MATES 4B ESO LA U-8

0S4MTLA_B_2011.08
14/3/12
07:43
P gina 150
Geometría analítica
Los cuerpos en movimiento describen una trayectoria
que a veces es recta, como ocurre con las bolas de billar.
Estas chocan unas con otras y con las paredes de la mesa
describiendo líneas rectas.
Un buen jugador de billar consigue que su bola golpee las
otras; es decir, hace que la trayectoria de la bola pase por
el punto donde se encuentran las otras bolas.
a) Busca en las mesas del dibujo
un jugador que tenga su taco
en posición correcta para conseguir
carambola y otro que no lo tenga.
Razona tu elección usando vectores.
b) Busca en alguna mesa una bola
que haya seguido trayectorias
paralelas después de chocar con
las paredes.
c) Si dos bolas son golpeadas con
la misma dirección, ¿cómo son sus
trayectorias?
d) Conociendo la situación de una
bola en la mesa, ¿qué elemento
de geometría nos permitiría describir
su trayectoria?
0S4MTLA_B_2011.08
14/3/12
07:43
P gina 151
Recuerda y resuelve
Qué son los vectores y cómo se utilizan en las traslaciones.
"
Un vector AB es un segmento
orientado que tiene un punto origen
A y un punto extremo B.
"
Las coordenadas de un vector OA
son las coordenadas del extremo A.
Dado un vector "
t , se llama
traslación de vector "
t al
movimiento que hace corresponder
a cada punto P otro punto P’ de
"
forma que PP "
t.
1 Dibuja el vector "
AB donde A (1, 3) y B (2, 5).
2 Calcula las coordenadas del vector "
AB de la actividad anterior.
v (1, 3).
3 Dibuja el vector "
4 Encuentra el punto B que se obtiene al trasladar A (0, 4) mediante
"
el vector v (1, 3).
5 Encuentra el punto C que se obtiene al trasladar el punto A (0, 4)
"
"
mediante el vector 2 v , donde v (1, 3).
6 ¿Cómo están los puntos A, B y C?
Cómo se representa una recta a partir de su ecuación.
Representación de rectas
Las funciones lineales son de la forma
f(x) mx n. Para representar
una recta se obtienen dos puntos y se
traza la recta que pasa por ellos.
7 Representa las siguientes rectas:
a) f(x) 3x 1
d) f(x) 4
b) f(x) 2x 1
e) f(x) 2x
c) f(x) x
1
f) f(x) x 1
2
Qué son las ecuaciones lineales y cómo se representan sus soluciones.
Ecuaciones lineales
Una ecuación lineal con dos
incógnitas tiene como soluciones
todos los puntos de una recta.
8 Representa las soluciones de las siguientes ecuaciones:
a) y x 3
c) 2x y 1
b) x y 5
d) 6x 2y 4
Cómo se resuelven sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Resolución de sistemas de dos
ecuaciones lineales con dos
incógnitas.
Hay tres métodos para resolver
sistemas de dos ecuaciones lineales
con dos incógnitas:
쮿 Reducción
쮿 Igualación
쮿 Sustitución
Los sistemas de dos ecuaciones
lineales con dos incógnitas pueden
tener una solución, ninguna solución
o infinitas soluciones.
9 Resuelve estos sistemas por el método que prefieras. En cada caso indica
si hay solución única, infinitas soluciones o ninguna solución.
a)
(
2x y 1
x 3y 3
b)
(
x 2y 4
2x 4y 3
c)
(
xy1
x y 1
d)
(
x 2y 5
3x y 0
e)
(
3x y 0
x y 4
Geometría analítica
151
0S4MTLA_B_2011.08
3/4/12
07:51
P gina 152
1
Vectores en el plano. Operaciones
Piensa y deduce
La siguiente figura representa las posiciones de Sergio antes y después de
realizar un desplazamiento de 3 km en tres casos distintos.
CASO I
CASO II
CASO III
posición 2
posición 1
posición 1
posición 2
posición 1
posición 2
¿Es suficiente esa información para saber dónde está Sergio? ¿Qué datos necesitas? Expresa con exactitud dónde ha ido Sergio en cada caso. Si se mueve a
otro punto que no está en la misma horizontal ni vertical, como en el caso III,
necesitamos algún elemento que nos permita identificar el desplazamiento
con exactitud.
Te n e n c u e n t a
u
"
Se llama vector fijo AB a un segmento orientado con origen en A y extremo
en B.
w
v
r
Recuerda que en el curso pasado se utilizaban los vectores para definir
con precisión las traslaciones.
Un vector está determinado por tres características:
s
" tienen la misma dirección.
쮿 "
u, "
v yw
" tienen el mismo sentido.
쮿 "
v yw
".
쮿 "
u tiene sentido contrario a "
v yw
" tienen el mismo módulo.
쮿 "
u yw
쮿 Módulo: longitud del segmento.
쮿 Dirección: dirección de la recta que lo contiene.
쮿 Sentido: el que va del origen al extremo.
쮿 Todos los vectores con el mismo módulo, dirección y sentido se denominan equipolentes.
쮿 Se llama vector libre, "
v , al conjunto de todos los vectores fijos equipolentes; es decir, con el mismo módulo, dirección y sentido.
Un vector libre se puede representar en cualquier parte del plano con
"
cualquier origen. Dados dos puntos en el plano, A y B, el vector fijo AB es un
representante del vector libre "
v equipolente a él.
B
v
A
"
Dado cualquier vector libre v y un punto A, siempre podemos representar
"
el vector libre v con origen en A.
152 UNIDAD 8
0S4MTLA_B_2011.08
14/3/12
07:43
P gina 153
1.1. Operaciones con vectores libres
" "
Suma de vectores libres u ⴙ v
B
" " "
"
"u
" "
Si AB u y BC "
v , entonces, w
v AC .
" "
" y como extremo
El vector suma, u
v , tiene como origen el origen de u
el extremo de "
v.
u
v
A
w u v
Producto de un vector libre por un escalar k"
u
C
v
" tiene la misma dirección que u
" y su módulo se obtiene mulEl vector ku
"
tiplicando k por el módulo de u , que tiene el mismo sentido si k es positivo
y sentido contrario si k es negativo.
v
u
u
v
u
u
v
Mediante el producto de un vector por un escalar podemos obtener el
", es decir u
" (1) u
", cuyo módulo y dirección son
vector opuesto de u
"
".
iguales que los de u y cuyo sentido es contrario al de u
En la figura del margen puedes observar que la suma de vectores es
" "
", con el mismo origen, repreconmutativa. La suma u
v es otro vector w
sentado por la diagonal del paralelogramo que forman.
" "
" ("
Conociendo "
v , podemos restar vectores: u
v u
v)
"
"
"
"
Por ejemplo, dados los vectores u y v , calculamos 2u 3v .
2u
u
v
2u
3
v
v
u
v
3v
Actividades
1 쐌 Di cuáles de estos vectores tienen el mismo módulo,
cuáles la misma dirección y cuáles el mismo sentido:
C
D
5
쐌쐌 Dibuja un pentágono como este.
D
G
L
A
O
P
C
E
H
N
J
B
E
I
K
A
M
F
쐌 Indica cuál es el único par de vectores equipolentes
de la actividad anterior.
2
쐌 Dibuja un rombo y nombra los vértices consecutivos
con las letras A, B, C y D. Dibuja y nombra los vectores que
resultan al realizar las siguientes operaciones:
" "
" "
" "
" "
a) AB BC b) AB CD c) BC AD d) 2 AB 2 BC
3
쐌쐌 Traza un paralelogramo como el de la figura. Expresa
" """
en función de "
u y"
v los siguientes vectores: AB , AD , AC , BC ,
"" " " "
CA , BA , BD , DB , CD .
4
v
C
A
u
B
a) Nombra cinco vectores distintos que tengan como
origen y extremo los vértices del pentágono.
"
b) Expresa el vector AD como suma de dos vectores.
"
c) Expresa AD como suma de tres vectores.
"
d) Expresa AC como suma de dos vectores.
"
e) Expresa AE como suma de vectores.
"
f) Expresa CD como diferencia de dos vectores.
"
g) Expresa BA como producto de un vector por un escalar.
h) Expresa el vector nulo como suma de vectores.
6
D
B
쐌 Traza tres vectores cuya suma sea el vector nulo.
쐌쐌 ¿Qué diferencia hay entre la dirección y el sentido de
un vector?
7
Geometría analítica
153
0S4MTLA_B_2011.08
15/3/12
12:25
P gina 154
2
Coordenadas de un vector
Piensa y deduce
Volvemos al cambio de posición de Sergio.
Según la figura, en el caso I se ha desplazado 5 unidades hacia arriba.
Conocemos los puntos en los que está
antes y después de desplazarse. ¿Sabes
identificar mediante coordenadas los
movimientos que hace en los tres casos?
CASO II
CASO III
(11, 6)
(2, 6)
(5, 4)
(9, 4)
(14, 2)
(2, 1)
1
O
X
1
2.1. Vector de posición de un punto
Te n e n c u e n t a
"
Dado un punto A, se llama vector de posición de A al vector OA , que
une el origen de coordenadas, (0, 0), con el punto A y tiene las mismas
coordenadas que A.
A ⫽ (5, 4)
Y
CASO I
Y
v(5, 4)
1
O
2.2. Coordenadas de un vector
X
1
Observa en la siguiente figura que el
"
vector AB se calcula restando a las coordenadas de B las de A.
Por ejemplo, si A ⫽ (2, 1) y B ⫽ (5, 3), el
vector que va de A a B es:
"
AB ⫽ (5 ⫺ 2, 3 ⫺ 1) ⫽ (3, 2)
Observa
"
El vector nulo, 0 , es aquel en el que
el extremo y el origen coinciden. Sus
"
coordenadas son 0 (0, 0).
B ⫽ (b1, b2)
Y
1
O
b2 ⫺a2
Un vector libre "
v con origen en (0, 0)
tiene las mismas coordenadas que el
punto de su extremo.
v
AB
u
A ⫽ (a1, a2)
b1 ⫺a1
X
1
"
Dados los puntos A ⫽ (a1, a2) y B ⫽ (b1, b2), las coordenadas del vector AB se
obtienen restando a las coordenadas del punto B las coordenadas del punto A.
"
AB ⫽ (b1 ⫺ a1, b2 ⫺ a2)
E J E R C I C I O S R E S U E LT O S
"
Halla las coordenadas del vector AB en
el que A ⴝ (3, 5) y B ⴝ (6, 3).
"
AB ⫽ (6 ⫺ 3, 3 ⫺ 5) ⫽ (3, ⫺2)
1
v
El vector "
v ⫽ k"
u tiene la misma
dirección que "
u . Sus coordenadas son
proporcionales.
Y
v(⫺4, 6) ⫽ (2 · (⫺2), 2 · 3) ⫽ 2u
154 UNIDAD 8
1
1
쮿 Suma de vectores
"⫽u
" ⫹"
쮿 w
v ⫽ (u1, u2) ⫹ (v1, v2) ⫽ (u1 ⫹ v1, u2 ⫹ v2)
쮿 Producto de un vector por un escalar
" ⫽ k ⭈ (u , u ) ⫽ (ku , ku )
쮿 "
v ⫽ ku
1
O
B ⫽ (6, 3)
u
2.3. Operaciones con vectores mediante
sus coordenadas
1
u(⫺2, 3)
AB
1
O
Observa
A ⫽ (3, 5)
Y
X
2
1
2
쮿 Diferencia de vectores
"⫽u
" ⫺"
" ⫹ (⫺"
쮿 w
v ⫽u
v ) ⫽ (u1, u2) ⫹ (⫺v1, ⫺v2) ⫽ (u1 ⫺ v1, u2 ⫺ v2)
X
0S4MTLA_B_2011.08
15/3/12
12:26
P gina 155
E J E R C I C I O S R E S U E LT O S
2 Dados "
u (1, 5) y "
v (3, –2), realiza estas operaciones:
a) "
u ⴙ"
v ⫽ (1, 5) ⫹ (3, ⫺2) ⫽ (1 ⫹ 3, 5 ⫹ (⫺2)) ⫽ (4, 3)
b) "
u ⴚ"
v ⫽ (1, 5) ⫺ (3, ⫺2) ⫽ (1 ⫺ 3, 5 ⫺ (⫺2)) ⫽ (⫺2, 7)
c) 5"
u ⫽ 5 ⭈ (1, 5) ⫽ (5 ⭈ 1, 5 ⭈ 5) ⫽ (5, 25)
d) ⴚ3"
v ⫽ (⫺3) ⭈ (3, ⫺2) ⫽ ((⫺3) ⭈ 3, (⫺3) ⭈ (⫺2)) ⫽ (⫺9, 6)
e) 3"
u ⴚ 5"
v ⫽ 3 ⭈ (1, 5) ⫺ 5 ⭈ (3, ⫺2) ⫽ (3, 15) ⫺ (15, ⫺10) ⫽ (⫺12, 25)
f) "
u ⴚ 0"
v ⫽ (1, 5) ⫺ 0 ⭈ (3, ⫺2) ⫽ (1, 5) ⫺ (0, 0) ⫽ (1, 5)
Actividades
쐌 Dados los puntos A(2, 3), B(4, 1), C(⫺1, 2) y D(2, 3),
halla las coordenadas del vector indicado en cada caso y
represéntalo en unos ejes de coordenadas:
"
"
"
"
"
a) AB
b) CA
c) BC
d) AD
e) DC
8
9
쐌 Halla las coordenadas de los siguientes vectores:
H
G
Y
6
D
5
4
3
2
A
1
"
d) d (⫺2, 5)
"
f) f (0, 2)
13 쐌 Determina las coordenadas de los siguientes vectores
I
B
L
F
7X
a) Su origen es el punto A(2, 5), y su extremo, B(⫺1, 3).
b) Sus coordenadas son (5, 2), y su origen, A(3, 3).
c) Sus coordenadas son (⫺3, 1), y su extremo, B(2, 0).
"
쐌 Dibuja cinco vectores equipolentes al vector AB cuyos
orígenes sean, respectivamente, los puntos C, D, E, F y G.
¿Cuáles son las coordenadas de todos estos vectores? Halla
las coordenadas de su extremo.
11
G
⫺4⫺3⫺2 ⫺1 O 1 2 3 4 5 X
F
⫺2
D
⫺3
G
D
H
"
"
"
14 쐌 Dados u (⫺2, 3), v (5, 2) y w (⫺2, ⫺4), opera:
a) "
u ⫹"
v
b) "
u ⫺"
v
"
c) "
u ⫹w
d) 3"
u
"
e) "
u ⫺w
f) 3"
u ⫺ 2"
v
"
g) "
u ⫹ 2"
v ⫺w
h) 3("
u ⫺ 2"
v)
"⫺"
i) ⫺(w
u)
15 쐌 Indica si los vectores dados en cada apartado tienen
la misma dirección. Comprueba tus respuestas representándolos gráficamente.
"
a) "
u (2, ⫺3), "
d) u (4, 6), "
v (6, ⫺9)
v (10, 15)
"
"
b) u (1, 5), "
e) u (6, 2), "
v (⫺2, ⫺10)
v (2, 1)
"
c) u (4, 7), "
v (5, 8)
C
J
Y
6
5
4
3
E F
2
C
1
K
⫺4⫺3⫺2 ⫺1 O 1 2 3 4 5 6 7 X
K
N
A B
⫺2
P O
⫺3
M
J
que verifican las condiciones indicadas en cada caso:
E
"
b) b (⫺2, ⫺3)
e indica cuáles representan el mismo vector libre:
10 쐌 Representa en unos ejes coordenados los vectores
B
que verifican las condiciones indicadas en cada caso:
a) "
c) "
e) "
a (2, 3)
c (3, 1)
e (⫺4, 0)
E
C
⫺4⫺3⫺2 ⫺1 O 1 2 3 4 5
K I
⫺2
⫺3
L ⫺4
⫺5
Y
6
5
4
3
A 2
1
12 쐌 Representa en unos ejes coordenados los vectores
"
f) u (0, 8), "
v (0, 9)
16 쐌 ¿Cómo son entre sí las coordenadas de dos vectores
equipolentes?
17
쐌 ¿Cuáles son las coordenadas del vector nulo?
18 쐌 ¿Cuáles son las coordenadas de un vector cuyo origen
es el origen de coordenadas y cuyo extremo es un punto
cualquiera, P(a1, a2)?
Geometría analítica
155
0S4MTLA_B_2011.08
14/3/12
07:43
P gina 156
3
Y
Aplicaciones de los vectores
Piensa y deduce
u(u1, u2)
¿Cuál es la longitud del vector "
u de la figura del margen? Observa que el
vector es la hipotenusa del triángulo rectángulo.
Relaciona las coordenadas de "
u con su longitud. ¿Qué relación hay si aplica-
u2
mos el teorema de Pitágoras a este triángulo rectángulo?
u1
O
X
3.1. Módulo de un vector
El módulo de un vector "
u (u1, u2) corresponde a su longitud:
"冷 兹u2 u2
冷u
1
2
E J E R C I C I O S R E S U E LT O S
3
Calcula el módulo del vector "
u (ⴚ3, 5).
"冷 冷u
兹(3)2 52 兹9 25 兹34 unidades 兹34 u
3.2. Distancia entre dos puntos
Y
Piensa y deduce
A
d
Dados A y B en el plano, ¿cuántos vectores podemos dibujar con origen o
extremo en uno de ellos? ¿Podríamos usar esos vectores para hallar la distancia
"
entre A y B? ¿Qué relación hay entre d y 冷AB 冷 ?
B
1
O
1
X
La distancia entre dos puntos A y B es la longitud del segmento que los une;
"
es decir, el módulo del vector AB .
"
d(A, B) 冷AB 冷 兹(b1 a1 )2 (b2 a2 )2
E J E R C I C I O S R E S U E LT O S
4
Calcula la distancia entre los puntos A ⴝ (4, ⴚ3) y B ⴝ (ⴚ1, 3).
"
d(A, B) 冷AB 冷 兹(1 4)2 (3 (3))2 兹(5)2 62 兹61 u
3.3. Punto medio de un segmento
Observa
Si M es el punto medio entre A y B,
entonces B es el punto simétrico de A
respecto de M.
Dado un segmento AB, con A (a1, a2) y B (b1, b2), las coordenadas del punto
medio de AB son:
M
冢
a1 b1 a2 b2
,
2
2
冣
E J E R C I C I O S R E S U E LT O S
5
Sean A ⴝ (ⴚ5, 4) y B ⴝ (ⴚ3, 2). Halla el punto medio, M.
M
156 UNIDAD 8
冢
5 (3) 4 2
8 6
,
,
(4, 3)
2
2
2 2
冣 冢
冣
0S4MTLA_B_2011.08
14/3/12
07:44
P gina 157
3.4. Relación entre las coordenadas de tres puntos
alineados
Piensa y deduce
Y
Supongamos que los puntos A (a1, a2), B (b1, b2) y C (c1, c2) están alineados
"" "
como en la figura del margen. ¿Qué tienen en común los vectores AB , AC , y BC ?
¿Qué operación nos permite obtener vectores con la misma dirección a partir
de uno dado?
B
C
A
1
O
1
X
¿Cómo son las coordenadas de los vectores que se obtienen multiplicando un
mismo vector por un escalar?
Si los puntos A (a1, a2), B (b1, b2) y C (c1, c2) están alineados, entonces sus
coordenadas cumplen estas proporciones:
b2 a2 c2 a2
b1 a1 c1 a1
b2 a2 b1 a1
c2 a2 c1 a1
Y recíprocamente, es decir, si sus coordenadas verifican estas proporciones,
los puntos están alineados.
E J E R C I C I O S R E S U E LT O S
6
Comprueba, haciendo los cálculos correspondientes, si los puntos
A ⴝ (1, 3), B ⴝ (2, 6) y C ⴝ (ⴚ1, 5) están alineados.
Hacemos las proporciones correspondientes:
b2 a2 3
b1 a1 1
c2 a2
2
c1 a1 2
3
2
1 2
Luego los puntos A, B y C no están alineados.
Actividades
19 쐌 Calcula el módulo de los siguientes vectores:
"
a) a (2, 5)
"
b) b (1, 3)
"
c) c (2, 4)
"
d) d (0, 6)
"
e) e (3, 3)
"
f) f (4, 0)
20 쐌 Halla la longitud de los vectores representados:
23 쐌 Halla en cada caso las coordenadas del punto medio
del segmento AB. Comprueba gráficamente los resultados.
a) A(1, 3), B(3, 5)
c) A(5, 0), B(2, 4)
b) A(2, 3), B(5, 1)
d) A(0, 0), B(7, 0)
24 쐌 Calcula las coordenadas del punto Q, si M es en cada
caso el punto medio del segmento PQ:
Y
6
5
4
3
2
1
a) P(3, 2), M(5, 5)
冢 2, 2 冣
b) P(5, 1), M
1 3
c) P(2, 4), M(0, 0)
冢
冣
8 5
d) P , , M(3, 2)
3 2
25 쐌쐌쐌 Demuestra que el triángulo de vértices A(2, 1),
432 1 O 1 2 3 4 5
7X
2
B(4, 2) y C(6, 2) es rectángulo. (Ayuda: un triángulo es rectángulo si sus lados cumplen el teorema de Pitágoras.)
26 쐌 ¿Cómo son los módulos de los vectores opuestos?
21 쐌 Dados los puntos A(2, 3), B(2, 3) y C(5, 1), calcula:
"
a) 冷AB 冷
"
b) 冷AC 冷
"
c) 冷BC 冷
"
d) 冷 CA 冷
22 쐌 Dados los puntos A(0, 6), B(2, 5) y C(3, 1), halla:
a) d(A, B)
b) d(A, C)
c) d(B, C)
27 쐌 Estudia si estos puntos están alineados:
a) A (1, 5), B (2, 6), C (4, 7)
b) A (6, 2), B (3, 5), C (9, 1)
28 쐌 Halla un punto alineado con A(1, 2) y B(6, 4).
Geometría analítica
157
0S4MTLA_B_2011.08
14/3/12
07:44
P gina 158
4
u
Y
Observa y resuelve
u
2u
P
1
O
Ecuaciones de la recta
Q
X
1
Todos los puntos de una recta r están alineados. Todos los vectores de r tienen
la misma dirección. Si llamamos "
u a un vector en la recta r, ¿serán vectores de
"
"
la recta los vectores 2u y u ? Si P y Q son dos puntos de la recta, ¿qué relación
"
habrá entre "
u y PQ ?
La ecuación de una recta r es una ecuación que verifican todos los puntos
de r y ninguno más.
Para determinar una recta, r, es necesario conocer:
쮿 Un punto P que pertenezca a r.
"
"
쮿 Un vector u que sea paralelo a r ( u se llama vector director o vector de
dirección de r).
u
A
r
Veamos las diferentes formas en las que se puede presentar la ecuación
de una recta.
4.1. Ecuación vectorial de una recta
Y
Tenemos una recta r de la que conocemos un punto P que pertenece a
"
ella (se escribe de la forma P 僆 r) y un vector director, u , de r. Sea X un punto
cualquiera de r.
X
PX
P
u
OX
OP
r
O
X
En la figura del margen, nos damos cuenta de que cualquier punto, X, de r
"
" "
" " "
" ; es decir, PX
verifica que PX es paralelo a u
tu . Como PX OX OP , en
" " "
función de los vectores de posición de P y X obtendremos OX OP tu
.
Para obtener los puntos de la recta hay que hacer variar el parámetro t en
todos los números reales.
Recuerda
Las coordenadas de X(x1, x2) coinciden
con las coordenadas de su vector de
"
posición OX (x1, x2).
" "
Ecuación vectorial: OX ⴝ OP ⴙ t"
u , con t 僆 ⺢
4.2. Ecuaciones paramétricas de una recta
P (2, 4)
Observa y resuelve
Y
Q
u(3, 1)
S
1
O
1
X
Tenemos una recta con vector director "
u (3, 1) que pasa por P (2, 4).
Encuentra dos puntos, Q y S, de la recta haciendo que el parámetro valga t 1
y t 2 en la ecuación vectorial. Para cada valor del parámetro t obtenemos las
coordenadas de un punto.
" " "
Cuando en la ecuación OX OP tu
sustituimos los vectores por sus
coordenadas, obtenemos esta ecuación:
(x, y) (p1, p2) t(u1, u2) & (x, y) (p1 tu1, p2 tu2)
Igualamos la x con la primera coordenada y la y con la segunda.
Ecuaciones paramétricas:
158 UNIDAD 8
x ⴝ p1 ⴙ tu1
3 con t 僆 ⺢
y ⴝ p2 ⴙ tu2
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P gina 159
E J E R C I C I O S R E S U E LT O S
7
Escribe las ecuaciones paramétricas de r, que pasa por P ⴝ (1, ⴚ2)
"
y tiene por vector director u (3, 5). Halla dos puntos más de r.
x 1 t (3)
y 2 t (5)
3&
x 1 3t
y 2 5t
3
Para t 3, x 1 9 10; y 2 15 13; obtenemos B (10, 13).
Para t 1, x 1 3 4; y 2 5 3; obtenemos C (4, 3).
4.3. Ecuación continua de una recta
Despejamos t en las dos ecuaciones paramétricas de la recta:
t
x p1
u1
t
y p2
u2
Como el valor de t tiene que ser el mismo, se igualan los valores obtenidos.
Ecuación continua:
x ⴚ p1 y ⴚ p 2
ⴝ
u1
u2
E J E R C I C I O S R E S U E LT O S
8
Halla el vector director de r y calcula dos puntos de ella.
xⴚ1
ⴝyⴙ4
3
"
Las coordenadas del vector director, u , corresponden a los denominadores
"
de las fracciones; es decir, u (u1, u2) (3, 1). Un punto por el que pasa
es P (1, 4), que hace cero los numeradores.
"
Para hallar otro punto, sumamos el vector u a las coordenadas de P:
r⬅
Q (1, 4) (3, 1) (4, 3)
Actividades
29 쐌 Calcula la ecuación vectorial de cada recta:
a) A(1, 3), "
u (2, 1)
b) A(2, 5), "
u (3, 6)
c) A(0, 0), "
u (2, 4)
"
d) A(1, 0), u (3, 0)
30 쐌 Determina en cada caso las ecuaciones paramétricas
de la recta que pasa por A y tiene la dirección de "
v:
"
"
c) A(2, 1), v (3, 0)
a) A(2, 3), v (4, 1)
b) A(3, 1), "
v (2, 7)
d) A(6, 8), "
v (1, 5)
31 쐌 Halla las ecuaciones continua y vectorial de las rectas
33 쐌 Las siguientes ecuaciones están en forma continua.
¿Qué número divide a los miembros de la igualdad? Indica
un vector director.
a) x 3 b) x b)
x 1
y 4t
冧
c)
x2 y3
2
5
2
x1
y6
2
d) x 8 y 4
una recta en forma continua. En caso contrario, escríbelas
en forma continua.
a)
estas rectas. Indica un punto y un vector director.
"
a) OX (2, 1) t(1, 3)
y
c)
34 쐌 Indica, razonadamente, si estas son ecuaciones de
del ejercicio anterior.
32 쐌 Estudia si P(1, 0), Q(3, 2) y O(0, 0) están en alguna de
y2
2
b)
x5 y2
3
1
x 1 3y 2
2
3
5
c)
d)
2x 3 y 1
2
5
x5 y1
1
2
3
5
Geometría analítica
159
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P gina 160
4.4. Ecuación general o implícita de una recta
Como la ecuación continua de la recta nos muestra una igualdad entre
dos fracciones, sus productos cruzados son iguales. Al realizar la operación
obtenemos la siguiente expresión:
u2(x p1) u1(y p2) & u2 x u2 p1 u1 y u1 p2 &
& u2 x u1 y u2 p1 u1 p2 & u2 x u1 y (u2 p1 u1 p2) 0
Llamamos:
쮿 A al coeficiente de x: A u2
쮿 B al coeficiente de y: B u1
쮿 C al término independiente: C u1 p2 u2 p1
Ecuación general o implícita: Ax ⴙ By ⴙ C ⴝ 0
Es importante poder encontrar lo más fácilmente posible las coordenadas
del vector director de una recta a partir de cualquier ecuación.
En las ecuaciones vectorial, paramétricas y continua, las coordenadas del
vector director se identifican a primera vista, pero no ocurre lo mismo en el
caso de la ecuación implícita.
El vector director de la ecuación implícita Ax By C 0 es:
" (B, A)
u
E J E R C I C I O S R E S U E LT O S
9
Determina la ecuación general de la recta r que pasa por el punto
"
P ⴝ (3, 0) y cuyo vector director es v ⴝ (ⴚ1, 2). Represéntala.
"
Como el vector director es u (1, 2) (B, A), entonces los coeficientes
A y B de la ecuación general son:
1 B & B 1; A 2
Sustituimos A y B en la ecuación general:
2x 1y C 0
Y
1
O
Si pasa por el punto P (3, 0), sus coordenadas deben verificar la ecuación.
Para ello, sustituimos, en la ecuación, x e y por las coordenadas de P
y obtenemos:
r
2 3 1 0 C 0 & 6 0 C 0 & C 6
v(1, 2)
1 P(3, 0)
X
La ecuación general de la recta que buscamos es:
2x y 6 0
La representación de la recta es la que ves en la figura del margen.
10
Encuentra un punto y el vector director de la recta cuya ecuación
general es 3x ⴚ 2y ⴙ 1 ⴝ 0.
A partir de los coeficientes de la ecuación calculamos el vector director
de la recta:
A 3; B 2 & "
u (B, A) ((2), 3) (2, 3)
Para calcular un punto de la recta, damos un valor cualquiera a x y calculamos
la variable y. Elegimos x 1 y sustituimos en la ecuación:
3 1 2y 1 0 & 2y 1 3 & 2y 4 & y 2
La recta pasa por el punto P (1, 2).
160 UNIDAD 8
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P gina 161
Actividades
4.5. Ecuación explícita de una recta
35 쐌 Escribe las ecuaciones implí-
cita y explícita de estas rectas:
Piensa y deduce
En las ecuaciones de rectas que manejamos en 3.° de ESO, aparece la coordenada y despejada en un miembro de la ecuación. ¿Cómo podemos pasar de la
ecuación general a una ecuación como las del curso pasado? Recuerda que no
se puede dividir entre cero. ¿Se puede despejar y en cualquier ecuación general?
a)
x3 y4
x5 y2
d)
2
3
3
4
b)
x1 y3
x
e) y 1
2
5
3
Si B 0, podemos despejar y en la ecuación general de la recta y obtenemos
esta otra ecuación:
c)
y3
x4 y1
f) x 5 2
3
1
A
C
y x
B
B
cita y explícita de las rectas que
cumplen lo siguiente:
a) Pasa por A(3, 6) y su vector
"
director es u (2, 1).
Ecuación explícita: y ⴝ mx ⴙ n
Recuerda que en la recta y mx n, el parámetro m es la pendiente y n
es la ordenada en el origen (el punto de corte de la recta con el eje Y).
A partir de la pendiente de una recta, podemos encontrar un vector
"
director de la misma: u (u1, u2) (B, A).
u2
u2
A
m u1 u1
B
c) Pasa por A(0, 5), y su pendiente
es m 3.
d) Sus ecuaciones paramétricas son
u(
u1
u2
m
u
1
X
a) A(2, 5)
d) D(1, 4)
b) B(1, 1)
e) E(3, 6)
c) C(1, 4)
f) F(5, 11)
38 쐌 Estudia si A(1, 0), B(2, 6),
C
La pendiente, m, es el cociente entre la segunda y la primera coordenada
del vector director de la recta.
Piensa y deduce
Para calcular la pendiente hay que hacer un cociente. ¿Qué ocurre si la primera
coordenada del vector director, u1, es 0? ¿Es posible en ese caso encontrar
la ecuación explícita de la recta? ¿Cómo son los vectores cuya primera coordenada es cero? ¿Qué rectas no tiene ecuación explícita?
E J E R C I C I O S R E S U E LT O S
11
Encuentra la ecuación explícita de una recta r que pasa por el punto
P ⴝ (2, ⴚ1) y tiene por vector director "
u (5, 2).
u2 2
2
Como m , la ecuación es y x n.
u1 5
5
La recta pasa por P, luego, para hallar el valor de n, sustituimos las
coordenadas de P en la ecuación:
9
2
Por tanto, r: y x 5
5
y 6 t
37 쐌 Di si estos puntos pertenecen
u2
O
1 x 5 2t
a la recta 5x 2y 3 0:
u 2)
u 1,
P
b) Pasa por A(2, 1) y B(5, 4).
)
Y
r
36 쐌 Determina las ecuaciones implí-
2
4
9
2 n & n 1 5
5
5
冢3, 2 冣 冢1, 3 冣
1
yD
1
pertene-
cen a cada una de estas rectas:
a) 2x 3y 1 0 c) 7x 5y 7 0
b) y 5x 4
x
d) y 2
2
39 쐌 Calcula tres puntos de cada
una de las siguientes rectas:
a) 2x y 5 0 c) x 7y 2 0
b) y x 2
d) y x3
2
40 쐌 Escribe un punto y un vector
de estas rectas:
a) 2xy20 d) 3xy0
b) 2x4y50 e) x 2y 4 0
c) xy 10
f) 2x3y10
41 쐌 Determina la pendiente de las
siguientes rectas:
a) y 3x 1
c) y 2x 1 0
b) y x 5
d) 2x y 1
Geometría analítica
161
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P gina 162
4.6. Ecuación punto-pendiente de una recta
Observa y resuelve
A partir de la pendiente de una recta podemos encontrar sin dificultad su vector
director. Pero si conocemos el vector director, ¿podemos encontrar siempre la
pendiente de la recta? ¿Con qué vectores no se puede?
Escribe la pendiente de la recta que tiene por vector director "
u (3, 1). Encuentra
un vector director de la recta cuya pendiente es m 2.
Para obtener la ecuación de la recta en la que aparecen el punto por el que
pasa y su pendiente, volvemos a la ecuación continua de la recta:
x p1 y p2
u2
u2
& y p2 (x p1), pero m
u1
u2
u1
u1
Ecuación punto-pendiente: y ⴚ p2 ⴝ m (x ⴚ p1)
E J E R C I C I O S R E S U E LT O S
12 Escribe la ecuación punto-pendiente de una recta que pasa por
P ⴝ (ⴚ1, 4) y tiene por vector director "
u (2, ⴚ6).
m
6
3 & y 4 (3) (x (1)) & y 4 (3) (x 1)
2
13
Identifica la pendiente, un vector director y un punto por el que pasa
la siguiente recta:
4
y ⴙ 2 ⴝ (x ⴚ 1)
3
4
Punto: P (1, 2); pendiente: m ; vector director: "
u (3, 4).
3
4.7. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
Piensa y deduce
¿Cuántas rectas pasan por dos puntos? Dados dos puntos P y Q de la siguiente
figura, encuentra un vector que tenga la misma dirección que la recta que los
une.
Y
Q(4, 3)
PQ
P(1, 1)
1
O
1
X
"
Calcula las coordenadas del vector PQ . A partir de ellas halla la pendiente de la
recta. Escribe la ecuación punto-pendiente de la recta r que pasa por P y tiene
"
por vector director PQ . Escribe la ecuación de la recta s que pasa por Q con
"
vector director PQ . ¿Cómo son r y s? ¿Podemos encontrar la ecuación de una
recta si nos dan dos puntos por los que pasa?
162 UNIDAD 8
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P gina 163
Dada una recta, r, que pasa por P (p1, p2) y Q (q1, q2), y tiene por vector
"
director PQ (q1 p1, q2 p2). Calculamos la pendiente de r y escribimos la
ecuación punto-pendiente con uno de los puntos.
Y
q 2 p2
m q
p
1
r
1
Q(q1, q2)
q2 p2
PQ
P(p1, p2)
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos:
q1 p1
q2 ⴚ p2
(x ⴚ p1)
y ⴚ p2 ⴝ
q1 ⴚ p1
O
X
E J E R C I C I O S R E S U E LT O S
14
Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos P ⴝ (2, ⴚ3)
y Q ⴝ (1, 6).
y (3) 6 (3)
(x 2) & y 3 9(x 2)
12
15
Representa la recta que pasa por los puntos P ⴝ (ⴚ1, 2) y Q ⴝ (0, 3).
Encuentra su ecuación.
Y
Q (0, 3)
Para representarla dibujamos los dos puntos y la recta que pasa por ellos.
Puedes ver la representación en el margen.
Su ecuación es y 3 P (1, 2)
32
(x 0) & y 3 1 x & y 3 x.
0 (1)
1
r
16
Escribe la ecuación de la recta que pasa por los puntos P ⴝ (1, 4)
y Q ⴝ (ⴚ2, 4).
y4
O
1
X
44
(x 1) & y 4 0 & y 4
2 1
Actividades
42 쐌 Escribe las ecuaciones punto-pendiente de cada una
46 쐌쐌 Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los
puntos P (1, 2) y Q (3, 2).
de estas rectas:
"
"
a) (A, u ), donde A(2, 1) y u (3, 2).
47 쐌쐌 Los vértices de un cuadrilátero son los puntos P (1, 4),
b) Pasa por P(5, 3) y Q(2, 8).
Q (3, 6), R (7, 1) y S (5, 1).
c) Pasa por A(0, 0) y tiene por pendiente m 5/2.
a) Halla las ecuaciones de sus lados.
""" "
b) Halla los vectores, PQ , PS , SR y QR . ¿Cómo son? ¿Qué
cuadrilátero es?
d) Pasa por A(2, 1) y B(3, 2).
43 쐌 Escribe todas las formas de la ecuación de la recta que
"
pasa por P (7, 0) y tiene vector de dirección u (5, 2).
44 쐌 Representa la recta que pasa por P (4, 2) y tiene
pendiente m 3. Halla su ecuación y otro punto de la recta.
Represéntala.
45 쐌 Halla la ecuación punto-pendiente estas rectas:
48 쐌쐌 Estudia si P (2, 4), Q (4, 3) y R (1, 1) están
alineados. Si no lo están, halla las ecuaciones de los lados
del triángulo que forman.
49 쐌쐌 Determina la ecuación de la altura sobre el lado
desigual del siguiente triángulo isósceles.
Y
Y
r
P(2, 4)
Q(3, 3)
t
1
1
s
O
O
1
X
1
X
R(3, 1)
Geometría analítica
163
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P gina 164
5
Incidencia y paralelismo de rectas
5.1. Posiciones relativas de dos rectas
Observa estas figuras y piensa en la relación entre sus posiciones relativas
y los vectores dibujados.
Y
P
r
s
r
Q
u
P
Y
Q’
v
w
v
P’
Y
Q
u
Q’
s
P’
w
v
Q’
P
O
O
X
fig. I
P’
Q
s
X
r
fig. II
u
O
X
fig. III
La siguiente tabla nos presenta las posiciones relativas de dos rectas, r y
s, y su relación con los vectores directores y los coeficientes de las ecuaciones de las rectas. El símbolo ⬔ entre dos vectores quiere decir que no son
paralelos, y el símbolo 冩, que sí lo son.
figura I
figura II
figura III
Posición relativa
Rectas secantes.
Rectas paralelas y distintas.
Rectas coincidentes
Puntos en común
Tienen un punto en común.
"
u (u , u ) ⬔ "
v (v , v )
No tienen ningún punto en común.
Tienen infinitos puntos en común.
"
" (w , w )
u (u1, u2) 冩 "
v (v1, v2) ⬔ w
1
2
"
" (w , w )
u (u1, u2) 冩 "
v (v1, v2) 冩 w
1
2
Vectores
1
2
1
Coordenadas de los
vectores
v 1 v2
u1 u2
Coeficientes de la ecuación
implícita. "
u (ⴚB, A)
B A
B' A'
Pendientes
m m’
2
v 1 v2
u1 u2
B A
C
B' A' C '
B A
C
B' A' C '
m m’
Cada recta tiene una ecuación que verifican todos sus puntos. Encontrar
los puntos de corte de dos rectas es hallar los puntos que verifican a la vez
las dos ecuaciones. Para ello, se resuelve el sistema formado por las dos
ecuaciones.
Dadas las rectas r: Ax By C 0 y s: A'x B'y C' 0, para calcular
sus puntos de corte se resuelve un sistema formado por sus dos ecuaciones:
)
Ax By C 0
A'x B'y C' 0
La siguiente tabla relaciona el tipo de sistema de ecuaciones y la posición
relativa de las rectas.
Tipo de sistema
de ecuaciones
Sistema compatible
determinado.
Sistema compatible
indeterminado.
Sistema
incompatible.
Número
de soluciones
Una única solución.
Infinitas soluciones.
No hay solución.
Posición relativa
de las rectas
Rectas secantes.
Rectas paralelas
y coincidentes.
Rectas paralelas
y distintas.
Representación
gráfica de las rectas
164 UNIDAD 8
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07:53
P gina 165
E J E R C I C I O S R E S U E LT O S
17
Estudia la posición relativa de r y s y calcula el punto de corte.
Y
xⴚ1 y
s:
ⴝ
2
4
xⴝ1ⴙt
r: (
r: y ⴝ 2 ⴚ 2t
(1, 2)
1 ⫺2
"
vr ⫽ (1, ⫺2) y "
vs ⫽ (2, 4). Como ⫽
, las coordenadas no son
2
4
proporcionales y, por tanto, r y s son secantes. Calculamos las ecuaciones
punto-pendiente de r y s y determinamos el punto de corte.
r: y ⫺ 2 ⫽ ⫺2(x ⫺ 1)
vs (2, 4)
r
(1,5, 1)
1
vr (1, ⫺2)
(1, 0)
O
s 1
s: y ⫽ 2(x ⫺ 1)
X
Y
3
3
y ⫽ ⫺2x ⫹ 4
(
& x ⫽ , y ⫽ 1 & Punto de corte: P ⫽ , 1
2
2
y ⫽ 2x ⫺ 2
冢 冣
1
O
18
Estudia la posición relativa de r: y ⴝ 2x ⴚ 3 y s: 4x ⴚ 2y ⴙ 3 ⴝ 0.
Pasamos r a forma general: 2x ⫺ y ⫺ 3 ⫽ 0.
s
4 ⫺2
3
⫽
⫽
& Por tanto, las rectas son paralelas y distintas.
2 ⫺1 ⫺3
1
X
1
X
r
Y
r
s
19
Indica la posición relativa de r: 6x ⴚ 4y ⴙ 12 ⴝ 0 y s: 3x ⴚ 2y ⴙ 6 ⴝ 0.
1
6 ⫺4 12
⫽
⫽
& Por lo tanto, rectas son paralelas y coincidentes.
3 ⫺2
6
O
Actividades
50 쐌 Estudia la posición relativa de r y s:
52 쐌쐌 Calcula el valor de a para que las rectas, r y s, que se
a) r: (x, y) ⫽ (2, 5) ⫹ (⫺1, 3)t, s: (x, y) ⫽ (⫺1, 3) ⫹ (2, 6)t
b) r:
c)
x⫺4 y⫹3
x⫺1 y⫹5
⫽
, s:
⫽
⫺2
3
6
⫺4
r:
x ⫽ 3 ⫺ 2t
y ⫽ ⫺1 ⫹ t
冧
s:
x ⫽ 4t
y ⫽ 2 ⫺ 2t
冧
1
d) r: y ⫽ ⫺3x ⫺ 2, s: y ⫽ x ⫹ 1
3
e) r: ⫺x ⫹ 3y ⫹ 1 ⫽ 0, s: 2x ⫺ 6y ⫹ 4 ⫽ 0
x ⫽ 3 ⫺ 3t
s:
y ⫽ 5 ⫺ 5t
冧
冧
51 쐌 Comprueba que r y s tienen la misma dirección. Di,
después, si ambas rectas son coincidentes.
r:
x ⫽ 2 ⫹ 5t
y ⫽ ⫺3 ⫺ 2t
冧
s:
x ⫽ 7 ⫹ 5t
y ⫽ ⫺1 ⫺ 2t
b) r: y ⫽ 3x ⫹ 2, s: y ⫽ 3x ⫺ 5
c) r: 2x ⫺ y ⫹ 4 ⫽ 0, s: ⫺4x ⫹ 2y ⫺ 8 ⫽ 0
d) r: 2x ⫺ y ⫹ 1 ⫽ 0, s: 4x ⫺ 2y ⫹ 3 ⫽ 0
b) r: y ⫽ 3x ⫺ 6
s: y ⫽ ax ⫹ 5
d) r: y ⫺ 5 ⫽ 4(x ⫹ 1)
s: y ⫺ 2 ⫽ a(x ⫺ 2)
54 쐌 Encuentra la recta paralela a r:
2
1
i) r: y ⫽ x ⫹ 5, s: y ⫽ x ⫺ 3
2
4
a)
c) r:
recta que pasa por P ⫽ (0, 3) y Q ⫽ (2, 9).
x⫹7 y⫺2
x⫹7 y⫺2
g) r:
⫽
, s:
⫽
⫺1
5
⫺5
1
x ⫽ ⫺1 ⫹ 3t
r:
y ⫽ 2 ⫺ 5t
x⫺1 y⫹3
⫽
2
⫺6
x y⫺6
s: ⫽
a
12
a) r: 3x ⫺ 2y ⫹ 4 ⫽ 0
s: 12x ⫹ ay ⫹ 3 ⫽ 0
53 쐌 Estudia la posición relativa de r: 3x ⫺ y ⫹ 3 ⫽ 0 y la
f) r: 3x ⫹ 2y ⫺ 3 ⫽ 0, s: 2x ⫺ 5y ⫹ 1 ⫽ 0
h)
indican en cada uno de los siguientes apartados tengan la
misma dirección:
冧
pasa por P ⫽ (1, ⫺1).
1
x ⫺ y ⫹ 5 ⫽ 0 que
2
55 쐌
Estudia, mentalmente, si las rectas r y s son
secantes o paralelas:
"
a) r: A(⫺1, 2), "
u (3, 5) y s: B(2, 3), v (1, 2)
"
b) r: A(5, 4), "
u (⫺2, 1) y s: B(3, ⫺3), v (4, ⫺2)
"
c) r: A(6, 2), "
u (7, ⫺1) y s: B(3, 1), v (2, 1)
"
d) r: A(1, ⫺3), "
u (5, 4) y s: B(⫺2, 8), v (4, 5)
56 쐌 Si la pendiente de una recta es m ⫽ 1/2 y el vector
director de otra es "
u ⫽ (⫺4, ⫺2), ¿cuál puede ser la posición
relativa de ambas? ¿Y si la pendiente de una es m ⫽ 1/2 y el
vector director de la otra es "
u ⫽ (1, 2)?
Geometría analítica
165
0S4MTLA_B_2011.08
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07:45
P gina 166
Estrategias para resolver problemas
Interpretar expresiones algebraicas
desde el punto de vista geométrico
Problema
Podemos
Una forma
trabajar
de resolver
solo un
con
problema
vectores
es ybuscar
sus todos
propiedades
los casosgeométricas
posibles.
para encontrar ecuaciones
de rectas o coordenadas
de puntos.
Dados tres puntos no alineados en el plano, P ⴝ (1, 1), Q ⴝ (2, 3) y R ⴝ (ⴚ1, 4),
encuentra los tres paralelogramos que tienen dichos puntos como vértices.
Resolución
Los paralelogramos tienen los lados paralelos dos a dos y de la misma longitud,
luego los vectores que podemos formar con origen y extremo en sus vértices son
iguales dos a dos.
쮿 En el paralelogramo PQRS el punto S tiene coordenadas (a, b).
" "
"
QP RS (1, 2); RS (a 1, b 4) (1, 2)
Y
S’
a 2, b 2 & S (2, 2)
R
쮿 En el paralelogramo PQRS’ el punto S’ tiene coordenadas (a, b).
" "
"
PR QS' (2, 3); QS' (a 2, b 3) (2, 3)
Q
S
1
P
O
a 0, b 6 & S’ (0, 6)
S’’
쮿 En el paralelogramo PQRS’’ el punto S’’ tiene coordenadas (a, b).
" "
"
RQ PS'' (3, 1); PS'' (a 1, b 1) (3, 1)
X
1
a 4, b 0 & S’’ (4, 0)
Problema
Y
r
Encuentra el vector director de la recta bisectriz (figura del margen) de las
siguientes rectas: r: 4x ⴚ 3y ⴚ 1 ⴝ 0 y s: y ⴝ 1.
s
1
O
Resolución
Vector director de r: "
u (3, 4); vector director de s: "
v (1, 0).
"
"
"
Encontramos vectores paralelos a u y v con módulo 1 (v ya tiene módulo 1).
"
"
"
Sea u el vector de módulo 1 con la misma dirección que u . El vector u' se obtiene
"冷 5. Es decir, "
al dividir cada coordenada de "
u entre 冷u
u' (3/5, 4/5).
X
1
Y
r
bis
ec t
riz
uv
u
s
1
Como ves al margen, el vector suma, que es la diagonal del paralelogramo de
" "
lados u' y v , divide el ángulo por la mitad porque los lados miden lo mismo.
v
O
冢
冣 冢 冣
3
4
8 4
El vector de dirección de la bisectriz es: "
u' "
v 1, 0 ,
5
5
5 5
X
1
Otros problemas
1 쐌쐌쐌 Halla, usando
vectores, las coordenadas de los vértices de
PQR de la figura sabiendo que es semejante
al triángulo PQ’R’ con
razón r 3.
Y
Q
R’(1, 3)
1
O
166 UNIDAD 8
쐌쐌 Halla un vector
de dirección de la bisectriz de las rectas r
y s representada en rojo
en la figura de la derecha.
Q’(3, 2)
P(1, 1)
1
Y
2
R
s
v(2, 2)
r
u(4, 1)
1
O
X
1
bisectriz
X
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07:45
P gina 167
Ejercicios y problemas
Vectores en el plano. Operaciones
1 쐌 Dados los siguientes vectores:
6 쐌 Realiza gráficamente las operaciones indicadas en cada
uno de los apartados:
b
a
c
b
c
a
d
f
d
"
"
a) a 2 b
e
a) Indica cuáles de ellos representan el mismo vector libre;
es decir, son equipolentes.
" "
b) 3 c d
c)
1" "
b c
2
"
"
b
d) 2 c 3b
7 쐌쐌 Teniendo en cuenta que el hexágono de la figura es
regular, dibuja y nombra los vectores que resultan al realizar
las siguientes operaciones:
v
w
b) ¿Cuáles son opuestos?
u
c) ¿Cuáles tienen el mismo módulo y distinta dirección?
z
x
y
d) ¿Cuáles tienen la misma dirección y distinto sentido?
tores que tienen origen en un vértice cualquiera y extremo
en otro vértice distinto. ¿Es posible encontrar dos vectores
que sean equipolentes?
" "
a) u v
" " "
b) u w y
" "
c) v z
3 쐌 Forma, con los puntos de la figura, un vector que cumpla
8 쐌 Expresa los resultados de las operaciones indicadas con
lo que se indica en cada apartado:
algún vector de la siguiente figura:
2 쐌 En un pentágono regular se consideran todos los vec-
B
" "
d) 2 y x
" " " "
e) u v w x
"
" "
f) z 3 x y
C
b
D
A
c
g
a
h
d
H
i
E
f
G
F
"
a) Equipolente al vector AB .
"
b) Representa el mismo vector libre que el vector HC .
c) Tiene el mismo módulo, la misma dirección y el mismo
"
sentido que CB .
d) Representa al vector libre opuesto al vector libre repre"
sentado por GH .
e) Tiene el mismo módulo, la misma dirección y sentido
"
contrario al ED .
e
"
a) "
a b
"
b) "
a b "
c
"
5 쐌 ¿Son equipolentes los vectores "
AB y BA ? Razona tu
respuesta.
"
"
e) "
a b "
c d "
e
"
f) f "
e
9 쐌쐌 Indica en cada apartado cuál de las dos representaciones gráficas es la correcta:
" " "
a) a b c
I
I
a
4 쐌 Dibuja un rombo, nombra sus vértices consecutivos con
las letras A, B, C y D y traza los siguientes vectores:
" "
" "
a) AB BC
c) CB DC
" "
" "
b) AB DC
d) 2DB BA
" "
c) h i
" "
d) i d
u
b
w
v
c
" " "
b) u v w
II
II
a
b
c
u
w
v
Geometría analítica
167
0S4MTLA_B_2011.08
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07:46
P gina 168
Ejercicios y problemas
10 쐌쐌 Dibuja sobre una cuadrícula cuatro vectores cuya
17 쐌 Dado "
u (2, 1), calcula en cada caso las coorde-
suma sea el vector nulo.
nadas de dos vectores que cumplen lo que se indica en los
siguientes apartados:
"
a) Tienen la misma dirección y sentido que u .
"
b) Tienen la misma dirección y distinto sentido que u .
"
c) Tienen distinta dirección que u .
11 쐌쐌 Traza sobre una cuadrícula dos vectores cuya suma
sea el vector nulo.
12 쐌쐌 Razona si las siguientes afirmaciones son verdaderas
o falsas:
a) Si dos vectores tienen la misma dirección y el mismo
sentido, el módulo de la suma es igual a la suma de los
módulos.
b) No es posible que la suma de dos vectores sea el vector
nulo.
c) El producto de un número por un vector, "
u , es otro vector
que tiene la misma dirección y el mismo sentido que el
vector inicial "
u.
d) Es posible que la diferencia de dos vectores con distinta
dirección sea el vector nulo.
Coordenadas de un vector. Operaciones
13 쐌 Dados los puntos A(3, 1), B(5, 4), C(2, 3) y D(3, 3),
calcula las coordenadas de los siguientes vectores y
represéntalos en unos ejes coordenados:
"
"
"
"
"
a) AB
b) AC
c) BC
d) CB
e) DA
14 쐌 Determina las coordenadas de estos vectores:
c
b
a
Y
6
5
4
3
2
1
5432 1 O 1 e
2
3
d
21 쐌 Facilitados los siguientes puntos A(2, 5), B(1, 3) y
f
3 4
4X
a) ¿Cómo son las coordenadas de los que tienen la misma
dirección y el mismo sentido?
b) ¿Cómo son las coordenadas de los que tienen la misma
dirección y distinto sentido?
"
a (2, 1), b (4, 2),
16 쐌 Dados los siguientes vectores: "
1 "
"
c 1, , d (2, 1), "
e (10, 5). Indica cuáles cumplen
2
lo que se indica en cada apartado:
冣
a) Tienen la misma dirección y el mismo sentido.
b) Tienen la misma dirección y distinto sentido.
168 UNIDAD 8
siguientes vectores tengan la misma dirección:
"
"
a) u (1, 6), v (6, x)
"
"
b) u (4, 2), v (x, 1)
"
"
c) u (15, x), v (6, 4)
"
"
d) u (x, 8), v (16, 1)
"
unos ejes coordenados el vector PQ y dibuja cuatro vectores
"
equipolentes a PQ cuyos orígenes sean A(1, 1), B(0, 0),
C(5, 3) y D(0, 4).
"
"
"
a (2, 3), b (4, 6), "
c (1, 5), d (8, 12), "
e (2, 3)
"
y f (8, 12) y contesta las siguientes preguntas:
c) Tienen distinta dirección.
19 쐌 Determina en cada caso el valor de x para que los
20 쐌 Dados los puntos P(4, 1) y Q(3, 2), representa en
15 쐌 Representa en unos ejes de coordenadas los vectores
冢
18 쐌 Calcula en cada uno de los apartados el valor de x
para que los siguientes pares de vectores tengan la misma
dirección:
"
"
a) a (2, 3) y b (6, x)
"
"
b) c (3, 5) y d (9, x)
"
"
c) v (0, 1) y u (x, 5)
"
"
d) m(5, 2) y n (x, 1)
C(3, 6), calcula las coordenadas del punto P para que los
pares de vectores indicados en cada uno de los apartados
sean equipolentes:
" "
a) AB y CP
" "
b) BC y AP
" "
c) CA y BP
" "
d) AC y PB
22 쐌 Calcula lo que se indica en cada uno de los siguientes
apartados:
"
a) A si AB (7, 4) y B(5, 3).
"
b) B si AB (2, 1) y A(3, 2).
" "
"
c) AB si AB es equipolente al vector CD (6, 1).
"
"
d) B si A(2, 0) y AB es equipolente a CB (4, 4).
"
"
e) A si B(3, 2) y AB es equipolente a CD (1, 1).
"
"
f) B si A(0, 0) y AB es equipolente a CD (4, 2).
"
"
g) A si B(1, 1) y BA es equipolente a 0 .
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P gina 169
Ejercicios y problemas
", calcula las coordenadas
u,"
v yw
23 쐌 Dados los vectores "
de los vectores resultantes de las operaciones indicadas y
comprueba los resultados gráficamente:
Y
4
3
v
2
1
u
2 1O
w
2 3 4 5X
29 쐌쐌 Calcula en cada caso los valores de x para que el
"
módulo del vector u sea el indicado:
"
"
a) u (2, x), 冷u 冷 5 u
"
"
b) u (x, 3), 冷u 冷 兹13 u
"
"
c) u (20, x), 冷u 冷 841 u
"
"
d) u (x, 0), 冷u 冷 3 u
30 쐌 Calcula la distancia de los puntos A, B, C, D y E al
punto P(3, 1):
1 " 1"
d) u v
2
2
"
"
"
e) w 2 u v
" "
f) 2( v w )
a) "
u "
v
" "
b) v w
"
"
c) 2 u 3 v
冢
冣
A
冢
冣
1
2
u 5, , "
v 2, 24 쐌 Dados los vectores "
y
3
3
"
w (2, 6), calcula:
" "
"
"
" " "
a) u v
d) 3 v 2 u
g) u v w
" "
" " "
"
" "
b) v u
e) u v w
h) 3 u 2 v w
"
" "
" "
"
c) 5 u
f) 2( u v )
i) 5( u v ) 2 w
25 쐌쐌 Estudia en cada caso si uniendo consecutivamente
los puntos A, B, C y D se forma un paralelogramo:
b) A(3, 2), B(1, 4), C(2, 2), D(1, 1)
26 쐌쐌 Determina en cada uno de los siguientes apartados
las coordenadas del punto D de forma que los puntos
A(2, 2), B(3, 2), C(1, 4) y D, determinen los vértices de
un paralelogramo.
E
3
4
31 쐌쐌 Calcula en cada caso los valores de x para que la distancia entre los puntos A y B sea la indicada:
a) A(2, 5), B(x, 1), d(A, B) 5 u
32 쐌쐌쐌 Demuestra que los puntos A(2, 3), B(5, 0) y C(1, 0)
pertenecen a una circunferencia de centro P(2, 0) y determina
el radio de dicha circunferencia.
33 쐌쐌 Calcula en cada caso las coordenadas del punto
medio del segmento AB:
a) A(1, 3), B(3, 5)
b) El vértice D es el opuesto del vértice C.
b) A(2, 8), B(1, 5)
c) A(7, 1), B(2, 7)
Problemas de geometría analítica
"
"
a , b,"
c y d de la
27 쐌 Calcula el módulo de los vectores "
siguiente figura:
c
d) A(7, 1), B(2, 7)
34 쐌쐌 Representa gráficamente el paralelogramo cuyos
vértices consecutivos son A(2, 0), B(1, 4), C(3, 2) y
D(2, 2). Calcula su perímetro.
35 쐌쐌 Dado el triángulo de vértices A(1, 3), B(2, 1)
d
32 1O
3 4X
D
a) El vértice D es el opuesto del vértice B.
a
2
5432 1 O 1
b) A(8, x), B(4, 5), d(A, B) 13 u
a) A(2, 1), B(4, 2), C(0, 1), D(2, 2)
Y
4
3
2
1
Y
5
4
B
3
2
1 C
2 3 4 5X
b
y C(2, 1), calcula:
a) Las coordenadas de los vértices del triángulo que se forma
al unir los puntos medios de los lados del triángulo ABC.
b) La longitud de los lados de los dos triángulos.
28 쐌쐌 Calcula el módulo de las siguientes expresiones si
冢 冣
" 1 3 :
sabemos que "
u (3, 6), "
v (2, 3) y w
,
2 5
"
a) "
u "
v
c) "
u "
v w
b) 2"
u "
v
"
d) w
36 쐌쐌 Comprueba que las diagonales del paralelogramo
cuyos vértices consecutivos son A(3, 1), B(4, 1),
C(0, 2) y D(1, 0) se cortan en sus puntos medios.
37 쐌쐌 Si A(2, 3), B(3, 1) y C(5, 4) son tres vértices
consecutivos de un paralelogramo, calcula las coordenadas
del cuarto vértice.
Geometría analítica
169
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07:46
P gina 170
Ejercicios y problemas
38 쐌 Escribe las coordenadas de los puntos que dividen
estos segmentos en otros dos iguales:
Y
5
4
3
2
1
III
II
I
5432 1 O 1 2 3 4 5 6 X
IV
2
3
4
Ecuaciones de la recta
48 쐌 Escribe de todas las formas posibles la ecuación de la
recta que tiene la determinación lineal que se indica en
cada apartado:
a) A(3, 1), "
c) A(0, 3), "
u (1,2)
u (5, 1)
b) A(2, 3), "
u (6, 3)
"
d) A(0, 0), u (1, 4)
49 쐌 Expresa cada una de las siguientes ecuaciones de
todas las formas posibles:
a) x 3 t
y 2 2t
冧
b) y 5x 1
39 쐌 Comprueba en cada caso si el triángulo ABC es
x1 y3
2
5
rectángulo. Calcula su perímetro y su área.
c)
a) A(4, 3), B(2, 2), C(5, 3)
d) y 5 2(x 1)
b) A(0, 2), B(4, 6), C(7, 5)
50 쐌 Determina un punto, un vector y la pendiente de
40 쐌쐌 Halla las coordenadas de M si el punto simétrico de
A(5, 2) respecto de M es B(3, 4).
a) y 5x 2
d) (x, y) (3, 0) (0, 2)t
41 쐌쐌 Dados los puntos A(1, 2) y B(2, 1), halla las
b) 3x 2y 5 0
2
e) y 1 (x 3)
5
b) De B respecto de A.
c) x 3 2t
y2t
f)
42 쐌쐌 Determina en cada caso si el triángulo ABC es
51 쐌 Encuentra tres puntos, un vector y la pendiente de las
equilátero, isósceles o escaleno:
siguientes rectas y después escribe sus ecuaciones:
a) A(3, 2), B(3, 2), C(5, 5)
a) El eje de abscisas.
b) A(1, 3), B(6, 8), C(2, 4)
b) El eje de ordenadas.
c) A(3, 0), B(3, 0), C(0, 兹27)
c) La bisectriz del primer cuadrante.
43 쐌쐌쐌 Consideremos el cuadrilátero cuyos vértices
d) La bisectriz del segundo cuadrante.
coordenadas del punto simétrico:
a) De A respecto de B.
cada una de las rectas:
冧
x3 y1
2
1
a) ¿Qué clase de cuadrilátero es?
52 쐌 Estudia cuáles de las siguientes rectas tienen la misma
pendiente:
b) Calcula las longitudes de sus lados y de sus diagonales.
a) 3x 2y 4 0
d) 3x 2y 5 0
b) 3x 2y 3 0
e) 6x 4y 1 0
6
c) y x 5
4
3
f) y x 2
2
consecutivos son A(4, 4), B(1, 9), C(2, 2) y D(3, 3):
c) Halla las coordenadas del punto de intersección de dichas
diagonales.
44 쐌쐌쐌 Calcula las longitudes de los segmentos interiores
de las medianas del triángulo de vértices A(3, 1), B(1, 2)
y C(4, 2).
45 쐌 Estudia en cada caso si los puntos P, Q y R están
alineados:
53 쐌쐌 Halla la ecuación punto-pendiente de la recta que
pasa por A(3, 2) y forma con el semieje positivo de abscisas
el ángulo que se indica en cada caso:
a) 150°
b) 45°
c) 120°
d) 135°
a) P (2, 4), Q (5, 2), R (3, 2)
54 쐌쐌 Los puntos A(2, 4), B(3, 1) y C(2, 1) son los vér-
b) P (1, 0), Q (2, 1), R (3, 2)
tices de un triángulo. Calcula las ecuaciones paramétricas
de las rectas que contienen a sus lados.
46 쐌 Estudia si estos puntos forman un triángulo:
P (1, 1), Q (2, 0), R (3, 3)
47 쐌 Encuentra un punto que esté alineado con los puntos
P (2, 4) y Q (3, 1).
170 UNIDAD 8
55 쐌쐌 Halla la ecuación punto-pendiente de la recta que
pasa por el punto A(5, 2) y tiene la misma dirección que la
x2 y1
recta
.
2
3
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07:46
P gina 171
Ejercicios y problemas
56 쐌쐌 Escribe la ecuación continua de la recta que pasa
por el origen y tiene la misma pendiente que la recta
5x 2y 1 0.
57 쐌쐌 Calcula la ecuación explícita de la recta que pasa
por A(1, 1) y tiene la misma dirección que la bisectriz
del primer cuadrante.
58 쐌쐌 Estudia si las siguientes rectas se pueden expresar
en forma continua:
a) x 2y 1 0
b) 2x 3 0
c) x 5 t
y3
a) A(2, 1), r: 2x 7y 3 0
1
b) y x 5
2
d) y x 3
66 쐌 Determina la ecuación explícita de la recta cuya
pendiente es m y cuya ordenada en el origen es b:
a) m 5, b 3
c) m 0, b 4
1
b) m , b 0
2
7
d) m , b 1
3
a los ejes de coordenadas. ¿Se pueden expresar en forma
continua?
a) (x, y) (2, 3) (1, 0)t
x3
y2t
d) x 4 0
e) x 5 2t
y7
冧
c) y 3
c) A(37, 22), r: x 3 5t, y 2 3t
冧
f) (x, y) (1, 2) (0, 3)t
68 쐌쐌 Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los
d) A(5, 20), r: y 6x 10
puntos P (2, 2) y Q (2, 6).
60 쐌 Encuentra tres puntos de cada una de las siguientes
rectas:
b) 2x 2y 3 0
c) y 5x 4
b)
x2 y1
b) A(2, 1), r:
5
3
x5 y3
2
1
a) y 3x 2
67 쐌 Determina cuáles de las siguientes rectas son paralelas
冧
59 쐌 Indica si el punto A pertenece a la recta r:
a)
65 쐌 Escribe la ordenada en el origen de estas rectas:
c) x 2 3t
y 1 2t
69 쐌 Halla las ecuaciones de estas rectas:
冧
d) y 5x 1
Y
t
r
1
61 쐌 Dada la recta x 2 5t, y 3 2t, determina los
puntos que se obtienen para el valor del parámetro indicado
en cada caso:
a) t 0
c) t 5
b) t 2
d) t 4
62 쐌 Determina a cuáles de las siguientes rectas pertenece
el punto (0, 0):
a) 5x 2y 3 0
c) 3x 2y 1 0
b) x 7y 0
d) 6x 5y 0
63 쐌 Halla en cada caso la ecuación de la recta que pasa
por A y B y estudia si el punto C pertenece a dicha recta:
u
O
X
1
s
70 쐌쐌 Halla la ecuación de la recta paralela a la bisectriz
del segundo y cuarto cuadrante que pasa por el punto
P (2, 0).
71 쐌쐌 Halla las ecuaciones de estas rectas:
u
Y
r
t
a) A(2, 5), B(1, 0), C(3, 2)
b) A(0, 1), B(1, 2), C(1, 4)
64 쐌쐌 Calcula el valor de k para que se verifique lo que se
indica en cada caso:
s
1
O
1
X
a) A(2, k) pertenece a la recta que pasa por los puntos B(1, 1)
y C(2, 4).
b) A(k, 1) pertenece a la recta
x2 y1
.
8
2
c) A(k, 4) está alineado con B(4, 2) y C(1, 3).
d) A(9, k) pertenece a la recta x 5y 1 0.
72 쐌 Determina la ecuación de la recta paralela a la bisectriz
del primer y tercer cuadrante que pasa por el punto
P (1, 1).
Geometría analítica
171
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P gina 172
Ejercicios y problemas
Incidencia y paralelismo de rectas
73 쐌 Dada la recta r: x 3y 1, encuentra un punto de r.
81 쐌쐌 Determina el valor del parámetro a para que las
siguientes rectas:
Estudia si P (1, 2) pertenece a r.
r:
74 쐌 Estudia la posición relativa de los siguientes pares
de rectas y comprueba el resultado gráficamente. Calcula
el punto de intersección de las que sean secantes.
a) r: 5x 3y 2 0
s: 2x y 1 0
b) r: y 3x 1
x2 y1
s:
2
6
2
c) r: x 1 (y 3)
3
d)
r:
x 3 2t
y5t
s:
x 3 3t
y 2t
a) Sean paralelas.
s: 2x ay 3 0
b) Sean secantes.
82 쐌쐌 Calcula en cada caso el valor de a para que las rectas
r y s tengan la misma dirección. Estudia luego si para el
valor de a hallado, las rectas son coincidentes.
a) r: 3x ay 1 0
b)
冧
r:
x 3 2t
y5t
冧
s: 2x 4y 5 0
s:
x1 y6
a
4
83 쐌쐌 Estudia la posición relativa de cada una de las
s: x 2y 3 0
冧
x2 y1
3
1
75 쐌 Estudia la posición relativa de la recta r: 2x y 3 0
y la recta que pasa por los puntos P (1, 3) y Q (2 ,5).
76 쐌 Encuentra la recta paralela a r: 2x 3y 1 0 que
pasa por P (1, 3).
77 쐌 Determina la posición relativa de dos rectas, r y s, que
tienen:
a) Dos puntos en común.
b) Un punto en común y distinta pendiente.
siguientes rectas con los ejes de coordenadas, y en caso de
ser secantes con ellos, determina los puntos de corte con
dichos ejes:
a) 3x 2y 1 0
b)
x 2 5t
y 3 2t
冧
c) y 6x 1
d)
x3 y2
2
1
84 쐌쐌 Dada la recta y 15x 10 0, calcula la longitud
de los segmentos que determina sobre cada eje de coordenadas, es decir, la longitud de los segmentos determinados
por cada punto de corte y el origen.
c) La misma pendiente y distinta ordenada en el origen.
85 쐌쐌 Calcula la ecuación de la recta que pasa por el origen
78 쐌 Dada la recta r: 2x y 7 0, escribe las ecuaciones
de coordenadas y por el punto de intersección de las
rectas r: 2x 3y 1 0 y s: y x 3.
de dos rectas paralelas a ella.
79 쐌 Halla la ecuación de la recta r de la figura. Calcula la
ecuación punto-pendiente de una recta paralela a r que
pase por P (1, 4).
P
Y
86 쐌쐌 Estudia si las siguientes rectas se cortan formando
un triángulo. En caso de ser así, calcula sus vértices.
쮿 r: x 2y 6 0
쮿 s: y 3x 10
쮿 p: 5y x 6 0
r
87 쐌쐌쐌 Los puntos A(3, 4), B(5, 1) y C(0, 3) son los
vértices de un triángulo. Calcula:
a) La ecuación general de la recta que contiene a cada uno
de sus lados.
1
b) La ecuación de cada una de sus medianas.
O
1
X
c) Las coordenadas del baricentro del triángulo.
88 쐌쐌쐌 Estudia si los puntos A, B y C forman un triángulo
y, en caso afirmativo, calcula las coordenadas del baricentro:
80 쐌쐌 Si los puntos A(2, 1), B(1, 1) y C(3, 1) son tres
a) A(0, 3), B(1, 4) y C(1, 2)
b) A(0, 3), B(1, 4) y C(3, 1)
vértices de un paralelogramo, halla:
89 쐌쐌쐌 Comprueba que A(2, 2), B(4, 1), C(5, 1) y D(3, 0)
a) Las coordenadas del vértice D, opuesto al A.
son los vértices de un paralelogramo. Halla:
b) Las ecuaciones de las dos rectas que pasan por los puntos
medios de los lados paralelos.
a) La ecuación de la recta que contiene a cada uno de sus
lados. ¿Cuál debe ser su posición relativa? Compruébalo.
c) El punto de intersección de las dos rectas del apartado
anterior.
b) La ecuación de cada una de las diagonales.
172 UNIDAD 8
c) El punto en el que se cortan dichas diagonales.
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P gina 173
Ejercicios y problemas
Evaluación
Conoces los vectores
1 En la siguiente figura, busca vectores que cumplan lo
que se indica en cada apartado:
D
N
L
F
A
E
medio del segmento PQ:
a) P(2, 2), Q(1, 0)
b) P(4, 3), Q(5, 8)
c) P(1, 2), Q(3, 6)
H
C
B
6 Calcula en cada caso la distancia entre P y Q y el punto
M
K
P
I
G
J
O
a) Dos vectores que tengan el mismo módulo, la misma
dirección y distinto sentido.
b) Dos pares de vectores equipolentes.
d) P(6, 9), Q(1, 2)
Reconoces y expresas las distintas formas
de la ecuación de una recta
7 Escribe todas las formas posibles de la ecuación de la
recta que pasa por el punto A(6, 1) y cuyo vector
"
director es u (4, 5).
c) Dos vectores con la misma dirección, el mismo sentido
y distinto módulo.
8 Calcula un punto, el vector director y la pendiente de
Obtienes coordenadas de vectores y sabes operar
con ellos
2 Dados los puntos P(1, 3), Q(4, 0) y R(3, 5), halla las
a) (x, y) (1, 1) (2, 3)t
coordenadas de los siguientes
en unos ejes coordenados:
"
a) OP
c)
"
b) PR
d)
vectores y represéntalos
"
QR
"
PQ
3 Dado el punto P(2, 5), calcula las coordenadas del
"
punto Q para que el vector PQ sea el que se indica en
cada caso:
"
"
a) PQ (4, 3)
c) PQ (1, 9)
"
"
b) PQ (0, 2)
d) PQ (7, 0)
" (2, 6), calcula
4 Dados los vectores "
u (1, 2), "
v (4, 3) y w
las coordenadas de los vectores que resultan de realizar
las siguientes operaciones:
" " "
a) u v w
" " "
b) v w u
" "
c) 3 v w
"
"
d) 2 u 4w
Resuelves problemas de geometría analítica
5 Determina el módulo de cada uno de los siguientes
vectores:
"
a) u (2, 0)
b) "
v (1, 3)
"(5, 10)
c) w
"
d) s (4, 3)
cada una de las siguientes rectas y expresa, después, sus
ecuaciones de todas las formas posibles:
b) x 3 2t
y 5 6t
冧
c) 2x 6y 1 0
d) y 4x 1
y
x4
e)
7
3
f) y 8 3x
9 Halla la ecuación general de la recta que cumple lo
que se indica en cada caso:
a) Pasa por A(9, 2) y B(6, 10).
b) Pasa por A(0, 3) y su pendiente es m 5.
c) Pasa por A(4, 4) y forma un ángulo de 120º con el
semieje positivo de abscisas.
d) Pasa por A(5, 1) y es paralela a la recta que pasa por
B(4, 9) y C(1, 1).
e) Pasa por A(6, 3) y tiene la misma pendiente que la
recta 3x y 6 0.
f) Pasa por A(1, 3) y es paralela a la bisectriz del tercer
cuadrante.
Estudias la posición relativa de dos rectas
10 Estudia la posición relativa de estos pares de rectas:
a)
r:
x 4 t
y 5t
冧
s:
x 3t
y4
冧
b) r: x 8y 5 0, s: 4x 32y 20 0
c) r: y 3x 1, s: y 6x 2
d) r:
2
x5 y1
, s: y 9
6
3x 1
Geometría analítica
173