METODOS DE CONTEO
MSC. ALDO FALCONI ASANZA EC.
Esquema
COMBINACIONES
-NO influye el orden en que colocas los MISMOS elementos
VARIACIONES
Sin repetición
o con repetición
- SÍ influye el orden en que colocas los MISMOS elementos
PERMUTACIONES
Sin repetición
o con repetición
- SÍ influye el orden en que colocas los MISMOS elementos
- Intervienen todos los elementos m = n
- En el caso de que se repitan los elementos, siempre se
repiten las mismas veces
NOTA: Hay casos en los que m = n y es una Combinación o una Variación
Permutaciones sin repetición
Denominamos permutaciones ordinarias o sin
repetición de n elementos, a cada uno de los
distintos grupos que pueden formarse de
manera que:
-En cada grupo entran todos los n elementos.
- Un grupo se diferencia de otro únicamente en
el orden de colocación de los elementos.
Al número de permutaciones ordinarias de n elementos lo
representaremos por Pn y se calculará:
Pn=n.(n-1).(n-2)...3.2.1
a este número lo llamaremos factorial de n y lo representaremos
por n! , esto es:
n!=n.(n-1).(n-2)...3.2.1
Si n = 1, se define 1!=1
Si n = 0 se define 0!=1
EJEMPLOS
- ¿ De cuántas formas pueden sentarse 8
amigos en una fila de butacas de un cine?
Sol: P8 =
- ¿ De cuántas formas diferentes se pueden
fotografiar 5 amigos frontalmente en línea
recta?
Sol: P5 =
- Un técnico de sonido tiene que unir 6
terminales en 6 conexiones. Si lo hiciera al
azar, ¿ de cuántas formas diferentes podría
completar las conexiones?
Sol: P6 =
Permutaciones con repetición.
Denominamos permutaciones con repetición de n elementos en
los que uno de ellos se repite "a" veces, otro "b" veces y así hasta
el último que se repite k veces ( a+b+c+....k = n);
todas las ordenaciones posibles de estos n elementos.
Consideramos dos ordenaciones distintas si difieren en el orden de
colocación de algún elemento ( distinguible ).
Notaremos a este tipo de permutación como:
y se calcularán:
EJEMPLOS:
- ¿ De cuántas formas pueden ordenarse en
una estantería 5 libros de lomo blanco, 3
de lomo azul y 6 de lomo rojo?
Sol:
- ¿ Cuántas palabras de 6 letras con o sin
sentido se pueden formas con las letras de
AMASAS ?
Sol:
- En una carrera por equipos participan 4
españoles, 5 franceses y 3 marroquíes. Si
lo único reseñable de cada corredor es su
nacionalidad, ¿ de cuántas formas posibles
podrían terminar la carrera?
Sol:
Combinaciones
Denominamos combinaciones ordinarias o sin repetición de n
elementos tomados de m en m, (m<=n) a las distintas
agrupaciones de m elementos de manera que:
- En cada grupo entren m elementos distintos
- Dos grupos son distintos si difieren en algún elemento.
El número de combinaciones ordinarias de m elementos
tomados de m en m lo notaremos Cn,my se calcula:
Introducción. Factorial de un Nº
1! = 1
2! = 2·1
3! = 3·2·1
4! = 4·3·2·1
5! = 5·4·3·2·1
Cuidado 0! = 1
…
n! = n·(n-1)·(n-2)·(n-3)·…·2·1
El número n·(n−1)·(n−2)·…·3·2·1 se llama factorial de n, y
se representa por n!, donde n es un número natural.
Introducción. Factorial de un Nº
Ahora toca practicar… OPERACIONES CON FACTORIALES
3! + 2! = 8
4! – 2! = 22
3! · 0! = 6
5!
3!
8!
3! · 4!
= 20
= 280
Introducción. Números combinatorios
Dados dos números naturales m y n tales que m ≥ n, se define el
número combinatorio
, que se lee m sobre n, como:
Veamos un ejemplo:
Introducción. Números combinatorios
Ahora toca practicar… NÚMEROS COMBINATORIOS
7
3
= 35
9
4
= 126
6
4
= 15
Principios fundamentales de conteo
3 aviones
ADICIÓN
A
2 trenes
5 buses
MULTIPLICACIÓN
A
B
C
Número de maneras de llegar desde A hasta B
B
avión O tren O bus No suceden simultáneamente
3 + 2 + 5 = 10
Número de maneras de llegar desde A hasta C
AB y BC Sí suceden simultáneamente
3 x 2 = 6
Diagrama del árbol. Principio de Multiplicación
¿Qué me pongo?
Me levanto por la mañana y al abrir
mi armario me doy cuenta que tengo:
2 pantalones:
4 camisas:
2 pares de zapatos:
¿De cuantas formas me podría vestir hoy?
Diagrama del árbol. Principio de Multiplicación
16 formas de vestirme = 2 pantalones x 4 camisas x 2 zapatos
Esta herramienta para representar todos los posibles resultados se llama
Diagrama de árbol.
Principio de multiplicación: si hay n1 opciones para elegir un objeto, n2
opciones para elegir un segundo objeto, así hasta nm. El nº total de
maneras de elegir los m objetos es: N = n1 ·n2 ·…·nm
Con una baraja española que consta de 40 cartas,
¿de cuántas maneras diferentes podemos repartir 4 cartas?
¿Influye el orden de colocación? NO
¿Intervienen todos los elementos? NO
¿Se pueden repetir los elementos? NO
COMBINACIÓN
=
=
¿Cuántos elementos tengo? m = 40
¿De cuánto en cuánto los voy a tomar? n = 4
40!
40!
C40,4= 4! (40-4)! = 4! 36! =
40·39·38·37
4·3·2·1
= 91390
Con las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6
¿Cuántos números distintos de 4 cifras puedo formar sin repetir?
¿Influye el orden de colocación? SI
¿Intervienen todos los elementos? NO
¿Se pueden repetir los elementos? NO
1
2
3
4
4
3
2
1
VARIACIÓN
SIN REPETICIÓN
¿Cuántos elementos tengo? m = 6
¿De cuánto en cuánto los voy a tomar? n = 4
V 6, 4 =
6!
= 360
2!
¿Cuántas quinielas de fútbol distintas se pueden rellenar?
¿Influye el orden de colocación? SI
¿Intervienen todos los elementos? NO
¿Se pueden repetir los elementos? SI
Las
variaciones
con
repetición,
únicamente difieren de las anteriores en
que
ahora
sí
se
pueden
repetir
VARIACIÓN
CON REPETICIÓN
elementos.
¿Cuántos elementos tengo? m = 3
¿De cuánto en cuánto los voy a tomar? n = 15
Se trata de variar 3 elementos que se
repiten (1,X,2) tomados de 15 en 15:
VR3,15 = 315 = 14.348.907
Con la palabra AMOR
¿Cuántas palabras con o sin sentido pueden formarse?
¿Influye el orden de colocación? SI
¿Intervienen todos los elementos? SI
¿Se pueden repetir los elementos? NO
AMOR
AMRO
AOMR
MAOR
MARO
MOAR
OAMR
OARM
OMAR
RAMO
RAOM
RMAO
AORM
ARMO
AROM
MORA
MRAO
MROA
OMRA
ORAM
ORMA
RMOA
ROMA
ROAM
¿Cuántas saldrían con la palabra
LOVE?
PERMUTACIÓN
SIN REPETICIÓN
¿Cuántos elementos tengo? m = 4
¿De cuánto en cuánto los voy a tomar? n = 4
P4 = 4!= 4·3·2·1 = 24
¿Cuántas palabras, con o sin sentido,
puedo formar con las letras de la palabra ARMELAR?
¿Influye el orden de colocación? SI
¿Intervienen todos los elementos? SI
¿Se pueden repetir los elementos? SI
Las permutaciones con
repetición de n elementos
son en las que un primer
elemento se repite n1 veces,
un segundo elemento n2
veces, y así hasta el último,
que se repite nk veces, con
n1+n2+…+nk = n.
PERMUTACIÓN
CON REPETICIÓN
¿De cuánto en cuánto los voy a tomar? n = 7
¿Qué elementos se repiten a, b, c….? a=2
Son 7 letras, repitiéndose la “A” y la “R”, por tanto:
FIN
MUCHAS GRACIAS POR SU ATENCIÓN
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