Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 Aplicación de Elemento Finito en Ingeniería I Dr. Ricardo Rafael Ambriz Rojas CIITEC-IPN Febrero 2019 Ricardo. R. Ambriz 1 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 Temario 1. Algebra Matricial. 1.1. Términos y definiciones. 1.2. Operaciones con matrices. 1.3. Particionado de una matriz. 1.4. Transpuesta de una matriz. 1.5. Determinante de una matriz. 1.6. Solución de ecuaciones lineales simultaneas. 1.7. Inversa de una matriz. 1.8. Eigen-valores y Eigen-vectores. 1.9. Solución de matrices con MATLAB. 2. Introducción al Método del Elemento Finito. 2.1. Antecedentes. 2.2. Conceptos básicos. 2.3. Procesos de discretización. 2.3.1. Subdivisión. 2.3.2. Continuidad. 2.3.3. Convergencia. 2.3.4. Límites o fronteras. 2.3.5. Error. 2.4. Principios y leyes. Ricardo. R. Ambriz 2 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 Temario 3. Pasos en el Método del Elemento Finito. 3.1. Introducción. 3.2. Idea general. 3.3. Formulación directa. 3.3.1. Paso 1. Discretizar y seleccionar el tipo de elemento finito. 3.3.2. Paso 2. Selección de modelo de aproximación o funciones. 3.3.3. Paso 3. Derivar las ecuaciones para un elemento. 3.3.4. Paso 4. Ensamblar ecuaciones de todos los elementos. 3.3.5. Paso 5. Aplicación de condiciones límite y cargas. 3.3.6. Paso 6. Solución del sistema de ecuaciones. 3.3.7. Paso 7. Obtención de información adicional. 3.4. Formulación por medio de la energía potencial mínima. 3.5. Formulación por medio de residuos ponderados. 3.6. Método de sub-dominio. 3.7. Método de Galerkin. 3.8. Método de mínimos cuadrados. 3.9. Comparación de resultados entre métodos. 4. Elementos Unidimensionales. 4.1. Elementos lineales. 4.2. Elementos cuadráticos. 4.3. Elementos cúbicos. 4.4. Coordenadas naturales, locales y globales. 4.5. Integración numérica. Ricardo. R. Ambriz 3 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 Temario 5. Armaduras, Miembros Axiales y Vigas. 5.1. Elementos de armaduras 5.1.1. Formulación por elemento finito de elementos de armaduras. 5.1.2. Elementos de armaduras espaciales. 5.1.3. Ejemplos y solución de problemas con software especializado. 5.2. Vigas y estructuras. 5.2.1. Miembros cargados axialmente. 5.2.2. Vigas. 5.2.3. Formulación por elemento finito de vigas. 5.2.4. Formulación por elemento finito de estructuras. 5.2.5. Ejemplos y solución de problemas con software especializado. 6. Análisis de problemas selectos, empleando software especializado. Ricardo. R. Ambriz 4 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 Bibliografía 1. A first course of the finite element method, Daryl L. Logan, fourth edition, Thomson, 2007, ISBN: 81-315-0217-1. 2. Finite element modeling for stress analysis, Robert D. Cook, John Wiley and Sons, 1995, ISBN: 0-471-10774-3. 3. Finite element analysis theory and application with ANSYS, Saeed Moaveni, third edition, Prentice Hall, 2008, ISBN: 0-13-785098-0. 4. An introduction to the finite element method. J. N. Reddy, McGraw Hill, 2006, ISBN: 978-0-07-246685-0. Ricardo. R. Ambriz 5 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 Objetivo Comprender y aplicar la teoría del Método del Elemento Finito (MEF) para la solución de problemas de Ingeniería, así como la simulación de los mismos en un programa especializado (ANSYS). Ricardo. R. Ambriz 6 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 Alcance El curso esta diseñado para impartirse dentro del programa de Posgrado en Tecnología Avanzada (PTA) del Centro de Investigación e Innovación Tecnológica (CIITEC) del Instituto Politécnico Nacional (IPN). Al termino del curso, los estudiantes tendrán la capacidad de aplicar la teoría del elemento finito para la solución y simulación de problemas que tienen un comportamiento lineal en las áreas de resistencia de materiales, mecánica de sólidos, transferencia de calor y mecánica de fluidos. Ricardo. R. Ambriz 7 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1. Algebra Matricial Vectores. Espacios vectoriales. Transformaciones lineales. Sistemas de ecuaciones lineales. Ricardo. R. Ambriz 8 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.1. Términos y Definiciones Considerando las ecuaciones: x 3y 9 2 x y 4 2 x y 3 4 x 2 y 2 4x 2 y 6 6x 3 y 9 Solución única, son líneas que se intersectan Ninguna solución, son líneas paralelas Muchas soluciones, ambas ecuaciones tienen el mismo gráfico Ricardo. R. Ambriz 9 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.1. Términos y Definiciones Ricardo. R. Ambriz 10 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.1. Términos y Definiciones Una ecuación lineal es: a1 x1 a2 x2 a3 x3 an xn b Entonces un sistema de tres ecuaciones lineales puede ser: x1 x2 x3 2 2 x1 3x2 x3 3 x1 x2 2 x3 6 donde cada ecuación lineal con tres incógnitas, corresponderá a un plano. Ricardo. R. Ambriz 11 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.1. Términos y Definiciones Matriz: Es un arreglo rectangular de números. A estos números se les llama elementos de la matriz 7 1 2 3 4 A B 0 5 7 5 1 8 3 Renglones y columnas: Los renglones se enumeran de arriba hacia abajo y las columnas de izquierda a derecha Submatriz: Se obtiene eliminando algunos renglones y columnas de una matriz, por ejemplo, la siguiente es una submatriz de la matriz A: 3 4 C 5 1 Ricardo. R. Ambriz 12 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.1. Términos y Definiciones Tamaño y tipo: Se define especificando el número de renglones y columnas. Matriz cuadrada: Una matriz es cuadrada cuando el número de renglones es igual al número de columnas. Matriz renglón: Es una matriz que tiene un solo renglón. Matriz columna: Contiene solamente una sola columna. Posición: Se especifica dando el renglón y la columna en los que se encuentra el elemento. Por ejemplo, en la matriz C el elemento 5 está en el renglón 2, columna 1. Ricardo. R. Ambriz 13 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.1. Términos y Definiciones Matriz identidad In: Es una matriz cuadrada con unos en las posiciones (1, 1), (2, 2), (3, 3), etc, de la diagonal y ceros en el resto de las posiciones. 1 0 0 I 3 0 1 0 0 0 1 Matriz de coeficientes: Son los coeficientes de las variables o incógnitas que forman a una matriz. Matriz aumentada: Se forma por medio de los coeficientes y las constantes de la matriz. Ricardo. R. Ambriz 14 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.1. Términos y Definiciones Por ejemplo, cual será la matriz de coeficientes y aumentada del siguiente sistema de ecuaciones: x1 x2 x3 2 2 x1 3x2 x3 3 x1 x2 2 x3 6 Ricardo. R. Ambriz 15 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.1. Términos y Definiciones Transformaciones elementales Intercambiar dos ecuaciones. Operaciones elementales en renglones Intercambiar dos renglones de una matriz. Multiplicar ambos lados de una Multiplicar los elementos de un ecuación por una constante renglón por una constante distinta diferente de cero. de cero. Sumar un múltiplo de ecuación a otra ecuación. una Sumar un múltiplo de los elementos de un renglón a los elementos correspondientes de otro renglón. Ricardo. R. Ambriz 16 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.2. Operaciones con Matrices La forma de trabajar con matrices es por medio de una notación que hace referencia a los renglones y columnas (i, j). Así pues, las matrices se denotan por n m si no son cuadradas. Si n = m, entonces es una matriz cuadrada. Diagonal Principal a11 a12 a a22 21 A am1 am 2 a1n a2 n amn a11 a12 a a22 21 A am1 am 2 Ricardo. R. Ambriz a1n a2 n amn 17 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.2. Operaciones con Matrices Adición de matrices La teoría algebraica de matrices comienza con el concepto de igualdad de matrices. Es decir, dos matrices son iguales si A=B, por tanto aij=bij. La suma de A+B es la matriz que se obtiene al sumar elementos correspondientes de A y B. La matriz resultante será del mismo tamaño que las matrices A y B. Si A y B no son del mismo tamaño, no se pueden sumar, y se dice que la suma no existe. Ejercicio 1. (Realizar ejercicio de las notas) Ricardo. R. Ambriz 18 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.2. Operaciones con Matrices Multiplicación de matrices por un escalar Sea A una matriz y c un escalar. El múltiplo escalar de A por c, que se denota cA, es la matriz que se obtiene al multiplicar cada uno de los elementos de A por c. Por lo tanto, la matriz cA será del mismo tamaño que la matriz A. Ejercicio 2. (Realizar ejercicio de las notas) Ricardo. R. Ambriz 19 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.2. Operaciones con Matrices Sustracción y negación de matrices La definición de la sustracción de matrices debe ser compatible con la adición, multiplicación escalar y la negación, por tanto: A-B=A+(-1)B Esta definición implica que la sustracción de matrices se lleva a cabo entre matrices del mismo tamaño, sustrayendo elementos correspondientes. Por lo tanto, si C=A-B, entonces cij=aij-bij. Ricardo. R. Ambriz 20 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.2. Operaciones con Matrices Multiplicación de matrices La regla consiste en multiplicar los renglones de la primera matriz A por las columnas de la segunda matriz B, esto dará como resultado la matriz producto AB. Si el número de columnas de una matriz A, es el mismo que el número de renglones de una matriz B, entonces el producto de AB existe. El elemento en el renglón i y la columna j de AB se obtiene al multiplicar elementos correspondientes del renglón i de A y de la columna j de B, y sumando los productos. Si el número de columnas de A no es igual al número de renglones de B, se dice que el producto no existe. Ricardo. R. Ambriz 21 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.2. Operaciones con Matrices Multiplicación de matrices Suponiendo que: 1 3 A 2 0 5 0 1 B 3 2 6 C 6 2 5 si los productos AB, BA y AC existen, determinarlos Entonces el orden en el cual se multiplican dos matrices es importante. Es decir que la multiplicación de matrices no es conmutativa. Resolver el ejercicio 3 de las notas. Ricardo. R. Ambriz 22 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.2. Operaciones con Matrices Tamaño de una matriz producto Sea A una matriz de m r y B una matriz de r n. A tiene r columnas y B tiene r renglones, entonces AB existe. El primer renglón de AB se obtiene al multiplicar el primer renglón de A por cada una de las columnas de B. Por lo tanto, el número de columnas de AB es igual al número de columnas de B. La primera columna de AB es el resultado de multiplicar cada uno de los renglones de A por la primera columna de B. Entonces el número de renglones de AB es igual al número de renglones de A. AB será una matriz de m n. Ricardo. R. Ambriz 23 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.2. Operaciones con Matrices Tamaño de una matriz producto Si A es una matriz de m r y B es una matriz de r n, entonces AB será una matriz de m n. Ejercicio 4. Determinar el tamaño de la matriz producto AB, si A es una matriz de 5 6 y B es una matriz de 6 7. Ricardo. R. Ambriz 24 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.2. Operaciones con Matrices Notación matricial La notación matricial resulta adecuada para expresar sistemas de ecuaciones. Un sistema de m ecuaciones lineales con n variables se escribe de la siguiente manera: a11x1 a1n xn b1 am1 x1 amn xn bm x1 a11 a1n A X am1 amn xn b1 B bm AX = B Ricardo. R. Ambriz 25 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.2. Operaciones con Matrices Notación matricial La forma matricial de expresar sistemas de ecuaciones lineales es muy útil para la solución de las mismas. 3x1 2 x2 5 x3 7 3 2 5 x1 7 1 8 4 x 9 2 2 6 7 x3 2 x1 8 x2 4 x3 9 2 x1 6 x2 7 x3 2 Ricardo. R. Ambriz 26 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.2. Operaciones con Matrices Propiedades de operaciones con matrices Propiedades de la Adición de Matrices y de Multiplicación por un Escalar A+B=B+A Propiedad conmutativa de la adición A + (B + C) = (A + B) + C Propiedad asociativa de la adición A+0=0+A=A (donde 0 es la matiz cero de tamaño adecuado) c(A + B) = cA + cB Propiedad distributiva de la adición (a + b)C = aC+bC Propiedad distributiva de la adición (ab)C = a(bC) Propiedad asociativa del producto por escalares Propiedades de la Multiplicación de Matrices A(BC) = (AB)C Propiedad asociativa de la multiplicación A(B + C) = AB + AC Propiedad distributiva de la multiplicación (A + B)C = AC + BC Propiedad distributiva de la multiplicación AIn = InA = A (donde In es la matriz identidad adecuada) c(AB) = (cA)B = A(cB) Propiedad asociativa del producto por un escalar Ricardo. R. Ambriz 27 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.2. Operaciones con Matrices Potencias de matrices Si A es una matriz cuadrada, entonces A multiplicada por si misma k veces se escribe Ak. Ak AAA Si A es una matriz cuadrada de n n y r y s son enteros no negativos, entonces: A A A r s Determinar A4, si: r s A r s A rs A0 I n 1 2 A 1 0 Ricardo. R. Ambriz 28 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.3. Particionado de una Matriz La formulación en el método del elemento finito por lo general involucra problemas de matrices muy grandes. La forma de particionar una matriz es usando líneas punteadas verticales y horizontales, tal como se ilustra a11 a12 a 21 a 22 A a31 a32 a 41 a 42 a51 a52 a13 a14 a15 a 23 a 24 a 25 a33 a34 a35 a 43 a 44 a 45 a53 a54 a55 Ricardo. R. Ambriz a16 a 26 a36 a 46 a56 29 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.3. Particionado de una Matriz En términos de submatrices, A11 A A 21 a11 a12 A 11 a 21 a 22 a31 a32 A 21 a 41 a 42 a51 a52 a13 a 23 a33 a 43 a53 A12 A 22 a14 a15 a16 A 12 a a a 25 26 24 a34 a35 a36 A 22 a 44 a 45 a55 a54 a55 a56 Ricardo. R. Ambriz 30 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.4. Transpuesta de una Matriz La transpuesta de una matriz A, que se denota por At, es la matriz cuyas columnas son los renglones de la matriz A dada. El primer renglón de A se convierte en la primera columna de At, el segundo renglón de A se convierte en la segunda columna de At y así sucesivamente. El elemento (i, j) de A se convierte en el elemento (j, i) de At. Si A es una matriz de m n, At es una matriz de n m. Ejercicio. Determinar la transpuesta de las siguientes matrices. 2 7 A 8 0 1 2 7 B 4 5 6 Ricardo. R. Ambriz C 1 3 8 31 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.4. Transpuesta de una Matriz Propiedades de la transpuesta (A + B)t = At + Bt (cA)t =cAt (AB)t = BtAt (At)t = A Transpuesta de una suma Transpuesta de un múltiplo escalar Transpuesta de un producto Transpuesta de una transpuesta Ricardo. R. Ambriz 32 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.5. Determinante de una Matriz Es empleado para la solución de sistemas de ecuaciones simultáneas, obtener la inversa de una matriz o para la formación de ecuaciones características para un problema dinámico. a11 x1 a12 x2 b1 a 21 x1 a 22 x2 b2 DetA o A a11 a12 x1 b1 a 21 a22 x2 b2 o a11 a12 a21 a22 Ricardo. R. Ambriz Ax b a11a22 a12a21 33 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.5. Determinante de una Matriz En general el determinante de una matriz es un solo número, sin embargo para problemas dinámicos, el determinante de una matriz resultado de ecuaciones de movimiento son expresiones polinomiales. Regla de Cramer Es una técnica numérica que puede usarse para obtener la solución de un sistema de n ecuaciones lineales con n variables. AX B x1 A1 A , x2 A2 A , xn An A donde Ai es la matriz que se obtiene sustituyendo la columna i de A por la columna de B. Ricardo. R. Ambriz 34 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.5. Determinante de una Matriz Por ejemplo, el determinante de la siguiente matriz C es: c11 c12 C c21 c22 c31 c32 c11 c12 c13 c23 c33 c13 c21 c22 c23 c11c22c33 c12c23c31 c13c21c32 c13c22c31 c11c23c32 c12c21c33 c31 c32 c33 - - - + + + c11 c12 c13 c11 Expansión directa c12 c21 c22 c23 c21 c22 c31 c32 c33 Procedimiento de expansión c31 c32 Ricardo. R. Ambriz 35 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.5. Determinante de una Matriz Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones usando la regla de Cramer: x1 3x2 x3 2 2 x1 5 x2 x3 5 x1 2 x2 3x3 6 8 x1 2 x2 x3 1 2 x1 x2 6 x3 3 6 x1 x2 4 x3 3 Ricardo. R. Ambriz 36 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.6. Solución de Ecuaciones Simultaneas Eliminación Gaussiana Se usa la forma escalonada de la matriz aumentada del sistema de ecuaciones. Una matriz esta en forma escalonada si: Todos los renglones que constan solo de ceros están en la parte inferior de la matriz. El primer elemento distinto de cero de cada renglón es 1. A este elemento se le llama 1 principal. El 1 principal de cada renglón, después del primer renglón, se encuentra a la derecha de los 1 principales de los renglones anteriores. 1 1 2 1 3 6 4 1 4 6 2 5 0 1 2 0 0 1 3 0 0 1 5 4 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 3 Ricardo. R. Ambriz 37 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.6. Solución de Ecuaciones Simultaneas Eliminación Gaussiana El algoritmo de la eliminación Gaussiana es: Escribir la matriz aumentada del sistema de ecuaciones lineales. Encontrar una forma escalonada de la matriz aumentada mediante operaciones elementales en los renglones. Esto se hace, columna por columna y empezando con la primera columna, creando los 1 principales y después ceros debajo de cada 1 principal. Escribir el sistema de ecuaciones correspondiente a la forma escalonada. Usar sustitución en retroceso para encontrar la solución. Ricardo. R. Ambriz 38 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.6. Solución de Ecuaciones Simultaneas Eliminación Gaussiana Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones: 2 x1 x2 x3 13 3x1 2 x2 4 x3 32 5 x1 x2 3x3 17 x1 x2 x3 6 x1 x2 x3 2 x1 2 x2 3x3 14 Ricardo. R. Ambriz 39 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.6. Solución de Ecuaciones Simultaneas El método de descomposición LU Es el método empleado en computadoras. Consiste en escribir la matriz de coeficientes como el producto de una matriz triangular inferior L y una matriz triangular superior U. Una matriz triangular inferior es una matriz cuadrada con ceros en todas las posiciones sobre la diagonal principal, mientras que una matriz triangular superior es una matriz cuadrada con ceros debajo de la diagonal principal. L 0 0 2 0 8 3 1 0 0 0 5 2 0 7 0 4 0 2 8 0 Ricardo. R. Ambriz Matriz triangular inferior 3 2 9 1 0 4 2 0 0 7 Matriz triangula r superior 2 5 U 40 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.6. Solución de Ecuaciones Simultaneas El método de descomposición LU Considerando a las ecuaciones: a11x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21x1 a22 x2 a23 x3 b2 a31x1 a32 x2 a33 x3 b3 a11 a12 a a 21 22 a31 a32 a13 x1 b1 a23 x2 b2 o Ax b a33 x3 b3 La idea del método es: 0 1 l 21 1 l31 l32 0 0 1 y u11 u12 u13 0 u u 22 23 0 0 u33 Ricardo. R. Ambriz 41 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.6. Solución de Ecuaciones Simultaneas El método de descomposición LU Entonces: a11 a12 a 21 a22 a31 a32 a13 1 0 0 u11 u12 u13 a23 l21 1 0 0 u 22 u 23 a33 l31 l32 1 0 0 u33 Multiplicando: a11 a12 a 21 a22 a31 a32 a13 u11 u12 u13 a23 l21u11 l21u12 u 22 l21u13 u 23 a33 l31u11 l31u12 l32u 22 l31u13 l32u 23 u33 Ricardo. R. Ambriz 42 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.6. Solución de Ecuaciones Simultaneas El método de descomposición LU Por lo tanto: u11 a11 u12 a12 l21u11 a21 l21 a21 a21 u11 a11 l31 a31 a31 u11 a11 l31u11 a31 u13 a13 l21u12 u22 a22 l21u13 u23 a23 l31u12 l32u 22 a32 l31u13 l32u23 u33 a33 u22 a22 l21u12 Descomposición u23 a23 l21u13 l32 a32 l31u12 u 22 u33 a33 l31u13 l32u23 Ricardo. R. Ambriz 43 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.6. Solución de Ecuaciones Simultaneas El método de descomposición LU Se puede generalizar para una matriz de tamaño n: Paso 1. Los valores de los elementos en el primer renglón de la matriz U se obtienen a partir de: u1 j a1 j para j=1 hasta n Paso 2. Los valores desconocidos de los elementos en la primera columna de la matriz L se obtienen de: ai1 li1 u11 para i=2 hasta n Ricardo. R. Ambriz 44 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.6. Solución de Ecuaciones Simultaneas El método de descomposición LU Se puede generalizar para una matriz de tamaño n: Paso 3. Los valores de los elementos en el segundo renglón de la matriz U se calculan a partir de: u2 j a2 j l21u1 j para j=2 hasta n Paso 4. Los valores de los elementos en la segunda columna de la matriz L se calculan a partir de: ai 2 li1u12 li 2 u 22 para i=3 hasta n Ricardo. R. Ambriz 45 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.6. Solución de Ecuaciones Simultaneas El método de descomposición LU Se puede generalizar para una matriz de tamaño n: Para obtener los valores de los elementos en el k-esimo renglón de la matriz U, se emplea la siguiente expresión: u kj a kj k 1 l kp u pj para j=k hasta n p 1 En seguida se debe cambiar a la k-esima columna de la matriz L y determinar los valores desconocidos en esa columna de la siguiente manera: k 1 aik lipu pk lik p 1 para i=k + 1 hasta n u kk Ricardo. R. Ambriz 46 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.6. Solución de Ecuaciones Simultaneas El método de descomposición LU Fase de solución: Enseguida, se emplea a las matrices L y U para solucionar un sistema de ecuaciones lineales simultaneas, considerando las siguientes expresiones: Ax b LUx b Reemplazando el producto de Ux por: Ux z LUx b Ricardo. R. Ambriz Lz b 47 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.6. Solución de Ecuaciones Simultaneas El método de descomposición LU Fase de solución: Debido a que L es una matriz triangular inferior, esta se puede solucionar fácilmente para los valores de los elementos en la matriz z y entonces emplear los valores conocidos de la matriz z para solucionar los valores desconocidos de x. 1 0 0 z1 b1 l z b 1 0 21 2 2 l31 l32 1 z3 b3 Es claro que: i 1 zi bi lij z j para i 2,3,4,..., n j 1 z1 b1 z 2 b2 l21z1 Ricardo. R. Ambriz z3 b3 l31z1 l32 z 2 48 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.6. Solución de Ecuaciones Simultaneas El método de descomposición LU Fase de solución: Ahora que los valores de los elementos en la matriz z son conocidos, se puede solucionar para los valores desconocidos de x, usando lo siguiente: u11 u12 u13 x1 z1 0 u x z u 22 23 2 2 0 0 u33 x3 z3 xn zn unn z3 x3 u33 zi y xi x2 n u j i 1 ij xj uii para i n 1, n 2, ... 3, 2, 1 z 2 u 23 x3 u 22 Ricardo. R. Ambriz x1 z1 u12 x2 u13 x3 u11 49 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.6. Solución de Ecuaciones Simultaneas El método de descomposición LU Fase de solución: Entonces, la solución puede generalizarse para un sistema de n ecuaciones y n incógnitas, de la siguiente manera: z1 b1 zi bi zn xi xn u nn i 1 l ij z j para i 2, 3, 4, , n j 1 zi n u j i 1 ij x j para uii Ricardo. R. Ambriz i n 1, n 2, n 3, , 3, 2, 1 50 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.6. Solución de Ecuaciones Simultaneas El método de descomposición LU Ejemplo: Aplicar el método de descomposición LU al siguiente sistema de ecuaciones lineales: 2 x1 x2 x3 13 3x1 2 x2 4 x3 32 5 x1 x2 3x3 17 Ricardo. R. Ambriz 51 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.7. Inversa de una Matriz En matrices se establece la inversa de una matriz en lugar de una división, por lo tanto: 1 1 A A AA I Solamente una matriz cuadrada y no singular tiene una inversa. Por ejemplo, la formulación por elemento finito de una barra de sección variable que se encuentra sujeta a una carga de tensión, está dada por la siguiente relación: Ku F [K]; es la matriz de rigidez. [u]; la matriz de desplazamientos. [F]; la matriz de carga. Ricardo. R. Ambriz 52 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.7. Inversa de una Matriz Entonces los valores de los desplazamientos de [u] serán: K1Ku K1F Iu K F 1 Debe notarse que [I][u] = [u], por lo tanto: u K1F Partiendo de la relación matricial anterior, podemos observar que la solución nodal puede obtenerse fácilmente si es que se conoce el valor de [K]-1. Ricardo. R. Ambriz 53 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.7. Inversa de una Matriz Si se calcula la inversa de una matriz, empleando el método de descomposición LU, tenemos: AA 1 I LUA1 I Si se representa [U][A]-1 por una matriz [Y], entonces: UA 1 Finalmente, se tiene: Y LY I Ricardo. R. Ambriz 54 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.7. Inversa de una Matriz Calcular [A]-1 de la siguiente matriz. 2 1 1 A 3 2 4 5 1 3 Ricardo. R. Ambriz 55 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.8. Eigen-valores y Eigen-vectores La definición de un valor propio y un vector propio es: Sea A una matriz de n n. Se dice que un escalar es un valor propio de A si existe en Rn un vector X, diferente de cero, tal que: AX = X o AX - X = 0 El vector X es el vector propio correspondiente a . Ricardo. R. Ambriz 56 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.8. Eigen-valores y Eigen-vectores La definición de un valor propio y un vector propio es: El significado geométrico de un vector propio correspondiente a un valor propio distinto de cero es el siguiente: El vector AX es un vector en el mismo sentido o en sentido contrario a X, esto depende del signo de , tal como se puede observar en la figura. AX X 0 X AX 0 Ricardo. R. Ambriz 57 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.8. Eigen-valores y Eigen-vectores Los problemas que incluyen valores propios o característicos por lo general tienen soluciones únicas, por tanto la ecuación anterior se escribe: A IX 0 Donde I es la matriz identidad que tiene la misma dimensión que la matriz A. La matriz desconocida X es llamado vector propio o eigen-vector de la matriz A. Ricardo. R. Ambriz 58 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.8. Eigen-valores y Eigen-vectores Partiendo de la ecuación anterior y sabiendo que la matriz de coeficientes es: A I Una solución a este sistema es X=0. Pero, se definieron a los vectores propios como vectores diferentes de cero. Entonces, el sistema de ecuaciones tiene soluciones distintas de cero solo si la matriz de coeficientes es singular. Al resolver la ecuación A I 0 para , se encuentran los valores propios de A. Ricardo. R. Ambriz 59 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.8. Eigen-valores y Eigen-vectores Por otra parte al resolver el determinante, A I Ecuación característica se obtiene un polinomio en . A este polinomio, se le llama polinomio característico, de A. Al sustituir los valores propios en la ecuación, A IX 0 se encuentran los vectores propios correspondientes. Ricardo. R. Ambriz 60 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.8. Eigen-valores y Eigen-vectores Ejemplo. Encontrar los valores propios y los vectores propios de la siguiente matriz. 4 6 A 3 5 Ricardo. R. Ambriz 61 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.9. Solución de Matrices con MATLAB MATLAB Historial de comandos aplicados MATrix LABoratory Ventana de comandos Ricardo. R. Ambriz 62 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.9. Solución de Matrices con MATLAB Operaciones Básicas con MATLAB… Una Calculadora j Por Símbolo Operación + Adición - Sustracción * Multiplicación / División derecha \ División izquierdaj ^ Potencia ejemplo, la operación de escalares 1/4 y 4\1 tienen el mismo resultado de 0.25. Ricardo. R. Ambriz 63 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.9. Solución de Matrices con MATLAB Operaciones Básicas con MATLAB… Una Calculadora Jerarquía Primero Segundo Tercero Cuarto Operación Matemática El contenido de todos los paréntesis es evaluado primero, comenzando desde los más internos hacia los externos. Todos los exponentes son evaluados de izquierda a derecha. Todas las multiplicaciones y divisiones son evaluadas de izquierda a derecha. Las sumas y restas se evalúan de izquierda a derecha. Ricardo. R. Ambriz 64 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.9. Solución de Matrices con MATLAB Símbolo abs angle sqrt real imag conj round fix floor ceil sign rem sin cos tan asin acos atan atan2 sinh cosh tanh exp log log10 bessel gamma rat Operación Valor absoluto o magnitud compleja Ángulo de fase Raíz cuadrada Parte real Parte imaginaria Conjugada compleja Redondear al entero más cercano Redondear hacia cero Redondear hacia Redondear hacia + Función signo Recortar Función seno Función coseno Función tangente Función arco seno Función arco coseno Función arco tangente Función arco tangente cuarto cuadrante Función seno hiperbólico Función coseno hiperbólico Función tangente hiperbólica Función exponencial base e Función logaritmo natural Función logaritmo base 10 Función de Bessel Función gamma Ricardo. R. Ambriz Función aproximación racional 65 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.9. Solución de Matrices con MATLAB Operaciones con Matrices en MATLAB Como Introducir una Matriz: Introducir una lista explicita de elementos. Cargar matrices de un archivo de datos externo. Generar matrices empleando funciones de construcción. Crear matrices con funciones propias de archivos M. Para introducir una matriz como una lista de elementos, solamente se deben seguir las siguientes convenciones básicas: Separar los elementos de un renglón con espacios en blanco o comas. Usar un punto y coma, ; , para indicar el final de cada renglón. Los valores de la matriz deben estar contenidos entre 66 Ricardo. R. Ambriz corchetes [ ]. Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.9. Solución de Matrices con MATLAB Operaciones con Matrices en MATLAB Como Introducir una Matriz: Por ejemplo: Introducir las siguientes matrices en MATLAB: 2 1 1 A 3 2 4 5 1 3 1 1 2 1 3 6 4 1 4 6 2 5 B 0 1 2 C 0 0 1 3 D 0 0 1 5 4 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 3 Ricardo. R. Ambriz 67 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.9. Solución de Matrices con MATLAB Operaciones con Matrices en MATLAB Indexado de una Matriz: Los elementos de una matriz pueden cambiarse o modificarse haciendo referencia a los índices de su renglón y columna. Por ejemplo: Dada la matriz A, 2 1 1 A 3 2 4 5 1 3 Se podría cambiar el índice A(3, 2)=-1 por A(3, 2)=8, así pues: Ricardo. R. Ambriz 68 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.9. Solución de Matrices con MATLAB Operaciones con Matrices en MATLAB Continuación de una Matriz: A veces no es posible teclear una matriz en una sola línea, por lo cual es necesario hacer referencia a una continuación, mediante tres puntos (…) Por ejemplo: Ricardo. R. Ambriz 69 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.9. Solución de Matrices con MATLAB Operaciones con Matrices en MATLAB Operador dos puntos (:): Se emplea para recuperar un cierto renglón o columna. Así por ejemplo, el enunciado A(m:n, k:1) especifica los renglones m a n y columnas k para 1 de una matriz A Considerando la siguiente matriz A: 2 1 1 A 3 2 4 5 1 3 El primer renglón de la matriz será: Ricardo. R. Ambriz 70 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.9. Solución de Matrices con MATLAB Operaciones con Matrices en MATLAB Transpuesta de una Matriz: Esta operación se denota por un apostrofe, así entonces la transpuesta de la matriz A siguiente, será: 2 1 1 A 3 2 4 5 8 3 Ricardo. R. Ambriz 71 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.9. Solución de Matrices con MATLAB Operaciones con Matrices en MATLAB Tamaño de una Matriz: El tamaño de una matriz se obtienen con el comando size ( ). Por ejemplo: El tamaño de A, es: 2 1 1 A 3 2 4 5 8 3 Ricardo. R. Ambriz 72 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.9. Solución de Matrices con MATLAB Operaciones con Matrices en MATLAB Concatenado de Matrices: Con esta opción se puede construir una matriz a partir de submatrices, por ejemplo: 2 1 1 A 3 2 4 5 8 3 Ricardo. R. Ambriz 73 Instituto Politécnico Nacional CIITEC-IPN, México, D.F [email protected] Tel. +52 55 57 29 60 00, Ext. 68324 1.9. Solución de Matrices con MATLAB Ricardo. R. Ambriz 74
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