UNGS 2º cuatrimestre 2018 Geometría II Trabajo final: aproximación a 𝜋usando polígonos 𝛥𝑋𝑋 Alumnos: Ramírez, Pablo Agregar los apellidos en orden alfabetico Docentes: Índice Introducción 2 Algunas consideraciones previas Algunos resultados Algunas definiciones 4 4 4 Perímetros inscriptos y circunscriptos 4 Anexo I 8 Anexo II 10 Anexo xx 13 Bibliografía 15 1 Introducción Como docentes sería pertinente que revisemos, de tanto en tanto, la historia de los saberes matemáticos, así como la construcción de dichos conocimientos, para compartirla con nuestros alumnos favoreciendo una visión popular de las matemáticas (Ernest, 2000). En este sentido, detenernos en conceptos que de tan populares nos parecen obvios, como por ejemplo el número �, ayudaría a que los jóvenes comprendan cómo son construidos. En una clase típica de geometría, un profesor de escuela enseña, correctamente, que el perímetro de una circunferencia es 2. 𝜋. 𝑟 , y ante la pregunta casi obligada de cualquier alumno: ¿que es 𝜋? probablemente la respuesta sea: es un número irracional que se aproxima con 3,14. De esta manera, se corre el riesgo de sepultar la identidad de uno de los números más famosos de la matemática. Una manera de evitarlo podría ser proponer actividades que intenten reproducir las ideas de los primeros hombres que se plantearon el mismo interrogante. Desde la época de los egipcios y babilonios ya se manejaban aproximaciones de este número, sin embargo, se atribuye a Arquímedes el primer tratamiento sistemático para alcanzar una aproximación adecuada. La idea de Arquímedes fue básicamente aproximar la longitud de una circunferencia por el perímetro de polígonos regulares inscriptos y circunscritos a dicha circunferencia con número de lados crecientes (Matera, 2014). En este trabajo queremos, de una manera aggiornada, recrear la labor de aquel prestigioso griego. Queremos probar que es posible aproximar el perímetro de una circunferencia usando polígonos regulares de muchos lados, inscriptos y circunscritos a dicha circunferencia. Para ello, en primer lugar, vamos a construir dos sucesiones, una de perímetros de polígonos inscriptos y otra de circunscritos a una circunferencia, cuyos números de lados crecientes sea 2𝑛 . Luego, demostraremos decreciente. que la primera es creciente y la segunda Posteriormente, demostraremos que dichas sucesiones convergen al mismo 2 número. Finalmente, relacionaremos dicho valor con 2𝜋. 𝑟, perímetro de la circunferencia. 3 Algunas consideraciones previas Algunos resultados Antes de comenzar enumeramos algunos resultados que no vamos a demostrar: asumimos que si A y B son conjuntos convexos y 𝐴 ⊆ 𝐵 entonces 𝑝𝑒𝑟𝐴 ≤ 𝑝𝑒𝑟𝐵. De esto, concluimos que: 1. Dadas dos poligonales convexas, 𝑃1 y 𝑃2 . Sea la región convexa determinada por la intersección de los semiplanos determinados por las rectas que unen pares de vértices contiguos de 𝑃1 y que contienen a los 𝑛 − 2 vértices restantes. Si 𝑃2 comparte con 𝑃1 los vértices inicial y final y 𝑃2 está incluida en 𝛼 , entonces 𝑝𝑒𝑟(𝑃2 ) ≤ 𝑝𝑒𝑟(𝑃1 ). 2. El perímetro de cualquier polígono inscripto en una circunferencia es menor o igual que el perímetro de la circunferencia y este a su vez es menor o igual que el de cualquier polígono circunscripto. 3. Si {𝑎𝑛 }𝑛𝜖ℵ es una sucesión estrictamente creciente (decreciente) y acotada superiormente (inferiormente) entonces es convergente o sea tiene límite. 4. Si {𝑎𝑛 }𝑛𝜖ℵ es una sucesión convergente a L y{𝑎𝑛(𝑘) }𝑘𝜖ℵ es una subsucesión de la misma, entonces la subsucesión tiende al mismo límite L, es decir 𝑙𝑖𝑚 𝑎𝑛 = 𝑙𝑖𝑚 𝑎𝑛(𝑘) = 𝐿 𝑛→∞ 𝑘→∞ Algunas definiciones Aqui van las definiciones que vamos usando Def del cuadrado Def de polígono regular Def recta tangente Una recta 𝑡 es tangente a una circunferencia en un punto 𝑃 de la misma si es perpendicular al radio de la circunferencia que tiene a 𝑇 por extremo. 4 Perímetros inscriptos y circunscriptos Para llevar a cabo la demostración utilizaremos dos sucesiones de perimetros de poligonos regulares cuyas cantidad de lados crece según 2𝑛 , con 𝑛 ≥ 2, una generada a partir de la sucesión {Pn}n∊ � de polígonos inscriptos en la circunferencia y la otra a partir de la sucesión {Qn}n∊ � de polígonos circunscriptos. Consideremos la circunferencia c y las siguientes sucesiones de perímetros: (𝐶𝑛 ) 𝑛𝜖ℵ de polígonos circunscritos a c y (𝐼𝑛 ) La sucesión (𝐼𝑛 ) 𝑛𝜖ℵ se 𝑛𝜖ℵ de polígonos inscriptos en c. obtiene a partir de la sucesión de polígonos construida según el siguiente método1: Los primeros tres polígonos de la sucesión son: En el Anexo I se muestra la resolución del ejercicio 26 en donde se emplea el método de construcción de polígonos de la demostración 1 5 Por construcción, los polígonos de la sucesión son convexos 2 y sus perímetros son menores que el perímetro de la circunferencia3. Proposición 1: los polígonos de las sucesiones {Pn}n∊ � y {Qn}n∊ � son regulares. Demostración: utilizaremos el principio de inducción para la demostración. Consideremos el caso base para 𝑛 = 2, sea P2 el primer polígono de la sucesión, correspondiente al cuadrado inscripto en c, es regular por la definición de cuadrado. Para 𝑛 = 𝑘, con k>2, suponemos cierto que Pk es regular. Esto implica que tiene sus 2 𝑘 lados congruentes entre sí y sus ángulos interiores también congruentes entre sí. (por definición de polígono regular) Queremos ver que Pk+1 es regular. El polígono Pk+1 se construye a partir del polígono regular Pk según se indica en la actividad 26.b)4 (figura 2) . De dicha construcción obtenemos que 𝑃𝑖 𝑃𝑖+1 es lado del polígono regular Pk y, 𝑃𝑖 𝑃𝑖′ y 𝑃𝑖′ 𝑃𝑖+1 los lados del polígono Pk+1 generados a partir del lado 𝑃𝑖 𝑃𝑖+1 . Sea O centro de la circunferencia C de radio r. Sean 𝑃𝑖 , 𝑃′𝑖 y 𝑃𝑖+1 vértices consecutivos del polígono Pk+1, donde 𝑃𝑖 y 𝑃𝑖+1 son vértices del polígono regular Pk . Consideremos el radio que contiene a M, punto medio del segmento 𝑃𝑖 𝑃𝑖+1, el cual por construcción determina el vértice 𝑃𝑖′ . Definición de poligonal convexa: Sean P1; P2,..., Pn una sucesión de puntos distintos de un plano, con n>=3, que se ordenan de modo que: - Tres consecutivos no estén alineados. - Las rectas que se determinan de a dos de esos puntos consecutivos dejan a los restantes n - 2 puntos en un mismo semiplano. Entonces la unión de los segmentos P1P2; P2P3; ; Pn-1Pn forman una poligonal convexa de n vertices (o n lados) denotada P1; P2; ; Pn. 2 De acuerdo con el resultado asumido: 2. El perímetro de cualquier polígono inscripto en una circunferencia es menor o igual que el perímetro de la circunferencia y este a su vez es menor o igual que el de cualquier polígono circunscripto. 4 ver Anexo II 3 6 Comparando los triángulos 𝑂𝑀𝑃𝑖 y 𝑂𝑀𝑃𝑖+1 obtenemos que 𝑂𝑃𝑖 ≡ 𝑂𝑃𝑖+1 por ser radios de la misma circunferencia C, 𝑂𝑀 lado compartido y ambos triángulos son = √𝑂𝑃𝑖 2 − 𝑂𝑀 2 = rectángulos en M. Luego, por el teorema de Pitágoras 𝑀𝑃𝑖 2 2 √𝑂𝑃𝑖+1 − 𝑂𝑀 = 𝑀𝑃𝑖+1 con lo cual los tres lados de ambos triángulos son congruentes, es decir, los triángulos𝑂𝑀𝑃𝑖 y 𝑂𝑀𝑃𝑖+1 son congruentes5. ̂ ̂ Por otro lado, como 𝑃𝑖+1 𝑂𝑃𝑖′ ≡ 𝑃𝑖+1 𝑂𝑃𝑖′ por la siguiente propiedad 6: A ángulos congruentes corresponden cuerdas congruentes, los segmentos 𝑃𝑖 𝑃′𝑖 ≡ 𝑃′𝑖 𝑃𝑖+1 resultan congruentes. Finalmente, tomando cualquier par de lados consecutivos del polígono Pk+1, dichos lados son congruentes entre sí y Pk+1 es regular. Así mismo, los polígonos Qi resultan regulares ya que son proporcionales a sus homólogos Pi , ver demostración del anexo… en donde está resuelta la actividad 25. Proposición 2: el perímetro del polígono de 2𝑛 lados es menor que el perímetro del polígono Pn+1 de 2𝑛+1 lados. Demostración: Sea 𝑃𝑖 , 𝑃𝑖+1 (Figura 3) los vértices consecutivos de un lado del polígono Pn de 2𝑛 lados inscripto en la circunferencia c de radio r y centro O. Sean 𝑃𝑖 , 𝑃′𝑖 y 𝑃𝑖+1 tres vértices consecutivos del polígono Pn+1 , formado a partir del polígono Pn, que definen dos lados consecutivos de dicho polígono. La demostración de la proposición es inmediata, notemos que el triángulo formado con los vértices 𝑃𝑖 𝑃′𝑖 𝑃𝑖+1 cumple con la propiedad: todo lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos (Puig Adam,1986) 7. En efecto, a partir del lado 𝑃𝑖 𝑃𝑖+1 del polígono Pn se construyen los lados 𝑃′𝑖 𝑃𝑖+1 y 𝑃𝑖 𝑃′𝑖 del Tercer criterio de igualdad de triángulos: Si dos triángulos tienen respectivamente congruentes los tres lados, son congruentes. 5 ver Puig pág 51 Ver demostración de pág 61 6 7 7 polígono Pn+1 que cumplen: 𝑃𝑖 𝑃𝑖+1 < 𝑃′𝑖 𝑃𝑖+1 + 𝑃𝑖 𝑃′𝑖 y por ser polígonos regulares 8, 𝑃′𝑖 𝑃𝑖+1 = 𝑃𝑖 𝑃′𝑖 , con lo cual el perímetro del polígono Pn está dado por: 𝐼𝑛 = 2𝑛 . 𝑙𝑛 , donde 𝑙𝑛 es el lado del polígono inscripto de 2𝑛 lados, luego: 𝐼𝑛 = 2𝑛 . 𝑙𝑛 = = 2𝑛 . 𝑃𝑖 𝑃𝑖+1 < 2𝑛 . ( 𝑃′𝑖 𝑃𝑖+1 + 𝑃𝑖 𝑃′𝑖 ) = 2𝑛 . (𝑙𝑛+1 + 𝑙𝑛+1 ) = 2. 2𝑛 . 𝑙𝑛+1 = 2𝑛+1 . 𝑙𝑛+1 = 𝐼𝑛+1 , donde 𝑙𝑛+1 es el lado del polígono regular Pn+1 y 𝐼𝑛+1 es su perímetro, es decir 𝐼𝑛 < 𝐼𝑛+1. Concluimos que el perímetro de los polígonos de la sucesión Pn aumenta cuando aumenta el número de lados del polígono, es decir, la sucesión 𝐼𝑛 es creciente y acotada, pues asumimos que el perímetro de todo polígono inscripto en una circunferencia es menor que el perímetro de dicha circunferencia, es decir, 𝐼𝑛 es convergente9. Análogamente, la sucesión 𝐶𝑛 , es convergente. En efecto, podemos demostrar que el perímetro del polígono circunscritos Qi es mayor que el del polígono Qi+1 , además esta sucesión de perímetros está acotada inferiormente por el perímetro de la circunferencia. Proposición 3: el perímetro del polígono circunscripto Qn de 2𝑛 lados es mayor que el perímetro del polígono circunscripto Qn+1 de 2𝑛+1 lados. Demostración: por proposición 1 asumimos el siguiente resultado: una sucesión estrictamente creciente y acotada superiormente entonces es convergente 8 9 8 Anexo I 26.a) Perímetro de un cuadrado inscrito en una circunferencia de centro 𝑂 y radio 𝑟 Para calcular el perímetro debemos ver la medida 𝑙 del lado del cuadrado. Sea el cuadrado 𝐴𝐵𝐶𝐷inscrito en una circunferencia de centro 𝑂 y radio 𝑟. Determinamos las diagonales del cuadrado: 𝐴𝐶 y 𝐵𝐷. Por propiedad de las diagonales de un cuadrado estas son congruentes y se intersectan perpendicularmente por su punto medio, 𝑂. por lo tanto, 𝐴𝑂 = 𝐵𝑂 = 𝐶𝑂 = 𝐷𝑂 Consideremos el triángulo 𝐴𝑂𝐵 determinado por las diagonales del cuadrado inscripto y uno de los lados del cuadrado: ● El ángulo ∠𝐴𝑂𝐵 es recto pues 𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐷 por ser diagonales del cuadrado. Luego, el triángulo 𝐴𝑂𝐵 es rectángulo. ● 𝐴𝑂 = 𝐵𝑂 = 𝑟 por construcción. Luego, el triángulo 𝐴𝑂𝐵 es isósceles. ● Llamemos 𝑙 al lado desigual 𝐴𝐵, lado del cuadrado. Nos encontramos bajo las condiciones del Teorema de Pitágoras. Por lo tanto, aplicando dicho teorema, obtenemos la siguiente relación: 2 𝐴𝐵 𝑙 2 = 𝐴𝑂 2 =𝑟 𝑙 2 2 + 𝐵𝑂 +𝑟 = 2𝑟 𝑙 = √2𝑟 2 2 2 2 𝑙 = √2. 𝑟 Luego, la medida del lado del cuadrilátero regular es: 𝑙 = √2. 𝑟 Llamemos 𝐼 4 al perímetro del cuadrilátero regular inscripto en la circunferencia de centro 𝑂 y radio 𝑟. Entonces, 𝐼 4 = 4√2. 𝑟 Sucesión de polígonos: ● Primer elemento es un cuadrado inscripto ● Segundo elemento es un octógono regular inscripto ● El enésimo elemento se obtiene determinando los puntos medios de los lados del elemento 𝑛 − 1. Luego, determinando los radios de la circunferencia que contiene a estos puntos medios. Luego, el polígono buscado es el que tiene 9 como vértices a los vértices del polígono 𝑛 − 1intercalados con los extremos de los radios determinados que no sean centro. Luego, la cantidad de lados del k-ésimo polígono es: 𝑛 = 2 𝑘+1 con 𝑘 > 0 Del cuadrado inscripto Por lo tanto, el perímetro del k-ésimo polígono es: 𝐼 2 𝑘+1 𝑙 𝑘+1 𝑘 = con 𝑘 > 0 10 Anexo II Actividad 26.b) Para cada lado del cuadrado inscripto considerar el radio que contiene al punto medio. Determinar la figura cuyos vértices son los vértices del cuadrado inicial intercalados con los extremos de esos radios (que no son centro de la circunferencia) que contienen a los puntos medios entre dos vértices consecutivos. ¿Qué tipo de figura queda determinada? Justificar que el perímetro de esta figura es mayor que el del cuadrada inicial inscripto. Conjetura: La figura que queda determinada es un octógono regular. Demostración: Sea 𝑂 el centro de la circunferencia ′ de radio 𝑟 y sean 𝑃𝑖′ , 𝑃𝑖 , 𝑃𝑖+1 vértices consecutivos del octógono, donde 𝑃𝑖 es vértice del cuadrado inicial 𝑃𝑖 𝑃𝑖+1 𝑃𝑖+2 𝑃𝑖+3 Determinamos la diagonal del cuadrado que tiene por extremo a 𝑃𝑖+1 ′ Sea 𝑀2 la intersección de 𝑂𝑃𝑖+1 y el lado del cuadrado 𝑃𝑖+1 𝑃𝑖+2. El triángulo 𝑂𝑀2 𝑃𝑖+1 es isósceles pues 𝑂𝑀2 es congruente a 𝑃𝑖+1 𝑀2 . Si la medida del lado del cuadrado es 𝑙 𝑙 ′ entonces, 𝑂𝑀2 ≡ 𝑃𝑖+1 𝑀2 ≡ 2. El ángulo ∠𝑂𝑀2 𝑃𝑖+1 es recto pues 𝑂𝑃𝑖+1 es ′ perpendicular a 𝑃𝑖+1 𝑃𝑖+2 por ser 𝑂𝑃𝑖+1 la mediatriz de 𝑃𝑖+1 𝑃𝑖+2. Luego, por suma de los ángulos interiores de un triángulo, el ángulo ∠𝑀2 𝑂𝑃𝑖+1resulta ser la mitad de un recto. Análogamente, considerando el triángulo 𝑂𝑀1 𝑃𝑖+1 llegamos a que el ángulo∠𝑀1 𝑂𝑃𝑖+1 también es igual a la mitad de un recto. ′ Comparando los triángulos 𝑂𝑃𝑖′ 𝑃𝑖+1 y 𝑂𝑃𝑖+1 𝑃𝑖+1 notamos que ambos triángulos tienen ′ ′ lados 𝑂𝑃𝑖 y 𝑂𝑃𝑖+1 congruentes a los radios de la circunferencia, que 𝑂𝑃𝑖+1 es lado común a ambos triángulos y el ángulo comprendido por dichos lados miden la mitad de un recto: ∠𝑃′𝑖 𝑂𝑃𝑖+1 ≡ ∠𝑃′𝑖+1 𝑂𝑃𝑖+1. Luego, por criterio de congruencia de ′ triángulos10 los triángulos 𝑂𝑃𝑖′ 𝑃𝑖+1 y 𝑂𝑃𝑖+1 𝑃𝑖+1son congruentes. En particular, los lados homólogos 𝑃′𝑖 𝑃𝑖+1 y 𝑃𝑖+1 𝑃′𝑖+1 son congruentes y los ángulos ∠𝑂𝑃𝑖′ 𝑃𝑖+1 ≡ ′ ′ ∠𝑂𝑃𝑖+1 𝑃𝑖+1 y ∠𝑂𝑃𝑖+1 𝑃𝑖′ ≡ ∠𝑂𝑃𝑖+1 𝑃𝑖+1 . Primer criterio de congruencia de triángulos: Si dos triángulos tienen, respectivamente, congruentes dos lados y el ángulo que forman, son congruentes. 10 11 Como el triángulo 𝑂𝑃𝑖′ 𝑃𝑖+1 es isósceles, ∠𝑂𝑃𝑖′ 𝑃𝑖+1 ≡ ∠𝑂𝑃𝑖+1 𝑃𝑖′ . Luego, si la medida de dichos ángulos es 𝛼, el ángulo interior del octógono correspondiente al vértice 𝑃𝑖+1 es igual a 2𝛼. Análogamente, tomando cualquier par de lados consecutivos, el ángulo interior del octógono mide 2𝛼 y dichos lados son congruentes entre sí. Por lo tanto, el polígono obtenido es un octógono regular. ∠ 12 Anexo xx 13 Anexo resolución del ej 25 Actividad 25. Sean C una circunferencia de centro O y 𝑃1 , 𝑃2 , . . . , 𝑃𝑛 polígono regular inscripto en ella. Sean 𝑝1 , . . . , 𝑝𝑛 rectas tangentes a C en los puntos 𝑇1 , . . . , 𝑇𝑛 , siendo 𝑇𝑖 ∈ � tal que 𝑂𝑇𝑖 es el radio que contiene al punto medio 𝑀𝑖 del segmento 𝑃𝑖 𝑃𝑖+1 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 y 𝑂𝑇𝑛 es el radio que contiene al punto medio 𝑀𝑛 de 𝑃𝑛 𝑃1 . a) Considerar los puntos 𝑄1 , 𝑄2 , . . . , 𝑄𝑛 que se determinan con las intersecciones de las tangentes de a dos en forma contigua, (𝑄1 determinado por la intersección de 𝑝1 𝑦 𝑝𝑛 , 𝑄2 determinado por la intersección de 𝑝1 𝑦 𝑝2, etc.). Probar que cada 𝑄𝑖 está alineado con 𝑃𝑖 y O. b) Mostrar que 𝑄1 , 𝑄2 , . . . , 𝑄𝑛 son vértices de un polígono regular semejante al dado. c) Si 𝑙 es la medida del lado del polígono 𝑃1 , 𝑃2 , . . . , 𝑃𝑛 , determinar la razón de semejanza entre este polígono regular y el circunscrito correspondiente 𝑄1 , 𝑄2 , . . . , 𝑄𝑛 en función de 𝑙 y 𝑟, radio de la circunferencia. Proposición 25.a): los puntos 𝑄1 , 𝑄2 , . . . , 𝑄𝑛 que se determinan con las intersecciones de las tangentes de a dos en forma contigua están alineados con 𝑃1 , 𝑃2 , . . . , 𝑃𝑛 , respectivamente, y con O. 14 Bibliografía ● Matera, G. (2014) Análisis Matemático. Un enfoque constructivo. 1a ed. 1a reimp. Buenos Aires: Universidad Nacional de General Sarmiento. ● Puig Adam, (1986) Curso de geometría métrica. 16a ed. Madrid: Euler editorial S.A. ● Ernest, P. (2000). Los valores y la imagen de las matemáticas: una perspectiva filosófica, Uno: Revista de didáctica de las matemáticas, 23, 9-28. ● 15