MAT 1105 F Integración numérica EJERCICIOS RESUELTOS 11. Obtenga: a) Integrando por el método del trapecio. Se utilizan las siguientes formulas: 4 Donde: Ecuación lineal 2 Área del trapecio Luego, -1 1 2 3 -1 Reemplazando en la formula: b) Integrando por el método de Simpson 1/3. Se utilizan las siguientes formulas: EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya Pagina 1 Donde: 4 Se debe notar que para el método de Simpson 1/3 simple el valor de n es igual a 2. Ecuación cuadrática 2 Luego, Área -1 1 1.5 2 3 -1 Reemplazando en la formula: c) Integrando por el método de Simpson 3/8. Se utilizan las siguientes formulas: Donde: Se debe notar que para el método de Simpson 3/8 simple el valor de n es igual a 3. EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya Pagina 2 Luego, 4 Ecuación cúbica 2 Área -1 1 4/3 5/3 2 3 -1 Lo que se puede resumir en la siguiente tabla: 0 1 1 0.333333 0.5 1.100092 2 0.666667 2.020793 3 2 3.313708 Reemplazando en la formula: Comparando con el valor obtenido analíticamente: exactitud de cada respuesta obtenida: , se puede determinar la Método Resultado Error Trapecio Simpson 1/3 Simpson 3/8 1.906854 1.646970 1.647045 0.26 7.54·10-5 4.00·10-7 Como se puede ver los métodos de Simpson son más exactos que el método del trapecio. EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya Pagina 3 22. Integre la siguiente función entre los límites a=-1 y b=1, utilizando 6 intervalos. a) Integrando por el método del trapecio compuesto. Para reducir el error del resultado, se puede dividir el área de la integral en pequeños intervalos. Para luego aplicar las formulas conocidas en cada intervalo. Primero se puede obtener el ancho de intervalo (h): El valor de “n” es el número de intervalos, o sea trapecio “n” puede tener cualquier valor. Es importante notar que para el método del 0 -1 -1 1 2 -2/3 -1/3 -0.666667 -0.333333 3 0 0 4 1/3 0.333333 5 2/3 0.666667 6 1 1 La integral dividida en los intervalos sería: Aplicando la formula del método del trapecio se aplica en cada intervalo: Factorizando: EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya Pagina 4 Que se puede sintetizar en la siguiente formula: Graficando la función y los intervalos: 0.4 0.2 -1.5 -1 -2/3 -1/3 0 1/3 2/3 1 1.5 - 0.1 Para hallar los valores de tabla: , se evalúa la función en los puntos como se muestra en la siguiente 0 -1 0.241971 1 -0.666667 0.319448 2 -0.333333 0.377383 3 0 0.398942 4 0.333333 0.377383 5 0.666667 0.319448 6 1 0.241971 Reemplazando en la formula: b) Integrando por el método del Simpson 1/3 compuesto. Se divide la integral en cada par de intervalos y luego se sumarán, de la siguiente forma: EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya Pagina 5 Graficando la función y los intervalos: 0.4 0.2 -1.5 -1 -2/3 -1/3 0 1/3 2/3 1 1.5 - 0.1 Aplicando la formula del método de Simpson 1/3 se aplica en cada intervalo: Factorizando y sintetizando la ecuación, se tiene la siguiente formula: Luego desarrollando la formula para 6 intervalos: Primero, se calculará el tamaño del intervalo: Para hallar los valores de 0 1 2 3 4 5 6 , se evalúa la función en los puntos como se muestra en la tabla: -1 -0.666667 -0.333333 0 0.333333 0.666667 1 EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya 0.241971 0.319448 0.377383 0.398942 0.377383 0.319448 0.241971 Pagina 6 Reemplazando en la formula: c) Integrando por el método del Simpson 3/8 compuesto. Se utilizan las siguientes formulas: Con Es importante notar que para el método de Simpson 3/8, el número de intervalos “n”, solo puede ser un múltiplo de 3, o sea, 3, 6, 9, etc. Graficando el método se puede ver esto. Graficando la función y los intervalos: 0.4 0.2 -1.5 -1 -2/3 -1/3 0 1/3 2/3 1 1.5 - 0.1 EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya Pagina 7 Primero, se calculará el tamaño del intervalo: Luego desarrollando la formula para 6 intervalos: Para hallar los valores de siguiente tabla: , se evalúa la función en los puntos como se muestra en la 0 1 2 -1 -0.666667 -0.333333 0.241971 0.319448 0.377383 3 0 0.398942 4 0.333333 0.377383 5 0.666667 0.319448 6 1 0.241971 Reemplazando en la formula: ] EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya Pagina 8 33. Evalúe la integral de los siguientes datos tabulados: Puntos 0 1 2 3 4 5 0 1 0.1 7 0.2 4 0.3 3 0.4 5 0.5 2 a) Integrando por el método del trapecio. En primer lugar se debe verificar que el intervalo entre los puntos valor de , sea constante. 0 0.1 0.2 0.3 sea constante, o sea, que 0.4 0.5 h h h h h (0.1) (0.1) (0.1) (0.1) (0.1) Luego aplicando la fórmula, si sabemos que el : Primero, se tiene el tamaño del intervalo: Luego desarrollando la formula para 6 intervalos: Reemplazando en la formula: b) Integrando por el método del Simpson 1/3 compuesto. En primer lugar se verifica que el valor de “n” (5), no es múltiplo de 2, por lo que no se podría aplicar el método. Pero se puede dividir la integral y aplicar distintos métodos en los intervalos. Simpson 1/3 0 0.1 Tra_ pecio Simpson 1/3 0.2 0.3 0.4 0.5 h h h h h (0.1) (0.1) (0.1) (0.1) (0.1) EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya Pagina 9 Luego la formula sería: Reemplazando la tabla de datos: Puntos 0 1 2 3 4 5 0 1 0.1 7 0.2 4 0.3 3 0.4 5 0.5 2 c) Integrando por el método del Simpson 3/8 compuesto. En primer lugar se verifica que el valor de “n” (5), tampoco es múltiplo de 3, por lo que no se podría aplicar el método. Pero se puede dividir la integral y aplicar distintos métodos en los intervalos. Simpson 3/8 0 0.1 Simpson 1/3 0.2 0.3 0.4 0.5 h h h h h (0.1) (0.1) (0.1) (0.1) (0.1) Luego la formula sería: Reemplazando la tabla de datos: Puntos 0 1 2 3 4 5 0 1 0.1 7 0.2 4 0.3 3 0.4 5 0.5 2 EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya Pagina 10 44. Evalúe la siguiente integral, utilizando las fórmulas de cuadratura de Gauss-Legendre. Con dos, tres y cuatro puntos. Al aplicar el método de cuadratura de Gauss, se realiza un cambio de variable y de límites de integración. Con la siguiente fórmula: Luego cambiando la variable y el diferencial: También se deben cambiar los límites de integración Para que la integral quede: Que se puede resolver numéricamente con la formula: Donde los coeficientes ya están determinados para cualquier función siguiente tabla: , y se muestran en la Puntos 2 w1 = w2 = 1.0 -z1 = z2 = 0.577350269 3 w2 = 0.888888888 w1 = w3 = 0.555555555 -z1 = z3 = 0. 774593669 z2 = 0.0 EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya Pagina 11 4 w1 = w4 = 0.347854845 w2 = w3 = 0.652451155 -z1 = z4 = 0.861136312 -z2 = z3 = 0.339981044 5 w1 = w5 = 0.236926885 w2 = w4 = 0.478628671 w3 = 0.568888888 -z1 = z5 = 0.906179846 -z2 = z4 = 0.538469310 z3 = 0.0 6 w1 = w6 = 0.171324492 w2 = w5 = 0.360761573 w3 = w4 = 0.467913935 -z1 = z6 = 0.932469514 -z2 = z5 = 0.661209386 -z3 = z4 = 0.238619186 a) Para dos puntos. Luego cambiando la variable y el diferencial: Aplicando en la formula: Utilizando los coeficientes de cuadratura de Gauss para dos puntos: Puntos 2 Evaluando los coeficientes w1 = w2 = 1.0 -z1 = z2 = 0.577350269 : EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya Pagina 12 Reemplazando en la formula: b) Para tres puntos. Utilizando los coeficientes de cuadratura de Gauss para tres puntos: Puntos 3 Evaluando los coeficientes w2 = 0.888888888 w1 = w3 = 0.555555555 -z1 = z3 = 0. 774593669 z2 = 0.0 : Reemplazando en la formula: EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya Pagina 13 c) Para cuatro puntos. Utilizando los coeficientes de cuadratura de Gauss para cuatro puntos: Puntos 4 Evaluando los coeficientes w1 = w4 = 0.347854845 w2 = w3 = 0.652451155 -z1 = z4 = 0.861136312 -z2 = z3 = 0.339981044 : Reemplazando en la formula: EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya Pagina 14 55. Evalúe la siguiente integral doble, con 4 intervalos: a) Analíticamente b) Resolviendo por el método de trapecio compuesto Primero se aplica la formula del trapecio compuesto en la integral interna para , con la variable como constante: Donde: Los puntos se muestran en la siguiente tabla: 0 1 2 3 4 Desarrollando la sumatoria. EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya Pagina 15 Luego se evalúan los puntos en la función : Reemplazando en la formula: Se tiene una función solo en función de y, que se puede definir como , luego aplicando la formula de trapecio compuesta en la segunda integral, para la variable , se tiene: Donde: Los puntos se muestran en la siguiente tabla: 0 -2 -90 1 -1 2 2 0 22 3 1 18 4 2 38 EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya Pagina 16 Reemplazando en la formula: Respuesta La integral doble resuelta numéricamente es: c) Resolviendo por el método de Simpson 1/3 compuesto Primero se aplica la formula de Simpson 1/3 compuesto en la integral interna para variable como constante: , con la Donde: Desarrollando la sumatoria. Luego se evalúan los puntos en la función EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya : Pagina 17 Reemplazando en la formula: Se tiene una función solo en función de y, que se puede definir como , luego aplicando la formula de Simpson 1/3 compuesta en la segunda integral, para la variable , se tiene: Donde: Los puntos se muestran en la siguiente tabla: 0 -2 -90.666667 1 -1 1.333333 2 0 21.333333 3 1 17.333333 4 2 37.333333 Reemplazando en la formula: Respuesta La integral doble es igual a: Comparando con el resultado analítico, se tiene una respuesta completamente exacta. EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya Pagina 18 66. Evalúe la integral triple: a) Analíticamente Analíticamente la integral triple es igual a: b) Resolviendo por integración numérica Primera integral Resolviendo la primera integral por el método del trapecio, con . Sabiendo que las variables “y” y “z” se consideran constantes en esta primera integral en función de “x”. Luego la tabla de los valores y evaluados en la función . . 0 1 2 3 4 EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya Pagina 19 5 6 7 8 Reemplazando en la formula: De esta forma se tiene una integral doble. Que se definirá como . Segunda integral Resolviendo la segunda integral por el método de Simpson 3/8, con variable “z” se considera constante en esta segunda integral en función de “y”. . Sabiendo que la Se puede evitar el uso de sumatorias dividiendo la integral y sumando los resultados: El intervalo para esta variable es: Luego la tabla de los valores y evaluados en la función EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya . Pagina 20 . 0 1 2 3 4 5 6 Reemplazando en las formulas Sumando las dos partes: De esta forma se tiene una integral simple. Que se definirá como . Tercera integral Resolviendo la tercera integral por el método de Simpson 1/3, con EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya . Pagina 21 Luego la tabla de los valores y evaluados en la función 0 -4 699 1 -3 555 2 -2 411 3 -1 267 4 0 123 5 1 -21 6 2 -165 7 3 -309 8 4 -453 . Reemplazando en la formula: Respuesta La integral triple resuelta por integración numérica es: c) Determinar el error relativo entre los dos resultados previos Respuesta Viendo el resultado del error relativo se concluye que el resultado es satisfactorio. EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya Pagina 22
