CARGA Y DESCARGA DE UN CONDESADOR H. Martinez, H. Pineda Experimental 3 Universidad Popular del Cesar, Valledupar RESUMEN En el desarrollo del análisis experimental que se llevó a cabo, se determinó el comportamiento de los procesos de carga y descarga de un capacitor, el cual se encontraba conectado en serie con un resistor y una fuente de alimentación utilizando como instrumentos de medición el multitester en las opciones correspondientes y el cronómetro. Se comprobó que el comportamiento de los datos obtenidos (voltaje y tiempo) toma la la forma de curvas exponenciales así como también se dedujeron las ecuaciones de este fenómeno mediante la segunda ley de Kirchhoff y el cálculo infinitesimal, corroborándose las relaciones existentes entre estas ecuaciones matemáticas y el fenómeno mismo, Se calculó además las constantes de tiempo experimentales mediante regresión lineal y se determinó el error del mismo respecto a la constante de tiempo teórico RC medida previamente 1. INTRODUCCION Para comenzar con el experimento pasaremos a definir primero el fenómeno de carga y descarga de un capacitor en un circuito RC, conformado en este caso por un resistor y un capacitor conectados en serie a través de una fuente de alimentación con un voltaje terminal igual a la FEM de la batería, despreciando la resistencia interna de la misma, para poder simplificar el análisis presentado a continuación: Carga de un capacitor En la figura 1 pasaremos a mostrar un diagrama de este circuito para comenzar con el análisis. Partimos de un sistema en el cual el capacitor esta inicialmente descargado, como el interruptor no cierra el circuito no existe corriente alguna en el sistema por lo que si definimos t=0 al cerrar el interruptor, la carga comenzara a recorrer por el circuito estableciendo una corriente en el mismo y el capacitor empezara a cargarse. Este proceso de carga del capacitor terminara cuando el mismo se encuentre a la misma diferencia de potencial que la mal llamada FEM E de la batería (debido a que la denominación fuerza electromotriz no es correcta y a que en si no se está́ describiendo a una fuerza sino una diferencia de potencial proveniente de la fuente) entrando en un estado estacionario al no existir corriente alguna recorriendo ninguna de las ramas que contiene el capacitor. Para describir cuantitativamente este proceso de carga que varía en el tiempo y en el cual la resistencia R del resistor influye aplicamos la segunda ley de Kirchhoff o ley de las mayas, el cual define lo siguiente: El cual señala que la suma de las diferencias de potencial aplicadas a todos los elementos que conforman un circuito cerrado debe ser igual a 0. Mediante esta ley obtenemos lo siguiente: Donde E es la diferencia de potencial de la fuente, q/C la diferencia de potencial del capacitor e ir la diferencia de potencial del resistor. Para la determinación de los signos utilizamos la manera convencional, equivoca pero funcional de asignación de la dirección de la corriente, el cual señala que esta tiene la misma dirección que el flujo de la carga positiva, por lo tanto al recorrer del extremo derecho al izquierdo de la fuente tenemos un voltaje positivo, al recorrer del extremo inferior al superior del capacitor tenemos un voltaje negativo y al recorrer el circuito en la misma dirección que la corriente en el resistor el voltaje en el mismo es negativo teniendo el voltaje del circuito igual a 0 que necesitamos. Tenemos que tener presente que tanto q como I representan valores instantáneos, ya que estos dependen del tiempo en el cual sucede tanto la carga como la descarga del capacitor. Ahora determinaremos los valores máximos tanto de la corriente como de la carga en el sistema. En t=0 como mencionábamos la ∆V en el capacitor es igual a 0 por lo que al hacer la variación respectiva en nuestra ecuación de la segunda ley de Kirchoff tenemos: Es decir, en el estado inicial, la diferencia de potencial presente en el resistor es la misma que en la fuente y por lo tanto la corriente presente en este estado del circuito es máxima. Ahora en el otro extremo, cuando t → ∞ la diferencia de potencial presente en el capacitor será la misma que en la fuente y por lo tanto al no existir corriente (por ser despreciable por la tendencia al infinito en el tiempo) la diferencia de potencial aplicada al resistor resultar ser 0 y entonces la segunda ley de Kirchhoff aplicada a nuestra malla es: Es decir, la diferencia de potencial aplicada en el capacitor es la misma que la de la fuente y por ende la carga del mismo es máxima. Ahora realizaremos un análisis de cómo varía la carga y la corriente en el tiempo en nuestro sistema para lo cual expresaremos la malla en términos infinitesimales y resolvemos la ecuación diferencial por variables separables y determinaremos la expresión final aplicando propiedades de logaritmos y exponenciales (1) Para hallar la corriente del sistema en tenemos que derivar la carga respecto del tiempo: Para los fines prácticos aplicados en el laboratorio podemos expresar la corriente como el voltaje aplicado a la resistencia en función del tiempo de la siguiente manera: (2) Una manera de relacionar el voltaje del capacitor y del resistor (1) y (2) de interés para el análisis tabular de datos obtenidos es el siguiente: En t = 0 el voltaje de la ecuación (2) en V (0) = E, el mismo de la fuente de alimentación y el voltaje de la ecuación (1) es V (0) = 0, como es deducible, dándonos la siguiente ecuación: (3) Y finalmente obtenemos la expresión de la carga en función del tiempo reacomodando Una vez terminado el proceso de carga del condensador pasaremos a analizar la descarga del mismo en función del tiempo, para esto imaginemos que el condensador del circuito de la figura 1(cuyo interruptor debe cerrar el circuito) ahora está totalmente cargado y no existe corriente alguna en el sistema (lo cual es una consecuencia simplemente); entonces pasaremos a abrir el interruptor y extraer del sistema la fuente de alimentación (todo esto se realiza mediante un selector, el cual es comúnmente usado para que ahora el circuito cerrado comprenda solo el capacitor cargado y el resistor original) resultando el diagrama de circuito siguiente: esta última línea, llegando a lo siguiente: Para fines prácticos aplicados en el laboratorio podemos expresar la carga como el voltaje aplicado al capacitor en función del tiempo de la siguiente manera: 2 Una vez que el circuito se encuentre cerrado por el interruptor comenzar a fluir corriente desde la placa positiva inferior del capacitor hacia la placa superior negativa del mismo, descargándose, pero a la vez esta corriente pasa a través del resistor por lo cual nuestra malla para este sistema es: Tanto los valores de q como los de I son instantáneos, para ahora analizar la variación de la carga en el tiempo, expresamos la malla en términos infinitesimales de carga y mediante variables separables y propiedades de los logaritmos y exponenciales resolver la ecuación diferencial El signo menos en esta expresión no indica que la corriente es negativa, lo cual no existe, sino que la dirección de la corriente es inversa a la del proceso de carga del capacitor. Para los fines prácticos aplicados en el laboratorio podemos expresar la corriente como el voltaje aplicado a la resistencia en función del tiempo de la siguiente manera: (5) Una manera de relacionar el voltaje del capacitor y del resistor (4) y (5) que es de interés para el análisis tabular de los datos obtenidos es el siguiente: (6) Para fines prácticos aplicados en el laboratorio podemos expresar la q(t) como el voltaje aplicado al capacitor en función del tiempo de la siguiente manera: Podemos observar que en todas las expresiones hasta ahora desarrolladas se encuentra un término muy particular, e-t/RC, el cual nos indica que si el tiempo llegara a ser igual a RC los procesos de carga y descarga tendrían el e-1 (36.79%) del valor máximo de la corriente máxima en el caso de la carga del capacitor, y de la carga máxima y la corriente máxima en el caso de la descarga del capacitor y el 1 – e-1 (63.21%) del valor máximo de la carga máxima del capacitor en el proceso de carga del mismo (En segundos) que acabamos de mencionar y utilizar para este análisis, se le conoce como la constante de tiempo. 2. OBJETIVOS 2.1. OBJETIVO GENERAL (4) - Analizar teórica y experimentalmente la carga y descarga de un condensador 2.2. OBJETIVOS ESPECIFICOS Para hallar la corriente del sistema tenemos que derivar la carga respecto del tiempo: 3. - Calcular la constante de tiempo (t) - Comparar la constante de tiempo con el valor teórico MATERIALES - Protoboard - Sensor de Carga - Fuente de Voltaje - Resistencia (10K) - Capacitor o Condensador (470 uF) 3 4. - Interface - Computador - Software - Cables de Caimán - Multímetro PROCEDIMIENTO Antes de ejecutar una carga o descargar del condensador, se debe instalar, configurar y verificar que el sensor de carga se encuentre totalmente funcional en el computador que vamos a trabajar, luego de este proceso de verificación se continua con la primera fase del experimento: Cargaremos el condensador o Capacitor. Para la carga de un condensador, se Comprueba que el condensador este totalmente descargado, de lo contrario las mediciones serán incorrectas, si está cargado has de descargarlo cortocircuitándolo, esto se podría hacer utilizando un cable y uniendo sus dos polos o en su defecto haciendo contacto directamente entre sus dos patas. Conectamos los componentes en la placa Protoboard siguiendo el esquema eléctrico indicado, ten mucho cuidado al conectar el condensador, debes de hacerlo correctamente, el polo positivo del condensador ha de ir conectado al polo positivo de la fuente de voltaje y el polo negativo se conecta en serie con la resistencia, todo este procedimiento con la fuente apagada, esto con tal fin de no cargar el condensador antes de tiempo. Se conecta el sensor de carga al experimento y encendemos la fuente, el software mostrara la gráfica de descarga de acuerdo a las configuraciones previas a encender la fuente. Hecho esto, se almacena la información en un archivo .TXT que tendría detelles exactos de la carga del condensador, el cual usaremos para realizar el análisis del experimento 5. RESULTADOS Carga de un condensador. Tiempo (s) 1,15 1,48 1,98 2,98 3,98 4,98 5,98 6,98 7,98 8,98 9,98 10,98 Carga(uC) 0,00E+00 7,94E-05 1,34E-04 2,14E-04 2,56E-04 2,99E-04 3,36E-04 3,54E-04 3,78E-04 4,03E-04 4,33E-04 4,33E-04 Tabla 1: Datos experimentales de la carga en (uC) y el tiempo en (s) para el proceso de carga del condensador Ilustración 1: Carga en (uC) vs Tiempo en (s) de la carga de un condensador De la anterior ilustración podemos evidenciar o verificar por el trazado de puntos la tendencia exponencial propuesta por la ecuación Para el proceso de descarga, el condensador y la resistencia deben estar en paralelos, esto con el fin de quitar el voltaje o carga del condensador, se recomienda hacer un puente, para mayor rapidez. Descarga de un condensador Según datos suministrados por el software, no se detecta ninguna descarga correcta del capacitor, en esta mala 4 6. ANÁLISIS Se presenta un resumen de las ecuaciones deducidas previamente en la sección anterior para el análisis de datos correspondiente y después se realiza el cálculo correspondiente para las ecuaciones de regresión lineal de datos para la obtención de los RC experimentales. Voltaje del capacitor en función del tiempo durante el proceso de carga Voltaje del resistor en función del tiempo durante el proceso de carga Ilustración 2: Carga en (uC) vs Tiempo en (s) de la carga de un condensador Regresión lineal para la obtención de RC Experimental en el proceso de carga del capacitor Podemos verificar por el trazado de puntos la tendencia exponencial propuesta por la ecuación del voltaje del capacitor en función del tiempo. Ahora, se calculara el RC Experimental, para lo cual se debe reajustar los datos de la tabla 1 para poder utilizar la regresión lineal definida anteriormente en la ecuación (7) t(s) Por ultimo el error experimental asociado a la constante de tiempo experimental calculadas Teniendo en cuenta estas ecuaciones, se realizara el análisis de los datos obtenidos para el proceso de carga Carga(µC) fuente E(V) ln(E-VI) ln( E ) ln( E )ln(E-VI) 1,15 0,00E+00 1,3 0,2623643 0,26236426 0,003 1,48 7,94E-05 1,3 0,2623032 0,26236426 0,005 1,98 1,34E-04 1,3 0,262261 0,26236426 0,011 2,98 2,14E-04 1,3 0,2621999 0,26236426 0,018 3,98 2,56E-04 1,3 0,2621671 0,26236426 0,028 4,98 2,99E-04 1,3 0,2621342 0,26236426 0,058 5,98 3,36E-04 1,3 0,262106 0,26236426 0,07 6,98 3,54E-04 1,3 0,2620919 0,26236426 0,08 7,98 3,78E-04 1,3 0,2620731 0,26236426 0,089 8,98 4,03E-04 1,3 0,2620544 0,26236426 0,1 9,98 4,33E-04 1,3 0,2620309 0,26236426 0,12 10,98 4,33E-04 1,3 0,2620309 0,26236426 0,13 Tabla 2 Datos para regresión lineal Carga de un condensador 5 6. REFERENCIAS [1]. Serway; Beichner, “Fisica Tomo 2”, Editorial McGrawhill, 5ta Edicion Ilustración 3 Regresión lineal para la determinación de Rc Experimental Aplicando la ecuación 7 tenemos que la constante de tiempo para la carga del condensador es: RC Experimental= 27.74 s RC Teórico = 36.74 s E%= 24% 7. CONCLUSIONES Se corroboró que tanto en los procesos de carga y descarga del capacitor y la resistencia la carga y la corriente tienen un comportamiento exponencial. Además, Se determinaron las ecuaciones que determinan el comportamiento de este fenómeno logrando determinar la constante de tiempo RC experimental en el proceso de carga del capacitor. Se analizaron las gráficas de voltaje versus tiempo en los circuitos RC tanto en el proceso de carga y se observó y confirmó la relación entre las ecuaciones que determinan este fenómeno y el comportamiento del fenómeno en mismo. Con respecto al proceso de descarga del condensador, no se pudo verificar nada, debido a una mala toma de datos, en esto influyen muchos factores, condensador malo, resistencia dañada o en su defecto contactos que descargaron el condensador antes de tomar los datos con el software 6
