Ensayo 1 PSU 2016-2

Primer Ensayo PSU Matemática
Mayo 2016
Instrucciones: Este ensayo consta de 75 preguntas, cada una de las cuales considera cinco
alternativas (A, B, C, D y E), de las que solo una de ellas es correcta en cada pregunta. Lee
atentamente cada pregunta y luego responde en la HOJA DE RESPUESTAS.
1. El valor de
A)
B)
C)
D)
0,002
 10 es:
0,01
0,02
0,20
2
20
E) 200
2. Sean q un redondeo a la centésima de 2 y p un truncamiento a la centésima de
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
2
I) p = q
II) (p + q) ÷ 2 =
III) q =
2
2  k , con k un número real positivo.
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y III
E) Ninguna de ellas.
3. Un campesino compró huevos, por un valor de $750. Luego, gastó
2
de lo que le quedaba
5
en tomates. Si aún le quedan $180, ¿cuánto dinero tenía al principio?
A) $1.050
B) $1.230
C) $1.500
D) $1.600
E) $2.000
4. El orden de los números x 
A)
B)
C)
D)
E)
2
4
1
, y  y z  , de menor a mayor, es :
3
5
2
z<y<x
x<y<z
y<z<x
y<x<z
z<x<y
5. Un saco de arena, al perder los
2
7
de su contenido, “pesa” los
de su contenido inicial
5
10
menos 10 kg. Entonces, ¿cuántos kilogramos contenía el saco, antes de perder arena?
A) 120
B) 100
C) 80
D) 60
E) 50
6. El máximo común divisor de dos números es 6 y su mínimo común múltiplo es 180. Si uno de
los números es 18, ¿cuál es el otro valor?
A) 12
B) 15
C) 20
D) 30
E) 60
1 1
7. La cuarta parte de  es:
4 4
A) 0,5
B) 0,25
C) 0,125
D) 0,0625
E) 0,03125
5.000  9.000  200
8. El resultado de
, expresado en notación científica, es:
300  6.000  25.000
A) 0,2  10 0
B) 2  10 1
C) 2  10 2
D) 20  10 2
E) Ninguna de las anteriores.
1 
 1
 n ?
n
15 
 10
9. ¿Cuál de las alternativas es equivalente a la expresión 5 n  
A)
B)
C)
D)
E)
-1
1 1

2 3
1
1
 n
n
2
3
1
6n
1
 3n
2n
10. ¿Cuál(es) de los siguientes números es (son) irracional(es)?
I)
2 8
II)
3 3 3
III)
A)
B)
C)
D)
E)
6
24
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y II
Solo II y III
11. ¿Cuál es el conjunto solución de la ecuación 0 = 2 –
A)
B)
C)
D)
E)
{10}
{-10}
{-10, 10}
{100}
]0, [
2
?
log x
12. Al reducir la expresión
x  2 x  9 x  3 4 x , con x  +, se obtiene:
A)  6 x
B)  4 x
C) 10x  2
1
D)  15 x
E) Ninguna de las anteriores.
13. ¿Qué se obtiene al reducir la expresión
8  2 4 2  3 43 ?
A) 2 2  16
B)  6 2
C) 26 2
D) 0
E) Otro valor.
14. ¿Qué se obtiene al racionalizar la expresión
3 2
3
?
A) 6
B)
6
3
C)
6
D) 3 6
E) Ninguna de las anteriores.
15. Si p  4  5 y q  4  5 , el valor de pq es:
A)
11  8 5
B)
3
C)
2 5
D)
11
E) Ninguna de las anteriores.
16. Si z = –4 – 2i, ¿cuál es el valor de z + z ?
A)
40
B) 2 5
C) 4 5
D)
20
E) 4 20
17. Si z1 = (2x – 5) + 7i y z2 = (3y + 4)i son dos números complejos, ¿cuál es el valor de x e y,
respectivamente, si se sabe que z1 = z2?
A) -2 y -1
B) 1 y 2,5
C) 2,5 y 1
D) 2 y 1
E) 1 y 2
18. La solución de la ecuación
A)
B)
C)
D)
E)
1,5
2,4
3,5
4,2
5
1 x
  1 es:
5 3
x  x 
1

 

 x x  y  x  y 
19. 
A)
B)
C)
0
2x + y
2xy + y2
D)
x2  xy
y
E)

x2  xy
y
20. ¿Para cuál de los siguientes valores de k, el sistema
kx  3y  7 
 no tiene solución?
2x  5y  3
A) 2
B) 5
C)
6
5
D) -
6
5
E) -
3
5
21. En una granja hay conejos y gallinas. Si contamos las patas son 40 y si contamos las cabezas
son 15. ¿Cuántos conejos y gallinas hay?
A) 7 conejos y 8 gallinas
B) 5 conejos y 10 gallinas
C) 10 conejos y 0 gallinas
D) 10 conejos y 5 gallinas
E) 8 conejos y 7 gallinas
22. Al simplificar la expresión
x 2  2x  1
, se obtiene:
1 x
A) 2x
B)
x 2  2x
x
C) x – 1
D) 1
E) 1 – x
23. ¿Cuál(es) de los siguientes números se puede(n) obtener a partir de la expresión
n 2  2n
, si n es un número natural?
n2
I)
-1
II)
1
3
III) 2
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III
24.¿En cuál de las siguientes ecuaciones se cumple que la suma y producto de sus soluciones
son
3 1
y , respectivamente?
2 4
A)
B)
C)
D)
E)
4x2 + 6x + 1 = 0
2x2 + 6x + 1 = 0
4x2 + 6x – 1 = 0
2x2 – 6x + 1 = 0
4x2 – 6x + 1 = 0
25. Si la longitud de cada lado de un cuadrado de medida a unidades aumenta en t unidades,
entonces la diferencia entre el área del nuevo cuadrado y el área del original, en unidades
cuadradas, es posible expresarla como:
A) t2
B) t2 + at
C) t2 + 2at
D) t2 + at – a2
E) t2 + 2at – a2
26. ¿Cuál es el conjunto solución del sistema de inecuaciones
2x  3  7 
?
1  2x  3
A) [2, [
B) [-, 2[
C) ]2, [
D) {2}
E) 
27. Sea x la electricidad (Kw/h) consumida en un hogar y CM el dinero, en pesos, que se debe
cancelar mensualmente por dicho consumo, tal que:
2.250  300x si 0  x  50
CM(x)  
400x  2.750 si x  50
Si el primer mes se consumió 40 Kw/h y el segundo 60 kw/h, entonces la cantidad pagada
por ambos meses es:
A) $37.250
B) $35.500
C) $33.500
D) $21.250
E) $14.250
28. Sean L y M dos rectas en el plano cartesiano, tales que M tiene pendiente 1 y pasa por el
origen y L tiene pendiente 0 y es distinta al eje X. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es (son) verdadera(s)?
I) L es paralela al eje X.
II) L puede intersecar a M en el tercer cuadrante del plano cartesiano.
III) Si L pasa por el punto (0, 4), entonces ambas rectas se intersecan en el punto (4, 4).
A) Solo I
B) Solo III
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III
29. Si la ecuación de la recta L1 es y = -3x+3, la recta L2 interseca al eje Y en el punto (0, 6) y
L1 // L2, entonces L2 interseca al eje X en el punto:
A) (-18, 0)
B) (2, 0)
C) (0, 6)
D) (1, 0)
E) (-2, 0)
30. Si f(x) 
 2x  3
2
, entonces f(7) es igual a:
A) 4
17
B)
2
11
C)
2
11
D) 
2
17
E) 
2
31. Sea f una función cuyo dominio es  – {–1}, definida por f(x) 
1x
, entonces f(2) es:
x 1
A) 1
B) -1
C) 3
D) -3
E) -
1
3
32. Si f(x) = x2 + mx + 6 y f(-4) = 2, entonces el valor de m es:
A) -3
B) -2
C) 2
D) 3
E) 5
33. ¿Cuáles son las soluciones de la ecuación x2 – 2x – 3 = 0?
A)
B)
C)
D)
E)
-1 y 3
-3 y -1
-3 y 1
3y1
0y1
34. ¿Cuál de las alternativas representa al gráfico de la función f(x) = log3 x + 1?
35. En la figura, el punto H queda ubicado en la posición de P, si se le aplica una:
A) Simetría axial con respecto al eje X.
B) Simetría axial con respecto al eje Y.
C) Traslación según el vector (-2, 4).
D) Simetría puntual con respecto al origen.
E) Traslación según el vector (2, -4).
36. El triángulo ABC de la figura, es isósceles de base AB , además CD  AB y AD = DB.
Entonces, ¿cuál(es) de los siguientes pares de triángulos es (son) congruente(s)?
I) ΔADE y ΔBDE
II) ΔAEC y ΔBEC
III) ΔADC y ΔBDC
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III
37. En la figura, AC = 24 cm y AC : AD = 2 : 3. ¿Cuál es la medida del segmento CD?
A) 12 cm
B) 14,4 cm
C) 16 cm
D) 36 cm
E) Ninguna de las anteriores.
38. En la figura, ΔPRQ y ΔTSU son congruentes, donde los vértices correspondientes son P y T;
R y S; Q y U. Si la medida del ángulo QPR es 40° y la del ángulo TSU es 80°, ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) La medida del ángulo TUS es 60°.
II) El ΔSTU es escaleno.
III) PQ < TU
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
39. En la siguiente imagen se observa una paloma posada sobre el techo de una casa:
¿A qué distancia del suelo está la paloma?
A)
B)
C)
D)
E)
4m
4,5 m
5m
6,5 m
Ninguna de las anteriores.
40. La figura está formada por el triángulo ADC, rectángulo en D y un cuarto de círculo de
centro D. Si la figura se hace girar indefinidamente en torno al segmento AB, entonces el
cuerpo que se genera está formado por:
A) Un cono y una esfera.
B) Un cono y una semiesfera.
C) Una pirámide y una semiesfera.
D) Una pirámide y un cuarto de esfera.
E) Un cono y un cuarto de esfera.
41. En la figura, PC es tangente a la circunferencia en C y PA la interseca en A y en B. Si
AB = 9 cm y BP = 3 cm, ¿cuál es la longitud del segmento PC?
A) 6 cm
B) 12 cm
C) 27 cm
D) 36 cm
E)
27 cm
42. La figura está compuesta por el cuadrado ABCD y el círculo de radio 3 cm y de centro en B.
Si E y F son puntos medios, entonces el área achurada es:
A)
B)
C)
D)
E)
36 – 9π/4
36 – 27π/4
36 + 9π/2
9π/4
Ninguna de las anteriores.
43. En la figura DE // AB . Si CA = 10 cm, y CD = 4 cm, entonces CB =?
A)
B)
C)
D)
E)
6 cm
9 cm
12 cm
15 cm
18 cm
44. A un cuadrado de vértices A(2, 2) ; B(2, -2) ; C(-2, -2) y D(-2, 2) se le aplica una homotecia,
cuyo factor de homotecia (o razón de homotecia) es 3, con centro en el origen. Entonces es
cierto que la figura resultante:
I) Es un cuadrado.
II) Es una ampliación de la original.
III) Uno de sus vértices es el punto P(3,3).
A) I y II
B) I y III
C) II y III
D) I, II, III
E) Ninguna de las anteriores.
45. Dados los vectores a = (5, u) y b = (4, 3), con u > 0, ¿cuál de los siguientes números es el
valor de u, para que el módulo del vector a sea el triple que el módulo del vector b?
A) 9
B) 5 2
C) 5 10
D) 2 10
E) 10 2
46. En la figura, AD = 1 cm y AB = 4 cm. ¿Cuál es el área del triángulo ADC?
A) 3 cm2
3
cm2
2
C) 3  3 cm2
B)


D) 2 3 cm2
E)
15
cm2
2
47. En la figura, PT es tangente a la circunferencia de centro O, en T. ¿Cuál es la medida del
ángulo OPT?
A) 10°
B) 20°
C) 30°
D) 40°
E) 50°
48. Se desea forrar una caja cúbica de arista “t”. ¿Cuál de las siguientes expresiones
representa la superficie a cubrir?
A) 12t2
B) 6t2
C) t2
D) 4t2
E) 8t2
49. En la circunferencia de centro O y diámetro BC de la figura, ¿cuál es la medida del
ángulo BCA?
A) 22°
B) 34°
C) 36°
D) 44°
E) 68°
50. En la figura, ¿cuál(es) de los siguientes pares de triángulos es (son) semejante(s)?
I) ABE y AFD
II) FEC y BDC
III) CFE y ABE
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
51.Sabiendo que 11 es la media aritmética de los números 5, 15, m, 7, 11, 6, 4 y 14, ¿cuál es el
valor de m?
A) 36
B) 8
C) 26
D) 10
E) 18
52.En un grupo de debate, se sabe que 2 de los integrantes tienen 16 años; 9 tienen 17 años;
30 tienen 18 años y 4 tienen 19 años. ¿Cuál es la media aritmética de las edades del
grupo?
A) 17,5
B) 17,8
C) 18
D) 18,2
E) 18,5
53.El gráfico circular muestra la distribución de 200 estudiantes en los cursos electivos de
(B)iología, (Q)uímica,(F)ísica, (M)atemática y (L)iteratura, pudiendo pertenecer solo a uno
de los cursos.
¿Cuántos estudiantes asisten al electivo de Matemática?
A)
B)
C)
D)
E)
35
40
70
75
95
54.De acuerdo con la siguiente tabla de frecuencias que representa la temperatura máxima
diaria registrada en 12 días. ¿Cuál es la mediana de las temperaturas?
Temperatura (°C)
Frecuencia absoluta (f)
29
4
28
2
26
3
24,4
3
A) 26,5°
B) 27°
C) 28°
D) 29°
E) 30°
55.En un curso de 20 estudiantes, se confeccionó la siguiente tabla de frecuencias. ¿Cuál es el
valor de x, y, z, respectivamente?
Masa corporal del curso
f
2
x
8
2
y
Masa (kg)
[50, 55[
[55, 60[
[60, 65[
[65, 70[
[70, 75[
F
?
?
13
z
16
A) 3, 15 y 1
B) 6, 20 y 15
C) 6, 15 y 20
D) 3, 5 y 20
E) 3, 1 y 15
56.La media de dos números es 2 y su varianza es 0. El producto de dichos números es:
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 6
57. La estatura media de un equipo de básquetbol, formado por cinco jugadores, es 197 cm.
Si al realizar un cambio, sale del juego un integrante de 170 cm de estatura e ingresa uno de
205 cm, ¿cuál es la nueva estatura media del equipo en cancha?
A) 183,5 cm
B) 191 cm
C) 201 cm
D) 204 cm
E) 205 cm
58. Un grupo de investigación estudia si el color del pelo está asociado al color de los ojos.
Para lo cual se tomó una muestra aleatoria de 300 personas, obteniendo lo siguiente:
Color de ojos /
color de pelo
Negro
Rubio
Café
Verde
Otro
70
20
30
110
20
50
Si se selecciona una de estas personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga el pelo
negro, dado que tiene los ojos de color café?
A) 70/90
B) 70/120
C) 70/300
D) 90/120
E) 90/300
59.Un grupo de 7 atletas se dispone a participar en una prueba de natación. ¿De cuántas
maneras posibles pueden entregarse las medallas de oro, plata y bronce?
A)
B)
C)
D)
E)
21
200
210
300
Ninguna de las anteriores.
60.En cierto pueblo se dieron a conocer los resultados de una encuesta aplicada
recientemente, para sondear las preferencias de la población en las próximas elecciones
de alcalde. Dicha encuesta tiene un margen de error de 3% y un alto nivel de confianza.
Los resultados obtenidos fueron: 15% de los encuestados dice apoyar al candidato A, 39%
dice que apoya al candidato B, 41% apoya al candidato C y el 5% apoya a otros candidatos.
Si la población votante del pueblo es de 1.000 personas y las elecciones fueran hoy, es
correcto afirmar con una mayor probabilidad que:
A) El candidato A obtendría 150 votos.
B) El candidato B obtendría entre 390 y 420 votos.
C) El candidato C obtendría entre 380 y 410 votos.
D) El candidato C ganaría la elección.
E) Entre 20 y 80 votantes votarían por otro candidato.
61. La tabla adjunta muestra el número de fábricas que poseen o no un determinado número
de máquinas eléctricas. Al seleccionar una de estas fábricas al azar, ¿cuál es la
probabilidad de que tenga menos de tres máquinas eléctricas o no tenga de estas
máquinas?
Máquinas eléctricas por fábrica
N° de fábricas
2
4
2
1
3
N° de máquinas eléctricas
0
1
2
3
4
A) 1/2
B) 1/4
C) 3/4
D) 1/3
E) 2/3
62. En un estante se deben ordenar 7 libros distintos: 4 de historia y 3 de geometría. ¿De
cuántas maneras se pueden ordenar, si los libros de historia deben estar juntos y los de
geometría también?
A) 2
B) 4  3
C) 3!  4!
D) 3!  4!  2
E) 4  3  2
63. Las edades de los hijos en una familia son 3, 4, 7, 9 y 12 años. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) Si todos aumentaran un año, entonces la media sería 5 años mayor.
II) La muestra no tiene moda.
III) La desviación estándar es de 10,8 años.
A) Solo II
B) Solo III
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) Solo II y III
64. Una bolsa contiene 4 cubos azules y 3 verdes. El experimento consiste en extraer dos
cubos. Si se define la variable aleatoria X: número de cubos azules obtenidos, ¿cuál(es) de
las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) Los valores de la variable aleatoria son {0, 1, 2}.
II) La cardinalidad del espacio muestral del experimento es 12.
III) P(1) = 4/7
A) Solo II
B) Solo I y II
C) Solo II y III
D) Solo I y III
E) I, II y III
65. La tabla adjunta muestra la función de probabilidad de la variable aleatoria X. ¿Cuál(es)
de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?
X
0
1
2
3
4
P(X = xi)
0,04
0,22
0,38
m
0,10
I) m = 0,26
II) P(X  2) = P(X = 3)
III) P(X  1) = 1 – P(x = 0)
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III
66. Una caja contiene 8 esferas rojas, 2 verdes y 10 blancas y se considera el experimento
aleatorio “extraer una esfera”. Considerando la variable X: número de esferas rojas
obtenidas en cuatro extracciones, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I) X  B(4; 2/5)
II) P(X = 0) = P(X = 3)
2
5
2
3
5
2
III) P(X = 2) = 6      
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y III
E) Solo II y III
67. La probabilidad de que cierto equipo de fútbol gane un partido es de un 60%; mientras
que la de que empate es de un 10%. Si juegan 7 partidos, ¿cuál es la probabilidad de que tan
solo pierda un partido?
3
10
2
B)
5
A)
1
 3 7
C) 7      
 10   10 
2
5
1
7

 10 
6
6
D) 7     
1
E)
 3  3
7   
 10   5 
6
68. Si la función de probabilidad de una variable aleatoria discreta X está definida por la
siguiente tabla, ¿cuál es el valor esperado de X?
X
1
2
3
4
5
P(X = xi)
0,3
0,1
0,3
0,2
0,1
A) 2,7
B) 2,5
C) 2,3
D) 1,8
E) 1,0
69. En un barco, la tercera parte de los
3
de los pasajeros son mujeres y el resto son
4
hombres. Si la tercera parte de los hombres, habla inglés, ¿cuántos pasajeros hombres
hablan inglés?
(1) Hay 150 mujeres.
(2) El total de pasajeros es 600.
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) o (2).
E) Se requiere información adicional.
70. Se puede encontrar el área de un triángulo si:
(1) Los lados del triángulo están en la razón 2 : 2 : 3 y su perímetro es 35.
(2) El triángulo es isósceles.
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) o (2).
E) Se requiere información adicional.
71. En la ecuación 3x – 7y + 10 = 0, ¿cuál es el valor de y?
(1) x = y
(2) x = 4
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) o (2).
E) Se requiere información adicional.
72. ¿Cuál es el peso aproximado de uno de los recién nacidos en cierto hospital, un día
determinado?
(1) El promedio del peso de todos los recién nacidos del hospital en el día es de 3 kg y
sin considerar el peso del recién nacido en cuestión, el promedio es de 2,8 kg.
(2) El hospital tiene un registro de 12 recién nacidos en dicho día.
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) o (2).
E) Se requiere información adicional.
73. ¿Cuál es la longitud de cada lado de un rectángulo?
(1) La longitud de cada diagonal del rectángulo es de 10 cm.
(2) El perímetro del rectángulo es 17 cm.
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) o (2).
E) Se requiere información adicional.
74. De tres hermanos de edades diferentes, es posible conocer la edad del hermano mayor, si:
(1) La media aritmética de las edades de los tres hermanos es 25 años.
(2) La mediana de las edades de los tres hermanos es 23 años.
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) o (2).
E) Se requiere información adicional.
75. El histograma de la figura muestra la distribución
de las edades de un grupo de personas. Es posible
determinar la media aritmética de las edades del
grupo de personas, representadas en el gráfico, si
se conoce:
(1) La mediana de la distribución.
(2) Las marcas de clase de cada intervalo de la
distribución.
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) o (2).
E) Se requiere información adicional.
Claves
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
C
D
A
E
B
E
C
B
C
D
A
A
A
C
D
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19
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24
25
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29
30
C
C
B
B
D
B
E
D
E
C
C
B
E
B
D
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
E
E
A
A
D
E
A
B
B
B
A
C
D
A
E
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
B
A
B
A
E
C
B
C
B
E
D
D
A
C
E
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62
63
64
65
66
67
68
69
70
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72
73
74
75
E
D
A
D
E
D
C
A
D
A
D
C
C
E
B