Control Basado en Pasividad de un Convertidor DC-DC tipo Buck

CONTROL BASADO EN PASIVIDAD DE UN
CONVERTIDOR DC-DC TIPO REDUCTOR BUCK
Ing. Raúl Roque Yujra
Santa Cruz Bolivia
Resumen
La pasividad es una propiedad fundamental de muchos sistemas físicos, los cuales pueden ser definidos
rigurosamente en términos de disipación y transformación de energía. Esta es una propiedad de entrada-salida
inherente, en este sentido se cuantifica y califica el balance de energía de un sistema, el cual al ser estimulado por
una entrada externa genera una salida. La pasividad por consiguiente relaciona la propiedad de estabilidad en el
sentido entrada-salida. Esto contrasta con la Estabilidad de Lyapunov, que trata sobre la estabilidad interna de un
sistema.
El control basado en pasividad (Passivity Based Control) tiene bastante aceptación y una dirección activa de
investigación y por esa razón en este reporte se da a conocer el diseño de un sistema de control utilizando este
enfoque. Por otro lado, en los últimos años se ha utilizado el concepto de moldeo de energía para extenderse al
moldeo de potencia, cuya aplicación ya tiene desarrollos en el campo del control de procesos químicos,
termodinámicos, hidraulicos [Favache, Dochain, 2009], [Dirksz, Scherpen, 2010] [Garcia–Canseco, Jeltsema, 2010] y
redes RLC no lineales [Jelsema D. 2005]
1 Introducción
El termino de control basado en pasividad (PBC) fue insertado en 1989, en el contexto del
control adaptivo de robots manipuladores [Ortega, Spong, 1989], para definir una metodología de
diseño de controladores, que pueda hacer que el sistema de lazo cerrado sea pasivo, observándolo
como un mapeo de una nueva entrada externa. Este objetivo al parecer es muy natural con el
contexto, dado que la dinámica del robot se define como un mapeo pasivo de las entradas de
torques a velocidades de salida. Este enfoque, puede ser visto como una extensión de la técnica
de moldeo de energía (energy shapping) más la inyección de amortiguamiento, que fue
introducida para resolver el problema de regulación de posición realimentando el estado completo
en sistemas robóticos actuados [Ortega, Spong, 1989].
Primeramente la etapa de dar forma a la energía, la cual consiste en modificar la energía
potencial del sistema, de tal manera que la nueva función de energía tenga un mínimo global
único en el equilibrio deseado. Esto tiene su motivo y parte del hecho conocido, que el equilibrio
estable de un sistema mecánico corresponde a la función de energía potencial mínima. En
segundo lugar, la etapa de inyección de amortiguamiento que consiste en la modificación de las
propiedades de disipación del sistema, de tal manera de obtener un sistema estrictamente pasivo
[Ortega, et al, 1998].
La generalidad del control basado en pasividad, permite el tratamiento de diferentes problemas,
tales como: realimentación de salida (esto cuando no todos los estados están disponibles para la
medición), control de seguimiento a referencia (para seguir una trayectoria de referencia). El
lector debe tener en mente que como la pasividad tiene sus orígenes en la teoría de circuitos
eléctricos, el control basado en pasividad es más apropiado para sistemas eléctricos y
electromecánicos, tal el caso de convertidores de potencia, máquinas eléctricas, etc. Sin embargo
su aplicación no esta restringida a otro tipo de sistemas que no sean loas anteriores ya que en la
actualidad se han reportado trabajos relacionados a sistemas químicos, termodinámicos, etc..
3.3.3 Modelado de un convertidor CC-CC Reductor (Buck) y Control Basado en Pasividad
Modelo del convertidor reductor Buck
El modelado del sistema de estudio Convertidor reductor Buck, puede ser obtenido utilizando
la metodología de Euler-Lagrange (desde el punto de vista energetico) o mediante las leyes de los
circuitos eléctricos. Debemos también recordar que el modelo a estudiar se basa en modo de
operación en conmutación continua.
Modelo basado en Euler-Lagrange
Se define el modelo de un sistema mediante:
d  L(q, q)  L(q, q)

Q
q ,Q  R n ;
(1)


dt  q 
q
donde q es el vector de coordenadas generalizadas y q es el vector de velocidades generalizadas,
y se define la función de Lagrange como:
L(q, q)  T (q, q)  V (q ) ;
(2)
Donde T (q, q) es una función de energía cinética, V (q ) es una función de energía potencial del
sistema en estudio y Q son las fuerzas externas al sistema que pueden ser en general de tres
tipos, entrada de fuerzas para control, fuerzas disipativas y fuerzas perturbadoras . Para el caso
de sistemas eléctricos en particular se define
Q
D(q)
 Fq ;
q
(3)
Donde D (q) es la función de disipación de Rayleigh del sistema y Fq es un vector de funciones
forzantes generalizadas o fuentes de voltaje. Para nuestro caso, el convertidor reductor Buck,
vamos a establecer como ley de control la denominada Modulación de ancho de pulso PWM de
manera que la misma conmutara de u  1 a u  0 periódicamente.
Establecemos como coordenadas generalizadas a la carga en el inductor qL y capacitor qC
q
respectivamente, por lo tanto tendremos que: qL es la corriente en el inductor z 1 y C es el
C
voltaje en el capacitor z 2
Cuando el switch es u  1 tenemos que las funciones de energía están dadas por:
1
1 2
T1(qL )  LqL2 ;V1(qc ) 
qC
2
2C
1
D1(qC )  R(qL  qC )2 ; FqL1  E ; FqC1  0
2
cuando el switch es u  0 tenemos :
1
1 2
T0 (qL )  LqL2 ;V0 (qc ) 
qC
2
2C
1
D0 (qC )  R(qL  qC )2 ; FqL0  0 ; FqC0  0
2
Entonces combinando ambas posiciones según el modo de operación continua del convertidor:
1
T (qL )  LqL2 ;
(4.a)
2
1 2
V (qc ) 
qC ;
(4.b)
2C
1
D (qC )  R(qL  qC )2 ;
(4.c)
2
FqL   E ;
(4.d)
FqC  0 ;
L  T (qL )  V (qC ) 
(4.e)
1 2
1 2
LqL 
qC ;
2
2C
(4.f)
de donde obtenemos el modelo :
1
E
qc   ;
L
L
1
1
qC  qL 
qC ;
C
RC
T
escrito en variables de estado z  z 1 z 2 


1
E
z1   z 2  
;
L
L
qL  
(5.a)
(5.b)
(6.a)
z2 
1
1
z1 
z2 ;
C
RC
(6.b)
Control Basado en Pasividad
Para diseñar el controlador basado en la técnica de pasividad se requiere que el modelo dado por
(6.a) y (6.b) del convertidor sea escrito de la forma matricial [Ortega et al] [García E]:
Db z  (J b  Rb )z   b ;
(7)
entonces tenemos
0 
0
L 0 
 0 1
E 
Db  
 ; b   
 ; Rb  
 ; Jb  
 1 0 
 0 
 0 0 
0 1/ R 
este diseño se desarrolla en dos partes; la primera parte se denomina moldeo de la función de
energía y el segundo es la inyección de amortiguación.
Con el moldeo de la energía la función de energía potencial es modificada hacia un nuevo punto
de equilibrio llevándolo hacia una localización deseada. Con la inyección de amortiguación se
modifica la función disipativa de Rayleigh hacia un nuevo punto de equilibrio el cual será global
asintóticamente estable [Ortega et al].
Iniciamos el diseño del controlador considerando la regulación hacia un voltaje en el capacitor y
corriente del inductor deseados respectivamente, es decir zd  z 1d

relaciones descritas por (6).
T
z 2d 

y que satisfacen las
Sea el vector de error promedio definido como:
 z 1  z 1d 
e  z  zd  z  z  ;
(7)
2d 
 2
Luego la dinámica del error promedio para el convertidor reductor Buck se obtiene como sigue:
Db z  (J b  Rb )z  Dbzd  (Jb  Rb )zd   b  Dbzd  (J b  Rb )zd  ;
Db (z  zd )  (J b  Rb )(z  zd )  b  Db zd  (J b  Rb )zd  ;
Dbe  (Jb  Rb )e  b  Db zd  (Jb  Rb )zd  ;
(8)
Esta expresión denota el proceso de moldeo de energía para el vector de error.
Para la etapa de inyección de amortiguamiento, tal como se muestra en [11] y [12] se agrega a
cada uno de los miembros la relación Re
i (t ) , donde Ri es una matriz que asegura la disipación
deseada, entonces tenemos:
Dbe  (Jb  Rb )e  Re
i  b  Db zd  (J b  Rb )zd   Re
i ;
Ri 0
Ri  
 ; Ri  0 ;
0 0


Entonces hemos obtenido un sistema basado en el error promedio, si este es no forzado, podemos
definir una función de almacenamiento H d que puede ser definido en coordenadas de e(t ) para el
sistema obtenido, de tal manera de asegurar la estabilización del comportamiento del error hacia
la estabilidad asintótica de cero del error independiente del valor de (t ) , por lo que se demanda
que:
b  Db zd  (Jb  Rb )zd   Re
i ;
(9)
y en particular para nuestro caso;
 E  Lz1d  z 2d  Ri (z1 
Vd
);
R
z 2d
;
R
Tomando en cuenta que se desea estabilizar el voltaje en el capacitor a un valor constante
0  Cz2d  z 1d 
z 2d  Vd , entones queda la ley de control estática [García E, 2000] es definida por:
V
R
V
  d  i (z1  d ) ;
E E
R
(10)
4. Resultados de Simulación
En este parte del reporte vamos a mostrar los resultados de simulación para las leyes de control
obtenidas mediante el método de Control Basado en Pasividad. El software de simulación es
Simulink de MatLab.
La figura 1, se muestra la respuesta para el convertidor de potencia Buck, en este caso se
utilizaron los siguientes parámetros: E  12[V ] , L  10[mH ] , C  47[  F ] , R  15[] y Vd  9[V ] ,
para el controlador se eligió el valor Ri  20 . Se ve muy buena respuesta dinámica cumpliéndose
el objetivo de regulación a voltaje deseado que inicialmente es de Vd  9[V ] y posteriormente
cambia a Vd  7[V ] .
Corriente en Capacitor z1
1
0.5
0
0
0.002 0.004 0.006 0.008
0.01
0.012 0.014 0.016 0.018
0.02
Voltaje en inductor z2
10
5
0
0
0.002 0.004 0.006 0.008
0.01
0.012 0.014 0.016 0.018
0.02
Controlador basado en Pasividad
1
0.5
0
0
0.002 0.004 0.006 0.008
0.01
0.012 0.014 0.016 0.018
0.02
Fig. 1 Respuesta de Simulación para convertidor Buck
5. Conclusiones
Se ha presentado el desarrollo de una ley de control basada en Pasividad, la cual es un enfoque
sistemático sobre el diseño de sistemas de control que poseen la propiedad de disipación de
energía. Un objetivo primordial del presente, es el de hacer conocer estas técnicas para el diseño
de sistemas pasivos en base a la técnica de moldeo de energía (energy shaping), su aplicación al
control de robots es abordada en el trabajo de Kelly y Santibañez. Por otro lado, ya desde 2003
en el trabajo de Ortega y Canseco se hace uso de estrategias más generales para el control de
sistemas pasivos utilizando la técnica de moldeo de potencia (power shaping) y su uso no solo
en sistemas eléctricos del tipo lineal y no lineal sino se extiende a procesos químicos y
termodinámicos [Favache, Dochain]..
6. Bibliografia
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García E. M.. Tesis Doctoral: Estrategias de Control para sistemas bilineales aplicadas a los convertidores de
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Sobre el Autor
Raúl Roque nació en La Paz Bolivia, concluyó la Carrera de Ingeniería Electrónica en la Facultad de
Ingeniería de la Universidad Mayor de San Andrés el año 2002. Desde 2003 desarrolla su trabajo en el
área de Instrumentación, Sistemas de control y medición en el sector de hidrocarburos. En 2015 obtiene el
certificado TUV SUD de Ingeniero en Seguridad Funcional FSE. Actualmente se desempeña laboralmente
en YPFB Transporte S.A., docente invitado para el DICAPI de la Universidad Privada Boliviana,
docente invitado de INEGAS. Su línea de investigación está centrada a Control No lineal, Control por
Modos deslizantes, Electrónica de Potencia y Sistemas Instrumentados de Seguridad.
[email protected].