Ejercicios resueltos de Valor Absoluto

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Ejercicios de Valor absoluto
Resolver las siguientes ecuaciones con radicales:
1) |x| = 4
2) |3x| = 5
3) |x - 3| = 1
4) |1 + 5x| = - 3
5) |x + 4| = x + 1
6) x + |1 + 2x| = - 2
7) 3|x + 4| - 2 = x
8) |x2 - 2| = 2 - 3x
9) |x + 1| = |x - 5|
12) | |5 - 2x| - 4 | = 10
13) 2|x| + |x - 1| = 2
14) |x - 1| + 2|x - 3| = |x + 2|
2
Solución
1) |x| = 4
S={4,-4}
2)
|3x| = 5
3) |x - 3| = 1
S={4,2}
4) |1 + 5x| = - 3
Sabemos que siempre tiene que ser:
|1 + 5x| ≥ 0
∀x ∈ R
Luego nunca puede ocurrir:
|1 + 5x| = - 3
Por tanto, la ecuación no tiene solución
3
5) |x + 4| = x + 1
Comprobamos la solución:
Por tanto, la ecuación no tiene solución.
6) x + |1 + 2x| = - 2
Ambas soluciones cumplen la ecuación, por tanto:
S = { -1 , 1}
7) 3|x + 4| - 2 = x
4
Al comprobar las soluciones se observa que no cumplen la ecuación.
Por tanto, la ecuación no tiene solución.
8) |x2 - 2| = 2 - 3x
Por otro lado, tenemos dos posibilidades para la igualdad:
•
x2 - 2 = 2 - 3x
•
x2 - 2 = - (2 - 3x) = - 2 + 3x
⇔
x2 + 3x - 4 = 0
⇔
x2 - 3x = 0
⇔
x ( x - 3) = 0
Comprobamos si las soluciones cumplen la ecuación:
x = 1:
|12 - 2| = 2 - 3·1
⇔
1 ≠ -1
x = 1 no es solución
Hacemos lo mismo para el resto de soluciones.
x = - 4 es solución
x = 0 es solución
x = 3 no es solución
5
Por tanto, el conjunto solución es:
S = { -4 , 0 }
9) |x + 1| = |x - 5|
Se comprueba la solución x = 2 y la cumple la ecuación.
x=2
Tenemos dos posibilidades:
Por tanto, el conjunto solución es:
6
12) | |5 - 2x| - 4 | = 10
13) 2|x| + |x - 1| = 2
Resolvemos la ecuación en los tres intervalos en que ha quedado dividida la recta
real:
(-∞ , 0)
•
Si
,
[0 , 1)
x<0
,
[1 , ∞)
entonces:
2(-x) - (x - 1) = 2
⇔
|x| = -x
,
|x - 1| = - (x - 1)
- 2x - x + 1 = 2
⇔
- 3x = 1
⇔
x = - 1/3
7
•
Si
0≤x<1
entonces:
2(x) - (x - 1) = 2
•
|x| = x
2(x) + (x - 1) = 2
,
2x - x + 1 = 2
⇔
x ≥ 1 entonces:
|x| = x
⇔
,
|x - 1| = - (x - 1)
x=1
⇔
Pero 1 ∉[0 , 1)
|x - 1| = x - 1
2x + x - 1 = 2
3x = 3
⇔
⇔
x=1
S = { -1/3 , 1}
14) |x - 1| + 2|x - 3| = |x + 2|
Resolvemos la ecuación en los cuatro intervalos en que ha quedado dividida la
recta real:
(-∞ , -2)
,
[-2 , 1)
,
[1 , 3)
• Si x < -2 entonces:
2| = - (x + 2)
9
,
|x - 1| = - (x - 1)
1 - x + 2(3 - x) = - x - 2
⇔
x = 9/2
Pero x= 9/2 ∉ (-∞ , -2)
⇔
• Si - 2 ≤ x < 1 entonces:
+ 2| = x + 2
5
1 - x + 2(3 - x) = x + 2
⇔
x = 5/4
Pero x= 5/4 ∉ [-2 , 1)
• Si 1 ≤ x < 3
2| = x + 2
[3 , ∞)
entonces:
,
|x - 3| = - (x - 3)
1 - x + 6 - 2x = - x - 2
|x - 1| = -(x - 1)
⇔
,
,
|x +
- 2x = -
|x - 3| = - (x - 3)
1 - x + 6 - 2x = x + 2
|x - 1| = x - 1
⇔
,
⇔
|x - 3| = -(x - 3)
,
|x
- 4x = -
,
|x +
8
3
•
2
=9
x - 1 + 2(3 - x) = x + 2
⇔
x = 3/2
Si x ≥ 3
entonces:
x - 1 + 2(x - 3) = x + 2
⇔
x = 9/2
⇔
|x - 1| = x - 1
⇔
Resuelve las siguientes ecuaciones:
S = { -2 , 6}
S = { -3 , 3}
x - 1 + 6 - 2x = x + 2
,
|x - 3| = x - 3
x - 1 + 2x - 6 = x + 2
⇔
,
⇔
- 2x = -
|x + 2| = x +
2x
9
x = 11/4