LINEALIZACIÓN 1. Introducción: Cuando se requiere realizar el análisis dinámico de sistemas nolineales, puede tomarse las siguientes alternativas: 1. Transformar el sistema no-lineal en uno lineal haciendo una transformación apropiada de sus variables. 2.Simular el sistema no-lineal usando una computadora analógica o digital y calcular su solución numéricamente. 3.Desarrollar un sistema lineal que aproxime el comportamiento dinámico del sistema no-lineal alrededor del punto específico de operación. 1 GICI-Grupo de Investigación en control Industrial 2. LINEALIZACIÓN Linealización es el proceso matemático que permite aproximar un sistema no-lineal a un sistema lineal. Esta técnica es ampliamente usada en el estudio de procesos dinámicos y él en el diseño de sistemas de control por las siguientes razones: 1. Se cuenta con métodos analíticos generales para la solución de sistemas lineales. Por lo tanto se tendrá una solución general del comportamiento del proceso, independientemente de los valores de los parámetros y de las variables de entrada. Esto no es posible en sistemas no-lineales pues la solución por computadora da una solución del comportamiento del sistema valida solo para valores específicos de los parámetros y de las variables de entrada. 2 GICI-Grupo de Investigación en control Industrial 2. Todos los desarrollos significativos que conllevan al diseño de un sistema de control ha sido limitado a procesos lineales. 3. VARIABLES DE DESVIACIÓN Se define la variable de desviación, X (t), como la diferencia entre el valor de la variable o señal x(t) y su valor en el punto de operación.Matemáticamente se define: X t xt x donde X(t): variable de desviación. x(t): variable absoluta correspondiente x : el valor de x en el punto de operación (valor base) 3 GICI-Grupo de Investigación en control Industrial Gráfico de las variables de desviación, variable absoluta y el punto de operación. El valor base, es el valor de la variable en estado estable y generalmente describe el valor inicial del sistema dinámico y por lo tanto es constante, implicando que: dx 0 dt 4 GICI-Grupo de Investigación en control Industrial por lo tanto derivando n veces la ecuación, obtenemos: d n X t d n xt , n n dt dt n 1,2,3... El punto de operación generalmente está en estado estacionario, entonces: x(o) x por lo tanto: , X (o) 0 d n X 0 0 n dt para n 1,2,3... n d X t n y la transformada de Laplace es, L s X s n dt Así la ecuación linealizada en función de las variables de desviación no incluyen términos constantes. 5 GICI-Grupo de Investigación en control Industrial 4. LINEALIZACIÓN DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE. Considérese la ecuación diferencial de primer orden: dxt f xt k dt Donde f xt es una función no-lineal de x, y k es una constante. Expandiendo la función no-lineal f xt en series de Taylor alrededor del punto x , se obtiene: 2 df x 1 d2 f x f xt f x xt x xt x 2 dx 2! dx 3 1 d3 f x xt x ... 3 3! dx 6 GICI-Grupo de Investigación en control Industrial Esta expansión se evalúa en el punto x. La aproximación lineal, consiste en eliminar todas las derivadas de orden dos y mayores, entonces el valor aproximado de la función será: df x xt x f xt f x dx El error introducido en la aproximación es del mismo orden de la magnitud del termino: 1 d2 f x 2 x t x I 2 2 dx Por lo tanto la aproximación lineal, dada en la ecuación, es satisfactoria cuando x es muy cercano a x , pues en ese caso el valor del termino "I " es muy pequeño. 7 GICI-Grupo de Investigación en control Industrial Geométricamente, la aproximación es una línea recta que pasa por el punto de operación, generalmente corresponde al valor de estado estacionario, entonces: x0 x , X 0 0 Por lo tanto: d n X 0 dt n 0 para n 1,2,3... por el punto x, f x , con pendiente df x / dx y es por definición tangente a la curva en el punto de operación. Por lo tanto, la aproximación es exacta solo en el punto de operación. 8 La aproximación linealizada, correspondiente a la ecuación original, resulta ser: dxt df x f x X t k dt dx GICI-Grupo de Investigación en control Industrial Si las condiciones iniciales son: x0 x , dx0 / dt 0, X 0 0, entonces : 0 f x k Finalmente, la ecuación inicial, se ha transformado en: df t df x X t dt dx Puede observarse de la ecuación anterior, que los términos constantes en la ecuación linealizada quedan eliminados cuando el valor base es la condición inicial de estado estacionario. 9 GICI-Grupo de Investigación en control Industrial La aproximación lineal es tangente a la función no lineal en el valor base, x Línea Tangente f x(t ) 1 df dx x Función No Lineal f (x ) x 10 GICI-Grupo de Investigación en control Industrial x(t ) 5. LINEALIZACIÓN DE FUNCIONES DE DOS O MÁS VARIABLES Considérese la función no-lineal de dos variables f xt , yt . Si x es el valor en estado estable de x(t) y y es el valor en estado estable de y(t) . La expresión lineal en serie de Taylor alrededor del punto x, y esta dada por: f x, y f x, y xt xyt y .... y(t ) y 2 f x, y f x, y 2 f x, y f xt , y t f x, y xt x y t y xt x 2 x y 2!x 2 2 2 2!y 2 11 xy GICI-Grupo de Investigación en control Industrial La aproximación lineal consiste en eliminar los términos de orden superior a partir del termino de segundo orden. Entonces la expansión lineal de la función no-lineal f xt . yt , toma la forma: f x, y f x, y f xt , y t f x, y xt x y t y x y donde: f x, y f x, y y se evaluan en el punto x, y x y 12 GICI-Grupo de Investigación en control Industrial