FUERZAS COPLANARES CONCURRENTES EN LA MESA DE FUERZAS GUÍA DE PRÁCTICAS DE LABORATORIO 2 FUERZAS COPLANARES CONCURRENTES EN LA MESA DE FUERZAS, GUÍA DE PRÁCTICAS DE LABORATORIO © Derechos Reservados TQ Laboratorios S.A.S 2017 Autor: Jairo David García Físico Edición e Impresión: EDITORIAL Y LIBRERÍA HIPERTEXTOS S.A.S Cl 46 No 81-38 Medellín Tel: (4) 413 17 42 La reproducción total o parcial de este manual, su tratamiento informático, o la transmisión por cualquier forma o medio, sin el permiso escrito previo de los titulares de los Derechos, se encuentra totalmente restringida. MESA DE FUERZAS, GUÍA DE PRÁCTICAS DE LABORATORIO 3 ÍNDICE 1. EQUILIBRIO DE DOS FUERZAS COPLANARES ................................................. 13 2. DESCOMPOSICIÓN DE VECTORES ..................................................................... 15 3. EQUILIBRIO DE TRES FUERZAS COPLANARES ............................................... 18 4. EQUILIBRIO DE CUATRO FUERZAS COPLANARES ........................................ 21 5. FUERZAS CONCURRENTES ................................................................................. 21 6. ANEXO: MEDICIONES Y ERRORES EXPERIMENTALES ................................. 23 MESA DE FUERZAS, GUÍA DE PRÁCTICAS DE LABORATORIO 4 RECONOCIMIENTO DEL EQUIPO CANT. ARTÍCULO acero APARIENCIA 1 Anillo de cuerdas con 1 Disco graduado mesa de fuerzas 1 Estuche Mesa de Fuerzas 1 Manual de Laboratorio "Mesa de Fuerzas" MESA DE FUERZAS, GUÍA DE PRÁCTICAS DE LABORATORIO 5 5 Masa con ranura 20 g 5 Masa con ranura 50 g 5 Masa con ranura 10 g 3 Masa con ranura 1 g 3 Masa con ranura 2 g 4 Masa con ranura 5 g 3 Portapesas 50 g 3 Polea 1 Soporte trípode roscado 1 Tubo roscado MESA DE FUERZAS, GUÍA DE PRÁCTICAS DE LABORATORIO 6 MONTAJE GENÉRICO DE LA MESA DE FUERZAS 1. Ensamble el tubo roscado en el trípode. 2. Coloque el disco de mesa de fuerza en la parte superior de la varilla y ajuste con la tuerca. 3. Ubique las poleas en el disco, según lo requiera el experimento. 4. Pase por cada polea un extremo de una cuerda al aro de acero. En el otro extremo de la cuerda coloque la masa indicada según el experimento. Si utiliza un portapesas tenga presente que la masa del mismo es de 50 g. 5. Nivele la superficie del disco utilizando los tornillos del soporte trípode. MESA DE FUERZAS, GUÍA DE PRÁCTICAS DE LABORATORIO 7 SUGERENCIAS PARA EL DOCENTE Realizar cada práctica y asegurarse de que todo funciona bien antes de llevarla al laboratorio. Revisar que los implementos del equipo estén completos al finalizar el trabajo de los estudiantes y guardarlos en su sitio. Solicitar a los estudiantes un informe de laboratorio con la siguiente información: Logros, Mediciones, Cálculos, Resultados, Respuestas a las preguntas, Causas de error, Conclusiones. SUGERENCIAS PARA EL ESTUDIANTE Leer la práctica previamente y conocer bien la teoría antes de comenzar para optimizar el tiempo en el laboratorio. Esforzarse por optimizar los montajes y reducir las causas de error. Ejecutar los experimentos en el orden propuesto en el manual. MESA DE FUERZAS, GUÍA DE PRÁCTICAS DE LABORATORIO 8 TEORÍA GENERAL DE LA MESA DE FUERZAS En las siguientes secciones revisaremos algunos conceptos básicos sobre las cantidades vectoriales, su diferencia con las escalares y la forma en que pueden representarse, así como sobre las condiciones de equilibrio estático derivadas de las leyes de Newton. Estas secciones no pretenden ser un tratado completo de la teoría que ya debe conocer el estudiante, sino apenas servir como repaso de los rudimentos estrictamente indispensables para entender los experimentos en la Mesa de Fuerzas. VECTORES La física suele referirse a cantidades que únicamente informan una magnitud. Estas cantidades se conocen como: escalares. Las cantidades escalares están completamente determinadas por un único número y, posiblemente, unas unidades, por ejemplo, 60 min ó 37 °C. Adicionalmente, para la descripción de muchos fenómenos, la física necesita cantidades un poco más sofisticadas como los vectores, que, además de la magnitud, portan información sobre la dirección y el sentido. Para determinar una cantidad vectorial se necesita, como veremos más adelante, un conjunto de números y, posiblemente, unas unidades. La distancia es un ejemplo de un escalar: una regla de 50 cm mide lo mismo sin importar cómo se oriente; el dinero también es un escalar, no se necesita especificar la dirección de un billete para saber cuánto vale. El desplazamiento, en cambio, es una cantidad vectorial, no es equivalente moverse hacia un lado que hacia el otro, aunque se desplace la misma distancia. La fuerza es otro ejemplo de un vector, empujar un cuerpo en determinada dirección es totalmente distinto a hacerlo en dirección opuesta, aunque el esfuerzo sea idéntico. En este manual usaremos letras itálicas (por ejemplo: A) para referirnos a objetos matemáticos como los escalares o las dimensiones de las cantidades. Y para distinguir las cantidades vectoriales usaremos, además, letra en negrita (por ejemplo: A). Adicionalmente, en los gráficos que incorporen vectores, estos se denotarán mediante flechas (ver, por ejemplo, la Fig. 1-1). REPRESENTACIÓN DE LOS VECTORES Veremos aquí como puede representarse un vector en el plano mediante una pareja ordenada de puntos. Aunque nuestra explicación se hace para el caso de dos dimensiones, porque es el relevante para la mesa de fuerzas, la misma idea puede aplicarse a casos de tres dimensiones. Considérese un vector en una superficie de dos dimensiones, es decir, un plano. Ese vector, como lo muestra la Fig. 1-1 tiene un origen y un final. La distancia MESA DE FUERZAS, GUÍA DE PRÁCTICAS DE LABORATORIO 9 desde el punto de origen al punto final corresponde a la magnitud del vector. La inclinación de la flecha indica la dirección del vector. Cualquier método que elijamos para representar el vector, debe poder permitirnos conocer cuál son su magnitud y su dirección. Si elegimos un sistema de coordenadas cartesianas cuyo origen coincida con el origen del vector, podemos asociar un único punto del plano a ese vector: el punto final de la flecha. Por otro lado, cada punto en el plano tiene un nombre exclusivo: el del par ordenado de números (x,y) que corresponden a sus coordenadas cartesianas. Por tanto, para especificar completamente y sin lugar a confusión un vector en el plano, lo único que necesitamos son las coordenadas del punto final del vector. Fig. 1-1 La flecha azul representa un vector en el plano. Las coordenadas del punto final de vector (donde termina la flecha), nos sirven para darle un nombre o etiqueta única a cada vector. A partir de ese nombre es posible conocer toda la información relevante sobre el vector: es decir, su magnitud y dirección. Como cada vector tendrá su par ordenado asociado, para distinguir el vector A del vector B, usaremos la notación: 1) A = Ax , Ay ; B = Bx ,By Por razones que comprenderemos un poco más adelante, las coordenadas Ax , Ay se conocen como componentes del vector. Nótese que las componentes son cantidades escalares. Dos vectores son iguales si su magnitud, dirección y sentido coinciden; esto implica que sus componentes en cada dirección sean iguales: 2) A = B Ax = Bx y Ay = By Veamos ahora que el nombre que le hemos dado al vector mediante la asociación MESA DE FUERZAS, GUÍA DE PRÁCTICAS DE LABORATORIO 10 de un punto en el plano cartesiano, permite conocer toda la información relevante sobre él. Para ello calculemos su magnitud y su dirección: La magnitud o módulo de un vector, que denotamos sin negrita ( A), por ser una cantidad escalar, puede hallarse, simplemente, a partir de las componentes, mediante el teorema de Pitágoras: 2 2 2 A = Ax + Ay 3) Nótese que la magnitud de un vector siempre es positiva. La dirección del vector, que siempre se mide con respecto al eje x y en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj, puede calcularse mediante la ecuación: 4) A tan -1 y Ax Si conocemos la magnitud y la dirección, como se da en muchas situaciones, y queremos averiguar las componentes, podemos usar las relaciones trigonométricas: 5) Ax A cos ; Ay Asen DESCOMPOSICIÓN DE LOS VECTORES Veamos ahora como cualquier vector puede descomponerse en términos de otros dos, uno a lo largo del eje x y otro a lo largo del eje y. Para ello notemos primero que es posible sumar dos o más vectores; siendo el resultado un nuevo vector, cuyas componentes vienen dadas por: 6) A B Ax , Ay Bx , By Ax Bx , Ay By Por otro lado, recordemos que es posible multiplicar un vector por un escalar, obteniendo un nuevo vector cuyas componentes son iguales a las del vector original, pero multiplicadas por el escalar: 7) cA c Ax , Ay cAx , cAy Además, recordemos que, convencionalmente, se denomina i a un vector unitario en la dirección del eje x y j a un vector unitario en la dirección del eje y: 8) i 1, 0 j 0,1 Reuniendo las ecuaciones 6), 7) y 8), podemos ver que otra forma de denotar el vector A es: MESA DE FUERZAS, GUÍA DE PRÁCTICAS DE LABORATORIO 11 9) A = Ax i Ay j . Puesto que: Ax i Ay j Ax 1, 0 Ay 0,1 Ax , 0 0, Ay Ax , Ay La notación de la ec. 9) nos permite ver claramente que un vector arbitrario en el plano puede escribirse como la suma de un vector proporcional a i y otro proporcional a j. En otras palabras, cualquier vector, sin importar su dirección o magnitud, puede descomponerse en uno a largo del eje x y otro a lo largo del eje y. Es por eso que a las cantidades Ax, Ay se las denomina componentes. Esto lo verificaremos experimentalmente con la mesa de fuerzas. EQUILIBRIO ESTÁTICO Repasemos ahora las condiciones de equilibrio en el plano, derivadas de la Segunda Ley de Newton. Esta ley afirma que todas las fuerzas aplicadas sobre un cuerpo producen un efecto de aceleración neta que es inversamente proporcional a la masa y directamente proporcional a la suma vectorial de dichas fuerzas. Esto puede expresarse matemáticamente mediante la relación: 10) a Fi m i La mesa de fuerzas permite comprobar la validez de un caso particular de la Segunda Ley de Newton: aquel en el cual la sumatoria de fuerzas las fuerzas aplicadas sobre el anillo se anula. 11) F1 F2 F3 ... 0 En ese caso, la aceleración del anillo también se anula y por tanto el anillo permanecerá quieto. 12) a 0 De la ecuación F1 F2 F3 ... 0 podemos deducir que cuando se aplican únicamente dos fuerzas al anillo, que inicialmente está en reposo, este permanecerá quieto sólo si las fuerzas son opuestas en dirección e iguales en magnitud… 13) F1 F2 0 F1 F2 Para el caso bidimensional, la última parte de esta ecuación implica dos condiciones: MESA DE FUERZAS, GUÍA DE PRÁCTICAS DE LABORATORIO 12 14) Fx1 Fx 2 Fy1 Fy 2 En este equipo, las masas se suspenden de hilos que se conectan a un anillo central luego de pasar por una polea, como muestra la Fig. 1-2. Así, el anillo central se somete a un conjunto de tensiones que están todas en un mismo plano. La única fuerza que no está sobre el plano es el peso del anillo central. En todos los experimento se supondrá que este peso es muy pequeño y, por tanto, que puede despreciarse con respecto a los pesos de las tensiones aplicadas. Fig. 1-2 Fuerzas coplanares, concurrentes en un anillo central. El anillo está en equilibrio si todas las fuerzas se anulan. Experimentalmente, esto se cumple cuando el anillo está perfectamente centrado. MESA DE FUERZAS, GUÍA DE PRÁCTICAS DE LABORATORIO 13 1. EQUILIBRIO DE DOS FUERZAS COPLANARES Logros Corroborar la condición de equilibrio traslacional para una partícula sometida a dos fuerzas. Estimar los márgenes de error en la mesa de fuerzas. Equipos 1 Disco graduado 2 Portapesas de 50 g 1 Tubo roscado 1 Juego de masas 1 Soporte trípode 2 Cuerdas 1 Anillo 2 Poleas Experiencia No1 Efectúe el montaje típico de la mesa de fuerzas (consultar sección Montaje General). Luego ubique una polea en la posición 0° y otra en 180°. Tome dos portapesas y átele a cada uno una cuerda. Los otros extremos de esas cuerdas deben ir al anillo. Pase las cuerdas por las poleas. Agregue 50 g al portapesas ubicado en 0° y averigüe el valor de la masa que masa debe agregar al otro para que el anillo permanezca en equilibrio, perfectamente centrado respecto a la mesa de fuerzas. Repita el ensayo para otras masas. Fig. 1-1 Montaje para verificar la ec. 13. MESA DE FUERZAS, GUÍA DE PRÁCTICAS DE LABORATORIO 14 Notará que siempre se requiere una masa idéntica en ambos lados, para que se mantenga el equilibrio. ¿Se satisface la ec.13? ¿Qué significa el signo negativo en dicha ecuación? Nota: verifique que las fuerzas que equilibran el anillo son producidas por las masas atadas al anillo y no por otras fuerzas como la fricción de las cuerdas sobre las paredes de las poleas. Verifique que si se cambia significativamente la magnitud de una de las fuerzas (se coloca una masa diferente en el portapesas) o si se modifica su dirección (se mueve una polea), el sistema no permanece en equilibrio. Sin embargo, observe que esos cambios son muy leves, es posible que la argolla permanezca centrada, es decir, que se mantenga el equilibrio. Esto implica que, experimentalmente, no es viable determinar con absoluta precisión la validez de las relación matemática 13. En general, no es posible verificar experimentalmente ninguna relación matemática con precisión absoluta, toda verificación experimental se hace dentro de ciertos márgenes de error. Determine experimentalmente: A) El ángulo máximo que puede alejarse una de las poleas de su posición, sin alterar el equilibrio (manteniendo las masas constantes). B) La cantidad máxima de masa que puede agregar a uno de los portapesas, (manteniendo los ángulos constantes). Complete la siguiente tabla suponiendo que el valor de la aceleración de la gravedad se conoce sin error. MÁRGENES DE ERROR EN LA MESA DE FUERZAS M F() = F()= F()F() Indique las causas para los márgenes de error en y M. Asumiremos, para prácticas futuras, que estos son los márgenes de error típicos en la mesa de fuerzas. MESA DE FUERZAS, GUÍA DE PRÁCTICAS DE LABORATORIO 15 2. DESCOMPOSICIÓN DE VECTORES Logro Analizar cómo se descompone un vector en un sistema de coordenadas rectangulares. Equipos 1 Disco graduado 3 Portapesas de 50 g 1 Tubo roscado 1 Juego de masas 1 Soporte trípode 3 Cuerdas 1 Anillo 3 Poleas Experiencia Realice el montaje de la figura. Coloque una polea en la posición 0°, otra en 90°, y la última en 225° (todas leídas en el círculo graduado externo del disco). La dirección 0° hace las veces de eje x y, por tanto, la fuerza que pasa por ahí se denomina Fx; La dirección 90° hace las veces de eje y y, por tanto, la fuerza que pasa por ahí se denomina Fy. A la fuerza que pasa por la dirección 225° las denominamos Fr. Fig. 2-1 Montaje para verificar la ec. 9. Sujete al anillo tres cuerdas y pase cada uno de los hilos por una de las poleas. Pase por cada polea una cuerda. Suspenda pesos de las cuerdas según se indica en la tabla (tenga en cuenta la masa de los portapesas). Determine si el sistema se encuentra en equilibrio. MESA DE FUERZAS, GUÍA DE PRÁCTICAS DE LABORATORIO 16 Ángulo (°) 0±1 90 ± 1 225 ± 1 Masa (g) 70 ± 1 70 ± 1 100 ± 1 Nota: verifique que las fuerzas que equilibran el anillo son producidas por las masas atadas al anillo y no por otras fuerzas como la fricción de las cuerdas sobre las paredes de las poleas. De lo aprendido en la práctica anterior, podemos deducir que la única forma en que el sistema de fuerzas de la Fig. 2-1 esté en equilibrio, es que las fuerzas en 0° y en 90°, sumadas, sean iguales en magnitud y opuestas en dirección a la fuerza en 225 °, es decir: que los 70 gramos fuerza aplicados en x, más los 70 gramos fuerza aplicados en y, sean iguales a 100 gramos fuerza aplicados en una dirección de 45° (ver Fig. 2-2). Fig. 2-2 Descomposición de fuerzas. Devolviéndonos en el razonamiento, podemos afirmar que en este experimento, existe una fuerza neta Fr´ , que en el montaje aparece descompuesta en otras dos fuerzas, una a lo largo del eje x y otra a lo largo del eje y (Fx y Fy, respectivamente). Determine teóricamente las componentes de componentes teóricas: 15) Fx Fr´ cos Fr´ y compárelas con sus Fy Fr´ cos MESA DE FUERZAS, GUÍA DE PRÁCTICAS DE LABORATORIO 17 Preguntas ¿Existe algo especial en el valor de Fr elegido o puede este experimento replicarse para cualquier otro valor de Fr? ¿Es posible descomponer cualquier fuerza en otras dos perpendiculares entre sí? ¿Se cumple siempre que 70 + 70 = 140? ¿Se mantiene el equilibrio si toma cada una de las poleas y las mueve 20° en dirección contraria a las manecillas del reloj? ¿Qué ocurre si la rotación es de 33°? Según la respuesta anterior, indique si las direcciones de los ejes x e y son únicas en el espacio o si, por el contrario, estas pueden modificarse arbitrariamente siempre que el ángulo entre ellas se mantenga constante. MESA DE FUERZAS, GUÍA DE PRÁCTICAS DE LABORATORIO 18 3. EQUILIBRIO DE TRES FUERZAS COPLANARES Logro Encontrar las condiciones de equilibrio para tres fuerzas concurrentes coplanares. Equipos 1 Disco graduado 3 Portapesas de 50 g 1 Tubo roscado 1 Juego de masas 1 Soporte trípode 3 Cuerdas 1 Anillo 3 Poleas Experiencia Realice el montaje de la figura. Coloque una polea en la posición 20°, otra en 340°, y la última en 180°, todas leídas en el círculo graduado externo del disco. Note que la posición 340°, equivale a la posición -20°, (ver círculo graduado interno). Sujete al anillo tres cuerdas y pase cada uno de los hilos por una de las poleas. Encuentre experimentalmente la masa que debe se necesita en la posición 180° para que el sistema esté en equilibrio si se suspenden masas de 90 g de cada una de las otras dos poleas. Encuentre teóricamente la masa equilibrante. Fig. 3-1 Montaje para estudiar el equilibrio de tres fuerzas coplanares. MESA DE FUERZAS, GUÍA DE PRÁCTICAS DE LABORATORIO 19 Compare la masa hallada teóricamente con la encontrada experimentalmente. Determine el error relativo y el error porcentual en este experimento. Repita el procedimiento con los valores de las masas dadas y los ángulos dados en las tablas de abajo. Tabla 3-1: Estudio del equilibrio de tres fuerzas coplanares variando la magnitud de la fuerza aplicada Equilibrante Error Error Masa Masa Equilibrante Teórica Experimental Relativo Porcentual en en 20° -20° Magn. (g) Dir (°) Magn. (g) Dir (°) 70 g 100 g 120 g 70 g 100 g 120 g Tabla 3-2: Estudio del equilibrio de tres fuerzas coplanares variando la dirección de la fuerza aplicada Equilibrante Error Error 80 g Aplicados Equilibrante Teórica Experimental Relativo Porcentual en las posiciones Magn. (g) Dir (°) Magn. (g) Dir (°) 10° 20° 30° 40° -10° -20° -30° -40° Calcule las componentes en x y y de las fuerzas aplicadas en la Tabla 3-2, asumiendo que el eje x corresponde a la dirección 0° y el eje y corresponde a la dirección 90°. Complete la tabla de abajo, analice los resultados y obtenga conclusiones. Preguntas ¿Existe algo especial en el valor de Fr elegido o puede este experimento replicarse para cualquier otro valor de Fr? ¿Es posible descomponer cualquier fuerza en otras dos perpendiculares entre sí? ¿Se cumple siempre que 70 + 70 = 140? ¿Se mantiene el equilibrio si toma cada una de las poleas y las mueve 20° en dirección contraria a las manecillas del reloj? MESA DE FUERZAS, GUÍA DE PRÁCTICAS DE LABORATORIO 20 Tabla 3-3: Analices de las condiciones de equilibrio de tres fuerzas coplanares Componentes en y Componentes en x Fx10° Fx20° Fx30° Fx40° Fy10° Fy20° Fy30° Fy40° Fx-10° Fx-20° Fx-30° Fx-40° Fy-10° Fy-20° Fy-30° Fy-40° Fx10° +Fx-10° Fx20° +Fx-20° Fx30° +Fx-30° Fx40° +Fx-40° Fy10° +Fy-10° Fy20° +Fy-20° Fy30° +Fy-30° Fy40° +Fy-40° MESA DE FUERZAS, GUÍA DE PRÁCTICAS DE LABORATORIO 21 4. EQUILIBRIO DE CUATRO FUERZAS COPLANARES Logro Encontrar las condiciones de equilibrio para cuatro fuerzas concurrentes coplanares. Equipos 1 Disco graduado 4 Portapesas de 50 g 1 Tubo roscado 1 Juego de masas 1 Soporte trípode 4 Cuerdas 1 Anillo 4 Poleas 5. FUERZAS CONCURRENTES Logro Encontrar las condiciones de equilibrio para tres fuerzas concurrentes coplanares. Equipos 1 Disco graduado 4 Portapesas de 50 g 1 Tubo roscado 1 Juego de masas 1 Soporte trípode 2 Cuerdas 1 Anillo 2 Poleas Experiencia Arme la mesa de fuerzas de la manera usual. Coloque una polea en la posición 0°, y cuélguele el portapesas con una pesa de 100 g. En la posición 90° coloque otra polea, con portapesas y una pesa de 100 g. Encuentre teórica y experimentalmente la fuerza necesaria (magnitud FR y dirección ) para mantener el sistema en equilibrio. MESA DE FUERZAS, GUÍA DE PRÁCTICAS DE LABORATORIO 22 Preguntas ¿El efecto de una fuerza depende de su dirección? ¿Cómo se comprueba eso en ésta práctica? ¿Qué pasa con la fuerza de la gravedad sobre el aro de cobre en este caso? ¿Cómo se anula? ¿Qué margen de error se presenta en esta práctica y cuáles son sus causas? 100 g MESA DE FUERZAS, GUÍA DE PRÁCTICAS DE LABORATORIO 100 g 23 6. ANEXO: MEDICIONES Y ERRORES EXPERIMENTALES El proceso de la medición Todo proceso de medida implica comparar la característica del objeto o evento que se quiere medir con la misma característica de un patrón. Ejemplo: una habitación mide 5 m de ancho, si una regla de un metro cabe exactamente cinco veces a lo ancho de la habitación. Mediante este proceso de determina un valor en este caso el 5 y unas unidades, en este caso metros. La cantidad así encontrada se denomina Valor Central de la medida. Valor central medido del ancho de la habitación: 5 m Sin embargo, en la práctica científica, medir algo implica determinar, además, el error o incertidumbre en esa medida. Si, por ejemplo, para medir el ancho de la habitación se utilizó una cinta métrica, el error típico en la medición es de 1 mm, que es la resolución de la cinta métrica. En la práctica se acepta que el valor EXPERIMENTAL o valor medido, es cualquiera de las cantidades comprendidas en el intervalo que tiene como punto medio el valor central leído en el instrumento y como ancho dos veces el error absoluto en la medida. Por tanto si fuésemos más estrictos con el lenguaje, no hablaríamos del valor de magnitud MEDIDA sino de su INTERVALO DE VALORES. Valor medido del ancho de la habitación: 5 m ± 1 mm Si representamos la cantidad a medir mediante la letra X, podemos representar el valor central así: x y el error así: x. De esta forma el valor de una medida debe escribirse así: X = x ± x Es de anotar que, independientemente de cuánto nos esforcemos en la medición y de qué tan buenos sean los equipos de medida utilizados, siempre existirá una diferencia entre el valor real de una cantidad y el valor medido: toda medida es una aproximación. En ciencias es indispensable, saber qué tan buena es esa aproximación, para decidir, dependiendo de los fines prácticos que persigamos, cuándo puede usarse y cuando no. Por ejemplo, si estamos midiendo la cantidad de arroz a empacar en un paquete de 5 kg, un error de 5 g es perfectamente aceptable. Pero ese mismo error es completamente inaceptable si lo que estamos midiendo es una cantidad de oro. 5 g de oro son muy representativos. MESA DE FUERZAS, GUÍA DE PRÁCTICAS DE LABORATORIO 24 ERROR RELATIVO Y ERROR PORCENTUAL Como hemos visto, toda medida tiene implícito un error y es muy importante saber qué tan grande es, para determinar si la medida es confiable o no. Pero, ¿qué significa grande en este contexto? En matemáticas y en ciencias es necesario aclarar a qué nos referimos cuando hablamos de grande y pequeño porque estos términos son relativos. Por tanto, cuando hablamos de tamaños, siempre debemos especificar contra qué estamos comparando las cosas, para que no haya lugar a confusión. Por ejemplo, si deseas saber cuál es tu altura, un error de 1 cm no es muy grave, pero si te estás sometiendo a una cirugía láser en un ojo, ese mismo error sería desastroso. En el segundo caso la medida no sería confiable, aunque la magnitud del error sea igual a la del primer caso. Lo lógico es determinar si el error es pequeño o grande comparado con el valor central de la medida. Para comparar matemáticamente dos magnitudes nos valemos de la operación división, porque ella nos permite saber cuántas veces cabe una cantidad en la otra (cuantas veces es más grande). Denominaremos Error Relativo a la comparación entre el error y la magnitud central medida. Δx Er Ec. 6-1 x Por sencillez asumimos que la medida se realiza una sola vez. Si se realizan varias medidas, el valor central debería reemplazarse por la media de los valores. Para hallar el error relativo no importa el signo de las cantidades, por eso comparamos los valores absolutos de las cantidades en lugar de las cantidades en sí. Lo ideal es que el error sea mucho más pequeño que el valor central, por tanto, el error relativo de una buena medida debe ser un número menor que uno. Mientras más se acerque a cero el error relativo, mucho mejor. Para la mayoría de experimentos escolares, aceptaremos que una medida es confiable si Er 0,10. Algunas personas no están acostumbradas a interpretar esos números. Para ellos se facilita más saber qué porcentaje es el error del valor central; esto se logra simplemente multiplicando el error relativo por cien. Δx *100 % Er *100 % x A esta cantidad la denominaremos Error Porcentual. Ec. 6-2 Ep Mientras menor el error porcentual, más confiable la medida. PRECISIÓN Y EXACTITUD Se dice que una media es muy exacta si el valor medido se aproxima mucho al valor verdadero. Se dice que un instrumento es muy preciso si cada que se mide MESA DE FUERZAS, GUÍA DE PRÁCTICAS DE LABORATORIO 25 con él una variable se encuentra el mismo valor o valores muy próximos entre sí, independientemente de si son cercanos o no al valor real. Un instrumento muy preciso puede arrojar medidas inexactas si el usuario no sabe manejarlo o el procedimiento de medición está mal diseñado. La exactitud es una característica de la medida tomada, la precisión una cualidad del instrumento. Los instrumentos de medida tienen una capacidad limitada para distinguir o resolver entre dos valores cercanos; dicha limitación, llamada apreciación, puede definirse, para instrumentos análogos, como la separación entre dos marcas consecutivas de la escala. Para instrumentos digitales es el valor del salto más pequeño que puede dar el equipo cuando se modifica ligeramente la variable: el umbral mínimo de detección. La apreciación del instrumento induce una incertidumbre y determina la cantidad de cifras significativas con que debe expresarse el resultado de la medida: Sería ridículo decir que se determinó que el ancho de una hoja es de 26,597 cm usando un metro de costurero, pues la incertidumbre en la medida con este metro es, en el mejor de los casos, de 0,1 cm, así que las dos últimas cifras decimales son mentirosas y no deben escribirse. IGUALDAD DE DOS CANTIDADES MEDIDAS Dos cantidades son iguales algebraicamente si todas sus cifras los son en cada orden de magnitud, por ejemplo: 2 = 2 ó 38,9564 = 38,9564. Si ellas difieren en alguna cifra, por pequeña que sea, no podemos decir que son iguales: 2 ≠ 2,0000001 ó π ≠ 3,1416. Son muy parecidas, pero no estrictamente iguales. Para expresar el hecho de que dos cifras son muy parecidas algebraicamente se usa el símbolo ≈. En el laboratorio nunca podemos estar seguros de la igualdad de dos cantidades en el sentido algebraico, pues siempre hay factores de error que impiden establecerlo. ¿Cómo podemos entonces comprobar experimentalmente la validez de leyes como la ley de reflexión de la luz, i=r? En ese caso debemos establecer que i ≈ma para una amplia variedad de valores de m y a, en un número estadísticamente significativo de casos. Cuán aproximadamente iguales deben ser esas cantidades para que nos ayuden a comprobar la validez de la ley, dependerá de la ley en cuestión, pero podemos aceptar el criterio de intersección de los intervalos para establecer la igualdad entre dos cantidades y por tanto la validez de la ley. Según el criterio de intersección, dos cantidades, X y Y, medidas en el laboratorio, son iguales si sus intervalos tienen puntos en común: X=Y sii (x - x, x + x) ∩ (y - y, y + y) ≠ Ø. Para mejor comprensión del criterio de igualdad proponemos este ejemplo. Supongamos que se desea saber si un cilindro y una esfera tienen la misma masa y se dispone de una balanza con apreciación 0,5 g para averiguarlo. Puede seguirse este procedimiento: MESA DE FUERZAS, GUÍA DE PRÁCTICAS DE LABORATORIO 26 C) D) E) F) G) H) I) J) K) L) Colocar el cilindro en la balanza Leer el valor central que arroja la balanza al colocar el cilindro, digamos 45,0 g Escribir la masa experimental hallada para el cilindro: Mcil=(45,0 0,5) g Reconocer que el valor real de la masa del cilindro puede ser cualquiera de los valores comprendidos en el intervalo (44,5 ; 45,5) g Retirar el cilindro de la balanza y colocar la esfera Leer el valor central que arroja la balanza para la esfera, digamos 44,6 g Escribir la masa experimental hallada para ella: Mesf=(44,6 0,5) g Reconocer que el valor real de la masa de la esfera puede ser cualquiera de los comprendidos en el intervalo (44,1 g ; 45,1g) Comparar los intervalos de los valores de las masas del cilindro y la esfera y determinar si tienen puntos en común. En este caso los intervalos sí tienen puntos en común; así que podemos decir que, hasta donde la resolución de nuestro equipo nos permite discernir, las masas son iguales. Obsérvese que la igualdad de dos cantidades medidas en el laboratorio depende del margen de error en la medición y por tanto del instrumento. Posiblemente, con una balanza más sensible, hubiésemos encontrado que las masas son diferentes. La incertidumbre en las medidas hace que los verdaderos científicos nunca supongan que han llegado a la verdad absoluta. Ellos saben que sus deducciones son válidas solo en un rango y que es posible encontrar cambios en el comportamiento de la naturaleza si se desarrollan equipos más sensibles o se diseñan experimentos más exactos. La gente que desconoce esto usa la expresión “está demostrado científicamente” para dar a entender que es un hecho incontrovertible, lo asumen como “palabra de Dios”. Esta postura divinizante de las teorías es contraria a los principios científicos: en ciencias todo es controvertible y no hay discusiones cerradas. No es herejía, sino labor científica, atacar una teoría (aunque debe hacerse con fundamentos lógicos y evidencias experimentales). Científicos y no científicos deben aceptar que las teorías son sólo eso y la enseñanza de las ciencias debe prevenir a los estudiantes de creer ciegamente en dogmas o aceptar dictámenes sin previa inspección. En ese sentido es vital el papel de la ciencia en la mejora continua de la sociedades, a través de la formación de individuos pensantes, críticos (no criticones), capaces de cuestionar y renovar el conocimiento, y de liberar, poco a poco, sus acciones de prejuicios. CIFRAS SIGNIFICATIVAS El número de cifras significativas de una cantidad es igual al número de dígitos que la componen, contados de izquierda a derecha, sin tener en cuenta los ceros que puedan escribirse como una potencia de diez. Ejemplos: MESA DE FUERZAS, GUÍA DE PRÁCTICAS DE LABORATORIO 27 Cantidad 50 500 24,30 0,0016 6,28x10-34 Cifras significativas 1 1 3 2 3 Al realizar operaciones elementales (suma, resta, multiplicación o división) entre dos cantidades con cifras significativas decimales, el número de cifras significativas del resultado debe ser igual al de la cantidad con menor número de ellas. Por ejemplo: Longitud de una varilla (medida con una regla): Longitud de un cilindro (medido con un calibrador): Longitud cilindro + varilla 3, 1 cm 6, 13 cm 19,2 cm Nótese que para ello debe redondearse aquel que tenga más cifras hasta igualar las del que tenga menos. La razón para este recorte de cifras puede entenderse con el ejemplo anterior: sería mentiroso decir que se conoce con una exactitud de centésima de centímetro la longitud del cilindro más la varilla, cuando ya tenemos una incertidumbre de décimas de centímetro en la medida de la varilla. En el ejemplo hemos expresado las medidas sin el error por simplicidad, pero la misma regla rige al operar cantidades con error y al operar los errores mismos. El error absoluto con los instrumentos que componen este equipo tiene una cifra significativa o como máximo dos. MANEJO DE ERRORES AL OPERAR CANTIDADES MEDIDAS Al realizar operaciones con cifras que tienen error, debe tenerse en cuenta el error total de la cantidad resultante, que se calcula, dependiendo de la operación efectuada, de acuerdo con las reglas dadas a continuación: Error al sumar dos cantidades con incertidumbre: (X ΔX) (Y ΔY) X Y X Y Error al restar dos cantidades con incertidumbre: (X ΔX) (Y ΔY) X Y ΔX ΔY Error al multiplicar dos cantidades con incertidumbre: MESA DE FUERZAS, GUÍA DE PRÁCTICAS DE LABORATORIO 28 (X ΔX)*(Y ΔY) X*Y X*Y X Y X Y Error al dividir dos cantidades con incertidumbre: (X ΔX) (Y ΔY) X / Y X X Y Y X Y Error al multiplicar una cantidad con incertidumbre por un número real (el factor se asume sin incertidumbre): c(X ΔX) cX c X Error al elevar una cantidad con incertidumbre a una cierta potencia real (la potencia se asume sin incertidumbre): (X ΔX)n X n X n1 nX Error al aplicar una función trigonométrica a una cantidad con incertidumbre: sen(X ΔX) senX cos X X cos(X ΔX) cosX senX X tan (X ΔX) tan X tanX cotX X Error al elevar el número e a una potencia con incertidumbre: e X ΔX e X e X X UNIDADES DE MEDIDA Los sistemas o eventos poseen diferentes cualidades o características susceptibles de ser medidas, es natural que cada una tenga un nombre que la distinga de las demás; esa es una de las razones para la existencia de diferentes unidades. Otra es que cada cultura le dio su propio nombre a las características mesurables, aunque, al parecer, todos estaban de acuerdo en cuáles eran las cualidades dignas de medida. Por ejemplo, algunos eligieron el “metro” como la cantidad básica para medir longitudes, mientras que otros prefirieron el “pie”, otros más la “vara”, etc. Las unidades de medida que aluden a una misma cualidad deben poder relacionarse de alguna manera (convertirse unas en otras). Debido al inmenso crecimiento de intercambios culturales y comerciales entre los pueblos, un sistema unificado de medidas supondría muchas ventajas y ahorraría tiempo y esfuerzo. Con ese espíritu se ha desarrollado el Sistema Internacional de Unidades (S.I.). MESA DE FUERZAS, GUÍA DE PRÁCTICAS DE LABORATORIO 29 PRINCIPALES UNIDADES DEL S.I. Magnitud Nombre Símbolo metro m Masa kilogramo kg Tiempo segundo s Intensidad de corriente eléctrica ampere A kelvin K mol mol candela cd Longitud Temperatura termodinámica Cantidad de sustancia Intensidad luminosa Hemos dicho que medir es comparar una característica de un objeto o suceso con la misma característica de otro que se ha tomado como referente. Una unidad de medida es precisamente una característica patrón, elegida arbitrariamente, pero que todos deben respetar. Según lo visto anteriormente un patrón debe ser un objeto o un hecho que prácticamente no cambie con las circunstancias del ambiente o el paso del tiempo pero que a la vez pueda replicarse fácilmente. Veamos la definición de las unidades de medida mencionadas en la tabla: Longitud: Un metro (m) es la longitud de trayecto recorrido en el vacío por la luz durante un tiempo de 1/299792458 de segundo. Masa: Un kilogramo (kg) es igual a la masa del prototipo internacional del kilogramo conservado en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas, en Francia. Tiempo: Un segundo (s) es la duración de 9192631770 periodos de las ondas emitidas en cierta transición entre dos niveles hiperfinos del átomo de cesio 133. Intensidad de corriente eléctrica: Un ampere (A) es la intensidad de corriente que deberían mantener dos conductores para ejercerse una fuerza de 2.10-7 Nm, dado que sean paralelos, rectilíneos, de longitud infinita y sección circular despreciable y estén en el vacío separados un metro. Temperatura termodinámica: Un kelvin (K) es la fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua. La temperatura termodinámica (T) y la temperatura Celsius ( t) están relacionadas así: t = T 273,15. Cantidad de sustancia: Un mol (mol) es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0,012 kg de MESA DE FUERZAS, GUÍA DE PRÁCTICAS DE LABORATORIO 30 carbono 12. Al emplear el mol, deben especificarse las unidades elementales, que pueden ser átomos, moléculas, iones, electrones u otras partículas o grupos. Intensidad luminosa: Una candela (cd) es la intensidad luminosa, emitida en una dirección dada, por una fuente monocromática de frecuencia 540·1012 Hz e intensidad energética 1/683 W·sr-1. ESCRITURA CORRECTA DE LOS SÍMBILOS DEL S.I. Cada unidad del sistema internacional tiene un símbolo asociado que nos permite ahorrar tiempo en la escritura. Si estamos escribiendo un texto científico o un informe de laboratorio y nos referimos a una magnitud indeterminada podremos escribir el nombre de la unidad, pero si estamos refiriéndonos a cantidades concretas o medidas deberemos expresarlas usando su símbolo. Los símbolos de las unidades son eso, símbolos, no abreviaturas, por eso no deben pluralizarse ni deben puntuarse; solo se coloca un punto después del símbolo cuando este se encuentra al final de una frase. Aunque existen denominaciones castellanizadas aceptadas por la Real Academia de la Lengua Española, es preferible evitarlas en pro de la precisión científica y de la uniformidad internacional. En las siguientes tablas podrás encontrar algunos ejemplos de las formas correctas y las formas incorrectas de escribir cantidades con unidades. CORRECTO CORRECTO varios kilohertz NO DESEABLE varios kilohercios 1,5 A 50 m 20 g 5s 273 K 2 kg INCORRECTO 1,5 Amp 50 mt. 20 gr 5 segs. 273 ºK 2 Kgs INCORRECTO 1,5Amps 50 M 20 grs. 5 seg 273 Kel. 2 kg. MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS DE UNIDADES Es lógico que cuando se mide la separación entre dos dientes de una persona debe usarse un instrumento distinto al requerido para medir el largo de un campo de fútbol, aunque en ambos casos se trate de longitudes. Si midiéramos la longitud de la cancha con la "reglita" que se utilizó para medir la distancia entre los dientes nos tardaríamos todo un día y con seguridad obtendríamos un valor muy impreciso. Del mismo modo, al determinar el espacio interdental con el instrumento para medir la longitud de una cancha de fútbol, obtendríamos un error gigantesco pues la apreciación de tal instrumento supera la distancia que queremos averiguar: la medida no sería en absoluto confiable. MESA DE FUERZAS, GUÍA DE PRÁCTICAS DE LABORATORIO 31 El hecho de que los resultados de las medidas de una misma característica en dos situaciones diferentes puedan ser tan distintos hace necesario el uso de instrumentos de medida especializados y de múltiplos y submúltiplos de las unidades de medida. Los múltiplos y submúltiplos importantes pueden escribirse como potencias enteras de diez; los nombres de estas potencias se forman añadiendo un prefijo al nombre de la unidad. Algunos múltiplos o submúltiplos, debido a su uso constante, son considerados una unidad en sí y reciben un nombre alternativo. NOMBRES DE LAS PRINCIPALES POTENCIAS DE 10 Factor 101 102 103 106 109 1012 1015 1018 MÚLTIPLOS Prefijo Símbolo deca da hecto h kilo k mega M giga G tera T penta P exa E Factor 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18 SUBMÚLTIPLOS Prefijo Símbolo deci d centi c mili m micro nano n pico p femto f atto a Si se usan esos prefijos o esas potencias a la hora de escribir una cantidad se dice que se está empleando la “notación científica”. Ejemplos: NOTACIÓN GENERAL 0,015 m 0,000000000000001 g 12.000.000 Ω 0,000000006 s 500.000.000.000.000.000 W 500.000.000.000.000.00 W 512.000.000.000 Hz NOTACIÓN CIENTÍFICA POTENCIAS PREFIJOS 15 x 10-3 m 15 mm 10-15 g 1 fg 12 x 106 Ω 12 MΩ 6 x 10-9 s 6 ns 5 x 1017 W 0.5 EW 5 x 1016 W 50 PW 512 x 109 Hz 512 GHz Todas esas formas de escritura son equivalentes, pero es mucho más conveniente utilizar los prefijos o las potencias que escribir todos esos ceros, tanto por que se economiza tiempo y espacio, como porque se disminuye la posibilidad de cometer errores en la escritura de cifras repetidas. MESA DE FUERZAS, GUÍA DE PRÁCTICAS DE LABORATORIO
