Ecuaciones diferenciales para circuitos

2. Ecuación diferencial para circuitos de segundo orden
Empezaremos el estudio con el circuito paralelo RLC de la figura, en el cual queremos obtener la expresión de la tensión v. La
ecuación del circuito en el nudo es:
i R + i L + iC = i
1
1
dv
v + ∫ vdt + C
=i
dt
R
L
i(t )
Para eliminar la integral derivamos la ecuación:
1 dv 1
d 2 v di
+ v+C 2 =
dt
R dt L
dt
v
(
t
R
)
L
C
d 2v
1 dv 1
1 di
v=
+
+
C dt
dt 2 RC dt LC
Consideremos ahora el circuito serie RLC de la figura, en el cual queremos obtener la expresión de la intensidad i. La ecuación del
circuito es:
R
i(t )
v R + v L + vC = v
di 1
Ri + L + ∫ idt = v
dt C
v(t )
L
Para eliminar la integral derivamos la ecuación:
R
dv
d 2i 1
di
+L 2 + i=
dt
C
dt
dt
d 2 i R di
1
1 dv
i=
+
+
L dt
dt 2 L dt LC
C
Consideremos ahora un circuito algo más complicado, constituido por dos mallas, como el mostrado en la figura. Se busca la
expresión correspondiente a la intensidad de la segunda malla i2. Las
L1
ecuaciones de las mallas son:
di1

+ Ri1 − Ri2 = v 
dt

di
L2 2 + Ri2 − Ri1 = 0
dt

L1
v
(
t
)
i1
R
i2
L2
Para facilitar los cálculos con ecuaciones diferenciales, un proceso útil es utilizar el operador s, siendo s=d/dt, que permite transformar
una ecuación diferencial en una algebraica1. Utilizando este operador el sistema de ecuaciones es:
L1si1 + Ri1 − Ri2 = v 

L2 si2 + Ri2 − Ri1 = 0
(L1s + R )i1 − Ri2 = v 
(L2 s + R )i2 − Ri1 = 0
1
(L2 s + R )i2
R
de la segunda ecuación:
i1 =
Sustituyendo en la primera:
(L1 s + R ) 1 (L2 s + R )i2 − Ri2 = v
R
La ecuación diferencial de segundo orden para i2 es:
1
di
L1 L2 d 2i2
+ (L1 + L2 ) 2 = v
R dt 2
dt
La elección del símbolo para el operador es arbitraria, también se emplean p o D en lugar de s.
L1 L2 2
s i2 + (L1 + L2 )si2 = v
R