Grupal aporte 2 paso5

PASO 5
EJERCICIO 5. ANÁLISIS Y EVALUACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE UNA
SITUACIÓN PLANTEADA.
Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar
toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra
de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas,
resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o
respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores
encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y
solución planteada:
Situación
Se conecta en serie un resistor de 12 Ω, un capacitor de 0.1 F, un inductor de 2 H y una fuente de
voltaje V = 20 V, formando un circuito RLC. Sí inicialmente se encuentra descargado el capacitor
y no circula corriente por el circuito. Determinar las expresiones para la carga y la corriente:
EJERCICIO Y SOLUCIÓN
PLANTEADA
Solución planteada:
OBSERVACIONES, ANEXOS,
MODIFICACIONES A LA SOLUCIÓN
PLANTEADA
Solución planteada:
Se tiene que la carga 𝑄(𝑡) sobre el capacitor Se tiene que la carga 𝑄(𝑡) sobre el capacitor se
se modela con la ED:
modela con la ED:
𝑑2𝑄
𝑑𝑄 𝑄
𝐿 2 +𝑅
+ =𝑉
𝑑𝑡
𝑑𝑡 𝐶
𝑑2 𝑄
𝑑𝑄
⇒ 2 2 + 12
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑄
+
= 20
0.1
𝑑2𝑄
𝑑𝑄 𝑄
𝐿 2 +𝑅
+ =𝑉
𝑑𝑡
𝑑𝑡 𝐶
𝑑2 𝑄
𝑑𝑄
𝑄
⇒ 2 2 + 12
+
𝑑𝑡
𝑑𝑡 0.1
= 20
La solución general de esta ecuación se obtiene
La solución general de esta ecuación se sumando las soluciones complementaria y
obtiene
sumando
las
soluciones particular:
complementaria y particular:
𝑑2 𝑄
𝑑𝑄
2
+
6
+ 5𝑄 = 10
𝑑 𝑄
𝑑𝑄
𝑑𝑡 2
𝑑𝑡
+
6
+
5𝑄
=
10
𝑑2𝑄
𝑑𝑄
𝑑𝑡 2
𝑑𝑡
⇒ 2 +6
+ 5(𝑄 − 2) = 0
𝑑2𝑄
𝑑𝑄
𝑑𝑡
𝑑𝑡
⇒ 2 +6
+ 5(𝑄 − 2)
𝑑𝑡
𝑑𝑡
=0
Haciendo cambio de variable 𝑞 = 𝑄 − 2,
Haciendo cambio de variable 𝑞 = 𝑄 − 2, derivando 𝑞 ´ = 𝑄 ´ y 𝑞 ´´ = 𝑄 ´´ . Sustituyendo:
derivando 𝑞 ´ = 𝑄 ´ y 𝑞 ´´ = 𝑄 ´´ . Sustituyendo:
𝑑2𝑞
𝑑𝑞
+6
+ 5𝑞 = 0
2
2
𝑑 𝑞
𝑑𝑞
𝑑𝑡
𝑑𝑡
+6
+ 5𝑞 = 0
𝑑𝑡 2
𝑑𝑡
Con las condiciones iniciales Q(0)= 0 C & I(0)=
La ecuación característica:
0 A. Esta ecuación es similar a la ecuación
𝑚2 − 6𝑚 − 5 = 0
diferencial de un resorte amortiguado sometido a
Factorizando se obtienen las siguientes
soluciones:
una fuerza constante externa. La ecuación
𝑚1 = 5
𝑚2 = 1
Cuando las raíces son diferentes y reales, una
función complementaria es:
𝑄(𝑡) = 𝐶1 𝑒 −𝑡 + 𝐶2 𝑒 5𝑡
Pero 𝑞 = 𝑄 − 2 ⇒ 𝑄 = 𝑞 + 2 ⇒ 𝑄(𝑡) =
𝑞(𝑡) + 2 por lo que la carga es:
𝑄(𝑡) = 2 + 𝐶1 𝑒 −𝑡 + 𝐶2 𝑒 5𝑡
Derivando se obtiene la corriente:
𝐼(𝑡) = 𝐶1 𝑒 −𝑡 + 5𝐶2 𝑒 5𝑡
auxiliar es
𝑟 2 + 6𝑟 + 5 = 0
Podemos observar que es una ecuación de
segundo grado y lo podemos resolver por
factorización
(𝑟 + 1)(𝑟 + 5) = 0
Y nos queda de esta manera r más 1 por r mas 5
igual a cero; nos quedó un producto de
factorización que nos da como resultado cero.
𝑟+1=0
𝑟+5=0
Si se tiene en cuenta las condiciones iniciales Tenemos la siguiente posibilidad que r+1 de igual
𝑄(0) = 0 y 𝐼(0) = 0, se obtiene el siguiente
a cero o que r menos 5 es igual a cero.
sistema:
𝐶1 + 𝐶2 + 2 = 0
𝐶1 + 5𝐶2 = 0
5
𝐶1 = ,
2
𝐶2 =
1
2
Sustituyendo:
5
1
𝑄(𝑡) = 2 + 𝑒 −𝑡 − 𝑒 5𝑡
2
2
De la primera ecuación obtenemos que r tendría
que ser igual a -1.
𝑟 = −1
De la segunda ecuación obtenemos que r tendría
que ser igual a -5.
𝑟 = −5
Indicamos como una solución general
𝑄(𝑡) = 𝐶1 𝑒 −𝑡 + 𝐶2 𝑒 −5𝑡
La corriente que circula sobre el circuito es:
5
5
𝐼(𝑡) = 𝑒 −𝑡 + 𝑒 5𝑡
2
2
Pero 𝑞 = 𝑄 − 2 ⇒ 𝑄 = 𝑞 + 2 ⇒ 𝑄(𝑡) = 2 +
𝑞(𝑡) por lo que la carga es:
𝑄(𝑡) = 2 + 𝐶1 𝑒 −𝑡 + 𝐶2 𝑒 −5𝑡
Derivamos tenemos la corriente
𝐼(𝑡) = −𝐶1 𝑒 −𝑡 − 5𝐶2 𝑒 −5𝑡
Si se tiene en cuenta las condiciones iniciales
𝑄(0) = 0 y 𝐼(0) = 0, se obtiene el siguiente
sistema:
2 + 𝐶1 + 𝐶2 = 0
−𝐶1 − 5𝐶2 = 0
La segunda ecuación nos queda de esta manera
𝐶1 = −5𝑐1
Luego sustituimos
−5𝐶2 + 𝐶2 = −2
4𝐶2 = 2
1
𝐶2 =
2
5
𝐶1 = − 2
la carga que tiene el capacitador es
5
1
𝑄(𝑡) = 2 − 2 𝑒 −𝑡 + 2 𝑒 −5𝑡 𝐶
La corriente que circula sobre el circuito es:
𝐼(𝑡) =
5 −𝑑 5 −5𝑡
𝑒 − 𝑒
𝐴
2
2