2 Proporcionalidad y Porcentajes

2. PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES
Proporcionalidad
Variación Proporcional
Razón
Porcentajes
Serie de Razones
Aumento o disminución
porcentual
Proporción
Porcentajes
Sucesivos
Teorema Fundamental de las
Proporciones
Aplicaciones de Porcentajes
Porcentajes
de Ganancia
Propiedades
IVA
Prporcionalidad
Directa
Prporcionalidad
Inversa
Porcentajes
de Pérdida
Prporcionalidad
Compuesta
IPC
Representación Gráfica
Matemática
Financiera
Interés
Interés
Simple
Capital
Interés
Compuesto
Anualidad de
Capitalización
Amortización
De Préstamos
Crédito
2.1
Razones y proporciones
Aprendizaje Esperado
Aplica teoremas y propiedades de las razones y proporciones en la resolución de problemas.
Criterio De Evaluación
Utiliza razones para comparar cantidades dadas.
1.
En 1999 la utilidad neta de una empresa fue de $53.126 siendo su activo total de $134.930. ¿Cuál fue la razón
de la utilidad neta al activo total?
2.
Una librería, cuya existencia promedio de mercancía es de $30.000 obtuvo una utilidad de $36.000 sobre una
venta de total de $180.000 en el año anterior. Encontrar:
a) La razón del total de ventas al inventario promedio.
b) La razón de la utilidad a la venta total.
3.
La eficiencia de un proceso administrativo se define como la razón entre la cantidad de operaciones de salida
realizadas satisfactoriamente y el número de operaciones totales ingresadas. Si ingresan 6.000 operaciones y
salen 4500 de ellas. ¿Cuál es la razón de eficiencia?
4.
La razón entre dos cantidades es 0,8. Si el antecedente es 4, ¿Cuál es el consecuente?
Criterio De Evaluación
Calcula el término desconocido de una proporción, aplicando propiedades y el teorema fundamental de las
proporciones..
5.
¿Cuáles de las siguientes expresiones son proporciones?
a)
e)
b)
f)
c)
d)
6.
g)
h)
Halla el término desconocido en:
a)
f)
b)
g)
c)
d)
e)
h)
i)
7.
Calcula la media proporcional geométrica entre:
1
1
y
4
9
b) 49 y 0,25
c) 2 y 8
1
1
y3
4
16
e) 0,4 y 0,08
a)
8.
d)
Calcula la cuarta proporcional entre las siguientes cantidades, tomándolas en el mismo orden:
c) 12,5; 10; 2,5
d) 12; 6,4; 3,75
e) 6; 12,5; 2,88
5 1 2
, ,
6 4 3
b) 2, 3 y 6
a)
9.
2
Determina la tercera proporcional de los pares siguientes:
a)
b)
e)
f)
c)
g)
d)
Criterio De Evaluación
Aplica teoremas y propiedades de las razones y proporciones en la resolución de problemas.
10. En un curso, la razón entre el número de
varones y damas es 3:2. Si el número de damas
es 10.¿Cuál es el número de alumnos en total?
15. La razón entre dos números es 8:3 y su
diferencia es 55. Calcula la suma de estos
números.
11. La altura de una puerta y una ventana en un
edificio miden 1,80 m y 1,20 m respectivamente.
En la maqueta, la puerta corresponde a 6 cm
¿Cuál es la altura de la ventana?
16. Dos números están en la razón 5:2. Si sumados
dan 42. ¿Cuáles son los números?
12. En un curso, la razón entre el número de
varones y damas es 5:4. Si el número de damas
es 8. ¿Cuál es el número de alumnos varones?
13. El bronce para campanas se compone de 4
partes de cobre y una parte de estaño. Hállese la
cantidad de cada metal que hay en una campana
que pesa 8,5 kg.?.
14. Dos números están en la razón 7:4 y la
diferencia entre ellos es 36. Hallar los números.
17. Dos personas se reparten $18.000 tal que sus
partes están en la razón de 8:4. ¿Cuánto recibe
cada uno?
18. La diferencia entre dos números es 48 y están en
la razón 9:5. ¿cuáles son los números?
19. Calcular
, si:
y
.
20. La suma de tres números es 36 y están en la
razón
. Calcular los números.
21. Sea
Calcular los valores
y
.
–
.
22. Si
Calcular
tal que
24. Calcular los ángulos interiores de un triángulo, si
se cumple la condición:
EJ
y
que la suma de estos ángulos es 180°.
.
23. Un segmento de 120 cm se divide en tres partes
cuyas
longitudes
son
directamente
proporcionales a los números 3, 4, 5. Hallar las
longitudes de cada una de ellas.
25. Calcular los ángulos interiores
cuadrilátero, si verifican que:
de
un
D E J G
y que la suma de estos ángulos es 360°.
2.2
Variación Proporcional
Aprendizaje Esperado
Aplica variación proporcional para resolver problemas que requieren de estos conceptos para su resolución.
Criterio De Evaluación
Identifica variaciones proporcionales directas, inversas y conjuntas en fórmulas físicas y/o relacionadas con su
especialidad.
, donde n es
28. El número de Reynolds se define como:
el número de moles, T temperatura absoluta, V
volumen del gas y R constante de
proporcionalidad. ¿Entre qué variables existe
una proporcionalidad directa?
, donde Ues la densidad del fluido, v la
26. En la Ley de Gases Ideales:
27. En la fórmula física:
existe entre la velocidad
velocidad característica del fluido, D diámetro
de la tubería través de la cual circula el fluido y
P viscosidad cinemática del fluido. ¿Qué tipo de
relación hay entre la velocidad del fluido y las
demás variables?
. ¿qué tipo de relación
y el tiempo ?
Criterio De Evaluación
Aplica conceptos de variación directa, inversa, conjunta y combinada para plantear fórmulas en base a problemas
dados.
29. Plantear las formulas correspondientes:
a) A es inversamente proporcional al cuadrado de
B.
b) A es directamente proporcional al cubo de B
c) La iluminación I, producida por una fuente de
luz varía inversamente proporcional con
respecto al cuadrado de la distancia, d, desde la
fuente.
d) La presión P en el fondo de una piscina varía
directamente con la profundidad h.
e) La potencia P requerida para impulsar una
embarcación varía directamente con el cubo de
su velocidad v.
f)
El peso W de un bloque rectangular de metal
varía conjunta y directamente con la longitud a,
la anchura b y el espesor c de bloque
g) La cantidad de carbón C empleada en un barco
de vapor que viaja a una velocidad uniforme
varía conjuntamente con la distancia viajada d y
el cuadrado de la velocidad v.
h) La masa m de una persona varía directamente
con el cubo de su altura h.
i)
Si a obreros construyen una casa en t días,
trabajando h horas diarias, determine la relación
que permite determinar el número de obreros
que se requiere para construir la misma casa en
T días, trabajando H horas diarias.
Criterio De Evaluación
Aplica los conceptos y propiedades de variación proporcional directa, inversa, conjunta y combinada para resolver
problemas relacionados con fenómenos naturales, económicos y/o sociales.
30. Completa las siguientes tablas, identificando si es Variación Proporcional Directa o Variación Proporcional
Inversa:
A
B
A
B
A
B
A
B
810
270
162
54
2
3
15
10
0,5
1
x
2
1
t
120
60
y
18
w
7,5
2
z
3
40
31. Hugo gana $540.000 mensuales (considerando
30 días). ¿Cuánto dinero gana en 10 días?
32. Si 10 obreros construyen una casa en 6 meses,
¿cuánto tiempo demoran en construir una casa
similar
15 obreros trabajando la misma
cantidad de horas diarias?
33. Un rectángulo cuyo ancho mide 8 cm y su largo
12 cm, tiene un área de 96 cm2. ¿Qué ocurre con
el ancho si su longitud aumenta a 16 cm y su
área permanece constante?
34. Una persona camina 350 metros en 15 minutos,
¿cuántos kilómetros caminará en una hora y
media?
35. Una guarnición de 1600 hombres tiene víveres
para 10 días a razón de 3 raciones diarias cada
hombre. Si se refuerzan con 400 hombres,
¿cuántos días durarán los víveres si cada
hombre toma 2 raciones diarias?
36. Tres hombres trabajando 8 horas diarias han
hecho 80 metros de una obra en 10 días.
¿Cuántos
días necesitarán 5 hombres
trabajando 6 horas diarias para hacer 60 metros
de la misma obra?
37. Una empresa constructora estima que son
necesarios 30 obreros para terminar una obra
en 3 meses trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántos
obreros necesitarían para terminar la obra en 2
meses, trabajando 6 horas diarias?
38. Si 10 ampolletas originan un gasto de $6.000 al
mes si se encienden 6 horas diarias. ¿Cuántas
ampolletas se deben apagar para que el gasto
sea de $4.000 si se encienden 5 horas diarias?
39. En un taller de confecciones, 6 operarios hacen
100 polerones en un día, trabajando 8 horas
diarias. ¿Cuántos operarios serán necesarios
para hacer 500 polerones en dos días,
trabajando la misma cantidad de horas diarias?
40. Si 3 secretarias tardan 21 días en escribir a
máquina un texto, entonces, ¿cuántos días
requieren 7 secretarias para escribir dos textos
iguales al anterior, si trabajan a un ritmo
similar?
41. Un grupo de 10 jóvenes realizó una excursión
ciclística por 20 días, el costo total resultó ser
$300.000. ¿Cuánto dinero gastarán 8 muchachos
en una excursión similar cuya duración será de
25 días?
42. Si 10 obreros se demoran 4 días en pavimentar
una calle, ¿cuánto se demoran 15 obreros en
hacer el trabajo, trabajando la misma cantidad
de horas diariamente?
43. Para una biblioteca pública se dispone de
$150.000 que alcanzan para comprar 120 libros.
Si se recibe una donación de $375.000, ¿cuántos
libros del mismo tipo se pueden comprar?
44. Cuatro llaves llenan una piscina con una
capacidad de 18 m3 en 12 horas. ¿Cuánto tiempo
se necesita para llenar la misma piscina con 3
llaves?
45. Un tren tarda cuatro horas en ir de la ciudad A a
la ciudad B a una velocidad de 80 km/h. ¿A qué
velocidad promedio debe ir si necesita llegar 45
minutos antes?
46. Se desea limpiar un canal en dos semanas; se
sabe que el año pasado se debió realizar el
mismo trabajo y que 21 obreros ocuparon 30
días, ¿cuántos obreros es necesario contratar?
47. Ocho trabajadores realizan una obra en 12 días.
Para concluirla en 6 días menos, ¿cuántos
trabajadores más se necesitarán?
48. Si A es directamente proporcional al cuadrado
de B y además,
cuando
. ¿Cuál es el
valor de A, cuando B=9?
49. La iluminación I, producida por una fuente de
luz varía inversamente proporcional con
respecto al cuadrado de la distancia, d, desde la
fuente. Si la iluminación producida a 15 pies de
la fuente de luz es 48 bujías-pie (unidad de
medición de la iluminación). ¿Cuál es la
iluminación producida a 12 pies de la fuente de
luz?
50. El peso de un bloque rectangular de metal varía
conjunta y directamente con la longitud, la
anchura y el espesor de bloque. Si el peso de un
bloque de aluminio de 12 pulgadas 8 pulgadas
6 pulgadas es de 18,7 Libras, calcula el peso de
un bloque de 16 pulgadas
10 pulgadas
4
pulgadas.
51. La cantidad de carbón empleada en un barco de
vapor que viaja a una velocidad uniforme varía
conjuntamente con la distancia viajada y el
cuadrado de la velocidad. Si un barco quema 45
toneladas de carbón al viajar 80 millas a 15
nudos, ¿cuántas toneladas empleará si viaja 120
millas a 20 nudos?
2.3
Porcentaje e interés
Aprendizaje Esperado
Utiliza fórmulas y conceptos de porcentaje, interés simple y compuesto para resolver problemas de aplicación.
Criterio De Evaluación
Calcula porcentajes de cantidades dadas.
52. Calcula:
a)
de 250
b) 15% de 462
c) 25% de 9,6
d) 2,3% de 48,72
e)
f)
g)
de 1236
h) 2% de 7
i) 18% de 76
j)
de 18
k) 35% de 180
l) 42% de 1250
0,75% de 24
de 112,3
53. ¿Qué tanto por ciento:
a)
b)
c)
d)
e)
de 8 es 7?
de 7,2 es 18,5?
es 3,25 de 5,5?
de 860 es 129?
de 30 es 6?
f)
g)
h)
i)
es 0,64 de 512?
de 1600 es 320?
de 86 es 172?
es 75 de 1250?
Criterio De Evaluación
Calcula un número, dado el porcentaje que otro número es más o menos que él.
54. ¿De qué número es:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
3 el 75%?
22,4 el 75%?
35 el 5%?
60 el 90%?
76 el 10%
20 el 80%?
g) 12 el 2%?
h) 15 el 60%?
i)
el 25%?
j)
4 el 19%?
55. ¿De qué número es:
a) 48 un 20% menor?
b) 208 un 4% mayor?
c) 276 el 8% menor?
d) 30 un
es mayor?
Criterio De Evaluación
Aplica conceptos y métodos de cálculo de porcentajes, para resolver problemas relacionados con fenómenos naturales,
económicos y/o sociales.
56. El metal blanco se compone de 3,7% de cobre,
88,8% de estaño y 7,5% de antimonio. ¿Cuántos
kilos de cada metal hay en 465 kg.?
65. Un comerciante vende carbón a $280.000 la
tonelada. Si su ganancia es del 12%, ¿cuánto le
cuesta el carbón?
57. El fabricante de cierta marca de automóviles
calcula sus costos como sigue: materiales,
38,5%; mano de obra 41,25%; gastos generales
6,5% y ganancia 13,75%. Hallar el costo de
cada una de estas partidas en un automóvil que
se vende a U$ 8.500.
66. ¿Qué número aumentado en un 15% equivale a
437?
58. Cierto mineral rinde el 4,25% de hierro.
¿Cuántos kilos de hierro hay en una tonelada de
ese mineral?
59. Si sobre una factura de $242.850 se hace un
descuento del 2%, ¿Cuánto hay que pagar?
60. A un mecánico que gana $28.500 por semana le
redujeron el salario en un 15%. ¿Cuánto gana
después de la reducción?
61. Un comerciante vende un artículo en $3.600,
perdiendo un 10%. ¿Cuánto le costó el artículo?
62. Una tonelada de mineral contiene 80 kg. de
hierro. ¿Qué tanto por ciento del mineral es
hierro?
63. Para hacer 95 kg. de soldadura empleamos 11,5
kg. de plomo y 83,5 kg. de estaño. ¿Qué % de
cada metal se utilizó?
64. Una persona paga $5.750 por un artículo y
después lo vende por $6.500. ¿Qué % de
ganancia obtiene?
67. Si se aumenta en un 8% el precio de un artículo,
el nuevo precio queda en $162. ¿Cuál era el
precio primitivo?
68. Los gastos que demandan en una empresa los
departamentos de personal, marketing y
finanzas son de $36.000.000 mensuales y están
en la razón
.
a) ¿Cuál es el gasto del departamento de
marketing, en un período de un año?
b) Qué porcentaje representa el gasto anual
del departamento de personal?
69. Un comerciante compra un producto en
$250.000 la unidad, precio neto, pero desea
obtener una ganancia de un 15% sobre el
precio neto. Determinar:
a) precio de venta al público (IVA incluido)
b) monto del IVA declarado por el
comerciante
70. Si una máquina vale a pesos y por motivo de
incendio de la fábrica se vende en b pesos
(
). ¿Qué porcentaje perdió la empresa por
la venta de la máquina?
Criterio De Evaluación
Aplica las fórmulas de interés simple y compuesto para resolver problemas de aplicación.
Interés Simple:
Interés Compuesto:
71. Una empresa invierte en un depósito financiero
6 millones de pesos a un 5% anual simple
durante tres años. ¿Cuánto ganará la empresa
por concepto de intereses?
72. Un granjero ha decidido invertir los beneficios
de su cosecha, 850.000 pesos, en un depósito al
3% anual simple durante cinco años. ¿cuánto
retirará?
73. Determina el capital final equivalente a
$6.000.000 mediante capitalización simple
dentro de dos años y medio sabiendo que el tipo
de interés simple anual es del 5%.
74. ¿Cuáles son los intereses producidos por un
capital de 3.000 UF prestado a un interés simple
anual del 2,5 % durante dos trimestres? ( 1 año
tiene 4 trimestres)
75. Calcula los intereses resultantes de una
operación en la que a partir de un capital de
$127.830 se obtiene un capital final equivalente
a un 125 % del capital inicial.
76. ¿Qué tiempo estuvo invertido un capital de
22.000 UF al 2% de interés simple anual, si los
intereses fueron de 4.400 UF.?
77. ¿Cuánto tiempo tardaría un capital colocado al
8% de interés simple anual en transformarse en
el triple del mismo?
78. Tengo unos ahorros colocados de la siguiente
manera:
x 20.000 UF al 2% de interés simple trimestral
x 30.000 UF al 1% de interés simple mensual
x 5.000 UF al 4,5% de interés simple
semestral
¿Cuál es el capital final si mis ahorros están
colocados durante un año y medio?
79. Determinar los intereses y el capital final
producido por UF 50.000 al 15% de interés
compuesto anual, durante 1 año.
80. Determinar los intereses generados por un
capital de UF 30.000, durante 5 meses, al 15% de
interés compuesto anual.
81. Tenemos una obligación por UF 12.000, a ser
liquidado dentro de 10 años. ¿Cuánto
invertiremos hoy al 9% anual compuesto, con el
objeto de poder cumplir con el pago de la deuda?
82. Una empresa deposita $ 700.000. a una tasa de
interés compuesto anual del 24%, capitalizable
mensualmente, ¿cuál será el monto acumulado
en 4 años?
83. Usted deposita $ 1.200.000 al Banco Inacap
durante 260 días a una tasa de interés
compuesto anual del 7%, capitalizable
mensualmente, ¿Cuánto dinero retirara al
término de los 260 días?
84. Determine la tasa de interés compuesto anual, a
la que deben invertirse $3.230.000. para que en
7 años se obtenga un capital final de $4.234.890.
SOLUCIONES
1.
53.126
2. a) 6 : 1 b) 1: 5
134.930
3. 3: 4 4. 5 5. Son proporciones b) d) e) f) g) h)
6. a) 7 b) 2,4 c) 8 d) 30 e) 0,6 f) 4 g) 3 h)
35
1
21
i) 2 7. a)
b) 3,5 c) 4 d)
e) 0,1789
8
8
6
9
1
1
8
b) 9 c) 2 d) 2 e) 6 9. a)
b) -32 c) 0,81 d)
e) 16 f) 10 g)
2
50
15
5
10. 25 alumnos 11. 4 cm 12. 10 varones 13. 6,8 kg de cobre y 1,7 kg de estaño 14. 84 y 48 15. 121 16. 30 y 12
17. $12.000 y $6.000 18. 108 y 60 19. x = 15; y = 25; z = 10 20. 8, 12 y 16 21. a = 35; b =25; c = 10 22. x = 24; y =
15; z =6 23. 30, 40 y 50 cm 24. 50°; 30° y 100° 25. 66,7°; 80°; 93,3° y 120°
26. P y n; P y T; n y V; T y V
27. Inversamente proporcional
28. Directamente proporcional con: número de Reynolds y viscosidad.
Inversamente proporcional con: densidad y diámetro de tubería.
a˜
t h˜
A
P
k
3
c g)˜C k d˜v2 ˜h) m k h˜
B2 k b) 3 k c) I 2 d) P k h˜ e) 3 k f) W k a˜b ˜
29. a) A ˜
i)
T˜
H
B
v
d
8. a)
30. y = 90; w = 4; x = 1; z = 4; t = 2
31. $180.000 32. 4 meses 33. El ancho disminuye a 6 cm 34. 2,1 km 35. 12 días 36. 6 días
35. 6 días 37. 6
obreros 38. 60 ampolletas 39. 2 operarios 40. 15 días 41. 18 días 42. La misma cantidad de dinero. 43. 8/3 días
44. 300 libros
45. 16 46. 98,4 km/h 47. 45 obreros 48. 16 49. A = 648 50. 75 51. 20,7
52. a) 20 b) 69,3 c) 2,4 d) 1,12 e) 412 f) 0,18 g) 3,65 h) 0,14 i) 13,68 j) 0,09 k) 63 l) 525
53. a) 87,5% b) 256,94% c) 59,1% d) 15% e) 20% f) 0,125% g) 20% h) 200% i) 6%
54. a) 4 b) 29,87 c) 700 d) 66,7 e) 760 f) 25 g) 600 h) 25 i) 8/3 j) 400/19
55. a) 4 b) 29,87 c) 700 d) 66,7 e) 760 f) 25 g) 600 h) 25
56. Cobre: 17,205 kg; estaño: 412,92 kg; antimonio: 34,875 kg
57. Materiales: US$ 3.272,5; mano de obra: US$ 3.506,25; gastos generales: US$ 552,5; ganancia: US$ 1168,75
58. 42,5 kg 59. $237.993 60. $24.225 61. $4.000 62. 8% 63. 12,1 % de plomo, 87,9% de estaño 64. 13%
a b
˜
100 %
65. $250.000 66. 380 67. $150 68. a) $ 12.000.000 b) 20% 69. a) $342.125 b) $ 54.625 70.
a
71. $ 900.000 72. $ 977.500 73. $ 6.750.000 74. 37,5 UF 75. $ 31.957,5 76. 10 años 77. 25 años 78. 62.575 UF
79. Capital Final: 57.500 UF, Intereses: 7.500 UF 80. 1.796 UF 81. 5.069,93 UF 82. $ 1.810.949 83. $ 1.261.629
84. 3,94%