MATEMÁTICA PARA INGENIEROS 2 SEMANA 04 SESIÓN 04 Matemática para Ingenieros II COORDENADAS POLARES Fuente: https://www.google.com.pe/search?biw=1242&bih=602&tbm=isch&sa=1&ei=KpNNWsTCBMaFmQHtzp7wDw&q=coordenada s+polares+mundo&oq=coordenadas+polares+mundo&gs_l=psy-ab.3...88820.90421.0.90894.6.6.0.0.0.0.453.1076.21j1j1.3.0....0...1c.1.64.psy-ab..3.1.452...0j0i30k1.0.UeVTeQyA54w#imgrc=uA3izR8Vjq_KeM: Logro de la sesión Al término de la sesión el estudiante define la relación entre el sistema cartesiano y el sistema polar. ESQUEMA DE CLASE Sistema Polar Definición Plano Polar El sistema ha sido utilizado de manera empírica desde antes de Cristo, fue Newton quien recién le da el concepto abstracto, pero en su trabajo creó 8 sistemas de coordenadas. Sobre el sistema cartesiano, se diseña el sistema Polar, en este caso las coordenadas son un ángulo y una distancia. El Plano Polar es una serie infinita de circunferencias concéntricas, cada punto en este sistema tiene su propia circunferencia. Observe que un punto polar se forma en la curva celeste o circunferencia de radio “r” y un ángulo 𝜃. 𝝅 𝝅/𝟐 (𝒓, 𝜽) 𝜃 𝜽 antihorario 𝟎, 𝟐𝝅 −𝜽 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒓𝒊𝒐 PLANO POLAR 𝟑𝝅/𝟐 Fuente: Elaboración propia El centro del sistema recibe el nombre de POLO u Origen, el EJE POLAR. Coincide con el eje x del sistema cartesiano. CUANDO EL PUNTO TIENE UN RADIO POSITIVO Y EL ÁNGULO POSITIVO O NEGATIVO 𝜋 3 (4, ) 𝜋/3 −𝜋/4 𝜋 (2, − ) 4 CUANDO EL PUNTO TIENE UN RADIO NEGATIVO Y EL ÁNGULO POSITIVO O NEGATIVO 𝜋 (−3, − ) 6 2𝜋 3 2𝜋 (−1, ) 3 − 𝜋 6 TRANSFORMACIÓN DE CORDENADAS RECTANGULARES A POLARES 𝒓𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 𝑏 → r. Sen θ = 𝑏 𝑟 𝑎 𝐶𝑜𝑠 𝜃 = → r. Cos θ = 𝑎 𝑟 (𝑎, 𝑏) 𝑟 𝜃 𝑆𝑒𝑛 𝜃 = 𝑏 𝑎 𝑻𝒈(𝜽) = FORMA TRIGONOMETRICA 𝒃 𝒂 FORMA POLAR 𝑎, 𝑏 = (𝑟, θ) 𝑎, 𝑏 = (𝑟. 𝐶𝑜𝑠 𝜃 , 𝑟𝑆𝑒𝑛 𝜃 ) PASOS PARA OBTENER LA TRANSFORMACION Primero: Halle el radio r = 𝑎2 + 𝑏 2 y el ángulo 𝑏 referencial 𝑡𝑔 𝜃 = . 𝑎 Segundo: Ubique el cuadrante donde se encuentra el punto. Tercero: Dependiendo donde se encuentra el punto: Si el ángulo cae en el segundo cuadrante ¿cuánto falta para 1800? (180 – 𝜃) Si el ángulo cae en el primer cuadrante Es el mismo ángulo (𝜃) Si el ángulo cae en el tercer cuadrante ¿cuánto sobró a 1800? Si el ángulo cae en el cuarto cuadrante ¿cuánto falta para 3600? (180 + 𝜃) (360 –𝜃) Convierta a coordenada polar el punto (−𝟑, 𝟑) 1. Hallando el radio:𝑟 2 = (3)2 +(−3)2 = 18 ⇒ 𝑟 = 18. El ángulo referencial: 𝑇𝑔 𝜃 = 3 −3 = −1 ⇒ 𝑇𝑔 𝜃 = −1 Nota: cuando el ángulo referencial sea negativo , asuma que es positivo. ⇒ 𝑇𝑔 𝜃 = 1 ⇒ 𝜃 = 45° 2. El punto (−3,3) se encuentra en el segundo cuadrante. 3.- Según el cuadro anterior: 180° − 45° = 135° 3 −3,3 = ( 18, 𝜋) 4 TRANSFORMACION DE CORDENADAS POLARES A RECTANGULARES Para la transformación se hace uso de la forma trigonométrica 𝑥, 𝑦 = 𝑟𝐶𝑜𝑠 𝜃 , 𝑟𝑆𝑒𝑛 𝜃 𝜋 6 Ejemplo: Convertir a coordenadas cartesianas el punto polar (−5, ) 𝑥, 𝑦 = 𝑟𝐶𝑜𝑠 𝜃 , 𝑟𝑆𝑒𝑛 𝜃 𝜋 𝜋 𝑥, 𝑦 = −5𝐶𝑜𝑠 , −5𝑆𝑒𝑛 6 6 𝑥, 𝑦 = −5 3 1 , −5 2 2 −5 3 −5 𝑥, 𝑦 = , 2 2 Es importante señalar: 𝑟, 𝜃 = (−𝑟, 𝜋 + 𝜃) Al graficar ( 5 , 𝜋/6) es lo mismo o tiene la misma posición ( −5 , 𝜋 + 𝜋/6) Si el punto a convertir es: 𝜋 −5 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑠 𝑙𝑜 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑜 6 𝜋 7𝜋 5 ,𝜋 + = (5, ) 6 6 Además se cumple: 𝑟, 𝜃 = 𝑟, 𝜃 + 2𝑛𝜋 ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜: 𝑟, 𝜃 = −𝑟, 𝜃 + 2𝑛𝜋 + 𝜋 = (−𝑟, 𝜃 + (2𝑛 + 1)𝜋) ∀𝑛 ∈ ℤ 1. −Determine las coordenadas rectangulares del punto cuyas coordenadas polares es P(4, 120°) a) ( -0.5, 0.86602), b(4, 0.5), c( - 0.5, 4), d( -2, 3.4641) 2. −Determine las coordenadas polares del punto cuyas Coordenadas rectangulares son 1, 3 a) (0, 180°), b) (-2, 0°), c) (2, 60°), d) (2, 120°) Muchas gracias! “La Matemática es el alfabeto con que Dios escribió el mundo.” Galileo Galilei
