UNIVERSIDAD DE LA SERENA DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS LA SERENA-CHILE EJERCICIOS ANALISIS NUMERICO PARA INGENIERIA Héctor Andrés Torres Apablaza 2014 ii Contents 1 DERIVACION NUMERICA 1.0.1 3 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 RESOLUCION NUMERICA EDO 2.0.2 3 7 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 2 Chapter 1 DERIVACION NUMERICA 1.0.1 Ejercicios Propuestos 1.- Considerando la fórmula de aproximación de derivadas (de orden m) de la forma P f m (α) ≈ ni=0 Ai f (xi ). Calcular la aproximación de la segunda derivada en α = 4 usando xi 1 2 3 los siguientes datos en la tabla esta dada por f (xi ) 0 1 4 2.- Determinar la aproximación de la segunda derivada de f (x) usando series de Taylor y los puntos x + 2h y x − 2h. 3.- Usando desarrollo en series de Taylor determinar las siguientes aproximaciones de la primera derivada: 4.- Usando las aproximaciones anteriores de ejercicio 3, la de orden O(h) y la primera de orden O(h4 ), aproximar la primera derivada de cotg(x) en el punto x = 2, usando 3 4 h = 0.1, h = 0.05, h = 0.01, h = 0.005. Comparar los resultados. 5.- Usando las aproximaciones anteriores de ejercicio 3, la de orden O(h) y la primera de orden O(h4 ), aproximar la primera derivada de ex en el punto x = 1, usando h = 0.1, h = 0.01, h = 0.01, h = 0.001, h = 0.0001, h = 0.00001. Comparar los resultados. 6.- Usando desarrollo en series de Taylor determinar las siguientes aproximaciones de la segunda derivada: donde fk = f (xk ), además xk = x0 + kh y k ∈ Z. 7.- Usando desarrollo en series de Taylor determinar las siguientes aproximaciones de las terceras y cuartas derivadas: donde fk = f (xk ), además xk = x0 + kh y k ∈ Z. 8.- Deducir una fórmula de cinco puntos que utilice los valores de la función en los puntos x, x + h, x + 2h, x + 3h y x − h para calcular f 0 (x). 5 9.- Usando desarrollo de Taylor, determinar la aproximación de la primera derivada de una función f (x) en el punto x0 , utilizando diferencias centradas con los puntos x0 − h/2 y x0 + h/2. Determinar además el orden de aproximación. 10.- Aproximar la segunda derivada de f (x), a.- Usando los puntos x + b.- Usando los puntos x − h 2 h 2 y x + h. Obtener el orden de aproximación. y x + h2 . Obtener el orden de aproximación. c.- Usar a) y b) para aproximar el valor de f 00 (1) con f (x) = ex y h = 0.1. Que se concluye de las aproximaciones con respecto al valor exacto. 11.- Aproximar la tercera derivada de f (x) usando los puntos x − 2h, x − h, x + h y x + 2h. Obtener el orden de aproximación. Usar este resultado para aproximar el valor de f 00 (2) con f (x) = 1 x y h = 0.1. Calcular error cometido. 12.- Hacer tareas de la teoria. 6 Chapter 2 RESOLUCION NUMERICA EDO 2.0.2 Ejercicios Propuestos 1.- Dado el problema de valores iniciales u0 (t) = 1 + (u − t)2 u(0) = 0.5 b≤t≤a Usar el método de Euler Progresivo para calcular valores aproximados u1 , u2 , ..., uN de la solución u(t) en los puntos t1 , t2 , ..., tN , Considerando N = 10(h = 0.1), a = 0, b = 1. (Solución: La fórmula de Euler esta dada por uk+1 = uk + h[1 + (uk − tk )2 ] La siguiente tabla muestra los valores con tres decimales 7 8 ti ui 0 0.5 0.1 0.625 0.2 0.753 0.3 0.883 0.4 1.017 0.5 1.155 0.6 1.298 0.7 1.447 0.8 1.603 0.9 1.767 1 1.942 ) 2.- Usando el método de Euler Progresivo con h = 0.1 determinar la solución en t = 1, para cada uno de los siguientes problemas: a.- u0 = 1 + t − u, u(0) = 0 (solución u10 = 1) b.- u0 = 1 + u2 − t2 , u(0) = 0 (solución u10 = 1) c.- u0 = −1 + 2t + (u2 )/(1 + t2 )2 , u(0) = 1 (solución u10 = 1.805) 3.- Considerar el mismo problema del ejercicio 1 usando el método de Heun (R-K-2). (Solución La fórmula esta dada por p1 = f (uk , tk ) = 1 + (uk − tk )2 p2 = f (uk + hp1 , tk+1 ) uk+1 = uk + h p 1 + p2 2 La siguiente tabla muestra los valores con tres decimales 9 ti ui 0 0.5 0.1 0.626 0.2 0.755 0.3 0.888 0.4 1.025 0.5 1.166 0.6 1.313 0.7 1.469 0.8 1.632 0.9 1.808 1 1.998 ) 4.- Usando el método de Heun (R-K-2) con h = 0.1 determinar la solución en t = 1, para cada uno de los siguientes problemas: a.- u0 = 1 + t − u, u(0) = 0 (solución u10 = 1) b.- u0 = 1 + u2 − t2 , u(0) = 0 (solución u10 = 1) c.- u0 = −1 + 2t + (u2 )/(1 + t2 )2 , u(0) = 1 (solución u10 = 1.983) 5.- Considerar el mismo problema del ejercicio 1 usando el método de Runge-KuttaClásico. (Solución La fórmula esta dada por p1 = f (uk , tk ) = 1 + (uk − tk )2 h h h h p2 = f (uk + p1 , tk + ) = 1 + (uk + p1 − tk − )2 2 2 2 2 h h h h p3 = f (uk + p2 , tk + ) = 1 + (uk + p2 − tk − )2 2 2 2 2 2 p4 = f (uk + hp3 , tk+1 ) = 1 + (uk + hp3 − tk+1 ) uk+1 = uk + h p1 + 2p2 + 2p3 + p4 6 10 La siguiente tabla muestra los valores con tres decimales ti ui 0 0.5 0.1 0.626 0.2 0.756 0.3 0.888 0.4 1.025 0.5 1.167 0.6 1.314 0.7 1.469 0.8 1.633 0.9 1.809 1 1.999 ) 6.- Usando el método de R-K-C con h = 0.1 determinar la solución en t = 1, para cada uno de los siguientes problemas: a.- u0 = 1 + t − u, u(0) = 0 (solución u10 = 1) b.- u0 = 1 + u2 − t2 , u(0) = 0 (solución u10 = 1) c.- u0 = −1 + 2t + (u2 )/(1 + t2 )2 , u(0) = 1 (solución u10 = 1.999) 7.- Determinar el siguiente problema de valor inicial u0 = −u + t + 1, 0≤t≤1 u(0) = 1 Determinar la solución exacta del problema. Despues, determinar la solución aproximada considerando h = 0.1 y los siguientes métodos: a.- Método de Euler Progresivo. b.- Método de Heun (R-K-2). c.- Método de R-K-C. 11 Considerar para cada método el error dado por Error = |uj − u(tj )| en cada paso tj y medir este error en cada paso. 7.- (20 pts) Considerar el siguiente problema de de valores iniciales, u0 (t) = 4 − 3u(t), t > 0, con la condición inicial u(0) = 1. La solución analı́tica esta dada por u(t) = − e−3t 4 + . 3 3 Determinar h para que el método de Euler progresivo sea estable. ( Ayuda: - Por si lo necesitan Pk−1 i=0 (r) i = 1−rk 1−r ) 8.- Considerar el siguiente problema de de valores iniciales, 1 + e−3t u0 = 0, t > 0, con la condición inicial u(0) = 1. La solución analı́tica esta dada por u(t) = − e3t 4 + . 3 3 a.- Utilizar el método de Euler progresivo para obtener solución aproximada en t = 0.3, con h = 0.1. b.- Utilizar el método de Heun explı́cito (R-K-2) para obtener solución aproximada en t = 0.3, con h = 0.1. c.- Cual de los dos métodos entrega mejor solución ?.
