Subido por Cristian Rey Sanchez

momento de inecia areas teorema de ejes radio de giro

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UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO
FACULTAD DE INGENIERÍA MECANICA Y DE ENERGIA
ESCUELA DE INGENIERIA EN ENERGIA
SEPARATA 06
CONTENIDO:
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Momento de inercia de áreas
Teorema de ejes paralelos
Radio de giro de una superficie
Momento de inercia de áreas compuestas
PROFESOR DEL CURSO:
MG.ING. MARTIN SIHUAY FERNANDEZ
MOMENTO DE INERCIA
El momento de inercia es una magnitud escalar que refleja la distribución de masas de un
cuerpo o un sistema de partículas en rotación, respecto al eje de giro. El momento de
inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no
depende de las fuerzas que intervienen el movimiento.
El momento de inercia de un cuerpo indica su resistencia a adquirir una aceleración
angular.
I = m r2
Donde :
m : es la masa del cuerpo
r : es la distancia al eje de rotación
Si observamos el cuerpo , puede rotar respecto al eje 1 o al eje 2 , se puede observar que
el cuerpo puede girar fácilmente respecto al eje 1 a comparación del eje 2 .
MOMENTO DE INERCIA DE AREAS
Denominado segundo momento de inercia o momento de inercia de área, es una propiedad
geométrica de la sección transversal de un elemento estructural , es importante para el
análisis de vigas y columnas , es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo
respecto a un eje .
IX = y2 dA
IY = x2 dA
JZ = r2dA = (x2+y2)dA = IX + IY
Jz , se denomina momento de inercia polar de la superficie.
TEOREMA DE STEINER O DE EJES PARALELOS
El teorema de Steiner dice que el momento de inercia de una área respecto a un eje
cualquiera contenido en el plano de la superficie es igual al momento de inercia de área
centroidal más el producto del área de esta por el cuadrado de la separación de los ejes
IX’ = IXC + y 2A
IY’ = IYC + x 2 A
JZ’ = JZC + d2A
RADIO DE GIRO DE UNA SUPERFICIE
El radio de giro de un área con respecto a un eje particular es igual a la raíz cuadrada del
cociente del momento de inercia dividido por el área. Es la distancia a la cual el área
completa debe asumirse que se concentra para que el producto del área y el cuadrado de
esta distancia sea igual al momento de inercia del actual área alrededor del eje dado.
rX = (IX/A )
rY = (IY/A)
rZ = (IZ/A)
MOMENTOS DE INERCIA DE AREAS COMPUESTAS
Frecuentemente, en la práctica, la superficie A es irregular pero se puede descomponer en
superficies sencillas A1, A2, A3, …, An para las cuales las integrales ya estén calculadas y
tabuladas.
Así, el momento de inercia de la superficie compuesta, respecto a un eje es igual a la suma
de los momentos de inercia de superficie respecto a dicho eje de las distintas partes.
Cuando se quite una superficie (agujero) de una superficie mayor, su momento de inercia
de superficie deberá restarse del momento de inercia de dicha superficie mayor para
obtener el momento segundo resultante.
1.- Calcular el momento de inercia de la sección rectangular respecto al eje x e y , que se
muestra en la figura
Calculo del momento de inercia respecto a l eje Y :
𝑑𝐴 = ℎ𝑑𝑥
𝑏
IY = ∫ 𝑥 2 𝑑𝐴
= ∫0 𝑥 2 ℎ𝑑𝑥 = hb3 /3
Calculo del momento de inercia respecto a l eje X :
dA = bdy
ℎ
IX =  y2dA = ∫0 𝑦2 𝑏𝑑𝑦 = bh3 / 3
Calculando el : IZ = IX + IY = (bh/3)(h2 + b2 )
Aplicando el teorema de Steiner o de ejes paralelos se cumple lo siguiente :
IX = IXC + 𝐴𝑌̅ 2
bh3 / 3 = IXC + bh(h/2)2
IY = IYC + 𝐴𝑋̅2
hb3 /3 = IYC + bh ( b/2)2
, IXC = bh3 / 12
, IYC = hb3 / 12
Calculando los radios de giro respecto al eje x e y se tiene :
x = (IX/A) = (bh3/3bh) = 3h/3
, y = (IY/A) = (hb3/3bh) = 3 b/3
2.- Calcular el momento de inercia de área respecto al eje x e y , de la siguiente figura
Calculo del momento de inercia respecto al eje X
dA = mdy = b(1-y/h)dy
Por semejanza :
b/m = h/ h-y m= b( 1-y/h)
m
y
ℎ
𝑦
IX = y2dA = ∫0 𝑦2 𝑏 (1 − ) 𝑑𝑦 = bh3 / 12
ℎ
dA = ndx = (hx/b)dx
Por semejanza
n= hx/b
𝑏
x
n
ℎ𝑥
𝑏
IY = x2dA = ∫0 𝑥2 ( ) 𝑑𝑥 = hb3/4
IZ = IX+IY = (bh/12)(h2+3b2 )
Aplicando el teorema de Steiner o de ejes paralelos se cumple lo siguiente :
IX = IXC + 𝐴𝑌̅ 2
IY = IYC + 𝐴𝑋̅2 ,
, bh3/12 = IXC + bh/2 ( h/3)2 = bh3/36
hb3/4 = IYC + bh/2 ( 2b/3)2 = hb3/36
Calculando los radios de giro respecto al eje x e y se tiene :
x = (IX/A) = (2bh3/12bh) = 6 h/6
y = (IY/A) = (2hb3/4bh) = 2 b/2
3.- Calcular el momento de inercia de área respecto al eje x e y de la siguiente figura :
Y = Kx2 , si : Y= b , x= a , entonces K = b/a2
Calculo del momento de inercia respecto al eje Y
dA = Ydx= Kx2dx = (b/a2)x2dx
IY = x2dA = x2(b/a2)x2dx = ba3/5
Calculo del momento de inercia respecto al eje X
dA = (a-X)dy = ( a - y/K )dy
IX = y2dA = y2( a - ay/b )dy = ab3 /21
x
1.-Hallar el momento de inercia respecto al eje x e y , y el momento de inercia polar de la
siguiente figura .
Analizando para el área D
IX = IXC + 𝑌̅2A = 200(1003)/36 + (100+100/3)2(200x150/2) = 183.33(106)mm4
IY = 100(2003)/ 12 = 66.667(106 ) mm4
Analizando para el área A
IX = 200(100)3/3 = 66.667(106)mm4
IY = 100(2003)/3 = 266.667( 106) mm4
Analizando el circulo B
IX = IXC + 𝑌̅ 2A =  (30)2/4 + 502(302) = 7.705(106)mm4
IY = IYC + 𝑋̅2A =  (30)2 / 4 + 1502(302 ) = 64.253 (106 ) mm4
Analizando para el circulo C
IX = IXC + 𝑌̅2A = 504 /8 + 502(502 /2) = 12.272(106) mm4
IY =  504/ 8 = 2.454(106 ) mm4
Por lo tanto
IX = 183.33(106) + 66.667(106) - 7.705(106) – 12.272(106) = 230(106)mm4
IY = 66.667 + 266.667 – 64.253 – 2.454 = 267(106)mm4
JZ = IX + IY = 230+267 = 497(106)mm4
2.- Determinar el momento de inercia en x e y y los radios de giros respecto a los ejes
centroidales
C305x45 ( A=5690mm2 , IX= 67.4x106mm4 , IY = 2.14x106mm4 )
W610x125 ( A= 15935mm 2 , IX= 985x106mm4 , IY= 39.3x106mm4)
A = 5690+15935 = 21625mm 2
𝑌̅ = 𝑌̅A/A
𝑌̅ = ( 301.90x5690)/21625 = 79.438mm
IXC = IXC305 + ( 301.9-79.438)2(5690) +
IXC610 + (79.438)2(15935)
IXC = 67.4x106 + ( 301.9-79.438)2(5690) +
985x106+ (79.438)2(15935) = 1369x106mm4
IYC = IYC305 + IYC610 = 2.14+39.3 = 41.4x106mm4
KXC =  (IXC/A) = (1369x106)/(21625) = 251.6mm
KYC = (IYC/A) = ( 41.4x106)/(21625) = 43.776mm
Ejercicios propuesto
1.-Determinar el momento de inercia de área del triangulo isósceles representado en
la figura respecto al eje x , respecto al eje paralelo a la base y que pase por su
centroide.
2.- Determinar los radios de giro de la superficie rectangular respecto a los x e y de la
figura , respecto a los ejes centroidales x e y .
3.- Determinar el momento de inercia del área sombrada respecto al eje x , y , del
punto o del sistema coordenadas xy y sea normal al plano de la superficie.
4.- Determinar los momentos de inercia respecto a los ejes x e y
5.-Determinar los momentos de inercia centroidales de x e y ,
6.- Se sueldan dos placas de acero de 250x25mm a las alas de una viga en I S457x104
( A=13290mm2 , IX = 358x106mm4 , IY = 10x106mm4 ) . Determinar los momentos de inercia
centroidales en x e y .
7.- Cuatro angulares 76x76x6.4mm se sueldan como se indica a un perfil laminado de
ala ancha W 200x4.6 Hallar los momentos de inercia y los radios de giro de la sección
combinada respecto a los ejes x e y centroidales.
8.- Para formar una viga asimétrica se sueldan como se indica dos angulares
76x76x6.4mm y dos angulares 152x102x12.7mm a una plancha de acero de 16mm .
Hallar los momentos de inercia de la sección combinada respecto a sus ejes x e y
centroidales
9.- Para formar una sección tubular , se sueldan como se indica dos perfiles laminados
de ala ancha y dos planchas . Hallar los momentos de inercia y los radios de giro de la
sección combinada respecto a sus ejes x e y centroidales
10.- Dos perfiles en U se sueldan a una plancha dx300mm como se muestra en la figura
, hallar para que anchura d vale 16 el cociente I X / IY de los momentos de inercia
centroidales de la sección combinada
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