a las
mismas respuestas. ¿Qué números emplearon para representar la ubicación
de cada ciclista?
Sugerencias didácticas
Sugerencias didácticas
–15
–12
–9
–6
–3
0
3
6
9
12
15
• Reescribe la suma con una multiplicación.
• A partir de lo anterior completa el diagrama.
4×( )
=
+
+
Se suma
+
veces
el número
.
=
Antes de continuar con las actividades, indique a los estudiantes que lean
la sección “Notación” y que escriban un problema que involucre números
negativos, revise que usen paréntesis para resolverlo y comenten las ventajas
de su uso. Lean la sección “Glosario”, explique cómo se forma el conjunto
de números enteros.
Al terminar los problemas de esta página, explique algunas relaciones
que hay en metemáticas; por ejemplo, la relación entre la suma iterada y la
multiplicación, comente que por ésta razón hay diferentes formas de resolver
un problema.
Solucionario
• 4 × (– 3)
b) Considera la suma (– 4 ) + (– 4 ) + (– 4 ).
• Represéntala en la siguiente recta numérica.
3
3
3
4 × (– 3)
=
Se suma 4 veces
–3+–3+–3+–3
el número – 3.
Notación
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
• ¿Cuál es el número al que llegaste?
• ¿Cuál es el resultado de la suma?
• Escribe la suma anterior como una multiplicación y su resultado.
Al realizar las operaciones
el número y su signo
se deben escribir
entre paréntesis para
no confundir con los
operadores de suma
y resta.
=
– 12
b)
–4
–3
• –
c) Representa la multiplicación 3 × (– 1.5) en la recta numérica que está a
continuación.
• –
9
4
9
4
–2
–1
0
1
2
3
4
= – 2.25
• 3 (– 43 ) = –
9
4
c)
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
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• ¿Cuál es el resultado?
Compara tus respuestas con las de tus compañeros. En equipo discutan y obtengan
conclusiones. ¿Cómo pueden multiplicar un número positivo por uno negativo?
¿Ocurre lo mismo si multiplican un número negativo por un decimal o fracción positiva? Utilicen la recta del inciso c) y multipliquen (2.5) × (– 1.5), ¿cómo lo hicieron?
2. Resuelvan en parejas.
a) Juan organizó la rifa de un videojuego, cada boleto cuesta $20. Vendió 50
boletos, pero siete personas no le han pagado.
• Escriban con una suma y una multiplicación la cantidad de dinero que le
deben. Utiliza números positivos y negativos.
• Indiquen la cantidad de dinero que le deben con un número entero negativo.
31
Recuerda
El 0 no es un número
positivo ni negativo, es un
número neutro. Además,
al multiplicar cualquier
número por 0 se obtiene 0.
Glosario
números enteros. Son
aquellos que comprenden
el cero, los naturales 1, 2, 3,
4,… y sus negativos – 1, – 2,
– 3, – 4,…
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
• – 4.5
R. M. Multiplicando los números y colocando el signo correspondiente.
Se hace el mismo procedimiento si uno de los números es una fracción o
un número decimal.
2. a) • (– 20) + (– 20) + (– 20) + (– 20) + (– 20) + (– 20) + (– 20) =
7 × (– 20)
• – 140 pesos
Recursos adicionales
En la siguiente página puede consultar videos relacionados con el tema:
• “Números negativos”, disponible en www.edutics.mx/wQb (consulta:
14 de agosto de 2018).
Bloque 1 - Secuencia 3
33
S3
Sugerencias didácticas
Sugiera a los alumnos que, antes de resolver las actividades del inciso b), lean
nuevamente la sección “Recuerda” de la página anterior. Revise las respuestas
y pida que comprueben sus resultados por medio de una suma iterada.
De igual manera, si al terminar de completar la tabla de la actividad 3
nota que todavía se cometen errores, sugiera que utilicen la suma iterada
para comprobar sus resultados.
Solucionario
0 × (– 7) =
8 × (– 0.5) =
10 × (– 1.8) =
2 × (– 4 ) =
2.5 × (– 1.3) =
3 × (– 7 ) =
( 51 ) × (– 43 ) =
3
2
Reúnanse con otros equipos y corroboren sus respuestas. ¿Representaron las multiplicaciones en rectas numéricas? ¿Cómo las resolvieron? Analicen en caso de tener
diferencias y corrijan si es necesario.
0 × (– 7) = 0
10 × (– 1.8) = – 18
3 × (– 27 ) = – 67
3
( 51 ) × (– 43 ) = – 20
3.
6 × (– 1) =
3. Completa la siguiente tabla con los resultados de las multiplicaciones y responde.
9×4
a)
b)
c)
d)
e)
36
4×9
9×4
36
4×9
36
9×3
3×9
9×3
27
3×9
27
9×2
2×9
9×2
18
2×9
18
9×1
1×9
9×1
9
1×9
9
9×0
0
0×9
0
9 × (– 1)
–9
(– 1) × 9
–9
9 × (– 2)
– 18
(– 2) × 9
– 18
9 × (– 3)
– 27
(– 3) × 9
– 27
9 × (– 4)
– 36
(– 4) × 9
– 36
El número 9
De 9 en 9
Sumar – 9 o restar 9
El orden de los números que se multiplican se intercambia.
No hay diferencia, son iguales.
Las conclusiones anteriores aplican para todos los números, no importa
si son fracciones o decimales, (– 21 ) × 8 = – 4.
9×0
27
0×9
9 × (– 1)
–9
(– 1) × 9
9 × (– 2)
(– 2) × 9
9 × (– 3)
(– 3) × 9
9 × (– 4)
(– 4) × 9
a) ¿Qué número hay que restar para pasar del resultado de 9 × 3 al resultado de
9 × 2?
b) ¿De cuánto en cuánto disminuyen los valores de la segunda y cuarta columna?
c) ¿Qué tienes que hacer para pasar del resultado de (– 1) × 9 al resultado de
(– 2) × 9?
d) ¿Cuál es la diferencia entre las expresiones de la primera columna y las de la
tercera?
e) ¿Cuál es la diferencia entre los números de la segunda columna con respecto
a los de la cuarta?
Compara tus respuestas con otro compañero. Analicen: ¿ocurre lo mismo con los
signos si los números que se multiplican son fracciones o decimales? Multipliquen
(– 21 ) × (8).
La multiplicación de números enteros cumple la propiedad conmutativa: el orden
de los factores no altera el producto.
34 Bloque 1 - Secuencia 3
32
© Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.
b) 6 × (– 1) = – 6
8 × (– 0.5) = – 4
2 × (– 43 ) = – 23
2.5 × (– 1.3) = – 3.25
b) Realicen las siguientes multiplicaciones.
Multiplicación de números positivos y negativos
Sugerencias didácticas
Integración
Aprendemos
• Completen en parejas el siguiente esquema.
Producto de dos números con distinto signo
Propiedad
Comenta después de
completar el esquema:
¿cómo te ayudan
los esquemas en tu
aprendizaje?
Analice en grupo el esquema de la actividad “Integración”, al terminar, solicite
que escriban en una ficha de trabajo la regla para multiplicar números con
signos diferentes.
Antes de resolver el inciso b) de la actividad 4, pida que lean la sección
“Glosario”; de ser necesario muestre algunos ejemplos, pues ya que las respuestas son abiertas, pueden ser variadas. Escriba en el pizarrón algunas de
ellas y analícenlas en grupo.
Aprendemos
Positivo por
Ejemplo:
Negativo por
=
Comente que para hacer un esquema, primero es necesario hacer un resumen y establecer la relación entre conceptos. El esquema muestra esta
información de una forma más fácil de interpretar.
Ejemplo:
Procedimiento
Solucionario
Integración
Resultado
Producto de dos números con distinto signo
Propiedad conmutativa
• Analicen en grupo el texto y compárenlo con el procedimiento que escribieron
en el esquema.
Positivo por negativo
Ejemplo: 4 × (– 9)
Para resolver un producto que involucra un número positivo por un número
negativo se multiplican los valores absolutos y se antepone al resultado el
signo menos.
Negativo por positivo
Ejemplo: – 9 × 4
=
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Procedimiento Se multiplican los números y al
resultado se le antepone el signo menos.
4. Analicen y contesten en equipos.
a) Juan debe pagar el precio de un viaje en 16 mensualidades de $358 cada una.
Indiquen, con un número negativo, la cantidad de dinero que debe.
b) Escriban como producto de dos factores los siguientes números.
– 11 =
– 36 =
– 120 =
– 2.4 =
12
– 92 =
– 30 =
c) ¿Cuál de los números anteriores tiene sólo dos maneras de ser expresado como
producto de dos factores? Expliquen su respuesta.
Resultado – 36
Glosario
factor. Número o
expresión que puede
multiplicarse para formar
un producto.
12 = 3 × 2 × 2
producto factores
4. a) 16 × (– 358) = – 5 728 pesos
b) – 11 = (– 1) × (11)
– 36 = (– 6) × (6)
– 120 = (3) × (– 40)
– 2.4 = (– 2) × (1.2)
12 = ( 4 ) × (– 3 )
– 92 = (– 2) × (46)
– 30
15
2
c) – 11, sólo puede escribirse como – 1 × 11 y – 11 × 1.
Comparen sus respuestas con las de otro equipo. Discutan por qué en cada una de
las multiplicaciones anteriores es necesario que uno de los factores sea negativo.
33
Bloque 1 - Secuencia 3
35
Sugerencias didácticas
Lean en grupo las reglas del juego de la actividad 5 y, de ser posible, salgan
al patio para ponerlo en práctica. Una vez concluido, pregunte ¿Qué combinación de posiciones y movimientos involucra dos signos positivos, un signo
negativo y otro positivo y dos signos negativos? Se espera que después de
jugarlo los alumnos deduzcan:
• Dos signos positivos: mirar hacia el norte y avanzar hacia adelante.
• Un signo positivo y un signo negativo: mirar hacia el norte y caminar
hacia atrás, mirar hacia el sur y caminar hacia adelante.
• Dos signos negativos: mirar hacia el sur y caminar hacia atrás.
Otra manera de utilizar las reglas anteriores es planteando acertijos relacionados con posiciones a las que quieren que lleguen sus compañeros.
Por ejemplo, puede preguntar ¿A dónde llegas si miras hacia el sur y avanzas
8 pasos hacia atrás?
Al terminar el inciso d) pregunte ¿Qué nueva regla de multiplicación de
signos acabas de construir a partir del juego?
S3
Multiplicación de dos números negativos
5. Lean en parejas la situación y contesten. Si es posible, trabajen la actividad en el
patio de su escuela.
Luis y Carolina pintaron con gis una recta numérica para jugar, como se muestra
en la siguiente figura.
Sur
Norte
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
Las reglas del juego son las siguientes:
Multiplicación de dos números negativos
Solucionario
5. a) – 5
b) – 3
c) Mira hacia el norte y camina 7 pasos hacia adelante. Mira hacia el sur
y camina siete pasos hacia atrás.
d) Inciso a): 5 × (– 1) = – 5
Inciso b): (– 3) × 1 = – 3
Inciso c): 7 × 1 = (– 7) × (– 1) = 7
• Si están mirando hacia el norte, consideren una dirección positiva y una
dirección negativa si están mirando hacia el sur.
• Caminar hacia adelante representa un signo positivo, pero caminar hacia
atrás tiene un signo negativo.
• Cada uno en su turno se coloca en el cero y, siguiendo las reglas, recibe las
instrucciones de su compañero.
a) Luis mira hacia el norte y camina hacia atrás 5 pasos, ¿a qué punto llegó?
c) Escriban de dos formas distintas la manera en que Luis puede llegar al 7, a partir
del cero, dando únicamente 7 pasos.
d) Representen los movimientos de Luis y Carolina dados en los incisos anteriores
utilizando una multiplicación de enteros. Expresen con 1 un paso hacia adelante
y con – 1 un paso hacia atrás.
Inciso a):
Inciso b):
Inciso c):
Comparen sus resultados y sus procedimientos con los de otra pareja. ¿Cómo son
los signos de los factores que representan caminar hacia atrás y mirar al sur? A partir
de varios ejemplos observen cuál es el signo del resultado.
36 Bloque 1 - Secuencia 3
34
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b) Carolina mira hacia el sur y camina hacia adelante 3 pasos, ¿a qué punto llego?
Multiplicación de números positivos y negativos
Sugerencias didácticas
6. Reúnanse en equipos para completar las tablas y contesten.
(– 5)(3)
Notación
(– 7)(3)
– 10
– 14
(– 5)(1)
(– 7)(1)
0
0
(– 5)(– 1)
(– 7)(– 1)
(– 5)(– 2)
(– 7)(– 2)
Hay expresiones
equivalentes de una
multiplicación. Por
ejemplo:
11 × (– 2) = (11)(– 2)
2 × (x) = (2)(x) = 2x
Lea con sus alumnos la sección “Notación” y establezcan la escritura que
usarán para resolver las actividades que involucren multiplicación.
Antes de completar las tablas, sugiera a los estudiantes que analicen el
patrón de la secuencia y apliquen la ley de signos.
Solucionario
6.
(– 5)(3)
– 15
(– 7)(3)
– 21
15
21
(– 5)(2)
– 10
(– 7)(2)
– 14
20
28
(– 5)(1)
35
–5
(– 7)(1)
25
–7
(– 5)(0)
0
(– 7)(0)
0
(– 5)(– 1)
5
(– 7)(– 1)
7
(– 5)(– 2)
10
(– 7)(– 2)
14
(– 5)(– 3)
15
(– 7)(– 3)
21
¿Y del resultado de (– 7)(– 4) al resultado
(– 5)(– 4)
20
(– 7)(– 4)
28
de (– 7)(– 5)?
c) ¿De cuánto en cuánto aumentan o disminuyen los números de la segunda fila
(– 5)(– 5)
25
(– 7)(– 5)
35
a) ¿Qué número hay que sumar o restar para pasar del resultado de (– 5)(3) al
resultado de (– 5)(2)?
¿Y del resultado de (– 5)(– 2) al re-
sultado de (– 5)(– 3)?
b) ¿Qué número hay que sumar o restar para pasar del resultado de (– 7)(1) al resultado de (– 7)(0)?
de cada una de las tablas?
d) A partir de los números de las tablas, ¿cuál es el signo del resultado al multiplicar
dos números negativos?
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Expliquen sus razonamientos a otros equipos y analicen otras sucesiones de multiplicaciones; observen las regularidades en los signos.
7. Continúen en equipos y realicen las siguientes multiplicaciones en la calculadora.
Asegúrense de que la calculadora tenga las teclas +/– o (–) para escribir los signos
negativos.
-2.2
3
=
5
1.6
4.5
=
-3.5
=
3
-_
4
-17
-11
1
-_
2
=
-2.5 =
1
-_
2
a) En ambos casos sumar 5.
b) En ambos casos sumar 7.
c) Aumenta de 5 en 5 para la primera tabla y de 7 en 7 para la segunda
tabla.
d) El signo es positivo.
7. a) Dos signos positivos o dos signos negativos.
b) Un signo negativo y uno positivo.
Recursos adicionales
En la siguiente página puede consultar las propiedades de multiplicación de
números enteros:
• “Multiplicación de números enteros”, disponible en www.edutics.mx/
wQE (consulta: 14 de agosto de 2018).
=
a) ¿Qué signos tienen los números que al multiplicarse su resultado es positivo?
b) ¿Qué signos tienen los números que al multiplicarse su resultado es negativo?
Establezcan con otros compañeros cómo multiplicar dos números negativos.
35
Bloque 1 - Secuencia 3
37
S3
Sugerencias didácticas
Proyecte a sus estudiantes el video sugerido en la sección “Explora” y analícenlo de forma grupal. Después completen el esquema de la actividad
“Integración” y pida a los alumnos que completen la ley de los signos que
complementen en la ficha de trabajo.
Para resolver la actividad 8, recuerde a sus estudiantes que las operaciones inicialmente se trabajan de manera binaria; es decir, entre parejas de
números, de los cuales se obtiene un resultado y se vuelve hacer binaria la
operación. Dado que ya trabajan con paréntesis, pida que las agrupen con
ellos. Para concluir haga el siguiente planteamiento Si una multiplicación
se conforma por 100 factores, todos de signo negativo ¿qué signo tendrá el
resultado? Si son 101 factores todos de signo negativo ¿qué signo tendrá el
resultado? Después analicen el inciso d).
Solucionario
(– 3.5)(– 10)(– 10) = – 350
9. a) Positivo
b) Negativo
c) Cero
d) Negativo, – 440
Positivo, 117 649
Negativo, – 23.38875
Neutro, 0
e) • Por – 1
• Por – 35
= – 8.75
4
• Por – 4
38 Bloque 1 - Secuencia 3
• De forma grupal completen el esquema con las reglas
de los signos para la multiplicación de números enteros.
• Exprésenlas en forma verbal.
×
+
–
+
–
(– 57 ) (– 25 ) =
1
(– 1)(– 2)(– 2 )(– 3.5) =
(– 3.5)(– 10)(– 10) =
×
+
–
+
+
–
–
9. Analicen y contesten en equipos.
a) Si en una multiplicación la cantidad de factores negativos es un número par,
¿qué signo tendrá el resultado?
b) Si en una multiplicación la cantidad de factores negativos es un número impar,
¿qué signo tendrá el resultado?
c) Si en una multiplicación uno de los factores es 0, ¿cuál será el resultado?
+
d) Sin efectuar las multiplicaciones, anticipen el signo del resultado. Después
corroboren sus respuestas.
(– 23 )(– 4) =
8
3
5
2
10 = 2
(– 7 )(– 5 ) = 35
7
(– 1)(– 2)(– 21 )(– 3.5) =
(– 2)(5)(– 11)(– 4) =
(– 7)(– 7)(– 7)(– 7)(– 7)(– 7) =
3.5
(– 3.5)(1.1)(– 8.1)(– 0.75) =
(– 2)(3.75)(– 4)(0)(– 2 105)( 2 ) =
1
e) Se dice que dos números son simétricos si en la recta numérica se encuentran
a la misma distancia a partir del origen pero en sentidos opuestos.
• ¿Por qué número debe multiplicarse 5 para obtener su simétrico?
• ¿Por qué número debe multiplicarse 16 para obtener el simétrico de 140?
• ¿Por qué número debe multiplicarse – 9 para obtener el simétrico de – 36?
Comparen sus respuestas con el grupo. Discutan y establezcan conclusiones acerca
de las propiedades del producto de números con signo.
36
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(– 4.2)(– 1.1) = 4.62
Integración
(– 4.2)(–1.1) =
–
8. (– 1.7)(– 11) = 187
Explora
En la página www.
edutics.mx/JKu podrás
observar un video con una
explicación de por qué
menos por menos da más.
8. Efectúa las siguientes multiplicaciones.
(– 17)(– 11) =
(– 23 )(– 4) =
Integración
• Más por más da más.
Más por menos da menos.
Menos por más da menos.
Menos por menos da más.
En un producto que involucra dos números con el mismo signo (ambos positivos
o ambos negativos) el resultado es de signo positivo.
Multiplicación de números positivos y negativos
Arribamos
1. Considera nuevamente el problema planteado al inicio de la secuencia.
a) Expresa por medio de una multiplicación la distancia, desde el punto
de referencia, a la que estará Romina dentro de nueve horas.
b) Expresa por medio de una multiplicación la distancia, desde el punto de
referencia, a la que estaba Romina hace 10 horas.
Arribamos
Revise de manera grupal las respuestas a los acertijos de la actividad 2; si lo
considera necesario, resuelva , con sus estudiantes, más ejercicios de éste
tipo para que ellos, además de multiplicar números con signo, interpreten
el problema y lo analicen.
Al terminar la actividad se recomienda que hagan ejercicios adicionales que involucren sumas, restas y multiplicaciones con números enteros.
Lo anterior es con la finalidad de poner en práctica el uso de las reglas de
signos para las operaciones ya mencionadas, así como la jerarquía de las
operaciones.
Ponga a prueba las habilidades de sus estudiantes con los ejercicios de
la página recomendada en la sección “Explora”. Y si le es posible revise los
resultados que obtuvieron.
Por último, escriba operaciones y solicite a los estudiantes que coloquen
los signos para obtener los resultados señalados. Por ejemplo: coloca los
signos requeridos para que la operación (5) + (3)(2) dé como resultado – 1,
1 u 11.
2. Resuelve los siguientes acertijos.
Encuentra dos números que
multiplicados den – 77.
Encuentra dos números que
multiplicados den – 132 y sumados den 16.
Encuentra el número por el que
hay que multiplicar al 1 276 para
obtener – 1 276.
Encuentra dos números que
multiplicados den – 49 y sumados den – 48.
3. Efectúa las siguientes multiplicaciones.
(– 5)(2)(– 34) =
(– 10)(– 7)(– 4)(– 2)(– 1) =
(1.5)(– 0.1)(2.3) =
(– 1 – 45 )( 35 )(– 5) =
Solucionario
4. Para fomentar la puntualidad del personal de una fábrica se implementaron
los incentivos que se muestran en el siguiente cartel.
Puntualidad: + $50.00
Retraso menor o igual a 15 minutos: – $35.00
Retraso mayor a 15 minutos: – $60.00
© Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.
Sugerencias didácticas
a) Calcula, utilizando números positivos y negativos, el beneficio o pérdida
de cada trabajador registrado en la tabla.
Alberto
Beatriz
Carlos
Diana
Días que llegó puntual
14
16
10
12
Días con retraso menor
o igual a 15 minutos
3
0
3
1
Días con retraso mayor
a 15 minutos
3
4
7
7
Explora
Resuelve en www.edutics.
mx/36u algunos ejercicios
de multiplicación de
enteros.
1. a) – 180 = 9 × (– 20)
b) 200 = (– 10) × (– 20)
2. Encuentra dos números que multiplicados den – 77: 11(– 7) y – 7 (11).
Encuentra dos números que multiplicados den – 132 y sumados den 16:
22(– 6) = – 132 y 22 + (– 6) = 16.
Encuentra el número por el que hay que multiplicar al 1 276 para obtener
– 1 276: Se debe multiplicar por – 1.
Encuentra dos números que multiplicados den – 49 y sumados den – 48:
1 (– 49) = – 49 y 1 + (– 49) = – 48.
3. (– 5)(2)(– 34) = 340
(– 10)(– 7)(– 4)(– 2)(– 1) = – 560
(– 1 – 45 )( 35 )(– 5) = 27
(1.5)(–
0.1)(2.3) = – 0.345
5
4. a) Alberto: 14(50) + 3(– 35) + 3(– 60) = $415
Beatriz: 16(50) + 0(– 35) + 4(– 60) = $560
Carlos: 10(50) + 3(– 35) + 7(– 60) = $ – 25
Diana: 12(50) + 1(– 35) + 7(– 60) = $ 145
Compara tus respuestas con algún compañero. En caso de que sean distintas
discutan si es posible tener más de una respuesta correcta.
37
Bloque 1 - Secuencia 3
39
S4
División de números positivos
y negativos
Partimos
Sugerencias didácticas
Lea con sus alumnos el párrafo introductorio y pregunte ¿Cuál es la relación
que existe entre la multiplicación y la división? ¿Cómo pueden obtener una
multiplicación a partir de una división? Para aclarar dudas escriba una división
en el pizarrón y resuélvala, haga notar que al buscar la solución se utiliza
la multiplicación. Utilice la galera y acomode los números para una mejor
comprensión de la relación entre estas operaciones.
Permita que los alumnos intenten resolver la actividad 1 por su cuenta
y comente que es importante leer la sección “Glosario” para comprender
el planteamiento del problema. Si lo considera conveniente, explique que
a ÷ b = c implica que b × c = a, entonces, para resolver – 31.5 ÷ 6 = ¿?
se debe encontrar un número que al multiplicarlo por 6 se obtenga – 31.5.
Resalte que es importante definir el signo del número desconocido, pues un
factor es positivo y el resultado es negativo.
S4
Resuelve problemas de
división con números
enteros, fracciones y
decimales positivos
y negativos.
Partimos
Glosario
División de números positivos y negativos
La multiplicación y la división son operaciones que tienen una relación directa, dado
que se puede obtener una a partir de la otra. En esta secuencia estudiarás la división
de números positivos y negativos utilizando las propiedades de la multiplicación que
trabajaste en la secuencia anterior; con ello completarás tu repertorio de operaciones
básicas con todos los números que conoces hasta ahora.
1. Analiza la situación y responde.
Un barco hundido se encuentra en el fondo del mar a 31.5 m de profundidad.
Para conocer el pecio, uno de los buzos del equipo de investigación realizó tres
descensos; por razones de seguridad, cada uno en distintas etapas como se
muestra en la figura, donde cada división del segmento representa una etapa.
pecio. Restos o fragmentos
de un artefacto o nave que
ha naufragado.
1.er descenso
2.o descenso
3.er descenso
Solucionario
a) ¿En cuántas etapas hizo cada descenso?
b) Utiliza números negativos para denotar los metros bajo el nivel del mar a
los que se encuentra el barco.
c) Calcula cuántos metros bajó el buzo por etapa en cada descenso.
Compara tus resultados con los de algún compañero y expliquen la interpretación que le dieron al problema.
40 Bloque 1 - Secuencia 4
38
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1. a) Descenso 1: en 6 etapas
Descenso 2: en 4 etapas
Descenso 3: en 3 etapas
b) – 31.5 m
c) Descenso 1: – 5.25 m por etapa
Descenso 2: – 7.875 m por etapa
Descenso 3:– 10.5 m por etapa
Recorremos
El cociente de números enteros
Recorremos
Sugerencias didácticas
Pida a los estudiantes que pasen al pizarrón a escribir las divisiones con la
galera para resolver la actividad 1. Recuérdeles que dividir consiste en buscar
un número que multiplicado por el divisor dé como resultado el dividendo,
y que también deben identificar el signo correcto.
×
¿?
12 986
1. Lee cada situación y contesta lo que se te pide.
a) Luis encontró un número que multiplicado por 12 da – 96.
• ¿Qué número es?
• ¿Cómo determinaste el número que encontró Luis?
• ¿Cuál es el resultado de dividir – 96 entre el número desconocido?
=
b) ¿Qué número dividido entre – 7 da como resultado – 14?
El cociente de números enteros
• Explica cómo obtuviste dicho número.
Solucionario
c) ¿Qué número multiplicado por – 23 da – 805?
• ¿Cuál es el resultado de dividir – 805 entre – 23?
• ¿Cuál es el signo del número que encontraste?
• ¿Cómo lo determinaste?
Reúnete con un compañero y expliquen con qué operaciones es posible obtener
cualquiera de los elementos de la división a partir de dos conocidos; por ejemplo,
calcular el dividendo a partir del cociente y el divisor. También discutan cuántas
divisiones se pueden escribir a partir de una multiplicación.
2. A partir de las relaciones entre los elementos de la división, completen en parejas
la siguiente tabla en la que los números de la primera fila son los dividendos y los
de la primera columna los divisores.
Dividendo
2
– 12
30
– 42
Dividendo
120
15
–3
4
Divisor
Divisor
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÷
1. a) • – 8
• R. M. Haciendo una división, 96 ÷ 12 = 8, luego, se debe elegir
el signo correcto, como 12 es positivo y el resultado es negativo,
entonces el número debe ser negativo: – 8.
• 12
b) 98
• R. M. Multipliqué – 14 por – 7 y obtuve 98, el signo es positivo.
c) 35
• 35
• El signo es positivo.
• Al multiplicar el cociente por el divisor se obtiene el dividendo; el
cociente debe ser positivo para que al multiplicarlo por – 23 resulte
un número negativo.
2.
15
2
–5
– 24
a) Analicen los resultados de la tabla y completen.
• Si el producto de dos números negativos es positivo, entonces el cociente
de uno positivo entre otro negativo deber ser
.
• Si el producto de un número positivo y otro negativo es negativo, entonces
el cociente de uno negativo entre otro negativo deber ser
39
÷
– 12
30
– 42
120
2
–6
15
– 21
60
–3
4
– 10
14
– 40
4
–3
15
2
– 21
2
30
–5
12
5
–6
42
5
– 24
a) • Negativo
• Positivo
.
Bloque 1 - Secuencia 4
41
S4
Sugerencias didácticas
Revise las respuestas de la actividad “Integración” y pregunte ¿Cuál es la diferencia entre las leyes de signos de la multiplicación y la división? El objetivo
es que los alumnos noten que no hay diferencia y que las leyes son las mismas. Después de que lleguen a dicha conclusión, analicen el recuadro de la
sección “Formalización”.
Analicen la sección “Recuerda” y comente que los paréntesis también
indican multiplicación, por ejemplo, 5 × 3 = 5(3).
Comparen sus respuestas con otra pareja. Comprueben sus divisiones multiplicando el cociente por el divisor para obtener el dividendo. Repitan las divisiones de
la tabla anterior usando su calculadora y verifiquen que han obtenido los mismos
resultados. Asegúrense que la calculadora que utilicen tenga las teclas +/ – o ( – )
para escribir números negativos.
Integración
• A partir de las actividades anteriores coloca los signos + y – según corresponda, para resumir las leyes de los signos en la división.
Solucionario
Integración
•
÷
+
=
+
+
÷
–
=
–
–
÷
+
=
–
÷
–
=
+
–
–4
36
×9
2
18
En matemáticas los
paréntesis se utilizan para
separar operaciones o
agrupar términos. Por
ejemplo:
– 3 + (– 2) = – 3 – 2 = – 5
5 ÷ (– 3) =
÷ (– 5)
– 0.7
3.5
÷ (–
– 24
÷ (– 0.1)
1
3
)
7
72
÷
=
÷
=
Para resolver una división de números positivos y negativos, se dividen los valores
absolutos y al resultado se le aplica la regla de los signos como en el caso de la multiplicación. Así, al dividir dos números del mismo signo el resultado tiene signo positivo y el resultado es de signo negativo si se dividen dos números de signo distinto.
3. Escriban en equipos los números y los signos de multiplicación y división que
faltan.
3.5
÷ (– 9)
×9
36
÷ 24
720
5
–3
4 × (3 – 8) = 4 × (– 5)
= – 20
× (0.5)
÷ (0.1)
=
considerando que la regla de los signos para la multiplicación también sea
válida.
Recuerda
÷ (– 2)
÷
• Compara tu esquema con el de algún compañero. Si son distintos corrijan
3.
÷ (– 9)
=
30
2
÷ (– 5)
3.5
7
3.5
720
30
÷ (– 3 )
1
– 24
Verifiquen sus respuestas. Recuerden que una cantidad se puede expresar en fracción o decimal.
42 Bloque 1 - Secuencia 4
40
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+
÷
División de números positivos y negativos
Sugerencias didácticas
Indique a los estudiantes que, para resolver la actividad 4, primero calculen
cuántos grados desciende la temperatura en un minuto.
4. Resuelve los siguientes problemas.
a) Los termómetros siguientes
muestran cuántos grados bajó la
temperatura del refrigerador de
un laboratorio entre las 15:00 h
y las 16:00 h.
TEMP
HORA
15:00
TEMP
• Indica, utilizando números negativos, cuánto descendió la temperatura en una
hora y qué fracción de grado descendió cada minuto. Explica tu respuesta.
• Si la temperatura continúa descendiendo de forma constante, ¿a qué hora el
refrigerador alcanzará – 30° C?
b) En Física la fórmula que relaciona la fuerza que actúa sobre un cuerpo con la
masa de éste y con la aceleración que se produce en él es F = ma.
• Con base en la fórmula anterior, completa la tabla.
Masa (kg)
Aceleración (m/s2)
– 0.8
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–
1
2
– 18
3
4
–
4. a) • La temperatura descendió – 24 °C. Como una hora tiene 60 minutos, entonces – 24 ÷ 60 = – 25 . Por lo tanto, la temperatura desciende – 25 °C cada minuto.
• A las 16:30 horas
b)
Masa (kg)
Aceleración (m/s2)
Fuerza (N)
8
– 0.1
– 0.8
12
– 1 21
– 18
3
4
– 43
9
– 16
1.25
– 100
– 125
5
8
–4
– 2.5
9
16
1.25
– 125
5
8
– 2.5
c) Encuentra dos números cuyo cociente sea – 1 y que la resta del primero menos
3
el segundo sea – 2 .
Primero:
Segundo:
d) Encuentra dos números cuyo cociente sea 0 y que la resta del primero menos
el segundo sea 1 025.
Primero:
Solucionario
Fuerza (N)
8
–1
HORA
16:00
Segundo:
Compara tus respuestas y tus procedimientos con algún compañero. Si hay diferencias utilicen la calculadora para verificar sus resultados.
c) Primero: 43 ; segundo: – 43
d) Primero: 0; segundo: – 1 025
5. 136 ÷ (– 4) = – 34
– 23 ÷ 85 = –
5
12
3(– 21 ) ÷ 0.1 = – 15
2.5 ÷ (–
15 )
2
=–
1
3
– 185 ÷ (– 10) = 18.5
– 43 ÷ (– 25 ) ÷ (– 1) = –
3
10
Recursos adicionales
En el siguiente video puede consultar la explicación de cómo resolver la
división de números enteros:
• “Dividir números positivos y negativos”, disponible en www.edutics.mx/
wQR (consulta: 15 de agosto de 2018).
5. Resuelve las siguientes divisiones. Escribe tu procedimiento y simplifica al máximo
en los casos que consideres necesario.
15
136 ÷ (– 4) =
2.5 ÷ (– 2 ) =
2
8
–3÷5 =
– 185 ÷ (– 10) =
3(– 2 ) ÷ 0.1 =
1
– 4 ÷ (– 2 ) ÷ (– 1) =
3
5
41
Bloque 1 - Secuencia 4
43
S4
Sugerencias didácticas
Analice en grupo la conversación de la actividad 6 y muestre mediante la
solución de una división que ésta no es conmutativa. Recuerde a los estudiantes que el numerador de una fracción es el dividendo y el denominador
es el divisor.
Propiedades de la división
Solucionario
6. a) • 6 ÷ 3 ≠ 3 ÷ 6
• 3 ÷ (– 4) = (– 3) ÷ 4 = – 43
7. a) Para el primer caso, 5 y 5 o – 5 y – 5. Para el segundo caso, 5 y – 5.
• Para el primer caso, los números deben ser iguales y del mismo
signo, ya sean positivos o negativos. Para el segundo caso, los números deben ser de igual magnitud pero de signo diferente.
b) R. M. 0 ÷ 9
• Que siempre es cero
c) R. M. 1 240 ÷ (– 10)
d) R. M. 17 ÷ (– 1) y 34 ÷ (– 2)
Propiedades de la división
6. Lee el siguiente diálogo y contesta.
Camila: Marco, mira lo que descubrí con respecto a la división.
Marco: ¿Qué?, cuéntame.
Camila: Que la división no es conmutativa, pero que si los números de la división que vas a efectuar tienen signo, entonces los signos sí son conmutativos.
Marco: ¿Qué?, no entendí.
Camila: Mm, espera. Volvamos a leerlo con detenimiento y escribamos ejemplos.
Marco: De acuerdo. A ver, mm...
a) Ayuda a Marco y a Camila escribiendo un ejemplo para cada caso.
• La división no es conmutativa:
• Al dividir, se puede conmutar los signos:
7. Resuelvan en equipos los siguientes problemas.
a) Encuentren dos números tales que al dividir uno entre otro obtengan 1 y otros
dos números tales que al dividir uno entre otro obtengan – 1.
Integración
• R. M.
• ¿Qué propiedades en común tiene cada pareja de números que encontraron?
Ejemplo
La división no es conmutativa. Sí importa el
orden en que se realiza la división.
25 ÷ 5 ≠ 5 ÷ 25
Para que el cociente sea cero, el dividendo
siempre debe ser cero.
0÷x = 0
b) Encuentren dos números tales que al dividir uno entre otro el resultado sea 0.
• ¿Qué propiedad cumple el dividendo?
c) Encuentren dos números enteros que al dividir uno entre otro obtengan – 124.
d) Encuentra dos divisiones cuyo cociente sea – 17.
Para que el cociente sea 1, tanto el
numerador como el denominador deben ser
iguales.
8÷8 = 1
– 9 ÷ (– 9) = 1
Para que el cociente sea – 1, la magnitud del
numerador y denominador deben ser iguales
pero de signos opuestos.
8 ÷ (– 8) = – 1
9 ÷ (– 9) = – 1
Comparen sus respuestas con otro equipo. ¿Encontraron los mismos números? Si
fueron distintos, ¿cumplen las mismas propiedades?
Integración
• En grupo escriban un resumen de las propiedades de la división que analizaron
en las actividades anteriores. Usen una tabla que incluya ejemplos.
Propiedad
Ejemplo
La división no es conmutativa. Sí importa
el orden en que se realiza la división.
44 Bloque 1 - Secuencia 4
42
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Propiedad
División de números positivos y negativos
Arribamos
1. Lee nuevamente la situación inicial.
a) Expresa el problema planteado usando divisiones de números con signo.
b) Considera el siguiente texto y responde.
Nuestra Señora del Juncal era una embarcación que se hundió en las
costas de Campeche en 1631. Desde 1995, el Instituto Nacional de Antropología e Historia implementó un proyecto de investigación que incluía
su búsqueda y ubicación. Uno de los buzos profesionales, realizó tres
descensos a las profundidades que se indican en la siguiente imagen.
1.er descenso
2.do descenso
Arribamos
Sugerencias didácticas
Comente con los alumnos que, al resolver los problemas de división, es
importante que identifiquen correctamente los valores del dividendo, del
divisor y del cociente, ya que la operación no es conmutativa, esto facilitará
la solución de la actividad 2, incisos b) y c).
Al terminar las actividades de la sección “Arribamos” invite a los alumnos
a resolver los ejercicios propuestos en la sección “Explora”.
Convivimos
3.er descenso
Al terminar la secuencia, hable con los alumnos de su trabajo en equipo
y pida que escriban en el pizarrón un aspecto que puedan mejorar. También
platiquen de las ventajas de compartir la información; por ejemplo, cuando
los problemas pueden tener más de una respuesta. Compartir los procedimientos y resultados con otros equipos puede ser enriquecedor.
-19.2 m
Solucionario
-23.5 m
-30.8 m
Explora
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• El primer descenso lo hizo en etapas de – 3.2 m, ¿en cuántas etapas
terminó?
• ¿En cuántas etapas de – 4.7 m hizo el segundo descenso?
• Si el último descenso lo hizo en etapas de – 7.7 m, ¿en cuántas terminó?
2. Resuelve los siguientes problemas.
a) Juan presentó un examen de Historia en el que otorgaban 1.4 puntos por
cada respuesta correcta y – 0.5 por cada respuesta incorrecta.
• Si Juan obtuvo 17.5 y contestó 15 preguntas de manera correcta, ¿en
cuántas preguntas se equivocó?
• Escribe una expresión matemática que modele la situación.
b) Encuentra dos números cuyo cociente sea – 8 y cuyo producto sea – 32.
c) Encuentra dos números cuyo cociente sea 0.75 y cuya suma sea – 7.
En el siguiente enlace
www.edutics.mx/3uN
encontrarás ejercicios y
problemas de división de
enteros. Los dos puntos (:)
representan el operador
de división.
– 3 + 8 – 25
–5
=
2 × (– 24) ÷ (– 64 + 80) – 8 =
12 × (– 8)
(– 6) × 4
=
(65 ÷ (– 5)) × 2 + (28 ÷ 7) =
En grupo valida tus respuestas. Traten juntos de plantear problemas y acertijos
que involucren divisiones de números con signo y también otras operaciones.
Compartan sus planteamientos de forma ordenada y presten atención a las
propuestas de sus compañeros.
43
=4
12 × (– 8)
–6×4
4
5
=4
2 × (– 24) ÷ (– 64 + 80) – 8 = – 11
(65 ÷ (– 5)) × 2 + (28 ÷ 7) = – 22
3. Utiliza la jerarquía de operaciones cuando sea necesario y resuelve.
2
5
– 361 ÷ (– 19) =
3 ÷ (– 6 ) =
(– 3 + 8 – 25)
–5
1. a) Primer descenso: – 31.5 ÷ 6
Segundo descenso: – 31.5 ÷ 4
Tercer descenso: – 31.5 ÷ 3
b) • En 6 etapas
• En 5 etapas
• En 4 etapas
2. a) • Se equivocó en 7 preguntas.
• 15(1.4) – 0.5x = 17.5
15(1.4) – 7(0.5) = 17.5
b) 16 y – 2 o – 16 y 2
c) – 3 y – 4
2 ÷ (– 5 ) = –
3. –361 ÷ (– 19) = 19
3
6
Convivimos
Al trabajar en equipo, es
importante comunicar
tus ideas con respeto.
Reflexiona y comparte:
¿cómo mejorarías
este aspecto con tus
compañeros?
Recursos adicionales
En la siguiente liga puede encontrar más ejercicios de multiplicación y división de números enteros:
• “Multiplicación y división de números enteros”, disponible en www.edutics.mx/wEK (consulta: 15 de agosto de 2018).
Bloque 1 - Secuencia 4
45
S5
Potencias con exponentes
enteros
Partimos
Sugerencias didácticas
Pida a los alumnos que lean el párrafo introductorio de la secuencia y pregunte ¿Han hecho alguna operación en la que la solución dependa de encontrar un número que multiplicado por sí mismo dé el resultado?
Para resolver la actividad 1, recomiende a sus estudiantes buscar el patrón involucrado en la propagación de la noticia. Realice preguntas como
¿Qué número está involucrado? ¿De qué valor depende el siguiente número?
Si a las 10:00 horas del día, ya saben la noticia 65 536 personas, ¿cómo calculan el número de personas que sabrán la noticia a las 10:15 horas?
S5
Resuelve problemas de
potencias con exponente
entero.
Partimos
Potencias con exponentes enteros
En esta secuencia estudiarás el caso particular de multiplicaciones en las que todos los
factores son iguales, es decir, la multiplicación repetida de un número por sí mismo.
Aprenderás que existe una manera especial de expresar este producto, las propiedades que cumple y las operaciones que se pueden hacer con expresiones de este tipo.
1. Lee la situación y contesta.
Un viajero llega a las ocho de la mañana a un pequeño pueblo con una
noticia que interesa a todos. Así, a las 8:15, el viajero ha contado la noticia a
cuatro personas y continúa su viaje. En los siguientes quince minutos, cada
una de ellas comparte la noticia con otras cuatro que no la conocen. Quince minutos después, cada una de estas personas la repite y continúan así,
propagando la noticia, en un periodo de 15 minutos cada vez.
8:00 h
Solucionario
1. a) A las 8:45 la noticia es conocida por 64 personas y a las 9:15, ya la
saben 1 024 personas.
b) No, porque no se puede obtener 1 000 multiplicando 4 por sí mismo
varias veces.
8:15 h
Recorremos
8:30 h
Potencias
Después de analizar el problema de la actividad 1, explique que hay varios
fenómenos relacionados con el cálculo de potencias, por ejemplo, el crecimiento bacteriano, la reproducción, conteos y cálculo de probabilidades.
Compara con tus compañeros tus respuestas y procedimientos. ¿Conocen alguna manera de expresar una multiplicación cuando los factores son todos iguales?
Solucionario
1. a) • 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Recorremos
Potencias
1. Resuelve los siguientes problemas.
a) Como has estudiado en Biología, las bacterias se reproducen asexualmente
por fisión binaria (figura 5.1) y ocurre de manera muy rápida. De una célula se
obtienen dos, de esas dos se obtienen cuatro células hijas, y así sucesivamente.
• Escribe una operación aritmética que te permita calcular cuántas bacterias
habrá después de media hora en el caso de que una bacteria se reproduzca
cada cinco minutos.
46 Bloque 1 - Secuencia 5
44
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a) ¿Cuántas personas del pueblo, sin incluir al viajero, conocen la noticia a
las 8:45 h? ¿Y a las 9:15 h?
b) En alguno de los periodos de quince minutos, ¿es posible que exactamente 1 000 personas conozcan la noticia? Explica tu respuesta.
Sugerencias didácticas
Sugerencias didácticas
• ¿Cuántas bacterias habrá en ese momento?
• ¿Cuántas habrá al cabo de 45 minutos? ¿Y en
una hora?
• Escribe las expresiones aritméticas que te permiten hacer los cálculos.
Célula madre
Dos células hijas
Figura 5.1 En la fisión binaria la célula aumenta su tamaño
y duplica su material genético y citoplasmático en dos partes
idénticas para dar lugar a dos células hijas idénticas.
• ¿Hay el doble de bacterias en una hora que en media hora? Explica tu respuesta.
b) En un invernadero, una planta de frambuesa tiene seis ramas de las que se
pueden obtener seis esquejes. Después de mes y medio, cada esqueje da a su
vez una planta con seis ramas de las que nuevamente se separan seis esquejes.
Si se continuara con este método de reproducción y suponiendo que ningún
esqueje ni planta mueran, ¿cuántos esquejes se habrían plantado después de
seis meses?
• Escribe las operaciones aritméticas para calcular el resultado.
Glosario
esquejes. Fragmentos
de plantas (tallos, brotes
o trozos de raíces) que
se utilizan con fines
reproductivos para obtener
otras plantas idénticas.
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Compara tus respuestas con las de tus compañeros. ¿Cómo obtuvieron los resultados? ¿Todos utilizaron la misma operación para realizar los cálculos?
Multiplicaciones con factores iguales como 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 o
10 × 10 × 10 × 10 se pueden expresar en forma abreviada como 26 o 104. A esta
operación se le conoce como potenciación y a su resultado, potencia. El factor
repetido se llama base y el número que indica las veces que se repite se llama
exponente. Por ejemplo:
Exponente
26
base
Muestre un diagrama más amplio de la figura 5.1 y analice en grupo el comportamiento de la fisión binaria; esto será de utilidad para resolver la actividad del inciso a).
Invite a los alumnos a leer la sección “Glosario” para resolver la actividad
del inciso b), también es recomendable hacer un diagrama donde se observe
el crecimiento de la planta. Al terminar, pida a los alumnos que calculen el
número de esquejes que habrá después de 3 años, de manera que tengan
la necesidad de escribir las operaciones de forma sintetizada en éste y otros
problemas del mismo tipo.
Analice con los alumnos el recuadro de “Formalización” y resalte la ventaja de utilizar potencias en lugar de escribir la multiplicación de forma desarrollada. Asegúrese de que comprendan el papel de la base y del exponente,
al terminar, realicen algunas actividades de la sección “Explora”.
Explora
En la página www.
edutics.mx/Uee podrás
resolver varias actividades
para familiarizarte con la
operación potenciación.
Se lee “dos elevado a la sexta potencia”; por lo que 64 es la sexta potencia de 2.
De forma general:
Exponente
bn
base
Solucionario
• 64 bacterias
• Habrá 512 bacterias en 45 minutos y 4 096 en una hora.
• Para 45 minutos: 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Para 1 hora: 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
• No, ya que 4 096 no es el doble de 64. El crecimiento es exponencial,
64 veces más
b) 7 776 esquejes
• Multiplicando 5 veces 6: 6 × 6 × 6 × 6 × 6 = 7 776
2. 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 55
1
1
1
1
1 4
2 × 2 × 2 × 2 = (2)
(– 2)(– 2)(– 2)(– 2)(– 2)(– 2)(– 2) = (– 2)7
1.5 × 1.5 × 1.5 × 1.5 = 1.54
15 = 151
0 × 0 × 0 = 03
m × m × m × m × m × m × m × m = m8
a × a = a2
Recursos adicionales
En la siguiente página encontrará ejercicios de potencias:
• “Exponentes (básico)”, disponible en www.edutics.mx/wQK (consulta: 15
de agosto de 2018).
El resultado, es decir, b × ... × b (n-veces) es la enésima potencia de b.
2. Con base en la información anterior, escribe las multiplicaciones o potencias que
corresponden.
= 55
= (–2)7
= 151
1
2
1
1
1
×2×2×2 =
1.5 × 1.5 × 1.5 × 1.5 =
m×m×m×m×m×m×m×m =
0×0×0 =
45
a×a =
Bloque 1 - Secuencia 5
47
Sugerencias didácticas
S5
Deje que los alumnos resuelvan de forma independiente la actividad “Integración”, de esta manera se dará cuenta si han comprendido el concepto de
potenciación de manera correcta.
En el inciso a) de la actividad 3 pregunte ¿Por cuánto hay que multiplicar
a un kibibyte para saber cuántos bits son? Una vez que se haya tomado la
decisión de multiplicar por 8, pida que se escriba el 8 en forma de potencias. El objetivo es mostrar las operaciones resueltas con potencias. Puede
desarrollar las potencias por separado y después juntarlas, como se muestra
claramente en la actividad 4.
Al responder el inciso b) de la actividad 4, pida que expresen en palabras cómo encontrar el exponente de una multiplicación de potencias con
la misma base.
Integración
• Como grupo escriban los resultados de las siguientes potencias. Consideren
que n es un entero positivo.
•
n1 =
0n =
1n =
Expresen lo anterior como reglas generales para cualquier entero positivo n.
1n =
n1 =
0n =
Producto de potencias con la misma base
3. Analicen en parejas la información y contesten.
Solucionario
La capacidad de las computadoras se mide en bits y en bytes. Un bit es la unidad más pequeña y sólo puede tomar dos valores: 0 o 1. Un byte son 8 bits,
que puede ser expresado como 23 bits. Debido a que la capacidad de las computadoras se ha incrementado a causa del desarrollo de sus componentes, se
ha recurrido a otras unidades como kibibyte comúnmente llamado kilobyte,
mebibyte (megabyte), gibibyte (gigabyte), tebibyte (terabyte), etcétera.1
Integración
• 1 n = 1, n1 = n, 0n = 0
• 1 n = Uno elevado a cualquier potencia es 1.
n1 = Cualquier número elevado a la potencia uno, da el mismo número.
0n = Cero elevado a cualquier potencia siempre es cero.
1
Nombres y símbolos de los prefijos utilizados en el campo de telecomunicaciones
y electrónica. Sistema internacional de Unidades (SI), 8.a ed. 2006, p. 32, www.cem.es/sites/
default/files/siu8edes.pdf (consulta: 13 de mayo de 2018).
Producto de potencias con la misma base
3. a) 8 × (2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2) = (2 × 2 × 2) ×
(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2) = 23 × 210 = 213
• Con una multiplicación
• 13 veces
• 213 = 23 × 210
b) 220 = 210 × 210
c) 64 × (220) = 26 × 220 = 226
4. a) 35 × 32 = 37
b) La suma de 2 y 5 da como resultado 7.
a) Si un kibibyte equivale a 210 bytes, ¿cuántos bits hay en un kibibyte?
el número 2 como factor?
• Expresen en forma de potencia la cantidad de bits hay en 1 kibibyte.
b) Un mebibyte son 210 kibibytes, ¿cuál es la cantidad de bytes, escrita como potencia de 2, que hay en 1 mebibyte?
c) Si a 64 personas se les envía un archivo de 1 mebibyte, ¿cuántos bytes en total
se recibieron considerando a todos los destinatarios? Expresen la respuesta
como potencia de 2.
4. Continúen en parejas y respondan con base en la información de la figura.
a) ¿Cuál es el área del paralelogramo expresada como potencia de 3?
32 m
b) ¿Cómo se relacionan los exponentes de los factores 32 y 35 con el exponte de
35 m
48 Bloque 1 - Secuencia 5
su producto?
46
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• ¿Cómo calcularon la cantidad de bits?
• En la operación que utilizaron para resolver, ¿cuántas veces en total aparece
Potencias con exponentes enteros
Sugerencias didácticas
Pida a los estudiantes que analicen la sección “Formalización” y que escriban un ejemplo en su cuaderno, anote en el pizarrón algunos de ellos. Para
concretar solicite que resuelvan la actividad “Integración” y que expresen la
propiedad con sus propias palabras. Antes de continuar, pregunte ¿Cómo
resolverían una división de potencias? ¿Cómo calcularían una potencia de
otra potencia? Esto es con el objetivo que de que se pregunten cómo pueden
operar con potencias en esos casos.
Enséñeles a utilizar la calculadora científica para encontrar diferentes
potencias, en la actividad 6 inciso b) se menciona el uso de una tecla. Verifique que todos los alumnos la encuentren y pida que calculen (53)2 a partir
de la definición, es decir, multiplicando 53 por sí mismo dos veces (53 × 53).
Después solicite que desglosen cada una de las potencias. Así se obtendrá:
(5 × 5 × 5) × (5 × 5 × 5) = 56. Repita el mismo procedimiento para otros
ejemplos.
Comparen sus respuestas y sus procedimientos con los de otra pareja. En cada caso
¿cómo se relacionan los exponentes de las potencias en los factores y su resultado?
Discutan cuál podría ser una regla para multiplicar potencias que tengan la misma
base y corrobórenla con la siguiente información.
El producto de dos potencias con la misma base es otra potencia con la misma
base y cuyo exponente es la suma de los exponentes en los factores.
Integración
• Con base en la información anterior, completen de forma grupal la expresión
con las letras a, m y n donde corresponde.
a × an =
m+
5. Coloca los exponentes necesarios para que las siguientes igualdades sean
verdaderas.
5
5
10 × 106 = 107
( 23 ) × ( 23 ) = ( 23 )
49 × 4
= 412
(–9) × (–9)
0.52 × 0.53 × 0.56 = 0.5
a1 × a
Solucionario
Integración
× (–9)4 = (9)7
• am × an = am + n
× a3 = a6
5. 101 × 106 = 107
49 × 43 = 412
0.52 × 0.53 × 0.56 = 0.511
Potencia de potencias
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6. Resuelvan en equipos.
En cada cuadrado se indica la longitud de sus lados. Las figuras no están
trazadas en la misma escala.
a) Expresen el área de cada figura como la potencia de una potencia.
ÁreaCuadrado A:
cm2
ÁreaCuadrado B:
cm2
53 cm = 125 cm
Cuadrado A
ÁreaCuadrado C:
cm2
b) Utilicen su calculadora para encontrar el área. Si tienen una calculadora científica, pulsen la tecla ⋀ para los exponentes.
ÁreaCuadrado A:
cm2
ÁreaCuadrado B:
cm2
ÁreaCuadrado C:
cm2
c) Traten de escribir los resultados anteriores como potencias de 5, 2 y
10, respectivamente. Pueden utilizar la calculadora.
ÁreaCuadrado A:
cm2
ÁreaCuadrado B:
cm2
28 cm = 256 cm
Cuadrado B
( 23 )5 × ( 23 )5 = ( 23 )10
(– 9) × (– 9)2 × (– 9)4 = (– 9)7
a1 × a2 × a3 = a6
Potencia de potencias
6. a) ÁreaCuadrado A: (53)2 cm2
ÁreaCuadrado B: (28)2 cm2
ÁreaCuadrado C: (103)2 cm2
b) ÁreaCuadrado A: 15 625 cm2
ÁreaCuadrado B: 65 536 cm2
ÁreaCuadrado C: 1 000 000 cm2
c) ÁreaCuadrado A: 56 cm2
ÁreaCuadrado B: 216 cm2
ÁreaCuadrado C: 106 cm2
d) El producto de los exponentes en el inciso a) es igual al de los exponentes en el inciso c).
103 cm =
1 000 cm
ÁreaCuadrado C:
cm2
d) ¿Cómo se relacionan los exponentes de las expresiones en los incisos
a) y c)?
Cuadrado C
47
Bloque 1 - Secuencia 5
49
S5
Sugerencias didácticas
Pida a los alumnos que escriban en una ficha de trabajo la fórmula de la
sección “Formalización”, y que la expresen con sus propias palabras.
Comente que la potencia de potencias es conmutativa pues amn es igual a
anm. Pregunte ¿Hasta el momento cuántas reglas de potencias conoces? ¿Cuáles son? Los estudiantes deben estar conscientes de lo que han aprendido
hasta el momento y el fichero es una buena herramienta para ello.
Pregunte a los alumnos si en la multiplicación de potencias los exponentes se suman y en la potencia de potencias se multiplican, entonces ¿Qué
ocurrirá con la división de potencias? Analice las respuestas y resuelvan en
grupo el inciso c) de la actividad 8.
Comparen respuestas con otros equipos. Cómo escribieron la potencia de una
potencia. Con su calculadora verifiquen si sus observaciones son válidas para otros
números.
Alejandra
(32)4 = 32 × 32 × 32 × 32 = 38
7. Nuevamente en equipos analicen lo siguiente.
A tres alumnos se les pidió que escribieran un ejemplo de una
potencia cuya base fuera una potencia, que la desarrollaran y
escribieran el resultado como otra potencia.
Julián
(43)3 = 43 × 43 × 43 = 46
3 4
( ( 21 ) )
Andrea
1 3
1 3
1 3
1 3
1 12
= (2) ×(2) ×(2) ×(2) = (2)
Solucionario
7. a) Julián se equivocó, ya que (43)3 = 43 × 43 × 43 = 49.
b) Los exponentes se multiplican.
c) Sí, ya que la multiplicación es conmutativa. Así,
(b8)2 = b8 × 2 = b2 × 8 = (b2)8 = b16.
a) Revisen los resultados de cada estudiante. ¿Alguno de ellos se equivocó? Expliquen su respuesta.
b) ¿Qué se hace con los exponentes en una potencia de potencias?
c) Carlos afirma que el resultado de las potencias (b8)2 y (b2)8 es el mismo.
División de potencias con la misma base
64 × 2
19
= 2216
2×2×2×2×2×2×2
2 ×2
26 × 210
9
10
Comparen respuestas con otros equipos. ¿Cómo hicieron para calcular las potencias
de cada estudiante y verificar las que son correctas?
Multiplicar una potencia por sí misma varias veces se conoce como potencia de
potencias. El resultado es igual a la base elevada al producto de los exponentes.
De forma general se representa:
Recursos adicionales
En la siguiente página puede consultar problemas y actividades variadas para
sus estudiantes:
• “Potencias”, disponible en www.edutics.mx/wak (consulta 9 de octubre
de 2018).
(am)n = amn = (an)m
División de potencias con la misma base
8. Resuelvan en grupo el siguiente problema.
a) ¿Cuántos archivos de 64 kibibytes pueden almacenarse en el espacio por usar
en el disco de la izquierda?
b) Escriban la capacidad del disco y el tamaño del archivo como potencias de 2.
Espacio en el disco:
bytes
Tamaño de archivo:
bytes
c) Desarrollen las potencias en el numerador y en el denominador de la fracción
que representa la división que resuelve el problema.
512 × 210
64 × 210
50 Bloque 1 - Secuencia 5
219
= 216 =
48
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8. a) 8 archivos
b) Espacio en el disco: 29 × 210 = 219 bytes
Tamaño de archivo: 26 × 210 = 216 bytes
10
10
c) 512 × 210 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 ×102 × 2 =
Expliquen si Carlos tiene razón.
Potencias con exponentes enteros
Sugerencias didácticas
d) Simplifiquen la expresión anterior considerando que el cociente de un número
entre sí mismo es 1 y escriban el resultado en forma de potencia.
219
216
=
=
• ¿Fue posible simplificar? ¿Por qué?
e) ¿Qué relación hay entre el exponente del resultado y los exponentes de las
potencias del numerador y del denominador?
Recuerde a los estudiantes que el cociente de un número entre sí mismo es
igual a 1. Utilizando este resultado y desarrollando las potencias pídales que
resuelvan los incisos d), e) y f) de la actividad 8.
Para el caso de la actividad 9, se recomienda agrupar las divisiones y
resolverlas, mencione a los alumnos que la división no es conmutativa, por
lo que hay que respetar el orden en el que se restan los exponentes.
Dé tiempo a los alumnos para escribir un procedimiento que les ayude a
conocer el exponente del resultado en una división de potencias. Analicen en
grupo algunas de las propuestas y escriba en el pizarrón las más acertadas.
Solucionario
d)
f) Utilicen las siguientes fracciones para validar sus conclusiones. Desarrollen las
potencias del numerador y del denominador, simplifiquen y escriban el resultado en forma de potencia.
47
=
44
0.26
=
0.22
(– 3)5
(– 3)4 =
=
f)
=
Escriban un procedimiento para obtener el exponente del resultado a partir de los
exponentes de las potencias del numerador y del denominador.
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105
108
=
53
=
57
(– 6)2
=
(– 6)7
4
d
d8
=
=
=
=
=
=
=
=
=
a) ¿Cuál es la diferencia entre los resultados de las divisiones anteriores y las del
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 210
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 210
47
44
=
4×4×4×4×4×4×4
4×4×4×4
0.26
0.22
=
0.2 × 0.2 × 0.2 × 0.2 × 0.2 × 0.2
0.2 × 0.2
(– 3)5
(– 3)4
= 23
=
(– 3)(– 3)(– 3)(– 3)(– 3)
(– 3)(– 3)(– 3)(– 3)
= 43
= 0.24
= (– 3)1
Restar al exponente del numerador el exponente del denominador.
9.
105
108
=
10 × 10 × 10 × 10 × 10
10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10
=
1
10 × 10 × 10
53
57
=
5×5×5
5×5×5×5×5×5×5
62
67
=
(– 6) × (– 6)
(– 6) × (– 6) × (– 6) × (– 6) × (– 6) × (– 6) × (– 6)
=
1
(– 6) × (– 6) × (– 6) × (– 6) × (– 6)
=
d×d×d×d
d×d×d×d×d×d×d×d
inciso f) de la actividad 8?
b) Apliquen a los cocientes de potencias de esta actividad el procedimiento que
encontraron en la actividad 8. ¿El exponente del resultado es positivo o negativo? Expliquen su respuesta.
=
• Sí, porque se está multiplicando y dividiendo por el mismo número.
e) El exponente del resultado se obtiene de la resta del exponente del
numerador y el exponente del denominador.
=
9. Desarrollen en equipos las potencias del numerador y del denominador de las
fracciones siguientes, simplifiquen la fracción y escriban el resultado del denominador en forma de potencia.
219
216
d4
d8
=
1
5×5×5×5
=
=
=
=
1
103
1
54
1
(– 6)5
1
d×d×d×d
=
1
d4
a) En la actividad anterior las potencias del resultado están en el numerador y en este inciso en el denominador.
b) El exponente es negativo porque los exponentes se restan y el exponente del numerador es menor que el exponente del denominador.
Comparen sus respuestas y procedimientos con los de otro equipo. Juntos determinen cómo pueden escribir una potencia cuyo exponente es negativo.
49
Bloque 1 - Secuencia 5
51
S5
Analice con el grupo la información de la sección “Formalización”, solicite
que escriban el procedimiento en una ficha de trabajo y que agreguen esta
ficha al fichero de resultados.
Se sugiere que reproduzca en el pizarrón los diagramas de la actividad 10
y los estudie en grupo. Escriba los argumentos que demuestren la igualdad
entre las expresiones, así los estudiantes podrán redactar las respuestas de
los incisos a) y b).
Aprendemos
Pregunte si creen que las expresiones algebraicas generales se pueden considerar como un resumen. Mencione que para entender este tipo de “resúmenes” es necesario comprender el lenguaje algebraico. Al final, recomiende
a sus alumnos estudiar mediante el uso de estas herramientas: resúmenes,
mapas mentales, notas, entre otras.
Al dividir dos potencias con la misma base se obtiene otra potencia con la misma base cuyo exponente es la resta del exponente del numerador menos el
exponente del denominador.
Aprendemos
Integración
• Con base en la información anterior, completa las expresiones.
Al escribir las expresiones
algebraicas que resumen
las propiedades de la
potenciación, éstas
te ayudan a entender
cómo hacer los cálculos.
Reflexiona: ¿por qué
sucede esto?
Solucionario
•
Integración
am
an
= am – n
a– n =
•
212
29
= 23
m3
m9
7– 3
74
1
an
= m– 6
am – m
33
3– 3
212
29
=2
1
a–n = a
Coloca los exponentes que faltan para que las igualdades sean verdaderas.
–
m
m9
=m
33
3–3
=3
7
74
= 7–7
1
am
• Expliquen por qué am es igual a a0.
= 36
a0 = 1
= 7– 7
10. a) • Porque una fracción es igual a 1 si su numerador y denominador
son iguales.
• Porque al restar los exponentes del numerador y denominador se
obtiene 0, ya que ambos exponentes son iguales.
m
m
• Por un lado, aam = 1 y por el otro aam = a0, y como se trata de la
misma expresión se concluye que a0 = 1.
b) • Porque cualquier número multiplicado por uno es el mismo número.
• Porque cuando se multiplican dos potencias con la misma base los
exponentes se suman y la suma de n + 0 = n.
• Porque ambos productos valen lo mismo, bn, entonces los factores
b0 y 1 deben ser iguales.
=a
10. Analicen en parejas lo siguiente.
A Cuauhtémoc y a Marisol les dejaron de tarea investigar por qué cuando se eleva
cualquier número a la potencia 0 se obtiene 1.
a) Cuauhtémoc buscó en internet y encontró el diagrama de la izquierda en el
que se indica que las cuatro expresiones son iguales.
am
• ¿Por qué am es igual a 1?
am
am
•
am
an
• ¿Cómo se llega a la conclusión de que a0 = 1?
b) Marisol encontró en un libro el siguiente diagrama.
• Expliquen por qué bn es igual a bn × 1.
• ¿Por qué bn × b0 es igual a bn?
bn × b0
bn
bn × 1
• Expliquen por qué a partir de bn × b0 y bn × 1 se deduce que b0 = 1.
b0 = 1
Comparen sus respuestas y razonamientos con sus compañeros. Si tienen dudas,
soliciten el apoyo de su maestro.
52 Bloque 1 - Secuencia 5
50
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Sugerencias didácticas
Potencias con exponentes enteros
Arribamos
1. Lee nuevamente la situación que se plantea al inicio de la secuencia.
a) Si el pueblo tiene 65 000 habitantes, ¿a qué hora todo el pueblo conocerá
la noticia?
b) Al empezar el último periodo de 15 minutos ¿cuántas personas conocen
la noticia y a cuántas se les compartirá?
c) ¿Cuántas de esas personas que ya la conocen podrán contársela a otras
cuatro y cuántas no podrán hacerlo?
Arribamos
Permita a los estudiantes usar las fichas de trabajo al resolver operaciones
con exponentes. Si es necesario ayúdelos a resolver el inciso b) de la actividad 3, recuérdeles que 1 mebibyte es equivalente a 220 bytes.
Al terminar las actividades de la sección “Arribamos” pida a los alumnos
que resuelvan las actividades que se sugieren en la sección “Explora”.
2. Subraya con verde las igualdades que son verdaderas y de rojo las que son
falsas.
a2 × a × a3 = a6
1.99 × 1.96 = 1.915
43 × 40 = 44
(m5)6 = m30
1115
114
( ( 21 ) )
4 0
(802)4 = 806
24
27
= 1111
b6
b8
= 23
1
= b–2
Explora
A partir de 2015, los números de teléfono fijo de nuestro país tienen 10 dígitos. Para hacer una llamada de larga distancia se utiliza el Número de
Identificador de Región (NIR) conocido como código de larga distancia.
Por ejemplo, alguien que marca de la Ciudad de México a Guadalajara
debe teclear “33” y el número de ocho dígitos, pero para marcar a una
misma región bastará con que se tecleen los ocho dígitos.
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Solucionario
= 2
3. Resuelve los siguientes problemas.
a) Lee la información y contesta.
• ¿Cuántos números de teléfono fijo se pueden generar en una región
del país?
• Si existe la restricción de que los números de teléfono fijo no empiecen con
0, ¿cuántos números de teléfono fijo podría haber en una región del país?
• Si consideras que los NIR y los números de teléfono fijo no deben empezar
con 0, ¿cuántos números de teléfono fijo podría haber en todo país?
b) Ana compró un disco duro como el de la imagen (1 gibibyte = 230 bytes)
y un software que reduce 28 veces el tamaño de un archivo.
• ¿Cuántos archivos de 2 mebibytes caben en el disco duro?
• Si una carpeta ocupa 8 mebibytes y se reduce con el software, ¿cuántos
bytes ocupará la carpeta?
• ¿Cómo podrías expresar el resultado anterior como potencias de 2?
Sugerencias didácticas
En el siguiente enlace
www.edutics.mx/
Uen encontrarás
ejercicios y problemas
que se resuelven con
las propiedades de la
potenciación. Los dos
puntos (:) representan
el operador de división.
1. a) A las 10 horas, dos horas después de que llego el viajero. En dos horas
hay 8 intervalos de 15 minutos, que es lo que tarda en propagarse la
noticia: 48 = 65 536.
b) Después de 1 hora con 45 minutos la noticia es conocida por 47 = 16
384 personas, por lo que faltan 48 616 personas por conocerla, de
las 16 384 que conocen la noticia solo 12 154 podrán compartirla a
4 personas (48 616 entre 4 = 12 154), por lo que 4 230 no podrán
hacerlo.
2. 43 × 40 = 44
a2 × a × a3 = a6 1.99 × 1.96 = 1.915
(m5)6 = m30
(802)4 = 806
(( 21 )4)0 =
1115
114
24
27
b6
b8
= 1111
= 23
1
2
= b– 2
3. a) • 108, porque son 8 dígitos y cada uno tiene 10 posibilidades de ser:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.
• 9 × 107 = 90 000 000
• 9 × 9 × 9 × 107 = 7 290 000 000
9
30
b) • 2 × 220 = 28 × 210 archivos
2×2
• 8 ×282 = 8 × 212 bytes
• 215 bytes
4. 32 × 38 × 33 = 313
(( 21 )2)3 = ( 21 )6
20
(43 × 44)2 = 414
25 × 24 × 26
= 2– 2
29 × 28
(( 57 )3)2
(( 57 )2)3
=1
4. Resuelve las operaciones, escribe los resultados usando potencias.
( ( 57 ) )
3 2
3 ×3 ×3 =
2
8
3
(( ) )
1
2
2 3
=
(4 × 4 ) =
3
4 2
25 × 24 × 26
29 × 28
=
( ( 57 ) )
2 3
=
Explica a tus compañeros cómo obtuviste tus resultados. Recuerden que puede haber más de una forma de resolver y llegar a la respuesta correcta.
51
Recursos adicionales
En la siguiente página puede consultar más actividades relacionadas con el
uso de exponentes:
• “Material básico para trabajar con potencias”, disponible en www.edutics.
mx/wQr (consulta: 16 de agosto de 2018).
Bloque 1 - Secuencia 5
53
S6
Diagonales y ángulos interiores
de un polígono
Partimos
Sugerencias didácticas
Como introducción para la actividad pregunte ¿Qué es un polígono? ¿Qué
es un polígono regular? ¿Qué es un polígono irregular? ¿Qué es una diagonal
de un polígono? ¿Cómo se trazan las diagonales? Mencione que la palabra
polígono se deriva de “poli” que significa “muchos” y “gono” que significa
“ángulos”. Después lean la sección “Recuerda” y pida que tracen algunos
polígonos con sus diagonales. Verifique sus respuestas.
S6
Deduce y usa las
relaciones entre los
ángulos interiores y las
diagonales de polígonos
regulares.
Partimos
Diagonales y ángulos interiores
de un polígono
Desde primaria has estudiado los polígonos regulares e irregulares. ¿Recuerdas cuáles
son las diferencias entre ellos?, ¿cómo se llaman los polígonos de tres y cuatro lados
que tienen sus lados y sus ángulos iguales? En esta secuencia veremos cuántas diagonales tiene un polígono y cuál es la suma de sus ángulos interiores.
1. Utiliza tu juego de geometría para trazar lo que se solicita y contesta.
Los siguientes segmentos son diagonales del polígono que se indica. Traza
cada polígono y compara con un compañero tus figuras.
Solucionario
1.
Hexágono irregular
a) R. M. El cuadrado y el hexágono regular son parecidos porque la medida de sus lados son iguales entre sí.
b) R. M. Depende de la medida de sus lados y ángulos.
c) Sí, el triángulo
d) No existen polígonos con una diagonal, pero con dos diagonales, sí,
los cuadriláteros.
54 Bloque 1 - Secuencia 6
Pentágono irregular
Hexágono irregular
Hexágono regular
Recuerda
Pentágono irregular
Hexágono regular
Una diagonal es un
segmento de recta
que une dos vértices
no consecutivos de un
polígono.
a) ¿Qué polígonos de los trazados son iguales a los de tu compañero y
cuáles diferentes?
b) ¿A qué piensas que se deba que algunos de los polígonos son iguales y
otros no?
c) ¿Existe algún polígono que no tenga diagonales? ¿Cuál?
d) ¿Hay polígonos que sólo tengan una diagonal? ¿Y dos diagonales?
Compara con tus compañeros tus trazos y respuestas. Explica cómo construiste los polígonos a partir de las diagonales y señala qué otros datos requeriste
para trazar las figuras y cómo los obtuviste.
52
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Cuadrado
Cuadrado
Recorremos
Diagonales
Recorremos
Sugerencias didácticas
Trace en el pizarrón diferentes polígonos con sus diagonales, incluya segmentos que no lo sean. Los estudiantes deben identificar cuáles segmentos
no son diagonales, así como justificar su respuesta. Promueva la reflexión y
el análisis, de esta forma aprenderán a argumentar y no sólo aceptar lo que
alguien más dice.
Para el análisis de las preguntas al final de la actividad, puede utilizar la
definición de diagonal o dar contraejemplos.
1. Analiza los polígonos, realiza lo que se indica y responde.
a) Considera la definición de diagonal de la sección “Recuerda” de la página 52
y marca con color verde las rectas punteadas que sean diagonales de cada
polígono.
Diagonales
Solucionario
1. a)
Polígono A
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Polígono D
Polígono B
Polígono E
Polígono C
Polígono A
Polígono B
Polígono C
Polígono D
Polígono E
Polígono F
Polígono F
b) ¿Qué característica tienen en común las rectas de cada polígono que no coloreaste para que no sean consideradas como diagonales?
c) ¿En qué polígonos coloreaste diagonales que no son segmentos inclinados?
d) Un polígono se llama cóncavo si al menos alguna de sus diagonales es exterior
al polígono. De los polígonos anteriores, ¿cuáles son cóncavos?
A partir de tus respuestas discute en grupo lo siguiente: ¿las diagonales de un polígono siempre son segmentos inclinados? ¿El lado de un polígono puede coincidir con
una diagonal del mismo? ¿Toda diagonal divide al polígono en dos partes iguales?
Argumenten sus respuestas.
b) No unen dos vértices del polígono.
c) En los polígonos B, C, D, E y F.
d) Los polígonos A y D son cóncavos.
Un polígono es convexo si todas sus diagonales son interiores. Si un polígono
no es convexo, se le llama cóncavo.
53
Bloque 1 - Secuencia 6
55
S6
Sugerencias didácticas
Compruebe que los estudiantes distinguen los polígonos regulares de los
polígonos irregulares. Y que también reconocen los polígonos cóncavos y
convexos. Repase la definición de diagonal para resolver las actividades 2 y 3.
Número de diagonales de un polígono
Número de diagonales de un polígono
2. Lee la situación y resuelve.
La imagen de la izquierda representa un terreno, el cual debe dividirse
en secciones triangulares para sembrar cuatro tipos de flores distintas.
a) ¿Qué forma geométrica tiene el terreno?
Solucionario
2. a) Hexágono irregular
b) Tres diagonales
c) En cuatro triángulos
3. R. M.
b) Elige otra esquina del terreno y traza todas las diagonales que
partan de ese vértice. ¿Cuántas diagonales pudiste trazar?
c) ¿En cuántos triángulos queda dividido el terreno al trazar esas diagonales?
3. Reúnete con un compañero y contesten.
En cada uno de los siguientes polígonos elijan un vértice y, a partir de él, tracen
todas las diagonales.
Nombre
Número de
lados
Número de diagonales
desde un vértice
Cuadrilátero
4
1
Pentágono
5
2
Hexágono
6
3
Heptágono
7
4
Octágono
8
5
Decágono
10
7
a) Completen la tabla y respondan.
Nombre
Número de lados
Número de diagonales desde un vértice
Cuadrilátero
Pentágono
6
7
Octágono
b) Tres, el vértice elegido y los vértices de sus dos lados consecutivos.
Decágono
b) ¿Cuántos y cuáles vértices no se contabilizaron para el trazo de diagonales?
56 Bloque 1 - Secuencia 6
54
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a)
Diagonales y ángulos interiores de un polígono
Sugerencias didácticas
Si lo considera conveniente, recomiende a sus estudiantes usar GeoGebra
para trazar polígonos y analizar sus características, sobre todo para polígonos de más de 10 lados.
Al terminar la actividad 4 pregunte ¿Cómo se relacionan el número de
diagonales que se pueden trazar desde un vértice, el número de diagonales
que se repiten y el total de diagonales de un polígono? Para mejorar el análisis
tome en cuenta la respuesta del inciso d). Es probable que no se llegue a ninguna conclusión, pero los alumnos deben intentar encontrar dicha relación.
Continúe con la actividad 5 y más adelante se concretará el aprendizaje.
c) ¿Qué relación observan entre el número de lados de un polígono y la cantidad
de diagonales que se pueden trazar desde un vértice?
d) Cada uno de ustedes trace un polígono diferente de más de 10 lados y marque
las diagonales desde un mismo vértice. ¿Existe la misma relación que escribieron en el inciso anterior? Expliquen.
e) Si en un polígono de 20 lados trazan todas las diagonales desde un vértice,
¿cuántas son?
Solucionario
Reflexionen en grupo, a partir de lo anterior, cómo pueden argumentar que sus
conclusiones son válidas para cualquier polígono: en un polígono con n lados,
¿cuántas diagonales se pueden trazar desde uno de sus vértices? ¿Cuántos lados
tiene un polígono en el que el total de diagonales desde el vértice A es d?
c) La cantidad de diagonales es el número de lados menos tres.
d) Sí
e) 17 diagonales
4. Resuelvan en equipos la siguiente actividad.
En el polígono ABCDEF se trazaron las diagonales desde A y desde E.
A
F
En un polígono de n lados se pueden trazar n – 3 diagonales, y un polígono
que tiene un total de d diagonales tiene d + 3 lados.
a) ¿Por qué la diagonal AE se coloreó dos veces?
B
E
b) Si se trazan en color verde las diagonales desde el vértice B, expliquen por qué
la diagonal BE tendría dos colores.
C
D
c) Si trazaran en color amarillo las diagonales desde el vértice C, ¿qué diagonales
tendrían dos colores? Expliquen su respuesta.
d) Si trazaran con distintos colores todas las diagonales del hexágono, ¿qué diagonales tendrían dos colores. Expliquen su res-
4. a) Porque se trazó en rojo saliendo de A y en azul saliendo de B.
b) La diagonal BE está en azul porque se trazó desde E y estaría en verde
al trazarse desde B.
c) La diagonal CE y la diagonal CA.
d) Todas, porque cada una se colorea desde el vértice de donde se traza
hasta el vértice que llega y viceversa.
e) Un hexágono tiene en total 9 diagonales.
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puesta.
e) ¿Cuántas diagonales tiene en total el hexágono?
5. Reunidos en equipos, analicen y contesten.
Luis, Marco y Rosa calcularon las diagonales que tiene el heptágono de la derecha. Cada uno argumentó su respuesta.
Luis: tracé una a una las diagonales y son 14.
Marco Antonio: si de cada vértice se trazan 4
diagonales y la figura tiene 7 lados, entonces
posee 28 diagonales.
55
Rosa: desde cada vértice se pueden trazar 4 diagonales. Como
tiene 7 lados es posible dibujar 28
diagonales; pero, como cada una
se cuenta dos veces, entonces sólo
tenemos 14 diagonales.
Bloque 1 - Secuencia 6
57
S6
Sugerencias didácticas
Pida a los estudiantes que escriban la fórmula para calcular las diagonales de
cualquier polígono en una ficha de trabajo.
Lean el subtítulo y averigüe lo que saben acerca de los ángulos interiores
de los polígonos, retome como ejemplo al triángulo y al cuadrado.
a) Tracen todas las diagonales del heptágono. ¿Cuántas son?
b) ¿Qué razonamiento consideran que es correcto y por qué?
c) ¿Cuál de los razonamientos utilizarían para calcular el número de diagonales
Solucionario
de un polígono de 15 lados? Expliquen su respuesta.
5. a) Son 14 diagonales
b) El de Luis y el de Rosa. Marco contó dos veces las diagonales.
c) El de Rosa, porque el de Luis es largo y tedioso.
• 90 diagonales, ya que desde cada vértice se trazan 15 – 3 = 12
diagonales, y si se tienen 15 lados en total son 180 diagonales, pero
la mitad de ellas se repite, así son 90 diagonales en total.
d) 25(22)
= 275 diagonales
2
Integración
Número de lados
Diagonales desde
un vértice
Diagonales totales
4
1
2
9
6
27
11
8
44
17
14
119
• Calculen las diagonales, ¿cuántas tiene?
d) Considerando el razonamiento de Rosa, escriban una operación que permita
calcular el número total de diagonales de un polígono de 25 lados.
En grupo comparen sus respuestas. Traten de establecer una fórmula para calcular
el número de diagonales en otros polígonos y en general para cualquiera.
En un polígono de n lados:
• El número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice es n – 3.
• El número total de diagonales es n(n – 3) .
2
Integración
• Utiliza la información anterior y completa los valores en la tabla.
Número de lados
Diagonales desde un vértice
Diagonales totales
4
6
Suma de ángulos interiores de un polígono
11
14
Suma de ángulos interiores de un polígono
6. Realiza lo que se te pide.
a) En cada uno de los siguientes polígonos, elige un vértice y traza las diagonales
a partir de él.
58 Bloque 1 - Secuencia 6
56
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6. a)
Diagonales y ángulos interiores de un polígono
Sugerencias didácticas
b) A partir de la actividad con los polígonos anteriores completa las primeras tres
columnas de la tabla.
Polígono
Número de lados
Diagonales desde un
vértice
Número de triángulos
en que se dividió
Suma de los ángulos
interiores del polígono
Cuadrilátero
Pentágono
Hexágono
Octágono
Decágono
c) Observa los datos en la tabla anterior y escribe una expresión algebraica que
permita encontrar el número de triángulos en los que queda dividido un polígono de n lados si se trazan las diagonales desde un vértice.
d) En los polígonos siguientes se trazaron las diagonales desde un vértice y se
señalaron los ángulos interiores.
Glosario
ángulo interior de
un polígono. Ángulo
formado por dos lados
consecutivos.
Trace en el pizarrón algunos polígonos y pida a los alumnos que marquen
los ángulos interiores, apóyese en la sección “Glosario” para la actividad.
Pregunte también de qué manera se puede calcular la medida de la suma
de los ángulos interiores de cualquier polígono. Solicite que tracen todas las
diagonales desde un mismo vértice y analicen si eso les ayuda para encontrar
lo que buscan.
Recuérdeles el valor de la suma de los ángulos interiores de un triángulo.
Explíqueles que deberán aplicar ese conocimiento en el caso del cuadrado.
Pida que observen en cuántos triángulos se puede dividir y que, con esa
información, encuentren la suma de sus ángulos interiores. Usen el procedimiento anterior con otros polígonos.
Solucionario
b)
Polígono
Número
de lados
Diagonales
desde
un vértice
Número de
triángulos
en que
se dividió
Suma de
los ángulos
interiores
del polígono
Cuadrilátero
4
1
2
360°
Pentágono
5
2
3
540°
Hexágono
6
3
4
720°
Octágono
8
5
6
1 080°
Decágono
10
7
8
1 440°
• ¿En cuántos triángulos quedó dividido cada hexágono?
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• ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de cada triángulo?
• ¿Cuál es la suma de los ángulos de los triángulos en los que quedó dividido
cada hexágono?
• ¿Cuánto da la suma de los ángulos interiores de cada hexágono?
e) A partir del análisis en las figuras del inciso anterior calcula el resultado de la
suma total de los ángulos interiores de los polígonos en la tabla del inciso b) y
completa la última columna.
c) El número de triángulos en los que se divide un polígono de n lados
es igual a n – 2.
d) • En 4 triángulos
• La suma de los ángulos interiores de cada triángulo es 180°.
• La suma de los ángulos de los triángulos en los que se dividió cada
hexágono es de 720°.
• La suma de los ángulos interiores de un hexágono es de 720°.
En algunos casos los ángulos interiores del polígono corresponden a un
ángulo de algún triángulo. En otros, el ángulo del polígono queda dividido
y forma parte de los ángulos de dos o más triángulos.
Compara tus respuestas con las de tus compañeros. ¿Todos encontraron la misma
expresión en el inciso c)? Observen los triángulos en los que se divide cada polígono,
¿sumar todos los ángulos interiores del polígono es equivalente a sumar los ángulos
interiores del abanico de triángulos que lo forman? Expliquen su respuesta.
57
Bloque 1 - Secuencia 6
59
Sugerencias didácticas
S6
Para responder el inciso b) de la actividad “Integración”, se recomienda usar
GeoGebra para analizar la suma de los ángulos interiores de al menos dos
polígonos cóncavos. Esto ayudará a que los estudiantes observen que el
procedimiento funciona para cualquier polígono.
Se recomienda incluir el resultado del recuadro “Formalización” en la
ficha de trabajo, recuerde a sus estudiantes que la podrán usar en la sección
“Arribamos”.
Invite a los alumnos a realizar las actividades que se sugieren en la sección “Explora”, de ser posible, revíselos y resuelva las dudas que surjan.
Finalmente analicen en grupo el último recuadro de la sección “Formalización” y pida que escriban un problema relacionado con alguno de los
datos que se mencionan.
Integración
• Reflexiona con el resto del grupo.
a) ¿Qué relación hay entre la suma de los ángulos interiores de un polígono
cualquiera y el número de lados de ese polígono?
b) ¿La relación anterior se cumple para polígonos cóncavos y convexos?
Expliquen.
La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es 180°(n – 2).
Solucionario
7. Resuelvan los siguientes problemas en equipo.
a) ¿Cuánto suman los ángulos interiores del octágono regular de la izquierda?
Integración
• a) Al número de lados del polígono se le resta dos y el resultado se
multiplica por 180°.
b) Sí, en el caso de los polígonos cóncavos es importante trazar las
diagonales apropiadas a partir de cierto vértice y así se observa el
número de triángulos para determinar la suma de los ángulos internos
del polígono. Siendo el mismo procedimiento que en el caso de los
polígonos convexos.
b) Luis quiere dibujar un polígono irregular cuya suma de ángulos interiores sea
1 440°.
• Escriban una ecuación que modele la situación anterior y resuélvanla.
• ¿Cuántos lados tiene el polígono?
c) Consideren un polígono cuya suma de ángulos interiores sea 2 520°.
• Escriban una expresión matemática que les permita encontrar el número de
lados del polígono.
Explora
En el siguiente enlace
www.edutics.mx/UnD
encontrarás actividades
interactivas para calcular
la suma de los ángulos
interiores de diversos
polígonos.
• ¿Cuántos lados tiene el polígono?
• Si el polígono fuera regular, ¿cuánto mediría cada ángulo interior?
• Si fuera irregular, ¿cuánto mediría cada ángulo interior?
d) La suma de los ángulos interiores de un polígono es 2 700°. ¿Cuántas diagonales
tiene?
Comparen sus resultados y procedimientos con los de sus compañeros. ¿Plantearon
las mismas ecuaciones? Si hay diferencias, busquen el apoyo de su maestro.
A partir de la suma de los ángulos de un polígono se puede obtener mayor
información del mismo:
• el número de lados que tiene;
• la medida de un ángulo interior del polígono si éste es regular.
60 Bloque 1 - Secuencia 6
58
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7. a) 6 × 180° = 1 080°
• El ángulo mide 135°, tiene 8 ángulos iguales entonces cada uno
mide 1 080
= 135°
8
b) • 180(n – 2) = 1 440°
• El polígono tiene 10 lados.
c) • 180(n – 2) = 2 520
• El polígono tiene 16 lados.
• Cada ángulo mediría 1 57.5°
• No se puede saber porque es un polígono irregular.
d) El polígono tiene 119 diagonales.
• ¿Cuánto mide el ángulo marcado? Expliquen.
Diagonales y ángulos interiores de un polígono
Arribamos
1. Analiza la situación que se planteó al inicio de la secuencia y considera el
siguiente problema.
a) La figura de la derecha representa el trazo de todas las diagonales de un
polígono. ¿Cuántos lados tiene? ¿De qué figura se trata?
Arribamos
Sugerencias didácticas
Permita que los estudiantes usen la ficha de trabajo que realizaron a lo largo
de la secuencia para resolver las actividades de esta sección.
Al terminar los ejercicios, los estudiantes pueden verificar lo que aprendieron en la página recomendad en la sección “Explora”.
2. Encierra en un círculo rojo los polígonos en los que se trazaron rectas que
no son diagonales.
Convivimos
Analicen la sección “Convivimos” y genere una discusión a partir de la pregunta planteada. Para complementar pregunte ¿Por qué creen que es mejor
aprender en grupo? Dé oportunidad a la mayoría de participar comentando
su opinión.
Solucionario
3. Resuelve los siguientes problemas.
a) Si un polígono tiene 21 vértices, ¿cuántas diagonales tiene en total?
¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde uno de sus vértices?
b) ¿Cuánto mide la suma de los ángulos interiores de un heptágono regular?
¿Y cada ángulo interior?
c) Desde un vértice de un polígono irregular se pueden trazar 8 diagonales.
¿Cuál es la suma de sus ángulos interiores?
d) Si la suma de los ángulos interiores de un polígono irregular es 720°,
¿cuánto mide uno de sus ángulos interiores?
1. a) 5, es un pentágono.
2. En estos polígonos no todas las rectas son diagonales.
Explora
Para practicar lo estudiado
en esta secuencia, en
el siguiente enlace
www.edutics.mx/Unz
encontrarás actividades
que podrás resolver con
las propiedades de los
polígonos.
© Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.
4. Considera los polígonos de la imagen.
3. a) 189 diagonales, desde un vértice 18 diagonales.
b) La suma de los ángulos interiores de un heptágono regular es de 900°
y cada ángulo mide 128.571°.
c) La suma de sus ángulos interiores es de 1 620°.
d) No se puede saber porque es un polígono irregular.
4. a) Debe encerrar con azul el polígono de 9 lados, el eneágono.
b) Debe encerrar con verde el polígono que tenga 10 lados, el decágono.
c) Debe encerrar con rojo el polígono de 11 lados, endecágono.
Recursos adicionales
a) Encierra en un círculo azul el polígono cuya suma de ángulos interiores
es 1 260°
b) Encierra en un círculo verde el polígono cuyo ángulo interior mide 144°
c) Encierra en un círculo rojo el polígono que tiene 8 diagonales desde un
vértice.
Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Utilicen argumentos lógicos que les permitan comprobar las soluciones. Es importante que expliquen
las dificultades a las que se enfrentaron y cómo las resolvieron.
59
Convivimos
Al compartir ideas con tus
compañeros, recuerda
que todas las opiniones
son valiosas, incluyendo
la tuya. Reflexiona y
conversa: ¿qué importancia
le das a tus intervenciones
en clase?, ¿por qué?
En la siguiente página puede consultar los temas ya estudiados de manera
resumida:
• “Polígonos, clasificación, ángulos interiores”, disponible en www.edutics.
mx/wdU (consulta: 23 de agosto de 2018).
Bloque 1 - Secuencia 6
61
Relaciones entre los ángulos
de un polígono
Partimos
Sugerencias didácticas
Recuerde a los estudiantes las relaciones que ya conocen y cómo a partir de
ellas pueden determinar más características de los polígonos. Por ejemplo,
que expliquen cómo a partir del número de lados se puede saber el número
de diagonales; o bien, cómo pueden calcular la suma de los ángulos interiores de un polígono, entre otras.
Para responder el inciso a) de la actividad 1, explique qué es un ángulo
exterior y trace los ángulos exteriores de un triángulo, un cuadrado, un pentágono, un hexágono, etcétera. Después pregunte ¿Cuál es la relación entre
el número de lados, ángulos exteriores y ángulos interiores? Los alumnos
deben observar que hay el mismo número de ángulos interiores que de exteriores. Para responder el inciso c), puede usar GeoGebra para trazar varios
polígonos y determinar ángulos interiores y exteriores, de ésta forma podrán
analizar las relaciones que existen entre los elementos del polígono a partir
de sus ángulos exteriores.
S7
Relaciones entre los ángulos
de un polígono
Deduce y usa las
relaciones entre los
ángulos interiores,
exteriores y centrales de
polígonos regulares.
En un polígono cualquiera hay dos tipos de ángulos: los ángulos interiores, cuyas
propiedades estudiaste en la secuencia anterior, y los ángulos exteriores. Además,
cuando el polígono está dentro de una circunferencia, existe otro tipo de ángulo
llamado ángulo central. En esta secuencia estudiarás los ángulos de un polígono
regular, sus propiedades y las relaciones que existen entre ellos.
Partimos
1. Analiza la situación y contesta.
Al arquitecto Martínez le entregaron los viejos planos de un complejo recreativo. El papel está deteriorado y roto, por lo que ya no se aprecian todos
los trazos. En el proyecto estaba contemplada la creación de un parque
que tendría la forma de un polígono regular; sin embargo, lo único que se
aprecia en los planos es parte de su contorno y un ángulo exterior, como
se muestra en la figura.
a) ¿Cuántos ángulos exteriores tiene el polígono?
b) Dibuja con color rojo un
ángulo interior del polígono. ¿Cuántos tendrá
en total?
c) ¿Cómo se puede saber
el número de lados del
polígono a partir de la
información que da el
plano?
Solucionario
1. a) La misma cantidad que el número de lados.
b) El número de ángulos interiores es el mismo que el de lados.
c) R. M. Conociendo el valor de los ángulos exteriores se puede calcular
el valor de los ángulos interiores, luego se puede calcular el número
de lados.
Compara tus respuestas con las de algún compañero. ¿Existen diversos procedimientos para conocer el número de lados de un polígono regular si se
conoce la medida del ángulo exterior?
Recorremos
Ángulos interiores, exteriores y centrales
F
A
Recomiende a los estudiantes alargar los lados del polígono.
128°
Solucionario
Ángulos interiores, exteriores y centrales
Recorremos
Sugerencias didácticas
B
1. a) En cada vértice se debe dibujar el ángulo exterior correspondiente.
137°
f
135°
116°
101°
C
103°
D
62 Bloque 1 - Secuencia 7
1. Resuelvan en parejas el siguiente problema.
Se desea construir una puerta en un corral de forma irregular con seis
E lados. La abertura de la puerta, ubicada en uno de ellos, debe ser tal que
ésta quede alineada al lado adyacente en el que se apoya. El hexágono
irregular ABCDEF muestra la representación del corral, con la medida
de los ángulos interiores y la abertura de la puerta si ésta se localizara
en el lado EF.
a) Dibujen la abertura que tendría la puerta si se colocara en los otros
lados.
60
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S7
Sugerencias didácticas
Sugiera a sus alumnos utilizar el transportador para medir los ángulos que
se solicitan en la página 60 y, de ésta manera, puedan contestar el inciso
b). Para responder el inciso d) utilice el resultado del valor de la suma de un
ángulo interior con un ángulo exterior. Solicite que escriban éste resultado
en una ficha de trabajo.
Para resolver el problema 2, diga a los alumnos que lean la sección “Glosario”, explique que el prefijo “in” significa “dentro de”, así la frase “polígono
inscrito en una circunferencia” significa “polígono dentro de una circunferencia”, con el mismo centro.
b) Si se requiere que la puerta tenga la mayor abertura posible, ¿en qué lado
conviene colocarla?
c) ¿Cuánto suman la medida del ∠ AFE y la medida del ∠ f?
d) Escojan cualquier ángulo interior y calculen la suma de su valor y el valor del
ángulo de la abertura de la puerta correspondiente. ¿Cuánto vale dicha suma?
e) ¿Cómo podrían conocer la abertura de la puerta sin utilizar transportador?
Solucionario
Comparen sus respuestas con sus compañeros. ¿Observaron las mismas relaciones
entre los ángulos? ¿Qué contenidos de los temas estudiados en primer grado de
secundaria utilizaron para resolver el problema?
b) En el lado BC, vértice C.
c) La suma de los ángulos AFE y f es igual a 180°.
d) La suma de cualquier ángulo interior con su correspondiente ángulo
exterior siempre es igual a 180°.
e) Ya que ambos ángulos suman 180°, basta con restar a 180° el valor del
ángulo interno.
2. R. M.
El ángulo exterior de un polígono es el ángulo
formado por un lado del polígono y la prolongación del lado adyacente.
En cualquier polígono la suma de un ángulo
interior y su exterior correspondiente es 180°.
Glosario
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2. Traza, utilizando tu juego de geometría, un polígono irregular de seis lados inscrito
en la siguiente circunferencia.
polígono inscrito. Un
polígono está inscrito
en una circunferencia si
cada uno de sus vértices
coincide con un punto de
la circunferencia.
a) R. M. Se eligen seis puntos en la circunferencia, cada uno es un vértice
del polígono, y se unen con segmentos de recta para trazar los lados.
b) La suma de los ángulos centrales es igual a 360°.
c) R. M. No son iguales, sus medidas son diferentes.
a) Explica qué procedimiento utilizaste para trazarlo.
b) Traza todos los ángulos que van del centro de la circunferencia a los vértices
del polígono (ángulos centrales). ¿Cuánto mide la suma de éstos?
c) ¿Los ángulos centrales son iguales? Explica tu respuesta.
61
Recursos adicionales
En la siguiente página puede consultar de manera más general los conceptos
estudiados en esta secuencia y la anterior:
• “Propiedades de los polígonos”, disponible en www.edutics.mx/wdw
(consulta: 24 de agosto de 2018).
Bloque 1 - Secuencia 7
63
S7
Analice en grupo la sección “Recuerda” y pregunte ¿Qué rectas son bisectrices de los ángulos DOB y GOH? ¿Qué recta es bisectriz del ángulo HOD?
Como la segunda pregunta no se puede responder de acuerdo con la imagen, le servirá para verificar la comprensión del concepto de manera abstracta.
Considere hacer un breve repaso de conocimientos previos y relaciónelos con los conceptos de la página, pregunte, por ejemplo ¿Qué se forma
cuando trazas la bisectriz de uno de los ángulos interiores de un cuadrado?
¿Qué figuras obtienes? ¿Cuánto miden los ángulos interiores de un cuadrado?
¿Cuánto miden los ángulos que se forman cuando trazas la bisectriz? Los
alumnos deben observar que la bisectriz es la diagonal.
Al terminar las actividades, analicen la información de la sección “Formalización” para después preguntar ¿Cuánto mide el ángulo central de un
decágono? Si un ángulo central mide 30°, ¿de qué polígono se trata?
Solucionario
3. a) Un octágono
• El ángulo quedó dividido en ocho partes iguales.
• El ángulo DOA mide 90° y el COD mide 180°.
• El ángulo DOE mide 45°, porque el segmento OE es bisectriz del
ángulo DOA.
• Cada uno de los ángulos centrales mide 45°.
• La suma de los ángulos centrales mide 360°.
• Dividiendo 360° entre 8.
b)
3. Analicen en parejas las imágenes y contesten.
a) Octavio trazó un polígono regular inscrito en una circunferencia, siguiendo el
procedimiento que se muestra. ¿Qué polígono trazó?
A
A
H
C
O
D
H
E
O
C
G
B
A
Bisectriz
D
F
B
E
O
C
G
Bisectriz
D
F
B
• ¿En cuántas partes quedó dividido el ángulo completo en O?
Recuerda
La bisectriz de un ángulo
es la recta que lo divide en
dos partes iguales.
• ¿Cuánto mide el DOA?
¿Y el COD?
• ¿Cuánto mide el DOE? Expliquen.
• ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos centrales con vértice en O?
• ¿Cuánto mide la suma de todos los ángulos con vértice en O?
• ¿Cómo pueden saber cuánto mide cada uno de los ángulos con vértice en
O del octágono a partir del ángulo completo en O?
b) Señalen un ángulo central e indiquen su medida en cada uno de los siguientes
polígonos regulares.
Ángulo central:
Ángulo central:
Ángulo central:
En grupo discutan la relación entre la medida del ángulo central de un polígono
regular y el número de lados de éste.
El ángulo central de un polígono está formado por dos radios que unen el centro
del polígono (el cual coincide con el centro de la circunferencia que lo inscribe)
y dos vértices consecutivos del mismo.
• Ángulo central del hexágono: 60°
• Ángulo central del pentágono: 72°
• Ángulo central del heptágono: 51.428°
64 Bloque 1 - Secuencia 7
Si el polígono es regular, todos los ángulos centrales son iguales y miden
donde n es el número de lados del polígono.
62
360°
n ,
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Sugerencias didácticas
Relaciones entre los ángulos de un polígono
Sugerencias didácticas
Después de responder la actividad “Integración”, muestre la relación de los
nombres de los ángulos con su ubicación así será más fácil identificarlos.
Al terminar el análisis de la actividad 4, explique que las relaciones entre los conceptos y los elementos matemáticos sirven para obtener datos
desconocidos a partir de los que sí se conocen; por ejemplo, la medida de
un ángulo central ayuda a determinar el número de lados de un polígono.
Integración
• A manera de resumen, escribe el nombre de cada ángulo que se señala en el
siguiente polígono.
Solucionario
Integración
Ángulo central
Suma de ángulos exteriores de un polígono convexo
4. Traza el ángulo interior correspondiente a cada ángulo exterior que se ha marcado
en el cuadrilátero de la derecha.
a) ¿Cuánto vale la suma de un ángulo interior con su ángulo exterior correspon-
Ángulo interior
Ángulo exterior
diente?
b) ¿Cuánto se obtiene al sumar todos los pares de ángulos interiores y exteriores
marcados?
c) Si a la suma de todos los ángulos marcados le restas el valor de todos los án-
Suma de ángulos exteriores
de un polígono convexo
gulos interiores, ¿qué representa la cantidad que obtienes?
4.
d) ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un cuadrilátero?
Explica tu respuesta.
e) ¿Cuánto vale la suma de los ángulos exteriores de un cuadrilátero?
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Explica tu respuesta.
5. Reúnete con un compañero y realicen lo que se indica.
En el siguiente pentágono regular se denotó cada ángulo interior mediante una
letra minúscula y, el ángulo exterior correspondiente, con la misma letra en
mayúscula.
a) Escriban una expresión algebraica que represente la suma de los ángulos exteriores.
b) Como los ángulos que tienen las mismas letras son suplementarios
entonces:
A = 180° –
E
A
= 180° –
= 180° –
e
a
d
D
= 180° –
= 180° –
c) ¿Cuánto suman los ángulos interiores del pentágono?
B
b
c
C
63
a) La suma es igual a 180°.
b) El total de la suma de todos los ángulos es igual a 720°.
c) La suma de todos los ángulos exteriores.
d) 360°, el número de lados menos dos por 180°, 180(4 – 2).
e) 360°, 720° – 360° = 360°
5. a) A + B + C + D + E
b) A = 180° – a
B = 180° – b
C = 180° – c
D = 180° – d
E = 180° – e
c) 540°, utilizando la fórmula de la secuencia 6: 180(5 – 2) = 540.
Bloque 1 - Secuencia 7
65
S7
Sugerencias didácticas
Para comprender el proceso de solución del inciso e), escriba el desarrollo
completo en el pizarrón. Explique a los estudiantes las sustituciones que se
harán, y comente que se pueden hacer porque las dos expresiones son equivalentes; por ejemplo, como A + a = 180°, se puede utilizar A o 180° – a,
según convenga.
Al terminar la actividad 6, pida que expresen con sus palabras cuánto vale
la suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono. Por último, lean la
sección “Formalización”.
d) Escriban una expresión algebraica que represente la suma de los ángulos interiores del pentágono.
e) Completen las igualdades.
A + B + C + D + E = (180° – a) + (
+(
–
A + B + C + D + E = 180° +
–
–
d) a + b + c + d + e = 540°
e) A + B + C + D + E = (180° – a) + (180° – b) + (180° – c) + (180° –
d) + (180° – e)
A + B + C + D + E = 180° + 180° + 180° + 180° + 180° – a – b –
c–d–e
A + B + C + D + E = 5(180°) – (a + b + c + d + e)
A + B + C + D + E = 900° – (540°)
f) 360°
6. a) La suma de los ángulos interiores del octágono regular es 1 080°.
b) La suma de los ángulos interiores del hexágono irregular es 720°.
c) Se suma 8 veces. Equivale a 1 440°.
d) Se suma 6 veces. Equivale a 1 080°.
e) A: 1 440° – 1 080° = 360°
B: 1 080° – 720° = 360°
f) En ambos casos la suma es igual a 360°.
Relaciones entre los ángulos centrales, interiores y exteriores
de un polígono regular
–
+
–
)
)
+
+
–a–b
–
A+B+C+D+E =
Solucionario
)+(
–
)+(
(180°) – (a + b +
A+B+C+D+E = (
+
+
) – (540°)
f) ¿Cuánto vale la suma de los ángulos exteriores del pentágono?
6. Consideren un octágono regular A y un hexágono irregular B.
a) ¿Cuánto vale la suma de los ángulos interiores de A?
b) ¿Y la suma de los ángulos interiores de B?
c) Si se suman todos los ángulos interiores y exteriores de A, ¿cuántas veces se
suma 180°?
¿A cuántos grados equivale?
d) Si se suman todos los ángulos interiores y exteriores de B, ¿cuántas veces se
suma 180°?
¿A cuántos grados equivale?
e) Expresa por medio de una operación cuánto vale la suma de los ángulos exteriores de A y cuánto los de B.
f) ¿Cuánto vale la suma de los ángulos exteriores de A y de B?
Comparen sus respuestas con las de otra pareja. Discutan si el procedimiento depende del número de lados que tiene el polígono o si depende de que el polígono
sea regular o irregular.
a
b
Relaciones entre los ángulos centrales,
interiores y exteriores de un polígono regular
7. Considera el siguiente eneágono regular.
Traza un ángulo interior y un ángulo central y denótalos como a y b, respectivamente.
a) ¿Todos los ángulos interiores son iguales al ángulo
a? Explica tu respuesta.
a) Sí, porque el polígono es regular.
66 Bloque 1 - Secuencia 7
64
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La suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono convexo es 360°.
7.
Relaciones entre los ángulos de un polígono
Sugerencias didácticas
Revise la respuesta del inciso d) de la actividad 8, es importante que los estudiantes aprendan a sustituir valores y a simplificar expresiones algebraicas
de manera correcta.
Si es necesario, intervenga en la solución de la actividad “Integración”,
comente a los alumnos que observen las relaciones entre ángulos y pregunte
¿Cuál es la medida de la suma de un ángulo interior y un ángulo exterior? ¿En
cuántos ángulos se divide el ángulo central de la imagen? ¿Cuánto mide la
suma de los ángulos centrales?
b) ¿Todos los ángulos centrales son iguales al ángulo b? Explica tu respuesta.
c) ¿Cuánto mide b? Explica tu respuesta.
d) ¿Cuánto mide la suma de los ángulos interiores del eneágono? Explica tu respuesta.
e) ¿Cuánto mide a? Explica tu respuesta.
Aprendemos
f) ¿Cuánto vale la suma de un ángulo interior y un ángulo central del eneágono?
Al terminar las actividades de esta página, pida que lean esta sección y escuchen de manera atenta y respetuosa los argumentos de sus compañeros.
Puede poner ejemplos claros del uso de gráficos en mapas, rectas numéricas,
figuras geométricas, entre otras.
8. Reúnete con un compañero. Consideren un polígono regular de n lados.
a) Escriban una expresión algebraica que indique el valor de la suma de sus ángulos interiores.
b) Escriban una expresión algebraica que indique el valor de un ángulo interior.
Solucionario
b) Sí, porque es un polígono regular.
c) Dado que es un polígono regular de 9 lados entonces, un ángulo
central es 360°
= 40°.
9
d) 180° (n – 2) = 180° (9 – 2) = 1 260°
e) Dado que es un polígono regular, tiene 9 ángulos interiores iguales,
entonces, un ángulo interior es 1 260°
= 140°.
9
f) La suma de un ángulo interior y uno central es igual a 180°.
c) Escriban una expresión algebraica que indique el valor de un ángulo central
del polígono.
d) Sumen las expresiones que obtuvieron en los incisos b) y c) y simplifiquen.
+
=
+
=
8. a) 180 (n – 2)
+
=
b)
c)
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Con el resto del grupo establezcan una conclusión acerca de cuánto suman un
ángulo central y un ángulo interior en un polígono regular de n lados.
d)
Aprendemos
Integración
• Contesten de forma grupal.
a) ¿Cuántos grados miden los ángulos marcados en el polígono?
∡ a:
c
∡ b:
b
∡ c:
Reflexiona: en los temas
geométricos, ¿cómo te
pueden ayudar los dibujos
y las representaciones
gráficas para resolver un
problema?
180(n – 2)
n
360
n
180(n – 2)
n
180(n – 2)
n
180(n – 2)
n
+
+
+
360
n
360
n
360
n
=
=
180n – 360 + 360
n
180n
n
= 180°
Un ángulo central más un ángulo interior suman 180°.
Integración
∡ a: 36°
∡ b: 144°
∡ c: 36°
a
65
Bloque 1 - Secuencia 7
67
S7
Sugerencias didácticas
Haga un análisis previo a la solución de la actividad 9, pregunte a los alumnos
¿Qué ángulos se deben calcular en los polígonos? ¿Cómo se calcula el ángulo
central? ¿Cuál es la fórmula para calcular la suma de los ángulos interiores? ¿El
ángulo z es un ángulo exterior? Para que se den cuenta de que el ángulo z no
es un ángulo exterior, pida que prolonguen los lados que forman al ángulo.
b) ¿Qué relación existe entre el ángulo a y el ángulo c?
c) ¿La relación anterior se cumple en cualquier polígono regular?
Argumenten.
Solucionario
d) Escriban con sus propias palabras la relación que existe entre el ángulo
b) Son iguales
c) Sí, porque sin importar el número de lados siempre se cumple que
a + b = 180° y b + c = 180°, entonces a = c.
d) R. M. En cualquier polígono regular el ángulo central es igual al ángulo
exterior.
central y el ángulo exterior de un polígono regular.
En un polígono regular los ángulos centrales y los ángulos exteriores son iguales.
9.
z
y
x
y
9. Encuentren en equipo, en cada uno de los polígonos regulares, las medidas de
los ángulos indicados. Justifiquen sus respuestas oralmente.
z
x
x
z
z
y
y
z
x
x
x
x = 144°
x = 120°
x = 120°
y = 108°
y = 60°
y = 120°
z = 252°
z = 300°
z = 240°
y
y
z
x
y
z
x
y
x=
x=
x=
y=
y=
y=
z=
z=
z=
z
z
y
x
x
x = 90°
x = 32.73°
x = 102.86°
y = 90°
y = 147.27°
y = 128.57°
z = 270°
z = 212.73°
z = 231.43°
Recursos adicionales
En la siguiente página encontrará ejercicios relacionados con el tema:
• “Ángulos de un polígono”, disponible en www.edutics.mx/UnD (consulta:
24 de agosto de 2018.)
68 Bloque 1 - Secuencia 7
z
x
y
y
z
y
x=
x=
x=
y=
y=
y=
z=
z=
z=
Además de lo estudiado en la secuencia, recuerden las características de los polígonos regulares. Utilicen esa información para justificar sus argumentos sobre como
obtuvieron los valores numéricos de los ángulos.
66
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x
z
Relaciones entre los ángulos de un polígono
Arribamos
1. Retoma el problema al inicio de la secuencia y contesta.
En el plano arquitectónico también se aprecia que la fuente central del parque tendrá forma de hexágono regular, con jardineras en cada lado. ¿Cuánto
miden los ángulos a y b?
Arribamos
Sugerencias didácticas
Muestre a los estudiantes lo útil que son los esquemas o imágenes en la
solución de problemas. Para ello trace en el pizarrón los dibujos A y B y
pregunte ¿Cuánto miden los ángulos que se muestran en las siguientes figuras? Es importante que los estudiantes aprendan a resumir y seleccionar las
herramientas que van a utilizar.
A
2. Encuentra en cada polígono el valor de los ángulos señalados con letras.
72°
x
x
70°
90°
x
148°
x
155°
y
x=
x=
y=
a
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b
c
a=
d
b=
c=
d=
3. Escribe el nombre del polígono al que se refiere cada descripción.
a) Polígono regular cuyo ángulo central mide 45°.
b) Polígono regular cuyo ángulo exterior mide 72°.
c) Polígono regular cuyo ángulo exterior mide el doble que su ángulo interior
correspondiente.
d) Polígono cuya suma de ángulos interiores es igual a la suma de sus ángulos exteriores.
e) Polígono regular cuyo ángulo exterior mide 360° .
n
f) Polígono cuya suma de ángulos exteriores es 360°.
Explora
Resuelve los ejercicios en
el siguiente enlace
www.edutics.mx/Unj
para practicar lo estudiado
en esta secuencia.
B
Al terminar las actividades invite a los alumnos a visitar la página recomendada en la sección “Explora” y pida que resuelvan las actividades correspondientes.
Solucionario
1. ∡ a = 120° y ∡ b = 60°
2. Triángulo: x = 40°
Hexágono irregular: x = 135° y y = 45°
Heptágono regular: a = 51.42° y b = 51.42°
Dodecágono regular: c = 30° y d = 60°
3. a) Octágono
b) Pentágono
c) Triángulo equilátero
d) Cuadrilátero
e) n – ágono o polígono regular de n lados.
f) Cualquier polígono.
Recursos adicionales
En el siguiente video puede consultar ejercicios adicionales para ayudar a
los estudiantes:
• “Problemas de polígonos regulares sobre ángulos y diagonales”, disponible en www.edutics.mx/wdi (consulta: 24 de agosto de 2018).
Compara tus respuestas con las de tus compañeros.
67
Bloque 1 - Secuencia 7
69
Múltiplos y submúltiplos
del metro, litro y kilogramo
Partimos
Sugerencias didácticas
Solicite la participación de uno de los alumnos para leer el párrafo introductorio de la secuencia. Pregunte al grupo si conocen las unidades de medida
que se mencionan, si las han utilizado y de qué manera; después pida que
analicen la sección “Glosario” y pregunte ¿Qué otras magnitudes conocen?,
¿por qué son necesarias diversas escalas para la misma magnitud? Es decir,
¿por qué existe el km, m, dm, cm, mm? Permita que obtengan sus conclusiones y si es necesario intervenga ¿Qué unidad usarían para medir el grosor de
un cabello? ¿Qué unidad usarían para medir la distancia del Sol a la Tierra?
¿Qué unidad utilizarían para medir la talla de un bebé? Entre otras cosas, el
objetivo es que se perciba la necesidad de utilizar diferentes escalas para la
misma magnitud.
S8
Resuelve problemas que
implican conversiones en
múltiplos y submúltiplos
del metro, litro y
kilogramo.
Partimos
Glosario
magnitud. Propiedad de
los cuerpos que puede
ser medida, como por
ejemplo, la masa o la
longitud.
Múltiplos y submúltiplos del metro,
litro y kilogramo
En primaria aprendiste a estimar, comparar y ordenar longitudes y distancias, capacidades y masas por medio de unidades convencionales como el metro, el litro, el
kilogramo (así como medios y cuartos de estas unidades), el centímetro, el milímetro,
el mililitro y el gramo. En esta secuencia formularás estrategias para convertir unidades
de medida para una misma magnitud.
1. Analiza la información y responde.
En promedio una persona debe tomar dos litros de agua al día. En ocasiones, para señalar la cantidad de agua consumida se contabiliza en número
de vasos. El equivalente a medio litro de agua en vasos se muestra en la
siguiente figura.
Somos
250 mL
Pida a los alumnos que lean la información de esta sección y realice un pequeño análisis preguntando ¿Cuánta agua consumen al día? ¿Qué actividades
físicas realizan? ¿Con qué frecuencia? Dependiendo de las respuestas sugiera
actividades físicas aeróbicas para mantener ágil el cuerpo. Mencione que la
OMS recomienda beber agua natural y practicar deportes para estar sanos.
a) ¿A cuántos mililitros equivale un litro?
b) Si una persona al cumplir 15 años, por prescripción médica, inicia el hábito
de tomar dos litros de agua diariamente y vive 85 años, ¿cuántos vasos de
250 mL habrá tomado en ese tiempo?
Reúnete con tus compañeros. Cada uno explique cómo entendieron y resolvieron el problema. Para calcular, ¿consideraron 85 o 70 años? ¿Por qué?
Solucionario
1. a) 1 L equivale a 1 000 mL.
b) 204 400 vasos
Recorremos
70, ya que antes de los 15 no toma dicha cantidad de agua, así el tiempo
que consumió dos litros de agua diarios es de 70 años.
Unidades de longitud
1. Resuelve el siguiente problema.
Gracias a una aplicación del celular de su papá, Esther sabe que para ir de la
escuela a su casa la distancia es un kilómetro. Ella quiere saber cuántos pasos
camina; para ello, marca en el suelo una de sus huellas y la mide con una regla
de madera de un metro.
Somos
Valora: ¿cuál es la
importancia de tener
hábitos saludables como
tomar agua y realizar
alguna actividad física?
70 Bloque 1 - Secuencia 8
250 mL
60 cm
68
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S8
Recorremos
a) ¿Aproximadamente cuántos pasos da Esther de su casa a la escuela?
Sugerencias didácticas
Muestre a sus estudiantes una regla de 1 m y pregunte ¿Cuántos pasos daré
en un metro? Escuche las respuestas y explique que no podrá dar dos pasos
completos pero que un aproximado es 1 23 ya que es posible dar un paso y
sobran 40 cm.
Para resolver la actividad 1 pregunte ¿Cuántos metros hay en 1 km? ¿Qué
debes hacer para calcular el total de pasos que dará en 1 km?
Antes de analizar la información de la sección “Formalización”, lean la
sección “Glosario” y pregunte ¿Cuál es la diferencia entre múltiplo y submúltiplo? ¿Cuál es un submúltiplo del metro y cual un múltiplo? ¿Qué medirías
con cada uno?
b) Esther observa en la regla de madera que en un metro hay 100 cm y encontró
en internet que un kilómetro es mil veces la longitud de un metro.
• ¿Cuántos metros hay en un kilómetro?
• ¿Cuántos centímetros hay en un kilómetro? Describe cómo lo calculaste.
1 m = 100 cm
1 km =
cm
Unidades de longitud
• ¿Qué fracción de un metro es un centímetro?
Solucionario
• ¿Qué fracción de un kilómetro es un centímetro? Explica.
c) ¿Cómo utilizarías lo anterior para calcular los pasos que camina Esther?
Compara tus respuestas con las de tus compañeros. ¿Cómo calcularon la cantidad
de pasos? ¿La respuesta fue un número exacto? ¿Cómo lo interpretan?
El metro es una unidad para medir longitudes. A partir de él se derivan otras
unidades, tanto mayores (múltiplos) como menores (submúltiplos).
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Los nombres de estas unidades están formados por los prefijos griegos seguidos
de la palabra metro. Los valores de algunos prefijos son los siguientes:
deca: diez veces
hecto: cien veces
kilo: mil veces
deci: una décima parte
centi: una centésima parte
mili: una milésima parte
Glosario
múltiplo. Número que
contiene una cantidad
exacta de veces a otro.
submúltiplo. Número
contenido en otro cierta
cantidad de veces de
manera exacta.
1. a) Esther camina 1 666.666 pasos aproximadamente.
b) • 1 000 m
• 100 000 cm. Ya que 1 m es igual a 100 cm y en 1 km hay 1 000 veces
un metro, entonces en 1 km hay 1 000 veces 100.
1 = 0.01
• Una centésima parte, 100
• Una cien milésima parte, 1001000 . Ya que 1 km = 1 000 m
= 100 000 cm, así un centímetro es la cienmilésima parte de un
kilómetro.
c) Dividiendo los 100 000 cm entre los 60 cm de la huella de Esther.
R. M. Que dio 1 666 pasos y la fracción de un paso más.
2.
Prefijo kilo hecto deca
Con estos mismos prefijos es posible formar los múltiplos y submúltiplos de las
unidades de medida de cualquier magnitud.
unidad
deci
centi
mili
Símbolo
km
hm
dam
m
dm
cm
mm
Valor
1000
100
10
1
1 = 0.1
10
1 = 0.01
100
1 = 0.001
1 000
2. Con base en la información anterior, completen en equipos la siguiente tabla y
contesten.
Prefijo
kilo
hecto
deca
unidad
Símbolo
km
hm
dam
Valor
1 000
deci
centi
mili
m
dm
cm
mm
1
1
= 0.1
10
69
Bloque 1 - Secuencia 8
71
Se recomienda establecer una relación entre los prefijos de la tabla y el valor
posicional del sistema decimal. Por ejemplo, a la izquierda de la unidad están
las decenas, centenas, millares, etcétera, mientras que a la derecha de la unidad están los décimos, centésimo, milésimos. Otra manera de verlo es que a
la izquierda de la unidad están los múltiplos y a la derecha, los submúltiplos.
Después del intercambio de problemas de la actividad “Integración”, seleccione algunos de los problemas inventados por sus estudiantes y pida que
los expongan y resuelvan. Evalúe el desempeño del grupo en el desarrollo
de la actividad.
Lean el título del siguiente subtema y pregunte ¿Qué miden las unidades
de masa? ¿Qué unidades de masa has utilizado con mayor frecuencia? ¿Qué
unidad utilizan las personas para hacer sus compras en el mercado? ¿Por qué
crees que son necesarios los múltiplos y submúltiplos del kilogramo? Escuche
las respuestas y aclare las dudas que surjan.
Al terminar la actividad 4 pregunte ¿Qué operaciones están involucradas
entre el cálculo de múltiplos y submúltiplos de una unidad de medida? Los
alumnos deben observar que en unas ocasiones debe utilizar multiplicaciones y en otras divisiones.
Solucionario
1 = 10
10 veces, 0.1
100 veces, es un múltiplo de la unidad.
000 = 10
10 veces, 1100
El valor de la referencia contiene 10 veces al de la derecha.
La referencia es contenida 10 veces con respecto al valor de la
izquierda.
3. Le faltan 4 500 m = 4.5 km
a) Faltan 7 500 pasos.
a)
b)
c)
d)
e)
Integración
• R. L.
S8
a) ¿Cuántas veces contiene la unidad base a la correspondiente del prefijo deci?
b) ¿Cuántas veces contiene un hectómetro a un metro? ¿Es múltiplo o submúltiplo
de la unidad?
c) ¿Cuántas veces contiene 1 km a 1 hm? Expliquen su razonamiento.
d) Tomando como referencia un múltiplo o submúltiplo, ¿cuál es la relación entre
el valor de la referencia y el siguiente a la derecha?
e) ¿Cuál es la relación entre el valor de la referencia y el siguiente a la izquierda?
Comparen sus respuestas con otros equipos. ¿Qué relaciones encuentran entre los
múltiplos y submúltiplos? Analicen: ¿es posible decir que un hectómetro es a la vez
un múltiplo del metro y un submúltiplo del kilómetro? ¿Por qué?
3. Resuelvan en parejas el siguiente problema.
Esther se ha entusiasmado con la idea de practicar la caminata y participa en
una carrera de 5 km. Si Esther ha recorrido 500 m, ¿cuántos metros le falta por
recorrer?
a) ¿A cuántos pasos suyos equivale la distancia que le falta?
Comparen sus respuestas y procedimientos con otras parejas.
Integración
• Trabaja con un compañero e inventen un problema en los que sea necesario
realizar conversiones de unidades de longitud.
• Intercambien con otra pareja el problema que plantearon y resuelvan el que
les den.
Unidades de masa
Unidades de masa
4. a) Cada pieza de piloncillo tiene una masa de 220 g.
4. Lee la situación y contesta.
Alan necesita 3 kg de piloncillo. En la tienda venden tanto bolsas con 5 piezas como
piezas sueltas.
a) ¿Cuántos gramos tiene cada pieza de piloncillo?
72
Bloque 1 - Secuencia 8
70
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Sugerencias didácticas
Múltiplos y submúltiplos del metro, litro y kilogramo
Solucionario
b)
b) Considera la información de la página 69 y completa la tabla. Incluye los símbolos de las unidades, múltiplos y submúltiplos.
Múltiplos
kilogramos
hectogramos
Unidad
decagramos
gramos
Submúltiplos
decigramos
centigramos
3 kg
Unidad
kilogramos
hectogramos
decagramos
gramos
3 kg
30 hg
300 dag
3 000 g
3 000 000 mg
c) Si Alan pide 2 bolsas, ¿cuánto le falta?
d) Con base en la tabla anterior, contesta.
• ¿Qué operación realizaste para convertir gramos a decagramos?
• ¿Qué operación realizaste para convertir gramos a decigramos?
e) Para completar los 3 kg que necesita, Alan compró algunos piloncillos sueltos.
Al colocarlos en la báscula pesaron 8.8 hg. ¿Cuántas piezas compró?
Con tus compañeros explica las analogías entre la conversión de múltiplos y submúltiplos de las unidades de masa y longitud. Analicen las regularidades y traten
de establecer una estrategia.
La unidad de masa convencional no es el gramo sino el kilogramo; es la única
cuyo nombre contiene un prefijo (kilo).
Sin embargo, los nombres y los símbolos de los múltiplos y submúltiplos decimales de la unidad de masa se forman añadiendo los nombres de los prefijos a
la palabra “gramo” y los símbolos de estos prefijos al símbolo de la unidad “g”.
Por ejemplo para un decigramo el símbolo usado es dg.
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Múltiplos
Unidad
Submúltiplos
gramos
decigramos
centigramos
miligramos
3 000 g
30 000 dg
300 000 cg
3 000 000 mg
c) 800 g = 0.8 kg
d) • Una división, 3 000
= 300
10
• Una multiplicación, 3 000(10) = 30 000
e) Compró 4 piezas de piloncillo.
Unidades de capacidad
5. a) • 13 333.333 unidades de sangre. 60 hL = 6 000 L = 6 000 000 mL,
dicha sangre se divide en unidades de 450 mL,
6 000 000 = 13 333.33
4540
• 14 700 unidades
• Sí, ya que necesitaba 13 333.33 unidades como mínimo y logró
recolectar 14 700 unidades.
• 1 367 unidades
• 615.15 L
Recursos adicionales
Unidades de capacidad
5. Lean y contesten en parejas.
a) Los bancos de sangre colectan a través de sus donadores unidades con
450 mL de sangre cada una. Cada persona puede donar hasta una unidad de
sangre cada vez. Supongan que en una campaña anual se espera juntar 60 hL
de sangre y se acepta la sangre de 14 700 personas.
• ¿Cuántas unidades de sangre se espera juntar? Expliquen su razonamiento.
En la siguiente página puede consultar información relacionada con el tema:
• “Presentación, múltiplos y submúltiplos”, disponible en www.edutics.mx/
wdS (consulta: 24 de agosto de 2018).
• ¿Cuántas unidades se podrán juntar?
• ¿La campaña logra colectar lo que tenían estimado?
• ¿Cuál es la diferencia entre la meta y lo colectado?
• ¿A cuántos litros equivale?
71
Bloque 1 - Secuencia 8
73
S8
Sugerencias didácticas
Haga una lista como la siguiente, y péguela en el salón de clases.
Longitud
Masa
Capacidad
Deca 10
Decámetro
Decagramo
Decalitro
Hecto 100
Hectómetro
Hectogramo
Hectolitro
Kilo 1000
Kilometro
Kilogramo
Kilolitro
Deci 0.1
Decímetro
Decigramo
Decilitro
b) Escriban los múltiplos y submúltiplos del litro con sus equivalencias. Consideren
la siguiente información.
Como en el caso del metro y el kilogramo, diez unidades de medida de capacidad iguales equivalen a la unidad inmediatamente mayor.
Unidad de capacidad
1L
Múltiplos
Centi 0.01
Centímetro
Centigramo
Centilitro
Solucionario
Nombre
Símbolo
decalitro
daL
Submúltiplos
Equivalencia
Nombre
Símbolo
Equivalencia
dL
hectolitro
centilitro
b)
1 000 L
mililitro
0.001 L
Unidad de capacidad
Comparen sus respuestas con las de sus compañeros. Si lo consideran adecuado,
hagan tablas semejantes a la anterior para los múltiplos y submúltiplos del metro
y el kilogramo.
1L
Submúltiplos
Nombre Símbolo Equivalencia Nombre Símbolo Equivalencia
daL
10 L
decilitro
dL
0.1 L
hectolitro
hL
100 L
centilitro
cL
0.01 L
kilolitro
kL
1 000 L
mililitro
mL
0.001 L
Integración
× 10
kL
en otra. Escríbelas en los espacios del siguiente gráfico.
kL
× 10
hL
÷ 10
Integración
• Determina las operaciones que es necesario realizar para convertir una unidad
decalitro
× 10
daL
÷ 10
× 10
L
÷ 10
× 10
dL
÷ 10
daL
L
dL
cL
mL
× 10
cL
÷ 10
hL
mL
a) ¿Qué operación realizas para convertir una unidad en su submúltiplo
siguiente?
÷ 10
b) ¿Qué operación realizas para convertir una unidad en su múltiplo
siguiente?
a) Multiplico por 10 la unidad de referencia.
b) Divido entre 10 la unidad de referencia.
Con el resto del grupo analiza si la estrategia anterior resume también cómo
hacer conversiones en múltiplos y submúltiplos del metro y kilogramo.
74 Bloque 1 - Secuencia 8
72
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Múltiplos
Múltiplos y submúltiplos del metro, litro y kilogramo
Sugerencias didácticas
Es importante que analice con los alumnos la sección “Glosario” para resolver la actividad 6. De ser posible haga una representación geométrica de
la rosca, ésta puede verse como un rectángulo y los cortes longitudinales
formarán 4 tiras de rosca.
Para realizar correctamente las conversiones recomiende a sus estudiantes que observen si se trata de un múltiplo o submúltiplo, después deben
hacer las operaciones correspondientes (división o multiplicación).
Para resolver los incisos b) y c) es necesario hacer conversiones previas
y después establecer la relación de proporción.
Más conversiones
6. Resuelvan en equipos los siguientes problemas.
a) Contesten a partir de la siguiente información.
Rosca de reyes 2018
Ciudad de México
La tradicional Rosca de Reyes que se partió en el zócalo de la Ciudad de México
en enero de 2018 midió 1.44 km de longitud con una masa aproximada de 8
toneladas. Para su elaboración se utilizaron 5 720 kg de harina, 961 L de leche,
2 000 kg de azúcar, 3 010 kg de mantequilla, 651 L de vainilla, entre otros y se
repartieron 250 000 porciones. Cabe aclarar que para este fin el pan en realidad
no tiene forma de rosca sino de un gran rectángulo con un ancho de 90 cm,
aproximadamente.
Más conversiones
Solucionario
“Celebra CDMX día de reyes 2018 con mega rosca en zócalo capitalino” en Boletín CDMX,
5 de enero de 2018, www.cdmx.gob.mx/comunicacion/nota/celebra-cdmx-dia-de-reyes2018-con-mega-rosca-en-zocalo-capitalino# (consulta: 18 de mayo de 2018).
Glosario
• Suponiendo que se hicieron tres cortes longitudinales iguales a la rosca, es
decir, a lo largo del pan rectangular como se observa en la figura; ¿cuántos
metros en total medían las cuatro partes al colocarse una tras otra? Expliquen
su razonamiento.
• Si también se repartieron porciones iguales, ¿cuántos centímetros le tocó a
cada asistente?
• ¿Cuál fue la masa, en gramos, de cada porción si una tonelada equivale a
longitudinal. Que sigue
el sentido o dirección de
la longitud de lo que se
expresa.
6. a) • 5 760 m. Al hacer tres cortes longitudinales salen 4 porciones de
1 440 m cada una.
• 2.304 cm, ya que 5 760 m = 5 760 000 mm al repartirla entre
760 000 = 23.04 mm = 2.304 cm.
250 000 personas, 5250
000
• 32 g, ya que 8 ton = 8 000 kg = 8 000 000 g, al dividir entre
000 000 = 32 g.
250 000 personas, 8250
000
• 143 bultos
• 40 bultos de azúcar
• 12 040 paquetes de mantequilla
4 500 m = 18 minutos
b) 36 minutos, 45 hm = 4 500 m entonces 250
m/min
c) 30 000 segundos, 8.3 h
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1 000 kilogramos? Describan su procedimiento.
• ¿Cuántos bultos de 400 hg de harina se utilizaron?
• ¿Cuántos bultos de 500 hg de azúcar se utilizaron?
• ¿Cuántos paquetes de 250 g de mantequilla se usaron?
b) Federico se desplazará en caballo de su comunidad a la cabecera municipal, la
cual se encuentra a 45 hm de distancia. La velocidad promedio de trote es de
250 m por minuto. Si consideras el tiempo total en el que va y regresa, ¿cuánto
tiempo tardará?
c) Una cisterna de 7 500 litros de capacidad se llena a razón de 250 mililitros por
cada segundo. ¿En cuanto tiempo se llenará la cisterna en su totalidad? Expresen su respuesta en segundos y horas.
Comparen sus respuestas con otros equipos. Expliquen cómo interpretaron la información para resolver cada problema. ¿Qué hicieron para expresar la respuesta
del último inciso?
73
Bloque 1 - Secuencia 8
75
S8
Muestre a los estudiantes cómo se pueden hacer las conversiones utilizando regla de tres, establezca las relaciones de proporcionalidad y resuelva
algunos ejemplos.
Otra manera de hacer las conversiones entre múltiplos y submúltiplos es
analizando la relación que hay entre las posiciones de las unidades en cuestión; por ejemplo, entre kg y mg hay seis espacios según la tabla de conversiones, es decir el valor se multiplica por 106. De mL a L, hay 3 espacios entre
ellos, por lo que hay que dividir entre 103. De dam a m sólo hay una posición
de diferencia, así que se multiplica por 10. Pregunte a sus estudiantes ¿Cuál
es la diferencia entre convertir de dam a dm y viceversa?
Finalmente analice en grupo los problemas propuestos en la página de
la sección “Explora”.
Solucionario
7.
4.5 kg = 4 500 mg
7 500 mL = 7.5 L
2 350 mL = 0.00235 kL
0.005 m = 5 mm
7.853 kg = 78 530 dg
1.26 cm = 0.00126 dam
8.3204 dam = 83.204 m
7500 dg = 75 0000 cg
7. Realiza las siguientes conversiones
4.5 kg =
2 350 mL =
7.853 kg =
Velocidad
máxima
4.1 m/s
Velocidad
máxima
(m/s)
4.1 m/s
330 cm/s
Cocodrilo
Oso polar
Gallina
0.00347 km/s
0.00277 km/s
566 cm/s
kL
dg
8.3204 dam =
Explora
En la siguiente página
www.edutics.mx/Uhs
podrás resolver problemas
de conversión unidades de
medida.
m
7 500 mL =
L
0.005 m =
mm
1.26 cm =
dam
7 500 dg =
cg
El metro, el kilogramo y el segundo son unidades básicas que pertenecen al Sistema Internacional de Unidades, el cual en realidad tiene siete magnitudes básicas
con sus respectivas unidades: para la longitud, el metro (m); para la masa, el kilogramo (kg); para el tiempo, el segundo (s); para la corriente eléctrica, el amperio
(A); para la temperatura, el kelvin (K); para la cantidad de sustancia, el mol (mol);
y para la intensidad luminosa, la candela (cd). Las últimas cuatro magnitudes con
sus unidades las estudiarás en tus cursos de Física y Química.
Por cuestiones prácticas, a veces es necesario usar múltiplos o submúltiplos de
unidades del Sistema Internacional (SI). Por ejemplo, para medir el líquido de una
inyección se utiliza un submúltiplo del litro o para la distancia entre un continente
y otro un múltiplo del metro. Los prefijos se añaden a cualquier unidad del Sistema Internacional para escribir un múltiplo o submúltiplo de ésta.
8. Resuelvan en grupo.
a) Se muestra la velocidad máxima con la que se mueven algunos seres vivos.
8.
Araña Cangrejo
mg
Velocidad
máxima
Araña
Cangrejo
Cocodrilo
Oso polar
Gallina
4.1 m/s
330 cm/s
0.0347 km/s
0.00277 km/s
566 cm/s
Velocidad
máxima (m/s)
• Completen la tabla convirtiendo la velocidad de cada animal a metros por
3.3 m/s
3.47 m/s
2.77 m/s
5.66 m/s
segundo. Describan su procedimiento.
• ¿Cuál se desplaza con mayor rapidez? Ordenen las imágenes considerando
• R. L.
• La gallina es la más veloz. Quedando el orden: gallina, araña, cocodrilo, cangrejo y oso polar.
la velocidad de cada uno?
Comparen sus respuestas y estrategias de solución. Analicen y hagan una puesta
en común sobre los procesos más sencillos y los más efectivos.
76 Bloque 1 - Secuencia 8
74
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Sugerencias didácticas
Múltiplos y submúltiplos del metro, litro y kilogramo
Arribamos
1. Considera nuevamente el problema al inicio de la secuencia.
En lugar de vasos considera el siguiente recipiente y la cantidad de agua que
habría tomado la misma persona en 70 años.
Arribamos
Sugerencias didácticas
Permita a sus estudiantes usar las tablas de equivalencias para resolver las
actividades de la sección.
Para resolver la actividad 3, sugiera a los alumnos que realicen varias
equivalencias para que puedan establecer las relaciones correspondientes.
Por ejemplo: 27 kg = 27 000 g = 270hg = 2 700 dag, repitan el proceso
con otras cantidades hasta que encuentren las equivalencias de la tabla.
Solucionario
1. a)
b)
c)
2. a)
2 555 garrafones de 2 daL
20 litros
5.11 pipas
• 5 mL
• 7.2 L
b) 180 000 kg
c) 133 losetas
d) 200 segundos
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a) ¿Cuántos garrafones de 2 daL habrá bebido?
b) ¿Cuál es la medida del garrafón de 2 daL en litros?
c) ¿Cuántas pipas de 10 kL habrá bebido la misma persona?
2. Resuelve los problemas.
a) Una gota de agua de la llave tiene el volumen aproximado
que se muestra en la imagen. Supongamos que una llave
con fuga deja caer 20 gotas por minuto.
1 mL
4
• ¿Cuántos mL de agua se desperdicia por minuto?
• ¿Cuántos litros de agua se desperdiciarán durante un
día completo?
b) La pirámide de Louvre (figura 8.1) es una estructura muy famosa ubicada
en el patio del museo que lleva el mismo nombre. Su altura es de 21.65
metros, la longitud del lado de la base de la pirámide es de 35 metros. La
masa total de la estructura es de 180 toneladas.
• ¿Cuántos kilogramos tiene la estructura completa?
c) Raúl quiere poner losetas de 30 cm × 30 cm en su habitación de 3 m × 4 m.
¿Cuántas losetas necesita?
d) Una oruga avanza 15 mm por segundo sobre una jardinera que mide 3 m
de largo. ¿Cuánto tiempo necesita para recorrer el largo de la jardinera?
3.
27 kg
2.7 dag
2.70 g
2.7 mg
27 cg
0.27 g
27 hg
2.7 g
270 cg
0.27 kg
27 000 g
2.7 kg
270 g
0.27 cg
27 dg
2.7 dag
2.7 g
0.27 hg
2.7 mg
27 cg
0.27 g
27 hg
2.7 g
270 cg
0.27 kg
27 000 g
2.7 kg
270 g
0.27 cg
27 dg
Recursos adicionales
Figura 8.1 Patio principal
del Museo del Louvre,
París, Francia.
3. Encierra con un mismo color las cantidades equivalentes.
27 kg
En la siguiente página puede consultar ejercicios relacionados con los múltiplos y submúltiplos de las unidades de masa:
• “Problemas de conversión: masa”, disponible en www.edutics.mx/wdT
(consulta: 24 de agosto de 2018).
0.27 hg
Evalúen de manera grupal las estrategias formuladas a lo largo de la lección.
Asegúrense de comprender lo que el problema solicita.
75
Bloque 1 - Secuencia 8
77
El sistema inglés
S9
Partimos
Sugerencias didácticas
Después de leer el párrafo introductorio, pregunte a los alumnos si en las
películas o en tiendas de autoservicio han visto productos con unidades de
medida que sean diferentes al metro, kilogramo y litro. Si le es posible lleve a
la clase empaques de algún producto que esté marcado en una medida como
libras u onzas, las cuales serían las más comunes. También puede imprimir
imágenes de productos que se vendan en otros países con estas unidades.
Platique con sus alumnos acerca de las diferentes medidas que la gente
utiliza dependiendo del lugar donde vive. Comente que en algunas comunidades se utiliza el cuartillo para medir el maíz y el frijol o que las frutas y
verduras se venden a veces por bote o huacal. Pregunte si ellos conocen
otras maneras de medir que sean poco comunes.
Si hay tiempo solicite que pregunten a los adultos mayores que conozcan
acerca del tema y pida que lo desarrollen para exponer en grupo. No tiene
que ser algo elaborado, el objetivo es que se den cuenta de que no siempre se ha contado con unidades de medida universales y se han tenido que
buscar equivalencias.
Resuelve problemas que
implican conversiones
de unidades del sistema
inglés (yarda, pulgada,
galón, onza y libra).
Partimos
El sistema inglés
En la secuencia anterior aprendiste a convertir múltiplos y submúltiplos de algunas
unidades del Sistema Internacional. En ésta aprenderás a resolver problemas que involucran conversiones de unidades del Sistema Internacional y unidades del sistema
inglés, ya que en la vida cotidiana es común utilizar estas medidas; por ejemplo, en
la construcción o en los deportes.
1. Resuelve el siguiente problema.
Christine es una turista extranjera que está solicitando ayuda para hacer sus
compras en el mercado. Ella necesita comprar 6 libras de naranjas, 3 libras
de manzanas.
a) Si una libra equivale aproximadamente a medio kilo, ¿cuántos kilogramos
de manzanas y de naranjas le deben despachar respectivamente?
b) ¿Cuánto tiene que pagar Christine?
Solucionario
1. a) Le deben dar 3 kg de naranja y 1 21 kg de manzana.
b) $45 por la naranja y $60 por la manzana.
Discute con tus compañeros en qué contextos conviene hacer aproximaciones
al realizar cálculos. ¿Todos obtuvieron la misma respuesta?
Recorremos
Unidades del sistema inglés
1. Analicen en parejas la información y contesten.
Tres amigos viajaron a California, EUA, para participar en una carrera de ciclismo.
La dinámica consistió en recorrer la mayor distancia en un tiempo determinado.
Laura: 12.5 mi, 370 yd y 58 ft
Patricio: 12.3 mi, 400 yd y 175 ft
Marina: 12.4 mi, 300 yd y 200 ft
a) Lean la siguiente información y calculen cuántas millas recorrió cada ciclista.
En los Estados Unidos de América las unidades para medir la longitud son la
pulgada (in), el pie (ft), la yarda (yd) y la milla (mi).
Estas unidades se relacionan entre sí de la siguiente forma:
1 ft = 12 in
1 yd = 3 ft
1 mi = 1 760 yd
78 Bloque 1 - Secuencia 9
76
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S9
Recorremos
Laura:
mi
Marina:
mi
Patricio:
mi
b) ¿Cuál de ellos ganó?
c) La masa aproximada de un casco de ciclista es de 9 onzas y la de una bicicleta,
en libras, se muestra en la imagen de la báscula. Si una libra equivale a 16 onzas,
¿cuál es la masa total de ambos?
Comparen sus respuestas con sus compañeros. Expliquen cómo hicieron las conversiones de unidades mayores a menores y viceversa. Al realizar estas operaciones,
¿hay una relación de proporcionalidad entre las unidades?
En el sistema inglés como en el Sistema Internacional también hay unidades
específicas para la masa y la capacidad.
Sugerencias didácticas
Permita que los alumnos resuelvan los problemas de conversiones con sus
propias herramientas. Si observa que tienen dificultades, puede replantear el
problema para que utilicen sus conocimientos de proporcionalidad directa.
Solicite que lean la sección “Formalización” y pregunte ¿Cuáles son las
unidades de medida que se usan para la masa en el sistema internacional?
¿Qué unidades se usan para medir la capacidad de un recipiente?
Explique que, a pesar de que hay diferentes sistemas de medición, siempre
debe haber una equivalencia entre unidades, mencione algunos ejemplos.
Unidades del sistema inglés
Solucionario
Masa: onza (oz) y libra (lb)
Capacidad: onza fluida (fl oz) y galón (gal)
Integración
• En equipo respondan. Consideren también lo estudiado en la secuencia anterior.
a) ¿Qué operación deben hacer para convertir una unidad menor en una
mayor?
b) ¿Qué operación deben hacer para convertir una unidad mayor en una
menor?
c) Con base en lo anterior, completen los diagramas.
15 yardas
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15
pies
3 = 45 ft
4 400 yardas
Integración
a) Una división
b) Una multiplicación
c)
millas
1 760 = 2.5 yd
4 400
Laura: 12.72 mi
Patricio: 12.56 mi
Marina: 12.60 mi
b) Laura
c) 249 oz o 15.56 lb
Relaciones entre unidades de diferentes sistemas
2. Lee la situación y resuelve.
Antonio trabaja en una empacadora de arándanos que exporta sus productos.
Hoy deben empacar el contenido de 60 cajas, cada una de 4 kg, en paquetes de
6 onzas y con ellos llenar otras cajas de 4.5 libras cada una.
a) Considerando nuevamente que una libra equivale aproximadamente a medio
15 yardas
pies
15 × 3 = 45 ft
4 400 yardas
millas
4 400 ÷ 1 760 = 2.5 millas
Relaciones entre unidades de diferentes sistemas
2. a) Se llenarán 106.6 cajas.
b) Se completarán 1 280 paquetes.
kilogramo, estima cuántas cajas de 4.5 lb se llenarán.
b) ¿Cuántos paquetes de 6 oz se completarán aproximadamente?
Compara con un compañero tus respuestas y comenten: ¿en este contexto es suficiente hacer aproximaciones?
77
Bloque 1 - Secuencia 9
79
Sugerencias didácticas
Recomiende a los estudiantes escribir en una tabla todas las equivalencias
que se han estudiado en esta secuencia. Comente que es indispensable que
las recuerden, si no de manera exacta, sí como una aproximación, ya que les
ayudará para hacer conversiones en varias ocasiones.
Después de analizar la información de la tabla de equivalencias, lean
la sección “Notación” y utilicen la información dada ahí como una forma
alternativa de representar las unidades que se mencionan.
Revise con los alumnos los resultados de la actividad 4, asegúrese de
que todos hacen las conversiones de manera correcta. Solicite que lleven a
clase una calculadora de forma individual para agilizar los cálculos. Plantee
más ejemplos en caso de que se requiera mayor práctica por parte de los
estudiantes.
Al terminar la actividad 4, analicen los ejercicios propuestos en la sección
“Explora”.
S9
El sistema inglés, conocido también como sistema imperial, nació en el Reino Unido
y se extendió a los países anglosajones, quedando actualmente Estados Unidos de
América como uno de los pocos países que lo sigue utilizando.
Al utilizar medidas del sistema inglés muchas veces será necesario convertirlas
al SI y para ello debes tomar en cuenta las siguientes equivalencias.
Notación
Medida
Para representar a las
pulgadas y los pies también
se utilizan las comillas; dos
y una, respectivamente.
Por ejemplo:
2 pulgadas = 2’’
5 pies = 5’
Unidad de medida
SI
Milla (mi)
1.609 km
Yarda (yd)
0.9144 m
Pie (ft)
30.48 cm
Pulgada(in)
2.54 cm
Longitud
Libra (lb)
453.59 g
Onza (oz)
28.35 g
Galón (gal)
3.785 L
Onzas fluidas (fl oz)
29.574 mL
Masa
Solucionario
Volumen
3. a) 170.1 g
b) 1 410 paquetes
c) 12 paquetes, ya que una libra contiene 16 oz, así 4.5 lb son 72 oz,
dividiendo 72 entre 6 oz de un paquete nos dan 12 paquetes en total.
d) 117 cajas
4. a) 3.2 km
b) Una libra
c) 25 cm
d) 28 litros
e) Un cuarto de onza
f) 4 onzas líquidas
3. Ya que Antonio no tiene una báscula en onzas, considera la información anterior y
realiza los cálculos para obtener las cantidades reales del problema 2.
a) ¿Cuál es la masa que tendrá cada paquete en gramos?
b) ¿Cuántos paquetes saldrán al final del día?
c) ¿Cuántos paquetes llevará cada caja de 4.5 libras? Describe tu procedimiento.
d) Si únicamente se envían las cajas que cumplen con la masa requerida, ¿cuántas
Compara con un compañero tus respuestas y procedimientos. ¿Qué operaciones
utilizaron para hacer las conversiones?
Explora
En la siguiente página
www.edutics.mx/Uhe
encontrarás ejemplos y
ejercicios de conversión
entre unidades de longitud.
4. Completa las siguientes frases haciendo un cálculo mental para estimar las cantidades. Pues, si bien, no siempre recordaremos la equivalencia exacta de todas
las unidades, hacer una estimación aproximada nos será útil para la vida.
a) 2 millas son aproximadamente
1
b) 2 kilogramo es un poco más que
c) 10 pulgadas son aproximadamente
libras.
centímetros.
d) 7 galones son un poco menos de
litros.
e) 7 gramos son aproximadamente
onzas.
f) 120 mL son un poco menos de
80 Bloque 1 - Secuencia 9
kilómetros.
78
onzas líquidas.
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estarán listas para enviarse?
El sistema inglés
Sugerencias didácticas
5. Resuelvan en equipos los siguientes problemas.
a) Víctor trabaja medio tiempo en el rancho de los Garza alimentando a los animales.
Uno de los terneros tiene moquillo y el veterinario le recetó un medicamento; la
dosis que le debe suministrar es 2.5 onzas líquidas cada 24 horas por 7 días. Víctor
cuenta únicamente con jeringas de 5 mL, 10 mL y 50 mL.
• ¿Cuántos mililitros debe suministrarle por día?
• ¿De qué manera puede combinar las jeringas para medir el medicamento
Hacemos
Organízate con tu grupo
para medir la masa y
la estatura de algunos
compañeros. Conviertan
esos datos a libras y pies,
consideren también
pulgadas.
cada día?
• Si el medicamento se vende en dos presentaciones una de 600 mL y otra de
800 mL, ¿cuál le conviene comprar? Expliquen su respuesta.
Hacemos
Realicen de manera grupal la primera actividad propuesta en esta sección y
la segunda, en equipos o de manera individual para obtener las conversiones
pertinentes. Recomiende a los estudiantes organizar la información en una
tabla para que, al terminar, comparen los resultados.
b) La cancha de basquetbol que se muestra a continuación tiene las medidas
aceptadas por la National Basketball Association (NBA). Observen detenidamente
la imagen y contesten.
5.8 m
Solicite a los alumnos que elaboren una cinta métrica en la que marquen
centímetros y pies; para que con ella midan algunos objetos del salón de
clases. Después pida que hagan la conversión a pulgadas. Al terminar, y para
comprobar sus datos, proporcióneles un flexómetro para que vuelvan a medir y finalmente comparen sus resultados.
También pueden convertir sus datos a millas o yardas.
Utilice las envolturas, etiquetas de productos o imágenes de la sesión
anterior como ejercicios de conversión a otras unidades. La intención es que
practiquen este tema.
1.8 m
ín
ea
de
ntos
3 pu
Área
restringida
15 m
6m
1.8 m
1.2 m
Línea de fondo
L
Línea central
Solucionario
Línea de
tiro libre
Canasta
5. a) • 73.93 mL
• Una jeringa completa de 50 mL, más dos jeringas completas de
10 mL, más 4 mL de la jeringa de 5 mL.
• Le conviene la presentación de 600 mL porque en total debe administrarle 517.51 mL.
b) • 91.86 ft de largo y 49.21 ft de ancho.
• 70.86 pulgadas
• 6.34 yardas
• 9.84 yardas
• 322.83 pulgadas
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Tablero
Recursos adicionales
Línea lateral
En la siguiente página encontrará ejercicios interactivos para los estudiantes:
• “Ejercicios interactivos del sistema inglés”, disponible en www.edutics.
mx/wd6 (consulta: 24 de agosto de 2018).
28 m
• ¿Cuál es la medida de largo y ancho de la cancha expresada en pies?
• ¿Cuál es la medida del largo del tablero expresada en pulgadas?
• Expresen la distancia en yardas que hay desde la línea de tiro libre a la línea
de fondo.
• ¿Cuál es la diferencia entre la medida del ancho de la cancha y el área restringida? Expresen el resultado en yardas.
• Obtengan la distancia que hay de la línea central a la línea de tiro libre expresada en pulgadas.
79
Bloque 1 - Secuencia 9
81
S9
Sugerencias didácticas
Comente con los alumnos que, como bien saben, en física se estudian diferentes fenómenos y la relación entre ellos; por ejemplo, el movimiento rectilíneo
uniforme, en él es importante calcular la velocidad de diferentes objetos y
ésta se puede medir en m/s, km/h, mi/h, ft/s, etcétera. En algunas ocasiones
se requiere realizar una conversión entre las diferentes unidades dependiendo
del contexto y desarrollo del problema. Por tal motivo es importante que
aprendan a hacer las conversiones de unidades de forma correcta.
Para resolver la actividad “Integración”, deben utilizar el hecho de que si
la unidad aparece en el numerador y en el denominador, entonces el resultado es uno (kg/kg = 1), quedando únicamente la unidad de interés.
Comparen sus respuestas y procedimientos. Si hay diferencias en el procedimiento, expliquen cómo lo resolvieron y lleguen a un acuerdo. Si hay diferencias en los
cálculos, verifiquen sus resultados utilizando la calculadora.
Otras conversiones
6. Analicen y contesten en equipos.
a) ¿Cómo convierten 250 onzas en gramos?
b) ¿Existe una relación de proporcionalidad directa entre la cantidad de onzas y su
equivalente en gramos? Si es así, ¿cuál es el factor o razón de proporcionalidad
para convertir una unidad en otra y viceversa?
Otras conversiones
c) David dice que para hacer conversiones de unidades basta con multiplicar por
el factor de proporcionalidad expresado como razón.
Solucionario
6. a) Multiplicando 250 por 28.35 g.
b) Sí, son cantidades directamente proporcionales y la razón para cong y 1 oz para convertir de gramos
vertir de onzas a gramos es 28.35
1 oz
28.35 g
a onzas.
28.35 g
1 oz
=
250 oz × 28.35 g
1 oz
= 7087.5 g
28.35 g
250 oz = 250 oz × 1 oz
Integración
a) R. M. Para que al eliminar las millas del numerador y del denominador
queden kilómetros.
b) Para que los segundos queden en el denominador al eliminar las horas
del numerador y del denominador.
c)
Además, como el numerador y denominador de esa razón son cantidades equivalentes, la razón representa una unidad; por lo que equivale a multiplicar por 1 la cantidad
que se va a convertir. Efectúen la multiplicación.
60 mi
1h
=
60 mi
1h
km ×
× 1.609
1 mi
60 mi
1h
=
60 mi × 1.609 km × 1 h
1 h × 1 mi × 3600 s
oz ×
g
oz
=
g
Comparen sus respuestas. ¿Obtuvieron los mismos resultados en los incisos a) y
c)? Expliquen por qué las unidades del denominador de la fracción unitaria fueron
onzas. ¿Qué harían para convertir de gramos a onzas?
Integración
• De forma grupal utilicen el método de David para calcular el equivalente a
1h
3600 s
= 0.02
=
km
s
Recursos adicionales
En la siguiente página puede consultar algunos videos sobre conversión de
unidades del sistema inglés:
• “Misma longitud en distintas unidades”, disponible en www.edutics.mx/
wdu (consulta: 24 de agosto de 2018).
60 millas/hora en kilómetros/segundo.
a) Expliquen por qué para convertir millas a kilómetros es necesaria la fracción unitaria
1.609 km
1 mi .
b) Expliquen por qué para convertir horas a segundos es necesaria la frac1h
ción unitaria 3 600 s .
c) Completen la expresión y realicen los cálculos.
60 mi
60 mi
km
1h = 1h ×
mi ×
60 mi
1h
=
h
s
= 0.02
Discutan cómo es posible saber cuáles son todas las fracciones unitarias requeridas para utilizar el método de David.
82 Bloque 1 - Secuencia 9
80
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c) 250 oz = 250 oz ×
28.35g
250 oz = 250 oz × 1 oz
El sistema inglés
Arribamos
Arribamos
1. Analiza nuevamente el problema al inicio de la secuencia.
a) Si además necesita un galón de leche, ¿cuántos litros
debe comprar Christine?
b) ¿Cuánto gastó en total?
2. Resuelve el siguiente crucigrama.
Coloca la respuesta en la sección
de instrucciones hasta con dos
decimales y en el crucigrama usa
solamente los números enteros.
Los datos que se presentan son
reales.
1
2
3
4
1
7
8
9
Horizontal
4
ft largo de una cancha de fútbol americano (109.73 m)
5
6
ft altura de la torre latinoamericana (204 m)
mi en total recorridas en el triatlón de los Juegos Olímpicos
de Sidney 2000: natación, 1 500 m; ciclismo, 40 km; carrera, 10 km
9
mL en un café mediano de 12 fl oz
Vertical
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Observe el procedimiento que utilizan los alumnos para resolver la actividad
2 si encuentra errores corríjalos y pida a los alumnos que presentan dificultades para contestar que pasen al pizarrón a resolver algunos ejemplos.
Permita que utilicen la tabla de conversiones que hicieron en la ficha de
trabajo y la calculadora.
Finalmente pida que planteen algunos problemas de acuerdo con su experiencia y aprendizaje. Tras revisar la mayor parte posible, solicite que sean
resueltos conforme los vaya revisando.
Solucionario
5
6
Sugerencias didácticas
1
yd de ancho de una cancha de fútbol americano (48.77 m)
2
cm de una pantalla de televisión de 43 in
3
fl oz de sangre en el cuerpo (5 litros aproximadamente)
4
g de masa de un paquete de arroz de 14 oz
7
lb de masa de un joven adulto de 72 kg
8
gal de agua que se gastan en producir 1 kg de brócoli (37 litros)
5
1. a) 4 litros
3
b) $72.00
3
4
2. Horizontal
1
3
4 360.00 ft
5
5 669.29 ft
6
6
9
6 32.00 mi
9
6
9 354.88 mL
6
7
Vertical.
3
2
1
1 53.33 yd
9
2 109.22 cm
3
5
4
3 169.06 fl oz
4 396.9 g
8
7 158.73 lb
8 9.77 gal
3. a) 2.286 m por 3.2 m
b) Sí cabe el mueble en el espacio destinado para él.
2
1
6
0
9
8
8
Recursos adicionales
En la siguiente página los alumnos encontrarán ejercicios para repasar los
temas de las últimas secuencias:
• “Problemas verbales de conversión de unidades”, disponible en www.
edutics.mx/wdE (consulta: 24 de agosto de 2018).
3. María quiere comprar un mueble nuevo para su casa. El espacio disponible
para colocarlo es de 2.5 m × 3.5 m. La etiqueta de la mesa señala que mide
2.5 yd × 3.5 yd.
a) ¿Cuáles son las medidas de la mesa en metros?
b) ¿Cabrá el mueble en el espacio que tiene?
Compara tus respuestas y explica tus procedimientos.
81
Bloque 1 - Secuencia 9
83
Partimos
Sugerencias didácticas
Retome los conocimientos del grado anterior y pregunte a los estudiantes ¿La
información mostrada en las gráficas 1 y 2 se puede representar en gráficas
circulares? ¿Qué representa cada sector circular? Si tienen dudas repase con
ellos el uso y aplicaciones de las gráficas.
Para responder el inciso b), puede separar la pregunta para los dos rangos de edades, de 12 a 18 años y de 18 a 24 años. Después pida a los alumnos que formulen algunas preguntas que se puedan responder con dicha
información.
Por último, comente a los alumnos que la información de la sección
“Notación” los ayudará a comprender el significado de la marca que aparece
en el eje de las abscisas en las gráficas.
S10
Recolecta, registra y lee
datos en histogramas y
polígonos de frecuencia.
Partimos
Notación
Cuando los datos que se
quieren mostrar en una
gráfica se encuentran muy
alejados del cero se utiliza
una línea quebrada sobre
el eje para acortarlo y así
no tener que mostrar toda
la escala
. Este trazo
recibe el nombre de línea
de corte.
Histogramas y polígonos de frecuencia
En primaria aprendiste a leer y representar en gráficas de barras la información que
recolectaste después de haber realizado una investigación o experimento. En primero
de secundaría, además, analizaste cómo construir gráficas circulares. En esta secuencia
estudiarás nuevas formas de representar otro tipo de datos y a interpretar su significado.
1. Observa las siguientes gráficas y contesta.
Gráfica 1
Población con acceso a internet en
México (2016)
Gráfica 2
Porcentaje de personas que tienen
acceso a internet de acuerdo a su edad
60
25
50
Solucionario
20
40
Porcentaje
Histogramas y polígonos
de frecuencia
Porcentaje
S10
30
20
15
10
10
5
0
0
No usa
Usa
Condición respecto a uso
6
9
Fuente: ENDUTIH, Inegi, 2016
1. a) 40% (si tienen: 60%)
b) El 45% de las personas entre 12 y 24 años tienen acceso a internet.
12 15 18
Edad (años)
21
24
Fuente: ENDUTIH, Inegi, 2016
a) ¿Qué porcentaje de los mexicanos no tiene acceso a internet?
b) ¿Qué porcentaje de las personas entre 12 y 24 años tiene acceso a internet?
Compara tus respuestas y procedimientos con los de tus compañeros. ¿Podrían decir qué porcentaje de los mexicanos mayores de 24 años tiene acceso
a internet? Discutan las diferencias y similitudes entre las gráficas 1 y 2.
Histogramas
1. Analiza la situación y contesta.
Héctor confecciona los uniformes escolares de una comunidad y para su próxima
venta quiere ofrecer paquetes de descuento para cierto número de uniformes que
sean adquiridos por una misma familia. Además, quiere saber las tallas de las
que debería tener mayor cantidad. Para ello, recopiló la información sobre el
número de hermanos de sus vecinos y sus respectivas estaturas en centímetros,
como se muestra en la siguiente tabla.
Estaturas (cm)
84 Bloque 1 - Secuencia 10
Hermano 1
Hermano 2
Hermano 3
Hermano 4
Juan
114
123
156
Laura
134
Patricia
105
117
126
158
Pedro
109
132
82
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Recorremos
Recorremos
Hermano 2
Hermano 3
Número de
hermanos
Hermano 4
Perla
156
158
1
Aurora
114
128
142
150
2
Ignacio
123
129
158
3
4
Julián
108
135
150
Marcela
105
118
Alfredo
145
a) Construye una tabla de frecuencia y una gráfica de barras para mostrar el número de hermanos de los vecinos. Recuerda colocar los títulos de la gráfica y
de los ejes.
Frecuencia
Histogramas
Solucionario
Número de hermanos
1. a)
Número
de
Frecuencia
hermanos
Glosario
intervalo. Distancia entre
dos valores. Cualquier
intervalo se define por dos
valores llamados límites de
intervalo. Uno es el límite
inferior y el otro
el superior.
1
2
2
3
3
3
4
2
3
Frecuencia
Estaturas (cm)
Hermano 1
2
1
0
1
2
3
Número
4
b)
Notación
b) Con la información de las estaturas, Héctor construyó una tabla en la que organizó los datos en intervalos. Completa la tabla de la derecha calculando el
punto a la mitad del intervalo y la frecuencia de las estaturas.
c) Completa la siguiente gráfica a partir de los datos de la tabla.
Al escribir un intervalo, por
ejemplo, de 100 a 110 se
escribe un guión entre los
límites, 100 - 110. En este
caso, se consideran los
datos iguales o mayores
que 100 y estrictamente
menores que 110. De este
modo no se traslapan los
intervalos.
Estaturas (cm)
Punto medio (cm)
Frecuencia
100 - 110
105
4
110 - 120
115
4
120 - 130
125
5
130 - 140
135
3
140 - 150
145
2
150 - 160
155
7
Estatura
Estaturas
(cm)
8
Punto medio
(cm)
100 - 110
Frecuencia
c)
Estatura de los hermanos
6
110 - 120
5
120 - 130
4
130 - 140
3
2
140 - 150
1
150 - 160
0
100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 155 160
Estatura (cm)
• ¿Cuántos intervalos hay?
• ¿El tamaño de los intervalos es el mismo en cada caso? ¿Cuánto mide cada
uno?
83
Frecuencia
Frecuencia
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7
8
7
6
5
4
3
2
1
0
100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 155 160
Estatura (centimetros)
• 6 intervalos
• Sí, miden 10 cm
Bloque 1 - Secuencia 10
85
S10
Analice con los alumnos las respuestas a los incisos d) y e), es importante
que expliquen con sus palabras las diferencias entre las gráficas solicitadas,
aclare las dudas que surjan. Concrete el aprendizaje con la información de
las secciones “Formalización” y “Recuerda”.
Solicite otros ejemplos de variables continuas y discretas para asegurarse
de que las pueden diferenciar. Revise la tabla de valores de las estaturas y verifique que calcularon tanto el rango como los intervalos de manera correcta.
Enseguida pida a los estudiantes que escriban las fórmulas necesarias en una
ficha de trabajo, la cual podrán utilizar más adelante.
De igual manera lea con los alumnos la información del último recuadro
de la sección “Formalización” y después dibuje una gráfica siguiendo los
pasos que se mencionan.
Solucionario
d) En la primera, las barras están separadas; en la segunda, las barras
son continuas, los datos pertenecen a intervalos, representan a un
conjunto y no a un solo dato.
e) R. M. Porque en una gráfica los datos se agrupan en intervalos y los
valores son continuos y en la otra no.
d) ¿Qué diferencias hay entre la gráfica del número de hermanos y la de estaturas?
e) Explica por qué en la gráfica de las estaturas, a diferencia de la gráfica de la
cantidad de hermanos, no hay espacio entre las barras.
Compara tus respuestas y gráficas con las de tus compañeros. Discutan sobre las
semejanzas y diferencias de las tablas y las gráficas. ¿En la tabla de frecuencia de la
cantidad de hermanos los datos se pueden agrupar en intervalos? ¿Por qué ? ¿Por
qué las estaturas sí se pueden agrupar en intervalos?
Recuerda
El rango es la diferencia
entre el valor máximo y
el valor mínimo de un
conjunto de datos.
Para determinar el número de intervalos necesarios se toma en cuenta la cantidad de datos que se tienen de la muestra o experimento. Normalmente para
menos de 30 datos se usan 5 intervalos. Los intervalos tienen un límite inferior
y un límite superior (en el primer intervalo de la tabla de las estaturas el límite
inferior es 100 y el superior, 110). Para calcular la amplitud o tamaño de cada
intervalo, se calcula el rango y se divide entre el número de intervalos. El punto
medio de un intervalo se obtiene al calcular el promedio entre el límite inferior
y el límite superior de dicho intervalo.
2.
Minutos
Punto medio
Frecuencia
42 - 50
46
3
50 - 58
54
6
Minutos
58 - 66
62
5
66 – 74
70
2
74 - 82
78
4
Recursos adicionales
En la siguiente página puede consultar un video con un ejemplo de cómo
hacer un histograma:
• “Crear un histograma”, disponible en www.edutics.mx/wdZ (consulta: 22
de agosto de 2018.)
Hay variables como la estatura, la masa, la distancia o la temperatura, que son
de tipo continuo porque entre dos valores cualesquiera siempre hay otro. Para
presentar este tipo de información, en una tabla de frecuencia y en una gráfica,
se utilizan intervalos.
Punto
medio
Frecuencia
2. Reúnete con un compañero, lean y realicen lo que se pide.
En una fábrica textil cada dos horas pasan a recoger las prendas
elaboradas para llevarlas al almacén. Sin embargo, con frecuencia
solicitan que las recojan mucho antes de que transcurran 120 minutos, por lo que se desea saber después de cuántos minutos sería
conveniente dar otra vuelta para recoger las prendas. Para ello se
obtuvo el siguiente registro, en minutos, del tiempo transcurrido
después de la última recolección y una nueva solicitud: 42, 56,
63, 65, 62, 46, 50, 57, 72, 82, 58, 52, 75, 65, 48, 53, 75, 66, 54 y 77.
a) Completen la tabla de la izquierda agrupando los datos anteriores en cinco intervalos. Recuerden que deben ser del mismo
tamaño y continuos como en la página 83.
Para presentar información de variables continuas se usan los histogramas. Un
histograma se construye con barras sobre dos ejes perpendiculares. En el eje
horizontal (abscisas) se colocan los intervalos indicando para cada uno el límite
inferior, el punto medio y el límite superior; en el eje vertical (ordenadas) se
utiliza una escala adecuada que indique la frecuencia de los datos en cuestión.
86 Bloque 1 - Secuencia 10
84
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Sugerencias didácticas
Histogramas y polígonos de frecuencia
Sugerencias didácticas
Cuando terminen de graficar haga las siguientes preguntas para realizar un
breve análisis ¿A los cuántos minutos no conviene pasar a recoger prendas?
¿En qué intervalos hay más solicitudes para recoger las prendas?
Para la segunda gráfica pregunte ¿Se puede saber cuántos goles se anotaron en los primeros cinco minutos, o tres minutos? ¿Cuántos goles se anotaron en el primer tiempo? ¿Se puede saber con la información de la gráfica
por qué ocurrió así?
En la página recomendada en la sección “Explora” sus estudiantes pondrán a prueba sus habilidades con una actividad dinámica.
b) Construyan el histograma con la información de la tabla anterior.
Solucionario
b)
Minutos en que se solicita una recolección
de prendas
• ¿Cuál es el límite inferior y superior de todos los datos?
• ¿Cuál es el intervalo en el que sería conveniente recoger las prendas nueva-
7
mente?
3. Analicen en equipos cada situación y contesten.
a) Fernando construyó el siguiente histograma con los datos que recopiló de
todos los partidos del torneo de futbol de su escuela. Registró en qué minuto
de cada partido se anotaba un gol, pues tiene la idea de que es en el segundo
tiempo donde hay mayor intensidad de juego.
Número de goles en cada minuto
Explora
En la siguiente página
www.edutics.mx/U7z
podrás construir un
histograma para un
ejemplo concreto.
Frecuencia
6
Comparen su tabla y su histograma con los de otras parejas. En caso de diferencias
traten de analizar a qué se deben y corrijan en caso necesario.
5
4
3
2
1
0
42 42 50 50 58 58 66 66 74 74 82
Minutos
12
Frecuencia
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10
8
6
4
2
0
5
10
15
20
25
30
35 40 45 50 55
Minutos del partido
60
65
70
75
80
85
90
• El límite inferior es 42 y el límite superior es 82.
• De los 50 a los 58 minutos
3. a) • El intervalo en el que se anotaron más goles va del minuto 60 al 70.
Se anotaron menos goles del minuto 20 al 30.
• En el primer tiempo
• Se anotaron 39 goles.
• ¿En qué intervalo se anotaron más goles? ¿Y menos goles?
• Si en un partido de futbol cada tiempo dura 45 minutos, ¿cuándo se anotaron
menos goles, en los primeros tiempos o en los segundos?
• ¿Cuántos goles se anotaron a partir del minuto 50?
85
Bloque 1 - Secuencia 10
87
S10
Sugerencias didácticas
Al terminar el análisis de los datos de la actividad 3 inciso b), proyecte a sus
estudiantes los videos sugeridos en la sección “Explora” y resuelva algunos
ejemplos. Explique la importancia de comprender cada uno de los conceptos
involucrados en el diseño de histogramas antes de usar algún programa, ya
que se pueden cometer errores si los conceptos no se comprenden.
• ¿Es posible saber en qué minuto de los partidos se anotaron la mayor cantidad de goles?
b) Luisa y María fueron a pescar en un lugar donde les aseguraban que la mayoría
de las truchas eran de 1 kg; por lo que registraron la masa en gramos de cada
una de las truchas que pescaron: 405, 876, 567, 925, 659, 620, 750, 228, 987,
860, 634, 790, 289, 495, 550, 489, 600, 480, 375, 200, 965, 1200, 680, 705,
810, 833, 710, 1100, 745, 850.
• Completen la tabla de frecuencias con cinco intervalos y construyan el histograma correspondiente.
Solucionario
R. M. No, porque no hay un dato sobre el número de goles que se anotan en
cada minuto, se trabaja con intervalos.
b)
Masa (g)
Punto medio
Frecuencia
200 - 400
300
4
400 - 600
500
6
600 - 800
700
10
800 - 1000
900
8
1000 - 1200
1100
2
Masa (g)
Punto medio
(g)
Frecuencia
Peso en gramos de las truchas
12
• ¿Cuál fue la masa máxima y mínima de las truchas que pescaron?
Explora
8
En los siguientes enlaces
www.edutics.mx/U7K
y www.edutics.mx/U7r
podrás aprender dos
formas de construir un
histograma con ayuda de
un software de geometría
dinámica.
6
4
2
0
200
400
600 800 1000 1200
Peso en gramos
• La masa mínima fue de 200 g la máxima de 1 200 g.
• La masa más común estuvo en el intervalo de 600g a 800g.
• No, en el histograma es la barra con menor frecuencia.
Polígonos de frecuencia
4. b) Cada 10 puntos
88 Bloque 1 - Secuencia 10
• ¿Cuál fue la masa más común de las truchas pescadas?
• ¿Atraparon bastantes truchas de más de 1 kg? Expliquen su respuesta.
Comparen con sus compañeros. ¿Cada uno de sus intervalos tiene los mismos
límites y frecuencias?
Polígonos de frecuencia
4. Resuelvan en parejas.
a) A partir de la tabla de frecuencias de la estatura de los hermanos (p. 83), Héctor
construyó otra gráfica para representar los datos. Ubicó la frecuencia exactamente en los puntos medios de cada intervalo y luego unió los puntos mediante
segmentos de recta. Ayúdenle a completar la gráfica.
b) ¿Cuántos puntos hay en el eje horizontal a los que les corresponde un punto
en la gráfica?
86
© Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.
Frecuencia
10
Histogramas y polígonos de frecuencia
Sugerencias didácticas
Explique a sus estudiantes que la gráfica recibe el nombre de polígono de
frecuencias porque al unir los puntos marcados, los cuales están relacionados directamente con las frecuencias de valores, se forma algo parecido a
un polígono. Se recomienda analizar de forma grupal el video sugerido en
la sección “Explora”.
Frecuencia
Estatura de hermanos
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Solucionario
Estatura de los hermanos
95
105
115
125
135
Estatura (cm)
145
155
165
Frecuencia
c) ¿Coinciden con el número de intervalos?
d) ¿Qué frecuencia corresponde a los puntos medios que no aparecen en la tabla
de frecuencias de la página 83?
e) Expliquen cómo se obtienen los puntos medios de los extremos de la gráfica.
La gráfica que acabas de construir es llamada polígono de frecuencia, la cual
es otra forma de representar datos agrupados en intervalos.
95
En siguiente enlace
www.edutics.mx/U7H
podrás aprender cómo
construir un polígono de
frecuencias a partir de un
histograma.
105
115
125
135
Estatura (cm)
145
155
165
c) No
d) 0
e) Se toma el punto medio del intervalo anterior al primero y el punto
medio del intervalo posterior al último.
5.
Minutos en que se solicita una recolección de prendas
8
5. Continúen trabajando en parejas. Consideren la tabla de frecuencias de la actividad
2 de la página 84 y construyan un polígono de frecuencia para presentar los datos.
7
Frecuencia
© Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.
Un polígono de frecuencia se construye sobre dos ejes perpendiculares. En el eje
horizontal (abscisas) se ubican los puntos medios de cada intervalo; en el eje vertical
(ordenadas) se debe utilizar una escala adecuada para la frecuencia. Se localizan
los puntos que tienen como coordenadas el punto medio de cada intervalo y su
frecuencia respectiva. Además, se calcula el punto medio anterior al primer intervalo y posterior al último y se agregan al polígono de frecuencias los dos puntos
asignándoles frecuencia 0. Es importante que el polígono de frecuencia inicie y
termine en 0. Finalmente los puntos se unen con segmentos.
Explora
8
7
6
5
4
3
2
1
0
6
5
4
3
2
1
0
38
a) Comparen su gráfica con la de otra pareja. Si hay diferencias traten de llegar a
un acuerdo.
87
46
54
62
70
Minutos
78
86
Bloque 1 - Secuencia 10
89
S10
Al terminar la actividad 6 pregunte ¿Cuál es el principal beneficio al utilizar
polígonos de frecuencias? ¿En los histogramas es posibles hacer una comparación de valores? ¿Por qué es importante comparar datos que representan
a una misma variable?
b) ¿Cuántas veces se hizo una nueva solicitud en menos de 58 minutos?
c) Los empleados de la fábrica textil comentan que cuando solicitan que recojan
las prendas en menos de 58 minutos es porque las máquinas de coser funcionan sin ninguna complicación. ¿Cómo describirían el funcionamiento de las
Hacemos
máquinas cuando se tomaron los registros?
Se recomienda hacer la entrevista que se sugiere en ésta sección. Pregunte a
sus estudiantes ¿Por qué es importante representar los datos que se obtengan
de la entrevista? ¿Qué tipo de conclusiones se podrían generar a partir de la
información obtenida? ¿Qué información va en el eje de las abscisas y cuál
en las ordenadas? ¿Es posible que el número de libros forme parte de dicho
estudio?
Revisen sus gráficas. Analicen la información que pueden obtener de ellas de forma
más sencilla que con una tabla.
En una misma gráfica se pueden representar dos polígonos de frecuencia, que
corresponden a dos conjuntos de datos en los que se analiza la misma variable,
con la intención de comparar los conjuntos y obtener conclusiones.
Solucionario
b)
c)
6. a)
b)
9 veces
R. M. Al parecer las máquinas no funcionaban bien.
El metro tuvo el mayor retraso en el intervalo de 20 a 25 minutos.
Le conviene el camión, no se demora tanto como el metro que ha
llegado a retrasarse más de 22.5 minutos.
6. Analicen en equipos la gráfica y contesten.
La siguiente gráfica muestra los minutos que José se retrasó en llegar a su trabajo
considerando las veces que tomaba el metro o el camión.
Registro de minutos de retraso
Integración
Semejanzas
Diferencias
El polígono de frecuencias es una línea
Semejanzas: el
trazada por segmentos y el histograma son
eje vertical es la
Histograma
barras, en el polígono de frecuencia sólo
misma frecuencia.
y polígono
aparece el punto medio en el eje horizontal
de frecuencia Se usan para datos
y en el histograma aparecen también los
agrupados
límites del intervalo
Realiza una encuesta
en tu comunidad tanto
a jóvenes (10 a 17 años)
como adultos (18 a 25
años) acerca del tiempo
que dedican a leer en
la semana. Entrevista
a la misma cantidad
de personas de cada
población. Reflexiona:
¿cómo podrías utilizar las
gráficas estudiadas en esta
secuencia para comunicar
los datos que obtengas?
Frecuencia
Hacemos
16
14
12
10
8
6
4
2
0
Camión
Metro
2.5
7.5
12.5
17.5
Minutos
22.5
27.5
a) ¿Qué medio de transporte tuvo el mayor retraso? y ¿dentro de cuál intervalo
de minutos está?
b) Observando los dos polígonos de frecuencia ¿qué medio de transporte consideran que le conviene tomar a José? ¿Por qué?
Integración
• En grupo elaboren una tabla comparativa de las características de los histogramas y de los polígonos de frecuencia. Incluyan algunos ejemplos de uso
para cada una.
Semejanzas
Histograma y polígono
de frecuencia
90 Bloque 1 - Secuencia 10
88
Diferencias
© Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.
Sugerencias didácticas
Histogramas y polígonos de frecuencia
Arribamos
Edad (años)
Número de habitantes (millones)
6 - 12
13
12 - 18
12
18 - 24
16
2. El siguiente histograma muestra el resultado de la prueba del colesterol en
miligramos por decilitro de sangre (mg/dL), realizado a 200 personas.
1. a) b)
9
1.521
12 - 18
15
2.832
18 - 24
21
3.344
2. a)
b)
c)
d)
220
225
a) ¿Cuál es la amplitud de cada intervalo?
b) Si para tener una buena salud se considera ideal tener un colesterol de
entre 180 mg/dL y 200 mg/dL o menos, ¿qué porcentaje de las personas
a las que se le hizo la prueba tienen un resultado considerado ideal?
c) ¿Qué cantidad de colesterol tiene la mayoría de las personas?
d) Explica qué observas en el histograma con relación a la salud de las personas que se realizaron la prueba del colesterol.
e) Sobre el histograma anterior, construye el polígono de frecuencia
correspondiente.
Tiempo
Niños
Niñas
3. Con los datos de la tabla del tiempo que
0
10
5
2
tarda una población infantil en resolver un
10
20
40
33
problema construye en un mismo plano los
polígonos de frecuencia correspondientes.
20 - 30
45
42
a) ¿Algún niño tarda más de 40 minutos en
30 - 40
10
14
resolver el problema?
40 - 50
0
9
b) ¿Cuántas niñas tardan más de 40 minutos?
Explica al grupo cómo utilizaste los datos para construir las gráficas.
89
2
1
3 6 9 12 15 18 21 24 27
Edad
Registro de colesterol en pruebas
80
70
60
50
40
30
20
10
0
3.
195
200
205
210
215
Colesterol (mg/dL)
220
225
Tiempo en que tardan 100 alumnos en
contestar un problema matematico
50
Niñas
Niños
40
Frecuencia
205
210
215
Colesterol (mg/dL)
3
5 mg/dL
El 5% tiene un resultado ideal.
Entre 210 y 215 mg/dL
R. M. La mayoría de las personas que se realizaron la prueba tienen
un colesterol más alto de lo que se considera saludable, por lo cual
deben acudir con el médico.
e)
200
4
0
80
70
60
50
40
30
20
10
0
195
Punto Frecuencia
medio (millones)
6 - 12
Frecuencia
Frecuencia
Registro de colesterol en pruebas
Número de personas con acceso
a internet de acuerdo a su edad
Solucionario
Edad
(años)
a) En parejas, calculen el número de personas de cada intervalo de edad
que representan los porcentajes en la gráfica 2.
b) Elaboren la tabla de frecuencias por intervalos, ubicando el punto medio
de éstos y construyan el polígono de frecuencia correspondiente.
© Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.
Arribamos
Frecuencia en millones
1. Analiza nuevamente la gráfica 2 de la actividad con la que inició la secuencia.
Considera la siguiente información sobre la población en México en 2016.
30
20
10
a) No
b) 9 niñas
0
5
15
25
35
Minutos
45
Bloque 1 - Secuencia 10
55
91
92 Bloque 1 - Evaluación
Autoevaluación
Analiza cada situación y subraya la opción correcta.
1. En la imagen se muestra el circuito para una competencia de carreras de autos.
Analiza el letrero que se enciende en la estación 4 y responde.
E4
E8
Inicio y meta
• Uno de los participantes terminó la carrera y otro sólo junto 85.8 puntos, ¿cuántos
puntos obtuvo en total el primer participante y en qué estación quedó el segundo?
A) El primero obtuvo 114.4 puntos y el segundo quedó en la estación 6.
B) El primero obtuvo 100 puntos y el segundo quedó en la estación 6.
C) El primero obtuvo 80.4 puntos y el segundo quedó en la estación 7.
D) El primero obtuvo 57.2 puntos y el segundo quedó en la estación 5.
3
2
• Un corredor logró avanzar hasta 8 de la pista, y con dificultad recorrió 5 más
del resto de la pista. Inicialmente, ¿cuánto le faltaba por recorrer? y en el último
tramo, ¿qué parte de la pista recorrió?
1
2
1
A) 2 de la pista y 5 de la pista
C) 3 de la pista
5
1
B) 8 de la pista y 4 de la pista
1
5
2
D) 8 de la pista y 5 de la pista
3
• Si en 4 de hora se recorren 5 partes del circuito, ¿cuántas vueltas se pueden
dar en una hora?
1
A) Una vuelta
C) 2 6 vueltas
3
2
B) 1 4 vueltas
D) 2 5 vueltas
2. La capacidad del tanque del auto de carreras es de 105 L de gasolina. Por cada
2
litro recorre 8 000 m y por cada estación recorrida se consumen 7 partes del
tanque. ¿Cuántos galones de gasolina quedan en el tanque al terminar la tercera
estación y cuántos kilómetros se habrán recorrido?
A) 15 galones, 0.8 km
B) 4 galones, 720 km
C) 4 galones, 450 km
D) 0 galones, 800 km
90
© Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.
A lo largo del proceso de enseñanza-aprendizaje se presentan tres momentos de evaluación, cada uno de ellos tiene características que en conjunto
determinan el avance de los estudiantes.
El primer momento está presente al aplicar la evaluación diagnóstica, la
cual marca la pauta en la toma de decisiones enfocadas en las planeaciones
didácticas. Su principal objetivo es identificar las necesidades de los estudiantes para desarrollar las temáticas que se abordaran en el nuevo bloque; una
vez identificadas se procede a planear los temas que se deben repasar para
alcanzar los objetivos deseados. Al revisar la evaluación diagnóstica que se
propone en este libro, se pueden identificar los conocimientos y habilidades
que los estudiantes deben reforzar.
Como segundo momento, está la evaluación formativa. Dicha evaluación
está enfocada en dar un seguimiento constante al desempeño académico de
los estudiantes. Su principal objetivo es determinar los aspectos en los que
el estudiante debe mejorar, cuáles herramientas le han servido y en cuáles
debe trabajar aún más para alcanzar los aprendizajes deseados. Puede servir
como actividad de retroalimentación, en la que el estudiante reconoce sus
fortalezas y deficiencias y, a partir de ellas, los aspectos que puede mejorar;
es decir, se le ofrece un camino a seguir para mejorar su aprendizaje. Las
técnicas más recomendadas para su realización son: observación, análisis
de desempeño de los estudiantes (tanto en actitudes como en adquisición
de conocimiento) y autoevaluación.
En la página de internet www.edutics.mx/w2W puede consultar más
información al respecto.
Por último se tiene la evaluación sumativa, la cual emite un juicio final
del aprovechamiento del estudiante. Este tipo de evaluación es el resultado
del análisis de información que se obtiene sobre el desempeño académico
del alumno a lo largo del bloque. De igual forma, ésta determina si los conocimientos planeados se alcanzaron y si las habilidades estudiadas forman
parte del saber de los estudiantes. Al emitir esta evaluación se determina la
acreditación del bloque.
Evaluación
Evaluación
Sugerencias didácticas
3. Si las placas de los autos de carreras son como las de la imagen, ¿cuál es la cantidad máxima de autos que pueden participar en la carrera si solo se toman en
cuenta los números?
A) 10 autos
B) 102 autos
C) 103 autos
D) 104 autos
4. Observa la pista, ¿cuántos grados debe rotarse el volante en cada vuelta?
A) 360°
C) 90°
B) 135°
D) 45°
• ¿A cuántos corredores se entrevistaron?
A) 25
C) 100
B) 53
D) Más de 100
Edad a la que los corredores de autos
eligieron su profesión
25
Cantidad de corredores
5. En el histograma se muestran los resultados de una encuesta realizada a los corredores de autos acerca de
la edad en la que eligieron esa profesión. ¿Cuál fue el
intervalo de edad con mayor frecuencia?
A) De 16 a 18 años
C) De 10 a 12 años
B) De 14 a 16 años
D) Más de 18 años
20
15
10
5
0
© Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.
• Al trazar el polígono de frecuencias, ¿cuáles son los
8
puntos medios de los intervalos?
A) 8, 10, 12, 14 y 16
C) 9.5, 11.5, 13.5, 15.5 y 17.5
B) 9, 11, 13, 15 y 17
D) 10.5, 12.5, 14.5, 16.5 y 18.5
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18
Edad
Cabe mencionar que cada estudiante posee habilidades y capacidades variadas, por lo que se recomienda tomar en cuenta el avance propio de cada
uno. La intención es medir el avance individual de los estudiantes, por lo que,
debe existir una comparación con sus propios aprendizajes; esto es, analizar
cómo ingresa al curso y cómo egresa de éste.
La evaluación permitirá a los estudiantes poner a prueba los conocimientos y habilidades adquiridos. Es importante mencionar que la evaluación
incluye algunas imágenes, las cuales aportan información a la solución del
problema.
Después de que los alumnos hayan resuelto la evaluación, se recomienda
hacer algunos comentarios y sugerencias de análisis para la retroalimentación. Puede realizar las siguientes preguntas con base en la imagen del
problema 1: ¿Cuántos lados tiene la pista? ¿Qué forma tiene la pista? ¿Cuántos ángulos internos y externos tiene? ¿Cuánto suman los ángulos externos?
¿Cómo puedes obtener el valor de un ángulo interno? Si ya se recorrió 21 de
la pista, ¿cuántas estaciones de han recorrido?
Si lo considera necesario, para comprobar la solución de la actividad 2,
realice una tabla de valores. Pida que calculen cuánta gasolina se ha consumido en las estaciones 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8, pregunte ¿En qué momento debe
recargar gasolina? Recuerde a sus estudiantes la importancia de generar una
tabla de equivalencias entre unidades de medición.
Explique que en la actividad 4 deben identificar que se requiere el valor
del ángulo exterior de la pista.
Dado el contexto del problema 6, recuerde a los estudiantes el procedimiento para despejar una variable.
6. Para un objeto en caída libre, la fuerza de gravedad es proporcional a la masa m,
de dicho objeto, de manera que se cumple la siguiente expresión, donde g es la
aceleración de la gravedad dirigida hacia abajo (– 9.8 m/s2). La fuerza se mide en
newtons (N).
F = mg
Si sobre un cuerpo en caída libre actúa una fuerza de – 490 N, ¿cuál es la masa de
dicho cuerpo?
A) 50 kg
B) 85 kg
C) 480.2 kg
D) 4 802 kg
Reúnete en pareja con un compañero. Comparen sus respuestas, argumenten el
porqué respondieron así. Corrijan lo que sea necesario.
Coevaluación
Revisa con tu profesor los resultados: ¿en qué necesitas mejorar? ¿Qué estrategias
usarás?
Heteroevaluación
91
Bloque 1 - Evaluación
93
Travesías
Travesías
Sugerencias didácticas
Explique que a través de la historia el hombre ha construido objetos matemáticos que son la principal herramienta para la interpretación de fenómenos
naturales y sociales. La evolución de dichas herramientas va ligada con las
necesidades del hombre, el ejemplo más claro relacionado con este tema,
es el tipo de registro que se menciona en “Materiales para el registro de datos
estadísticos”. Aquí se habla de los materiales utilizados para el registro de
información, se muestran marcas hechas en piedra o huesos. Plantee a los
alumnos las siguientes preguntas para saber lo que piensan del registro de
datos en la actualidad ¿Cómo se lleva a cabo el manejo de información? ¿Qué
software conoces que ayuda a representar datos a través de gráficas? ¿Cuál
crees que sea la principal necesidad del hombre relacionada con el manejo
de información? Cuando te ofrecen nuevos productos, ¿crees que se haga
un estudio para lograr más ventas?
Los datos de ayer y hoy
Plantear y resolver problemas usando herramientas matemáticas.
La recolección, registro e interpretación de datos provenientes de distintas fuentes es
una práctica que se ha desarrollado desde tiempos remotos, pues en una sociedad
organizada siempre surge la necesidad de poseer datos sobre su población, actividades y condiciones materiales que la rodean. Así, esta práctica ha evolucionado desde
la simple recolección de datos hasta la diversa y rigurosa interpretación que en la
actualidad se hace de éstos.
La estadística, en general, trata de la recopilación,
organización, presentación, análisis e interpretación de datos numéricos con el fi n de tomar
decisiones.
Los primeros registros estadísticos de los que
se tiene conocimiento fueron los censos, estudios descriptivos sobre todos los integrantes de
una población.
En antiguas civilizaciones como la egipcia,
china, griega y romana era común que se llevaran
a cabo recuentos sobre características de los habitantes: nacimientos, defunciones o de aspectos
económicos, impuestos, cosechas, etcétera.
De acuerdo con lo que indica el historiador griego Herodoto,
en Egipto algunos de los censos de riqueza y población se
hacían para planificar la construcción de las pirámides.
Los materiales empleados para el registro y comunicación de datos han evolucionado
a la par de la escritura. Van desde la piedra, láminas metálicas, papiros y papel, entre
otros, hasta los soportes electrónicos actuales.
Hacia el año 3 000 a. n. e. los babilonios usaban
pequeñas tablillas de arcilla para recopilar datos acerca de la producción agrícola y los géneros
vendidos o cambiados mediante trueque.
Desde la prehistoria
han existido formas
rudimentarias de registrar información
con fines contables:
montículos de piedras o señ ales en
huesos, pieles, palos
y paredes de cuevas.
94 Bloque 1 - Travesías
92
© Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.
Materiales para el registro de datos estadísticos
Sugerencias didácticas
Antes de leer el subtema “En México” pregunte a los estudiantes:
• ¿Qué sabes sobre la historia de México y las formas en que manejaban
la información en el pasado?
• ¿Qué instituciones conoces que lleven a cabo recolección de datos
y manejo de información en la actualidad?
• ¿Qué investigación te gustaría que se llevara a cabo? ¿Por qué?
Después de responder de forma grupal las preguntas anteriores analicen dicho subtema. Enseguida aliéntelos a que visualicen la forma en que se
registraba la información de los datos de tributación y cómo es que ahora
se podrían registrar según los temas estudiados.
Al término de la lectura y análisis del último párrafo, vuelva a preguntar:
¿qué tema te gustaría investigar?
Ac tua lm ent e se dis
po ne de
medios electrón ico
s para resguardar información
así como
de las hojas de cálcul
o o diversos sof tw are s qu e
per mi ten
introducir números
y variables
y, de for ma casi ins
tantánea,
presentar un a repres
ent ación
visual de los mismos.
En México
Recursos adicionales
En el siguiente enlace podrá consultar información de los histogramas y polígonos de frecuencia:
• “Histograma” y “Polígono de frecuencia”, disponible en www.edutics.mx/
wPT (consulta: 24 de agosto de 2018).
© Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.
Nuestro país tiene una rica tradición en materia de información estadística
de la cual dan cuenta diversos códices e innumerables publicaciones,
instituciones y personajes desde la época colonial hasta nuestros días.
El 25 de enero de 1983 se creó, por decreto presidencial, el Instituto
Nacional de Estadística, Geografía e Informática (Inegi). Con su creación,
el instituto modernizó la valiosa tradición que tenía nuestro país en materia de captación, procesamiento y difusión de información acerca del
territorio, la población y la economía.
El 16 de abril de 2008, el Inegi cambió su personalidad jurídica, adquiriendo autonomía técnica y de gestión. A partir de entonces su nueva
denominación es Instituto Nacional de Estadística y Geografía, pero aún
conserva las mismas siglas.
Cada 10 años el Inegi realiza un censo de población y vivienda. El último se llevó a cabo
en 2010.
En 1535, por órdenes del primer
virrey de la Nueva España, Antonio
de Mendoza, se realiza el Códice
Mendocino, que en su apartado
“Matrícula de tributos” se describe la
manera en que los pueblos registraba
sus datos de la tributación.
Î En el siglo XVII Gaspar Neumann demostró, basándose en los registros de defunciones de la época, la falsedad de la creencia popular de que en los años acabados
en siete moría más gente. ¿Conoces algún otro hecho en el que la aportación
estadística haya provocado un cambio de ideas?
93
Bloque 1 - Travesías
95