1. Algebra Matricial

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Aplicación de Elemento Finito en
Ingeniería I
Dr. Ricardo Rafael Ambriz Rojas
CIITEC-IPN
Febrero 2019
Ricardo. R. Ambriz
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Temario
1. Algebra Matricial.
1.1. Términos y definiciones.
1.2. Operaciones con matrices.
1.3. Particionado de una matriz.
1.4. Transpuesta de una matriz.
1.5. Determinante de una matriz.
1.6. Solución de ecuaciones lineales simultaneas.
1.7. Inversa de una matriz.
1.8. Eigen-valores y Eigen-vectores.
1.9. Solución de matrices con MATLAB.
2. Introducción al Método del Elemento Finito.
2.1. Antecedentes.
2.2. Conceptos básicos.
2.3. Procesos de discretización.
2.3.1. Subdivisión.
2.3.2. Continuidad.
2.3.3. Convergencia.
2.3.4. Límites o fronteras.
2.3.5. Error.
2.4. Principios y leyes.
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Temario
3. Pasos en el Método del Elemento Finito.
3.1. Introducción.
3.2. Idea general.
3.3. Formulación directa.
3.3.1. Paso 1. Discretizar y seleccionar el tipo de elemento finito.
3.3.2. Paso 2. Selección de modelo de aproximación o funciones.
3.3.3. Paso 3. Derivar las ecuaciones para un elemento.
3.3.4. Paso 4. Ensamblar ecuaciones de todos los elementos.
3.3.5. Paso 5. Aplicación de condiciones límite y cargas.
3.3.6. Paso 6. Solución del sistema de ecuaciones.
3.3.7. Paso 7. Obtención de información adicional.
3.4. Formulación por medio de la energía potencial mínima.
3.5. Formulación por medio de residuos ponderados.
3.6. Método de sub-dominio.
3.7. Método de Galerkin.
3.8. Método de mínimos cuadrados.
3.9. Comparación de resultados entre métodos.
4. Elementos Unidimensionales.
4.1. Elementos lineales.
4.2. Elementos cuadráticos.
4.3. Elementos cúbicos.
4.4. Coordenadas naturales, locales y globales.
4.5. Integración numérica.
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Temario
5. Armaduras, Miembros Axiales y Vigas.
5.1. Elementos de armaduras
5.1.1. Formulación por elemento finito de elementos de armaduras.
5.1.2. Elementos de armaduras espaciales.
5.1.3. Ejemplos y solución de problemas con software especializado.
5.2. Vigas y estructuras.
5.2.1. Miembros cargados axialmente.
5.2.2. Vigas.
5.2.3. Formulación por elemento finito de vigas.
5.2.4. Formulación por elemento finito de estructuras.
5.2.5. Ejemplos y solución de problemas con software especializado.
6. Análisis de problemas selectos, empleando software especializado.
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Bibliografía
1. A first course of the finite element method, Daryl L. Logan, fourth edition,
Thomson, 2007, ISBN: 81-315-0217-1.
2. Finite element modeling for stress analysis, Robert D. Cook, John Wiley
and Sons, 1995, ISBN: 0-471-10774-3.
3. Finite element analysis theory and application with ANSYS, Saeed
Moaveni, third edition, Prentice Hall, 2008, ISBN: 0-13-785098-0.
4. An introduction to the finite element method. J. N. Reddy, McGraw Hill,
2006, ISBN: 978-0-07-246685-0.
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Objetivo
Comprender y aplicar la teoría del Método del Elemento
Finito (MEF) para la solución de problemas de Ingeniería, así
como la simulación de los mismos en un programa
especializado (ANSYS).
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Alcance
El curso esta diseñado para impartirse dentro del programa
de Posgrado en Tecnología Avanzada (PTA) del Centro de
Investigación e Innovación Tecnológica (CIITEC) del
Instituto Politécnico Nacional (IPN).
Al termino del curso, los estudiantes tendrán la capacidad de
aplicar la teoría del elemento finito para la solución y
simulación de problemas que tienen un comportamiento
lineal en las áreas de resistencia de materiales, mecánica de
sólidos, transferencia de calor y mecánica de fluidos.
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1. Algebra Matricial
 Vectores.
 Espacios vectoriales.
 Transformaciones lineales.
 Sistemas de ecuaciones lineales.
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1.1. Términos y Definiciones
Considerando las ecuaciones:
x  3y  9
2 x  y  4
2 x  y  3
4 x  2 y  2
4x  2 y  6
6x  3 y  9
Solución única, son líneas que se
intersectan
Ninguna solución, son
líneas paralelas
Muchas soluciones, ambas
ecuaciones tienen el mismo gráfico
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1.1. Términos y Definiciones
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1.1. Términos y Definiciones
Una ecuación lineal es:
a1 x1  a2 x2  a3 x3    an xn  b
Entonces un sistema de tres ecuaciones lineales puede ser:
x1  x2  x3  2
2 x1  3x2  x3  3
x1  x2  2 x3  6
donde cada ecuación lineal con tres incógnitas, corresponderá a
un plano.
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1.1. Términos y Definiciones
Matriz: Es un arreglo rectangular de números. A estos números se
les llama elementos de la matriz
 7 1
 2 3  4
A
B   0 5

7 5  1 
 8 3
Renglones y columnas: Los renglones se enumeran de arriba
hacia abajo y las columnas de izquierda a derecha
Submatriz: Se obtiene eliminando algunos renglones y columnas
de una matriz, por ejemplo, la siguiente es una submatriz de la
matriz A:
3  4 
C

5

1


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1.1. Términos y Definiciones
Tamaño y tipo: Se define especificando el número de renglones
y columnas.
Matriz cuadrada: Una matriz es cuadrada cuando el número de
renglones es igual al número de columnas.
Matriz renglón: Es una matriz que tiene un solo renglón.
Matriz columna: Contiene solamente una sola columna.
Posición: Se especifica dando el renglón y la columna en los que
se encuentra el elemento. Por ejemplo, en la matriz C el elemento
5 está en el renglón 2, columna 1.
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1.1. Términos y Definiciones
Matriz identidad In: Es una matriz cuadrada con unos en las
posiciones (1, 1), (2, 2), (3, 3), etc, de la diagonal y ceros en el
resto de las posiciones.
1 0 0
I 3  0 1 0
0 0 1
Matriz de coeficientes: Son los coeficientes de las variables o
incógnitas que forman a una matriz.
Matriz aumentada: Se forma por medio de los coeficientes y las
constantes de la matriz.
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1.1. Términos y Definiciones
Por ejemplo, cual será la matriz de coeficientes y aumentada del
siguiente sistema de ecuaciones:
x1  x2  x3  2
2 x1  3x2  x3  3
x1  x2  2 x3  6
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1.1. Términos y Definiciones
Transformaciones elementales
 Intercambiar dos ecuaciones.
Operaciones elementales en
renglones
 Intercambiar dos renglones de una
matriz.
 Multiplicar ambos lados de una  Multiplicar los elementos de un
ecuación por una constante
renglón por una constante distinta
diferente de cero.
de cero.
 Sumar un múltiplo de
ecuación a otra ecuación.
una  Sumar un múltiplo de los
elementos de un renglón a los
elementos correspondientes de
otro renglón.
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1.2. Operaciones con Matrices
La forma de trabajar con matrices es por medio de una notación
que hace referencia a los renglones y columnas (i, j).
Así pues, las matrices se denotan por n  m si no son cuadradas.
Si n = m, entonces es una matriz cuadrada.
Diagonal Principal
 a11 a12
a
a22
21

A
 


am1 am 2
 a1n 
 a2 n 
  

 amn 
 a11 a12
a
a22
21

A
 


am1 am 2
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 a1n 
 a2 n 
  

 amn 
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1.2. Operaciones con Matrices
Adición de matrices
La teoría algebraica de matrices comienza con el concepto de
igualdad de matrices.
Es decir, dos matrices son iguales si A=B, por tanto aij=bij.
La suma de A+B es la matriz que se obtiene al sumar
elementos correspondientes de A y B. La matriz resultante
será del mismo tamaño que las matrices A y B. Si A y B no
son del mismo tamaño, no se pueden sumar, y se dice que la
suma no existe.
Ejercicio 1. (Realizar ejercicio de las notas)
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1.2. Operaciones con Matrices
Multiplicación de matrices por un escalar
Sea A una matriz y c un escalar. El múltiplo escalar de A por
c, que se denota cA, es la matriz que se obtiene al multiplicar
cada uno de los elementos de A por c. Por lo tanto, la matriz
cA será del mismo tamaño que la matriz A.
Ejercicio 2. (Realizar ejercicio de las notas)
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1.2. Operaciones con Matrices
Sustracción y negación de matrices
La definición de la sustracción de matrices debe ser compatible
con la adición, multiplicación escalar y la negación, por tanto:
A-B=A+(-1)B
Esta definición implica que la sustracción de matrices se lleva a
cabo entre matrices del mismo tamaño, sustrayendo elementos
correspondientes.
Por lo tanto, si C=A-B, entonces cij=aij-bij.
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1.2. Operaciones con Matrices
Multiplicación de matrices
La regla consiste en multiplicar los renglones de la primera matriz A
por las columnas de la segunda matriz B, esto dará como resultado la
matriz producto AB.
Si el número de columnas de una matriz A, es el mismo que el número
de renglones de una matriz B, entonces el producto de AB existe.
El elemento en el renglón i y la columna j de AB se obtiene al
multiplicar elementos correspondientes del renglón i de A y de la
columna j de B, y sumando los productos.
Si el número de columnas de A no es igual al número de renglones de
B, se dice que el producto no existe.
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1.2. Operaciones con Matrices
Multiplicación de matrices
Suponiendo que:
1 3
A

2
0


5 0 1
B

3

2
6


C  6  2 5
si los productos AB, BA y AC existen, determinarlos
Entonces el orden en el cual se multiplican dos matrices es
importante. Es decir que la multiplicación de matrices no es
conmutativa.
Resolver el ejercicio 3 de las notas.
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1.2. Operaciones con Matrices
Tamaño de una matriz producto
Sea A una matriz de m  r y B una matriz de r  n. A tiene r columnas
y B tiene r renglones, entonces AB existe.
El primer renglón de AB se obtiene al multiplicar el primer renglón de
A por cada una de las columnas de B.
Por lo tanto, el número de columnas de AB es igual al número de
columnas de B.
La primera columna de AB es el resultado de multiplicar cada uno de
los renglones de A por la primera columna de B. Entonces el número
de renglones de AB es igual al número de renglones de A.
AB será una matriz de m  n.
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1.2. Operaciones con Matrices
Tamaño de una matriz producto
Si A es una matriz de m  r y B es una matriz de r  n, entonces AB
será una matriz de m  n.
Ejercicio 4. Determinar el tamaño de la matriz producto AB, si A es
una matriz de 5  6 y B es una matriz de 6  7.
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1.2. Operaciones con Matrices
Notación matricial
La notación matricial resulta adecuada para expresar sistemas de
ecuaciones. Un sistema de m ecuaciones lineales con n variables se
escribe de la siguiente manera:
a11x1    a1n xn  b1




am1 x1    amn xn  bm
 x1 
 a11  a1n 
A       X    
 
am1  amn 
 xn 
 b1 
B    
bm 
AX = B
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1.2. Operaciones con Matrices
Notación matricial
La forma matricial de expresar sistemas de ecuaciones lineales es muy
útil para la solución de las mismas.
3x1  2 x2  5 x3  7
3 2  5  x1   7 
1  8 4   x    9 

 2   
2 6  7  x3   2
x1  8 x2  4 x3  9
2 x1  6 x2  7 x3  2
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1.2. Operaciones con Matrices
Propiedades de operaciones con matrices
Propiedades de la Adición de Matrices y de Multiplicación por un Escalar
A+B=B+A
Propiedad conmutativa de la adición
A + (B + C) = (A + B) + C
Propiedad asociativa de la adición
A+0=0+A=A
(donde 0 es la matiz cero de tamaño adecuado)
c(A + B) = cA + cB
Propiedad distributiva de la adición
(a + b)C = aC+bC
Propiedad distributiva de la adición
(ab)C = a(bC)
Propiedad asociativa del producto por escalares
Propiedades de la Multiplicación de Matrices
A(BC) = (AB)C
Propiedad asociativa de la multiplicación
A(B + C) = AB + AC
Propiedad distributiva de la multiplicación
(A + B)C = AC + BC
Propiedad distributiva de la multiplicación
AIn = InA = A
(donde In es la matriz identidad adecuada)
c(AB) = (cA)B = A(cB)
Propiedad asociativa del producto por un escalar
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1.2. Operaciones con Matrices
Potencias de matrices
Si A es una matriz cuadrada, entonces A multiplicada por si misma k
veces se escribe Ak.
Ak  AAA
Si A es una matriz cuadrada de n  n y r y s son enteros no negativos,
entonces:
A A A
r
s
Determinar A4, si:
r s
A 
r s
 A rs
A0  I n
 1  2
A

 1 0 
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1.3. Particionado de una Matriz
La formulación en el método del elemento finito por lo general
involucra problemas de matrices muy grandes.
La forma de particionar una matriz es usando líneas punteadas
verticales y horizontales, tal como se ilustra
 a11 a12
a
 21 a 22
A   a31 a32

a 41 a 42
 a51 a52

a13
a14
a15
a 23
a 24
a 25
a33
a34
a35
a 43
a 44
a 45
a53
a54
a55
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a16 
a 26 
a36 

a 46 
a56 
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1.3. Particionado de una Matriz
En términos de submatrices,
 A11
A
 A 21
 a11 a12
A 11  
a 21 a 22
 a31 a32
A 21  a 41 a 42
 a51 a52
a13 
a 23 
a33 
a 43 
a53 
A12 
A 22 
 a14 a15 a16 
A 12  

a
a
a
25
26 
 24
 a34 a35 a36 
A 22  a 44 a 45 a55 
 a54 a55 a56 
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1.4. Transpuesta de una Matriz
La transpuesta de una matriz A, que se denota por At, es la matriz
cuyas columnas son los renglones de la matriz A dada.
El primer renglón de A se convierte en la primera columna de At,
el segundo renglón de A se convierte en la segunda columna de At
y así sucesivamente. El elemento (i, j) de A se convierte en el
elemento (j, i) de At. Si A es una matriz de m  n, At es una matriz
de n  m.
Ejercicio. Determinar la transpuesta de las siguientes matrices.
 2 7
A


8
0


1 2  7 
B

4
5
6


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C   1 3 8
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1.4. Transpuesta de una Matriz
Propiedades de la transpuesta
(A + B)t = At + Bt
(cA)t =cAt
(AB)t = BtAt
(At)t = A
Transpuesta de una suma
Transpuesta de un múltiplo escalar
Transpuesta de un producto
Transpuesta de una transpuesta
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1.5. Determinante de una Matriz
Es empleado para la solución de sistemas de ecuaciones
simultáneas, obtener la inversa de una matriz o para la formación
de ecuaciones características para un problema dinámico.
a11 x1  a12 x2  b1
a 21 x1  a 22 x2  b2
DetA o A
 a11 a12   x1   b1 
 
a



 21 a22   x2  b2 
o
a11
a12
a21 a22
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Ax  b
 a11a22  a12a21
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1.5. Determinante de una Matriz
En general el determinante de una matriz es un solo número, sin
embargo para problemas dinámicos, el determinante de una matriz
resultado de ecuaciones de movimiento son expresiones
polinomiales.
Regla de Cramer
Es una técnica numérica que puede usarse para obtener la solución
de un sistema de n ecuaciones lineales con n variables.
AX  B
x1 
A1
A
, x2 
A2
A
,  xn 
An
A
donde Ai es la matriz que se obtiene sustituyendo la columna i de
A por la columna de B.
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1.5. Determinante de una Matriz
Por ejemplo, el determinante de la siguiente matriz C es:
 c11 c12
C  c21 c22
c31 c32
c11
c12
c13 
c23 
c33 
c13
c21 c22
c23  c11c22c33  c12c23c31  c13c21c32  c13c22c31  c11c23c32  c12c21c33
c31 c32
c33
- - -
+ + +
c11
c12
c13
c11
Expansión directa
c12
c21 c22
c23 c21 c22
c31 c32
c33
Procedimiento de expansión
c31 c32
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1.5. Determinante de una Matriz
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones usando la regla de
Cramer:
x1  3x2  x3  2
2 x1  5 x2  x3  5
x1  2 x2  3x3  6
8 x1  2 x2  x3  1
2 x1  x2  6 x3  3
6 x1  x2  4 x3  3
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1.6. Solución de Ecuaciones Simultaneas
Eliminación Gaussiana
Se usa la forma escalonada de la matriz aumentada del sistema de
ecuaciones.
Una matriz esta en forma escalonada si:
Todos los renglones que constan solo de ceros están en la parte inferior de la
matriz.
El primer elemento distinto de cero de cada renglón es 1. A este elemento se
le llama 1 principal.
El 1 principal de cada renglón, después del primer renglón, se encuentra a la
derecha de los 1 principales de los renglones anteriores.
1  1 2 1 3  6 4 1 4 6 2 5
0 1 2 0 0 1 3 0 0 1 5 4

 
 

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 3
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1.6. Solución de Ecuaciones Simultaneas
Eliminación Gaussiana
El algoritmo de la eliminación Gaussiana es:
Escribir la matriz aumentada del sistema de ecuaciones
lineales.
Encontrar una forma escalonada de la matriz aumentada
mediante operaciones elementales en los renglones. Esto se
hace, columna por columna y empezando con la primera
columna, creando los 1 principales y después ceros debajo de
cada 1 principal.
Escribir el sistema de ecuaciones correspondiente a la forma
escalonada.
Usar sustitución en retroceso para encontrar la solución.
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1.6. Solución de Ecuaciones Simultaneas
Eliminación Gaussiana
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
2 x1  x2  x3  13
3x1  2 x2  4 x3  32
5 x1  x2  3x3  17
x1  x2  x3  6
x1  x2  x3  2
x1  2 x2  3x3  14
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1.6. Solución de Ecuaciones Simultaneas
El método de descomposición LU
Es el método empleado en computadoras.
Consiste en escribir la matriz de coeficientes como el producto de
una matriz triangular inferior L y una matriz triangular superior
U.
Una matriz triangular inferior es una matriz cuadrada con ceros en
todas las posiciones sobre la diagonal principal, mientras que
una matriz triangular superior es una matriz cuadrada con ceros
debajo de la diagonal principal.
L
0 0
2 0
8
3  1 0 0
0



5 2
0
7 0



4
0

2
8


0
Ricardo.
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Matriz triangular
inferior
 3
2 9
1 
0 4 2 

0 0
7
Matriz triangula r superior
2
5
U
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1.6. Solución de Ecuaciones Simultaneas
El método de descomposición LU
Considerando a las ecuaciones:
a11x1  a12 x2  a13 x3  b1
a21x1  a22 x2  a23 x3  b2
a31x1  a32 x2  a33 x3  b3
 a11 a12
a
a
21
22

a31 a32
a13   x1   b1 
a23   x2   b2  o Ax  b
a33   x3  b3 
La idea del método es:
0
1
l
 21 1
l31 l32
0
0
1
y
u11 u12 u13 
0 u

u
22
23 

 0
0 u33 
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1.6. Solución de Ecuaciones Simultaneas
El método de descomposición LU
Entonces:
 a11 a12
a
 21 a22
a31 a32
a13   1 0 0 u11 u12 u13 
a23   l21 1 0  0 u 22 u 23 
a33  l31 l32 1  0
0 u33 
Multiplicando:
 a11 a12
a
 21 a22
a31 a32
a13   u11
u12
u13


a23   l21u11 l21u12  u 22
l21u13  u 23

a33  l31u11 l31u12  l32u 22 l31u13  l32u 23  u33 
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1.6. Solución de Ecuaciones Simultaneas
El método de descomposición LU
Por lo tanto:
u11  a11
u12  a12
l21u11  a21
l21 
a21 a21

u11 a11
 l31 
a31 a31

u11 a11

l31u11  a31
u13  a13
l21u12  u22  a22

l21u13  u23  a23

l31u12  l32u 22  a32
l31u13  l32u23  u33  a33
u22  a22  l21u12


Descomposición
u23  a23  l21u13
l32 
a32  l31u12
u 22
u33  a33  l31u13  l32u23
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1.6. Solución de Ecuaciones Simultaneas
El método de descomposición LU
Se puede generalizar para una matriz de tamaño n:
Paso 1. Los valores de los elementos en el primer renglón de la
matriz U se obtienen a partir de:
u1 j  a1 j
para j=1 hasta n
Paso 2. Los valores desconocidos de los elementos en la primera
columna de la matriz L se obtienen de:
ai1
li1 
u11
para i=2 hasta n
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1.6. Solución de Ecuaciones Simultaneas
El método de descomposición LU
Se puede generalizar para una matriz de tamaño n:
Paso 3. Los valores de los elementos en el segundo renglón de la
matriz U se calculan a partir de:
u2 j  a2 j  l21u1 j
para j=2 hasta n
Paso 4. Los valores de los elementos en la segunda columna de
la matriz L se calculan a partir de:
ai 2  li1u12
li 2 
u 22
para i=3 hasta n
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1.6. Solución de Ecuaciones Simultaneas
El método de descomposición LU
Se puede generalizar para una matriz de tamaño n:
Para obtener los valores de los elementos en el k-esimo renglón de
la matriz U, se emplea la siguiente expresión:
u kj  a kj 
k 1
l
kp u pj
para j=k hasta n
p 1
En seguida se debe cambiar a la k-esima columna de la matriz L y
determinar los valores desconocidos en esa columna de la
siguiente manera:
k 1
aik 
lipu pk
lik 

p 1
para i=k + 1 hasta n
u kk
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1.6. Solución de Ecuaciones Simultaneas
El método de descomposición LU
Fase de solución:
Enseguida, se emplea a las matrices L y U para solucionar un
sistema de ecuaciones lineales simultaneas, considerando las
siguientes expresiones:
Ax  b
LUx  b
Reemplazando el producto de Ux por:
Ux  z
LUx  b

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Lz  b
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1.6. Solución de Ecuaciones Simultaneas
El método de descomposición LU
Fase de solución:
Debido a que L es una matriz triangular inferior, esta se puede
solucionar fácilmente para los valores de los elementos en la
matriz z y entonces emplear los valores conocidos de la matriz z
para solucionar los valores desconocidos de x.
 1 0 0  z1   b1 
l
  z   b 
1
0
 21
 2   2 
l31 l32 1  z3  b3 
Es claro que:
i 1
zi  bi   lij z j
para i  2,3,4,..., n
j 1
z1  b1
z 2  b2  l21z1
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z3  b3  l31z1  l32 z 2
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1.6. Solución de Ecuaciones Simultaneas
El método de descomposición LU
Fase de solución:
Ahora que los valores de los elementos en la matriz z son
conocidos, se puede solucionar para los valores desconocidos de
x, usando lo siguiente:
u11 u12 u13   x1   z1 
0 u
x   z 
u
22
23   2 

 2
 0
0 u33   x3   z3 
xn 
zn
unn
z3
x3 
u33
zi 
y
xi 
x2 
n
u
j i 1
ij
xj
uii
para i  n  1, n  2, ... 3, 2, 1
z 2  u 23 x3
u 22
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x1 
z1  u12 x2  u13 x3
u11
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1.6. Solución de Ecuaciones Simultaneas
El método de descomposición LU
Fase de solución:
Entonces, la solución puede generalizarse para un sistema de n
ecuaciones y n incógnitas, de la siguiente manera:
z1  b1
zi  bi 
zn
xi 
xn 
u nn
i 1
l
ij z j
para
i  2, 3, 4, , n
j 1
zi 
n
u
j i 1
ij x j
para
uii
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i  n 1, n  2, n  3, , 3, 2, 1
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1.6. Solución de Ecuaciones Simultaneas
El método de descomposición LU
Ejemplo: Aplicar el método de descomposición LU al siguiente
sistema de ecuaciones lineales:
2 x1  x2  x3  13
3x1  2 x2  4 x3  32
5 x1  x2  3x3  17
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1.7. Inversa de una Matriz
En matrices se establece la inversa de una matriz en lugar de una
división, por lo tanto:
1
1
A A  AA  I
Solamente una matriz cuadrada y no singular tiene una inversa.
Por ejemplo, la formulación por elemento finito de una barra de
sección variable que se encuentra sujeta a una carga de tensión,
está dada por la siguiente relación:
Ku  F
[K]; es la matriz de rigidez.
[u]; la matriz de desplazamientos.
[F]; la matriz de carga.
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1.7. Inversa de una Matriz
Entonces los valores de los desplazamientos de [u] serán:
K1Ku  K1F
Iu  K F
1
Debe notarse que [I][u] = [u], por lo tanto:
u  K1F
Partiendo de la relación matricial anterior, podemos observar que la
solución nodal puede obtenerse fácilmente si es que se conoce el
valor de [K]-1.
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1.7. Inversa de una Matriz
Si se calcula la inversa de una matriz, empleando el método de
descomposición LU, tenemos:
AA
1
 I
LUA1  I
Si se representa [U][A]-1 por una matriz [Y], entonces:
UA
1
Finalmente, se tiene:
 Y
LY  I
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1.7. Inversa de una Matriz
Calcular [A]-1 de la siguiente matriz.
2 1 1 


A  3 2 4
5  1 3
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1.8. Eigen-valores y Eigen-vectores
La definición de un valor propio y un vector propio es:
Sea A una matriz de n  n. Se dice que un escalar  es un valor
propio de A si existe en Rn un vector X, diferente de cero, tal que:
AX = X
o
AX - X = 0
El vector X es el vector propio correspondiente a .
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1.8. Eigen-valores y Eigen-vectores
La definición de un valor propio y un vector propio es:
El significado geométrico de un vector propio correspondiente a
un valor propio distinto de cero es el siguiente:
El vector AX es un vector en el mismo sentido o en sentido
contrario a X, esto depende del signo de , tal como se puede
observar en la figura.
AX
X
0
X
AX
0
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1.8. Eigen-valores y Eigen-vectores
Los problemas que incluyen valores propios o característicos por
lo general tienen soluciones únicas, por tanto la ecuación anterior
se escribe:
A  IX  0
Donde I es la matriz identidad que tiene la misma dimensión que
la matriz A.
La matriz desconocida X es llamado vector propio o eigen-vector
de la matriz A.
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1.8. Eigen-valores y Eigen-vectores
Partiendo de la ecuación anterior y sabiendo que la matriz de
coeficientes es:
A  I
Una solución a este sistema es X=0.
Pero, se definieron a los vectores propios como vectores diferentes
de cero.
Entonces, el sistema de ecuaciones tiene soluciones distintas de
cero solo si la matriz de coeficientes es singular.
Al resolver la ecuación A  I  0 para , se encuentran los valores
propios de A.
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1.8. Eigen-valores y Eigen-vectores
Por otra parte al resolver el determinante,
A  I
Ecuación característica
se obtiene un polinomio en .
A este polinomio, se le llama polinomio característico, de A.
Al sustituir los valores propios en la ecuación,
A  IX  0
se encuentran los vectores propios correspondientes.
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1.8. Eigen-valores y Eigen-vectores
Ejemplo. Encontrar los valores propios y los vectores propios de
la siguiente matriz.
  4  6
A

3
5


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1.9. Solución de Matrices con MATLAB
MATLAB
Historial de
comandos
aplicados
MATrix LABoratory
Ventana de comandos
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1.9. Solución de Matrices con MATLAB
Operaciones Básicas con MATLAB… Una Calculadora
j Por
Símbolo
Operación
+
Adición
-
Sustracción
*
Multiplicación
/
División derecha
\
División izquierdaj
^
Potencia
ejemplo, la operación de escalares 1/4 y 4\1 tienen el mismo resultado de 0.25.
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1.9. Solución de Matrices con MATLAB
Operaciones Básicas con MATLAB… Una Calculadora
Jerarquía
Primero
Segundo
Tercero
Cuarto
Operación Matemática
El contenido de todos los paréntesis es evaluado
primero, comenzando desde los más internos hacia
los externos.
Todos los exponentes son evaluados de izquierda a
derecha.
Todas las multiplicaciones y divisiones son evaluadas
de izquierda a derecha.
Las sumas y restas se evalúan de izquierda a derecha.
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1.9. Solución de Matrices con MATLAB
Símbolo
abs
angle
sqrt
real
imag
conj
round
fix
floor
ceil
sign
rem
sin
cos
tan
asin
acos
atan
atan2
sinh
cosh
tanh
exp
log
log10
bessel
gamma
rat
Operación
Valor absoluto o magnitud compleja
Ángulo de fase
Raíz cuadrada
Parte real
Parte imaginaria
Conjugada compleja
Redondear al entero más cercano
Redondear hacia cero
Redondear hacia Redondear hacia +
Función signo
Recortar
Función seno
Función coseno
Función tangente
Función arco seno
Función arco coseno
Función arco tangente
Función arco tangente cuarto cuadrante
Función seno hiperbólico
Función coseno hiperbólico
Función tangente hiperbólica
Función exponencial base e
Función logaritmo natural
Función logaritmo base 10
Función de Bessel
Función gamma
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Función aproximación
racional
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1.9. Solución de Matrices con MATLAB
Operaciones con Matrices en MATLAB
Como Introducir una Matriz:
 Introducir una lista explicita de elementos.
 Cargar matrices de un archivo de datos externo.
 Generar matrices empleando funciones de construcción.
 Crear matrices con funciones propias de archivos M.
 Para introducir una matriz como una lista de elementos,
solamente se deben seguir las siguientes convenciones básicas:
 Separar los elementos de un renglón con espacios en blanco o
comas.
 Usar un punto y coma, ; , para indicar el final de cada
renglón.
 Los valores de la matriz deben estar contenidos entre
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corchetes [ ].
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1.9. Solución de Matrices con MATLAB
Operaciones con Matrices en MATLAB
Como Introducir una Matriz:
Por ejemplo: Introducir las siguientes matrices en MATLAB:
2 1 1
A  3 2 4
5  1 3
1  1 2
1 3  6 4
1 4 6 2 5
B  0 1 2 C  0 0 1 3 D  0 0 1 5 4
0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 1 3
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1.9. Solución de Matrices con MATLAB
Operaciones con Matrices en MATLAB
Indexado de una Matriz:
Los elementos de una matriz pueden cambiarse o modificarse
haciendo referencia a los índices de su renglón y columna.
Por ejemplo: Dada la matriz A,
2 1 1
A  3 2 4
5  1 3
Se podría cambiar el índice A(3, 2)=-1 por A(3, 2)=8, así pues:
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1.9. Solución de Matrices con MATLAB
Operaciones con Matrices en MATLAB
Continuación de una Matriz:
A veces no es posible teclear una matriz en una sola línea, por lo
cual es necesario hacer referencia a una continuación, mediante
tres puntos (…)
Por ejemplo:
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Operador dos puntos (:):
Se emplea para recuperar un cierto renglón o columna.
Así por ejemplo, el enunciado A(m:n, k:1) especifica los
renglones m a n y columnas k para 1 de una matriz A
Considerando la siguiente matriz A:
2 1 1
A  3 2 4
5  1 3
El primer renglón de la matriz será:
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Transpuesta de una Matriz:
Esta operación se denota por un apostrofe, así entonces la
transpuesta de la matriz A siguiente, será:
2 1 1
A  3 2 4
5 8 3
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Tamaño de una Matriz:
El tamaño de una matriz se obtienen con el comando size ( ).
Por ejemplo: El tamaño de A, es:
2 1 1
A  3 2 4
5 8 3
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Concatenado de Matrices:
Con esta opción se puede construir una matriz a partir de
submatrices, por ejemplo:
2 1 1
A  3 2 4
5 8 3
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