libro del curso MA1111

Universidad de Costa Rica
Facultad de Ciencias – Escuela de Matemática
Departamento de Matemática Aplicada
MA – 1111 FUNDAMENTOS DE GEOMETRÍA CON TRIGONOMETRÍA
APUNTES PARA EL CURSO
FUNDAMENTOS DE GEOMETRÍA
CON TRIGONOMETRÍA
Elaborado por los profesores Luis Rojas Torres,
Kattia Rodríguez Ramírez y Leiner Víquez García.
II ciclo lectivo de 2012
Universidad de Costa Rica
Escuela de Matemática
II Ciclo 2012
INDICE
I. NOCIONES BÁSICAS DE GEOMETRÍA _____________________________________________
3
II. ÁNGULOS____________________________________________________________________
12
III. TRIÁNGULOS_________________________________________________________________
22
IV. PERPENDICULARIDAD_________________________________________________________
42
V. RECTAS PARALELAS____________________________________________________________ 47
VI. PARALELISMO EN EL ESPACIO_________________________________________________
52
VII. CONSTRUCCIONES____________________________________________________________ 59
VIII. CUADRILÁTEROS_____________________________________________________________ 75
IX. TEOREMA DE PITÁGORAS Y TRIÁNGULOS ESPECIALES____________________________ 84
X. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS__________________________________________________
88
XI. TRIGONOMETRÍA_____________________________________________________________
102
XII. ÁREAS _____________________________________________________________________
109
XIII. POLÍGONOS_________________________________________________________________ 117
XIV. CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO_________________________________________________ 121
XV. ESTEREOMETRÍA _____________________________________________________________ 146
XVI. GEOMETRÍA ANALÍTICA_______________________________________________________ 152
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I. Nociones básicas de la geometría
La Geometría como rama de la Matemática conserva varias características básicas de su ciencia
madre, una de ellas es el hecho de que es un constructo axiomático, o sea que todas las reglas que
le dan vigor, se construyen a partir de unas primeras normas, las cuales se les denomina axiomas o
postulados.
También los conceptos fundamentales de una ciencia deben ser construidos a partir de unos que son
los más simples posibles, en Geometría a estos elementos se les denomina conceptos primitivos los
cuales son:

Punto (Representado mediante una letra mayúscula:

Recta (Para su simbología se toman dos puntos cualesquiera que le pertenezcan, supóngase
)
A y B, entonces representamos la recta que pasa por A y B como
. También a veces se
les nombran con letras minúsculas)

Plano (Se representan generalmente con una letra griega minúscula)
Algunas primeras definiciones que podemos construir a partir de estos conceptos son las siguientes:
Definición: El espacio es el conjunto de todos los puntos.
Definición: Un conjunto de puntos se llama puntos colineales si existe una recta que lo contenga.
l
l
l
l
A , C  , B . A, B y C son puntos colineales
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Definición: Los puntos de un conjunto compuesto se llaman coplanares si existe un plano que los
contenga. Igualmente las rectas de un conjunto se dicen también coplanares si existe un plano que
los contenga.
R, S, P. R, S y P son puntos coplanares.
GF  
GF
y
EH
y
EH   .
son rectas coplanares
La Geometría que se va desarrollar en este folleto está basada en dos enfoques, el sintético, que
trata acerca de las propiedades de los objetos geométricos, y el métrico, que asocia con medidas lo
elaborado en el enfoque sintético.
Los principales axiomas de estos enfoques van a ir apareciendo en este texto, conforme se vayan
necesitando en los capítulos siguientes.
Un Axioma es una proposición sencilla y evidente que se admite sin necesidad de una demostración.
Ejemplo:

Cualquier cantidad es igual a sí misma.

Si dos cantidades son iguales a una tercera entonces son iguales entre sí.
Un Postulado es una proposición no tan evidente como un axioma pero que se admite sin
demostración.
Ejemplo:

Dados dos puntos distintos cualesquiera, existe una única recta que los contiene.

Hay una infinidad puntos.
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Los primeros postulados que vamos a utilizar del enfoque sintético son los siguientes:
Postulado El espacio contiene por lo menos cuatro puntos no coplanares ni colineales. Un plano
contiene al menos tres puntos no colineales y una recta contiene al menos dos puntos.
Postulado Dados dos puntos distintos hay exactamente una recta que los contiene.
Postulado Dados tres puntos no colineales hay exactamente un plano que los contiene.
Postulado Si dos puntos están en un plano, la recta que los contiene está en ese plano.
EH  
EH 
Postulado Si dos planos se intersecan su intersección es una recta.
  
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l
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A partir de estos postulados podemos construir nuestras primeras leyes en la Geometría, las cuales
les denominaremos Teoremas. Un teorema es una proposición que puede ser demostrada usando
un conjunto de razonamientos que conducen a la evidencia de la verdad.
Teorema Si dos rectas se intersecan su intersección es un solo punto.
AB  CD  {P}
Demostración:
Suponga que dos rectas diferentes se intersecan en al menos dos puntos distintos P y Q
 existen dos rectas diferentes que contienen a P y Q
() lo anterior contradice el postulado dado que dice que dados dos puntos distintos existe una
única recta que lo contiene.
 Si rectas que se intersecan su intersección es un único punto
NOTA. Se da la demostración anterior para ilustrar como los teoremas pueden ser demostrados a
partir de los postulados dados. A continuación se enunciarán teoremas pero sólo se efectuará en
clase la demostración de aquellos que se considere necesario u oportuno.
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Teorema Si una recta y un plano se intersecan y la recta no está contenida en el plano entonces su
intersección es un punto.
HK    {E}
Teorema Dada una recta y un punto fuera de ella existe un único plano que los contiene.
Teorema Dadas dos rectas que se intersecan hay exactamente un plano que las contiene.
Postulado (Postulado básico del enfoque métrico) A cada par de puntos distintos A y B les
corresponde un número positivo único llamado distancia de A a B, que se representa como AB.
Supongamos que la distancia desde A hasta B es de 4,5cm. Esto se representa AB = 4,5cm
También ese valor se puede representar como la distancia desde A hasta B así d(A,B) = 4,5cm
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Definición: A está entre B y C (B-A-C) si A, B y C son puntos distintos de una misma recta y si
BA + AC = BC
Definición: Un segmento de B a C ( BC ) es la unión de B, C y todos los puntos tales que están
entre B y C
Definición: Al número BC se le llama longitud del BC
Supongamos que la distancia de B a C es de 4,6cm.
La longitud del segmento
BC
se denota BC = 4,6cm o m BC = 4,6cm
Definición: Se dice que un segmento es congruente a otro si ambos poseen la misma longitud
( BA  AC )
AB  CD
Teorema Todo segmento es congruente consigo mismo.
P
Q
PQ  PQ
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Definición: Se dice que A es el punto medio de BC si B-A-C y BA = AC, en este caso decimos
que A biseca BC
Definición: Un rayo con origen en B y que contiene a C ( BC ) es la unión de BC con todos los
puntos X tales que B-C-X
Postulado (Segundo postulado básico del enfoque métrico) Dado un rayo con origen en A, existe un
único punto B tal que AB = x, para x cualquier número real positivo.
Teorema Todo segmento tiene exactamente un único punto medio.
SEPARACIÓN EN EL PLANO Y EL ESPACIO
Def. Un conjunto de puntos se dice convexo si cumple que al tomar dos puntos cualesquiera de él,
el segmento que determinan esos puntos, también pertenece al conjunto.
Ejemplos
Conjunto convexo
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Conjunto no convexo
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Postulado (Separación del plano) Sea una recta l en un plano  , entonces l divide a  en dos
conjuntos de puntos (que no pertenecen a la recta l) llamados semiplanos, los cuales son convexos
y cumplen que si P está en un semiplano y Q en el otro entonces PQ interseca a l.
PQ    {E}
Postulado (Separación del espacio) Sea  un plano cualquiera, entonces  divide al espacio en dos
conjuntos de puntos (que no pertenecen al plano ) llamados semiespacios, que son convexos y
cumplen que si P está en uno de los semiespacios y Q en el otro, entonces PQ interseca a  .
PQ    {E}
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Práctica #1
Conteste Falso o Verdadero según corresponda, e ilustre con un contraejemplo si es falso y si es
verdadero represente gráficamente la afirmación.

Dados tres puntos existe una recta que los contenga

Si una recta y un plano se intersecan, su intersección siempre es un punto

Si dos rectas se intersecan, su intersección siempre es un punto

El espacio contiene solo cuatro puntos

Dados tres puntos hay un único plano que los contiene

Dos puntos siempre son colineales

Cuatro puntos siempre son coplanares

Si el espacio se divide en dos semiespacios por medio del plano  , y en un
semiespacio están los puntos P y Q entonces PQ    

Si AB = BC entonces AC = AB + BC

Si A-B-C entonces AB < AC
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II. Ángulos
Definición: Si dos rayos tienen el mismo origen y si su unión no forma una recta, entonces a esa
unión se le denomina ángulo. El origen de los rayos que forman el ángulo se denomina vértice y a
los rayos se les llama lados del ángulo. Si AB y AC son los rayos que forman el ángulo,
entonces ese ángulo se simboliza como BAC o CAB , y en algunos casos se representa como
A , siempre y cuando no se preste para varias interpretaciones.
Definición: Un punto P está en el interior de un ángulo BAC si se cumplen las siguientes dos
condiciones:
1. P y B están del mismo lado de la recta AC
2. P y C están del mismo lado de la recta AB
Un punto Q está en el exterior del ángulo sino está en el interior del ángulo ni en el ángulo.
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Postulado. A cada ángulo le corresponde una medida entre 0 y 180º, a este número se le llama
medida del ángulo (m  …)
Postulado. Sea AB un rayo en un plano  , y sea H uno de los semiplanos en el plano  que
determina la recta que contiene a
exactamente un rayo
, entonces para cada número real r entre 0 y 180 existe
en el semiplano H tal m BAC = r
Postulado Si P está en el interior del BAC entonces m BAC = m BAP + m PAC
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Definición: Si A-B-C y D no está en la recta
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, entonces se dice que  ABD y  DBC
forman un par lineal.
Definición: Si la suma de las medidas de dos ángulos equivale a 180º, se dice que estos ángulos
son suplementarios. También se dice que uno es suplemento del otro.
Postulado: Si dos ángulos forman un par lineal, entonces son suplementarios.
Definición: Si dos ángulos de un par lineal tienen la misma medida, entonces cada uno de ellos se
llama ángulo recto.
Definición: Un ángulo recto es el que tiene medida 90°, un ángulo se llama obtuso si su medida
está entre 90° y 180°, y se le llama agudo si esta entre 0° y 90°.
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Definición: Dos ángulos se les llaman complementarios si sus medidas suman 90º. En este caso se
dice que un ángulo es complemento del otro.
Definición: Si dos rayos
(
y
forman un ángulo recto, decimos que son perpendiculares
). También se puede usar esta terminología y simbología para referirse a rectas y
segmentos.
Definición: Si A y G poseen la misma medida, entonces se dice que son ángulos
congruentes, y se simboliza como  A   G
Teorema Todo ángulo es congruente consigo mismo.
Teorema Los complementos de ángulos congruentes son congruentes.
Teorema Los suplementos de ángulos congruentes son congruentes.
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Definición: Dos ángulos son opuestos por el vértice si sus lados forman dos pares de rayos opuestos
Teorema: Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes.
Definición: Sea D en el interior del BAC tal que m BAD = m DAC , entonces decimos que
es bisectriz del BAC
Definición: Si una recta es perpendicular a un segmento en su punto medio, entonces a esa recta se
le denomina mediatriz de ese segmento.
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Teorema: En un plano, por un punto dado de una recta pasa una única recta perpendicular a la
recta dada.
Corolario La mediatriz de un segmento es única.
Teorema La mediatriz de un segmento es el conjunto de puntos que equidistan de los extremos de
dicho segmento
Corolario. Si se tienen un segmento BC y una recta l en el mismo plano. Si dos puntos distintos
de l equidistan de los extremos de BC
entonces l es la mediatriz de BC .
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Práctica #2
I.
Determine la medida de cada ángulo nombrado con letras griegas en las siguientes figuras
usando las condiciones dadas. Justifique sus respuestas.
1.
es bisectriz del CAB
2.
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3. C – E – D y A – E – B
4.
A–B–D
5.
 BAC y  DEF complementarios.
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6.
A – C – B,
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es bisectriz del BCD
II. Resuelva los siguientes ejercicios, justifique sus respuestas.
7. Si BC y BA son rayos opuestos, al igual que BE y BD , además mEBC  4x  7 y
mABD  5 x  20 , encuentre el valor de x,   mEBA y   mDBA .
8. Si A, B y C son tres puntos colineales y D es un punto en los semiplanos determinados por AB
tal que mABD  8x y mCBD  x2  160 encuentre el valor de x,   mDBC y
  mDBA .
9. Si las medidas, en grados, de dos ángulos opuestos por el vértice están dadas por 6x y x 2  5 ,
encuentre el valor de x y la medida de los ángulos que forman un par lineal con alguno de ellos.
10. Si AB  CB y D es un punto en el interior del ABC tal que mABD  x 2 y
mCBD  3 x  86 , encuentre el valor de x y la medida de cada uno de los ángulos.
11. Encuentre la medida de un ángulo tal que el doble de su complemento mide la mitad de su
suplemento.
12. La suma de las medidas de los complementos de dos ángulos es 30 y la diferencia de las
medidas de los suplementos es 10. Encuentre la medida de cada uno de los ángulos.
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13. En la figura los puntos están en un mismo plano. Si E y D equidistan de A y de B , y
biseca
al ACD, encuentre la medida del ECF. Justifique.
D
F
A
C
B
E
14. Suponga que en la figura se cumple que I – K – J, G – K – H,

,
es bisectriz de
JKH y mIKG = 110°. Encuentre mGKN. Justifique.
G
N
J
K
L
I
H
15. En la figura todos los puntos están en el mismo plano. Si A – B – D, C – B - G,
mGBD = 64° y

,
es bisectriz de ABC. Encuentre mABF. Justifique.
A
E
F
G
B
C
D
16. Si A – B – C y P es un punto que no está en la recta
. Sean
y
las bisectrices de
ABP y CBP. ¿Cuál es la medida de RBQ? Justifique.
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III. Triángulos
Definición: Sean A, B y C tres puntos cualesquiera tales que no son colineales, entonces la unión
de los segmentos AB , AC y CB se denomina triangulo ( ABC ). A los segmentos que
determinan el triángulo se les llama lados del triángulo y a los puntos que lo determinan se le llama
vértices del triángulo. A los ángulos ABC , CAB y BCA se les denomina ángulos internos
del triángulo.
Definición: Un punto está en el interior de un triángulo si está en el interior de los tres ángulos que
determina ese triángulo. Si un punto no está en el triángulo ni en el interior de este, entonces está
en el exterior del triángulo
Definición: Cualquiera de los ángulos que son pares lineales de algún ángulo interno de un triángulo
se le llama ángulo externo del triángulo.
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CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
Definición: Sea ABC  DEF una correspondencia entre los vértices de dos triángulos ABC y
DEF , entonces si en esta correspondencia se cumple que los ángulos correspondientes y los
lados correspondientes son congruentes, se dice que la correspondencia es una congruencia (
 ABC   DEF )
Lados
Ángulos
Definición: Si un triángulo posee sus tres lados congruentes se le denomina equilátero, si posee dos
lados congruentes se le denomina isósceles, y si no posee ningún par de lados congruentes se le
denomina escaleno.
Equilátero
Isósceles
Escaleno
Definición: En un triángulo isósceles al lado no congruente se le denomina base.
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Definición: Si un triángulo posee sus tres ángulos congruentes se le denomina equiángulo.
Postulados de congruencia para triángulos

LAL
Si en una correspondencia entre dos triángulos se tiene que dos pares de lados
correspondientes son congruentes y además los ángulos comprendidos entre los dos lados dados
de cada triángulo también son congruentes, entonces se cumple que la correspondencia es una
congruencia.

ALA Si en una correspondencia entre dos triángulos se tiene que dos pares de ángulos
correspondientes son congruentes y además los lados comprendidos entre los dos ángulos dados
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de cada triángulo también son congruentes, entonces se cumple que la correspondencia es una
congruencia.

LLL Si en una correspondencia entre dos triángulos se tiene que los tres pares de lados
correspondientes son congruentes, entonces se cumple que la correspondencia es una
congruencia.
Teorema (del triángulo isósceles): Si dos lados de un triángulo son congruentes entonces los ángulos
opuestos a estos lados son congruentes.
Teorema: Si un triángulo es equilátero entonces es equiángulo.
Teorema Si dos ángulos de un triángulo son congruentes entonces los lados opuestos a estos
ángulos son congruentes.
Teorema: Si un triángulo es equiángulo entonces es equilátero.
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SEGMENTOS Y RECTAS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO
Definición: El segmento cuyos extremos son el vértice de un triángulo y el punto medio del lado del
triángulo opuesto a ese vértice, se le denomina mediana del triángulo.
Definición: La recta mediatriz de cualquier lado de un triángulo se le denomina mediatriz del
triángulo. También se puede hacer referencia a la mediatriz como el segmento perpendicular a un
lado en su punto medio. Es decir, la mediatriz como segmento tiene como extremos el punto medio
de un lado y el punto de intersección de la recta mediatriz con otro de los lados del triángulo.
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Definición: Un segmento es una bisectriz de ese ángulo del triángulo si está en el rayo que biseca al
ángulo del triángulo y sus extremos son el vértice de ese ángulo y un punto en el lado opuesto.
EF es bisectriz del AEC
Definición: El segmento cuyo extremo es el vértice de cierto triángulo y es perpendicular a la recta
que contiene el lado opuesto a ese vértice, se le denomina altura sobre ese lado.
NOTA: En cada uno de los segmentos notables (mediana, altura o bisectriz) la definición se podría
adaptar para referirse a ellos a través de la recta que los contiene. Así mismo, al referirnos a la
recta notable (mediatriz) sabemos que podemos adaptar su definición para referirnos a ella como
segmento. En todo caso, cuando se hace alusión a la medida de la mediana, la altura, la bisectriz o
la mediatriz, se da por sentado que nos estamos refiriendo al segmento y no a la recta.
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Teorema: En un triángulo isósceles la mediatriz, la mediana y la altura sobre la base, y la bisectriz
sobre el ángulo frente a la base son exactamente la misma recta.
Corolario En un triángulo equilátero la mediatriz, la mediana y la altura sobre cualquier lado, y la
bisectriz sobre el ángulo frente a ese lado son exactamente la misma recta.
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Teorema Las tres mediatrices de un triángulo son concurrentes (se intersecan en un mismo punto) y
al punto de intersección de ellas se le denomina circuncentro
Nota El punto de intersección de las mediatrices equidista de los vértices del triángulo.
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Teorema Las tres alturas de un triángulo son concurrentes y al punto de intersección de ellas se le
denomina ortocentro.
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Teorema: Por un punto que no pertenece a una recta pasa una única recta perpendicular a la recta
dada.
Definición: El segmento perpendicular de un punto a una recta, es el segmento cuyos extremos son
el punto dicho y el punto en la recta en el cual se tiene que el segmento es perpendicular a la recta
(a este punto se le denomina pie de la perpendicular). Este segmento es único debido al teorema
anterior
Definición: La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular del punto
a la recta.
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Teorema La bisectriz de un ángulo es el conjunto de puntos que equidistan de los lados del ángulo
Teorema Las tres bisectrices de un triángulo son concurrentes y al punto de intersección de ellas se
le denomina incentro.
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Nota El incentro equidista de los tres lados del triángulo.
Nota Las medianas de un triángulo también son concurrentes y su punto de intersección se denomina
baricentro o centro de gravedad
Nota: El baricentro cumple las siguientes propiedades:
1) Es el centro de gravedad del triángulo
2) El baricentro divide a cada una de las medianas en dos segmentos cuyas medidas están en una
razón 2:1, de manera que el segmento de la mediana que va desde el baricentro al vértice mide el
doble del segmento de la mediana que va del baricentro al lado.
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Práctica #3
1. Si se tienen dos triángulos cada uno de los cuales tiene dos lados de longitud 7 y un ángulo que
mide 40, ¿son congruentes los triángulos?
2. Si ABC  PQR , AC = 12cm, BC = 16cm y el perímetro del PQR es 45 cm, indique la
medida de cada uno de los lados del PQR .
3. En cada uno de los siguientes casos demuestre lo que se le solicita:
a. Los segmentos AP y BC se bisecan en N. Los segmentos AC y BQ se bisecan en K.
Demuestre que PC = QC.
b. Demuestre que las medianas correspondientes a los lados congruentes en un triángulo isósceles
son congruentes.
c. Si en la figura BDC  RPQ y BE y RT son bisectrices, respectivamente, de los ángulos
B y R . Demuestre que BE = RT.
B
R
D
P
E
C
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T
Q
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4. A continuación se le da la demostración de un teorema. Escriba la razón que justifica cada uno de
los argumentos de la prueba.
TEOREMA: En un triángulo, si la longitud de la mediana es igual a la mitad de la longitud del lado
que biseca, entonces el triángulo es rectángulo y ese lado es la hipotenusa.
PRUEBA: Sea el ROP y Q el punto medio de
.
es la mediana sobre
y. Sea mPOQ = x
. Sea mROQ =
O
y
R
Q
x
P
i. RQ = QP
Justificación de i) :
ii. OQ = RQ = QP
Justificación de ii): Porque por dato dado en el enunciado la
longitud de la mediana (OQ) es igual a la mitad de RP que
corresponde a la medida de RQ y de QP.
iii. mQOP = mQPO = x
Justificación de iii):
iv. mOQP = 180° - 2x
Justificación de iv):
v. mRQO = 2x
Justificación de v):
vi. mROQ = mORQ = y
Justificación de vi):
vii. y + y + 2x = 180°
Justificación de vii):
viii. y = 90 – x
Justificación de viii): Por equivalencia entre las justificaciones
dadas en vi) y vii)
ix. mROP = x + y = 90°
Justificación de ix):
x.
Justificación de x):
es el lado mayor
 ROP es rectángulo y
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es la hipotenusa
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OTROS RESULTADOS RELACIONADOS CON TRIÁNGULOS
Teorema: En un triángulo a lo sumo un ángulo puede ser recto.
Definición Un triangulo rectángulo es un triángulo donde uno de sus ángulos es recto. El lado del
triángulo opuesto al ángulo recto se le llama hipotenusa y a los otros dos lados se les llama catetos.
Definición: Sea DEF un triángulo dado si D está entre H y F entonces el
externo del
es un ángulo
.
Nota: Todo triángulo tiene seis ángulos externos. Todo ángulo externo de un triángulo forma un par
lineal con uno de los ángulos internos del triángulo.
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Teorema: La medida de un ángulo externo de un triángulo es mayor que la medida de cada uno de
los ángulos internos no adyacentes a él.
Corolario: En un triángulo rectángulo los dos ángulos que no son rectos son agudos.
Teorema (LAA) Si en una correspondencia entre los vértices de dos triángulos se tiene que dos
pares de ángulos correspondientes son congruentes y además un par de lados correspondientes
cualesquiera son congruentes, entonces se cumple que la correspondencia es una congruencia.
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Teorema (Hipotenusa – Cateto) Si en una correspondencia entre los vértices de dos triángulos
rectángulos se tiene que las hipotenusas son lados correspondientes y congruentes y además que
hay un par de catetos correspondientes y congruentes, entonces se tiene que esos triángulos son
congruentes.
Teorema: Si dos lados de un triángulo no son congruentes, al lado mayor se opone el ángulo mayor.
Teorema: Si dos ángulos de un triángulo no son congruentes, al ángulo mayor se opone el lado
mayor.
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Teorema (DESIGUALDAD TRIANGULAR): En un triángulo cualquiera la suma de las medidas de dos
lados cualesquiera es mayor que la longitud del tercero
DEMOSTRACIÓN (Complete cada uno de los razonamientos faltantes en la
demostración que se le da a continuación)
Sea ABC un triángulo cualquiera.
Hay que probar que AB + BC > AC
i) Existe un punto D en el rayo opuesto a Justificación de i) La existencia de D está
garantizada por el segundo postulado
BC tal que AB = BD
básico del enfoque métrico, ya que dada
la medida AB existe el punto D en el rayo
opuesto a BC tal que AB = BD
Justificación de ii)
ii) mDAC = mDAB + mBAC
iii) mDAC > mDAB
Justificación de iii)
iv) mD = mDAB
Justificación de iv)
v) mDAC > mD
Justificación de v)
vi) DC > AC
Justificación de v)
 AB + BC > AC
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Práctica #4
1. Determine cuáles de las siguientes triadas de números corresponden a las medidas de los lados de
un triángulo.
{4, 5, 7}
{4, 5, 17}
{6, 13, 7}
{9, 13, 17}
{7, 5, 13}
{j, k, j + k}
{a, 3a, 3a}
2. Determine en cada caso entre que valores tiene que estar la variable c, para que la triada de
números dada corresponda a las medidas de los lados de un triángulo
{2, 5, c}
{7, 9, c}
{c, 13, 7}
3. Pruebe que para cualquier cuadrilátero1 ABCD se cumple que
AB + BC + CD > AD
4. Pruebe que la suma de las longitudes de los lados de un cuadrilátero es mayor que la suma de
las longitudes de las diagonales de ese cuadrilátero1
1
AB ,
DA es
Def. Sean A, B, C y D cuatro puntos coplanares tales que tres cualesquiera de ellos no son colineales y además
BC , CD
y
un cuadrilátero
DA
se intersecan solo en los extremos, entonces decimos que la unión de
vértices y
AC
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y
BD
AB , BC , CD
y
son sus diagonales
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5. Pruebe que si D es un punto en el interior de un triángulo ABC, entonces
1
(AB + BC + AC) < AD + BD + CD
2
6. A continuación se presentan las medidas de los lados de un triángulo ABC, determine en cada
caso cuál es el ángulo de menor medida.
a. AB = 17, BC = 21, AC = 18
b. AB = 15, BC = 16, AC = 17
c. AB = 32, BC = 14, AC = 25
7.
En la figura B es recto, A – E – C y
B – D – C.
A
biseca al BAC y DE es
mediana del ADC.
Si
AC  2  AB ,
E
demuestre que mBAC  2  mBCA .
B
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D
C
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IV. Perpendicularidad
Definición: Un plano  y una recta l son perpendiculares (   l ), si se intersecan y además toda
recta en  que contiene la intersección de  y l es perpendicular a l
Teorema Si dos puntos distintos de una recta equidistan de dos puntos dados entonces todo punto
de la recta es equidistante de los puntos dados.
Teorema Si cada uno de tres puntos no colineales de un plano equidista de dos puntos entonces
todo punto del plano equidista de estos dos puntos.
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Teorema Si una recta es perpendicular a cada una de dos rectas que se cortan en su punto de
intersección entonces es perpendicular al plano determinado por esas rectas.
l1   y l2   y l1  l2 = {A} y
PQ    {A} y PQ 
l1
y PQ 
l2  PQ  
Teorema Por un punto en una recta dada pasa un único plano perpendicular a la recta.
Teorema Si una recta y un plano son perpendiculares entonces el plano contiene todas las rectas
perpendiculares a la recta dada en su punto de intersección con el plano dado.
Teorema El plano perpendicular que biseca a un segmento es el conjunto de todos los puntos
equidistantes de los extremos del segmento.
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Teorema Dos rectas perpendiculares al mismo plano son coplanares.
Teorema Por un punto dado pasa un único plano perpendicular a una recta dada.
Teorema Por un punto dado pasa una única recta perpendicular a un plano dado.
Teorema El segmento más corto a un plano desde un punto fuera del plano es el segmento
perpendicular (la definición de la distancia de segmento perpendicular del punto al plano es análoga a
la del segmento perpendicular del punto a la recta). Por el teorema anterior este segmento es único.
Definición: La distancia de un punto a un plano que no lo contiene, es la longitud del segmento
perpendicular del punto al plano
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Práctica #5
1. En la figura K – F – L y J – F – I. En el plano MIJ, MN es mediatriz de IJ y en el plano KLN,
MN es mediatriz de KL . Si MF = NF, indique si los siguientes pares de triángulos son
congruentes. Justifique.
a. KLM  KLN
b. KMF  KNF
c. IMF  LMF
d. IKF  LJF
e. IKF  ILF
2. En la figura E y F son dos planos que se
intersecan en la recta LK , G es un punto de
E, I es un punto de F y J es un punto de LK
tal que LK  GJ y LK  IJ . H es un punto
del plano IJG tal que HG  E y HI  F ¿Es
GHIJ un rectángulo?
6. Haga un dibujo que cumpla simultáneamente con las siguientes condiciones:


Los puntos A, B y C pertenecen al plano  y son tales que C – A – B.
 y además

Cada punto de

AP = AB = QA
 = {A}
equidista de C y B
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4. Haga un dibujo que cumpla simultáneamente con las siguientes condiciones:

A, B, C son tres puntos del plano  tales que A – B – C.

D es un punto tal que
.

P y Q son puntos tales que P   y Q   pero P 



= {B} y además

= {B}
Todos los puntos de
equidistan de P y Q.
yQ
.
5. En la figura X es un punto que no pertenece al plano E que contiene a los puntos U, V y W,
además XU  E y UVW es recto. ¿Cuál de los segmentos de la figura es el de mayor
longitud?
6. En la figura los puntos C, D, E y F
equidistan de A y de
D
B. ¿Cuántos planos
F
están determinados por esos cuatro puntos?.
Si M es el punto medio de CF , ¿equidista M
de A y de B? Justifique
A
C
B
E
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V. Rectas paralelas
Definición: Dos rectas l y m se dicen paralelas ( l m ) si son coplanares y no se intersecan.
Definición: Dos rectas se llaman alabeadas si no existe un plano que las contenga.
Definición: Una recta se llama secante a dos rectas si interseca a éstas en dos puntos diferentes.
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Teorema Dos rectas paralelas están contenidas en un único plano.
Teorema Dos rectas coplanares son paralelas si son perpendiculares a una misma recta.*
Teorema Por un punto que no pertenece a una recta existe al menos una recta paralela a la recta
dada.
Postulado Por un punto que no pertenece a una recta existe una única recta paralela a la recta dada
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Definición: Sea k una secante a l y m que interseca l en A y a m en B, y sea P en l y Q en m tal
que P y Q están en lados opuestos de k, entonces decimos que PAB y QBA son ángulos
alternos internos.
Definición: Sea k una secante a l y m que interseca l en A y a m en B, y sea P en l y Q en m tal
que P y Q están del mismo lado de k, y sea C en k tal que A-B-C, entonces decimos que PAB
y QBC son ángulos correspondientes.
Teorema Si dos rectas son cortadas por una secante y un par de ángulos alternos internos son
congruentes, entonces el otro par de alternos internos también son congruentes.
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Teorema Si dos rectas son cortadas por una secante y un par de ángulos alternos internos son
congruentes entonces las rectas son paralelas.
Teorema Si dos rectas paralelas son cortadas por una secante entonces cada par de ángulos
alternos internos son congruentes.
Teorema Si dos rectas paralelas son cortadas por una secante entonces cada par de ángulos
correspondientes son congruentes.
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Teorema En un plano, dos rectas paralelas a una tercera son paralelas entre sí.
Teorema En un plano, si una recta es perpendicular a una de dos rectas paralelas, es perpendicular
a la otra.
Teorema La suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo es 180°
Teorema La medida de un ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los
dos ángulos internos no adyacentes *
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Práctica #6
1. Determine la medida del ángulo A, si AB = BC
2. Determine la medida de los ángulos internos del
3.
Si en la figura mACD  40 ,
mFAD  100 y AC
biseca al
BAD , demuestre que la GC es
paralela a AB .
Asuma que F – A – B, G – D – C y
E – A – D – H.
4. Pruebe que si en la figura siguiente se cumple que E es el punto medio de BC y de AD ,
entonces AB y CD son segmentos que pertenecen a rectas paralelas entre si
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VI. Paralelismo en el espacio
Definición: Dos planos, o una recta y un plano son paralelos si no se intersecan
Teorema Si un plano interseca a dos planos paralelos, entonces lo hace en dos rectas paralelas.
Teorema Si una recta es perpendicular a uno de dos planos paralelos, es perpendicular al otro.
Teorema Dos planos perpendiculares a la misma recta son paralelos.
Teorema Si dos planos son paralelos a un tercer plano, son paralelos entre sí.
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Teorema Dos rectas perpendiculares al mismo plano son paralelas.
Teorema Un plano perpendicular a una de dos rectas paralelas es perpendicular a la otra.
Teorema Si dos rectas son paralelas a una tercera, son paralelas entre sí.
Teorema Dos planos paralelos son equidistantes en toda su extensión, es decir, todos los segmentos
perpendiculares a los dos planos con sus extremos en los planos, tienen la misma longitud.
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ÁNGULOS DIEDROS
Definición Si dos semiplanos tienen la misma arista entonces la unión de los semiplanos y la arista
se denomina ángulo diedro. Si l es la arista, A es un punto de un semiplano y B es un punto del otro
semiplano tales que no están en la arista entonces representamos al ángulo diedro como
A  l  B y su medida equivale a la medida del ángulo formado por la intersección del ángulo
diedro con un plano perpendicular a la arista
Teorema Dos ángulos rectilíneos cualesquiera de un ángulo diedro dado son congruentes.
Teorema Si una recta es perpendicular a un plano, entonces cualquier plano que contenga esta recta
es perpendicular al plano dado, esto es que forman un ángulo diedro de 90º.
Teorema Si dos planos son perpendiculares entonces cualquier recta en uno de ellos que sea
perpendicular a su recta de intersección, es perpendicular al otro plano.
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PROYECCIONES
Definición La proyección de un punto sobre un plano es el pie del segmento perpendicular del punto
al plano. La proyección de un conjunto de puntos en un plano es la unión de las proyecciones de los
puntos de ese conjunto sobre el plano
Teorema La proyección de una recta sobre un plano es una recta, a menos que la recta y el plano
sean perpendiculares.
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Práctica #7
1. Indique si cada una de las siguientes afirmaciones es falsa o verdadera. Haga un dibujo para
ilustrar cada enunciado cierto o presente un contraejemplo si es falso.
a. Si una recta L está en el plano E, cualquier otra recta paralela a L es paralela a E.
b. Si un plano E es paralelo a una recta L, toda recta de E es paralela a L.
c. Dos rectas paralelas a un plano E pueden ser perpendiculares entre sí.
d. Si un plano interseca a dos planos E y F que se intersecan, las rectas de intersección con
cada plano pueden ser paralelas.
e. Dos ángulos diedros son congruentes si un ángulo rectilíneo de uno es congruente con un
ángulo rectilíneo del otro.
f. Dos planos perpendiculares a un plano E son paralelos entre sí
g. Si un punto está en el interior de un ángulo rectilíneo de un ángulo diedro entonces está en
el interior del ángulo diedro.
h. Si P y Q son dos puntos del interior de un ángulo diedro, entonces la recta PQ interseca a
los lados del ángulo diedro.
i. La proyección de un segmento sobre un plano siempre es un segmento.
j. La proyección de un ángulo sobre un plano puede ser un rayo.
k. La proyección de un segmento sobre un plano puede ser un segmento de menor medida.
l. La proyección sobre un plano de dos rectas alabeadas puede ser dos rectas que se intersecan.
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2.
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Nombre los seis ángulos diedros del
tetraedro (Y no está contenido en el plano AXZ)
de la figura de la derecha.
3.
Si la diagonal mayor de un rombo es perpendicular a un plano en uno de sus extremos,
¿Qué clase de figura es la proyección del rombo sobre el plano?
4. Haga un dibujo que cumpla simultáneamente con las siguientes condiciones y conteste las
preguntas que se le plantean al final:

 y  son dos planos tales que 

 y M 

 y
 

Conteste: ¿Cuál es la relación entre el plano  y
?

Conteste: ¿Qué nombre reciben las rectas
?
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y
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VII. Construcciones
Algunas construcciones se pueden realizar efectuando mediciones con instrumentos tales como:
transportador, escalas numéricas representadas en instrumentos como escuadras y reglas, toma y
traslado de longitudes de segmentos utilizando el compás. Por ejemplo, tomando las medidas que
sean necesarias, construya, si existe,
un triángulo ABC que cumpla con las siguientes
condiciones (un triángulo para cada una):
a. mA  mB y AB = 5cm.
b. mA  75 , mB  80 BC = 4 cm
c. AB = 6 cm, BC = 5 cm y AC = 8 cm
d. AB  AC y AB = AC
e. AB = 4cm, AC = 5cm y mB  75
f. AB = 7cm, AC = 6cm y mA  40
g. AB = 8 cm, BC = 7 cm y AC = 12 cm
h. AB = 9 cm, AC = 12 cm y mC  20º
CONSTRUCCIONES CON REGLA Y COMPÁS
Ahora bien, un ejercicio geométrico frecuente es la construcción de figuras utilizando
únicamente regla y compás “idealizados”. En estas construcciones no se pueden tomar medidas
utilizando las escalas en cm o mm que aparecen en las reglas o escuadras, o la escala en grados
que aparecen en un transportador. Las medidas serán tomadas por medio del compás mientras que
los segmentos se trazarán a partir de rectas efectuadas con la regla, pero sin la posibilidad de
asignar un valor numérico a la medida de cada uno de esos segmentos. Igual sucede con las
medidas de los ángulos. Sin embargo, la congruencia entre segmentos o ángulos se podrá garantizar
por propiedades, postulados o teoremas estudiados, o por el procedimiento de construcción
propiamente dicho. Veamos algunas construcciones geométricas básicas:
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1. Segmento congruente a otro
 Construir un segmento congruente con
 Dibuje una recta más larga que
y nómbrela
.
 Coloque la punta del compás en uno de los extremos de
y abra el compás
de tal forma que la punta del lápiz toque el otro extremo (de esta forma se
determina lo que se conoce radio del compás)
 Marque un punto cualquiera “M” en la recta dibujada y sin cambiar el radio del
compás, coloque la punta en “M” y marque un arco que interseque la recta.
 Designe con la letra “N” al punto de intersección del arco y la recta . Puede
comprobar usando el compás que el
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.
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2. Punto medio de un segmento dado
 Considere el
dado a continuación
 Coloque la punta del compás en uno de los extremos del segmento y abra el
compás hasta que la punta del lápiz toque el otro extremo y trace un arco en la
parte superior e inferior fuera del segmento.
 Sin cambiar el radio del compás, coloque la punta en el otro extremo y trace un
arco de manera que interseque al arco anterior (tanto en la parte superior como
inferior). Denomine con las letras C y D a los puntos de intersección.
 Con la ayuda de la regla una los dos puntos de intersección y localice el punto
de intersección del segmento dado con el segmento que uno los dos puntos de
intersección. Denomine este punto con la letra M.
 Observe
que
los
segmentos
cumplen
la
propiedad:
.
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3. Bisectriz de un ángulo
 Considere el
dado a continuación
 Con centro en B trace un arco de cualquier radio que interseque los dos lados
del ángulo
, denomine con las letras “P” y “M” a los puntos de
intersección del arco trazado con los lados del ángulo.
 Con un arco de igual radio que el usado para trazar el
punto P trace otro arco en el interior del
y con centro en el
.
 Repita el mismo procedimiento del paso anterior ahora desde el punto M de
manera que se intersequen los dos arcos trazados.
 Designe con la letra “R” al punto de intersección de los dos arcos trazados.
 Trace el rayo con vértice B y con dirección el punto de intersección “R”, es
decir el
es la bisectriz del ángulo dado.
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4. Mediatriz de un segmento
 Considere el
dado a continuación
 Con centro en A y radio mayor que la mitad de AB trace un arco en la parte
superior e inferior del
.
 Con centro en B y con el mismo radio construya otro arco que interseque en
dos puntos al arco anterior.
Designe las letras C y D a los puntos de
intersección.
 Trace el
y compruebe que cumple las propiedades de la mediatriz de un
segmento.
 Compruebe que cualquier punto de la mediatriz equidista de los extremos del
segmento.
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5. Perpendicular a una recta dada por un punto exterior a ella
 Considere la recta y un punto P exterior a ella.
 Con P como centro y con un radio grande se construye un arco que interseque
a la recta en dos puntos diferentes, designe a dichos puntos A y C.
 Con A y C como centros y radio mayor que la mitad de
trace dos arcos en
la parte inferior de la recta y designe al punto de intersección B.
 Trace la recta que pasa por los puntos P y B y compruebe que es la recta
perpendicular a la recta .
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6. Triángulo Equilátero
 Trace un segmento de cualquier medida y denomínelo
 Coloque la punta del compás en un extremo del segmento, abra el compás
hasta que la punta del lápiz toque el otro extremo y trace un arco en la parte
arriba del segmento.
 sin cambiar el radio del compás, coloque la punta en el otro extremo y trace un
arco de manera que se interseque con el arco anterior. Denomine con la letra P
al punto de intersección de los dos arcos trazados.
 Trace los segmentos
y compruebe que el
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es equilátero.
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7. Triángulo Isósceles
 Trace un segmento de cualquier medida y denomínelo
, este será la base
del triángulo isósceles, es decir el lado desigual.
 Construya arcos de circunferencia con un radio cuya medida sea igual a la de
cada uno de los lados congruentes y como centro cada uno de los extremos
del segmento, tal como se observa en este caso particular.
 Designe al punto de intersección de los dos arcos la letra G.
 Trace los segmentos que unen a los puntos A y B con el punto de intersección
de los arcos de circunferencia.
 Compruebe que el
es isósceles.
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AHORA EFECTÚE LAS SIGUIENTES CONSTRUCCIONES:
1. A partir del segmento AB que se le da a continuación, construya primeramente el ABC equilátero
y posteriormente el círculo circunscrito a ese triángulo equilátero. Justifique paso a paso como hizo su
construcción
A
B
Pasos:
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
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2. Trace el círculo inscrito al triángulo siguiente. Justifique paso a paso como hizo su construcción.
A
B
C
Pasos:
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
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3. Trace la circunferencia que contiene a los siguientes puntos no colineales. Justifique con todo
detalle como hizo su construcción
A
B
C
Pasos:
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
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4. A partir del segmento AB que se le da y trazando solamente bisectrices, mediatrices o triángulos
equiláteros, construya los siguientes ángulos:
a) 30°
A
B
Pasos:
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
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b) 45
A
B
Pasos:
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
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c) 135
A
B
Pasos:
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5. A partir del segmento AB que se le da construya con regla y compás un triángulo isósceles cuyo
lado no congruente sea el segmento dado. Justifique con todo detalle como hizo su construcción
A
B
Pasos:
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6. Un hexágono regular es un polígono en el que todos sus seis lados son congruentes entre si y
todos sus seis ángulos internos son congruentes entre sí. A partir del segmento AB que se le da
construya con regla y compás un hexágono regular. Justifique con todo detalle como hizo su
construcción
A
B
Pasos:
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VIII. Cuadriláteros
Definición: Sean A, B, C y D cuatro puntos coplanares tales que tres cualesquiera de ellos no son
colineales y además AB , BC , CD y DA se intersecan solo en los extremos, entonces decimos
que la unión de AB , BC , CD y DA es un cuadrilátero (ABCD).
Vértices :
ABCD
A, B, C, D
Lados :
Ángulos internos:
Definición:
Dos lados de un cuadrilátero son opuestos, si no se intersecan.
Dos ángulos son opuestos si no tienen en común un lado del cuadrilátero.
Dos lados son consecutivos si tienen un vértice en común.
Dos ángulos son consecutivos si tienen en común un lado del cuadrilátero.
El segmento que une dos vértices no consecutivos recibe el nombre de
diagonal del cuadrilátero.
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 Lados opuestos:
 Lados consecutivos:
 Ángulos opuestos:
 Ángulos consecutivos:
 Diagonales:
Teorema La suma de las medidas de los ángulos internos de un cuadrilátero es igual a 360°
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Definición: Si en el ABCD se tiene que AB CD y AD CB , entonces decimos que ABCD
es un paralelogramo, si no se cumplen las condiciones decimos que el cuadrilátero ABCD es un no
paralelogramo
El ABCD es un paralelogramo,
El ABCD es no paralelogramo,
Teorema Cada diagonal de un paralelogramo determina dos triángulos congruentes.
ABCD es un paralelogramo,
Teorema Los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes.
ABCD es un paralelogramo,
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Teorema Los ángulos opuestos de un paralelogramo son congruentes.
ABCD es un paralelogramo,
Teorema Los ángulos consecutivos de un paralelogramo son suplementarios.
ABCD es un paralelogramo,
Teorema Las diagonales de un paralelogramo se bisecan.
ABCD es un paralelogramo,
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Teorema Si los dos pares de lados opuestos de un cuadrilátero son congruentes, el cuadrilátero es
un paralelogramo.
ABCD es un paralelogramo
Teorema Si dos lados opuestos de un cuadrilátero son congruentes y paralelos entonces el
cuadrilátero es un paralelogramo.
Teorema Si las diagonales de un cuadrilátero se bisecan entonces el cuadrilátero es un
paralelogramo.
Teorema de la Paralela Media de un Triángulo:
El segmento entre los dos puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y
tiene la mitad de su longitud.
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Definición: Si un cuadrilátero cumple que los cuatro lados son congruentes entre si se le llama
rombo.
Teorema El rombo es un paralelogramo.
Teorema El rombo posee las siguientes propiedades

Sus diagonales son perpendiculares

Las diagonales bisecan sus ángulos internos
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Def. Si un paralelogramo posee un ángulo interno recto se le llama rectángulo
ABCD es un rectángulo
Teorema El rectángulo posee las siguientes propiedades

Todos sus ángulos internos son rectos

Sus diagonales son congruentes
Definición: Si un cuadrilátero es un rombo y un rectángulo se le denomina cuadrado
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Definición: Si un cuadrilátero solo posee un par de lados paralelos, entonces se le denomina
trapecio. Si los lados no paralelos del trapecio son congruentes entonces se le denomina isósceles, si
uno de sus ángulos internos es recto se le llama rectángulo y si no es ni isósceles ni rectángulo se
le denomina escaleno.
Trapecio isósceles
Trapecio escaleno
Trapecio rectángulo
Teorema La paralela media de un trapecio tiene longitud igual a la semisuma de las longitudes de
las bases.
Teorema. El trapecio isósceles posee las siguientes propiedades

Sus diagonales son congruentes

Los ángulos internos sobre los lados no paralelos son congruentes

Teorema. Los ángulos conjugados internos entre los lados paralelos de cualquier trapecio, son
suplementarios.
m + m = 180°
m + m = 180°
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Práctica #8
1. Demuestre que la longitud de la mediana sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo equivale a
la mitad de la longitud de la hipotenusa.
2. Determine la medida de los ángulos internos del siguiente trapecio
3. Si en un paralelogramo un ángulo externo mide 30 más que un ángulo interno, encuentre las
medidas de los ángulos del cuadrilátero.
4. Si en un trapecio isósceles un ángulo externo mide el triple de un ángulo interno, encuentre las
medidas de los ángulos del cuadrilátero.
5. Si M, N y P son los puntos medios de los lados de un triángulo ABC y MN = 6cm, MP = 8cm y
NP = 10 cm, encuentre el perímetro de ABC.
6. Demuestre que si las bisectrices de dos ángulos consecutivos de un paralelogramo se intersecan
entonces son perpendiculares.
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IX. Teorema de Pitágoras y Triángulos Especiales
Teorema de Pitágoras En un triángulo rectángulo se cumple que el cuadrado de la longitud de la
hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.
Teorema (Recíproco del teorema de Pitágoras) si en un triángulo se cumple que el cuadrado de la
longitud del lado más largo es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos
lados, entonces el triángulo es rectángulo*
Triángulos Especiales
Teorema En un triángulo rectángulo isósceles se cumple que la longitud de la hipotenusa es
2
veces la longitud del cateto.
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Teorema En un triangulo rectángulo cuyos ángulos agudos miden 30º y 60º se cumple que el cateto
opuesto al ángulo de 60º mide
3
veces la longitud de la hipotenusa.
2
Práctica #9
1. Determine cuales de los siguientes conjuntos son medidas de los lados de un triángulo rectángulo

5, 10, 12

12, 16, 20

3, 4 , 5
1 2
 2, 2 ,3
3 3
2. Halle el valor de x
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3. En un triángulo rectángulo, las medidas de los catetos son 8 y x + 7, si la medida de la
hipotenusa es x + 9. Halle el valor de x
4. Si en un triángulo rectángulo las medidas de los lados son x + 9, x + 2 y x + 10. Halle la medida
de los lados expresada como un número real.
5. Las medidas de las diagonales de un rombo son 30 y 16. Halle el Perímetro
6. Si ABCD es un trapecio isósceles tal que AB = 8, AC = 34 y cuya altura mide 30 ¿Cuál es su
perímetro?
7. En el triángulo siguiente halle RS tal que QR 2  RS 2  PS 2
8. Halle la longitud de BC, si AC = 10, AB = 3 3 y mC  30º
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9. Halle el perímetro del rectángulo JKLM, si se sabe que JN  MK , KN = 5 y mKJN  60º
J
K
N
M
L
10. Demuestre que la altura de un triángulo equilátero de longitud de lado l es
11. Si el área de un triángulo equilátero es 24 3
cm2
l 3
2
encuentre la medida del lado y de la altura.
12. Si la mediana sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles mide 8cm. ¿Cuánto mide
cada cateto?
13. Si E y F son dos planos paralelos. El ABC es rectángulo y está en E y sus catetos miden 15cm
y 20cm. Encuentre la medida del lado mayor del triángulo en F que es la proyección del ABC en
ese plano.
14. Si la distancia de P a un punto R de un plano E (P no está en E) es 5cm y Q es el punto de E
tal que
E  PQ encuentre a qué distancia de P está un punto de E que dista 6cm de Q si se
sabe que RQ = 4 cm
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X. Semejanza de Triángulos
PREVIO: Razones y proporciones
Definición: Se llama razón de dos cantidades al cociente de la primera por la segunda cantidad. Las
razone s se pueden expresar de diferentes formas:
Para calcular razones las cantidades deben estar en la misma unidad de medida, por ejemplo:


Definición: Se llama proporción a la igualdad de dos razones. Por ejemplo:
Una proporción se puede escribir de la forma 5 : 4 :: 40 : 32. Se llaman extremos de la proporción
a los términos que ocupan las posiciones exteriores (primero y cuarto término) y medios de la
proporción a los términos que ocupan la parte central. Por ejemplo:
En la proporción 2 : 11 :: 12 : 66 los medios son 11 y 12 y los extremos son 2 y 66
Definición: La razón de proporcionalidad es cuando se simplifica alguna de las razones de la
proporción dada. Por ejemplo:
Propiedad En toda proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos.
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Regla de Tres: Dados tres de los valores de una proporción podemos hallar el cuarto utilizando la
propiedad anterior.
Ejemplos: 4 : x :: 6 : 9
Definición (Media proporcional): Se llama media proporcional de dos cantidades
, a un valor
que cumpla la condición
Ejemplos.
A) 6 es media proporcional de 4 y 9 ya que
(verifíquelo)
B) Si x es media proporcional de 2 y 32, calcule el valor de x.
Definición (División áurea): Dividir un segmento
en dos segmentos
A la razón
en media y extrema razón, consiste en dividirlo
tal que
se le conoce con el nombre de número áureo y se denota con la letra griega
El número áureo ha sido utilizado en la Arquitectura, el arte y aparece frecuentemente en la
Naturaleza. Está relacionado con dimensiones que muestran un equilibrio “estético”.
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Valor numérico del número áureo
Dado el
y C un punto que pertenece al segmento,
como se observe la figura adjunta
Al considerar la proporción de la división áurea
, como
al sustituir en la ecuación se obtiene
, al resolver la ecuación cuadrática para
se obtiene
(la otra solución que surge de esa ecuación es el opuesto del recíproco del número áureo)
Aproximando el valor obtenemos que
Definición (Rectángulo áureo) Si en un rectángulo la razón del largo con respecto al ancho es igual
al número áureo
se conoce como rectángulo áureo.
Aparece en muchas figuras de la vida cotidiana (tarjetas de crédito, naipes, etc)
así como en
famosas obras de arte y la Arquitectura.
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Definición (Triángulo áureo) Si en un triángulo la realción entre la medida de los lados viene dada
por la razón áurea se conoce como triángulos áureos.
36°
X
72°
72°
y
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Teorema de Thales
Teorema Si varias rectas paralelas intersecan a dos transversales determinan en ellas segmentos
correspondientes proporcionales.
Triángulos Semejantes
Definición: Sea ABC  DEF una correspondencia entre los vértices de los triángulos ABC y
DEF tal que los ángulos correspondientes son congruentes y las longitudes de los lados
correspondientes son proporcionales (los cocientes de las medidas correspondientes son
equivalentes), entonces decimos que esa correspondencia es una semejanza ( ABC ~ DEF )
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Teorema Fundamental de la proporcionalidad
Si en un ABC se tiene que
A-D-C y B-E-C, tal que AB DE entonces se cumple que
CD CE
.

CA CB
Teorema (Recíproco del teorema fundamental de la proporcionalidad) Si en un ABC se tiene que
A-D-C y B-E-C, tal que se cumple que
CD CE
entonces se tiene que AB DE .

CA CB
Criterios de Semejanza de Triángulos
Teorema (Ángulo Ángulo Ángulo) Para que una correspondencia entre los vértices de un triángulo
sea una semejanza basta que sus ángulos correspondientes sean congruentes
Corolario (Ángulo Ángulo) Para que una correspondencia entre los vértices de un triángulo sea una
semejanza basta que dos de sus ángulos correspondientes sean congruentes.
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Corolario Si una recta paralela a un lado de un triángulo interseca a los otros dos lados en puntos
distintos, entonces determina un triángulo semejante al triángulo dado.
Teorema (Lado Ángulo Lado) Para que una correspondencia entre los vértices de un triángulo sea
una semejanza basta que dos pares de lados correspondientes sean proporcionales y que los
ángulos determinados por estos pares de lados sean congruentes*
Teorema (Lado Lado Lado) Para que una correspondencia entre los vértices de un triángulo sea una
semejanza basta que todos los pares de lados correspondientes sean proporcionales
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Otros teoremas relacionados con triángulos semejantes
Teorema La razón entre las áreas de dos triángulos semejantes es igual al cuadrado de la razón
entre dos lados correspondientes.
Teorema En un triángulo rectángulo la altura correspondiente a la hipotenusa determina dos
triángulos que son semejantes entre sí y semejantes al triángulo original.
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Resultados concernientes a la altura trazada sobre la hipotenusa
Corolario La altura sobre la hipotenusa es la media proporcional de los segmentos en que divide a la
hipotenusa.
En la figura anterior
x h
 , o lo que es equivalente h 2  x  y
h y
Teorema Cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y el segmento de la hipotenusa
adyacente a ese cateto.
x b
 , o lo que es equivalente b 2  x  c
b c
y a
 , o lo que es equivalente a 2  y  c
Análogamente se cumple que
a c
En la figura anterior
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Práctica #10
1. Determine el valor de la variable “x” en cada caso.
2. Determine la medida de los segmentos
en la figura adjunta
3. Considere como aproximación del número áureo al número racional 1,6 . Si se desea formar un
rectángulo cuyo perímetro sea 15 cm, en el cual la razón entre el largo y el ancho sea la razón áurea
¿Cuáles deben ser, aproximadamente, las dimensiones del rectángulo?
4. Considere un triángulo en el cual el perímetro es 30. Si la razón entre el lado mayor y el lado
mediano es igual a la razón entre el lado mediano y el lado menor y ambas son iguales a la razón
áurea, encuentre la medida de cada lado. Utilice la aproximación  
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1 5
 1,6 .
2
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5. Si en la figura se cumple que
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AG BF CE y las medidas dadas están expresadas en
centímetros:
a.
Calcule CD
b.
Demuestre que E es el punto medio de DF .
c.
Encuentre DF, DE, CE y AG.
6. Considere un ABC y los puntos medios I y J de AB y AC respectivamente, tales que BI = 2,
AC = 6 y BC = 5.
a.
Demuestre que JI BC
b.
Encuentre el perímetro del AIJ.
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7. Encuentre el valor de x en las siguientes figuras. Justifique.
a.
b.
Asuma que H – I – J, H – L – K y mHIL  mJ
Asuma que M – P – O, M – N – Ñ y
mNPM  mO
c.
Asuma que A – B – C, C – D – E y A – F – E y FB CE .
8. Construya un ABC tal que AB = 6cm, AC = 9cm y BC = 8cm. Ubique un punto I en BC tal
CI 1
 . Trace la recta que pasa por I y es paralela a AC , nombre J al punto donde esa
CB 4
recta corta al lado BA . Calcule BJ y JI.
que
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9. Dibuje un paralelogramo ABCD tal que AB = 8cm y AD = 5 cm. Sea I un punto en DA tal que
DI = 7. Sea J el punto donde se intersecan AB y CI . Calcule AJ.
10. Trace un segmento AB de 6cm de longitud y punto medio N. Trace la recta L mediatriz de
AB . Trace la recta L1 paralela a L por B, y ubique el punto E de L1 tal que BE = 7 cm. Sea M el
punto donde L interseca a AE . Calcule el área del AMN.
11. Un muro de 2m de alto se ubica a 57m de una torre. Cuando Lorena, que mide 1,7m se ubica a
1m del muro, logra ver apenas la cúspide de la torre. Calcule la altura de la torre.
12.
Según
los
datos
de
la
figura,
si
HN MI LJ , encuentre IJ, IM y JL.
13. De acuerdo con los datos de la figura:
Ñ
a. Si OQ = 12 y OÑ + 10 = OP, encuentre
O
PQ.
b. Si OÑ = OP = 6, encuentre el área y
perímetro del PQÑ
c.
Si ÑP = 20 y OP = 12 encuentre el
Q
P
QÑ  QP y QO  ÑP
perímetro y el área del OQÑ.
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14. De acuerdo con los datos de la figura, ¿Hay
segmentos paralelos? Justifique.
15. La medida de la altura sobre la hipotenusa en un triángulo rectángulo está dada por x  2 y
determina dos segmentos en el lado mayor del polígono tales que sus medidas están dadas por x y
1  2x . Encuentre el área y perímetro del triángulo y la medida de la mediana sobre la hipotenusa
de ese triángulo.
16. Encuentre el área y perímetro de un triángulo rectángulo en el cual la altura sobre la hipotenusa
mide 12 cm si un ángulo agudo mide:
a.
60
b.
45
17. En un triángulo rectángulo los catetos miden 4cm y 6 cm, encuentre la medida de cada uno de
los segmentos en que divide la hipotenusa la altura sobre ese lado.
18. Si ADC y DBA son rectos y A – B – C encuentre la medida de la hipotenusa
y el área del triángulo en cada uno de los siguientes triángulos:
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XI. Trigonometría
Definición: Sea ABC rectángulo en B, entonces se denomina al AB como cateto adyacente al
A y al BC como cateto opuesto al  A .
Definición: Sea ABC rectángulo en B, entonces se llama coseno del A (cos A ) a la razón
AB
BC
BC
, seno del A (sen A ) a
y tangente del A (tan A ) a
. Estos cocientes se
AC
AB
AC
denominan razones trigonométricas del A , y si m A = rº se pueden escribir como sen rº, cos
rº y tan rº
Note que a partir de la definición se puede tomar tangente de un A como
tan  A 
sen  A
cos  A
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Teorema Si rº es la medida de un ángulo agudo entonces sen rº, cos rº y tan rº poseen un valor
constante sin importar el triángulo rectángulo con el cual se calculen.
Con base al resultado anterior se pueden calcular los valores de las razones trigonométricas
para varios ángulos. A continuación aparecen algunos muy conocidos
r
sen r
cos r
60º
3
2
2
2
1
2
1
2
45º
30º
2
2
3
2
tan r
3
1
3
3
Teorema Si dos ángulos de medida  y  son complementarios, entonces se cumple que
cos   sen y sen  cos
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ÁREA DE UN TRIÁNGULO
Teorema El área de un triángulo equivale a la mitad del producto de la medida de cualesquiera dos
de sus lados con el seno del ángulo comprendido entre ellos, siempre y cuando este ángulo sea
agudo.
A 
a  b  sen
2
Para extender este teorema a ángulos rectos y obtusos, es necesario tomar como sen 90° al 1 y
como seno de un ángulo obtuso al seno de su suplemento
Ley de Senos y Ley de Cosenos
LEY DE SENOS
Teorema Sea ABC un triángulo cualquiera, y sean a, b y c las medidas de los lados del triángulo
opuestos
a
los
vértices
A,
B
y
C
respectivamente,
entonces
se
cumple
que
senA senB senC


a
b
c
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LEY DE COSENOS
Teorema Sea ABC un triángulo cualquiera, y sean a, b y c las medidas de los lados del triángulo
opuestos a los vértices A, B y C respectivamente, entonces si A es agudo se cumple que
a 2  b 2  c 2  2bc cos A
Para extender este teorema a ángulos rectos y obtusos es necesario tomar cos 90° como 0 y el
coseno de ángulos obtusos como el coseno de su suplemento con signo negativo.
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Práctica #11
1. Encuentre la medida de los ángulos de un triángulo ABC si se tienen las siguientes condiciones:
a. AB = AC = 10 cm y BC = 12 cm
b. AB = AC = BC
c. AB = 15 cm, BC = 18 cm y AC = 20 cm
d. AB = 13 cm, BC = 5cm y AC = 12 cm
2. Encuentre el perímetro de un triángulo ABC rectángulo en A si:
a. BC = 10 cm y mB = 50º
b. AC = 10 cm y mB = 30º
c. AB = 2 cm y mB = 10º
d. AB = AC y AC = 10
e. mC = 2  mB y AC = 15
3. Encuentre el área y perímetro de los triángulos de las siguientes figuras:
4. Halle las medidas de todos los ángulos y los lados de los siguientes triángulos:
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5. Resuelva los siguientes problemas:
a. Para encontrar el ancho de un río una topógrafa selecciona dos puntos A y B de un mismo lado
del río a una distancia de 200 pies. Luego elige un punto C, al lado opuesto, y determina que
mBAC = 82º y mABC = 52º. Calcule la distancia aproximada entre A y C.
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b. Un empresario desea adquirir un predio triangular en una ubicación muy concurrida del centro de
la ciudad. Los frentes del predio en las tres calles adyacentes miden 125, 280 y 315 pies. Determine
el área del predio.
c. Desde 1 km de distancia de la base de la torre CN en Toronto se observa la parte superior con un
ángulo de elevación de 28,81°. Encuentre la altura de la torre.
d. Desde un punto A en el suelo, el ángulo de elevación a la parte superior de un edificio es de
24,1°. Desde un punto B, 600 pies más cerca del edificio, el ángulo de elevación es de 30,2°.
Determine la altura del edificio.
e. Una escalera está apoyada sobre una pared de un edificio. La base de la escalera está a 6 pies
de la base del edificio y forma con el piso un ángulo de 73°, ¿qué altura alcanza la escalera?
f. Dos cables sujetan un globo al piso desde puntos que están separados por 100 pies. Los cables
forman con la horizontal, ángulos de 75° y 85° respectivamente, como se muestra en la figura.
Encuentre la altura a la que se encuentra el globo.
6. En un cuadrilátero los lados miden 5, 6, 7 y 8 cm. Si el ángulo que determinan los dos lados
menores mide 100°, encuentre el área.
7. En una ciudad el pie cuadrado de un terreno está valorado en $20. Encuentre el precio de un lote
triangular cuyos lados miden 112, 148 y 190 pies.
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XII. Áreas
Definición: Una región triangular es la unión de un triángulo y su interior. La unión de una cantidad
finita de regiones triangulares tales que si dos se intersecan su intersección es un punto o un
segmento se denomina región poligonal.
Definición: La suma de las longitudes de los lados de una región poligonal o triangular (también
puede ser solo de la unión de los segmentos, o sea no incluyendo el interior) se denomina Perímetro
(P)
Postulado A toda región poligonal le corresponde un único número real positivo llamado área de la
región (AR).
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Postulado Si dos triángulos son congruentes, entonces las regiones triangulares tienen la misma
área.
entonces
AR1  AR2
Postulado Si una región R es la unión de dos regiones
y
de modo que
y
se intersecan
salvo a lo sumo en un número finito de segmentos y puntos, entonces el área de R es igual a la
suma de las áreas de
y
.
AR  AR1  AR2
Postulado El área de una región rectangular es el producto de la longitud la base por la longitud de
la altura del rectángulo que la limita.
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Teorema El área del cuadrado está dada por la formula A  l 2 , donde l es la longitud de su lado.
Teorema El área de un triángulo rectángulo es igual a la mitad del producto de las medidas de sus
catetos.
Corolario El área del rombo está dada por la fórmula A 
D*d
, donde D y d son las medidas de
2
sus diagonales.
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Corolario El área del cuadrado también está dada por la formula
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d2
A
2
, donde d es la medida
de su diagonal.
Teorema El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de cualquiera de sus bases por la
altura correspondiente.

Teorema El área de un paralelogramo es el producto de la base por la altura corresponbdiente.*
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Teorema El área de un trapecio es igual a la mitad del producto de su altura por la suma de sus
bases.
Teorema Si dos triángulos tienen alturas iguales, la razón entre sus áreas es igual a la razón entre
sus bases.
AABC
ADEF
b1  h
b
 2  1
b2  h b2
2
Teorema Si dos triángulos tienen bases iguales, la razón entre sus áreas es igual a la razón entre
sus alturas.
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Teorema Si dos triángulos tienen igual base e igual altura, tienen áreas iguales.
FÓRMULA DE HERÓN
Si a, b, c son las medidas de los lados de un triángulo y s es el semiperímetro, es
decir, s 
abc
, entonces el área del triángulo es:
2
A  s(s  a)(s  b)(s  c)
Teorema el área del triángulo equilátero es
l2 3
A
4
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Práctica #12
1. Calcule el área de:
a.
Un triángulo equilátero de 30cm de perímetro.
b.
Un triángulo rectángulo isósceles en el cual la hipotenusa mide 10cm.
c.
Un triángulo equilátero en el cual la altura mide 12 cm.
d.
Un cuadrado en el cual la diagonal mide 12 cm.
e.
Un rectángulo cuya diagonal mide 20cm y los lados cortos miden 10cm cada uno.
f.
Un rectángulo en el cual el perímetro es 32cm y el largo mide 4cm más que el ancho.
g.
Un triángulo en el cual los lados miden 10cm, 13cm y 13cm.
h.
Un trapecio isósceles en el cual las bases miden 15cm y 11cm y los lados congruentes
miden 2 2 cm.
i.
Un trapecio en el cual la altura y la base menor miden 6cm si dos ángulos miden 135 y
120.
j.
2.
Un rombo en el cual los lados miden 20cm y un ángulo mide 120.
Calcule el área y perímetro de las siguientes figuras:
A
B
C
mB  60
AB  10
BC  3
GI  HI  6cm
GH  4cm
DE  12cm , EF  14cm y
DF  16cm
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J
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R
K
M
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L
U
S
V
T
Paralelogramo con VT=RV= 6cm,
JK ML , JK  JM ,
RV  UT , mRST  60 .
JK = MJ = 8 cm y mL  45
3. El perímetro, en centímetros, de un cuadrado está dado por P  4a  8b . Encuentre las
expresiones correspondientes a la medida del lado y del área de la región limitada por el cuadrado.
4. En un rectángulo el largo mide el doble del ancho. Si el área de la región rectangular es 200
cm2 , encuentre el perímetro del rectángulo.
5. En un triángulo rectángulo los catetos miden 6cm y 8cm y la hipotenusa mide 10cm. Calcule la
medida de la altura sobre la hipotenusa.
6. Si en un triángulo isósceles los lados congruentes miden 10 cm y el tercer lado mide 12 cm, el
área es 48 cm2 . Encuentre la medida de la altura sobre cada lado.
7. En un rombo una de las diagonales mide 6 cm y el área de la región limitada por él es 60 cm2 ,
encuentre la medida de la otra diagonal.
8. En un rectángulo la base mide 4 cm más que la altura. Si el área es 165 cm2 , encuentre el
perímetro.
9. En un triángulo equilátero el área es de 25 3 cm2 . Encuentre la medida de las alturas.
10. Demuestre que las dos regiones en que una mediana de un triángulo divide la región triangular
tienen áreas iguales.
11. La medida del lado de un cuadrado es 5 veces la medida del lado de un segundo cuadrado.
¿Cuántas veces mayor es el área del primer cuadrado que el área del segundo cuadrado?
12. Demuestre que si las diagonales de un cuadrilátero convexo son perpendiculares, entonces el
área del cuadrilátero es igual a la mitad del producto de las medidas de las diagonales.
13. El área de un rombo es 348 y una diagonal mide 24, encuentre la medida de la otra diagonal y
el perímetro.
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XIII. Polígonos
Definición Un polígono es una figura formada por la unión de varios segmentos de manera que se
intersequen solamente en los extremos.
Definición: Un polígono es convexo si ningún par de sus puntos está a lados opuestos de una recta
que contenga un lado del polígono.
Definición: Una diagonal de un polígono es el segmento de recta que une dos vértices no
consecutivos del polígono.
Para determinar el número de diagonales se usa la fórmula
en la cual n es el
número de lados del polígono.
Definición: Un ángulo interno del polígono es el que se forma por dos lados consecutivos y su
interior pertenece al interior del polígono.
Para determinar la suma de los ángulos internos de cualquier polígono
se usa la fórmula
en la cual n es el número de lados del polígono.
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Definición: Un polígono es regular si es convexo y si
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todos sus lados y sus ángulos son
congruentes.
Definición: Un polígono está inscrito en una circunferencia si tiene todos los vértices sobre la
circunferencia. Un polígono está circunscrito a una circunferencia si los lados son tangentes a la
circunferencia.
Definición: El centro de un polígono regular es el centro común de sus circunferencias inscritas y
circunscritas.
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Definición: El segmento perpendicular “a” desde el centro de un polígono regular a uno de los lados
se llama apotema del polígono y es igual al radio de la circunferencia inscrita. El radio de un
polígono es el segmento “r” que une el centro O con un vértice del polígono y es el mismo radio de
la circunferencia circunscrita.
Nota: Para determinar la medida de un ángulo interno de un polígono regular de “n” lados se usa la
fórmula:
y la medida de un ángulo central se determina usando
Definición: El perímetro de un polígono regular es la suma de la longitud de todos sus lados.
P=nl
en la que n es el número de lados del polígono y l la medida de cada uno de los lados.
Teorema El área de un polígono regular es igual al producto de su semiperímetro por su apotema.
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Práctica #13
1. Calcule la medida del ángulo central, del ángulo externo, la suma de los ángulos internos, la
medida de cada uno de los ángulos internos, el número de diagonales en total de los siguientes
polígonos convexos regulares:
 Pentágono regular
 Hexágono regular
 Heptágono regular
 Octógono regular
 Nonágono regular
 Decágono regular
2. La suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono regular es 540°. ¿Cuál es el
polígono? ¿Cuál es la medida del ángulo central?
3. Calcule el número de lados de un polígono convexo que tiene 135 diagonales en total
4. Si un pentágono está inscrito en una circunferencia cuyo radio es 6cm. Calcule
aproximadamente:
 La medida del lado del pentágono.
 La medida del apotema del pentágono.
 El área del pentágono.
5. Si el ángulo externo de un polígono regular convexo mide 40°, detemine:
 ¿Cuál es el polígono?
 La medida el ángulo interno
 El total de diagonales.
6. Si un octágono está circunscrito a una circunferencia de radio 7cm,
determine el valor
aproximado de:
 El radio del octágono.
 El lado del octágono.
 El área del octágono.
7. Calcule el área de un hexágono regular inscrito en una circunferencia de radio 10cm.
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XIV. Circunferencia y Círculo
Definición: Al conjunto de puntos coplanares que equidistan de un punto fijo en el mismo plano
llamado centro se le denomina circunferencia. Un radio es el segmento cuyos extremos son el centro
de la circunferencia y un punto sobre ella. También se le llama radio a la medida de ese segmento,
es decir, a la distancia que hay del centro a cualquier punto de la circunferencia.
A es un punto del exterior de la circunferencia porque la distancia de ese punto al centro es mayor
que el radio.
C es un punto del interior de la circunferencia porque la distancia de ese punto al centro es menor
que el radio.
D está en la circunferencia porque su distancia al centro es igual que el radio.
Definición: Un círculo es el conjunto de todos los puntos de la circunferencia y de los interiores a la
misma.
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Definición: Un arco es una porción de la circunferencia comprendida entre dos puntos.
Una cuerda es el segmento determinado por dos puntos de la circunferencia.
El diámetro es toda cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.
Definición: Posiciones de una recta y una circunferencia
Una tangente a una circunferencia es una recta que tiene sólo un punto en común con la
circunferencia. A este punto de intersección se le conoce como punto de tangencia.
Una recta que tiene dos puntos comunes con la circunferencia se conoce como secante.
Definición: Dos o más circunferencias con radios congruentes se llaman congruentes
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Teorema Toda tangente a una circunferencia es perpendicular al radio trazado por el punto de
contacto.
Teorema La perpendicular desde el centro de una circunferencia a una cuerda dada biseca a ésta.
Teorema Dada una circunferencia en el plano la recta mediatriz de una cuerda pasa por el centro
de la circunferencia.
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Teorema En una misma circunferencia o en circunferencias congruentes, a arcos iguales
corresponden cuerdas iguales, y si dos arcos son desiguales (menores que una semicircunferencia) a
mayor arco corresponde mayor cuerda.
Teorema En una circunferencia o en circunferencias congruentes, cuerdas congruentes equidistan del
centro, y de dos cuerdas desiguales, la de mayor longitud será aquella que esté más cerca del
centro.
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Posiciones relativas de dos circunferencias coplanares
Circunferencias Mutuamente Exteriores los puntos de cada una de las circunferencias son exteriores a
la otra
Circunferencias tangentes exteriormente tienen un punto en común y los demás puntos de cada una
son exteriores a la otra.
Circunferencias secantes si tienen dos puntos comunes.
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Circunferencias tangentes interiormente si tienen un punto en común y todos los puntos de una de
ellas son interiores a la otra.
Circunferencia interior cuando todos los puntos de una de ellas son interiores a la otra.
Circunferencias concéntricas cuando tienen el mismo centro.
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Teorema: Dadas dos circunferencias situadas en un mismo plano se cumple que:
 En dos circunferencias exteriores la distancia de los centros es mayor que la suma de los radios.
 En dos circunferencias tangentes exteriormente la distancia de los centros es igual a la suma de
los radios.
 En dos circunferencias secantes la distancia de los centros es menor que la suma de los radios
y mayor que su diferencia.
 En dos circunferencias tangentes interiormente la distancia de los centros es igual a la diferencia
de los radios.
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 En una circunferencia interior a otra la distancia de los centros es menor que la diferencia de los
radios.
 En dos circunferencias concéntricas la distancia de los centros es igual a cero.
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
Definición: Un ángulo central de una circunferencia es un ángulo cuyo vértice es el centro de la
circunferencia. La medida en grados del arco menor es igual a la medida del ángulo central. La
medida en grados de un arco mayor es igual a 360º menos la medida del arco menor
correspondiente.
Definición: Sea C una circunferencia y sean A y B los extremos de un diámetro. Una
semicircunferencia
es la unión de A y B con los puntos de la circunferencia que están en un
semiplano dado de arista
. La medida en grados de una semicircunferencia es 180º
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Definición: Un ángulo inscrito es el que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son cuerdas
de la misma.
Teorema Dada una circunferencia la medida de un ángulo inscrito es la mitad de la medida del arco
que subtiende.
Corolario Dos ángulos cualesquiera inscritos en el mismo arco son congruentes.
Definición: Un ángulo semi-inscrito es el que tiene su vértice en la circunferencia y uno de sus lados
es una tangente y el otro una cuerda.
Teorema La medida del ángulo semi-incrito es igual a la mitad de la medida arco que subtiende.
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Definición: Un ángulo interior es el ángulo cuyo vértice está en el interior de la circunferencia.
Teorema La medida del ángulo interior es igual a la semisuma de las medidas de los arcos
comprendidos por sus lados y sus prolongaciones.
Definición: Un ángulo exterior es el ángulo cuyo vértice está en el exterior de la circunferencia.
Teorema La medida del ángulo exterior es igual a la semi-diferencia de las medidas de los arcos
comprendidos por sus lados.
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Teorema Dos segmentos tangentes a una circunferencia desde un punto exterior son congruentes y
determinan ángulos congruentes con el segmento que une el punto exterior al centro.
Definición: Un ángulo circunscrito es aquel cuyo vértice se encuentra en el exterior de la
circunferencia y sus lados son tangentes a la misma.
O centro, P y R son puntos de tangencia.
PQR es un ángulo circunscrito a la circunferencia.
Teorema: La medida del ángulo circunscrito corresponde al suplemento de la medida del ángulo
central, determinado por los radios cuyos extremos son los puntos de tangencia. Así mismo, la
medida del ángulo circunscrito es el suplemento de la medida en grados del arco menor que
subtiende.
PQR (circunscrito) y POR (central) son suplementarios.
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Práctica #14
1. Considere dos circunferencias de centros P y Q y radios 5cm y 7cm respectivamente. Indique cuál
es la posición relativa entre ambas circunferencias son, si se cumple:
a.
PQ = 2cm
b.
PQ = 12 cm
c.
PQ = 15 cm
d.
PQ = 1 cm
e.
PQ = 4 cm
f.
PQ = 10 cm
2. Sea l una recta tangente a una circunferencia de centro C tal que T es el punto de tangencia. Si
AB es una cuerda paralela a l que corta a CT
en un punto N, que cumple
CN = 2 NT.
Determine la medidas del radio si AB = 12
3. Encuentre la distancia al centro de una circunferencia de 10 cm de radio de una cuerda de 16 cm
de longitud.
4. Encuentre la longitud de una cuerda que dista 4cm del centro de la circunferencia si el diámetro
mide 20 cm.
5. Si el radio
PQ
de una circunferencia de centro P mide 6 cm y la recta
RQ
es tangente a la
circunferencia tal que PR = 12 cm. Encuentre la medida de los ángulos del PQR, su área y su
perímetro.
6. En la figura P y Q son los centros
R
de las circunferencias, ambas de
radio PQ. Justifique por qué se puede
asegurar que:
P
Q
a. PQR es equilátero.
b. RS es la mediatriz de PQ
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S
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7. Si G es el centro de la
C
circunferencia, tal que B – G - E
B
AF  DC, FD = 12 cm
BE  AC ,
BE  FD ,
GE
A
= BC = 8cm, encuentre BE .
G
D
E
F
8. H es el centro de las
circunferencias de radio HJ y HI, I es
K
L
x
el centro de la circunferencia de radio
M
JI. SI HI = 10 cm la cuerda LK
H
J
I
mide 14 cm, HJ = IJ y sabiendo que
HM  LK ; encuentre la distancia
de M a la cuerda LK .
9. Las tres circunferencias son
H
concéntricas. El radio mayor mide 6
cm más que el radio menor. IJ+3=GJ.
Si GH = 12 cm encuentre x = IF.
I
G
F
J
10. Los vértices de un triángulo ABC son los centros de tres circunferencias tangentes dos a dos.
Si AB = 6 cm, BC = 7cm y AC = 9cm, encuentre las medidas de los radios de las circunferencias.
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11. En la figura se cumple que 4mC  mFGD y que la medida del arco menor DF es 70°.
Halle mC y la medida del arco menor BE
12. En la figura el arco menor FB mide 80°, el arco menor DE mide 160° y mC  28 . Halle
mFBD y justifique porque FGD no es un ángulo central
13. Las medidas de los ángulos del
B
triángulo ABC están dadas por x,
x + 10 y
x + 20. Encuentre el valor
de x, la medida de cada arco menor
determinado en la circunferencia y el
perímetro del triángulo si AB = 10.
C
A
M
14. En la figura se muestran las
circunferencias inscrita y circunscrita
al MNL. Si mOÑ = 100 y
J
mJÑ = 20 + mJO, encuentre la
N
medida de cada arco menor
determinado en la circunferencia
circunscrita.
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Ñ
K
O
L
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15. En un triángulo isósceles los ángulos congruentes miden 50 y el lado comprendido entre ellos es
un radio de una circunferencia de 12 cm de diámetro. ¿El vértice opuesto a la base está en el interior
de la circunferencia, en su exterior o en ella?
16. Si los segmentos tangentes a la
D
circunferencia de centro E trazados
desde B miden 6cm y determinan dos
A
arcos en la circunferencia tales que el
mayor mide 60 más que el otro.
E
B
X
Encuentre x = BE.
C
17. Suponga que AB es un diámetro de una circunferencia y se tiene que A – C – B, y que además
D es un punto de la circunferencia tal que DC  AB . Demuestre que DC 2  AC  CB
18. Si la circunferencia de centro A tiene un radio de longitud 6 cm y la de centro C tiene un radio
que mide 3 cm y AC = 18, y además la recta que contiene a E y F es tangente a ambas
circunferencias, determine EF
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19. Si DH es un diámetro de la
circunferencia de centro F a la cual
pertenece el punto G y
D
.
Encuentre el valor de x en los
siguientes casos:
G
x
F
E
H

Si EH = 5 y DF = 10.

Si mGH= 50 y EH = 4

Si DG = 10 y mGD = 2  mGH
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CÍRCULO Y CIRCUNFERENCIA
(C0NTINUACIÓN)
RELACIONES MÉTRICAS ENTRE CUERDAS, SECANTES Y TANGENTES
Teorema (Relaciones entre cuerdas) Dada una circunferencia y dos cuerdas de la circunferencia se
intersecan en un punto, el producto de los dos segmentos determinados en una de las cuerdas es
igual al producto de los dos segmentos determinados en la otra.
Teorema (Relaciones entre secantes) Si desde un punto exterior a una circunferencia dada se trazan
dos secantes, el producto de una secante por su segmento exterior es igual al producto de la otra
secante por su segmento exterior.
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Teorema En una circunferencia dado un segmento tangente a la circunferencia y una recta secante
que pasa por dos puntos de la circunferencia e interseca al segmento tangente en un punto se
cumple que la tangente es media proporcional entre la secante y el segmento exterior.
Medición en figuras circulares
Longitud de una circunferencia:
Área de un círculo: r
Teorema (Longitud de arco) Dada una circunferencia y un arco en la circunferencia de medida n (en
grados) y radio r entonces su longitud (l) es:
r n
l = 180
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Definición La región limitada por dos radios y el arco que subtienden recibe el nombre de sector
circular.
Teorema Si un sector circular tiene radio r y su arco medida n (en grados) entonces su área
A
  r2  n
360
Def. Un segmento circular es una región determinada por un arco de una circunferencia y la cuerda
correspondiente.
Teorema El área de un segmento circular en una circunferencia de radio r es igual al área del sector
circular menos el área del triángulo.
A
  r2  n
360
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 AOAB
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Definición: La región comprendida entre dos circunferencias concéntricas recibe el nombre de corona
circular o anillo circular.
Teorema El área de una corona circular formada por dos circunferencias concéntricas, siendo R la
medida del radio de la circunferencia mayor y r el radio de la circunferencia menor es igual al
producto de
por la diferencia de los cuadrados de dichos radios.
A   (R 2  r 2 )
.
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Práctica #15
1. En la figura, DG = 25, DC = 18 y EB = 27. Determine GC, EC y CB
2. En la figura, DB = 6, DC = 15 y DF = 8. Halle FE
3. En la figura BC es un segmento tangente. Si CE = 5 y CD = 20, halle BC
4. En la figura anterior suponga que DE = 24 y BC = 16 ¿Cuál es el valor de DC?
E
5. Si E, H, I y F son puntos de la
x
circunferencia encuentre el valor de x.
H
x +2
7
F
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G
I
8
141
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6. Las cuerdas NP y OQ se
intersecan en Ñ. Encuentre el valor
de x.
O
x +3
N
x
Ñ
x
P
Q
x -2
7. En las siguientes figuras suponga que O es el centro de la circunferencia. Halle el área sombreada
usando los datos dados
a) AO  OB y AB = 5 cm
b) AB = 3 cm y mB  70
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c) AC = 5, AO = 12 y AO  AC
d) AO = 2 y AB =
5 1
e) ABC es un triángulo equilátero cuya altura mide 9 cm
f) La figura inscrita a la circunferencia es un pentágono regular, cuya apotema mide 5 cm
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g) IH = 5 , KJ = 9, m H = 135º y JK = IJ
h) La figura inscrita es un nonágono regular tal que QM = 3 cm y m  QNP = 2 m QMN
i) Si ABCDEF es un hexágono regular de radio 2 cm y circunscrito a la circunferencia de la figura.
Halle el área sombreada
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j) Halle el área sombreada sabiendo que la figura exterior es un cuadrado cuyo lado mide 3 cm
7) Halle la razón entre el área del círculo exterior y el área sombreada, usando los datos dados
a) El círculo interior es tangente interiormente al círculo exterior
b) CB = 2 AC
8) Determine el área de un segmento circular cuyo arco tiene una longitud de 4 y el radio de la
circunferencia es 8.
9) Determine la longitud aproximada del radio de un arco cuya longitud es 3,927m y que está
determinado por un ángulo central de 75°.
10) Los arcos de la siguiente figura corresponden a círculos concéntricos de radios 15 y 10
respectivamente. Si el ángulo central mide 75° calcule el área de la región sombreada.
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XV. Estereometría
Definición: Un sólido es una porción cerrada de espacio limitada por superficies plana o alabeadas.
Definición: Un prisma es un poliedro limitado por varios paralelogramos y dos polígonos iguales
cuyos planos son paralelos. Los polígonos iguales y paralelos se llaman bases. Arista son los lados
de los paralelogramos que no pertenecen a las bases.
La altura es la distancia entre las bases.
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Definición: Una pirámide es un poliedro que tiene una cara llamada base, que es un polígono de
cualquier número de lados y, las otras caras laterales son triángulos que tienen un vértice común. La
altura es segmento perpendicular desde el vértice común a la base. Las pirámides se nombran de
acuerdo con el nombre del polígono que tiene por base.
Definición Un cilindro circular recto es la porción del espacio formada por la unión de dos
circunferencias congruentes (y sus interiores) que están en planos paralelos y de todos los segmentos
que tienen un extremo en cada circunferencia y que son paralelos a la recta que une los centros de
los círculos. Las regiones circulares que forman el cilindro se llaman bases. La distancia entre las
bases es la altura (h) del cilindro.
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Definición: Un cono circular recto es una porción del espacio formada por la unión de una región
circular (base), un punto V (llamado vértice del cono) que no se encuentra en el mismo plano de la
base y todos los segmentos de recta que unen un punto del círculo con el vértice. La altura (h) del
cono es la distancia del vértice al plano que contiene la base. La generatriz (g) de un cono es la
medida de cualquier segmento de recta trazado desde el vértice hasta un punto de la circunferencia
que tiene por base.
Definición: La superficie esférica es el conjunto de todos los puntos que equidistan de un punto fijo
llamado centro. Una esfera es el conjunto formado por todos los puntos de una superficie esférica y
los interiores a la misma. La distancia del centro a un punto de la superficie se llama radio.
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Práctica #16
1. Encuentre la altura de una pirámide recta de base cuadrada en la cual las aristas laterales miden
10cm y las aristas de la base miden 12cm.
2. Si el volumen de un paralelepípedo es 480cm3 y las dimensiones de la base son 8cm y 6cm
encuentre la medida de la diagonal del prisma.
3. Si para construir un recipiente de forma cúbica sin tapa se requieren 180dm2 de material ¿cuál es
su volumen?
4. En un cilindro circular recto de 12cm de altura, 150cm3 de agua ocupan la mitad de su
capacidad. Calcule el área lateral de este sólido.
5. El área de un círculo mayor en una esfera es 81cm2 encuentre el volumen de la esfera.
6. En cono circular recto las medidas del radio y la altura están en la razón 4 : 3. Si la generatriz
mide 15cm calcule el área lateral.
7. En un prisma recto la base es un pentágono regular cuya apotema mide 6,9cm y cuya área es
172,5 cm2. Si las caras laterales son cuadradas calcule su área lateral.
8. En una caja de base rectangular sin tapa las dimensiones de la base están en la razón 2 : 3 y la
altura mide 5dm. Si el volumen del paralelepípedo es 270 dm3 encuentre el perímetro de la base.
9. En un cubo la diagonal de cada cara mide
6 cm calcule el volumen y el área total.
10. En un cono circular recto de 15cm de altura la base tiene un área de 64 cm2. Calcule el
volumen y el área lateral.
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11. Si una cara lateral de una pirámide cuadrangular tiene un área de 24cm2 y cada lado de la base
mide 4cm calcule el volumen de la pirámide.
12. En una esfera de área A cm2 y volumen V cm3 se cumple que A = 27V ¿cuánto mide el radio
de la esfera?
13. La base de una pirámide recta es un rectángulo cuyas dimensiones son 12 cm y 16 cm. Si las
aristas laterales miden 26 cm, determine el volumen de la pirámide.
14. En la base de un cilindro circular recto, de 10 cm de altura, se inscribe un hexágono de 6 cm de
lado. Encuentre el volumen del cilindro.
15. En un cubo de 6 cm de arista se inscribe una esfera. Calcule el área de la superficie esférica y el
volumen de la esfera.
16. En un paralelepípedo rectangular, las dimensiones de la base son 3 cm y 4 cm. Si el volumen es
144cm3, encuentre la medida de la diagonal del prisma.
17. Calcule el área total y el volumen de una pirámide recta cuya base es un triángulo equilátero de
lado 24cm, si la altura de la pirámide es 8 3 cm.
18. Una esfera está inscrita en un cubo. Si el área de la superficie esférica es 36 cm2 determine el
área total y el volumen del cubo.
19. Considere una pirámide recta cuya base es un hexágono regular en el cual la circunferencia
inscrita tiene 15cm de radio. Si el volumen de la pirámide es 1800 3 cm3 encuentre el área lateral.
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20. Dos conos circulares rectos tienen
vértice común en el centro de una
esfera. Si ambos conos tienen 6cm de
altura y el área de la base en cada
cono es 64 cm2, encuentre el
volumen de la esfera.
21. Un cono y un cilindro tienen como
base un mismo círculo. El vértice del
cono es el centro de la segunda base
del cilindro. La altura del cilindro es
10cm y el área lateral es 300 cm2.
Calcule el volumen del cono.
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XVI. Geometría analítica
Una de las ideas fundamentales de la Geometría Analítica es describir propiedades de figuras
geométricas mediante métodos algebraicos. Para ello se incorpora un sistema de referencia en el
plano (y en el espacio), que permite establecer una relación entre los puntos de una recta con los
números reales (relación garantizada por el principio de completitud del conjunto de los números
reales). Así mismo, se establece una correspondencia entre los puntos del plano con pares de
números reales, a la vez entre los puntos en el espacio con tripletas de números reales.
El estudio de figuras mediante estos métodos fue desarrollado en el siglo XVII por Fermat y
Descartes principalmente. A partir del desarrollo de la Geometría Analítica, surgen nuevas ramas de
la Matemática tal como el Cálculo Diferencial e Integral.
Dicho sistema de referencia es el sistema de coordenadas rectangulares o sistema de
coordenadas cartesianas. Dicho sistema (en el caso de la geometría plana) comienza a partir de los
ejes cartesianos (eje X o eje de las abscisas y eje Y o eje de las ordenadas) que consiste en dos
rectas numéricas perpendiculares en su origen. A cada punto del plano se le asigna una coordenada
(x,y), que permite denotar su posición relativa en el plano.
Ejemplos:
 Localice en el plano cartesiano los siguientes puntos, cuyas coordenadas se le dan a
continuación:
A(-5,3)
B(4,6)
C(0,0)
D(-1,-7)
E(4,-3)
F(-9,0)
G(0,5)
H(-6,0)
 Dibuje el cuadrilátero cuyos vértices son los siguientes y calcule su área.
P(-2,0)
Q(3,-3)
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R(5,0)
S(3,4)
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DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
A partir del Teorema de Pitágoras, se puede deducir la fórmula que permite calcular la distancia entre
dos puntos, supongamos P y Q, cuyas coordenadas son P(x1,y1) y Q(x2,y2).
Ejemplos:
 Calcule la distancia entre los puntos (3,-4) y (-5,-2)
 Dibuje el cuadrilátero cuyos vértices son (-2,3), (5,3), (7,-1) y (-3,-1). Calcule su
perímetro y su área.
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
El punto medio de un segmento
con P(x1,y1) y Q(x2,y2) viene dado por la fórmula:
Ejemplos:
 Represente el
con P(-4,2) y Q(0.5,3), calcule el punto medio y señálelo.
 Dado el ABC donde A(-1,2), B(-3,8) y C(2,3), represéntelo en el plano cartesiano.
Represente la mediana desde el vértice B y calcule su longitud.
LA RECTA EN EL PLANO
Usando coordenadas, definimos la recta como el lugar geométrico de todos los puntos que
satisfacen una ecuación de la forma AX + BY = C, con A, B, C números reales, tales que A y B no
son cero simultáneamente. En otras palabras, existe una correspondencia biunívoca entre los pares
ordenados que son solución a la ecuación con los puntos de una recta en el plano. Es decir, si se
localizaran en el plano los pares ordenados que son solución de la ecuación AX + BY = C formarían
una recta y recíprocamente, si se toma cualquier punto perteneciente a la recta, ésta sería una
solución de la ecuación AX + BY = C.
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Ejemplos.
 Trace la recta cuya ecuación es 2x + 3y = 1
 Trace la recta cuya ecuación es 5x – 7y + 1 = 6x - 8y
ECUACIÓN DE UNA RECTA INCLINADA
Si en la ecuación AX + BY = C se cumple que A y B son ambos distintos de cero, la
ecuación de la recta corresponde a una recta inclinada. En este caso, recuerde que a partir de la
ecuación lineal, se puede despejar la fórmula de la función lineal (que usted ya estudió en
secundaria) a saber:
y=mx+b
en la cual m corresponde a la pendiente de la recta (que determina su inclinación) y b corresponde a
la intersección de la recta con el Eje Y en el punto (0,b).
Algunas cosas importantes de la forma y = mx + b son las siguientes:
 Si se conocen dos puntos de la recta (x1,y1) y (x2,y2)se puede calcular el valor de la
pendiente m con la siguiente fórmula:
 Conociendo la pendiente m y un punto de la recta (x1,y1), se puede despejar el valor
de b con la fórmula:
b = y1 - m  x1
 Si m > 0 la función es creciente y si m < 0 la recta es decreciente.
 Las intersecciones con los ejes se pueden obtener, a partir de la ecuación lineal (si
no está despejada en su forma de función lineal) de la siguiente manera: la
intersección con el eje Y se obtiene sustituyendo x = 0 en la ecuación. La
intersección con el eje X se obtiene sustituyendo y = 0 en la ecuación.
 Si dos rectas son paralelas, sus pendientes son iguales. Es decir, si las pendientes
de dos rectas son m1 y m2, entonces las rectas son paralelas si m1 = m2.
 Si dos rectas son perpendiculares, sus pendientes serán números recíprocos o
inversos multiplicativos pero con signos opuestos. Es decir, sus pendientes
multiplicadas dan -1. A saber, si las pendientes de dos rectas son m1 y m2, entonces
las rectas son perpendiculares si m1  m2 = -1, o lo que es lo mismo
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.
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Ejemplos:

Considere la recta cuya ecuación es 4 x + 6 y = -10. Efectúe lo siguiente:
a) Exprese la recta en su forma de función lineal.
b) Verifique algebraicamente si los puntos A(-1,-1), B(0,3), C(2,-3) y D(4,5) pertenecen
o no a la recta.
c) Calcule las intersecciones de la recta con los ejes.
d) Efectúe el trazo de la recta.
 Considere la recta l1 que viene dada por la ecuación 3x – 2y = 5.
a) Verifique algebraicamente que el punto P(2,3) no pertenece a la recta.
b) Calcule la ecuación de la recta l2 paralela a la recta l1 que pasa por el punto P.
c) Calcule la ecuación de la recta l3 perpendicular a la recta l1 que pasa por el punto P.
d) Efectúe el trazo de todas las rectas encontradas.
RECTAS HORIZONTALES
En el caso de que en la ecuación AX + BY = C se diera que A = 0, entonces la gráfica
corresponde a una recta horizontal, Obsérvese en este caso que la ecuación se podría despejar de
la forma
. En este caso dado que
es una constante. Si llamamos a esta constante k por
ejemplo, estaremos en el caso de una función lineal de la forma y = k (k constante) que como se ha
estudiado en secundaria corresponde a una función constante y desde entonces sabemos que su
gráfica corresponde a una recta horizontal, ya que todos los pares ordenados que la componen son
de la forma (x,k) donde x puede tomar cualquier valor.
Ejemplos.
 Grafique la recta cuya ecuación es y = 7. ¿Cuál es la coordenada del punto de
intersección de la recta con el eje y?
 Considere el segmento de recta cuyos extremos son los punto A(-3,-1) y B(8,-1)
¿Cuál es la ecuación de la recta
punto medio de
en la que está contenido
? ¿Cuál es el
?
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RECTAS VERTICALES
En el caso en el que en la ecuación AX + BY = C suceda que B = 0, dicha ecuación sería
equivalente a x
con
una constante. Si llamamos a esta constante k tendríamos que la
ecuación es equivalente a la forma x = k. Esta ecuación en la gráfica corresponde a su vez con una
recta vertical, ya que está compuesta por todos los pares ordenados de la forma (k,y) donde y puede
tomar cualquier valor. Note en este caso que la relación planteada por la ecuación NO ES UNA
FUNCIÓN ya que una misma preimagen (k) tiene infinidad de imágenes.
Ejemplos.
 Escriba la ecuación de la recta que pasa por los puntos (3,9) y (3,-1).
 Considere el triángulo cuyos vértices son A(-3,-1), B(2,-1) y C(-1,4). Escriba la
ecuación de la mediatriz, la altura y la mediana sobre el lado
.
INTERSECCIÓN ENTRE DOS RECTAS
Si dos rectas no son paralelas, no son la misma recta, la coordenada del punto de
intersección entre ambas se puede obtener resolviendo un sistema de ecuaciones lineales, por el
método que se considere conveniente.
Ejemplos.
 Encuentre el punto de intersección entre las rectas dadas por las ecuaciones
y
 Encuentre el punto de intersección de la recta y = -2x + 3 con la recta
 Trace el paralelogramo cuyos vértices son A(-4,3), B(2,3), C(1,-2) y D(-5,-2).
(a) Calcule su perímetro y su área (b) Calcule la ecuación de sus dos diagonales.
(c) Encuentre el punto de intersección de las diagonales (d) Encuentre los puntos de
intersección de las diagonales con los ejes cartesianos.
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Práctica #17
1) Considere el ABC. Determine:
a) la distancia de B a C.
b) el punto medio de
.
c) la ecuación de la recta paralela al lado
d) la ecuación de la altura sobre el lado
y que pasa por el punto A.
.
y
4
3
B
2
1
x
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
2
3
C
4
5
6
7
8
A
-2
2) Considere el triángulo cuyos vértices son A(1,5), B(–1, 3) y C(2,0). Efectúe lo siguiente:
a) Represente gráficamente el ABC en el plano cartesiano.
b) Calcule el punto medio de
y el punto medio de
c) Calcule la ecuación lineal de la mediana sobre el lado
y la ecuación lineal de la mediana
sobre el lado
d) Calcule la coordenada del baricentro del ABC
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LA CIRCUNFERENCIA EN EL PLANO
Ya sabemos que la circunferencia es el conjunto de todos los puntos del plano que
equidistan de un punto fijo llamado centro. Supongamos que la coordenada del centro O de una
circunferencia es O(h,k) y P es cualquier punto sobre la circunferencia cuya coordenada es P(x,y).
El radio de la misma correspondería a la distancia entre los puntos O y P, a saber d(O,P). Tenemos
entonces:
y
P(x,y)
r
k
O(h,k)
x
h
Usando la fórmula de distancia entre dos puntos:


De lo cual tenemos la ecuación general para una circunferencia en el plano:
Siendo el punto (h,k) la coordenada del centro de la circunferencia y r su radio.
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Ejemplos.
 La ecuación
es una ecuación de una circunferencia cuyo
centro es ___________ y cuyo radio es ________. Trácela.
 La ecuación
es una ecuación de una circunferencia cuyo centro
es ___________ y cuyo radio es ________. Trácela.
 La ecuación
es una ecuación de una circunferencia cuyo
centro es ___________ y cuyo radio es ________. Trácela.
 La ecuación
es una ecuación de una circunferencia cuyo centro
es ___________ y cuyo radio es ________. Trácela.
 La ecuación
es una ecuación de una circunferencia cuyo centro es
___________ y cuyo radio es ________. Trácela.
 La ecuación
es una ecuación de una circunferencia cuyo centro es
___________ y cuyo radio es ________. Trácela.
 La ecuación
es una ecuación de una circunferencia cuyo centro es
___________ y cuyo radio es ________. Trácela.
 La ecuación
es una ecuación de una circunferencia cuyo centro es
___________ y cuyo radio es ________. Trácela en forma aproximada.
NOTA: Observe que la ecuación
corresponde a una circunferencia centrada en
el origen (0,0) y cuyo radio es r.
Ejemplo.
 Escriba la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el origen y cuyo radio es 13.
Determine si los siguientes puntos pertenecen o no a la circunferencia. En el caso de
aquellos que no pertenezcan, compruebe algebraicamente si pertenecen al interior de la
circunferencia o a su exterior:
A(5,12)
B(10,
)
C(-4,10)
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D(-5,-12)
E(-9,-12)
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NOTACIÓN DESARROLLADA DE UNA CIRCUNFERENCIA
Dado
que
la
ecuación
general
de
una
circunferencia
en
el
plano
es
, al desarrollar los productos notables que en ella aparecen, se obtiene
una ecuación de la forma
con D,E y C números reales.
Ejemplos:
 Escriba la ecuación (en su forma desarrollada) de la circunferencia cuyo centro es el
punto O(5,-3) y cuyo radio mide 6 unidades.
 Escriba la ecuación (en su forma desarrollada) de la circunferencia cuyo centro es el
punto K(2,0) y cuyo radio mide
unidades.
 Escriba la ecuación (en su forma desarrollada) de la circunferencia cuyo centro es el
punto P(-1,6) y cuyo radio mide
unidades.
 Escriba la ecuación (en su forma desarrollada) de la circunferencia cuyo centro es el
punto A(2,-3) y cuyo radio mide 12 unidades.
 Escriba la ecuación (en su forma desarrollada) de la circunferencia cuyo centro es el
punto N
y cuyo radio mide 2 unidades.
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Ahora bien, toda circunferencia se puede representar mediante una ecuación de la forma
, pero esto no significa que toda ecuación que tenga
la forma
corresponde a una circunferencia. Por ejemplo:
 Si D = E = 0 y C = 1
tendríamos la ecuación
¿Corresponde esta
ecuación a una circunferencia? Justifique.
 Si D = E = C = 0 tendríamos la ecuación
¿Corresponde esta ecuación a una
circunferencia? ¿Qué figura obtenemos al graficar la solución de esta ecuación en el plano
cartesiano? Justifique.
 La
ecuación
,
¿Corresponde
esta
ecuación
a
una
circunferencia en el plano?
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Nota.
Cuando tenemos la ecuación desarrollada
y queremos
identificar a partir de ahí el centro y el radio de la circunferencia (si es que la ecuación desarrollada
corresponde a una) es conveniente reescribirla en su forma general
.
Para ello podemos utilizar la técnica algebraica de “completar cuadrados” para hacerlo.
Ejemplos: Determine si la ecuación dada corresponde a una circunferencia. En caso afirmativo,
determine su centro, su radio y trácela



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

INTERSECCIONES CON LOS EJES DE UNA CIRCUNFERENCIA.
Al igual que con rectas, y en general con cualquier curva de la cual se conoce su ecuación,
es posible calcular las intersecciones con los ejes cartesianos de la siguiente manera: la intersección
con el eje Y se obtiene sustituyendo x = 0 en la ecuación. La intersección con el eje X se obtiene
sustituyendo y = 0 en la ecuación.
Ejemplos. Calcule las intersecciones con los ejes cartesianos de las siguientes circunferencias.




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Práctica #18
 Determine la ecuación de una circunferencia cuyo centro es el punto Q(1,2) y que pasa por
el punto P(3,5)
 Los puntos A(4,2) y B(-2,6) son los extremos del diámetro de una circunferencia de centro K
y radio r. Determine la ecuación de dicha circunferencia.
 Dada la circunferencia que contiene los puntos A(-12,1), B(2,1) y C(0,7), determine su centro,
su radio y su notación desarrollada. Trácela.
 Los puntos A(–2, –1) y B(6,5) son los extremos del diámetro de una circunferencia. Efectúe
lo siguiente:
a) Calcule el centro M de la circunferencia
b) Calcule el radio r de la circunferencia
c) Encuentre la ecuación desarrollada de la circunferencia de centro M y radio r
d) Demuestre que la circunferencia cuya ecuación es
es
x 2  y 2  4x  4 y  0
concéntrica con la circunferencia hallada en el punto “c” del ejercicio y que además
contiene al punto P(0,0)
 Considere la siguiente circunferencia cuyo centro es P y pasa por A.
a) Calcule el radio de la circunferencia.
b) Escriba la ecuación desarrollada de la circunferencia
c) Verifique algebraicamente si el punto B(-10,1) pertenece o no a la circunferencia
y
7
6
5
4
3
2
1
P(-4,0)
-15
-14
-13
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
x
-2
-1
1
-1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
A(2,-1)
-2
-3
-4
-5
-6
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Práctica #19
Práctica General de Geometría Analítica
1. Encuentre el área de la región sombreada en cada una de las siguientes figuras:
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2. Considere los puntos A  3, 2  , B  2,1 y C  4, 0  :
a.
Dibuje el triángulo ABC
b.
Encuentre las medidas de cada lado y de cada ángulo del triángulo.
c.
Calcule el área y el perímetro del triángulo.
d.
Encuentre las coordenadas de los puntos medios de cada lado del triángulo.
e.
Encuentre la medida de la mediana sobre
AB .
5
3. Considere los puntos A  3,  , B  3, 1 y C  4, 1 . Si ABCD es un rectángulo

2
encuentre:
a.
Las coordenadas del punto D.
b.
El punto de intersección de las diagonales del cuadrilátero.
c.
El área y el perímetro del cuadrilátero.
d.
El área del círculo de centro B y radio BC.
e.
Si M es el punto medio de
AB
y N es el punto medio de
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BC
encuentre MN.
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4. Encuentre los puntos de intersección con los ejes del sistema de coordenadas de la gráfica de
cada una de las siguientes ecuaciones.
a.
2 x  3 y  12
b.
y  3x 2  x  4
c.
x 2   y  3  4
d.
x  2  y2  y
2
5. Trace la gráfica de las siguientes ecuaciones:
1.
y  2 x
2.
yx4
3.
4.
x y  y4
5.
x2  y 2  4
6.
y  x  5 x
 x  2
2
  y  1  4
2
6. Indique el centro y el radio de las circunferencias determinadas por cada una de las siguientes
ecuaciones. Dibújelas.
a.
 x  3
c.
1
9

x  2x  1   y   
2
4

2
  y  1  9
b.
2
2
 x  2
4
d.
2
2

 y  1

4
y2  x  3

2
2
1
2
7. Encuentre la pendiente y los puntos de intersección con los ejes de las rectas determinadas por
las siguientes ecuaciones:
a. 5 x  3 y  11
b.
2
3
y x0
3
4
8. Encuentre la ecuación de la recta que contiene los siguientes pares de puntos. Dibújelas.
a.
 0, 0  y  5 ,  5 
3
7
c.  0, 4  y  2,  4 

 

3
 3 
b.  3, 0  y  2, 4 
d.  2, 1 y  2,1
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9. Encuentre la ecuación de cada recta en la siguiente figura:
10. Si tres de los vértices de un paralelogramo ABCD son A  2, 3 ,
B  3, 3 y C  3,1
a. Encuentre las coordenadas del punto D.
b. Encuentre las coordenadas del punto de intersección de las diagonales.
c. Calcule el área y el perímetro del paralelogramo.
d. Encuentre las medidas de los ángulos del cuadrilátero.
e. Encuentre las ecuaciones correspondientes a las rectas que contienen a cada lado y a cada
diagonal.
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