UNIVERSIDAD EAN FACULTAD DE ESTUDIOS EN AMBIENTES VIRTUALES INGENIERÍA DE SISTEMAS GUÍA No. 1 ACTIVIDAD 2 ESTUDIO ECUACIONES DIFERENCIALES GRUPO DE TRABAJO COLABORATIVO TUTOR BOGOTÁ, D.C, 1 CONTENIDO Introducción…………………………………………………………..3 1. Desarrollo de la actividad 1 1.1 explicación del video 1.1………………………………………….4 1.2 ejercicios………………………………………………………………5 Conclusiones………………………………………………………………8 Referente bibliográfico………………………………………………….9 2 INTRODUCCION El desarrollo de esta actividad estará centrado en el tema de uso de las Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), como ya sabemos en el mundo real las matemáticas están inmersas en nuestro alrededor y busca moldear matematicamente cada fenómeno para poder predecir lo que ocurrirá después de un tiempo. En esta guía de trabajo se aplican técnicas analíticas de soluciones generales y particulares de las EDO se realiza la identificación y utilización de métodos de solución de variables separables, factor integrante y ecuaciones exactas para encontrar sus soluciones implícita y explicitas. Con la herramienta de Matlab se dibujan los campos vectoriales. 3 GUÍA 1: FUNDAMENTOS Y EDO DE PRIMER ORDEN Desarrollo de las actividades 1 1.1 explicación del video “campo vectorial” Comenzaremos diciendo que MALTAB es un software muy productivo para ingenieros y científicos ya que ofrece herramientas para solucionar problemas en este caso de ecuaciones diferenciales ordinarias, el video de “campo vectorial”, el cual nos enseña unos comandos básicos para poder realizar una gráfica de las soluciones de una ecuación diferencial ordinaria, los códigos correspondientes son los siguientes; meshgrid es el que genera unas mayas tanto en el eje x como en el eje y, donde el x es el eje temporal ya que se puede modificar constante mente, el comando quiver es el comando encargado de dibujar las soluciones vectoriales en el plano de la ecuación diferencial que se quiere resolver, cabe resaltar que este programa también nos muestra la solución de la ecuación diferencial en forma analítica y las posibles soluciones. Para nosotros como ingenieros de produccion es de suma importancia contar con estas herramientas ya que nos ayuda a la modelación y simulación las cuales nos permiten realizar modelos productivos para aplicarlos a un proyecto, con el fin de obtener conocimientos para después transferirlo a la realidad en el ámbito de fabricación, produccion empaque desempeño y muchas más. 4 1.2 ejercicios de aplicación de EDO En los siguientes problemas se presentan EDO de primer orden con enfoque hacia la ingeniería de produccion Ejercicio 1 La ecuación para la produccion de un producto (en miles) está dada por 𝒅𝒑 𝒅𝒕 = 𝟑𝒑 − 𝟐𝒑𝟐 (a). Bosqueje el campo de direcciones usando un paquete de computo o el método de isóclinas. Imagen 1. Campo de direcciones. [t,y]=meshgrid(1:5,4.5:-1:1); dt=ones(4.5,5); dy = 3.*y -2*y.^2; quiver(t,y,dt,dy,1); hold on (b) si la produccion inicial es 2000 [ es decir, 𝑝(0) = 2], que decir acerca de la producción limite 𝒍í𝒎𝒕+∞ 𝒑(𝒕)? 5 La gráfica muestra que las curvas tienden a la recta horizontal 𝑝 = 1.5 , 𝑡 → ∞+ . Por lo que lim+ 𝑝(𝑡) = 𝑡→∞ 3 2 (c) Si 𝒑(𝟎) = 𝟎. 𝟓,¿Cuál es el valor 𝒍í𝒎𝒕+∞ 𝒑(𝒕)? Las curvas desde 0.5 tienden a la recta horizontal 𝑝 = 1.5 , 𝑡 → ∞+ , por lo que el 3 límite es el mismo punto anterior: lim+ 𝑝(𝑡) = 2 𝑡→∞ Ejercicio 2 Considere la ecuación diferencial 𝒅𝒑 = 𝒑(𝒑 − 𝟏)(𝟐 − 𝒑) 𝒅𝒕 Para la elaboración de un producto 𝑝(𝑒𝑛 𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠) de cierta especie en el instante 𝑡 (a). Bosqueje el campo de direcciones usando un paquete de computo o el método de isóclinas. Imagen 2. Campo de direcciones. 6 [t,y]=meshgrid(1:4.5,4:-1:1); dt=ones(4,4.5); dy = y.*(y - 1).*(2 - y); quiver(t,y,dt,dy,1); hold on (b) Si la elaboración inicial es 3000 [ es decir, 𝒑(𝟎) = 𝟑], que decir acerca de la población limite 𝒍í𝒎𝒕+∞ 𝒑(𝒕)? La gráfica muestra que las curvas tienden a la recta horizontal 𝑝 = 2 , 𝑡 → ∞+ . Por lo que es 2. (c) Si 𝒑(𝟎) = 𝟏. 𝟓,¿Cuál es el valor 𝒍í𝒎𝒕+∞ 𝒑(𝒕)? La gráfica muestra que las curvas tienden a la recta horizontal 𝑝 = 2 , 𝑡 → ∞+ . Por lo que es 2 7 CONCLUSIONES En el desarrollo de esta actividas se profundizo el tema de EDO homogéneas utilizando herramientas computarizadas como Matlab para graficar los campos vectoriales y para resolver las EDO, comparado así sus valores. . 8 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICA Zill denis G (2006). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado octava edición Nagle, R.(2001). Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera. Tercera edición Naucalpan: PERSON. 9
