Trabajo colaborativo Algebra lineal Grupo 1

Sistema de Hill 1 de 12
SISTEMA DE HILL
Julio Cesar Manrique Posada
Cristhian Camilo Matallana Lagos
Eliana Constanza López Cardona
Angie Carolina Argüello Ocampo
Abril de 2019
Universidad Politécnico Grancolombiano
Bogotá D.C
Algebra Lineal – Grupo 1
Sistema de Hill 2 de 12
Resumen
En este trabajo aplicamos el sistema de Hill para desencriptar y encriptar mensajes propuestos en
los ejercicios de la semana 3 hasta la 5. Teniendo en cuenta los aportes expuestos por cada
integrante del grupo en el foro de trabajo colaborativo, obtenemos los procedimientos requeridos
para la justificación de la solución del problema.
Sistema de Hill 3 de 12
Introducción
El sistema de encriptar y desencriptar de HILL está basado en las matrices del álgebra lineal y
tuvo un importante reconocimiento en la historia de la criptografía. Fue Inventado por Lester S.
Hill en 1929, y fue el primer sistema criptográfico poli alfabético que era práctico y seguro para
trabajar con más de tres símbolos simultáneamente.
Este sistema es poli alfabético, pues puede darse el caso de que un mismo carácter en un mensaje
a enviar se encripte en dos caracteres distintos.
Esto nos da a entender que los símbolos son remplazados por números los cuales se toman por el
orden del alfabeto de 1 a 26 (26 caracteres), o como lo determine el ejercicio, por ejemplo, en
nuestro caso manejamos los números del 0 al 28, para un total de 29 caracteres y depende de este
número que se determina MODULO 26, 27, 28, 29, o cual sea el caso. Todas las operaciones
aritméticas se realizan a partir del módulo.
La otra parte importante en este sistema es la matriz clave, ya que sin ella no hay manera de
encriptar o desencriptar los mensajes.
Sistema de Hill 4 de 12
Tabla de contenido
Resumen.......................................................................................................................................... 2
Introducción .................................................................................................................................... 3
Sistema de encriptación y desencriptación de HILL ...................................................................... 5
Actividad 1 Encriptación ................................................................................................................ 5
Actividad 2 Desencriptación ........................................................................................................... 7
Conclusiones ................................................................................................................................. 11
Lista de referencias ....................................................................................................................... 12
Sistema de Hill 5 de 12
Sistema de encriptación y desencriptación de HILL
El Sistema de encriptación y desencriptación de HILL consiste en dar valores numéricos a
caracteres alfabéticos y asignar una matriz clave para encriptar y desencriptar los mensajes,
basados en operaciones de matrices del algebra lineal. Dicho esto, se plantean los ejercicios de la
siguiente manera:
Actividad 1 Encriptación
Consultar el sistema de Hill para encriptar y desencriptar mensajes. Luego, describa el proceso
1 −4
(paso a paso) para cifrar la palabra DEDICACION empleando la matriz clave [
] y la
0 1
asignación numérica que aparece en el siguiente recuadro (en él, el símbolo “_” representa el
espacio entre las palabras).
ABCDEFGHI J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z _ .
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
Figura 1. Alfabeto clave.
Solución:
1. tomando en cuenta el ejercicio planteado verificamos el número de caracteres de nuestro
alfabeto clave, como son 29 caracteres quiere decir que lo trabajaremos con MODULO
29, a la palabra que debemos encriptar, le asignamos el valor numérico correspondiente
en cada letra según lo indique el alfabeto clave, y queda de la siguiente manera.
D
E
D
I
C
A
C
I
O
N
3
4
3
8
2
0
2
8 15 13
Figura 2. Frase para encriptar.
1 −4
], para que podamos encriptar y
0 1
desencriptar un mensaje es necesario que cumpla con ciertas condiciones tales como que
sea una matriz cuadrada lo cual cumple, ya que es una matriz de 2x2, lo siguiente es
saber que su determinante no sea =0, y también que el máximo común divisor entre
determinante y MODULO 29 sea 1.
2. La matriz clave asignada es la siguiente, [
Matriz clave A=[
1 −4
]
0 1
Determinante de A = (1×1) – (-4×0)
Determinante de A = 1
Sistema de Hill 6 de 12
Como su determinante es 1, quiere decir que es posible hallar la matriz inversa que es necesaria
para desencriptar el mensaje, la siguiente condición es que el determinante y el número de
módulo en este caso 29 sean coprimos, es decir que su máximo común divisor sea 1, lo
demostraremos de la siguiente forma:
29 solo es divisible por 29 y 1
1 solo es divisible por 1
Como el único divisor común entre los dos es 1 cumple con la condición y concluimos que esta
matriz clave es apta para ser utilizada en el sistema.
3. Construimos las matrices de acuerdo con los valores dados, como la matriz clave es de 2
x 2, separamos las letras de dos en dos y así obtenemos 5 matrices de tamaño 2 x 1, que
luego multiplicaremos una a una por la matriz clave.
[
3
3 + (−16)
−13
1 −4
)=(
)
]×( )= (
0 1
4
0+4
4
[
3
3 + (−32)
−29
1 −4
)=(
)
]×( )= (
0 1
8
0+8
8
[
2
2+0
2
1 −4
)=( )
]×( )= (
0 1
0
0+0
0
[
2
2 + (−32)
−30
1 −4
)=(
)
]×( )= (
0 1
8
0+8
8
[
15
15 + (−52)
−37
1 −4
)=(
)
]×( )=(
0 1
13
0 + 13
13
4. Al obtener los resultados, observamos que hay números negativos, los cuales no se
encuentran dentro del alfabeto clave por lo tanto se aplica el MOD29, quiere decir que le
sumamos 29 a cada número negativo las veces que sean necesarias, hasta que el resultado
sea un número del alfabeto clave para dejar números positivos que estén en un rango
entre 0 y 28.
-13 + 29 = 16
-29 + 29 = 0
-30 + 29 = -1 luego -1 + 29 = 28
-37 + 29 = -8 luego -8 + 29 = 21
5. El resultado final son las siguientes matrices.
[
16 0 2 28 21
][ ] [ ] [ ] [ ]
4 8 0 8 13
Sistema de Hill 7 de 12
6. Finalmente se asignan los valores alfabéticos a los números obtenidos, de la siguiente
forma:
𝑃 𝐴 𝐶 . 𝑈
[ ] [ ] [ ] [𝐼 ] [ ]
𝐸 𝐼 𝐴
𝑁
Ordenándolas de la forma inicial queda encriptada la frase de la siguiente manera:
P
E
A
I
C
A
16
4
0
8
2
0
.
I
U
N
28 8 21 13
Figura 3. Frase encriptada.
Actividad 2 Desencriptación
Suponga que se intercepta el mensaje HTQÑULUYXHBZPHXOTJHTQBADWIGPZH Junto
4 2 1
con este mensaje encriptado, solo se logró obtener la matriz clave [5 3 2]
2 1 1
Solución:
1. Primero hallamos la matriz inversa de la matriz clave, utilizando el método de Gauss
Jordán, de la siguiente manera:
4 2
[5 3
2 1
1 1
2] [0
1 0
0 0
5 3 2 0
1 0] 𝑅3 ↔ 𝑅2 𝑌 𝑅1 ↔ 𝑅3 = [2 1 1] [0
0 1
4 2 1 1
𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑅3 = −2 × 𝑅2 + 𝑅3 𝑌 𝑅1 = −2 × 𝑅2 + 𝑅1
1 1
[2 1
0 0
0 0
1 ] [0
−1 1
1 −2
0 1]
0 −2
𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑅2 = −2 × 𝑅1 + 𝑅2
1 1
0 0 1 −2
[0 −1 1 ] [0 −2 5 ]
0 0 −1 1 0 −2
𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑅3 = −1 × 𝑅3 𝑌 𝑅2 = −1 × 𝑅2
1 0
0 1]
0 0
Sistema de Hill 8 de 12
1 1
[0 1
0 0
0
0 1
−1] [ 0 2
1 −1 0
−2
−5]
2
𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑅2 = 𝑅3 + 𝑅2
1 0
[0 1
0 0
0
𝟏
0] 𝔸−𝟏 = [−𝟏
1
−𝟏
𝑦
𝑅1 = −1 × 𝑅2 + 𝑅1
−𝟏 𝟏
𝟐 −𝟑]
𝟎
𝟐
2. luego cambiamos todas las palabras encriptadas por números de nuestro abecedario, y lo
dividimos de a 3 caracteres puesto que es una matriz de 3 x 3.
H T Q Ñ U L U Y X HB Z P H X O T J H T Q BADW I G P Z H
7 20 17 14 21 11 21 25 24 7 1 26 16 7 24 15 20 9 7 20 17 1 0 3 23 8 6 16 26 7
Figura 4. Frase encriptada.
3. A continuación, multiplicamos la matriz inversa por cada una de las matrices columna
resultantes.
−1
7
1 −1 1
4
= [−1 2 −3] × [20] = [−18]
−1 0
2
17
27
−1
4
14
× [21] = [−5]
11
8
−1
21
20
× [25] = [−43]
24
27
−1
7
32
× [ 1 ] = [−83]
26
45
𝔸
𝔸
𝔸
𝔸
16
33
𝔸−1 × [ 7 ] = [−74]
24
32
4
15
𝔸−1 × [20] = [−2]
3
9
Sistema de Hill 9 de 12
7
4
𝔸−1 × [20] = [−18]
17
27
4
1
𝔸−1 × [0] = [−10]
3
5
23
21
𝔸−1 × [ 8 ] = [−25]
6
−11
16
−3
𝔸−1 × [26] = [ 15 ]
7
−2
4. Por último, los resultados anteriores los ordenamos nuevamente y colocamos los valores
correspondientes, los números que no se encuentran en módulo los convertimos de la
siguiente manera.
4 -18 27 4 -5 8 20 -43 27 32 -83 45 33 -74 32 4 -2 3 4 -18 27 4 -10 5 21 -25 -11 -3 15 -2
E
_ E
I T
_
E
D E
E
F U
O
Figura 4. Frase desencriptada 1.
A continuación, los números que sean negativos les sumamos 29 las veces que sea necesario
hasta que el resultado sea un número positivo entre 0 y 28.
−18 + 29 = 11 = 𝐿
−5 + 29 = 24 = 𝑋
−43 + 29 = −14 + 29 = 15 = 𝑂
−83 + 29 = −54 + 29 = −25 + 29 = 4 = 𝐸
−74 + 29 = −45 + 29 = −16 + 29 = 13 = 𝑁
−2 + 29 = 27 =_
−18 + 29 = 11 = 𝐿
−10 + 29 = 19 = 𝑆
−25 + 29 = 4 = 𝐸
Sistema de Hill 10 de 12
−11 + 29 = 18 = 𝑅
−3 + 29 = 26 = 𝑍
−2 + 29 = 27 = _
Remplazamos y obtenemos los siguientes resultados:
4 11 27 4 24 8 20 15 27 32 4 45 33 13 32 4 27 3 4 11 27 4 19 5 21 4 18 26 15 27
E L
_ E X I T O _
E
N
E _ DE L _ E S F U E R Z O _
Figura 5. Frase desencriptada 2.
Finalmente, los números positivos mayores a 28 les restamos 29 las veces que sean necesarias
hasta que el resultado sea un número positivo entre 0 y 28.
32 − 29 = 3 = 𝐷
45 − 29 = 16 = 𝑃
33 − 29 = 4 = 𝐸
32 − 29 = 3 = 𝐷
Y así obtenemos la frase desencriptada finalmente.
4 11 27 4 24 8 20 15 27 3 4 16 4 13 3 4 27 3 4 11 27 4 19 5 21 4 18 26 15 27
E L
_ E X I T O _ DE P E N DE _ DE L _ E S F U E R Z O _
Figura 6. Frase desencriptada final.
Sistema de Hill 11 de 12
Conclusiones

Los resultados de los ejercicios propuestos aplican las diferentes operaciones algebraicas
con matrices vistas en los módulos de las semanas anteriores, lo que demuestra que para
poder utilizar no es posible entender este método sin conocimiento previo de esta parte
del algebra lineal.

El algebra lineal tiene muchas aplicaciones en la vida real y una prueba de esto es el
sistema de Hill que sirvió para proteger información de vital importancia.

El sistema de HILL es más complejo a medida que la matriz aumenta su tamaño, lo cual
nos hace pensar que puede ser más seguro un sistema con una matriz de 3x3 que una de
2x2.
Sistema de Hill 12 de 12
Lista de referencias




https://www.textoscientificos.com/criptografia/hill
https://es.wikipedia.org/wiki/Cifrado_Hill
http://www.criptored.upm.es/software/sw_m001i.htm
https://culturacientifica.com/2017/01/11/criptografia-matrices-cifrado-hill/