Ejercicios resueltos
Introducción a la teorı́a de los grupos
J. Armando Velazco
1 de mayo de 2015
Ejercicio 1:
Pruebe que si G es un grupo finito con identidad e y con un número par de elementos,
entonces existe un elemento a ∈ G, con a 6= e, tal que a2 = e
Solución. Dado que ord(G) = 2k, entonces hay 2k − 1 elementos en G tales que x 6= e.
Por ser G un grupo, para cada x ∈ G existe x−1 ∈ G, su elemento inverso, ası́, debido a
que tenemos un número impar de elementos distintos de la unidad e entonces existe un
elemento a ∈ G, tal que a 6= e y además a = a−1 , es decir a2 = e.
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Ejercicio 2:
Pruebe que todo grupo G con identidad e y tal que a2 = e para todo a ∈ G, es abeliano.
Solución. Como a2 = e para toda a ∈ G, entonces
(a · b)2 = e = (a · b)(a · b)
Entonces, operando con b por la derecha, es decir
(a · b)(a · b) = e ⇒ (a · b)(a · b)b = e · b = b
Obtenemos que
(a · b)a = b
Y ahora, operando nuevamente por la derecha, pero con el elemento a tenemos que
ab = ba
Cómo a, b ∈ G son elementos arbitrarios, entonces G es abeliano.
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Ejercicio 3:
Sea G un grupo finito y sea x un elemento de G cuyo orden es n, donde n es impar.
Pruebe que existe k ∈ N tal que x = (x2 )k .
Solución. Por hipótesis xn = x2m+1 = e, pues n es impar, entonces
x2m+1 · x = x2m+2 = e · x = x
Ası́, sea k = m + 1 ∈ N, claramente tal k satisface
(x2 )k = x
Por las leyes de los exponentes en un grupo.
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Ejercicio 4:
Pruebe que si H y K son subgrupos de un grupo abeliano G, entonces HK = {hk | h ∈
H, k ∈ K} en un subgrupo de G.
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Solución. H y K son no vacı́os, por ser subgrupos, por lo tanto HK 6= ∅ pues al menos
el elemento identidad se halla en HK. Ahora bien, sean h1 k1 , h2 k2 ∈ HK; por estar
h2 k2 ∈ G entonces (h2 k2 )−1 = k2−1 h2−1 y además, por ser G abeliano tenemos que
−1 −1
k2−1 h−1
2 = h2 k2
Entonces, por la conmutatividad de la operación en G:
−1
−1
(h1 k1 )(h2 k2 )−1 = (h1 k1 )(k2−1 h−1
2 ) = (h1 h2 )(k1 k2 ) ∈ HK
Y ası́, HK es un subgrupo de G.
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Ejercicio 5:
Pruebe que un grupo cı́clico con únicamente un generador puede tener a lo más dos
elementos.
Solución. Suponga que G es generado por un elemento a 6= e, donde e es la identidad.
G es finito, pues, en el conjunto
< a >= {e, a, a2 , . . . , ak−1 }
Existe a−1 = ak−1 para algún k ∈ N∗ . Por definición se tiene que
ak = ak−1 a = e
Y por lo tanto ord(G) = k < ∞. Por otro lado, se tiene también que
(a−1 )k−1 = (ak−1 )−1 = a
Como por hipótesis el generador en G es único, se tiene entonces que
(a−1 )k−1 = a ⇒ k − 1 = 1 ⇔ k = 2
Lo que implica que el ord(G) = 2, por supuesto, tomando en cuenta que a 6= e. En el caso
en que a = e entonces ord(G) = 1.
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Ejercicio 6:
Pruebe que si G es un grupo abeliano con identidad e, entonces todos los elementos x ∈ G
tales que x2 = e forman un subgrupo de G. Generalize el caso donde n ≥ 1 es un entero
fijo y H = {x ∈ G | xn = e}.
Solución. Se hará la demostración cuando n ≥ 1 quedando el caso n = 2 como un caso
particular: H 6= ∅ Pues al menos x = e ∈ H. Por otro lado, sean x, y ∈ H entonces xn = e
y y n = e. Es claro que, en particular, si y ∈ H entonces y −1 ∈ H pues
(y n )−1 = (y −1 )n = e
Ası́, dado x, y ∈ H se tiene que, por la conmutatividad de la operación en G,
(xy −1 )n = xn (y −1 )n = (e)(e) = e
es decir, xy −1 ∈ H.
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Ejercicio 7:
Demuestre que todo subgrupo de un grupo cı́clico es cı́clico.
Solución. Sea G = hai un grupo multiplicativo generado por el elemento a. Sea H 6 G
y sea m el menor entero para el cuál am ∈ H. De la definición de subgrupo tenemos que
todo elemento b ∈ H ⇒ b = aj ∈ G donde j ∈ Z, por el algoritmo de la división se tiene
que
j = mq + r, 0 ≤ r < m
y ası́
b = aj = amq+r = amq ar = (am )q ar
Aplicando ahora las propiedades de grupo (cancelación por la izquierda) se tiene que
ar = (am )−q aj
Dado que (am ), aj ∈ H entonces el producto se halla en H y por lo tanto ar ∈ H pero
0 ≤ r < m entonces r = 0 y por lo tanto
b = aj = (am )q
es decir H = ham i ♦
Ejercicio 8:
¿Cuál es el orden de un grupo G generado por los elementos x y y sujeto a las relaciones
x3 = y 2 = (xy)2 = e, donde e es el elemento identidad del grupo?
Solución. Consideremos las relaciones
x3 = e, y 2 = e, (xy)2 = e
Entonces de las anteriores tenemos que
x2 = x−1 , y = y −1 , xy = y −1 x−1 = yx2 y además yx = x2 y
es decir, G tiene 6 elementos, por lo que ord(G) = 6. Otro argumento lo podemos presentar
con combinatoria, tomando en cuenta sólo los productos de la forma xi y j (pues yx = x2 y)
con i = 0, 1, 2 y j = 0, 1 que nos da como resultado, por el principio del producto un total
de 6 posibles resultados. Los subgrupos los determinaremos a partir de que
6=2·3
Por ello esperamos que de haber subgrupos, como una aplicación directa del teorema
de Lagrange, estos deben tener orden 2 o 3 (más aún, por el primer teorema de Sylow
sabemos que hallaremos subgrupos de orden 2 y 3), tales subgrupos son:
{1, x, x2 }, {1, y}, {1, xy}, {1, yx} 3
♦
Ejercicio 9:
Si G es un grupo tal que (ab)j = aj bj para tres enteros consecutivos j y para todos los
a, b ∈ G. Muestre que G es un grupo abeliano.
Solución. Como parte de las hipótesis tenemos que
(ab)j = aj bj
(ab)j+1 = aj+1 bj+1
(ab)j+2 = aj+2 bj+2
De aquı́ podemos tomar que (ab)j+1 = (ab)(ab)j = aj+1 bj+1 luego entonces, utilizando
de manera adecuada la ley de cancelación por la izquierda y por la derecha, válidas en
cualquier grupo, en conjunto con la ley asociativa y las hipótesis obtenemos lo siguiente
b(ab)j−1 a = aj bj ⇒ (ba)j = aj bj = (ab)j
Ası́, de la misma forma se tiene también que
(ab)j+2 = aj+2 bj+2 ⇒ (ba)j+1 = (ab)j+1
Pero entonces
(ba)(ba)j = (ab)(ab)j = (ab)(ba)j
Utilizando una vez más la ley de cancelación en G tenemos que
ab = ba ∀a, b ∈ G
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Luego, G es abeliano. Ejercicio 10:
Sea G un grupo y sean H, K 6 G tales que [G : H] < ∞ y [G : K] < ∞. Entonces el
subgrupo H ∩ K tiene ı́ndice finito en G, es decir [G : H ∩ K] < ∞.
Solución. Sea g ∈ G entonces de (H ∩ K)g ⊂ Hg y (H ∩ K)g ⊂ Kg se tiene que
(H ∩ K)g ⊂ Hg ∩ Kg. Por otro lado, observése también que si x ∈ Hg ∩ Kg entonces
x = hg = kg ⇒ h = k ∈ H ∩ K ⇒ x ∈ (H ∩ K)g
Ası́
(H ∩ K)g = Hg ∩ Kg
Por último, como [G : H] < ∞ y [G : K] < ∞ entonces tenemos un número finito de
posibilidades para Hg ∩ Kg y por lo tanto se tiene el resultado deseado. Observación 1. El ejercicio anterior tiene un nombre especial: Es conocido como el Lema
de Poincaré.
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Ejercicio 11:
Sea G = U V un grupo, donde U, V 6 G. Entonces, todo subgrupo H de G que satisface
U 6 H 6 G puede ser factorizado como H = U (V ∩ H).
Solución. Sea h ∈ H entonces, dado que H 6 G, h = uv, u ∈ U, v ∈ V . Ahora, una
clase lateral derecha de U en G siempre contiene a un elemento de V , pues G = U V , y
por lo tanto una clase lateral de U en H siempre tiene un elemento de V : Como las clases
laterales forman una partición de H tenemos entonces que H = U (V ∩ H) .
Observación 2. Este ejercicio es conocido también como Identidad de Dedekind.
Ejercicio 12:
Pruebe que si un grupo G no tiene subgrupos propios entonces G es cı́clico.
Solución. Sea g ∈ G, g 6= e (e es la identidad de G) y sea H = {g j : j ∈ Z} entonces
H 6 G pero como G no tiene subgrupos propios entonces H = G por lo tanto G es cı́clico.
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Ejercicio 13:
Si un grupo G no tiene subgrupos propios, muestre que G es cı́clico de orden primo.
Solución. Por el problema anterior sabemos que G =< g > donde g 6= e supongamos
ahora que ord(G) = p y que, sin pérdida de generalidad p = mq, m, q ∈ Z>1 ⇒ m <
p y q < p. Entonces M = {g1j : j = 0, 1, 2, . . . , m − 1; g1 ∈ G} = G pues G no tiene
subgrupos propios y entonces ord(G) = m < p que es una contradicción, análogamente se
llegarı́a a una conclusión similar para q, ası́ m = 1 ó q = 1 y por lo tanto p es primo. .♦
Ejercicio 14:
Si H y K son subgrupos de un grupo abeliano G, de órdenes respectivos m y n, muestre
que si (m, n) = 1, es decir, son primos relativos, entonces AB es un subgrupo de orden
mn.
Solución. Basta con observar que A ∩ B 6 A y A ∩ B 6 B por lo tanto, por el teorema
de Lagrange se tiene que ord(A ∩ B)|ord(A) y ord(A ∩ B)|ord(B) luego entonces
ord(A ∩ B) = 1 ⇒ A ∩ B = {e}
y por lo tanto
ord(AB) =
ord(A)ord(B)
= mn ord(A ∩ B)
Ejercicio 15:
Si p es un número primo, muestre que las únicas soluciones de
x2 ≡ 1 (mod p)
son x ≡ 1 (mod p) ó x ≡ −1 (mod p)
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Solución. Esta es una aplicación directa de la teorı́a de grupos a la teorı́a de los números:
x2 ≡ 1 (mod p) ⇒ x2 −1 ≡ 0 (mod p) ⇒ (x+1)(x−1) ≡ 0 (mod p) que implican el resultado
deseado. ♦
Ejercicio 16:
Muestre por medio de un ejemplo que es posible que la ecuación x2 = e puede tener más
de 2 soluciones en algún grupo con identidad e.
Solución. Basta con considerar el 4-grupo de Klein, cada elemento es solución de la
ecuación, como puede constatar a partir de la siguiente tabla de grupo:
· e
e e
a a
b b
c c
a b
a b
e c
c e
b a
c
c
b
a
e
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Ejercicio 17:
Sea G un grupo y sea Gn = {g n : g ∈ G}. ¿Bajo qué hipótesis sobre G podrı́amos mostrar
que Gn 6 G?
Solución. Un subgrupo en particular debe satisfacer la cerradura bajo la operación de
grupo, por lo que para a, b ∈ G tales que an , bn ∈ Gn se tiene que an bn = (ab)n ⇔ ab = ba
es decir, necesitamos la hipótesis de conmutatividad de la operación, dicho de otra manera,
necesitamos que G sea abeliano. ♦
Ejercicio 18:
Sean a, b ∈ G donde G es un grupo, entonces si ab tiene orden finito n muestre que ba
también tiene orden n.
Solución. Por hipotesis (ab)n = e entonces b(ab)n a = bea = (ba)e y ası́
(ba)(ba)n = (ba)e ⇒ (ba)n = e
Si orden de (ba) fuera menor que n aplicando un argumento completamente análogo
llegarı́amos a la conclusión de que el orden de (ab) serı́a menor o igual a n contrario a lo
que se habı́a supuesto en un principio. ♦
Ejercicio 19:
Si A y B son subgrupos de ı́ndice finito de un grupo G, es decir, [G : A] < ∞ y [G : B] < ∞
y además ([G : A], [G : B]) = 1 (tales ı́ndices son primos relativos), entonces G = AB.
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Solución. Dado que A 6 G y B 6 G entonces A ∩ B 6 G y se tiene entonces que
[G : A ∩ B] = [G : A][A : A ∩ B]
y
[G : A ∩ B] = [G : B][B : A ∩ B]
Lo que implica, pues ([G : A], [G : B]) = 1, que [G : A][G : B]|[G : A ∩ B] ⇒ [G :
A ∩ B] ≥ [G : A][G : B]. Por otro lado, dado que [G : B] < ∞ entonces [A : A ∩ B] < ∞
y [A : A ∩ B] ≤ [G : B]. Como se tiene también que [G : A] < ∞ entonces [G : A ∩ B] ≤
[G : A][G : B]. Ası́
[G : A ∩ B] = [G : A][G : B]
Lo que implica que G = AB. Observación 3. Los resultados utilizados para resolver este problema los podemos hallar
en el libro Teorı́a de los Grupos de Marshall Hall jr. en la sección 1.5
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