MECANICA ANALITICA Trabajo Práctico N°2 Cálculo de Variaciones - Ecuación de Euler Problema 1 Dada la integral a 2 dy J = [ ( ) + y 2 ] dx dx o con a 0 a) Hallar la función y = y(x) para la cual la integral J presenta un valor mínimo, siendo y(o) = o, y(a) = senh a. b) Evaluar también J mínimo. Problema 2 Demostrar que la línea más corta que une dos puntos cualesquiera, P1 y P2 , ubicados sobre un cilindro, es una hélice. Nota :Utilizar coordenadas cilíndricas. Tener en cuenta que la ecuación de una hélice es z = k1 r Φ + k2 con k1 y k2 constantes. Problema 3 Entre todas las curvas de extremos dados P1, y P2, determinar aquella que engendra la superficie de revolución de menor área, al girar alrededor del eje y. Demostrar que se trata de la ecuación de la catenaria x a cosh yb a Nota: Representa la forma que adoptaría un cable sujeto en sus dos extremos a dos puntos fijos, actuando solamente su propio peso. y (x2 , y2) (x1,y1) x z Problema 4 Encontrar las extremales de las siguientes funcionales 2 a) J= o 2 dy [ ( ) y 2 ] dx dx con y(0) = 1 y(2π) = 1 2 dy 2 ) y ] dx b) J = [ 4 y cos( x) ( dx o 1 con y(0) = 0 y(π)= 0 2 dy ) 2 x y ] dx c) J = [ ( dx 1 con y(-1)= -1 y(1)= 1 Problema 5 “Geodésica es la línea que representa la trayectoria más corta entre dos puntos cualesquiera, cuando dicha trayectoria ha de pertenecer a una superficie determinada. Calcular la curva máxima y mínima entre dos puntos situados en la superficie de una esfera. Nota: Utilizar coordenadas esféricas para representar el elemento de longitud del camino recorrido.
