MATERIAL DE REFUERSO EDUCATIVO.
MATEMÁTICA
Multiplicación:
RECUERDA QUE: Cuando cambias el orden de los factores, que son los términos de una
multiplicación, el resultado NO cambia.
Ésta es la PROPIEDAD CONMUTATIVA de la MULTIPLICACIÓN.
Por ejemplo:
Factores
Factores
21 x 8 = 8 x 21
Producto
168
= 168
Producto
Resuelve en tu cuaderno las siguientes multiplicaciones:
1) 5.623 x 7
7) 96.753 x 6
13) 24.713 x 5
19) 5.337 x 8
2) 63.434 x 2
8) 7.324 x 5
14) 3.258 x 8
20) 14.732 x 23
3) 23.421 x 4
9) 34.762 x 5
15) 40.822 x 4
21) 61.790 x 2
4) 458.731 x 3
10) 77.213 x 8
16) 384.231 x 2
22) 94.520 x 3
5) 61.543 x 15
11) 30.845 x 27
17) 50.791 x 48
23) 91.274 x 39
6) 33.792 x 26
12) 960.978 x 49
18) 54.444 x 5
24) 913.621 x 26
División:
La división es un problema inverso a la multiplicación.
45 : 9 = 5
Dividendo Divisor Cuociente
Recuerda que:
En el resultado o cuociente se anota la cantidad de
veces que entra el divisor en el dividendo.
Lo que vas anotando debajo de la división es lo que
sobra.
Ejemplo:
3 4. 6 2 8 : 8 = 4 3 2 8 , 5
2 6
22
68
40
0
1) 63.748 : 5 =
7) 834.537 : 4 =
13) 53.465 : 10 =
2) 76.483 : 7 =
8) 32.528 : 9 =
14) 53.738 : 12 =
3) 253.783 : 4 =
9) 152.638 : 5 =
15) 72.738 : 11 =
4) 83.683 : 7 =
10) 72.586 : 6 =
16) 723.582 : 15 =
5) 628.520 : 8 =
11) 82.547 : 9 =
17) 638.647 : 12 =
6) 21.546 : 5 =
12) 725.692 : 6 =
18) 35.746 : 14 =
Multiplicar y dividir fracciones:
Multiplicar fracciones:
Dividir fracciones:
Ejemplo:
Ejemplo:
_2_ x _3_ = _6_
4
5
20
Recuerda que la segunda fracción se invierte y
el signo se cambia. Fíjate:
Se puede simplificar por 2:
_6_ : 2 = _3_
20 : 2 = 10
_2_ : _3_ = _2_ x _5_ = _10_
4
5
4
3
12
Se puede simplificar por 2:
_10_ : 2 = _5_
12 : 2
6
Multiplica las siguientes fracciones y simplifica de
ser posible.
1) 2 · 1
3 12
2) 1 · 2
4 7
3) 2 · 6
3 20
4) 1 · 1
8 22
5) -1 · 3
6
5
6) -1 · -1
9 3
7) 2 · 3
9 8
8) 2 · 4
9
8
Divide las siguientes fracciones:
1) 2 ÷ 1
9
3
2) 1 ÷ -2
5
5
3) 2 ÷ 3
9
7
4) 1 ÷ 1
9
4
5) 3 ÷ 1
2 6
6) 1 ÷ 1
5 5
7) 3 ÷ 2
7
7
Multiplicar números decimales:
Multiplicación: Para multiplicar números decimales, se procede como si fueran enteros y en el
producto se separa con una coma las cifras decimales que tienen en total ambos factores:
Ejemplo:
_3,7_ x 0,25
185
+ _74_
0,925
sumamos las cifras decimales = 1 cifra decimal
correspondiente al 7, más 2 cifras decimales
correspondientes al 25.
Entonces, serían 3 cifras decimales, y en el producto se cuentan 3 lugares de derecha a izquierda y se
anota la coma.
Multiplica:
1) 13,6 x 15 =
2) 0,76 x 28 =
3) 78,4516 x 10 =
4) 2,8 x 0,3 =
5) 3,7 x 0,02 =
6) 0,36 x 10 =
7) 8,59 x 16 =
8) 36,45 x - 2,8 =
9) 2,006 x 10
Dividir números decimales:
Estudiemos por separado todos los casos que se pueden presentar:
a) Dividir un número decimal por un entero: Se divide la parte entera y al bajar la primera cifra
decimal del dividendo se pone una coma en el cuociente continuando la división como si fuera con
números enteros.
Se comienza dividiendo el 12 en el 2 (entero)
Ejemplo: 2”,8”6” : 12 = 0,2383
El resto o residuo se sigue repitiendo, por lo tanto 3 será
28
el período.
46
Por lo tanto, 2,86 : 12 = 0,2383
100
Para seguir obteniendo cifras decimales se agrega un cero al resto.
040
40
4………
Divide un número decimal por un entero:
a) 13,6 : 5 =
b) 7,76 : 8 =
c) 2,86 : 3 =
d) 3,74 : 2 =
e) 8,59 : 6 =
f) 36,45 : 8 =
b) Dividir un número entero por un número decimal: Se amplifica el dividendo y el divisor por
una potencia de 10 que tenga tantos ceros como cifras decimales tiene el divisor. Luego, se dividen
como si fueran enteros.
Ejemplo: en el siguiente ejemplo el divisor es 0,045. Y como hay 3 cifras después de la coma se debe
amplificar por mil. (Y 1.000 es una potencia de 10). Entonces el dividendo y el divisor se multiplican
por mil.
13 : 0,045 = /x 1.000
pues 0,045 tiene 3 cifras después de la coma.
Luego, se resuelve como una división común.
13 : 0,045 = 13.000 : 45
13 0”0”0” : 45 = 288, 8
400
400
400
Por lo tanto, 13 : 0,045 = 288,8
40……..
Divide un número entero por un decimal:
1) 24 : 0,5 =
2) 456 : 0,08 =
3) 386 : 0,03 =
4) 674 : 0,2 =
5) 559 : 1,2 =
6) 645 : 0,8 =
c) Dividir dos números decimales: Se amplifican el dividendo y el divisor por una potencia de 10
que tengan tantos ceros como cifras decimales tiene el divisor y se dividen como decimal por enteros o
ambos enteros según el caso:
Dividendo Divisor
Ejemplos: 1) 0,0185 : 0,5 =
/x 10
El divisor tiene 1 cifra decimal
2) 5,4 : 0,12 = /x 100
El divisor tiene 2 cifras decimales
0,”1”8”5” : 5 = 0,037
54”0” : 12 = 45
18
060
35
0
0
Se amplificó de acuerdo al número de cifras decimales del divisor. El divisor debe ser un número
entero para facilitar la división.
Divide los números decimales:
1) 0,24 : 0,2 =
2) 0,32 : 0,3 =
3) 3,86 : 0,3 =
4) 6,44 : 0,4 =
5) 0,046 : 0,4 =
6) 4,68 : 0,5 =
d) Dividir un número decimal por una potencia de 10: se desplaza la coma hacia la izquierda del
número tantos lugares como ceros tenga la potencia de 10. Si es necesario se agregan ceros a la
izquierda del número.
Ejemplo: 1) 13,86 : 10 = 1,386
Se considera de derecha a izquierda
2) 13,86 : 100 = 0,1386
Las propiedades de las operaciones con números
Fraccionarios se cumplen también para los
3) 13,86 : 1000 = 0,01386
decimales.
Divide los números decimales por una potencia de 10:
1) 12,44 : 10 =
2) 42,68 : 10 =
3) 23,64 : 100 =
4) 34,22 : 100 =
5) 82,56 : 1000 =
6) 94,36 : 1000 =
Porcentajes:
Un porcentaje es una razón. Una razón es una comparación entre dos o más cantidades.
Para calcular el porcentaje de una cantidad, se divide esa cantidad en 100 y luego se multiplica por el
tanto indicado, es decir, el valor del porcentaje. Observa:
¿Cuánto es el 30 % de 600?
600
X
100 %
30 %
X = 600 x 30
100
X = 18000
100
X = 180
Para realizar el cálculo se debe multiplicar cruzado despejando X.
Luego el resultado de la multiplicación se divide por 100.
Es decir, el 30 % de 600 es 180.
Encuentra el valor de los porcentajes indicados:
1) 75 % de 2.000
2) 80 % de 240
5) 70 % de 120
6) 40 % de 600
9) 30 % de 900
10) 60 % de 450
13) 4 % de 80
14) 8 % de 800
3) 50 % de 700
4) 75 % de 800
7) 50 % de 250
8) 20 % de 700
11) 10 % de 180
12) 20 % de 60
15) 10 % de 20
16) 25 % de 420
¿Qué tanto por ciento es una cantidad respecto de otra?
Ejemplo: ¿Qué porcentaje es 20 de 50?
50
20
100 %
X
Para esto, debemos considerar que 50 es el total, entonces:
o lo que es lo mismo: _50_ = _20_
100
x
50 * x = 20 * 100
50 x = 2.000
x = 2.000 : 50
x = 40
Entonces, x que representa el porcentaje de 20,
es de 40. Es decir, 20 es el 40 % de 50.
Calcula qué porcentaje o tanto por ciento es:
1) 8 de 800
2) 7 de 14
3) 5 de 500
4) 5 de 100
11) ¿50 es el 50% de qué número?
12) ¿9 es el 35% de qué número?
5) 20 de 100
6) 15 de 200
7) 6 de 30
8) 36 de 480
13) ¿60% de qué número es 30?
14) ¿11 es el 10% de qué número?
9) 16 de 800
10) 25 de 100
Reducción de términos semejantes:
Los términos semejantes son aquellos que tienen el mismo factor literal (misma letra. Si la letra está
elevada a un exponente, éste debe ser el mismo. Por ejemplo: 3x2 con 7x2 son términos semejantes
porque tienen la misma letra elevada al mismo exponente. Pero si es 3x con 7x2 no son semejantes
porque, aunque tengan la misma letra ésta no están elevadas al mismo exponente.)
Por ejemplo:
5q + 7z + 3q – 3z = (5q + 3q) + (7z – 3z)
= (5 + 3)q + (7 – 3) z
= 8p + 4z
OJO: cuando hay un signo + delante de un paréntesis los números que están dentro del paréntesis
conservan su signo. Pero si hay un signo menos delante de un paréntesis los números que están dentro
del paréntesis cambian su signo.
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
4m + (2m – 11m) = 4m + (- 9m)
= 4m – 9m
= - 5m
4m - (2m – 11m) = 4m - (- 9m)
= 4m + 9m
= 13m
En cada una de las siguientes expresiones encierra con lápiz de color aquellos que son semejantes.
Ejemplo: 3a + 6b + 7c – 2a
1) 5x + 7y + 8z + 4x – 2xy + 6xz – 2y
2) 8ax + 2cd – 2ax + 5ax – 4by + 7cd
3) 4ab – ab + 5ac
4) 56xy + 45xy – 3xy + 8xz
Eliminar los términos semejantes en los siguientes polinomios:
8x -3x+7x=
3x +9y –2x –6y=
7a2 – 15b3 + 5b3 + 9a 2 – 4b3 =
3a+ 4c + 9c – 7b – 7a- 15c =
(a – b) – (b – a) =
(2a + c – 3b) – (7a + 4b – 8c) =
a + (b – c) + 2a – (a + b) =
a – 5b – [-3b – (a – b) + 2a] =
2m + (5n – 14m) + 15n (6m – 10n)
= -18m + 30n. R.
5a + [13b – (-8a + 10b)]
= 13a + 3b. R.
23x + {-5y – [-2x + (-4x + 7y)]} = 29x 12y. R.
(8x2 + 4x + 12) + (2x2 + 7x + 10) = 10x2 + 11x + 22
2m + (5n – 14m) + 15n (6m – 10n)
= -18m + 30n. R.
5a + [13b – (-8a + 10b)]
= 13a + 3b. R.
23x + {-5y – [-2x + (-4x + 7y)]} = 29x 12y. R.
(8x2 + 4x + 12) + (2x2 + 7x + 10) = 10x2 + 11x + 22
(3x2 + 2xy – 7 ) + (7x2 – 4xy + 8) = 10x2 – 2xy + 1
(15x2 + 12xy + 20) – (9x2 + 10xy + 5) = 6x2 + 2xy + 15
(3x2 + 2xy – 7 ) + (7x2 – 4xy + 8) = 10x2 – 2xy + 1
(15x2 + 12xy + 20) – (9x2 + 10xy + 5) = 6x2 + 2xy + 15
Ecuaciones:
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones en las que intervienen una o mas incógnitas.
Para resolver una ecuación se debe despejar la incógnita. Para esto, hay que aplicar las operaciones
inversas a las que aparecen en la ecuación.
Las operaciones deben aplicarse a ambos miembros de la ecuación, para que no se altere la igualdad.
Inecuaciones:
Una INECUACIÓN es una desigualdad que contiene una o más incógnitas.
Las inecuaciones utilizan los símbolos > , < , ≥ , ≤.
Su significado es parecido al de las ecuaciones lo que ocurre es que son menos concretas, pues, en
general, una inecuación suele tener varias soluciones.
Las inecuaciones se resuelven de manera similar a las ecuaciones, solo tienes que tener cuidado
con el signo. Una inecuación jamás tendrá el signo =.
Ejemplo 1: 24 – 10x > 6 - 4x
Solución: 24 – 10x > 6 - 4x
24 – 6 > 10x - 4x
18 > 6x
18 : 6 > x
3>x
Ejemplo 2: 4 (x + 2) – 3 ( x – 5) < - x + 13
Solución: 4 (x + 2) – 3 ( x – 5) < - x + 13
4x + 8 – 3x + 15 < - x + 13
x + 23 < - x + 13
x + x < 13 – 23
2x < - 10
x < - 10 : 2
x< -5
Ejemplo 3: _x_ + _x + 1_ < x – 2
2
7
Solución: _x_ + _x + 1_ < x – 2
2
7
* 14 (m.c.m.)
7x + 2 (x + 1) < 14 (x – 2)
7x + 2x + 2 < 14x – 28
7x + 2x – 14x < - 28 – 2
- 5x < - 30
- x < - 30 : 5
-x< -6
*-1
x<6
Ejercicios de inecuaciones: Determina el intervalo solución de las siguientes inecuaciones de primer
grado, con una incógnita:
1) 3 x – 2 < 1
8) 3 ( 4 - x ) > 18 x + 5
15) 2x 1 5
2) x + 6 ≥ 24
9) 4x + 16 > 0
16) 4 2x 15
3) -2 x + 1 ≤ x – 3
10) 5 - 8x > -3
17) 4x 2(x 3) 0
4) 2 x - 3 < 4 - 2 x
11 ) 2x + 2 ≤ 3
18) 5x 2(x 3) x
5) 5 + 3 x ≤ 4 - x
12 ) 2x + 4 > 7
6) 4 - 2 t > t - 5
13) 2x 4
7) x + 8 ≤ 3 x + 1
14) 12x 6
19)
1
1
x 3 x 1
2
3
20)
3
1
x 1 x 2
4
2
LENGUA Y LITERATURA
Historia
Ciencias:
