Capítulo 5 - Distribución de esfuerzos en el suelo debido a cargas

Parte II: Introducción al cálculo y diseño de cimentaciones
Capítulo 5 - Distribución de esfuerzos en el suelo debido a cargas
Capítulo 5
Distribución de esfuerzos en el suelo
debido a cargas
5.1 INTRODUCCIÓN
Como ya se ha explicado anteriormente una cimentación tiene el trabajo de
transferir las cargas de la estructura al suelo, cuando esto sucede la presión o
el esfuerzo que la fundación entrega al terreno se distribuye en el medio
considerado (el suelo) y a su vez se disipa. Este capítulo estudia como ocurre
este fenómeno en el terreno para diferentes tipos de cimentación.
5.2 DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS EN EL TERRENO DEBIDO A UNA
CARGA PUNTUAL
Figura 5.1 – Modelo de Boussinesq, de carga puntual (P) sobre un medio
elástico semi-infinito, y sistema de ejes utilizado.
Boussinesq (1885), idealizando un modelo donde se coloca una carga puntual
sobre un medio elástico semi-infinito, encontró que la solución para encontrar el
valor del incremento del esfuerzo vertical (∆σz) en un punto cualquiera (a)
con coordenadas cartesianas de localización (x = xa, y = ya, z = za, ver Figura
5.1) , debido a la carga (P) impuesta, de forma general será:
∆σ z =
3P
cos 5 θ
2πz 2
(ec. 5.1)
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Capítulo 5 - Distribución de esfuerzos en el suelo debido a cargas
donde:
z
cos θ =
(ec. 5.2)
r + z2
2
r = x 2 + y 2 (ec. 5.3)
Utilizando las definiciones antes vistas, y realizando las simplificaciones
respectivas, se puede expresar el incremento de esfuerzo vertical en el suelo
(∆σz), de dos maneras:
∆σ z =
3P
  r 2 
2πz 2 1 +   
 z 


5/ 2
(ec. 5.4)
ó
∆σ z =
3P
z3
.
2π r 2 + z 2
(
)
5/ 2
(ec. 5.5)
Si tomamos cualquiera de las dos ecuaciones y realizamos un análisis y un
diagrama del incremento del esfuerzo vertical del plano x-z (y=0), obtendremos
un esquema como el mostrado en la Figura 5.2, para el caso de una carga
puntual unitaria, que podrá ser utilizado para cualquier valor de carga
fundamentados en los principios de la elasticidad, aclarando que la unidad de
∆σz/P=[1/m2].
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Figura 5.2 – Distribución de esfuerzos en el terreno debido a una carga
puntual.
Del esquema de la Figura 5.2 podemos observar y obtener varias cosas, uno
como es la distribución de esfuerzos en el terreno debido a una carga puntual,
y dos introduciremos un concepto que es el bulbo de presiones.
Definición: El bulbo de presiones es la zona del suelo donde se producen
incrementos de carga vertical considerables por efecto de una carga aplicada
del tipo que sea. Esta zona forma un bulbo llamado de presiones, y esta
conformada por isóbaras que son curvas que unen puntos de un mismo valor
de presión o de esfuerzo. Las isobaras de la Figura 5.2 están representadas
desde la del 10% hasta la del 90% del valor de la carga puntual, cada 10%.
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En el caso que estamos analizando, el bulbo de presiones debido a una carga
puntual, estará limitado por la isobara que toma el valor del 10% del valor de la
fuerza puntual aplicada, ∆σz ≤ 0.10P (ver Figura 5.2).
Como una aclaración adicional el valor del esfuerzo cerca de la carga puntual
toma valores muy grandes, y en el punto de contacto (x=0, z=0) el valor del
esfuerzo en el suelo tenderá a infinito (∆σz = ∞), ya que idealizando el problema
planteado el área de contacto tendería a cero.
Ejemplo 5.1
5.3 DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS EN EL TERRENO DEBIDO A UNA
CARGA CIRCULAR
Figura 5.3 – Modelo de carga circular (q) sobre un medio elástico semi-infinito,
y sistema de ejes utilizado.
Partiendo de la solución dada por Boussinesq para una carga puntual (ec. 5.4),
y dividiendo un área cargada circular en diferenciales de área, como muestra la
Figura 5.3, donde una carga puntual (dP) sobre este diferencial se puede
aproximar a dP = q.r.dθ.dr, obtenemos que:
d (∆σ z ) =
3(q.r.dθ .dr )
  r 2 
2
2πz 1 +   
 z 


5/ 2
(ec. 5.6)
Integrando en toda la superficie del área circular, tendríamos que:
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∆σ z =
θ = 2π r = B / 2
∫ ∫
θ
=0
r =0
3(q.r.dθ .dr )
  r 2 
2
2πz 1 +   
 z 


5/ 2
(ec. 5.7)
Al solucionar la anterior integral, encontraríamos que el incremento de el
esfuerzo vertical (∆σz) para un punto cualquiera (a) debajo del centro de una
cimentación circular, de radio R, cargada con un valor de esfuerzo de contacto
(q) uniformemente distribuido, en una profundidad dada (z) cualquiera, será:
3


2 
 
 
 
1
 

∆σ z = q 1 −
2
 1 +  R   
   z   
 
 

(ec. 5.8)
donde:
R:
Es el radio de la cimentación, y será igual a R=B/2.
Para conocer el incremento de esfuerzo vertical en lugares diferentes a puntos
localizados debajo del centro de la cimentación circular, se deberá solucionar la
integral de la ecuación 5.7, con los adecuados limites de integración,
variándolos de acuerdo a la distancia (r) desde el centro de la cimentación
hasta punto investigado y a la profundidad (z).
Para efectos prácticos podemos utilizar ábacos como el que muestra la Figura
5.4, obteniendo el valor de la función, de tal manera que el incremento de carga
se puede expresar como:
x z
∆σ z = q. f  , 
R R
(ec. 5.9)
Abaco area circular
Figura 5.4 – Ábaco carga circular.
En este caso que estamos analizando el bulbo de presiones debido a una
carga circular, éste estará limitado por la isobara que toma el valor de
∆σz=0.10q, y como se puede apreciar en el ábaco de la Figura 5.4, la máxima
profundidad (Db) que toma el bulbo de presiones es el centro aproximadamente
a dos veces el ancho (B) o dos veces el diámetro (D) de la fundación, luego
podemos aproximar:
Db ≈ 2 B ≈ 2 D ≈ 4 R (ec. 5.10)
Ejemplo 5.2
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5.3 DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS EN EL TERRENO DEBIDO A UNA
CARGA RECTANGULAR
5.3.1 Método basado en la teoría de Boussinesq
Figura 5.5 – Modelo de carga rectangular (q) sobre un medio elástico semiinfinito, y sistema de ejes utilizado.
Partiendo de la solución dada por Boussinesq para una carga puntual (ec. 5.4)
y la definición de r (ec. 5.3), y dividiendo un área cargada rectangular en
diferenciales de área, como la mostrada en la Figura 5.5, donde una carga
puntual (dP) sobre un diferencial se puede aproximar a, dP = q.dx.dy,
obtenemos que:
d (∆σ z ) =
3(q.dx.dy )
2

  2
x + y 2  
2

2πz 1 +
 
z
 
 

5/ 2
=
3(q.dx.dy ) z 3
(
2π x 2 + y 2 + z 2
)
5/ 2
(ec. 5.11)
Integrando en toda la superficie del área rectangular, tendríamos que:
∆σ z =
y=L x=B
∫ ∫
y =0 x =0
3(q.dx.dy ) z 3
(
2π x 2 + y 2 + z 2
)
5/ 2
(ec. 5.12)
Al solucionar la anterior integral (Newmark) 1935, encontraríamos que el
incremento de el esfuerzo vertical (∆σz) para un punto cualquiera (a) debajo de
la esquina de una cimentación rectangular, de ancho B y largo L, cargada con
un valor de esfuerzo de contacto (q) uniformemente distribuido, en una
profundidad dada (z) cualquiera, será:
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∆σ z = qI (m, n)
(ec. 5.13)
donde:
I (m, n) =
1
4π
m=
B
z
(ec. 5.14)
n=
L
z
(ec. 5.16)
2
2
 2mn m 2 + n 2 + 1 m 2 + n 2 + 2


−1  2mn m + n + 1 
tan
+
 2
 (ec. 5.17)
2
2 2
2
2
 m 2 + n 2 + 1 − m 2 n 2 


 m + n + m n + 1 m + n + 1
En el caso que el valor de (m2n2) sea más grande que el valor de (m2+n2+1), el
termino de la ecuación 5.17 que utiliza tangente inversa se vuelve negativo,
luego será necesario modificar la ecuación, sumando al anterior resultado el
valor de π, de la siguiente manera:
I (m, n) =
1
4π
2
2
 2mn m 2 + n 2 + 1 m 2 + n 2 + 2



−1  2mn m + n + 1 
+
π
+
tan
 2
 (ec. 5.18)
2
2 2
2
2
 m2 + n2 + 1 − m2n2 
 m + n + m n + 1 m + n + 1



El valor del factor de influencia I(m,n), siempre deberá estar entre:
0 ≤ I (m, n) ≤ 0.25
(ec. 5.19)
Los valores del factor de influencia I(m,n), a partir de las ecuaciones 5.17 y
5.18, se pueden obtener del gráfico de la Figura 5.6 para diferentes valores de
m y n ó de la Tabla 5.1.
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Capítulo 5 - Distribución de esfuerzos en el suelo debido a cargas
Figura 5.6 – Valor del factor de influencia para diferentes valores de m y n.
Tabla 5.1 – Valor del factor de influencia para diferentes valores de m y n.
món
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.5
2.0
3.0
4.0
5.0
10.0
∞
0.1
0.0047
0.0092
0.0132
0.0168
0.0198
0.0222
0.0242
0.0258
0.0270
0.0279
0.0304
0.0311
0.0315
0.0316
0.0316
0.0316
0.0316
0.2
0.0092
0.0179
0.0259
0.0328
0.0387
0.0435
0.0473
0.0504
0.0528
0.0547
0.0595
0.0610
0.0618
0.0619
0.0620
0.0620
0.0620
0.3
0.0132
0.0259
0.0374
0.0474
0.0559
0.0629
0.0686
0.0731
0.0766
0.0794
0.0864
0.0887
0.0898
0.0901
0.0901
0.0902
0.0902
0.4
0.0168
0.0328
0.0474
0.0602
0.0711
0.0801
0.0873
0.0931
0.0977
0.1013
0.1105
0.1134
0.1150
0.1153
0.1154
0.1154
0.1154
0.5
0.0198
0.0387
0.0559
0.0711
0.0840
0.0947
0.1034
0.1103
0.1158
0.1202
0.1314
0.1350
0.1368
0.1372
0.1374
0.1374
0.1375
nóm
0.6
0.7
0.0222 0.0242
0.0435 0.0473
0.0629 0.0686
0.0801 0.0873
0.0947 0.1034
0.1069 0.1168
0.1168 0.1277
0.1247 0.1365
0.1311 0.1436
0.1360 0.1491
0.1490 0.1637
0.1533 0.1686
0.1555 0.1711
0.1560 0.1717
0.1561 0.1718
0.1562 0.1720
0.1562 0.1720
0.8
0.0258
0.0504
0.0731
0.0931
0.1103
0.1247
0.1365
0.1461
0.1537
0.1598
0.1758
0.1812
0.1841
0.1847
0.1849
0.1850
0.1850
0.9
0.0270
0.0528
0.0766
0.0977
0.1158
0.1311
0.1436
0.1537
0.1618
0.1684
0.1857
0.1915
0.1947
0.1954
0.1956
0.1958
0.1958
1.0
0.0279
0.0547
0.0794
0.1013
0.1202
0.1360
0.1491
0.1598
0.1684
0.1752
0.1936
0.1999
0.2034
0.2042
0.2044
0.2046
0.2046
2.0
0.0311
0.0610
0.0887
0.1134
0.1350
0.1533
0.1686
0.1812
0.1915
0.1999
0.2236
0.2325
0.2378
0.2391
0.2395
0.2398
0.2399
∞
0.0316
0.0620
0.0902
0.1154
0.1375
0.1562
0.1720
0.1850
0.1958
0.2046
0.2299
0.2399
0.2465
0.2485
0.2492
0.2499
0.2500
La profundidad del bulbo de presiones (Db) de un área rectangular es difícil de
determinar de forma general, más aun cuando es una distribución de carga
compuesta. Se puede deducir que esta variará entre dos veces su ancho (B)
(en el caso de una zapata cuadrada) y tres veces su ancho (B) (ver numeral
Introducción a la ingeniería de cimentaciones (Diseño geométrico y estructural) – Cruz, L.
Parte II: Introducción al cálculo y diseño de cimentaciones
Capítulo 5 - Distribución de esfuerzos en el suelo debido a cargas
5.4), pero de manera aproximada Db es asumida, para el caso de una zapata
rectangular como:
Db ≈ 2 B
(ec. 5.24)
Ejemplo 5.3
5.3.2 Método aproximado 2:1 (V:H)
Uno de los primeros métodos para encontrar el incremento de esfuerzo vertical
(∆σz) en el suelo, a una profundidad (z) cualquiera, debido a una carga
uniformemente distribuida (q) colocada en una superficie rectangular de ancho
(B) y largo (L), fue el método de la pendiente 2:1 (V:H), método que es
aproximado pero tiene la ventaja de que es muy sencillo y simple.
Este método supone que la zona o área donde la carga (q) actúa, se va
distribuyendo en el medio (suelo), ampliándose, desde la de contacto (B x L),
hasta una zona más grande que va a ser función de la profundidad, y que va a
ir creciendo con una pendiente 2:1 (V:H), tal y como muestra la Figura 5.7, para
el caso de la dimensión del ancho (B) y análogamente para la dimensión del
largo (L).
Figura 5.7 – Método aproximado 2:1 (V:H).
De acuerdo a esto, el incremento de esfuerzo vertical (∆σz) en el suelo, se
podría aproximar a:
∆σ z =
qBL
( B + z )( L + z )
(ec. 5.19)
Introducción a la ingeniería de cimentaciones (Diseño geométrico y estructural) – Cruz, L.
Parte II: Introducción al cálculo y diseño de cimentaciones
Capítulo 5 - Distribución de esfuerzos en el suelo debido a cargas
Para el caso de una cimentación cuadrada, basándonos en este mismo
método:
∆σ z =
qB 2
(B + z) 2
(ec. 5.20)
5.4 DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS EN EL TERRENO DEBIDO A UNA
CARGA RECTANGULAR UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA DE LONGITUD
INFINITA (ZAPATA CORRIDA)
Figura 5.8 – Carga rectangular uniformemente distribuida de longitud infinita.
A partir de la solución para los esfuerzos causados en el suelo por una fuerza
lineal de longitud infinita (P/m, no tratada en este capítulo), y al integrarla para
darle solución a la distribución de esfuerzos causada en el suelo por una carga
rectangular uniformemente distribuida de longitud infinita (ver Figura 5.8),
obtenemos que el incremento de el esfuerzo vertical (∆σz) en un punto
cualquiera (a) dado, de coordenadas (xa, za), será :
∆σ z = q
1  −1 z
z
2bz ( x 2 − z 2 − b 2 ) 
−1
tan
tan
−
−

π 
x−b
x + b ( x 2 + z 2 − b 2 ) 2 + 4b 2 z 2 
(ec. 5.21)
donde:
q :
Sobrecarga de forma rectangular uniformemente distribuida de longitud
infinita.
x,z : Coordenadas cartesianas del punto analizado.
b :
Igual a la mitad del valor del ancho de la cimentación rectangular de
longitud infinita con carga uniformemente distribuida. (b=B/2)
Introducción a la ingeniería de cimentaciones (Diseño geométrico y estructural) – Cruz, L.
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ó de una manera simplificada:
∆σ z = q
1
π
(α + senα cos(α + 2δ ) )
(ec. 5.22)
donde:
q :
α :
δ :
Sobrecarga de forma rectangular uniformemente distribuida de longitud
infinita.
Ángulo definido en la Figura 5.8, conformado entre los limites de la
carga y el punto a.
Ángulo definido en la Figura 5.8, medido con respecto a la vertical.
Por facilidad podemos graficar la ecuación 5.21 o la 5.22, de tal forma que
podamos encontrar el valor de la función f(x/B, z/B), y al multiplicarla por la
carga (q) uniformemente distribuida obtendremos el valor del incremento de
esfuerzo vertical (∆σz) en el punto considerado, así:
x z
∆σ z = qf  , 
B B
(ec. 5.23)
El valor de la función f(x/B, z/B), aparece graficado en la Figura 5.9 de manera
general hasta la isobara ∆σz/q = 0.10 y en la Figura 5.10 de manera mas
detallada hasta la isobara ∆σz/q = 0.20, que en el caso de una zapata
rectangular de longitud infinita será hasta donde se considerara la profundidad
del bulbo de presiones (Db), o lo mismo hasta que haya una disipación de
esfuerzo de tal forma que el incremento de esfuerzo en el suelo no supere el
20% de la carga impuesta originalmente. De acuerdo a lo anterior y a lo que se
puede apreciar en la Figura 5.9 y 5.10 podemos aproximar para este caso de
zapata rectangular de longitud infinita y carga uniformemente distribuida, que la
profundidad del bulbo de presiones (Db) es:
Db ≈ 3B
(ec. 5.24)
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Figura 5.9 – Valor de la función f(x/B, z/B), general.
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Capítulo 5 - Distribución de esfuerzos en el suelo debido a cargas
Figura 5.10 – Valor de la función f(x/B, z/B), detallada.
Ejemplo 5.3
5.5 DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS EN EL TERRENO DEBIDO A UNA
CARGA TRIANGULAR DE LONGITUD INFINITA.
De una manera análoga como para una carga rectangular uniformemente
distribuida de longitud infinita, a partir de la solución para los esfuerzos
causados en el suelo por una fuerza lineal de longitud infinita (P/m, no tratada
en este capítulo), y al integrarla para darle solución a la distribución de
esfuerzos causada en el suelo por una carga triangular de longitud infinita,
variando desde cero (0) hasta q (ver Figura 5.11), obtenemos que el
incremento de el esfuerzo vertical (∆σz) en un punto cualquiera (a) dado, de
coordenadas (xa, za), será :
Introducción a la ingeniería de cimentaciones (Diseño geométrico y estructural) – Cruz, L.
Parte II: Introducción al cálculo y diseño de cimentaciones
Capítulo 5 - Distribución de esfuerzos en el suelo debido a cargas
∆σ z = q
1
2π
x

 α − sen 2δ 
b


(ec. 5.25)
donde:
q :
x :
b :
α :
δ :
Sobrecarga de forma rectangular uniformemente distribuida de longitud
infinita.
Coordenada cartesiana x del punto analizado.
Igual a la mitad del valor del ancho de la cimentación de longitud
infinita con carga uniformemente distribuida. (b=B/2)
Ángulo definido en la Figura 5.11, conformado entre los limites de la
carga y el punto a.
Ángulo definido en la Figura 5.11, medido con respecto a la vertical.
Figura 5.11 – Carga triangular de longitud infinita.
Esta solución es aplicada a casos como el de los muros de contención con
carga excéntrica, combinado con principios de superposición de acuerdo a las
teorías elásticas.
5.6 DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS EN EL TERRENO DEBIDO A UNA
CARGA TRAPEZOIDAL (TRIANGULO RECTÁNGULO) DE LONGITUD
INFINITA, TERRAPLÉN.
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Parte II: Introducción al cálculo y diseño de cimentaciones
Capítulo 5 - Distribución de esfuerzos en el suelo debido a cargas
Figura 5.12 – Carga de terraplén de longitud infinita.
A partir de la solución para una carga triangular de longitud infinita (ver
Numeral 5.5) y utilizando los principios de superposición, podemos obtener que
el incremento de el esfuerzo vertical (∆σz) en un punto cualquiera (a) dado, de
coordenadas (xa, za), será :
∆σ z = q
1  B1 + B2

π  B2


B
(α 1 + α 2 ) − 1 (α 2 ) 
B2


(ec. 5.26)
donde:
q :
B1 :
B2 :
α1 :
α2 :
Sobrecarga de forma rectangular uniformemente distribuida de longitud
infinita, actuando en el ancho B2, que en el caso de un terraplén
uniforme de altura H y peso unitario γ, será q = γH.
Ancho donde se desarrolla la pendiente del terraplén, y donde varia la
carga desde la carga q hasta cero.
Ancho donde se considera que actúa la carga rectangular de longitud
infinita uniformemente distribuida (q).
Definido como:
 B + B2 
−1  B 
α 1 = tan −1  1
 − tan  1  (ec. 5.27)
z 

 z 
Definido como:
B 
(ec. 5.28)
α 2 = tan −1  1 
 z 
Por facilidad se puede construir o graficar un diagrama en función de B1/z y
B2/z, a partir de la ecuación 5.26, con el objeto de expresar el incremento de el
esfuerzo vertical (∆σz) como:
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Capítulo 5 - Distribución de esfuerzos en el suelo debido a cargas
B B 
∆σ z = qf  1 , 2 
 z z 
(ec. 5.29)
B B 
donde el valor de la función f  1 , 2  aparece graficado en la Figura 5.13.
 z z 
Figura 5.13 – Ábaco para carga de terraplén de longitud infinita, valor de la
función f(B1/z, B2/z).
Ejemplo 5.3
5.7 DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS EN EL TERRENO DEBIDO A UNA
CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA DE CUALQUIER FORMA, CARTA
DE NEWMARK (1942).
5.7.1 Manejo de la Carta de Newmark
Nathan M. Newmark (1942) en la Universidad de Illinois, se ideo un sistema de
solución grafica para encontrar de manera aproximada el incremento de
esfuerzo vertical debajo de cualquier punto de una fundación, con cualquier tipo
y forma de carga, basado en la solución para un punto bajo el centro de una
fundación con carga uniformemente repartida de forma circular (numeral 5.3,
de este capítulo). A esta solución gráfica se le llama solución con Carta de
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Capítulo 5 - Distribución de esfuerzos en el suelo debido a cargas
Newmark, y es basada en gráficos o esquemas como el que muestra la Figura
5.14:
Figura 5.14 – Carta de Newmark.
La forma de encontrar el incremento de esfuerzo vertical (∆σz) bajo cualquier
punto de la fundación o por fuera de ella, a una profundidad cualquiera (z)
dada, es:
a. Caracterizar la carta de Newmark con la que se va a trabajar, que
consiste en identificar el valor de influencia (cada carta tendrá uno, en el
caso de la Figura 5.14 Vi=0.003125), y en identificar la referencia de
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escala (├────┤) que es la línea que representa la profundidad (z) a la
cual se va a encontrar el incremento de esfuerzo.
b. Adoptada la profundidad (z) a la cual se va a encontrar el incremento de
esfuerzo vertical (∆σz), la línea de referencia de escala (├────┤) se
volverá igual a la profundidad (z) tomada, de acuerdo a esto quedará
definida la escala del procedimiento.
c. Se deberá dibujar la fundación en planta de acuerdo a la escala definida
en el paso anterior, para luego colocar este esquema a escala sobre la
Carta de Newmark, haciendo coincidir el punto bajo el cual se desea
encontrar el incremento de esfuerzo con el centro de la Carta de
Newmark, tal y como muestra la Figura 5.15 (a) para el caso del
incremento de esfuerzo en el centro de la fundación o la Figura 5.15 (b)
para el caso del incremento de esfuerzo en la esquina de la cimentación.
Figura 5.15 – Carta de Newmark.
d. Finalmente se contarán cuantos cuadros quedan dentro del esquema de
la fundación, sumándose los cuadros completos y las fracciones de
recuadros con el cuidado de una buena apreciación.
De acuerdo al anterior procedimiento descrito, el valor del incremento de
esfuerzo vertical (∆σz) en un punto cualquiera bajo la fundación, a una
profundidad (z) dada, se definirá como:
∆σ z = Vi qN (ec. 5.30)
donde:
Vi :
q :
Valor de influencia de la carta de Newmark de referencia, cada carta
tendrá uno.
Sobrecarga uniformemente distribuida producida por la cimentación.
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N :
Numero de divisiones de la carta de Newmark de referencia, que estén
dentro de la planta de la cimentación.
5.7.2 Construcción de la Carta de Newmark
A partir de la solución para una carga uniformemente distribuida de forma
circular, ecuación 5.8, podemos obtener que la relación R/z, es igual a:
1
2
−

2
R   ∆σ z  3 
= 1−
−1

z  
q 


(ec. 5.31)
Si ahora le damos valores a la relación (∆σz/q), desde cero (0) hasta uno (1)
(debido a que la relación no podrá ser mayor que uno), obtenemos los valores
de la relación R/z , los cuales son tabulados en la tabla 5.2:
Tabla 5.2 – Valores de R/z.
∆σz/q
R/z
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0.000
0.270
0.400
0.518
0.637
0.766
0.918
1.110
1.387
1.908
∞
Luego si se asume una escala cualquiera para la unidad, se deberá graficar
como radios de círculos concéntricos todos los valores de R/z obtenidos, de
acuerdo a la escala seleccionada, tal y como muestra la Figura 5.16:
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Figura 5.16 – Círculos concéntricos para la construcción de la carta de
Newmark.
Se coloca una línea de longitud de una unidad, según la escala escogida, que
representara la profundidad (z) con la cual se este trabajando con la carta de
Newmark. Finalmente se divide la carta en cuantos cuadros se desee (de forma
simétrica), y se le coloca un recuadro que delimitará la carta, tal y como
muestra la Figura 5.17:
Figura 5.17 – Construcción de la carta de Newmark.
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El numero de cuadros en los cuales se dividió la carta de Newmark, definirá el
valor del factor de influencia (Vi) para la carta de Newmark construida (cada
carta deberá especificar cuanto es este valor), según la siguiente ecuación:
Vi =
1
ND
(ec. 5.32)
donde:
ND: Numero total de divisiones o cuadros que posee la Carta de Newmark
construida.
5.8 REFERENCIAS
Bowles, J.E. (1996). Foundation analysis and design, 5th ed., McGraw-Hill,
New York.
Cruz, L. (2006). Conferencias de clase curso de Fundaciones, Facultad de
Ingeniería Civil Universidad del Cauca, Popayán.
Cruz, L. (2006). Conferencias de clase curso de Mecánica de Suelos I,
Facultad de Ingeniería Civil Universidad del Cauca, Popayán.
Cruz, L. (2006). Conferencias de clase curso de Mecánica de Suelos II,
Facultad de Ingeniería Civil Universidad del Cauca, Popayán.
Das, B.M. (2001). Principios de ingeniería de cimentaciones, 4ta ed.,
International Thomson Editores, México.
Das, B.M. (1997). Advanced soils mechanics, 2nd ed., Taylor and Francis,
Washington, D.C.
Newmark, N.M. (1942), Influence Charts for Computation of Stresses in Elastic
Foundations, University of Illinois Bulletin No. 338.
Osterberg, J. O. (1957). “Influence values for vertical stresses in semi-infinite
mass due to embankment loading”, Proceedings, Fourth International
conference on soil mechanics an foundation engineering, London, vol. 1, pp.
393-396.
Rico, A. y H. Del Castillo (2003). La ingeniería de suelos en las vías terrestres
(carreteras, ferrocarriles y aeropistas), Vol. 1 y Vol. 2, 19na reimpresión,
Limusa, México.
Introducción a la ingeniería de cimentaciones (Diseño geométrico y estructural) – Cruz, L.