CIRCUITOS II - INTEC

TEMA I.
POTENCIA EN CA
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1
Potencia en funcion del tiempo
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2
Potencia en funcion del tiempo
 En cualquier circuito, la potencia en función del tiempo,
en sentido general viene dada por:
p(t )  v(t ).i(t )
donde :
v(t ) e i(t ) es el voltaje y corriente entre los ter min ales
 En este tema nos interesaremos especialmente en la
potencia en los circuitos alimentado por corriente
alterna.
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3
Potencia en Estado Estacionario
Sinusoidal
Al suministrar una tensión
v(t )  VmCoswt
a una impedancia Z  Z  se establece una
corriente
i (t )  I Cos ( wt   )

m
La potencia se determinaría como:
p(t )  v(t ).i(t )  VmCoswt * I mCos(wt   )  Vm I mCoswt * Cos(wt   )
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4
Potencia en Estado Estacionario
Sinusoidal
El siguiente gráfico muestra la relación entre el voltaje la corriente
y la potencia
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5
Potencia en Estado Estacionario
Sinusoidal
Re cordar :
1
1
Cosa * Cosb  Cos(a  b)  Cos(a  b)
2
2
Entonces:
1
1
p(t )  Vm I mCos ( )  Vm I mCos (2wt   )  p(t )  Vef I ef Cos ( )  Vef I ef Cos (2wt   )
2
2
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6
Potencia en Estado Estacionario
Sinusoidal
Nota.
El valor eficaz de cualquier corriente periodica resulta igual al valor
de la corriente directa que, al fluir a traves de una resistencia R
entrega la misma potencia promedio a la resistencia que la
corriente periodica.
En sentido general:
1 T 2
I ef 
i (t )dt

0
T
Para el caso especifico de una señal senoidal:
I
I ef  m
2
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7
Potencia en Estado Estacionario
Sinusoidal
Notar tambien que:
Vef 
I ef 
I ef 
Vm
2
Im
2
Vef
Z
 Vef  I ef * Z
Y recordando que:
Cos (a  b)  Cos (a ) * Cos (b)  Sen(a ) * Sen(b)
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8
Potencia en Estado Estacionario
Sinusoidal
Entonces:
p(t )  Vef Ief Cos( )  Vef I ef Cos(2wt )* Cos( )  Vef I ef Sen(2wt )* Sen( )
y factorizando:
p(t )  Vef I ef Cos( ) 1  Cos(2wt )   Vef I ef Sen( )  Sen(2wt ) 
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9
Potencia en Estado Estacionario
Sinusoidal
 El primer término corresponde a la potencia en función del tiempo
demandada por la parte resistiva de la carga (o los elementos que
realizan trabajo neto). Nótese que el valor medio de esta potencia
es que es a su vez el valor medio de la potencia total ya que el
segundo término tiene valor medio cero.
 El segundo término representa la potencia en función del tiempo
de los elementos reactivos de la carga (inductores y/o
capacitores). Nótese que esta potencia tiene valor medio cero, lo
que quiere decir que no hay un consumo neto de esta potencia.
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10
Potencia en Estado Estacionario
Sinusoidal
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11
Potencia en Estado Estacionario
Sinusoidal
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12
Potencia Activa o Media
Al valor medio de la potencia en función del tiempo se le
llama potencia Media o Activa.
P  Vef I ef Cos( )
2
R V ef
P  Vef I ef *  2 * R  I 2 ef * R
Z
Z
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13
Potencia Activa o Media
Es la potencia que representa la capacidad de un circuito para
realizar un proceso de transformación de la energía eléctrica en
trabajo. Los diferentes dispositivos eléctricos existentes convierten
la energía eléctrica en otras formas de energía tales como:
mecánica, lumínica, térmica, química, etc. Esta potencia es, por lo
tanto, la realmente consumida por los circuitos. Cuando se habla de
demanda eléctrica, es esta potencia la que se utiliza para
determinar dicha demanda. Se designa con la letra P y se mide en vatios
(W).
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14
Potencia Reactiva.
Definimos potencia reactiva como la magnitud de la
potencia en función del tiempo demandada por los
elementos reactivos de una carga.
Q  Vef I ef Sen( )
Q  Vef I ef
2
X V ef
2

*
X

I
ef * X
2
Z
Z
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15
Potencia Reactiva.
Esta potencia no tiene tampoco el carácter de
realmente consumida y sólo aparecerá cuando
existan bobinas o condensadores en los circuitos.
La potencia reactiva tiene un valor medio nulo, por
lo que no produce trabajo útil. Por ello que se dice
que es una potencia desvatada (no produce vatios),
se mide en voltioamperios reactivos (VAR) y se
designa con la letra Q.
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16
Potencia Aparente.
 La potencia aparente de un circuito eléctrico de corriente alterna,
es la suma de la energía que disipa dicho circuito en cierto
tiempo en forma de calor o trabajo y la energía utilizada para la
formación de los campos eléctricos y magnéticos de sus
componentes.
 Esta potencia no es la realmente consumida, salvo cuando el
factor de potencia es la unidad (cos =1), y nos señala que la red
de alimentación de un circuito no sólo ha de satisfacer la energía
consumida por los elementos resistivos, sino que también ha de
contarse con la que van a "entretener" bobinas y
condensadores. Se la designa con la letra S y se mide en
voltioamperios (VA).
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17
Triangulo de potencia


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18
Triangulo de potencia
 Equivalencia con el triangulo de
impedancia.

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19
Ejercicio para resolverse en el aula
Dado un circuito con una tensión aplicada V=340 cos (100t-60) V,
i=13.3 cos (100t-48.7) A. Determinar el triangulo de potencia.
340 13.3
*
cos(11.3º )  2, 217.17watts
2
2
340 13.3
Sen 
*
sen( 11.3º )  443.03VARs
2
2
P  Vef  ef Cos 
Q  Vef  ef
S 
(2217.17) 2  (443.03) 2  2, 261VA
O  tra forma :
*
340 13.3
S  V ef  ef 
*
60  48.7  S=2,261 -11.3, VA
2
2
S=2,217 - j443, VA
fp=cos -1 (-11.3) 
P  2217.17 W
fp  0.981 en adelanto
Q=443 VAr (capacitiva)
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20
Factor de Potencia (fp)
Se define factor de potencia, fp, de un circuito de
corriente alterna, como la relación entre la potencia
activa, P, y la potencia aparente, S, o bien como el
coseno del ángulo que forman los fasores de la
intensidad y el voltaje, designándose en este caso como
cos, siendo el valor de dicho ángulo. De acuerdo con el
triángulo de potencias:
fp 
P
S
fp  Cos ( ) 
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R
Z
21
Intercambio de energía entre una
bobina y un condensador
QT  QL  QC
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22
Potencia Compleja
La potencia activa y la potencia reactiva se pueden
expresar como la componente real e imaginaria de un
complejo que llamaremos potencia compleja.

S  P  jQ


*
S  Vef * I ef

S  I

2
ef
*Z
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23
Potencia Compleja
El modulo de la potencia compleja es la potencia
aparente.
S
P2  Q2

S S
  
P   S 


  
Q   S 


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24
Suma de Potencia en circuitos
conectados en paralelo
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25
Suma de Potencia en circuitos
conectados en paralelo
Teorema de Boucherot


*
S  Vef * I ef
*
*
*
*
I ef  I1ef  I 2 ef  I 3ef




*
*
*
S  Vef * ( I1ef  I 2 ef  I 3ef )
*

*

*
S  Vef * I1ef  Vef * I 2 ef  Vef * I 3ef




S  S1  S 2  S 3
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26
Suma de Potencia en circuitos
conectados en Serie
Se procede de la misma manera que para el caso en
paralelo.




S  S1  S 2  S 3
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27
EJERCICIO PARA RESOLVER EN EL
AULA

Un circuito con dos ramas en paralelo tiene sendas impedancias, Z1= 2-j5 y Z2= 1+j1 .
Obtener el triangulo de potencias total del circuito si la resistencia de 2 consume 20W.
P  I 2R 
20W
 I1  10
2
V  I1ef * Z 1  10(2  j 5)  2 10  j 5 10
IT  I1  I 2 
V
 1.58  j11.07
Z
S  Vef * Ie f *  (2 10  j 5 10)(1.58  j11.07)  S  165.03  95 j VA
P  165W
Q=95VAr(inductiva)
fp=0.867 en retraso
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28
Mejora del factor de potencia
A menudo es posible ajustar el factor de potencia de un
sistema a un valor muy próximo a la unidad. Esta
práctica es conocida como mejora o corrección del
factor de potencia y se realiza mediante la conexión a
través de conmutadores, en general automáticos, de
bancos de condensadores. Por ejemplo, el efecto
inductivo de las cargas de motores puede ser corregido
localmente mediante la conexión de condensadores. En
determinadas ocasiones pueden instalarse motores
síncronos con los que se puede inyectar potencia
capacitiva o reactiva con tan solo variar la corriente de
excitación del motor.
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29
Mejora del factor de potencia
Las pérdidas de energía en las líneas de transporte de energía
eléctrica aumentan con el incremento de la intensidad. Como se
ha comprobado, cuanto más bajo sea el f.d.p. de una carga, se
requiere más corriente para conseguir la misma cantidad de
energía útil. Por tanto, como ya se ha comentado, las compañías
suministradoras de electricidad, para conseguir una mayor
eficiencia de su red, requieren que los usuarios, especialmente
aquellos que utilizan grandes potencias, mantengan los factores
de potencia de sus respectivas cargas dentro de límites
especificados, estando sujetos, de lo contrario, a pagos
adicionales por energía reactiva.
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30
Mejora del factor de potencia
Se debe evitar la resonancia, ya que puede dar
lugar a la aparición de tensiones o intensidades
peligrosas para la red.
Es por ello que en los casos de grandes variaciones
en la composición de la carga es preferible que la
corrección se realice por medios automáticos.
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31
Mejora del factor de potencia
Supongamos una instalación de tipo inductivo
cuyas potencias P, Q y S forma el triángulo de
potencia. Si se desea mejorar el cosφ a otro
mejor cosφ', sin variar la potencia activa P, se
deberán conectar un banco de condensadores
en paralelo a la entrada de la instalación para
generar una potencia reactiva Qc de signo
contrario al de Q, para así obtener una potencia
reactiva final Qf. Analíticamente:
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32
Mejora del factor de potencia
donde V =Vef, I= Ief , ω es la pulsación y C la capacitancia de la batería
de condensadores que permitirá la mejora del f.d.p. al valor deseado.
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33
Mejora del factor de potencia

Un transformador de 500KVA funciona a plena carga con un factor de potencia de 0.6 en
retraso. Se conecta una batería de condensadores que corrige el factor de potencia hasta
0.9 en retraso. ¿Cuánta potencia reactiva aportaron los condensadores? Después de la
corrección, ¿Qué porcentaje de la potencia aparente nominal esta proporcionando el
transformador?
S  500 KVA
fp=0.6   =53.13o
P=500cos(53.13)=300KW  Q  500sen(53.13)  400 KVAr
Qfinal =P tg(25.84)=300*tg(25.84)=145.28KVAr
Qc  Q0  Qfinal  400  145.28  254.72KVAr
S f  3002  145.282  333.33 KVA
%de de la potencia aparente nominal=
333.33KVA
 %  66.67
500KVA
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34
Mejora del factor de potencia
 Cierta empresa quiere mejorar su factor de potencia global a 0.975 en
atraso. La empresa posee cuatro grupos de cargas principales. El primer
grupo de carga consiste en cargas varias sumando 200 KVA , con un factor
de potencia de 0.8 en atraso. Un segundo grupo de carga de motores de
inducción de 100 Kw y factor de potencia de 0.83 en retraso. El tercer
grupo de carga es de motores síncronos trabajando en régimen de
sobreexcitación con factor de potencia de 0.85 en adelanto y consumiendo
una potencia de 50KW. La cuarta carga esta constituida por varios hornos a
base de resistencias con una potencia de 60 KW.
a) Determinar si el cliente pagaría multa bajo las condiciones actuales, y
si la pagase, de cuanto seria.
b) Determine la capacidad del banco de capacitores a instalar para para
mejorar el factor de potencia de la planta al nivel deseado.
c) Si el cliente tiene tarifa MTD-1, cual seria su consumo de energía,
potencia y penalización antes de realizar la mejora de su fp.
d) Cual seria su ahorro por mejorar su factor de potencia.
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35
Potencia Máxima Transferida

La potencia activa suministrada a una carga Z1 desde un generador
senoidal con una tensión en vacío de:

Vg y una impedancia int erna Z g  R  JX
Será máxima cuando:

*
Z1  Z
g
 R  JX
O mas general: Para la maxima transferencia de potencia activa o
promedio, la impedancia de carga debe ser igual al conjugado de la
impedancia compleja de thevenin.
Esto se conoce como el teorema de la maxima transferencia de potencia
activa o promedio para el estado senoidal estable.
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36
Potencia Máxima Transferida
2
VTH
1 2
1
* RL
PL  I * RL  I * RL  *

2
2 ( RTH  RL ) 2  ( X TH  X L ) 2
2
ef
Seobtieneunmax imocuando :
2
PL
VTH
* RL *( X TH  X L )
0
 0(*)
2
X L
( RTH  RL ) 2  ( X TH  X L ) 2 
y
2
2
2


VTH
PL
*  ( RTH  RL )  ( X TH  X L )  2 RL *( RTH  RL ) 
0
 0(**)
2
2 2
RL
2 ( RTH  RL )  ( X TH  X L ) 
Delaecuacion(*) : X L   X TH
Delaecuacion(**) : RL 
2
RTH
 ( X TH  X L ) 2
Entonces :

*
Z L  RL  X L  RTH  X TH  ZTH
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37
Medición de la Potencia
 El vatímetro es el instrumento para medir la potencia activa o
promedio.
 Consta de dos bobinas, una de tensión (impedancia muy alta)y otra
de corriente (impedancia muy baja)
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
38
Medición de la Potencia
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
39
TAREA A ENTREGAR
PRACTICA NO. 1
HAYT-KEMMERLY: 11.1,11.11, 11.17,11.41, 11.45,
11.53, 11.57
ALEXANDER- SADIKU
11.15, 11.45, 11.49, 11.51, 11.61, 11.71, 11.73, 11.75, 11.76, 11.85
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40
ACTIVIDADES EXTRA

1. A una carga de 25 KVA con un factor de potencia de 0.8 en retraso se conecta en
paralelo un grupo resistivo de unidades de calor con factor de potencia unidad. ¿Cuántos
KW consumen esas unidades, si el nuevo factor de potencia global es 0.85 en retraso?
2.Una carga de 65 KVA con factor de potencia en retraso se combina con un motor
sincrono de 25 KVA que funciona con un fp=0.6 en Adelanto. Calcular el factor de potencia
de la carga de 65 KVA, si el global es 0.85 en retraso.
Prep. por Ing. Juan Pablo Cuevas
41
ACTIVIDADES EXTRA
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
42
ACTIVIDADES EXTRA
Verificar balance de potencia
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
43
ACTIVIDADES EXTRA
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
44
TEMA II.
CIRCUITOS TRIFÁSICOS
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45
Ventajas de los Circuitos Polifásicos
Por qué se prefieren los sistemas polifásicos para transmitir
cantidades importantes de potencia eléctrica?
-En los sistemas de potencia , especialmente en lo de muy alta
potencia, es deseable tener un flujo estacionario de potencia
desde la fuente a la carga.
-En los sistemas polifásicos se pueden disponer de mas de un
valor de tensión en las líneas.
-Menos corrientes en las líneas, con todo lo que eso implica.
-Los motores trifásicos pueden arrancar por si mismo.
Prep. por Ing. Juan Pablo Cuevas
46
Sistemas Bifásicos
Un generador bifásico equilibrado dispone
de dos fuentes de tensión de igual
amplitud y frecuencia, pero desfasados
90° o 180°.
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47
Sistemas Bifásicos
Prep. por Ing. Juan Pablo Cuevas
48
Sistemas Bifásicos
Prep. por Ing. Juan Pablo Cuevas
49
Sistemas Trifásicos
Los generadores trifásicos contienen tres fuentes
sinusoidales de tensión de igual magnitud y
frecuencia, pero desfasadas entre si 120° (generador
equilibrado)
Importante: En un sistema trifásico balanceado la suma
de los voltajes es igual a cero:
-
-
-
VA  VB  VC  0
Prep. por Ing. Juan Pablo Cuevas
50
Sistemas Trifásicos
Las tres bobinas se
encuentran soportadas
en el estator, mientras
que el rotor esta
imantado o lleva un
electroimán para que
genere el campo
magnético y es la parte
móvil del alternador
Prep. por Ing. Juan Pablo Cuevas
51
Sistemas Trifásicos
Prep. por Ing. Juan Pablo Cuevas
52
Sistemas Trifásicos
Ondas de tensión en sistema monofasico y trifásico
Prep. por Ing. Juan Pablo Cuevas
53
Historia de los Sistemas Trifasicos
Nikola Tesla, un inventor croata-Americano fue quien descubrió el principio
del campo magnético rotatorio en 1882, el cual es la base de la maquinaria
de corriente alterna.
Él inventó el sistema de motores y generadores de corriente alterna
polifásica que da energía al planeta. Sin sus inventos el día de hoy no sería
posible la electrificación que impulsa al crecimiento de la industria y al
desarrollo de las comunidades.
Gracias a esto, grandes cantidades de energía eléctrica pueden ser
generadas y distribuidas eficientemente a lo largo de grandes distancias,
desde las plantas generadoras hasta las poblaciones que alimentan.
Prep. por Ing. Juan Pablo Cuevas
54
Historia de los Sistemas Trifasicos
En Mayo de 1885, George Westinghouse, cabeza de la compañía de
electricidad Westinhouse compró las patentes del sistema polifásico de
generadores, transformadores y motores de corriente alterna de Tesla.
En octubre de 1893 la comisión de las cataratas del Niagara otorgó a
Westinghouse un contrato para construir la planta generadora en las
cataratas, la cual sería alimentada por los primeros dos de diez
generadores que Tesla diseñó. Dichos dinamos de 5000 caballos de
fuerza fueron los más grandes construidos hasta el momento. General
Electric registró algunas de las patentes de Tesla y recibió un contrato
para construir 22 millas de líneas de transmisión hasta Buffalo. Para
este proyecto se utilizo el sistema polifásico de Tesla. Los primeros tres
generadores de corriente alterna en el Niagara fueron puestos en
marcha el 16 de noviembre de 1896.
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55
Sistemas en Triangulo y en Estrella.
Conexión Estrella
Prep. por Ing. Juan Pablo Cuevas
56
Sistemas en Triangulo y en Estrella.
Conexión estrella.
Prep. por Ing. Juan Pablo Cuevas
57
Sistemas en Triangulo y en Estrella.
Conexión Estrella
Disponibilidad del neutro, implicando dos niveles de
tension
Corriente de linea igual a corriente de fase.
Magnitud de voltaje de linea es
de fase.
Prep. por Ing. Juan Pablo Cuevas
veces el voltaje
3
58
Sistemas en Triangulo y en Estrella.
Conexión Triangulo
Prep. por Ing. Juan Pablo Cuevas
59
Sistemas en Triangulo y en Estrella.
Conexión Triangulo.
No se dispone de un verdadero neutro.
Magnitud de la corriente de linea es veces
3 la
corriente de fase.
La magnitud del voltaje de linea es igual a la
magnitud del voltaje de fase.
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60
Fasores de tension
Secuencia positiva
Prep. por Ing. Juan Pablo Cuevas
61
Fasores de tension
Secuencia positiva
Fasorestensiondelinea
V AB VL 30
VBC VL 90
VCA VL 210
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62
Fasores de tension
Secuencia positiva
Fasorestensionde fase(VP 
VL
)
3
VAN VP 0
VBN VP 120
VCN VL 120
Prep. por Ing. Juan Pablo Cuevas
63
Fasores de tension
Secuencia Negativa
Prep. por Ing. Juan Pablo Cuevas
64
Fasores de tension
Secuencia Negativa
Fasorestensionde fase(VP 
VL
)
3
VAN VP 0
VBN VP 120
VCN VL 240
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65
Fasores de tension
Secuencia Negativa
Fasorestensiondelinea
VAB VL 30
VBC VL 90
VCA VL 210
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66
Fasores de tension

ComprobarqueV
 L  3VP
Asumiendosec uencia positiva
VAB VA VB
VL 30VP 0 VP 120
 1 
3
1
3 
( )VL  J ( )VL  VP    VP  J VP ( ) 
2
2
2 
 2 
3
1
3
3
)VL  J ( )V  VP  J VP ( )
2
2
2
2
igualandolas partesreales :
(
(
3
3
)VL  VP  VL  3VP
2
2
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67
Cargas Equilibradas y Desequilibradas en
Triangulo
Prep. por Ing. Juan Pablo Cuevas
68
Cargas Equilibradas y Desequilibradas en
Triangulo
Generalmenteseespecificanlatensioneficazdelinea
delared dea lim entacion,asicomolasec uenciade fase.
Deter min acióndelascorrientesenlasimpedanciasdec arg a :

I AB 

VAB

Z AB

,I BC 

VBC

Z BC

,I CA 

VCA

,
Z CA
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69
Cargas Equilibradas y Desequilibradas en
Triangulo
Deter min acióndelascorrientesenlaslíneas:
AplicamosL.K .C.enlosnodosdec arg a.
Nodo A



I AB  I A  I CA  0
NodoB



I BC  I AB  I B  0
NodoC



I CA  I BC  I C  0
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70
Cargas Equilibradas y Desequilibradas
en Triangulo EJEMPLO A RESOLVER EN EL AULA
Tres impedancias de 1053.13 están conectadas en triángulo a un sistema trifásico CBA con una tensión
de línea de valor eficaz 240 V. Obtenga las intensidades de línea.
VAB  2 * 240  30º
VBC  2 * 24090º
VCA  2 * 240210º
I AB 
V AB
2 * 240  30º

 33.9  83.3º A
1053.13º
Z AB
I BC 
V BC
2 * 24090

 33.936.87º
1053.13
Z BC
I CA 
V CA
2 * 240210

 33.9156.87º A
1053.13
Z CA
I A  I AB  I CA  33.9  83.3º33.9156.87º I A  58.78  53.13
I B  I BC  I AB 33.936.87º 33.9  83.3º I B  58.7866.87
I C  I CA  I BC 33.9156.87º 33.936.87º I C  58.78  173.13
Adicional :
1)Construireldiagrama fasorialdelascorrientes yvoltajesdelinea.
2) Deter min areltriangulode potenciaenlac arg a
Prep. por Ing. Juan Pablo Cuevas
71
Cargas Equilibradas en estrella a Cuatro
Hilos
Prep. por Ing. Juan Pablo Cuevas
72
Cargas Equilibradas en estrella a Cuatro
Hilos
Dadastensioneficazdelineadelared
dea lim entacion,asicomolasec uenciade fase.
Deter min acióndelascorrientesenlaslineasoc arg a :


I A 
VAN


,I B 
ZA



VBN

ZB


,I C 

VCN


ZC

I N  (I A  I B  I C )
Prep. por Ing. Juan Pablo Cuevas
73
Cargas Equilibradas en estrella a Cuatro
Hilos
Idéntico que en el caso de cuatro hilos.
Prep. por Ing. Juan Pablo Cuevas
74
 11.21 Una carga equilibrada conectada en Y, con impedancias 65 20 ,
está conectada a un sistema trifásico a tres hilos secuencia CBA, 480 V
rms. Obtener las intensidades de línea.
VAB  678.8  30
VL
678.8

 391.9
3
3
 VP 0 391.90º
VP 
VAN
VBN  VP 120 391.9120º
VCN  VP 240º 391.9240º
I
A
I
B
IC
V AN
Z A
V BN

ZB
V CN

Zc


391.90º
 6.02920  A
65  20

391.9120º
 6.029 A
65  20

391.9240
 6.029  A
65  20
Prep. por Ing. Juan Pablo Cuevas
75
EJEMPLO A RESOLVER EN EL AULA
 11.28 Un sistema trifásico ABC a cuatro hilos con V  294.2 90,Vtiene conectadas en Y
las impedancias . Calcular las intensidades de corriente
BC
Z A  1245, Z B  1030,ZC  80
VL
 169.8
3
169.80
14.15 45

1245
169.8  120º
16.98

1030
169.8120
.23

80
VP 
I AN
I BN
I CN
  
Prep. por Ing. Juan Pablo Cuevas
76
Cargas desequilibradas en estrella a Tres
Hilos
Prep. por Ing. Juan Pablo Cuevas
77
Cargas desequilibradas en estrella a Tres
Hilos
IA
A
ZA
VAB
IB
B
C
o
VBC
ZB
ZC
IC
Prep. por Ing. Juan Pablo Cuevas
78
Cargas desequilibradas en estrella a Tres
Hilos
IA
Malla 1 [Fuente Vab]
( Z a  Zb ) I1  Z b I 2  Vab
A
Malla 2 [Fuente Vbc]
( Z b  Z c ) I 2  Z b I1  Vbc
ZA
VAB
I A  I1VAO  I A Z A
I b  I 2 I1VBO  I B Z B
I c  I 2 VCO  I C Z C
IB
B
C
o
VBC
Prep. por Ing. Juan Pablo Cuevas
ZB
ZC
IC
79
Cargas desequilibradas en estrella a Tres
Hilos
C
B
VOC
o
VON  VAN  VAO
VON  VBN  VBO
N
VOB
VOC
VON  VCN  VCO
A
Prep. por Ing. Juan Pablo Cuevas
80
Conversión

a
Zc
ZA
a
b
ZB
Y

b
Z3
Z1
Z2
c
c
Prep. por Ing. Juan Pablo Cuevas
81

Y
Conversión Estrella-Delta
Z1Z 2  Z1Z3  Z 2 Z3
Za 
Z3
Z1Z 2  Z1Z 3  Z 2 Z 3
Zb 
Z2
Z1Z 2  Z1Z 3  Z 2 Z 3
Zc 
Z1
a
b
Z3
b
a
ZB
Z1
Zc
ZA
Z2
c
Prep. por Ing. Juan Pablo Cuevas
c
82

Y
Conversión Delta-Estrella
Z a Zb
Z1 
Z a  Zb  Z c
Za Zc
Z2 
Z a  Zb  Z c
a
b
b
a
ZB
Z1
Zc
ZA
Zb Z c
Z3 
Z a  Zb  Z c
c
Prep. por Ing. Juan Pablo Cuevas
Z3
Z2
c
83
SISTEMAS MONOFASICOS A TRES HILOS
Prep. por Ing. Juan Pablo Cuevas
84
SISTEMAS MONOFASICOS A TRES HILOS
V an  V nb
I aA
V an
V nb

 I Bb 
Zp
Zp
I nN   I Bb I aA  I Bb I aA  0
Prep. por Ing. Juan Pablo Cuevas
85
Potencia Trifásica
Las potencias suministrada por las tres fases de un generador equilibrado
A tres impedancias idénticas con argumento (Theta) son
Pa (t )  VP I P Cos  VP I P Cos (2wt   )
Pb (t )  VP I P Cos  VP I P Cos (2wt  240   )
Pc (t )  VP I P Cos  VP I P Cos (2wt  480   )
PT (t )  3VP I P Cos  VP I P [Cos (2wt   )  Cos (2wt  240    2wt  480   ]
Paracualquiert ,tenemosque Cos (2wt   )  Cos (2wt  240    2wt  480    0
PT (t )  3VP I P Cos  P
Prep. por Ing. Juan Pablo Cuevas
86
Potencia Trifásica
Las potencia instantánea es igual a la potencia media total. Se puede
escribir en función de las tensiones eficaces de línea y las intensidades
eficaces de línea
En,VL  V p I L  3I p P  3VL I L cos 
EnY ,VL  3V p I L  I p P  3VL I L cos 
ENRESUMEN ,PARASISTEMAS BALANCEADOS :
P  3VL I L cos 
Q  3VL I L Sin
S  3VL I L
fp  P
S
Prep. por Ing. Juan Pablo Cuevas
87
ASIGNACION
PRACTICA NO. 2:
Libro Hayt-Kemmerly:
12.7, 12.11, 12.13, 12.15, 12.19, 12.25, 12.30
Alexander-Sadiku
12.9, 12.13, 12.19, 12.39, 12.57, 12.67, 12.69
2. ACTIVIDADES ADICIONALES



1. Dos cargas equilibradas conectadas en Delta, con impedancias , 20  60 y45
respectivamente. Están conectadas a un sistema trifásico en el que la tensión de línea es
VBC  212.1V
Calcule la potencia por fase de cada carga. Calcule la intensidad de línea total para obtener la
potencia total.
Solución: 562.3 W, 883.6 W, 4337.5W
Prep. por Ing. Juan Pablo Cuevas
88
EJERCICIO
Una carga equilibrada conectada en estrella, con impedancia 10 /30º está conectada a un
sistema trifásico de secuencia positiva a tres hilos con una tensión de línea de valor eficaz de
480V. Las líneas que alimentan la carga tienen una impedancia
2 /15º ohmios. Dibujar el
diagrama de los fasores de tensión y corrientes. Calcular el triangulo de potencia trifásico
demandado por la carga y la eficiencia de transmisión de la linea.
2. Dos cargas conectadas en paralelo toman un total de 2.4 kw con f.p. de 0.8 retrasado de una
linea de 120 Vrms y f= 60 hz. Una carga absorbe 1.5 kw con f.p. 0.707. Determine a) el factor de
potencia de la segunda carga b) el elemento en paralelo requerido para corregir el f.p. de las
dos cargas y convertirlo en 0.9 en atraso.
Prep. por Ing. Juan Pablo Cuevas
89
EJERCICIO
Una linea trifasica a tres hilos de 480 Vrms de tension de
linea con secuencia ABC alimenta la carga mostrada.
Determinar las corrientes de linea y el triangulo de potencia
trifasico.
Prep. por Ing. Juan Pablo Cuevas
90
TEMA III.
CIRCUITOS CON
ACOPLAMIENTO MAGNETICO
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
91
Inductancia mutua
La Autoinductancia
El flujo magnético total( ), provocado por una bobina en un inductor lineal es
proporcional a la corriente que pasa por ella; es decir,
 =Li. Según la ley de Faraday,
la tensión entre los extremos del inductor es igual a la derivada respecto al tiempo
del flujo total, es decir
vL 
LN
1
iL

v1
d
d
d di
di
N
N
L
dt
dt
di dt
dt
L
d
di
El coeficiente L, en Henrios, se llama
coeficiente de autoinducción.

Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
92
Inductancia mutua
Dos conductores de diferentes circuitos muy próximos uno de otro estarán acoplados
magnéticamente.
M es el inductancia mutua.
M
K es el coeficiente de
acoplamiento mutuo.
i2
i1

v1

L1
11

12
L2
22
v2

21
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
93
Inductancia mutua
K
M

L1 L2
M  K L1 L2
1  flujototaldelabobina1(
 1  12  11 )
12  partedel flujodelabobina1quebañaalabobina2
11  partedel flujodelabobina1queautobañaalabobina1
2  flujototaldelabobina(2  21  22 )
21  partedel flujodelabobinaquebañaalabobina
22  partedel flujodelabobinaqueautobañaalabobina
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
94
Coeficiente de Acoplamiento
Una bobina con N espiras con un flujo magnético  atravesando cada espira tiene un
flujo magnético total   N Según Faraday fem  d   N ( d )
dt
Delabobina1hacialabobina2 :
fem  M
dt
di1
d
d
 N 2 12  porloque M  N 2 12
dt
dt
di1
Por definición la autoinductancia
viene dada también por
LN
d
di
Elacoplamientoesbilateral  Delabobina2hacialabobina1:
di
d
d
fem  M 2  N1 21 oM  N 2 21
dt
dt
di1
 M  N1
d21
di2
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
95
Coeficiente de Acoplamiento
En la figura, el flujo total (1 ) resultante de una corriente ( i1) a lo
largo de N1 espiras, esta formado por un flujo disperso ( 11) y un flujo de
acoplamiento o flujo mutuo(12).
i2
i1
11
N1
N2
12
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
96
Coeficiente de Acoplamiento
ElcoeficientedeacoplamientoK ,sedefinecomolarelacionentreel flujomutuo yeltotal


K  12  21
1 2
Tomandolos productosdelasecuacionesen
colorm arg enta :
d
d
d (k1 )
d (k2 )
M 2  ( N 2 12 ) * ( N1 21 )  ( N 2
) * ( N1
)
di1
di2
di1
di2
d1
d2
 k ( N1
)( N 2
)  k 2 L1L2  M 2  k 2 L1L2
di1
di2
2
 M  k L1L2
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
97
Regla de los puntos
*Cuando la corriente en la bobina inductora entra
por el terminal punteado, la fem inducida en la otra
bobina tendrá su polaridad + en el terminal
punteado.
*Cuando la corriente en la bobina inductora entra
por el terminal no punteado, la fem inducida en la
otra bobina tendrá su polaridad + en el terminal no
punteado.
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
98
EJERCICIO
EJERCICIO DE APLICACION
ANALIZAR EL EJERCICIO 13.8 LIBRO HAYT KEMMERLY
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
99
EJERCICIO
EJERCICIO DE APLICACION
13.9. En el circuito que se presenta en la figura,
determine la potencia promedio o activa que absorbe:
a) La fuente
b) Cada uno de los resistores,
c) cada uno de los inductores,
d) la inductancia mutua.
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
100
EJERCICIO
Malla 1
1000  50 I1  j 200 I1  j300 I 2  0
(50  j 200) I1  j300 I 2  1000
Malla 2
500 jI 2  2000 I 2  j 300 I1  0
j 300 I1  (2000  500 j ) I 2  0
Re solviendo :
I1  0.47  64
I 2  0.069  168
Pfuente ( generada )  Vrms * I rms Cos 
100 0.47
*
Cos (64)  10.30Watts
2
2
Pfuente ( absorbida )  10.30Watts
P50  (
I1 2
) * R  5.63Watts
2
P2000  (
I2 2
) * R  4.77Watts
2
c) P  0
d ) P  0
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
101
EJERCICIO
EJERCICIO DE APLICACIÓN.
13.12. En el circuito que se presenta en la figura 13.45, si f=50 h.
determine las corrientes i1 (t ),i2 (t )ei3 (t )
Re spuestas :
i1 (t )  6.68cos(314t  2.73)
i2 (t )  6.67 cos(314t  0.46)
i3 (t )  6.67 cos(314t  0.91)
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
102
Consideraciones energéticas
La energía almacenada en un par de bobina
acoplada magnéticamente viene dada por:
W (t ) 
1
1


L1i1 (t )  L2 i2 (t ) M i1 (t )i2 (t )
2
2
El tercer término será positivo si ambas corrientes
entran por el mismo tipo de terminal y negativo si una
corriente entra por el terminal punteado y la otra por el
terminal no punteado.
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
103
Consideraciones energéticas
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
104
Circuitos conductivos Equivalentes
Redes Equivalentes en T
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
105
Circuito equivalente Pi
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
106
Transformador Ideal, Lineal y Auto
transformador.
INVESTIGAR
SOBRE
TRANSFORMADORES,
TRANSFORMADOR
IDEAL,
TRANSFORMADOR
LINEAL,
AUTOTRANSFORMADOR,
TRANSFORMADOR TRIFASICO
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
107
EL TRANSFORMADOR LINEAL
Transformador -red que contiene dos o mas bobinas que se acoplan
magnéticamente de manera deliberada.
Primario se conecta a la fuente
Secundario  se conecta a la carga.
En el modelo transformador lineal se asume una relación lineal entre el
flujo magnético y la corriente.
Ver figura 13.16
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108
EL TRANSFORMADOR LINEAL
Impedancias de entrada y reflejada:
Z ent  Z 11 
 2 M 2 R22
R 2 22  X 2 22
 j 2 M 2 X 22
 2
R 22  X 2 22
Notas :
Notas :
X 22   L2  X L
Z 11  R11  J  L11
R22  R2  RL
Z reflejada 
 2 M 2 R22
R 2 22  X 2 22
j 2 M 2 X 22
 2
R 22  X 2 22
Cuando el acoplamiento aumenta a partir de cero, la
impedancia de entrada difiere de Z11 por una cantidad
llamada impedancia reflejada o referida.
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109
EL TRANSFORMADOR IDEAL
-Acoplamiento =1
-Reactancia inductiva del primario y el secundario muy
grandes.
L2 N 2 2
 2  a2
L1 N 1
a
N2
(relaciondet ransformacion
N1
a
E2 I1

E1 I 2
HaciendoL1  
Z ent 
ZL
 ParaZ L  finita
a2
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
110
EL TRANSFORMADOR IDEAL
Determine la potencia promedio que se disipa en el
resistor de 10 kilo ohms.
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
111
EL TRANSFORMADOR IDEAL
Solucion:
P  10000*I ef 2
Z ent . 
ZL
10000

100

100
2
I1 
50
 250mArms
100  100
I2 
I1

 25mArms P 6.25W
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
112
EL TRANSFORMADOR IDEAL
Para la relacion fasorial de voltajes y corrientes con la relacion de
transformación se le asigna un signo a la relacion de transformación
según las direcciones de las corrientes y la polaridad de los voltajes:
 Si ambos voltajes están polarizados de la misma manera con
respecto al punto se usa +n, de lo contrario se emplea –n.
 Si ambas corrientes entran o salen del punto se emplea –n, de lo
contrario se usa +n.
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113
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
114
El auto transformador ideal
Auto transformador ideal reductor (fig. a)
Alexander-Sadiku, 3er edicion.
Auto transformador ideal elevador (fig. b)
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115
El auto transformador ideal
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
116
ASIGNACIONES
PRACTICA NO. 3
EJERCICIO LIBRO HAYT- KEMMERLY
13.3, 13.11, 13.15, 13.19, 13.21, 13.25, 13.34,13.41, 13.47,13.49.
EJERCICIO LIBRO ALEXANDER- SADIKU
13.13, 13.15, 13.27, 13.31, 13.43, 13.49, 13.59, 13.67, 13.75, 16.29
Actividades adicionales
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
117
Actividades Adicionales
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
118
Actividades adicionales
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
119
TEMA IV
FRECUENCIA COMPLEJA Y TECNICA
DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
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120
Introducción
Tipos de Señales vistas hasta el momento:
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121
INTRODUCCION
Frecuencia Compleja
Un Concepto Unificador
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122
Frecuencia Compleja
Señal senoidal exponencialmente
amortiguada. Se puede ver como un caso
general.
v(t ) vm e t cos(t   )

s    j
    responsabledelamortiguamientoexp onencial
 responsabledelasoscilacionessenoidales, frecuenciade pulsacion.
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123
Frecuencia Compleja
Casos especiales
1. Señal DC.
Aquí setiene :
  0
0
t
v(t ) vme cos(t   )vme cos(0   ) vm cos  v(t ) V0
0
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124
Frecuencia Compleja
 Casos especiales
 3. Señal AC.
Aquí setiene :
  0

v(t ) vme t cos(t   )vme0 cos(t   ) v(t )  vm cos(t   )
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125
Frecuencia Compleja
 Casos especiales
 3. Señal Exponencial.
Aquí setiene :
  0

v(t ) vme t cos(t   )vm e t cos(0   ) vm cos )e t
 v(t )  Ae t 
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126
Frecuencia Compleja
 Casos especiales
 3. Señal Senoidal Exponencialmente
amortiguada.
Aquí setiene :
  0

t
v(t ) vm e cos(t   ) 
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127
Señal Senoidal Exponencialmente
Amortiguada.
Otras formas de expresión:
Si recordamos a Euler:
 j
Cos  e  e  j  

AplicandoestoalaecuaciondelaseñalSEA., setiene :
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128
Señal Senoidal Exponencialmente
Amortiguada.
 j ( t  )
1
  1 vm e j e (  j )t  1 vm e  j e (  j )t
v(t ) vm e t * e j (t  )  e
 2
2
2


v(t )  K1e K 2 e s2t 
s1t
Donde.

1
1
K1  vm e j  yK 2  vm e  j
2
2
s1   j ys2   j

*

*
Noteque :K1  K 2  ys1  s 2
Verejerciciode practica4.1 y14.2( pag 537dellibroHayt  Kemmerly, 7 ma.edicion)
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
129
Señal Senoidal Exponencialmente
Amortiguada.
Recordando que:
j

Cos  e   cos   jsen 
Si aplicamos este criterio a la ecuación de
la señal SEA.:
v(t ) vm e t cos(t   )vme t  e j (t  )  vme t e j (t  ) 
j
v(t )  vme e
(  j ) t


 v(t )   V e st 


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130
Respuesta forzada SEA.
La fuente de voltaje produciria una
respuesta de corriente forzada de la
misma naturaleza.
i(t )I m e t Cos(t )


st
i(t ) I e 




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131
Respuesta forzada SEA.
Dado
,
v(t ) e
2 t
cos(4t  10)
Encontrar a i(t)
W
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132
Ejemplo de respuesta forzada
SEA.

 st 
 st  1
 st 
d
st 
 V e   2 e   L * ( e  )    e dt 0
dt





 C


V e st e st  sLe st 
1
1
e st  V  ( sL 
sC
sC
1
1
Noteque : Z  sL , Entonces X L sL y X C 
sC
sC
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133
Ejemplo de respuesta forzada
SEA.
Ennuestroejemplonumerico :
s  2 j 4seg 1
V  sL
1
1
 0
 60 10  2 (2  j 4) **  
(2  j 4) *0.1
sC
Dedondedespejandoa,seobtiene :
 5.37 106.6A
i (t )  5.37e 2t cos(4t  106.60 )amps.
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134
Ejemplo de respuesta forzada SEA.
i (t ) e
2 t
cos(10t 105)mA
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
135
Ejemplo de respuesta forzada
SEA.
Solucion :

V 185 / 48
v(t ) e 3t cos(4t  48)
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136
ANALISIS DE CIRCUITOS
CON TRANSITORIOS
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
137
•Circuitos RL y RC sin fuentes
Capacitores e Inductores
Capacitores
i C
dv
dt
Notas:
1. El capacitor puede almacenar energía aun siendo la corriente a través de el 0
1
W(t )  CVC 2
2
2. El voltaje en el capacitor NO PUEDE CAMBIAR ABRUPTAMENTE.
V (0 )  V (0)  V (0 )
3. El capacitor ante señal DC se comporta como circuito abierto.

138
•Circuitos RL y RC sin fuentes
Capacitores e Inductores
Inductores
VL  L
di
dt
Notas:
1. Aun siendo 0 el voltaje en el inductor puede almacenar energía.
1 2
Li (t )
2
2. La corriente en el inductor NO PUEDE CAMBIAR ABRUPTAMENTE.
WL(t ) 
i(0 )  i(0)  i(0 )
3. El inductor ante señal DC se comporta como un cortocircuito.(como un cable)

139
METODO DE LA TRANSFORMADA
DE LAPLACE
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
140
Introduccion
(Pierre-Simon Laplace )
La transformada de Laplace es una herramienta
fundamental en el análisis de los sistemas lineales.
Esta herramienta matemática permite la transformación
de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes
constantes en ecuaciones algebraicas.
La Transformada de Laplace permite representar un
gran numero de excitaciones como un conjunto infinito
de exponenciales complejas.
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141
Transformada de Laplace
f (t )definida parat  0(versionunilateral )

L f (t ) F ( s )   f (t )e  st dt
0
s   j
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142
Transformada de Laplace
La transformada es biunívoca
Si f1 (t ) y f 2 (t )tienenlamismatransformada,entonces f1 (t ) f2 (t )
Esto permite la transformada inversa de
Laplace
L1  F ( s )   f (t )
otambién
1
 0  j
st
L  F ( s )   f (t )

F
(
s
)

e
ds

2 j  0  j
1
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143
Algunas transformadas de Laplace

 e  st 
1
1
 st
1.Lu (t )    e dt  


0

1

L

u
(
t
)

 
  

0
s
s
 s 0


 e ( s  a )t 
A
 at
 at
 st
 at


2.L Ae     Ae e dt  A 

L

Ae



 s  a
0
s

a

0
 A 
 at
Noteentoncesque :L1 

Ae
 s  a 


3.L sent     sent e  st dt  L sent 
0


s2   2
s
2
2
s


Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
4.L cost     cost e  st dt  L cost 
0
144
Ver capitulo 7 de AlexanderSadiku
Función Impulso unitario
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145
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
146
TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE DE ALGUNAS FUNCIONES
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
147
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
148
Algunas transformadas de Laplace
4. La transformada de una derivada:
 d  f (t )   d  f (t )  st
L
 
e dt(int egrando por parte)

0
dt
 dt 
u e st du   se st
d  f (t )
dv 

. dtv  f (t )
dt


0



0
0
udvuv 0    vdu e  f (t )    

0
 st
 d  f (t ) 
f (t )(e )dt  L 
  f (0)  sF

 dt 
 st
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
149
Teoremas del valor Inicial y Final
Teorema del valor inicial
Tomandoellim itecuandos  delatransformadadirecta
df (t )
deLaplacedeladerivada
dt
 df (t )
 df (t ) 
 st
lim L 

lim

.

e
dt  limsF ( s )  f (0)  0


0
s 
s 
dt
 dt  s 
Como f (0 )esunacons tan te,se puedeescribir


f (0 )lim sF ( s ) ,definiciondelteoremadelvalorinicial.
s 
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
150
Teoremas del valor Inicial y Final
Teorema del valor final
Tomandoellim itecuandos  0delatransformadadirecta
df (t )
deLaplacedeladerivada
dt
 df (t )

 df (t ) 
 st

lim L 

lim

.

e
dt

lim

df
(
t
)

f
(

)

f
(0
)limsF ( s)  f (0)

s 0
s  0 0
s  0 0
s 0
dt
dt


Como f (0 )esunacons tan te,se puedeescribir


f ()  f (0 )   f (0 ) lim sF ( s)
s 0


 f ()lim sF ( s ) ,definiciondelteoremadelvalor final.
s 0
Solovalidocuandotodoslos polos
depor
sFProf.
( S )Juan
tienen
 parterealnegativa.
Preparado
Pablo Cuevas
151
Transformada de Laplace
Transformada Inversa de Laplace
Dada una transformada F(s) encontrar la función f(t) de la cual F(s) es
transformada.
Se recomienda:
1. Descomponer F(s) en términos simples usando una expansión en fracciones
parciales.
2. Se encuentra el inverso de cada termino contrastándolo con las entradas de
las tablas.
Polos Simples:
Expansión:
Los factores ki se conocen como residuos de F(s).
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
152
Transformada de Laplace
Transformada Inversa de Laplace
Cuando se conocen los residuos, se puede proceder a encontrar el inverso
de F(s):
Polos Repetidos:
Suponga que F(s) tiene n polos repetidos en s= -p, la expansión debe
Hacerse de la siguiente manera:
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
153
Transformada de Laplace
Cuando se conocen los residuos, se puede proceder a
encontrar el inverso de F(s):
Polos Complejos
F1(s) es el residuo de F(s) que no tiene el par de polos complejos.
Usaremos el método Algebraico, la calculadora TI o el programa Matlab
para encontrar la antitransformada de Laplace.
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
154
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
155
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
156
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
157
Aplicación a circuitos eléctricos.
Determinar la intensidad resultante.
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
158
Aplicación a circuitos eléctricos.
Solución:
Lacorrienteent 0 :
50
i0   i0  2 A
25
Laecuacioneneldo min iodeltiempo parat  0es :
di
25i  0.01  100
dt
AplicandotransformadadeLaplace :
100
100
0.02
25I ( s ) 0.01sI ( s )0.01(
 2)
I ( s ) 

s
s (0.01s  25) 0.01s  25
104
2
I (s) 

s ( s  2500) s  2500
Aplicandolaantitransformada :
i (t ) 4  2e 2500t 
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
159
Aplicación a circuitos eléctricos.
Determinar la intensidad resultante a sabiendas de que no hay carga inicial
en el condensador.
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
160
Aplicación a circuitos eléctricos.
Solución:
Eneldo min iodeltiempo :
Q
di 1 t
2iL   idt 0  V 
dt C 0
C
AplicandotransformadadeLaplace :
2 I ( s ) sI ( s )  i0  
1
50
50
I (s) 
 I ( s )  2
sC
s
s  2s  2
Aplicandoantitransformada :
i (t )50e  t sent( A)
Nota.Re solvereste problema porelmetodotradicional aprendido
enlaasignaturaCIRCUITOS I  ycomparar el resultado.
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
161
Aplicación Tecnica TL a circuitos
eléctricos.
Ejemplo 10.8, pag 556 libro Hayt-Kemmerly, 7ma
edicion.
Solucion:
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
162
Aplicación Tecnica TL a circuitos
eléctricos.
Analizar los siguientes ejemplos resueltos del Libro Nahvi & Edminister
“Theory and problems of electric circuits”, 3ra edicion: 16.6, 16.14,
16.17 y 16.19
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
163
Circuitos en el Dominio s.
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
164
Circuitos en el Dominio s.
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
165
Circuitos en el Dominio s.
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
166
PRACTICA No. 4
1. LIBRO HAYT- KEMMERLY, CAPITULO 14.
14.49, 14.55, 14.59
2-LIBRO ALEXANDER-SADIKU, Capitulo 16
Ejercicios:16.15, 16.16,16.17, 16.19, 16.33,
16.35, 16.37, 16.43, 16.47, 16.55, 16.57
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
167
Actividades Adicionales
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
168
Actividades Adicionales
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
169
Actividades Adicionales
Solucion:
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
170
TEMA V
RESPUESTAS EN
FRECUENCIA
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
171
Concepto de Resonancia
La respuesta (un voltaje o una corriente) varía con la frecuencia de
la fuente.
Asumiremos excitaciones senoidales (CA).
Una red o circuito esta en resonancia cuando la onda de voltaje de
entrada esta en fase con la onda de corriente de entrada.
En esta situación la fuente solo ve los elementos resistivos del
circuito ya que los efectos inductivos se cancelan exactamente con
los efectos capacitivos.
¿Cuál es el factor de potencia de una red en resonancia?
¿Qué tipo de potencia entrega la fuente a una red en resonancia.
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
172
Circuito Resonante en paralelo
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
173
Circuito Resonante en paralelo
La respuesta en este caso es el voltaje.
La excitación es el fasor I
i (t )  I mCost
esla frecuenciadeexcitacióndela fuente
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
174
Circuito Resonante en paralelo
La admitancia de entrada se determina por la
expresion:

1
1
Y   j(c 
)
R
L
En resonancia:
0 c 
1
 0  0 C *0 L  1  0 
w0 L
1
 frecuenciaderesonancia
LC
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
175
Circuito Resonante en paralelo
Cómo varia la respuesta con la frecuencia ω.
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
176
Circuito Resonante en paralelo
El máximo valor de la respuesta se
alcanzaría para una ω igual a la
frecuencia de resonancia.
w1  frecuenciainf eriordemedia potencia
w2  frecuenciasup eriordemedia potencia
  anchodebanda   2  1
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
177
Circuito Resonante en paralelo
Factor de calidad
Q  2
max imaenergiaalmacenada
energiatotaldisipadaenun periodo
Determinaremos una expresión para el factor de calidad en resonancia.
Energía almacenada en el inductor
WL 
1
L *i 2 (t )
2
Nóteseque :i (t ) 
1
L
 vL dt  I mCosw0t * Rdt  i (t ) 
Im R
Senw0t
Lw0
Luego :
( I m )2 R 2
WL (t ) 
Sen 2 w0t
2
2L( w0 )
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
178
Circuito Resonante en paralelo
Energía almacenada el capacitor
1
1 1
2
2
2
2
WC (t )  Cv (t )  (
)

I

R
Cos
w0t )
m
2
2
2 L
Luego :
I 2 m R 2
2
WC (t ) 

Cos
w0t
2
2L( )
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
179
Circuito Resonante en paralelo
Energia almacenada total
W (t )WL (t )WC (t )
( I m   R 2
( I m )2 R 2
2
2
w0t
Cos


t
w

Sen
W (t ) 
0
2
2
2L( )
2 L( w0 )
( I m )2 R 2
2
2

w0t 
Cos

t
w

Sen
W (t ) 
0
2 
2 L( w0 )
( I m )2 R 2
W (t ) 
2 L( w0 ) 2
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
180
Circuito Resonante en paralelo
Energia disipada en el resistor
1
PR (t )  ( I m ) 2 R
2
T
T
0
0
WR   PR (t )dt  
1
1
2
 ( I m ) Rdt  ( I m ) 2 R * T
2
2
1
WR  ( I m )2 R *(2 / w0 )  WR  ( I m ) 2 R *( / w0 )
2
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
181
Circuito Resonante en paralelo
Luego:
( I m )2 R 2
2 L( w0 ) 2
max imaenergiaalmacenada(enres.)
Q0  2
 2 
energiatotaldisipadaenun periodo(enres.)
( I m ) 2 R * ( / w0 )
( I m )2 R 2
1
2 L(
)
R
R
R
LC
Q0  2 

Q


R

C

ó

Q



0
0
0
( I m ) 2 R * ( / 0 )
0  L X L 0
XC0
Nota.
  coef .deamort.exp onencial
d  frec.resonantenatural 
0
1
1



  
Q
2 RC
2Q0
2
2( 0 )C
0 C
(0 ) 2   2  d  0 1  (
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
1 2
)
2Q0
182
Circuito Resonante en paralelo
Notas.
Q0  5  Q0 alto,curvaderespuestaesbelta
Se puedenotar que :


I C 0  JQ0 I


I L 0   JQ0 I

Amplificaciondecorriente
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
183
Información adicional sobre Circuito
Resonante en paralelo
Sabemos que:

Y 
1
1
 j( wc 
)
R
wL
Manipulando esta ecuación:

wR
1
1
 j 0 ( wc 
)
R
w0 R
wL

wR
1
1 w Rwc
 j ( 0
 0 )
R
R
w0
w0 wL

wR
1
1 w Rwc
 j ( 0
 0 )
R
R
w0
w0 wL
Y 
Y 
Y 
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
184
Información adicional sobre Circuito
Resonante en paralelo

 w w0  
1
1 Q0 w Q0 w0
1
Y   j (

)  Y  1  jQ0    
R
R w0
w
R
 w0 w  

Para las frecuencias de media potencia la magnitud de la admitancia de
entrada del circuito resonante es 2 , por tanto el termino imaginario de la
R
ecuación debe tener los valores -1 y +1.
w w
Q0 ( 1  0 )  1
w0 w1
y despejando

1 2
1 
w1  w0  1  (
) 

2Q0
2Q0 

Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
185
Información adicional sobre Circuito
Resonante en paralelo
Procediendo igual para w2
Q0 (

w1 w0
1 2
1 
 )  1  w2  w0  1  (
) 

w0 w1
2
Q
2
Q
0
0

Restando estas dos expresiones se tiene
w0
  w2  w1   
Q0
Multiplicandolasexp resionesdew1 yw2 :
w1w2  ( w0 ) 2  w0  w1w2
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
186
Información adicional sobre Circuito
Resonante en paralelo
Aproximaciones
SiQ0  5
w0 
1  2
2
Parauna frecuenciaqueestéenel rango :w0    1.10w0  yademásSiQ0  5
lassiguientesaproximacionesal calcular laadmi tan ciadeentradase puedenrealizar 
yelerrorarrastradoesdespreciable.

Y 
1
1  jN 
R
donde :
  0
N 
 ndesemianchosdebanda fueraderesonancia

2
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
187
Información adicional sobre Circuito
Resonante en paralelo
Aproximaciones
Errorenmagnitud :
 e% M 
Yapro.  Yexacta
Yexacta
*100
Erroren fase
apro.  exacta
e% 
*100
exacta
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
188
Ejercicio de circuito resonante en
paralelo
Sea0  30krad / s,Q0  10,R  600enciertocircuitoenresonante
en paralelo.
a)Determineelanchodebanda
b)CalculeN en 28krad / s

c)Utilicemetodosaproximados paradet erminarZ ent . ( j 28000)

d ) DéelverdaderovalordeZ ent . ( j 28000)
e)Establezcael porcentajedeerrorenelqueseincurreutilizando


relacionesaproximadas paracalcular Z ent .  y Ang . Z ent .a28krad / s.
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189
Ejercicio de circuito resonante en
paralelo
Solucion :
a )  ?
 
0
Q0

30, 000
   3, 000rad / s
10
b) N  ?
  0
28, 000  30, 000
N 

 N  1.33

3, 000
2
2

c )Z ent . ( j 28000) pormetodosaproximados ?

Z ent . ( j 28000) 
1
1
1  jN 
R

1
1
1  j1.33
600

 Z ent . ( j 28000)  360 53.06

d ) Z ent . ( j 28000),valorexacto ?
Q0  0 RC  C 
Q0
10

 C  5.56   F
0 R
30, 000 * 600
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190
Ejercicio de circuito resonante en
paralelo
Q0 
R
R
600
L

 L  2*10
 3 
0 L
0Q0 30, 000 *10


1
1
Z   

1
1
1
1
Y
 j( c 
)
 j(28, 000 *5.56  
)
R
L
600
28, 000 * 2*10
 3

Z  353.15 53.93
e)Errores.


Z apro.  Z exacta
e% M 

Z exacta
e% 
*100 
360  353.15
*100  e% M  1.94%
353.15
aprox.  exacta
53.06  53.93
*100 
*100  e%  1.61
exacta
53.93
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191
Circuito Resonante en Serie
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192
Circuito Resonante en Serie
El análisis es similar al del circuito resonante en paralelo,
solo cambia la expresión de
Q0
Q0serie 
w0 L
R
En serie la respuesta deseada es la corriente.
Interesa tambien la expresion de la impedancia:

1
Z  R  j ( wL 
)
wC
Nótese que en
resonancia:

Z  R 1  jN 
w0 
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w1  w2
2
193
Circuito Resonante en Serie
Aproximaciones
Bajos las mismas condiciones especificadas para el
circuito resonante en paralelo se pueden realizar las
aproximaciones para el circuito resonante en serie.
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194
Conversion serie- paralelo
RP 
Rs 2  X s 2
Rs
  X P 
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Rs 2  X s 2
Xs
195
Funcion de Transferencia
 La funcion de transferencia es la relacion de una salida fasorial
sobre una entrada fasorial.
Alexander-Sadiku, 3ra edicion.
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196
Funcion de Transferencia
La función de transferencia se puede expresar en función de su
polinomios numerador y denominador.
Para evitar el algebra de números complejos, sustituimos
temporalmente a jw por s, y al final volvemos a sustituir por jw.
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197
Diagramas de Bode

Alexander-Sadiku, 3ra edicion.
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198
Diagramas de Bode
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199
Diagramas de Bode
 En un diagrama de Bode:
La forma estándar
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200
Diagramas de Bode
Tips para la grafica de magnitud
 El termino constante se dibuja una linea recta con el valor 20 log K.
 Para ceros o polos en el origen se hacen pasar por cero en la frecuencia
w=1, y se le da la pendiente con el signo adecuado.
 Para ceros o polos simples se dibuja una linea horizontal que es cero
hasta la frecuencia de corte, en esta ultima se levanta con la pendiente
correspondiente. Si es cero pendiente + , si es polo, pendiente - .
Cuando los polos o ceros son multiples, se multiplica el exponente por la
pendiente de 20 Db/dec.
 Si hay cero o polo cuadratico, estos se trabajan igual que el polo simple,
pero su pendiente es n veces la del cero o polo simple.
 Al final se suman todas las graficas de los terminos de la funcion de
transferencia. Las graficas asintoticas son graficas aproximadas. Las
graficas exactas difieren en 3 dB en las frecuencias de quiebre.
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201
Diagramas de Bode
Tips para la grafica de fase
 Para el termino constante el Angulo es siempre cero.
 Para ceros o polos en el origen, el angulo es 90.
 Para ceros o polos simples se dibuja una linea horizontal que es cero
hasta un decimo de la frecuencia de corte, pasando por 45 en esta
ultima, hasta llegar a 90 (quedandose en este valor) en una frecuencia
igual a 10 veces la frecuencia de corte.
 Cuando los polos o ceros son multiples, se multiplica el exponente por
los angulos del item anterior.
 Si hay un cero o polo cuadratico se trabaja igual que un polo simple
repedido en su frecuencia critica.
 Al final se suman todas las graficas. Las graficas asintoticas son graficas
aproximadas. Las graficas exactas difieren en 3 dB en las frecuencias de
quiebre.
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202
Diagramas de Bode

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203
Diagramas de Bode
Solución:
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204
Diagramas de Bode
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205
Diagramas de Bode
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206
Diagramas de Bode
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207
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208
Filtros
 Los filtros electrónicos son circuitos capaces de
discriminar frecuencias. Esto quiere decir que actúan de
modo distinto para señales oscilantes a diferentes
frecuencias.
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209
Filtros
Clasificación de los filtros de acuerdo a sus
componentes constitutivos
Filtros pasivos
Filtros activos
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210
Clasificación
 Existen básicamente cuatro tipos de filtros, que
son:
 Filtros pasa-bajas.
 Pasa-altas.
 Pasa-banda.
 Filtros supresores de frecuencias o rechazabanda.
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211
Frecuencia de corte
 Se representa por fc o wc. Es el
punto en el cual el filtro
empieza
a
recortar
frecuencias,
esto
tiene
diferentes
implicaciones
dependiendo el tipo de filtro.
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212
Filtros Pasa Bajos
Permite el paso de las frecuencias
menores que cierta frecuencia ωc,
denominada frecuencia de corte (o
frecuencia superior de corte) y bloquea las
mayores.
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213
Filtro pasa bajas pasivo
Su funcionamiento es a base de un
condensador y resistencia, este filtro tiene
la siguiente configuración:
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214
Filtro pasa bajas activo
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215
Filtro pasa altos
 Permite el paso de las frecuencias mayores que cierta
frecuencia ωc, también denominada frecuencia de corte
(o frecuencia inferior de corte), y bloquea las menores.
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216
Filtro pasa altos pasivo
 El único cambio que presenta es la conexión de la
salida, la cual en vez de tomarse del condensador se
toma de la resistencia lo cual nos provoca que en vez de
dejar “pasar” las frecuencia bajas pasen las frecuencias
altas.
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217
Filtro pasa altos activo
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218
Filtro pasa banda
 Permite el paso de las frecuencias comprendidas entre
dos frecuencias ωl y ω2 (ωl < ω2), denominadas
frecuencia inferior de corte y frecuencia superior de
corte, bloqueando las restantes.
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219
Filtro pasa banda pasivo
 Estos permiten el paso de un rango determinado de
frecuencias, no permiten el paso de frecuencias
superiores o inferiores al rango que el filtro permite.
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220
Filtro pasa banda activo
 Normalmente se usan filtros paso-baja en serie con
filtros paso-alta de los órdenes adecuados.
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221
Filtro Rechaza banda
 Bloquea las frecuencias comprendidas entre las
frecuencias de corte ω1 y ω2, dejando pasar las
restantes.
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222
Filtro Rechaza banda pasivo
 Estos se encargan de atenuar un rango determinado de
frecuencias, permitiendo el paso de frecuencias más
altas o más bajas.
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223
Filtro Rechaza Banda Activo
 Ocurre lo mismo que con el pasa-banda. Se puede
hacer un filtro elimina-banda con la combinación de un
paso-alta con un paso-baja de la siguiente forma:
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224
`
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225
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226
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227
ASIGNACION
PRACTICA NO. 5
Hayt- Kemmerly:
16.1, 16.7, 16.17, 16.19,16.21, 16.31, 16.35,
16.65, 16.67
Alexander-Sadiku:
17.35,
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228
TEMA VI.
ANALISIS DE CIRCUITOS
POR EL METODO DE
FOURIER
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229
Introducción
Toda señal periódica (que cumpla las
condiciones de Dirichlet) puede
representarse por una serie de fourier
Funciones periódicas.
Una señal v(t) es periódica con período
T si:
v (t )  v (t  T )
La serie de fourier es una suma infinita de
funciones senoidales (armonicos) y una
constante.
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230
Condiciones de Dirichlet
Numero finito de máximos y mínimos en
un periodo.
Valor medio finito.
Numero finito de discontinuidades.
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231
Forma Trigonométrica de la Serie
de Fourier
a0
 a1Cost  a2Cos t  a3Cost  ...  anCosnt  ...
2
b1Sent  b2 Sent  b3 Sent  ...  bn Sennt  ...
f (t ) 
Multipliquemos porCosnteint egremosenun periodo :

T
0
f (t )Cosntdt  
T
0
T
T
T
T
a0
Cosntdt  a1  CostCosntdt  a2  Cos tCosntdt  a3  CostCosntdt  ...  an  CosntCosntdt  ...
0
0
0
0
2
T
T
T
T
0
0
0
0
b1  SentCosntdt  b2  SentCosntdt  b3  SentCosntdt  ...  bn  SenntCosntdt  ...
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232
Forma Trigonométrica de la Serie
de Fourier
Sedeberecordar yverificarque :


T
0
T
Cosntdt  0 Senntdt  0
0
T
0
T
SenktCosntdt  0 SenktSenntdt  0(k  n)
0
T
 CosnktCosntdt  0(k  n)
0
Loscasosqueseexceptuanson :

T
0
T
Cos 2 ntdt  T / 2 Sen 2 ntdt  T / 2
0
Luego :
2 T
an   f (t )Cosntdt
T 0
Otambien :
an 
1

2
0
f (t )Cosntd t
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233
Forma Trigonométrica de la Serie
de Fourier
Procediendo de manera parecida para determinar
los términos bn.

T

T
0
0
T
T 1
f (t ) Sentdt  bn  Sen 2 ntdt  bn  (  Sen 2nt dt )dt
0
0
2
T
2
f (t ) Senntdt  bn ( )  bn 
2
T
O tambien:
bn 
1


2
0

T
0
f (t ) Senntdt
f (t ) Senntd (t )
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234
Forma Trigonométrica de la Serie
de Fourier
Serie trigonometrica de Fourier unificada.
f (t )  c0  c1Cost  1 )  c2Cos (t   2 )  c3Cost  3 )  ...  cnCos (nt   n )  ...
donde :
cn  (an ) 2  (bn ) 2
a0
c0 
2
bn
 n  tan ( )
an
1
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235
Espectro de una onda
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236
Forma Trigonométrica de la Serie
de Fourier
Ejemplo1. Dada la función de la grafica siguiente
determine la serie trigonometrica de fourier.
Determine la serie unificada y su espectro.
p
p
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237
Forma Trigonométrica de la Serie
de Fourier
Solucion :
f (t ) 
an 
1

100
* t
2

2
0
f (t )Cosntd (t ) 
1


2
0
100
100
2
* t * Cosnt d (t ) 



¨0
2
2 2
100
cos n 2  cos 0)
2 2
2 n
Entonces :
a
a0  100  0  50a1  0
2
a2 a3  0
an 
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238
Forma Trigonométrica de la Serie
de Fourier
bn 
1

2
0
f (t ) Senntd (t ) 
1

2
0
100
* t * Senntd (t )
2
2
1
100
 100 t

bn   2  cos nt  2 sennwt   
n
n
n
 2
0
b1  
100
b2  

50

100
b3  
3
Unificandolaserie
c0 c1 
c2 
100

50
100
c3 

3
100
1  tan 1 (   0 )  90   2  3
LuegolaserietrigonometricadeFourierunificadaes :
f (t )  c0  c1Cost  1 )  c2Cos (t   2 )  c3Cost  3 )  ...  cnCos( nt   n )  ...
f (t )  50 
 50
 100

Cost  )  Cost  ) 
Cost  )  ...

2

2
3
2
100
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239
Simetria de ondas
Función par.
f ( x ) f (  x )
ejemplo :
f ( x)  5 x 2
La serie de fourier de una función par solo tendrá
terminos an
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240
Simetria de ondas
Función impar.
f ( x) f (  x)
ejemplo :
f ( x)  5 x 3
La serie de fourier de una función impar solo
tendrá términos bn
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241
Simetria de ondas
f ( x)  f ( x 
Función inversa de medio ciclo.
La serie de fourier de una función inversa de
medio ciclo solo tendrá términos de orden
impar.
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242
EJEMPLO RESUELTO
Encuentre la serie trigonométrica de fourier para la onda
cuadrada de la figura y dibujar su espectro.
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243
Forma exponencial de la serie de
Fourier

f (t )  n e jnt 2 e j 2t  1e jt  0 1e jt  2 e j 2t ...

Secompruebaque :

an 2
 An 

bn  2
 An 
1
An  
( a  jb )
2
*
A n  A
n

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244
VALOR EFICAZ Y POTENCIA ACTIVA
POTENCIA ACTIVA
P  I 2rms * R
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245
Respuesta completa
 Respuesta Forzada
 Se analiza el circuito por superposición: cada termino de
manera independiente.
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246
EJEMPLO RESPUESTA COMPLETA
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
247
Respuesta Forzada
 1. Encontrar la expresión de la corriente en el siguiente circuito serie
de R igual a 100 ohmios y L igual a 0.1 Henrio. Considere que se le
aplica la onda cuadrada de voltaje de la figura, considerando a V =
50 V. Determine su espectro. Determine también la potencia activa
entregada al circuito por los primeros 4 términos de la serie.
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248
Ejercicio Respuesta Forzada
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
249
Respuesta Completa
2. Al circuito mostrado en la figura de la izquierda se le
aplica la onda mostrada en la figura de la derecha.
Encontrar la expresión para la corriente en circuito
resultante para t>0.
Puede ver primero el ejemplo 18.2 (pag750) Libro HaytKemmerly para fines de ilustración.
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250
Respuesta Completa
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
251
ASIGNACIONES
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
252
Ejemplo
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
253
Ejemplo
Preparado por Prof. Juan Pablo Cuevas
254
ASIGNACIONES
PRACTICA NO. 6
LIBRO HAYT-KEMMERLY
18.7
18.11
18.13
18.19
18.21
18.25
18.27
18.29
18.31
ALEXANDER- SADIKU
17.35 y 17.41
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255