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métodos matemático para físicos II 1

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Métodos Matemáticos para Físicos II
Material de Estudio
1.
Un cuerpo homogéneo e isotrópico
V
CICLO 2018-2
(CF391-A)
tiene, en el instante inicial del tiempo una
temperatura
en todas
f (x; y; z). Entre este cuerpo y el medio circundante (cuya temperatura
partes es ψ(t)) se realiza un intercambio térmico. Además, en el interior
del cuerpo se realiza un intercambio térmico libre. Determine ¾qué ecuación y que
condiciones iniciales y de frontera satisface la temperatura
u(x; y; z; t),
de los puntos
del cuerpo?.
2.
Dentro de un cuerpo homogéneo e isotrópico
V
se realiza intercambio térmico.
El cuerpo se encuentra completamente aislado, térmicamente, del medio que lo rodea. ¾Qué condiciones de frontera deberá satisfacer la temperatura
u(x; y; z; t) de los
puntos de dicho cuerpo?.
3.
Deduzca directamente (sin utilizar la ecuación de la conducción térmica para un
cuerpo tridimensional), la ley de conducción térmica libre dentro de una barra homogénea e isotrópica, de sección transversal constante, si las paredes de la barra se
encuentran aisladas del medio circundante.
4.
¾Cómo poner las condiciones de contorno para el problema de la distribución de
la temperatura dentro de la barra isotrópica homogénea con el intercambio de calor
libre, si el extremo izquierdo de la barra (en
x = a) la temperatura se mantiene u0
constante y a través del extremo derecho (x = L), se produce un intercambio de calor
con el medio [la temperatura del medio ambiente, depende de t y está dada por la
función u = ψ(t)]?
5.
¾Cómo variarían las condiciones de frontera en el problema anterior si en el extremo
derecho (x
6.
= b)
la barra se encuentra aislada térmicamente del medio ambiente?
Una barra elástica y homogénea, de longitud
l
y sección transversal de área
S,
se encuentra sujeta de un extremo (x
libre. En el instante inicial del
= 0) y del otro extremo (x = l) se encuentra
tiempo t = 0 esta barra se estira (o se comprime) a
lo largo de su eje, siendo su estiramiento en cada punto determinado por la función
u|t=0 = φ(x).
Además cada punto de la barra obtuvo una velocidad inicial, dirigida
a lo largo del eje de la barra
u0t |t=0 = ψ(x).
Halle la ley de las ondas longitudinales, es decir, la función
desviación en cada instante de tiempo
x.
que nos da la
t de cada punto de la barra, con abscisa inicial
Se asume que las ondas son libres (es decir, no hay fuerzas externas).
Sugerencia:
7.
u(x; t)
Utilice la ley de Hooke para una barra elástica homogénea.
cómo se escriben la ecuación, las condiciones iniciales y de frontera que satisface la
función
u(x; t)
del problema anterior si en la parte derecha de la barra (x
constantemente una fuerza
Φ(t),
= l)
actúa
que depende del tiempo y está dirigida a lo largo
del eje de la barra?.
8.
Deduzca la ecuación diferencial que satisface la intensidad de corriente en un cable
conductor delgado, si consideramos que su resistencia óhmica
fuga (conductividad del aislamiento)
G
y la inductancia
L
R,
conductancia
C,
la
se distribuyen uniforme-
mente a lo largo de la longitud del alambre.
Considere que
R, C, G
y
L
son magnitudes tomadas por unidad de longitud del
cable.
¾Cuál será la ecuación buscada en el caso de que las magnitudes
pequeños que se pueden despreciar (es decir
9.
R=0
izquierdo (x
= l)
= 0)
l,
G
son tan
i(x; y) en el problema
de tal manera que en el extremo
del cable se encuentra conectado a Tierra, y en el extremo derecho
se encuentra conectado a un fuerza electromotriz
del tiempo
y
G = 0)?
Determine las condiciones iniciales y de frontera para hallar
anterior, si el conductor tienen una longitud
(x
y
R
t = 0
la intensidad de corriente era
φ(x)
(t).
En el instante inicial
y la tensión eléctrica igual a
ψ(x).
10.
¾Como variarán las condiciones de frontera en el problema anterior si se exige
que el extremo izquierdo del cable (x
encuentre aislado?
= 0)
no esté conectado a Tierra, sino, que se
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